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Bilan hydrique dans le Sud-Tunisien
Journal of Hydrology, 49 (1981) 53--73 Elsevier' Scientific Publishing Company, Amsterdam - - Printed in The Netherlands
53
[41 BILAN HYDRIQUE DANS LE SUD-TUNISIEN II. Mod61isation numdrique et pr*vision des ~rm~sferts hydriques en sol stzatifid
M. VAUCLIN et G, VACHAUD
C.N.R,S., Institut de M~canique, 38041 Grenoble Cedex (France) (Re~u le 9 octobre, 1979; r~vise el; acceptr~ le 5 mars, 1980)
ABSTRACT V~uclin, M. et Vachaud, G., 1981. Bilan hydrique dans le Sud-Tunisien, II. Mod61lsation numerique et prdvision des transferts hydriques en sol stiatifiJ. (Water budget in sou them Tunisia, II. Numerical modellir:g and estimation of water m o v e m e n t in multilayered soil.) J. Hydrol., 49: 5E','-73. Numerical simulation of the experiment described in Part [ is presented. The model, b~sed on Richards' equation is tested against experimental results and used to predict the water balance during and after a natural rain. The p a r a m e t r i z a d o n of moisture conter~t at the soil surface due to Deardorff is also applied to the experimental site, for predicting tke water to:~es by evaporation. It i~; shown that such an approach can be useful for determining the evaporation on ~ large scale, in connection with remote-s~nsing techniques particularly using microwa~'es.
Re.SUMS2 On prdsente la simulation de ]'easai ddcrit dans le premier article. Le module fond6 sur l'dquation de Richards est valid6 par comparaison avec ]es r6sultsts e.
iNTKODUCTION L a g r a n d e m a j o r i t d d e s m o d u l e s utilisds e n hydrolo~,,ie e t h y d r o g ~ o l o g i e p o u r s i r n u l e r le c o m p o r t e m e n t d u sol darts te b f l a n h y d r i q u e u t i l i s e n t d e s concepts de r~servoir ou plus simplement des fonctions de transferts obtenues p a r c a l a g e s s u r d e s o b s e r v a t i o n s a n t ~ r i e u r e s . D u f a i l d e la t r e s f o r t e n o n
0022-1694/81/0000-'0000l$02.50
¢.,
i,'J~l Elsevier Scientific ~ubilshing C o m p a n y
84 hn0arit0 qui regit les ~quations de transfert dans la zone non satur6e, il s'av~re que ces mod6les ne peuvent pas etre utilis~s en prediction, car ils r6cessi~ent generalement un recalage en fonction des nouvelles conditions i~itiales et aux limites. Pour pallier cette lacune, nous nous proposons de presenter daps une premiOre phase.~, un modete deterministe du transfert de Peau d~ns 1~ zone con .~aturOe. Ce modOle sera d'abord validd par une simulation de= l'essai ((~crit dans la Partie I (Vachaud et al., 1981), puis utitis~ p o u r pr~dire le ~tevemr d'un episode r~et de pluie observe en dehors de la p6riode d'exp~rinwntation. Darts une deuxi~me phase, on applique une m~thode de pr4dicti~m simplifi~e, mais toujours d~termimste de l'~volution de l'humidit~ des couchvs superficieltes du sol au cours de p~riodes d'evaporation et de plm~ raise a~l point pax Deardorff (1977), qui est compar(~e au module p r e c e d e n t e, aux resultats exp,", mentaux.
SIMULATION DES ESSAIS EXPI~RIMENTAUX
Mod~te ma th~rne,tiq ue Le transport vertical isotherme d'eau pure en milieu rigide, iso~rope et het~rog~ne, partiellement satur~ est mod~lise pax l'~qu~tion de Richards: i~z
~
K(h,z).
- 1
~.,u C~h,,rt t,st ta capacit¢ capillaire d~finie par: C ( h , z ) = cJ/~h pour chaque h a ~ , m ; eI E{t~,z} est Ia conductivite hydraulique qw. est une f o n c t i o n de l'hum;d,le done de la pression par la relation h(0) et de 1 espace. I,'existtmce de strates aux caraet~ristiques h y d r o d y n a m i q u e s diff~rentes ~m~d mulilisable t'equation de Fokker--Pla_ack en raison des discontinuit~s de t~m-ur an eau aux in~erfaces. L'~quation de Kirchhoff (Vauclin et al., !95"9) est trop cofiteuse du point de r u e temps-caicul, en raison d u tr~s ~-and ~iombre d'op~rations num~riques qu'elle e n g e n d r e La presence des coefficients C{h,z) et K(h,z) dont les variations d o n n e n t a l'~q. 1 un caracWre fortement non lin~aire, rend vaine t o u t e recherche de solution analyta~,w t~ot,oJament pour les milieux h~t~rog~nes et impose une r ~ s d u t i o n n~I~o~ictlv par or~iinateur. l')km point de rue formel, le probt~me revient donc a chercher a chaque instant, ia repartition de pression h(z, t) satisfaisant l'~q. 1 darts un milieu poreu~, s ~ t i f i e d o n t on connait la g~om~trie et les relations ph~nomenok,giq~es K(h,z) et C(h,z) pour des conditions inidales et aux limites d(!finies, Lc~, ~ondidons qui ant ~t~ impos~es au sol lots de Fexp~fience d~crite pr~ce~iemment~ ~e ~raduisent mathe!matiquement par les expressions suivantes:
[~3
Otz,Oi = O.(z)~h(z,O) = h . ( z ) ;
t<:O,
z>~O
(2)
55 Cela revient h ,*.e d o n n e r te profil h y d r i q u e initial, a en d e d u i r e le profi! de pression par les relatio~as tz(O,z):
,-,g(h,O)(;~h/~z~ I L ~ )
(b)
= qo(t)
(3)
ce qui correspond h la condit,ion de densite de flux volumique a la surface du sol, soit:
En phase d'infiltration: qo(t) = 2 1 , 0 m m / h r . qo (t) = 19,3 m m / h r , qo (t) = 18,5 m m / h r ,
pour pour pour
0 <~t<3hr. 3 hr. < t < 6 hr. 6 hr. ~ t (.. 9 hr.
(4)
En phase de redistribution: qot :~ = 0
pour
(5)
9 hr. ~< t -( 26 hr.
La surface d u sol 4rant c o u v e r t e p e n d a n t cette p~riode: q0(~) = - - 0 , 1 6 6 m m / h r .
pour
2 6 h r . G t < 52 hr.
qo(t) = --[al +a21n(t--26)+a3{ln(t--26)}2 pour
(6)
+a4{ln(t_26)}3]/(t_26)
5 2 h r . ~ t < 3600 hr.
(7)
avec al = - - 1 , 4 4 9 0 ; a 2 = 1 , 1 6 5 2 ; a 3 = - - 0 , 2 5 6 5 ; a 4 = 0,02326. L'analyse des r~sultats e x p 4 r i m e n t a u x a y a n t m o n t r ~ que te processus d ' ~ v a p o r a t i o n c o m p o r t a i t u n e premiere phase a flux c o n s t a n t (eq. 6), ~t u n e d e u x i ~ m e phase ~ flux d~croissant (~q. 7). Les coefficients de l'eq. 7 r~sultent de la derivation de l'expression analytique ( p o l y n 6 m e de 4~me degr~ en In t) lissant les valeurs e x p ~ n m e n t a l e s de l'~ivaporation cumul6e en f o n c t i o n du t e m p s (volt V a c h a u d et al., 1981, fig. 11). (c) A la pertie infdrieure du m o n o l i t h e , on considere q u e : ' ~ c o u l e m e n t est gravitaire, soit: z -
220cm
8h/3z = 0
pour
t>i0
(8)
II c o n v i e n t de n o t e r que te fait d ' i m p o s e r a la surface d u sol la loi d'~vaporation o b t e n u e e x p ~ r i m e n t a l e m e n t p e r m e t bien d ' e f f e c t u e r u n e simulation des transfer~s r~sultant dans le sol mais n o n u n e prddiction. Nous reviendrons ult4rieurement sur ce d e r n i e r aspect. Afin d ' o b t e n i r les relations c a r a c ~ r i s t i q u e s facilement utilisables darts le module, tes p o i n t s e x p e r i m e n t a u x obt;enus p r ~ c ~ d e m m e n t o n t ~!te liss~s par des expressions analytiques. L'alture ga~nerale des courbes n o u s c o n d u i t choisir l es expressions suivantes: (i) p o u r la conductivit~ h y d r a u l i q u e :
K(O) = A(~)exp(B(OO)
(9)
5~ (ii) p o u r la pression effective:
{I0)
( o l / [ a ~ o + Ihl q(;)] 0(h> = 0~~ + c~~)[0~ ~) - OE
Ot:L 0~;) = la teneur en eau ~ saturation de la couche (i), et 0~ ~, a ~') et/3 sont des pa_ram~tres de calage. Cette demi~re relation dtant limitee au d o m a i n e de mesure des tensiom-Stres (soit entre 0 et --600 cm), on a dgalement choisi une relation d'extrapolation pour'les valeurs de h p o u v a n t exister en phase d'dvaporation, sous la forme propos6e par Brooks et Corey (1964): :-
wm,,~ -- O~
)(hmin/h)
(11)
ou .1'~m,n, '-,u,h<~'~ correspondent au dernier p o i n t de mesure accessible par lea tensiom~tres, et ~ ) et ,k°) sont des param~tres de calage. La m e t h o d e de traitement de la rela~ ~:m O(h) est donn6e par Haverkamp et al. (1978). Les valeurs des d9 ~crents coefficients intervenant ainsi que les coefficients de correlation ccrrespondmlts r, sont d o n n d s dans le Tableau I p o u r les diff~rentes couches. En effet, c o m p t e t e n u d u v o l u m e de m e s u r e de l'humidim~tre neutronique, les ~ourbes h(O,z) et K(O,z) ddtermindes en des sections pr~cises ont, en fait, ere ~ffectdes a des tranches de sol e n t o u r a n t ces sections. Dans ce tableau intervient dgalement la valeur de la conductiv~td ~ saturation mem.[re.e dans la tranche 0--80 cm, a partir de la wdeur du flux en rdgime pc~m~ment a la fin de l'infiltration. On ne dispose pas de mesure de K~ pour les horizons inf~rieurs dans lesquets la saturation du sol n'a pas dt~ obtenue. La d~rivation des relations (10) et (11) d o n n e dgalement les relations C(h,z) reportdes darts la F~g. 1. On n o t e r a que l'horizon superficiel pr.~sente une plus grm~de capacit~ d ' e m m a g a s i n e m e n t , p r o b a b l e m e n t lide h la plus gramh- porosite en raison d ' u n labour ancien. Les horizons gypseux o~t en rewmche ~.mt~capacit~ plus faible. t'.h~ notcra enfin que routes tes relations o b t e n u e s en phase de dess~chement du profit seront utilisees dgalement p o u r simuler l'infiltration. Cela revient a n~,gliger l'hyst~rdsis de la relation pression--1;eneur en eau. Bien que ce p h e n o m e n e puisse 6tre pris en c o m p t e dans la moddlisation (Rubin, 1967), il se heurte ~ la difficult~ exp~rimentale d ' o b t e n i r in-situ les courbes hi0} en infiltration {Vachaud et al., 1981, fig. 5). L'0q. 1 a et~ discr~tis~e en diff6rences finies selon le sch6ma suivant:
"~'~ .... h~
] i
( h'*~-h~+'
1
/~#+'--~'~+'
Vi~ [2,NI
) (12)
ou ~ et ] sont res~.ectivement les indices d'espace et de t e m p s tels que:
:, ~ (~. 2)'3z,
t ~ = ]At
avec Az et At les pas d'espace et de temps, respe~.tivement. C o m m e on p e u t l e constater, il s'agit d ' u n schdma t o t a l e m e n t implicite,
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h (cm d'eou)
Fig. 1. Relations entre ~a eapacit4 capillaire et la pression de l'eau, pour les diff4rentes strafes d'l soL. Fig. 1. Capillary capacity--water pressure head relationships for each layer of soil.
avec linearisation explicite, car les caefficients C et K sent exprimds au pas de temps prec4dent. Les conductivit~s hydrauliques internodales K~ + t,,z sent calculees par la m o y e n n e g~om4trique:
lee systeme d'~q. 12 ainsi lin~aris4 est re,~olu selon l%dgorithme de ~[homas. On trouvera dans ¥auclin et al. (1979), et HaverkamF, et Vauclin (1979), les jus:ifieatlons th~oriques de ces ehoix, gappelons cependant que cette discretisation est conservative et qu'elle assure un b e n compromis entre precision dc la solution et co/~t ~conomique d'obtention. Le pas d'espace a ~t~ choisi Az = 1 cm. Le pas de temps a ~te pris constm~t et egal fi 5 s pendant la phase d'imfiltration et variable ensuite. La loi d'mcrOmentation correspond a la recherche d'un pas de temps m a x i m u m pendant, lequel ta variation de volume d'eau duns une maille d'dpaisseur d.~ et de surface unite soit infgrieure a une valeur fix~e, soit: At
-= r j * l
_
t
J =
O.O05Az/lq.a~x]
(14)
ou q.,..,, est la valeur absolue du flux m a x i m u m duns le profil. Les interfaces separan~ tes differentes couches ont ~ positionn~s de mani~re ~ c e qu'ils ~oient situes au centre d ' u n e maille, soit aux cotes 31,5; 81,5; 91,5; et 10(L5 cm.
59 L-~ t e m p s de ca!cui sur ,'.BM~ 3 6 0 / 6 7 est de 25 min. p o u r simuler 3(~00 hr. d'expdrience.
R4sultats Bien que le code n u m d r i q u e soit com;u p o u r simuler t'infiltration et la redistribution considdrdes c o m m e d e u x ~rocessus jtaxtaposds, nous prdsentons s d p a r e m e n t les rdsultats relatifs b, c~ s d e u x phases par simple souci de clartd dans t'exposd.
In filtra tion Un test interne de validitd du m o d u l e lmm~rique a d ' a b o r d die e f f e c t u e en r u e de vdrifier qu'il conserve la masse en c o m p a r a n t le v o l u m e d'eau infiltrd V~ imposd n u m d r i q u e m e n t au v o l u m e d ' e a u stockd darts le sol V~ corrige d u drainage p r o f o n d , V~,L~ Fig. 2 d o n n e l'~volution d u bilan ~ = (V~ + V#d)/V~ en f o n c t i o n du temps. O n constate que si le schdma est bien c o n v e r g e n t en m o y e n n e t v/-* 1 q u a n d t-+ oo}, il c o n d u i t a u n e surestimation d u brian de masse (-, > 1), d o n c de la solution aux faibles temps, Ce rdsultat d/~ au m o d e de ponddration utilisd, et au choix des dfffdrences finies est l o n g u e m e n t anatysd dans Vauclin et al. (1979). La Fig. 3a et b d o n n e r e s p e c t i v e m e n t les proffls h y d r i q u e s ~(z,t) et de charge h y d r a u l i q u e H(z,t) e x p d r i m e n t a u x et calculds, aux t e m p s 2, 4, 6, .3 12
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Fig. 2. I~volution du bilan de m a ~ e en for,ctiondu temps au cours de l'infUtration.
Fig. 2. Mass balance criterion as a fuucti~)n of time for the infiltration.
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B~C
• 600
~400
-2 O 0
0
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Fig. 3. Comparaison entre: (a) Ies pzofils hydriques; et (b) de charge hydraulique expdrim e n t a u x et numdriques, au cours de l'infiltration. Fig. 3. Compari°gn between: (a) experimental and numerical water c o n t e n t ; and (b) hydraulic head profiles for the infiltration,
IOO
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I
50
~-
4
6
g
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Fig. 4. Comparaison entre I'evolution du front d'humldificetion zf mesuree t + ) e L calcuflde (--), en fonctie'l du temps. b'ig. 4. Co~aparison betwee,~ experimental (-~-) and numerica.~ (-:) wetting front advance z~, as a fur c t i o n of time.
et 9hr. On peut consid~rer que l'accord entre ies profils est sat£sfaisant, compte ~enu du volume de mesure de la sonde a neutrons nettement sup~rieur a la dimension de la maille de cal::ul. On constate un bon accord (Fig. 4) entre les cin~tiques d'avancer-ent du front d%umidification exp6rimental (obter~u p~x les tensiom~tres) et num6rique (d6cel6 par une variatiort de pression de - - 5 cm d'eau par rapport ~ la valeur initiale).
61
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F i g 5, C o m p a r a i s o n e n t r e |es v a l e u n , de la densi~6 de flux volum:':lue e x p d ~ i m e n t a l e s (..... ) eL calcul6es ( ~ ) , p o u r les s e c t i o n s z = 2 0 , 40 et 60 c m , a u c o u r s d e l'inf~tl~ tration,
Fig. 5. Comparison between experimental (. . . . ) and numerical ( -) volumetric flux denaity values for the depths z = 20, 40 and 60 cm tot the infiltration. La Fig. 5 pr~sente p o u r les sections z = 20, 40 et 60 cm, la comparakson entre les densit~s des ftux v o l u m i q u e s d~termm~es e x p ~ r i m e n t a l e m e n t et calcul~es n u m ~ r i q u e m e n t par l'application de ta loi de Daxcy. Le mauvais accord p e u t provenir de l ' i n c e r t i t u d e exp~rimenLale sur les teneurs en eau et les flux au voisinage d u front, ainsi que d'~co~J.lements pre[erentieis dane la rnacroporosit~ d u sol.
Redistribution Les Figs. 6 et 7 d o n n e n t les profils h y d r i q u e s et de charge hy, tr~.ulique aux t e m p s 17, 7 2 , 2 4 0 , 630 et 3860 Br. depuis la fin de i'infiltration. ( ' n constate g l o b a l e m e n t un accord tr~s satisfaisant entre profils exp~rinmntaux et n u m ~ r i q u e s jusqu'~ t = 72 hr. E a revanche i'accord est rnoins b o n dans ies horizons p r o f o n d s p o u r t > 72 hr. Deux raisons p e u v e n t expliquer les discordances: it semble d ' u n e par:,, que l'horizon 1 4 0 - - 1 6 0 c m pr~sente u n e discontinuit~ difficilement d~celable lots de la caracterisation h y d r o d y n a m i q u e du sol. De plus, l'influence d u f o n d , dEij~ analys~e dans la pattie expdrimentale, c o n d u i t & u n e surestimation par le m o d u l e n u m ~ r i q u e au-del~ de 180 c m des t e n e u r s en eau et des charges hydrauliques. La Fig. 8 pr~sente la compazaison entre les flux v o l u m i q u e s exp~rimentaux et num~riques ~ travers les sections 4 5 , 1 0 5 , J 65 et 2 2 0 c m . On p e u t c o n s t a t e r p o u r les differentes sections u n b o n accord en phase de dess~chemerit (flux d~croissants). La l~g~re surestimation des flux calculgs ~ partir de la solution n u m ~ r i q u e est essentiellemeut du~ ~ la surestimation des teneurs en eau au f o n d d u m o n o l i t h e a n a l y s ~ ~=¢c~demment. Enfin, la Fig. 9a et b mu,A~c :'.::,,~e des profils h y d r i q u e s , de charge h y d r a u l i q u e , de pressiol~ effective et de flux v o l u m i q u e calcules a t = 0 hr. (fin de l'essai d'infiltration) et & t - 17 hr. {fin de la p~riode de redistribution sans ~vaporation ~ la surface) au voisLuage des interfaces.
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Fig. 6. Comparaison entre les profils hydriques experimentaux (-- -- --) et n u m d r i q u e s ( -) p o u z la redistribution. Fig. 6, Comparison between experimental (....... ) and numerical {. . . . . . . . . . ) profiles for the redistr"bution,
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Fi~. 7. Comparai~on entre les profils de charge h y d r a u l i q u e e x p 6 r i m e n t a u x n u m e r i q u e s (, ) pour la redistribution. Fig. 7. C o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l ( . . . . . the redistribution.
) and n u m e r i c a l ( ~ - )
(. . . .
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Term I:'$ I -h
Fig. ~. Comparaison entre les valeurs de la definite" de flux v o l u m i q u e expdrimentams (...... ) et numdriques ( - - ) aux cdtes z = 4 5 , 1 0 5 , 1 6 5 et 220 cm pour la reciistribution. Fig. 8. Comparison b e t w e e n e x p e r i m e n t a l (-- -- --) and numerical ( -) volumetric flux density values for the depths z = 4 5 , 1 0 5 , 1 6 5 and 2 2 0 c m for the redistribution.
On peut constater que le m o d e l e num~rique considdrd assure la continuitd de la pression, d o n c de la charge hydraulique, et du flux au passage d'un interface, c o m m e cela d o i t ~tre p h y s i q u e m e m . En revanche, on notera la discontinuitd des profils d'humidit~, en raison des relations h(~) diffdrentes de part et d'autre des interfaces. Les ruptures de pente des profils H(z} et h(z) proviennent de variations de conduc~ivitd hydraulique en liaison avec des dtats hydxiques diffdrents. Compte t e n u des caractdristiques h y d r o d y n a m i q u e s des diff~rents horizons, it n'a pas dtd constatd d'accumulation d'eau aux interfaces, c o m m e cela pourrait se produire darts d'autres situations.
Conclusions Le modgle num~rique proposal, d o n t la valJditd a ~t~ prouvde en infiltration pour des sols h o m o g g n e s (Vauclin et al., 1 9 7 9 ) permet 4galement de simuler trbs convenablement les transferts d'eau (infiltration et redis~ribu. tion avec ou sans dvaporation) en milieu stratifi~. Les grands principes physiques tels que conservation de la masse, continuith de la pressio~ et du flux aux interfaces ne sont pas transgresses. La comparaison avec les r~t~ltats expdrimentaux montre que les erreurs numdtiques sont du m ~ m e ordre, de grandeur que les incertitudes exp~rimentales. Cela nous semble constitue~: ,m
64
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Fig. 9. Profil~ hydriques (0) de charge hydrauliques (H), de pre~sion effective {h) et de deasit6 de flux volumique (q) ealeul6s: (a) a la fin de l'infiltratior.; et (b) 17 hr. apr~s. Fig. 9. Numerical water content (0), hydraulic head (H), water pressure head ~h), volumetric flux density (q) profiles: (a) at the end of the infiltration; and (b) t7 hr. later. faisceau de raisons suffisantes p o u r utiliser ce m o d ~ : e en r u e d ' u n e pr4diction des transferts.
PRi~VISION DU DEVENIR, D %INE PLUIE NATURELLF~
Position du probl~me N o u s nous p r o p o s o n s m a i n t e n a n t de pr~dire pax !e m o d u l e n u m ~ r i q u e pr~c~d e n t , l'infiltration et la r e d i s t r i b u t i o n de l'eau darts le m o n o t i t h e suite/~ u n e pluie de 57 m m p e n d a n t 16 hr., survenue hors de l i p e r i o d e d'essai e t d o n t l ' h y ~ m g r a m m e est disponsible. N o u s d i s p o s o n s ~galement d ' u n profil hyd r i q u e initial avant la pluie et d'.un profil mesur~ 8 j o u r s apr~s. It ne s'agit plus ici d ' u n e simple simulation p u i s q u e la lo.i d ' ~ v a p o r a t i o n en f o n c t i o n d u t e m p s faisant suite /~ la pluie n'est pas c o n n u e , c o m m e lots d e l ' e x p ~ r i m e n t a t i o n
65 precddente. De plus, il a falIu modifier le trai%ement precedent de la condition ~ la limite sup~rieure p o u r tenir c o m p t e d ' u n e possibilit~ d'intensit~ de pluie plus grande que la capacit~ d'infiltration du sol, ¢ o m m e cela est frdquent en zones arides ou semi-arides. M i s e en o e u v r e d u m o d u l e
Le traitement de la condition ~ la surface du sol a dtd ainsi effectu~: (1) Pendant l'4pisode pluvieux, l'dw~poration est suppos~e n utle, (2) Selon la valeur de I'intensit4 de la pluie R par rapport h l'infiltrabflit4 du sol f, le flux q0 (t) impose ~ la surface est 4gal a l'intensit~ de la piuJe sJ R ~ I, ou ~ l'infiltrabilit~ du sot si R > I. Cette dermere valeur est d~finie par Hfllel {1971) sous la forme: I ----
}$s/2 (h)(h3/A,z -- 1)
(15)
ot~ h 3 est la pression de l'eau darts le sol ~ Az en dessous de la surface; et Ks/2 est la conductivit~ hydraulique ~ A z / 2 de la ,,surface. Darts ce dernier cas, il y a emmagasinement possible de t'eau ~ la surface d o n t la capacit~ m a x i m u m est fixc~e arbitrairement ~ 5 r a m . Le surplus eventuel d'eau provoque le ruissellement. (3) A la pluie succ~de un r~girae d'4vaporation qui d~pend de l'~tat anterieur de la surface: (a) en presence d ' u n e lame d'eau a la surface, un~ partie s'~vapore a un taux fix4 par les conditions climatiques, et l'autre pattie s'infiltre dans le sol ~ u n flux q o ( t ) = I. Ce processus se poursuit jusqu'~ la disparition de la lame; et (b) en l'absence de lame d'eau a la surface, le r4gi_me d'~vaporation est ~tabti imm4dia~ement ~ ur,t taux qui d~pend des conditions ctimatiques et des propri~t~s conduetrices du sol. Le traitement rigoureux et c o m p l e t de c¢ probl~me n4eessiterait la prise en compte des transferts couplds masse-chaleur entre sol et atmosphere (Van Bavel et Hfllel, 1976; Vauclin, 1978). Nous utilisons ici une approche simplifi4e fond~e sur la loi d'~volution de l'4vaporation en fonction de l'~tat h y d r i q u e de surface etablie pr4c4demment. Les conditions initiales et aax limites impos4es se traduisent des lo:¢-s par les expressions suivantes: (a)
O(z,O) = O . ( z ) + h(z,,O) = h n ( z ) ;
r ": 0,
z i> 0
(16)
Le profil hydrique initial a 6t~ o b t e n u par la conde ~ neutrons le 18 octobre 1978, jus~e avant l'~pisode ptuvieux analys& (b) A la surface du sol: (i) Pendant l'6pisode pluvieux 0 ~ t < 16 hr. on dispose de l'hy&ogrmnme /~(t) donn~ darts la Fig. 1~. Le tim: q o ( t ) h la ~,urface du sol est d~termin~! par le module h partir des coqsid~rations pr~c~dentes. (ii) Ensuite, l'~!vaporation est parame!tris~e selon l'expression (voir Vachaud et al., 1981, fig. 14):
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Fig. 10, a. Hy~togramme, correspondant ~tla pluie naturelle de 57 m m pendant L6 hr. b. Comparaison cnt-e les teneurs en eau olumiques de surface, calcul6es par ~e module num~r]que et le modele de Deardorff, au cours de l'~pisode pluvieux. Fig. I0. a, Hyetogram cort'esp ,Ldingto the 57 m m of natural rain during 16 hr. b, Comparison between volumetric water contents calculated at the surface by numerical m(~el and w~th Deardorff's model, for the rain event.
qo(t)
=
--eo
pour
0o K 0 c = 0 , 2 3 c m 3/cm 3 [
q~(tl
=
--e e (7,350(~ -- 0,69)
pour
0,094 K 0 0 ~ 0¢
qo(t}
=
0
pour
0o < 0,094 em 3/cm 3
1(17)
e0 reprdsente le taux d'dvaporation imposd par le micro-climat. Cette v'aleur est suppos~.e '~.L~ coastante ~ 4 m m / j o u r et uniformdmen$ rdpartie st~r la jourv.de durant cette pdriode. 00 est l'humidit~ de surface assimil~e ici/~ l'h~:midit~/t 10 cm. (t') Au fund du monolithe, on suppose l'dcoulement gravitaire. La solution num~rique a dt~ obtenue par le m o d u l e p r d e d d e m m e n t ddcrit avec A z = i c m e t At constant pendant l'dpisode pluvieux et dgal ~ 5 s, variable ensuite; ]e temps de ealcul a did, sur I B M ~ 360/67, de 188 s, O n a portd (Fig. 11) ics profils hydriques ca~culds a la fin de la pluie, puis i , 2, 4 et 7 jours aprbs. Ce dernier profil est ~galement compard au
ptofil mesurd a c e t t e date. On notera essentiellement tes points suivants: D'u.ne part, on retrouve darts ta variation de stock entre le d e b u t et la fin de [a plvie, toute la piuie cumul~e, c o m m e darts le case sLmuld pr6c~dernment avec q0 constant. D'autre part, le stock prddit restant darts le profil en execs du stock initial (surface hachuree Fig. 1 1 ) v a u t 42 ram, alors que la valeur me,urge est de 47 ram. Ces rdsultats nous semblent trbs satisfaisants. [ls coafLrment la validit~ du module num~rique proposd pour prddire les
67
0 ~0
0 20
0 30
O 40
[ la, t~ ,%1- ~ , . . . . . . . .
:~ ~ = v ~ '
....................
5O
7. .........
,'_~ ,,./
,~,
_
~ _
~'
___
~O'C
Fig, 11, Profils hydriques calcu,ds £ la fin de l'dpisode pluvieux, 2, 4, 7 jours al~t@,~ Los cr,~/x reprdsentent le profil experimental mesurd 7 jours apr~s la fin de la pluie. Fig. 1 l. Numerical water content profiles at 0, 2, 4 and 7 days after the end of the rainy event. Crosses correspond to the experimental profile measured 7 days after the end of the ~ain.
transf~,r!s ~ u n coflt acceptable et m o a t r e n t l'mt@r@t qu'il p e u t y a~oiz paramatriser le dess~chement d ' u n sol nu par une loi reliant t'~vaporation a l°humiditd superficielle, ce qui fait l'objet du d e v e l o p p e m e n t suivant.
ESSAI DE PARAMI~TRISATION DE L'HUM[DITI~ DE SURFACE D'UN SOL NU
Plut6t que de pr~dire des pertes en eau du sol par avaporation po~z une approche fond~e zur les tr'msferts de masse et de chateur entre le sol et !es basses couches atmosph~riques, et r.'~cessitant ta caract@risation hydrod y n a m i q u e et thermique du sol et ta discrdtisation des dquations de transfert, nous nous proposons maintenant, dans un but de simplification, d'utiliser ,an mod~te otl le sol est raduit ~ une seule tranche, et ot~ les ~changes sol-atmosphere sont sch~matis@s par une loi plus m6caniste que la relation empirique pr6cddemment utilis6e pour relier te taux d'~vaporation h la teneur en eau de surface. Le mod~Ie a ~t~ @labor@ par Deardorff (1977). Rappels du moddle de D e a r d o r f f
Par analogie avec le c o m p o r t e m e n t thermique de la surface d ' u n s¢~l nu ddveloppd par Bhumralkar (1975)" et Blackadar (1976), Deardorff (1977) moddlise l'dvolution de l'humiditd de surface d ' u n sol par le syst~me d'equations suivant: (a} Loi d'd~)otution de l'humiditd: ~00 = --C1 [ e ( t ) - - P ( t } ] / d l -- C2 [ 0 0 ( t ) - - 0(~)]/7
(18)
oh Ct et C2 sont deux con~tantes adimensionnelles; e(t) est le t a ~ : d'6vaporation; V(t) est l'intensit~ de la pluie; 00 est la teneur en eau superficielle;
68 est la teneur en eau m o y e n n e sur une certaine ~paisseur de sol d~ ~d t eat la p r o f o n d e u r ~ laquelle les variations diurnes d'humidit~! ne se font plus sentir; et Test la constante de temps. Le premier terme de droite d6crit l'ass~chement ou l'numidification de la surface quand les i n t e n s i t ~ d'~vaporation et de pIuie ont des valeurs significatives. Le second terme tend h r6tablir 0 o d'une mani~re exponentielle vers la teneur en eau m o y e n n e 0 de la couche superficielle de sol, en l'absence de pluie ou d'~vaporation. On suppose de plus que 0 est donn6 par l'~quation de conservation de ta masse, ~crite sous la forme:
~O/~t = - - [ e ( t ) - - F(t)]/d~
(19)
ce qui suppose que le flux ~ la p r o f o n d e u r d: est n~gligeable devant e(t) ou F(t), cela impose une limitation h la dur6e p e n d a n t Iaquelte le module peut etre utilis~. Nous revievdrons ult~rieuzement sur ce point. (b) Loi d'dvaporatic, Deardorff suppose que le flux d'~vaporation est donn~ par les relations:
e(t) = O ° ( t ) .
O~ eo(t)
v~ur
Oo ~0¢ (20)
e(t) =: eo(t )
pour
tOo > 0 ¢
OCl 0¢ est une teneur en eau critique; e t eo(t) est le taux d'dvaporation potentielle au jour t, dont la vaieur est fix~e par les conditions climatiques. On constate que ]es ~qs. 20 ont la m~me structure que les *qs. 17. La difference essentielle provient du fait qae le module de Deardorff p e r m e t de pr~dire d ' u n e manidre simple l'~volution en fonction du temps de la t e n e u r en eau de surface (~qs. 18 et 19) alors que dans n o t r e module, les ~qs. 17 doivent etre coupldes aux ~qua~ions de transfert de l'eau dans le sol, c o m m e cela a ~t~ montr~ prec~demment, Deardorff a valid~ ce module sur les donn~es obtenues par Jackson (1973) sur un sol limoneux (Adelazlto Loam). Le calage sur les mesure5 de 00 en fonction du temps l'a conduit aux valeurs suivantes: C2 -
0,9
(21) pour
Oo/Oma~ >t 0,75
(22)
C i = 14 -- 22,5(0o/0.,~ -- 0,15)
pour
0,15 < O~/Or~ax < 0,75
(23)
C~
pour
O0/Om~x~< 0,15
(24)
Ci
= 0,5
=
2,1
ou On,~ est }a teneur en eau correspondant a la "capacit~ au c h a m p " . La condition (22) correspond au premier stade de dess~chement d'u:l sot (r~gime potentiel impos~ par le climat). La condition (23) traduit le rdle du sol qui tend ~ limi~r l'~vaporation en raison de la diminution de sa conductivit~ hydraulique. La condition (24) correspond aux transferts en phase vapeur.
69 Miss en oeuvre du module p o u r ie site de Gab~s Cas de l'dvaporation Ce m o d e l e a et~ appliqu~ p o u r pr~dire l'~vaporation p e n d a n t :es 9 j o u r s qui o n t suivi le d ~ b u t de l'essai d e redistribution], site d ~ c o u v e r t avec les d o n n ~ e s suivantes: (1) En l'absence de m e s u r e s de .+.eneur en eau d e surface, il n ' a pas ere possible d e caler te m o d u l e p o u r o b t e n i r C1 et C2. A titre d'essai n o u s avons utilis~ les vateurs propos~es p a r D e a r d o r f f . (2) 0 m ~ a ~t~ choisi c o m m e la valeur c o r r e s p o n d a n t au m a x i m u m d e la capacit~ capillaire de la l e r e strate, soit 0 m ~ = 0 , 3 1 c m ~ / c m ~. C c m m e D e a r d o r f f , n o u s avons pris 0¢ = 3/4 (~m~, soit 0 , 2 3 c m 3 / c m ~, ce quJ corr e s p o n d a la valeur miss en ~vidence dans la fig. 14 d e V a c h a u d e t a l . ( 1 9 8 1 ) . (3) La p r e s e n c e d e stratifications c o n d u i t ~ p r e n d r e les valeurs m o y e n n e s d ' h u m i d i ~ sur d~ = 30 cm; les p a r a m ~ t r e s d~ et r sont pris selon E ear{lorff, egaux ~ 10 cm et 1 j o u r . {4) L . s variations de l'~vapc, ration p o t e n t i e l l e , ~ l'~chelle d e la jo ,u_rn~e o n t 6t~ a~simil6es a u n e sinuso~de d o n t la valeur m o y e n n e est 4 m m / j o u r . C e t t e valeur a ~t~ gard6e c o n s t a n t s d u r a n t les 9 j o u r s d e simulation. C e t t e h y p o thbse se t r o u v e justifies par t,~s m e s u r e s d e rayc, n n e m e n t n e t qui m o p , t r e n t que ces journ~es s o n t c o m p a r a b i e s en t e r m s d'~nergie disponible. (5) Les ~qs. 1 8 - - 2 0 o n t et6 r~solues avec u n pas d e t e r a p s horaire. Les valeurs initiales s o n t les suivantes: 8 0 ( 0 ) = 8 ( 0 ) = 0 , 2 5 5 0 c m 3 / c m ~, qui c o r r e s p o n d e n t au profil h y d r i q u e mesur~ en d ~ b u t de r e d i s t r i b u t i o n avec e v a p o r a t i o n (voir Fig. 6, T = 17 hr.). O n c o n s t a t e ( F i g 12), q u e i ' a c c o r d e n t r e les valeurs 0(t) calcul~es par les 0
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Fig. 12. Comparaison entre lea valeurs de la teneur en eau moyenne dans la tranche de sol 0--30 cm mesurees (A) et calcul~es par les mod~tes num~rique ( - - ) et de Deardorff (. . . . ) au cour~ de la redistribution avec dvaporation. Fig. :2. Comparison between measured (A) and calculated mean volumetric water conter, t values for the layer 0--30 am for the redistribution with evaporation through the surfm e. Calculated values for the numerical model ( ") and for Deard arff's model (-- -- --t.
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Fig, 13. Comparaisoa e n t r e les taux d'dvaporatlon journali6re mesurds et calcuR" par le L'n~dd!ede Deardorff pour l'Adelanto Loam et le sable de Gab~s. Fig. 13, Comparison between daily rates of evaporation measured and calculated by D, ardorff's model for Adela~ -, Loam and Gab6s Sandy Soil. deux modules et ddtermindes a partir des mesures e x p d r i m e n t a l e s tt 10, 20 ,,t 30 cm est relativement satisfaisant. M a l h e u r e u s e m e n t , on ne dispose pas .N mesures de 00 pour les c o n f r o n t e r aux valeurs calcul4es, Les oscillations ohserv4es sur les rdsultats d u m o d u l e de D e a r d o r f f p r o v i e a n e n t de l'allure si ~usol,,a~e '~ ' impos4e ~ la loi e0 (t), La I,~ig. i 3 d o n n e la c o m p a r a i s o n entre les ~vaporations journa]i~res pendant 9 jours calculdes par ['~q. 20 et celles mesur~es par le bilan h y d r i q u e , IA encore, l'accord est tr~s c o r r e c t et la dispersion des p o i n t s par r a p p o r t a la premiere bissectrice est. du m e m e ordre de grandeur que p o u r les r~sultats obtcnus pat" D e a r d o r f f dans son article, l.a Fig. 14 prdsente l'dvolution des flux h la surface e t a 3 0 c m o b t e n u s c xpf~riment~tlemen~ par le bilan h y d r i q u e . O n c o n s t a t e que j u s q u ' a 1 2 0 h r . , une lame d'eau ~chappe a l'dvaporation par p e r c o l a t i o n (le flux a 30 c m est positif). Au deltt, au contratre0 a 3 0 c m , il y a une c o n t r i b u t i o n des c o u c h e s profondes a l'dvaporation (flux d e v i e n t n~gatif). Cela explique la surestimation (Fig. 13), des fortes valears d ' e v a p o r a t i o n et la sous e s t i m a t i o n des faib/es valeurs par le modele, ot~ l'on suppose que le flux ~ 30 cm est t o u j o u r s ntd. C'est une lhnitation i m p o r t a n t e de ce m o d a l e . O n n o t e r a : e p e n d a n t que tes conditions expdrimentales imposdes (infiltration de I 8 0 m m en 9 h r . ) , ~mt c o n d u i t a des valeurs peu rdalistes p o u r le flux a 30 c m e n c o n d i t i o n nat urelle. : a~ ~ ; ta pluie.
Cette paramdtrisation a e g a l e m e n t ~te utilisde p o u r pr~dire l'dvolution en f o n c t i e n du t e m p s d e 00 lors de la pluie de 57 m m consid~r~e p r ~ c ~ d e m m e n t . Les valeurs des diff~rents param~tres i n t e r v e n ~ n t dans les 4qs. 18 et 19
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m~tatement aux e o ~ z ~--0 et 30 era. Fig 1,t, Evo|ution of experimeat~| ~,~l~m~ti¢ f~u~ de.n~L~ ~ f~ n c t ~ ~f~ keae¢~tvut~i~ at the depth~ • ~ 0 and 30 cm. restent inehang6es. Le~ valeur~ ini~iales so~t 00{0~ = 0(0) = 0 , I 0 2 0 era ~/cma~ On suppo~, de plu~ que l*¢~vaporation e ~ n u l e p e n d a n t ia pluie qui e~t tombbr la n m L On a r(-~porte (Fig, 101, i'evolutio~ c o m p ~ e de O~,(t) catcuh~e pat le module de Dea~dorff et prddite par no~e mod~|e nume~dque, p e n d a n t l ' 4 p i s ~ e pluvieux, Etle arner, e ies cGm,~entaire~ ~uivantz: (1) Les ckn~ti.q,.~e~ d'humidtfication de |a ~trface du sol o b t e n u e s par les detax modules sont comp~rables jusq,, a 360 rain. environ. On note ~m aeart de t'ordre de 0,01--0,02era 3/cvn ) . (2) En revanche, le modele de Deasdorff t e ~ i t u e real le~ pedode~ d ' a ~ sbchement de ia surface qui ~e produ.i~ent entre 370 et 490 rain., dMne pact, entre 540 et 590 rain. d'autre part. A notre avi~, ce&~ provient du chotx d~, la con~tante de ~ r a p s r qul dolt et~re trop ~levee pour t ' ~ p t ~ d e pluvieux. It y aurait lieu d 'effectuer un cala~, diffOrent du modele pour |a ph~ie. Le modOle de Deardorff diverge a partix de 600 ram. par rapport a notre mod~.le, ce qui correspond a l'arrivee du front d'humidificat~on a z = 3 0 c m .
CONCLUSION
A
GEN~,RALF~
la lumi~re des rO~altata prdsentos dans cette ~tude, les conclusion~ ~uivantm~ peuvent ~!tre d~,~ag~e..~, La me~hudologie exp~rirnentaie u t i i ~ e a perm,~ d'obtenir les caract~ristiques hyd~:odynamiquesde chaque couche const2tttant un profil peklologique stratifi~ et par la m~ae de quantifier, a tout in~mt, les tran~fert~ d'eau ~t travers chaque horizon, De,~x consdquer, ees importantes en d~coulent: d ' u n e
72
part, il est possible d'effectuer des ~ilans hydriq~l~ r ~ t ~ ~ r m~e v~rtlt:~*~;e~ d'estimer n o t a m m e n t los possibilites de recharge ~:i~ h ~ i ~ o t ~ ~ , t 0 ~ , ~ d'augre part, en presence de solut~t, ]a connai,~sanec des flu~ h.~¢drttl~te~ |*#~m e t d'effectuer des bilans de mati~re, couche par c~uche et de mieux uppre~. hender les cin~tiques des transferts. L'experim,:~r~tation a aussi permis d'~tabtir, p o u r le site consid~.~r~ ~me h** d'~vaporation du t y p e e = f(0 0 )e o o/; e et e o sont r e s p e c t i v c m e n t Ie~ ~a-x d'evaporation r~elle et potentielte, et oti f(Oo) est une fom:tion ti~-~¢~e croissante de la teneur en eau de s ~ f a e e 0o. Ce r0.sultat o b t e t m po,,r tm ~,~,1 nu, n'est pus extrapolable en presence d ' u n e v6g6tation. Noas avons ensuite montr~ que deux appr~ehes sont off~-,rte~ ptJt~r pr~Mm, les transferts engendr~s par d'autres conditions aux limites. La premiere m e t h o d e , plus satisfaisante d ' u n p o i n t de vue theorictue~ maL~ plus coateuse, eonsiste a r6soudre l'~quation c:e Richards avec une di~:retisation fine du aol, pCmr des c o n d i t i o n s aux limites qui sont a la surface du sol, soit un hy6togrm~ !he, soit une loi d'~vaporation, et en profo~Meur un ecoulement gravitaire La contrainte essentielle de c e t ~ m ~ t h o d e es~. de e .aracteriser prealablement le sol par horizons representatifs. La seconde m6thode, beaucoup plus globule, con;iste a ne con~iderer qu'une seule tranche d~, sol, limit~e h une certaine 6 p a i s ~ u r p o u r taqm4te les Oehanges sol--atmosl~ :bre sont param~trisds. Cette m ~ t h o d e , beaucoup plus rapide en temps caleul que la prec6dente presente deux t i m i t a t m n s importantes. Elle ne s~applique que si le flux a travers le f o n d de la tranche eonside¢oe est nul ou tres faible; elle n~eessite une d~termination den paramOtres par ealage sur des valeurs exp6rimentales. Duns te eas etudi~, il semble que h,s parmnetres obtenus pour i'essai de Jackson (1973) en Arizona s'appliquent bien. Ceci peut provenir d ' u n e similaritO entre les sols ,~t les climats, mais ee rt~suttat ne peut btre g6n~ratis~. tt nous p~a'ait impo!'~ant de c o n t i n u e r duns la vole propos6e par Deardorff0 ~.,n raison n o t a m m e n t du d 6 v e l o p p e m e n t des techniques de t616d~t, ection, plu~ particutiO,r e m e n t en hyperfr~qv, ence (Ulaby et Dobson, 1977;Sci:mugge, 1978) c!ui p e r m e t t e n t de caraet~riser l'humidit~ de surface. Une 6rude de sensibib~.,~ r-,~tant sur les param~tres C~ e~ C2 est neeessaire p o u r d e t e r m i n e r si ce type de module est morns sensible ~ l'effet de variabilit~ spatiale que ~,- module de Richards, en rue de leur utilisation ~ u n e echelle c o m p a t i b l e ,~w': [es mail]es de ealeul des modules hydrologiques e t / o u de circulation atmosph erique.
i~1BLIOG RAPHIE .Bh~ mralkar~ C.M,, i 9 7 5 . Numerical e x p e r i m e n t s on the c o m p u t a t i o n o f gl"~,urM ~ur['~;ce 'Lem~era~,ure in an atmospheric general circulation m o d e l , J, App], M e t ~ r o t . . I4: 246 -1258.
( t l r ~ e pr~;lir~+{rialre j,
"olo, ~tal, e Univ,, Fo¢$ Colli~t~,Col~#. Atn'~o~phetlc Ptedlctio~ McMei~. J. A[vpl Mc-t*.~,0r~f,~,I~ ~ ~ Z
! {~.
Res., 15: 18C,,-1~7. l~-|averkamp, R., Harntm, (,;,, Vau~:lm, M, e~ V a e h ~ d . G,. ~9?~3 ~ ' t ( ~ : ~ d{rc~eCe de earacterisation hydrodynamique ~n,~{tu, ~ p ~ t i r d'un ~.~.~{id'mf2itt~ti~r~ ¢'n v ~ d ' ~ e extrapolation a l'6ehelle de la ir~rcelle - Application a ~,n ~ l *abi*'~x de ta xO~¢ centre S6n6gat. Syw, p, int, F.AoO. I . A . E A, ~Ut t'uzili~t{~O dte~ radl~k~otop.. ~t t ' ~ i , culture, Colombo, I I- 16 dec., 197~. Hillel, D., 1971, Soil and Water: Physical PrmeUale~ arm Pr¢~tx,~a Ac~dc.~m*¢P~'e,u,, Ne~. York, N.-Y. Jackson, R.D., t973. Diurnal e~chang,~,~ in e,(~i{ ~ a ~ e ¢ eonten~ dueing drying Dam- F~td Soil Water Regime. 8oii Sei, Soc. Am., pp, 37--55. Rubin, J., 1967. Nume~rical m e t h o d for analyzing hy:tereal~ affeeta~d po~t,.infdtva~onr~.,ij .; dbution of soil moisture, ,~oil $ci. ~o¢, Am. P r~e., 31~ 1 ): I~'"-20, Schmagge, T,, 19"/8. Retool ,'.~ ~enaing of ~urfatw mo~Zure. J. Appi. Mvt~,uroL, 17( 10! 1549--'1557. Ulabv, F.T, et Dobson, M.C,, 1977. Analysi~ t~f ~.he uctive torero ~a~,~ rt~l~ln~ :a ~oil moL~ture, Pa,~ I. Bare ground. Remot~ S~;:~mg Lttb , Uedv, Kant~c,*. Law~-ett,:¢, K a n t , RSL Tech. Rep. 264-t~, 36 pp. Van Bavei, C.H.M. et Hillet. D,I,, I976. Calcutatmg i~oterti,[~t and actual ~Wal~r~tion fr,~ n a bare soil surface by simulatit,n of concurrent flow of wator and heat. A ~ c . Meteo~'oL, 17: 45a~-d76. Vachaud, G., Vauclin, M, et Cotom~.~tni, J. 198 l r gitm~ hydriqae dar~.m le Sud.TlaniMev, I. Caractdri~tlon exp~irimentale de~ tra~lfert~ dan~ la ~one non . ~ u ~ e , & }lyd~ol., 49: 31~.5Z (ce num(~ro). Vauclin, M., 1978. Modeli~ation des ~anBfecta de ma~,~e et de chMeur enlr~ le Bo.l ~,:t l'atmosphe~e. S6min. A.S.P., I~volutio~ des c|imut~, Paxi~, 11 et 12 d@c. 1978, 30 pp~ Vauclin, M., Haverkamp, R. et Vachaud, R., 1979. R6aolution ~um~rique d'un¢ dq~at~on de diffusion non lin6aire: applic~ation h l'iMiltr~ioa de l'~au dmaales ~xla m:m ~atu~, Presses Umversitaire~ de Grenoble, France, 180 pp.
53
[41 BILAN HYDRIQUE DANS LE SUD-TUNISIEN II. Mod61isation numdrique et pr*vision des ~rm~sferts hydriques en sol stzatifid
M. VAUCLIN et G, VACHAUD
C.N.R,S., Institut de M~canique, 38041 Grenoble Cedex (France) (Re~u le 9 octobre, 1979; r~vise el; acceptr~ le 5 mars, 1980)
ABSTRACT V~uclin, M. et Vachaud, G., 1981. Bilan hydrique dans le Sud-Tunisien, II. Mod61lsation numerique et prdvision des transferts hydriques en sol stiatifiJ. (Water budget in sou them Tunisia, II. Numerical modellir:g and estimation of water m o v e m e n t in multilayered soil.) J. Hydrol., 49: 5E','-73. Numerical simulation of the experiment described in Part [ is presented. The model, b~sed on Richards' equation is tested against experimental results and used to predict the water balance during and after a natural rain. The p a r a m e t r i z a d o n of moisture conter~t at the soil surface due to Deardorff is also applied to the experimental site, for predicting tke water to:~es by evaporation. It i~; shown that such an approach can be useful for determining the evaporation on ~ large scale, in connection with remote-s~nsing techniques particularly using microwa~'es.
Re.SUMS2 On prdsente la simulation de ]'easai ddcrit dans le premier article. Le module fond6 sur l'dquation de Richards est valid6 par comparaison avec ]es r6sultsts e.
iNTKODUCTION L a g r a n d e m a j o r i t d d e s m o d u l e s utilisds e n hydrolo~,,ie e t h y d r o g ~ o l o g i e p o u r s i r n u l e r le c o m p o r t e m e n t d u sol darts te b f l a n h y d r i q u e u t i l i s e n t d e s concepts de r~servoir ou plus simplement des fonctions de transferts obtenues p a r c a l a g e s s u r d e s o b s e r v a t i o n s a n t ~ r i e u r e s . D u f a i l d e la t r e s f o r t e n o n
0022-1694/81/0000-'0000l$02.50
¢.,
i,'J~l Elsevier Scientific ~ubilshing C o m p a n y
84 hn0arit0 qui regit les ~quations de transfert dans la zone non satur6e, il s'av~re que ces mod6les ne peuvent pas etre utilis~s en prediction, car ils r6cessi~ent generalement un recalage en fonction des nouvelles conditions i~itiales et aux limites. Pour pallier cette lacune, nous nous proposons de presenter daps une premiOre phase.~, un modete deterministe du transfert de Peau d~ns 1~ zone con .~aturOe. Ce modOle sera d'abord validd par une simulation de= l'essai ((~crit dans la Partie I (Vachaud et al., 1981), puis utitis~ p o u r pr~dire le ~tevemr d'un episode r~et de pluie observe en dehors de la p6riode d'exp~rinwntation. Darts une deuxi~me phase, on applique une m~thode de pr4dicti~m simplifi~e, mais toujours d~termimste de l'~volution de l'humidit~ des couchvs superficieltes du sol au cours de p~riodes d'evaporation et de plm~ raise a~l point pax Deardorff (1977), qui est compar(~e au module p r e c e d e n t e, aux resultats exp,", mentaux.
SIMULATION DES ESSAIS EXPI~RIMENTAUX
Mod~te ma th~rne,tiq ue Le transport vertical isotherme d'eau pure en milieu rigide, iso~rope et het~rog~ne, partiellement satur~ est mod~lise pax l'~qu~tion de Richards: i~z
~
K(h,z).
- 1
~.,u C~h,,rt t,st ta capacit¢ capillaire d~finie par: C ( h , z ) = cJ/~h pour chaque h a ~ , m ; eI E{t~,z} est Ia conductivite hydraulique qw. est une f o n c t i o n de l'hum;d,le done de la pression par la relation h(0) et de 1 espace. I,'existtmce de strates aux caraet~ristiques h y d r o d y n a m i q u e s diff~rentes ~m~d mulilisable t'equation de Fokker--Pla_ack en raison des discontinuit~s de t~m-ur an eau aux in~erfaces. L'~quation de Kirchhoff (Vauclin et al., !95"9) est trop cofiteuse du point de r u e temps-caicul, en raison d u tr~s ~-and ~iombre d'op~rations num~riques qu'elle e n g e n d r e La presence des coefficients C{h,z) et K(h,z) dont les variations d o n n e n t a l'~q. 1 un caracWre fortement non lin~aire, rend vaine t o u t e recherche de solution analyta~,w t~ot,oJament pour les milieux h~t~rog~nes et impose une r ~ s d u t i o n n~I~o~ictlv par or~iinateur. l')km point de rue formel, le probt~me revient donc a chercher a chaque instant, ia repartition de pression h(z, t) satisfaisant l'~q. 1 darts un milieu poreu~, s ~ t i f i e d o n t on connait la g~om~trie et les relations ph~nomenok,giq~es K(h,z) et C(h,z) pour des conditions inidales et aux limites d(!finies, Lc~, ~ondidons qui ant ~t~ impos~es au sol lots de Fexp~fience d~crite pr~ce~iemment~ ~e ~raduisent mathe!matiquement par les expressions suivantes:
[~3
Otz,Oi = O.(z)~h(z,O) = h . ( z ) ;
t<:O,
z>~O
(2)
55 Cela revient h ,*.e d o n n e r te profil h y d r i q u e initial, a en d e d u i r e le profi! de pression par les relatio~as tz(O,z):
,-,g(h,O)(;~h/~z~ I L ~ )
(b)
= qo(t)
(3)
ce qui correspond h la condit,ion de densite de flux volumique a la surface du sol, soit:
En phase d'infiltration: qo(t) = 2 1 , 0 m m / h r . qo (t) = 19,3 m m / h r , qo (t) = 18,5 m m / h r ,
pour pour pour
0 <~t<3hr. 3 hr. < t < 6 hr. 6 hr. ~ t (.. 9 hr.
(4)
En phase de redistribution: qot :~ = 0
pour
(5)
9 hr. ~< t -( 26 hr.
La surface d u sol 4rant c o u v e r t e p e n d a n t cette p~riode: q0(~) = - - 0 , 1 6 6 m m / h r .
pour
2 6 h r . G t < 52 hr.
qo(t) = --[al +a21n(t--26)+a3{ln(t--26)}2 pour
(6)
+a4{ln(t_26)}3]/(t_26)
5 2 h r . ~ t < 3600 hr.
(7)
avec al = - - 1 , 4 4 9 0 ; a 2 = 1 , 1 6 5 2 ; a 3 = - - 0 , 2 5 6 5 ; a 4 = 0,02326. L'analyse des r~sultats e x p 4 r i m e n t a u x a y a n t m o n t r ~ que te processus d ' ~ v a p o r a t i o n c o m p o r t a i t u n e premiere phase a flux c o n s t a n t (eq. 6), ~t u n e d e u x i ~ m e phase ~ flux d~croissant (~q. 7). Les coefficients de l'eq. 7 r~sultent de la derivation de l'expression analytique ( p o l y n 6 m e de 4~me degr~ en In t) lissant les valeurs e x p ~ n m e n t a l e s de l'~ivaporation cumul6e en f o n c t i o n du t e m p s (volt V a c h a u d et al., 1981, fig. 11). (c) A la pertie infdrieure du m o n o l i t h e , on considere q u e : ' ~ c o u l e m e n t est gravitaire, soit: z -
220cm
8h/3z = 0
pour
t>i0
(8)
II c o n v i e n t de n o t e r que te fait d ' i m p o s e r a la surface d u sol la loi d'~vaporation o b t e n u e e x p ~ r i m e n t a l e m e n t p e r m e t bien d ' e f f e c t u e r u n e simulation des transfer~s r~sultant dans le sol mais n o n u n e prddiction. Nous reviendrons ult4rieurement sur ce d e r n i e r aspect. Afin d ' o b t e n i r les relations c a r a c ~ r i s t i q u e s facilement utilisables darts le module, tes p o i n t s e x p e r i m e n t a u x obt;enus p r ~ c ~ d e m m e n t o n t ~!te liss~s par des expressions analytiques. L'alture ga~nerale des courbes n o u s c o n d u i t choisir l es expressions suivantes: (i) p o u r la conductivit~ h y d r a u l i q u e :
K(O) = A(~)exp(B(OO)
(9)
5~ (ii) p o u r la pression effective:
{I0)
( o l / [ a ~ o + Ihl q(;)] 0(h> = 0~~ + c~~)[0~ ~) - OE
Ot:L 0~;) = la teneur en eau ~ saturation de la couche (i), et 0~ ~, a ~') et/3 sont des pa_ram~tres de calage. Cette demi~re relation dtant limitee au d o m a i n e de mesure des tensiom-Stres (soit entre 0 et --600 cm), on a dgalement choisi une relation d'extrapolation pour'les valeurs de h p o u v a n t exister en phase d'dvaporation, sous la forme propos6e par Brooks et Corey (1964): :-
wm,,~ -- O~
)(hmin/h)
(11)
ou .1'~m,n, '-,u,h<~'~ correspondent au dernier p o i n t de mesure accessible par lea tensiom~tres, et ~ ) et ,k°) sont des param~tres de calage. La m e t h o d e de traitement de la rela~ ~:m O(h) est donn6e par Haverkamp et al. (1978). Les valeurs des d9 ~crents coefficients intervenant ainsi que les coefficients de correlation ccrrespondmlts r, sont d o n n d s dans le Tableau I p o u r les diff~rentes couches. En effet, c o m p t e t e n u d u v o l u m e de m e s u r e de l'humidim~tre neutronique, les ~ourbes h(O,z) et K(O,z) ddtermindes en des sections pr~cises ont, en fait, ere ~ffectdes a des tranches de sol e n t o u r a n t ces sections. Dans ce tableau intervient dgalement la valeur de la conductiv~td ~ saturation mem.[re.e dans la tranche 0--80 cm, a partir de la wdeur du flux en rdgime pc~m~ment a la fin de l'infiltration. On ne dispose pas de mesure de K~ pour les horizons inf~rieurs dans lesquets la saturation du sol n'a pas dt~ obtenue. La d~rivation des relations (10) et (11) d o n n e dgalement les relations C(h,z) reportdes darts la F~g. 1. On n o t e r a que l'horizon superficiel pr.~sente une plus grm~de capacit~ d ' e m m a g a s i n e m e n t , p r o b a b l e m e n t lide h la plus gramh- porosite en raison d ' u n labour ancien. Les horizons gypseux o~t en rewmche ~.mt~capacit~ plus faible. t'.h~ notcra enfin que routes tes relations o b t e n u e s en phase de dess~chement du profit seront utilisees dgalement p o u r simuler l'infiltration. Cela revient a n~,gliger l'hyst~rdsis de la relation pression--1;eneur en eau. Bien que ce p h e n o m e n e puisse 6tre pris en c o m p t e dans la moddlisation (Rubin, 1967), il se heurte ~ la difficult~ exp~rimentale d ' o b t e n i r in-situ les courbes hi0} en infiltration {Vachaud et al., 1981, fig. 5). L'0q. 1 a et~ discr~tis~e en diff6rences finies selon le sch6ma suivant:
"~'~ .... h~
] i
( h'*~-h~+'
1
/~#+'--~'~+'
Vi~ [2,NI
) (12)
ou ~ et ] sont res~.ectivement les indices d'espace et de t e m p s tels que:
:, ~ (~. 2)'3z,
t ~ = ]At
avec Az et At les pas d'espace et de temps, respe~.tivement. C o m m e on p e u t l e constater, il s'agit d ' u n schdma t o t a l e m e n t implicite,
F
~.~ ~,)' i1~
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~400
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.
h (cm d'eou)
Fig. 1. Relations entre ~a eapacit4 capillaire et la pression de l'eau, pour les diff4rentes strafes d'l soL. Fig. 1. Capillary capacity--water pressure head relationships for each layer of soil.
avec linearisation explicite, car les caefficients C et K sent exprimds au pas de temps prec4dent. Les conductivit~s hydrauliques internodales K~ + t,,z sent calculees par la m o y e n n e g~om4trique:
lee systeme d'~q. 12 ainsi lin~aris4 est re,~olu selon l%dgorithme de ~[homas. On trouvera dans ¥auclin et al. (1979), et HaverkamF, et Vauclin (1979), les jus:ifieatlons th~oriques de ces ehoix, gappelons cependant que cette discretisation est conservative et qu'elle assure un b e n compromis entre precision dc la solution et co/~t ~conomique d'obtention. Le pas d'espace a ~t~ choisi Az = 1 cm. Le pas de temps a ~te pris constm~t et egal fi 5 s pendant la phase d'imfiltration et variable ensuite. La loi d'mcrOmentation correspond a la recherche d'un pas de temps m a x i m u m pendant, lequel ta variation de volume d'eau duns une maille d'dpaisseur d.~ et de surface unite soit infgrieure a une valeur fix~e, soit: At
-= r j * l
_
t
J =
O.O05Az/lq.a~x]
(14)
ou q.,..,, est la valeur absolue du flux m a x i m u m duns le profil. Les interfaces separan~ tes differentes couches ont ~ positionn~s de mani~re ~ c e qu'ils ~oient situes au centre d ' u n e maille, soit aux cotes 31,5; 81,5; 91,5; et 10(L5 cm.
59 L-~ t e m p s de ca!cui sur ,'.BM~ 3 6 0 / 6 7 est de 25 min. p o u r simuler 3(~00 hr. d'expdrience.
R4sultats Bien que le code n u m d r i q u e soit com;u p o u r simuler t'infiltration et la redistribution considdrdes c o m m e d e u x ~rocessus jtaxtaposds, nous prdsentons s d p a r e m e n t les rdsultats relatifs b, c~ s d e u x phases par simple souci de clartd dans t'exposd.
In filtra tion Un test interne de validitd du m o d u l e lmm~rique a d ' a b o r d die e f f e c t u e en r u e de vdrifier qu'il conserve la masse en c o m p a r a n t le v o l u m e d'eau infiltrd V~ imposd n u m d r i q u e m e n t au v o l u m e d ' e a u stockd darts le sol V~ corrige d u drainage p r o f o n d , V~,L~ Fig. 2 d o n n e l'~volution d u bilan ~ = (V~ + V#d)/V~ en f o n c t i o n du temps. O n constate que si le schdma est bien c o n v e r g e n t en m o y e n n e t v/-* 1 q u a n d t-+ oo}, il c o n d u i t a u n e surestimation d u brian de masse (-, > 1), d o n c de la solution aux faibles temps, Ce rdsultat d/~ au m o d e de ponddration utilisd, et au choix des dfffdrences finies est l o n g u e m e n t anatysd dans Vauclin et al. (1979). La Fig. 3a et b d o n n e r e s p e c t i v e m e n t les proffls h y d r i q u e s ~(z,t) et de charge h y d r a u l i q u e H(z,t) e x p d r i m e n t a u x et calculds, aux t e m p s 2, 4, 6, .3 12
.
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4
6
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09
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Tf:H~ (he ~resJ
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Fig. 2. I~volution du bilan de m a ~ e en for,ctiondu temps au cours de l'infUtration.
Fig. 2. Mass balance criterion as a fuucti~)n of time for the infiltration.
60
B~C
• 600
~400
-2 O 0
0
0
OIO
T
'd
020
i ~
0 .~0
0~0
'
'
......... L I F~'- "T--" T".........
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~"~-~----J>/
......
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, ..2,d
: , cm]
b
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°
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-,~
a
B'
Fig. 3. Comparaison entre: (a) Ies pzofils hydriques; et (b) de charge hydraulique expdrim e n t a u x et numdriques, au cours de l'infiltration. Fig. 3. Compari°gn between: (a) experimental and numerical water c o n t e n t ; and (b) hydraulic head profiles for the infiltration,
IOO
i
I
50
~-
4
6
g
~o
Fig. 4. Comparaison entre I'evolution du front d'humldificetion zf mesuree t + ) e L calcuflde (--), en fonctie'l du temps. b'ig. 4. Co~aparison betwee,~ experimental (-~-) and numerica.~ (-:) wetting front advance z~, as a fur c t i o n of time.
et 9hr. On peut consid~rer que l'accord entre ies profils est sat£sfaisant, compte ~enu du volume de mesure de la sonde a neutrons nettement sup~rieur a la dimension de la maille de cal::ul. On constate un bon accord (Fig. 4) entre les cin~tiques d'avancer-ent du front d%umidification exp6rimental (obter~u p~x les tensiom~tres) et num6rique (d6cel6 par une variatiort de pression de - - 5 cm d'eau par rapport ~ la valeur initiale).
61
1 Z=O
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F i g 5, C o m p a r a i s o n e n t r e |es v a l e u n , de la densi~6 de flux volum:':lue e x p d ~ i m e n t a l e s (..... ) eL calcul6es ( ~ ) , p o u r les s e c t i o n s z = 2 0 , 40 et 60 c m , a u c o u r s d e l'inf~tl~ tration,
Fig. 5. Comparison between experimental (. . . . ) and numerical ( -) volumetric flux denaity values for the depths z = 20, 40 and 60 cm tot the infiltration. La Fig. 5 pr~sente p o u r les sections z = 20, 40 et 60 cm, la comparakson entre les densit~s des ftux v o l u m i q u e s d~termm~es e x p ~ r i m e n t a l e m e n t et calcul~es n u m ~ r i q u e m e n t par l'application de ta loi de Daxcy. Le mauvais accord p e u t provenir de l ' i n c e r t i t u d e exp~rimenLale sur les teneurs en eau et les flux au voisinage d u front, ainsi que d'~co~J.lements pre[erentieis dane la rnacroporosit~ d u sol.
Redistribution Les Figs. 6 et 7 d o n n e n t les profils h y d r i q u e s et de charge hy, tr~.ulique aux t e m p s 17, 7 2 , 2 4 0 , 630 et 3860 Br. depuis la fin de i'infiltration. ( ' n constate g l o b a l e m e n t un accord tr~s satisfaisant entre profils exp~rinmntaux et n u m ~ r i q u e s jusqu'~ t = 72 hr. E a revanche i'accord est rnoins b o n dans ies horizons p r o f o n d s p o u r t > 72 hr. Deux raisons p e u v e n t expliquer les discordances: it semble d ' u n e par:,, que l'horizon 1 4 0 - - 1 6 0 c m pr~sente u n e discontinuit~ difficilement d~celable lots de la caracterisation h y d r o d y n a m i q u e du sol. De plus, l'influence d u f o n d , dEij~ analys~e dans la pattie expdrimentale, c o n d u i t & u n e surestimation par le m o d u l e n u m ~ r i q u e au-del~ de 180 c m des t e n e u r s en eau et des charges hydrauliques. La Fig. 8 pr~sente la compazaison entre les flux v o l u m i q u e s exp~rimentaux et num~riques ~ travers les sections 4 5 , 1 0 5 , J 65 et 2 2 0 c m . On p e u t c o n s t a t e r p o u r les differentes sections u n b o n accord en phase de dess~chemerit (flux d~croissants). La l~g~re surestimation des flux calculgs ~ partir de la solution n u m ~ r i q u e est essentiellemeut du~ ~ la surestimation des teneurs en eau au f o n d d u m o n o l i t h e a n a l y s ~ ~=¢c~demment. Enfin, la Fig. 9a et b mu,A~c :'.::,,~e des profils h y d r i q u e s , de charge h y d r a u l i q u e , de pressiol~ effective et de flux v o l u m i q u e calcules a t = 0 hr. (fin de l'essai d'infiltration) et & t - 17 hr. {fin de la p~riode de redistribution sans ~vaporation ~ la surface) au voisLuage des interfaces.
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Fig. 6. Comparaison entre les profils hydriques experimentaux (-- -- --) et n u m d r i q u e s ( -) p o u z la redistribution. Fig. 6, Comparison between experimental (....... ) and numerical {. . . . . . . . . . ) profiles for the redistr"bution,
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Fi~. 7. Comparai~on entre les profils de charge h y d r a u l i q u e e x p 6 r i m e n t a u x n u m e r i q u e s (, ) pour la redistribution. Fig. 7. C o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l ( . . . . . the redistribution.
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63
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Term I:'$ I -h
Fig. ~. Comparaison entre les valeurs de la definite" de flux v o l u m i q u e expdrimentams (...... ) et numdriques ( - - ) aux cdtes z = 4 5 , 1 0 5 , 1 6 5 et 220 cm pour la reciistribution. Fig. 8. Comparison b e t w e e n e x p e r i m e n t a l (-- -- --) and numerical ( -) volumetric flux density values for the depths z = 4 5 , 1 0 5 , 1 6 5 and 2 2 0 c m for the redistribution.
On peut constater que le m o d e l e num~rique considdrd assure la continuitd de la pression, d o n c de la charge hydraulique, et du flux au passage d'un interface, c o m m e cela d o i t ~tre p h y s i q u e m e m . En revanche, on notera la discontinuitd des profils d'humidit~, en raison des relations h(~) diffdrentes de part et d'autre des interfaces. Les ruptures de pente des profils H(z} et h(z) proviennent de variations de conduc~ivitd hydraulique en liaison avec des dtats hydxiques diffdrents. Compte t e n u des caractdristiques h y d r o d y n a m i q u e s des diff~rents horizons, it n'a pas dtd constatd d'accumulation d'eau aux interfaces, c o m m e cela pourrait se produire darts d'autres situations.
Conclusions Le modgle num~rique proposal, d o n t la valJditd a ~t~ prouvde en infiltration pour des sols h o m o g g n e s (Vauclin et al., 1 9 7 9 ) permet 4galement de simuler trbs convenablement les transferts d'eau (infiltration et redis~ribu. tion avec ou sans dvaporation) en milieu stratifi~. Les grands principes physiques tels que conservation de la masse, continuith de la pressio~ et du flux aux interfaces ne sont pas transgresses. La comparaison avec les r~t~ltats expdrimentaux montre que les erreurs numdtiques sont du m ~ m e ordre, de grandeur que les incertitudes exp~rimentales. Cela nous semble constitue~: ,m
64
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Fig. 9. Profil~ hydriques (0) de charge hydrauliques (H), de pre~sion effective {h) et de deasit6 de flux volumique (q) ealeul6s: (a) a la fin de l'infiltratior.; et (b) 17 hr. apr~s. Fig. 9. Numerical water content (0), hydraulic head (H), water pressure head ~h), volumetric flux density (q) profiles: (a) at the end of the infiltration; and (b) t7 hr. later. faisceau de raisons suffisantes p o u r utiliser ce m o d ~ : e en r u e d ' u n e pr4diction des transferts.
PRi~VISION DU DEVENIR, D %INE PLUIE NATURELLF~
Position du probl~me N o u s nous p r o p o s o n s m a i n t e n a n t de pr~dire pax !e m o d u l e n u m ~ r i q u e pr~c~d e n t , l'infiltration et la r e d i s t r i b u t i o n de l'eau darts le m o n o t i t h e suite/~ u n e pluie de 57 m m p e n d a n t 16 hr., survenue hors de l i p e r i o d e d'essai e t d o n t l ' h y ~ m g r a m m e est disponsible. N o u s d i s p o s o n s ~galement d ' u n profil hyd r i q u e initial avant la pluie et d'.un profil mesur~ 8 j o u r s apr~s. It ne s'agit plus ici d ' u n e simple simulation p u i s q u e la lo.i d ' ~ v a p o r a t i o n en f o n c t i o n d u t e m p s faisant suite /~ la pluie n'est pas c o n n u e , c o m m e lots d e l ' e x p ~ r i m e n t a t i o n
65 precddente. De plus, il a falIu modifier le trai%ement precedent de la condition ~ la limite sup~rieure p o u r tenir c o m p t e d ' u n e possibilit~ d'intensit~ de pluie plus grande que la capacit~ d'infiltration du sol, ¢ o m m e cela est frdquent en zones arides ou semi-arides. M i s e en o e u v r e d u m o d u l e
Le traitement de la condition ~ la surface du sol a dtd ainsi effectu~: (1) Pendant l'4pisode pluvieux, l'dw~poration est suppos~e n utle, (2) Selon la valeur de I'intensit4 de la pluie R par rapport h l'infiltrabflit4 du sol f, le flux q0 (t) impose ~ la surface est 4gal a l'intensit~ de la piuJe sJ R ~ I, ou ~ l'infiltrabilit~ du sot si R > I. Cette dermere valeur est d~finie par Hfllel {1971) sous la forme: I ----
}$s/2 (h)(h3/A,z -- 1)
(15)
ot~ h 3 est la pression de l'eau darts le sol ~ Az en dessous de la surface; et Ks/2 est la conductivit~ hydraulique ~ A z / 2 de la ,,surface. Darts ce dernier cas, il y a emmagasinement possible de t'eau ~ la surface d o n t la capacit~ m a x i m u m est fixc~e arbitrairement ~ 5 r a m . Le surplus eventuel d'eau provoque le ruissellement. (3) A la pluie succ~de un r~girae d'4vaporation qui d~pend de l'~tat anterieur de la surface: (a) en presence d ' u n e lame d'eau a la surface, un~ partie s'~vapore a un taux fix4 par les conditions climatiques, et l'autre pattie s'infiltre dans le sol ~ u n flux q o ( t ) = I. Ce processus se poursuit jusqu'~ la disparition de la lame; et (b) en l'absence de lame d'eau a la surface, le r4gi_me d'~vaporation est ~tabti imm4dia~ement ~ ur,t taux qui d~pend des conditions ctimatiques et des propri~t~s conduetrices du sol. Le traitement rigoureux et c o m p l e t de c¢ probl~me n4eessiterait la prise en compte des transferts couplds masse-chaleur entre sol et atmosphere (Van Bavel et Hfllel, 1976; Vauclin, 1978). Nous utilisons ici une approche simplifi4e fond~e sur la loi d'~volution de l'4vaporation en fonction de l'~tat h y d r i q u e de surface etablie pr4c4demment. Les conditions initiales et aax limites impos4es se traduisent des lo:¢-s par les expressions suivantes: (a)
O(z,O) = O . ( z ) + h(z,,O) = h n ( z ) ;
r ": 0,
z i> 0
(16)
Le profil hydrique initial a 6t~ o b t e n u par la conde ~ neutrons le 18 octobre 1978, jus~e avant l'~pisode ptuvieux analys& (b) A la surface du sol: (i) Pendant l'6pisode pluvieux 0 ~ t < 16 hr. on dispose de l'hy&ogrmnme /~(t) donn~ darts la Fig. 1~. Le tim: q o ( t ) h la ~,urface du sol est d~termin~! par le module h partir des coqsid~rations pr~c~dentes. (ii) Ensuite, l'~!vaporation est parame!tris~e selon l'expression (voir Vachaud et al., 1981, fig. 14):
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Fig. 10, a. Hy~togramme, correspondant ~tla pluie naturelle de 57 m m pendant L6 hr. b. Comparaison cnt-e les teneurs en eau olumiques de surface, calcul6es par ~e module num~r]que et le modele de Deardorff, au cours de l'~pisode pluvieux. Fig. I0. a, Hyetogram cort'esp ,Ldingto the 57 m m of natural rain during 16 hr. b, Comparison between volumetric water contents calculated at the surface by numerical m(~el and w~th Deardorff's model, for the rain event.
qo(t)
=
--eo
pour
0o K 0 c = 0 , 2 3 c m 3/cm 3 [
q~(tl
=
--e e (7,350(~ -- 0,69)
pour
0,094 K 0 0 ~ 0¢
qo(t}
=
0
pour
0o < 0,094 em 3/cm 3
1(17)
e0 reprdsente le taux d'dvaporation imposd par le micro-climat. Cette v'aleur est suppos~.e '~.L~ coastante ~ 4 m m / j o u r et uniformdmen$ rdpartie st~r la jourv.de durant cette pdriode. 00 est l'humidit~ de surface assimil~e ici/~ l'h~:midit~/t 10 cm. (t') Au fund du monolithe, on suppose l'dcoulement gravitaire. La solution num~rique a dt~ obtenue par le m o d u l e p r d e d d e m m e n t ddcrit avec A z = i c m e t At constant pendant l'dpisode pluvieux et dgal ~ 5 s, variable ensuite; ]e temps de ealcul a did, sur I B M ~ 360/67, de 188 s, O n a portd (Fig. 11) ics profils hydriques ca~culds a la fin de la pluie, puis i , 2, 4 et 7 jours aprbs. Ce dernier profil est ~galement compard au
ptofil mesurd a c e t t e date. On notera essentiellement tes points suivants: D'u.ne part, on retrouve darts ta variation de stock entre le d e b u t et la fin de [a plvie, toute la piuie cumul~e, c o m m e darts le case sLmuld pr6c~dernment avec q0 constant. D'autre part, le stock prddit restant darts le profil en execs du stock initial (surface hachuree Fig. 1 1 ) v a u t 42 ram, alors que la valeur me,urge est de 47 ram. Ces rdsultats nous semblent trbs satisfaisants. [ls coafLrment la validit~ du module num~rique proposd pour prddire les
67
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0 20
0 30
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7. .........
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~O'C
Fig, 11, Profils hydriques calcu,ds £ la fin de l'dpisode pluvieux, 2, 4, 7 jours al~t@,~ Los cr,~/x reprdsentent le profil experimental mesurd 7 jours apr~s la fin de la pluie. Fig. 1 l. Numerical water content profiles at 0, 2, 4 and 7 days after the end of the rainy event. Crosses correspond to the experimental profile measured 7 days after the end of the ~ain.
transf~,r!s ~ u n coflt acceptable et m o a t r e n t l'mt@r@t qu'il p e u t y a~oiz paramatriser le dess~chement d ' u n sol nu par une loi reliant t'~vaporation a l°humiditd superficielle, ce qui fait l'objet du d e v e l o p p e m e n t suivant.
ESSAI DE PARAMI~TRISATION DE L'HUM[DITI~ DE SURFACE D'UN SOL NU
Plut6t que de pr~dire des pertes en eau du sol par avaporation po~z une approche fond~e zur les tr'msferts de masse et de chateur entre le sol et !es basses couches atmosph~riques, et r.'~cessitant ta caract@risation hydrod y n a m i q u e et thermique du sol et ta discrdtisation des dquations de transfert, nous nous proposons maintenant, dans un but de simplification, d'utiliser ,an mod~te otl le sol est raduit ~ une seule tranche, et ot~ les ~changes sol-atmosphere sont sch~matis@s par une loi plus m6caniste que la relation empirique pr6cddemment utilis6e pour relier te taux d'~vaporation h la teneur en eau de surface. Le mod~Ie a ~t~ @labor@ par Deardorff (1977). Rappels du moddle de D e a r d o r f f
Par analogie avec le c o m p o r t e m e n t thermique de la surface d ' u n s¢~l nu ddveloppd par Bhumralkar (1975)" et Blackadar (1976), Deardorff (1977) moddlise l'dvolution de l'humiditd de surface d ' u n sol par le syst~me d'equations suivant: (a} Loi d'd~)otution de l'humiditd: ~00 = --C1 [ e ( t ) - - P ( t } ] / d l -- C2 [ 0 0 ( t ) - - 0(~)]/7
(18)
oh Ct et C2 sont deux con~tantes adimensionnelles; e(t) est le t a ~ : d'6vaporation; V(t) est l'intensit~ de la pluie; 00 est la teneur en eau superficielle;
68 est la teneur en eau m o y e n n e sur une certaine ~paisseur de sol d~ ~d t eat la p r o f o n d e u r ~ laquelle les variations diurnes d'humidit~! ne se font plus sentir; et Test la constante de temps. Le premier terme de droite d6crit l'ass~chement ou l'numidification de la surface quand les i n t e n s i t ~ d'~vaporation et de pIuie ont des valeurs significatives. Le second terme tend h r6tablir 0 o d'une mani~re exponentielle vers la teneur en eau m o y e n n e 0 de la couche superficielle de sol, en l'absence de pluie ou d'~vaporation. On suppose de plus que 0 est donn6 par l'~quation de conservation de ta masse, ~crite sous la forme:
~O/~t = - - [ e ( t ) - - F(t)]/d~
(19)
ce qui suppose que le flux ~ la p r o f o n d e u r d: est n~gligeable devant e(t) ou F(t), cela impose une limitation h la dur6e p e n d a n t Iaquelte le module peut etre utilis~. Nous revievdrons ult~rieuzement sur ce point. (b) Loi d'dvaporatic, Deardorff suppose que le flux d'~vaporation est donn~ par les relations:
e(t) = O ° ( t ) .
O~ eo(t)
v~ur
Oo ~0¢ (20)
e(t) =: eo(t )
pour
tOo > 0 ¢
OCl 0¢ est une teneur en eau critique; e t eo(t) est le taux d'dvaporation potentielle au jour t, dont la vaieur est fix~e par les conditions climatiques. On constate que ]es ~qs. 20 ont la m~me structure que les *qs. 17. La difference essentielle provient du fait qae le module de Deardorff p e r m e t de pr~dire d ' u n e manidre simple l'~volution en fonction du temps de la t e n e u r en eau de surface (~qs. 18 et 19) alors que dans n o t r e module, les ~qs. 17 doivent etre coupldes aux ~qua~ions de transfert de l'eau dans le sol, c o m m e cela a ~t~ montr~ prec~demment, Deardorff a valid~ ce module sur les donn~es obtenues par Jackson (1973) sur un sol limoneux (Adelazlto Loam). Le calage sur les mesure5 de 00 en fonction du temps l'a conduit aux valeurs suivantes: C2 -
0,9
(21) pour
Oo/Oma~ >t 0,75
(22)
C i = 14 -- 22,5(0o/0.,~ -- 0,15)
pour
0,15 < O~/Or~ax < 0,75
(23)
C~
pour
O0/Om~x~< 0,15
(24)
Ci
= 0,5
=
2,1
ou On,~ est }a teneur en eau correspondant a la "capacit~ au c h a m p " . La condition (22) correspond au premier stade de dess~chement d'u:l sot (r~gime potentiel impos~ par le climat). La condition (23) traduit le rdle du sol qui tend ~ limi~r l'~vaporation en raison de la diminution de sa conductivit~ hydraulique. La condition (24) correspond aux transferts en phase vapeur.
69 Miss en oeuvre du module p o u r ie site de Gab~s Cas de l'dvaporation Ce m o d e l e a et~ appliqu~ p o u r pr~dire l'~vaporation p e n d a n t :es 9 j o u r s qui o n t suivi le d ~ b u t de l'essai d e redistribution], site d ~ c o u v e r t avec les d o n n ~ e s suivantes: (1) En l'absence de m e s u r e s de .+.eneur en eau d e surface, il n ' a pas ere possible d e caler te m o d u l e p o u r o b t e n i r C1 et C2. A titre d'essai n o u s avons utilis~ les vateurs propos~es p a r D e a r d o r f f . (2) 0 m ~ a ~t~ choisi c o m m e la valeur c o r r e s p o n d a n t au m a x i m u m d e la capacit~ capillaire de la l e r e strate, soit 0 m ~ = 0 , 3 1 c m ~ / c m ~. C c m m e D e a r d o r f f , n o u s avons pris 0¢ = 3/4 (~m~, soit 0 , 2 3 c m 3 / c m ~, ce quJ corr e s p o n d a la valeur miss en ~vidence dans la fig. 14 d e V a c h a u d e t a l . ( 1 9 8 1 ) . (3) La p r e s e n c e d e stratifications c o n d u i t ~ p r e n d r e les valeurs m o y e n n e s d ' h u m i d i ~ sur d~ = 30 cm; les p a r a m ~ t r e s d~ et r sont pris selon E ear{lorff, egaux ~ 10 cm et 1 j o u r . {4) L . s variations de l'~vapc, ration p o t e n t i e l l e , ~ l'~chelle d e la jo ,u_rn~e o n t 6t~ a~simil6es a u n e sinuso~de d o n t la valeur m o y e n n e est 4 m m / j o u r . C e t t e valeur a ~t~ gard6e c o n s t a n t s d u r a n t les 9 j o u r s d e simulation. C e t t e h y p o thbse se t r o u v e justifies par t,~s m e s u r e s d e rayc, n n e m e n t n e t qui m o p , t r e n t que ces journ~es s o n t c o m p a r a b i e s en t e r m s d'~nergie disponible. (5) Les ~qs. 1 8 - - 2 0 o n t et6 r~solues avec u n pas d e t e r a p s horaire. Les valeurs initiales s o n t les suivantes: 8 0 ( 0 ) = 8 ( 0 ) = 0 , 2 5 5 0 c m 3 / c m ~, qui c o r r e s p o n d e n t au profil h y d r i q u e mesur~ en d ~ b u t de r e d i s t r i b u t i o n avec e v a p o r a t i o n (voir Fig. 6, T = 17 hr.). O n c o n s t a t e ( F i g 12), q u e i ' a c c o r d e n t r e les valeurs 0(t) calcul~es par les 0
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Fig. 12. Comparaison entre lea valeurs de la teneur en eau moyenne dans la tranche de sol 0--30 cm mesurees (A) et calcul~es par les mod~tes num~rique ( - - ) et de Deardorff (. . . . ) au cour~ de la redistribution avec dvaporation. Fig. :2. Comparison between measured (A) and calculated mean volumetric water conter, t values for the layer 0--30 am for the redistribution with evaporation through the surfm e. Calculated values for the numerical model ( ") and for Deard arff's model (-- -- --t.
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Fig, 13. Comparaisoa e n t r e les taux d'dvaporatlon journali6re mesurds et calcuR" par le L'n~dd!ede Deardorff pour l'Adelanto Loam et le sable de Gab~s. Fig. 13, Comparison between daily rates of evaporation measured and calculated by D, ardorff's model for Adela~ -, Loam and Gab6s Sandy Soil. deux modules et ddtermindes a partir des mesures e x p d r i m e n t a l e s tt 10, 20 ,,t 30 cm est relativement satisfaisant. M a l h e u r e u s e m e n t , on ne dispose pas .N mesures de 00 pour les c o n f r o n t e r aux valeurs calcul4es, Les oscillations ohserv4es sur les rdsultats d u m o d u l e de D e a r d o r f f p r o v i e a n e n t de l'allure si ~usol,,a~e '~ ' impos4e ~ la loi e0 (t), La I,~ig. i 3 d o n n e la c o m p a r a i s o n entre les ~vaporations journa]i~res pendant 9 jours calculdes par ['~q. 20 et celles mesur~es par le bilan h y d r i q u e , IA encore, l'accord est tr~s c o r r e c t et la dispersion des p o i n t s par r a p p o r t a la premiere bissectrice est. du m e m e ordre de grandeur que p o u r les r~sultats obtcnus pat" D e a r d o r f f dans son article, l.a Fig. 14 prdsente l'dvolution des flux h la surface e t a 3 0 c m o b t e n u s c xpf~riment~tlemen~ par le bilan h y d r i q u e . O n c o n s t a t e que j u s q u ' a 1 2 0 h r . , une lame d'eau ~chappe a l'dvaporation par p e r c o l a t i o n (le flux a 30 c m est positif). Au deltt, au contratre0 a 3 0 c m , il y a une c o n t r i b u t i o n des c o u c h e s profondes a l'dvaporation (flux d e v i e n t n~gatif). Cela explique la surestimation (Fig. 13), des fortes valears d ' e v a p o r a t i o n et la sous e s t i m a t i o n des faib/es valeurs par le modele, ot~ l'on suppose que le flux ~ 30 cm est t o u j o u r s ntd. C'est une lhnitation i m p o r t a n t e de ce m o d a l e . O n n o t e r a : e p e n d a n t que tes conditions expdrimentales imposdes (infiltration de I 8 0 m m en 9 h r . ) , ~mt c o n d u i t a des valeurs peu rdalistes p o u r le flux a 30 c m e n c o n d i t i o n nat urelle. : a~ ~ ; ta pluie.
Cette paramdtrisation a e g a l e m e n t ~te utilisde p o u r pr~dire l'dvolution en f o n c t i e n du t e m p s d e 00 lors de la pluie de 57 m m consid~r~e p r ~ c ~ d e m m e n t . Les valeurs des diff~rents param~tres i n t e r v e n ~ n t dans les 4qs. 18 et 19
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m~tatement aux e o ~ z ~--0 et 30 era. Fig 1,t, Evo|ution of experimeat~| ~,~l~m~ti¢ f~u~ de.n~L~ ~ f~ n c t ~ ~f~ keae¢~tvut~i~ at the depth~ • ~ 0 and 30 cm. restent inehang6es. Le~ valeur~ ini~iales so~t 00{0~ = 0(0) = 0 , I 0 2 0 era ~/cma~ On suppo~, de plu~ que l*¢~vaporation e ~ n u l e p e n d a n t ia pluie qui e~t tombbr la n m L On a r(-~porte (Fig, 101, i'evolutio~ c o m p ~ e de O~,(t) catcuh~e pat le module de Dea~dorff et prddite par no~e mod~|e nume~dque, p e n d a n t l ' 4 p i s ~ e pluvieux, Etle arner, e ies cGm,~entaire~ ~uivantz: (1) Les ckn~ti.q,.~e~ d'humidtfication de |a ~trface du sol o b t e n u e s par les detax modules sont comp~rables jusq,, a 360 rain. environ. On note ~m aeart de t'ordre de 0,01--0,02era 3/cvn ) . (2) En revanche, le modele de Deasdorff t e ~ i t u e real le~ pedode~ d ' a ~ sbchement de ia surface qui ~e produ.i~ent entre 370 et 490 rain., dMne pact, entre 540 et 590 rain. d'autre part. A notre avi~, ce&~ provient du chotx d~, la con~tante de ~ r a p s r qul dolt et~re trop ~levee pour t ' ~ p t ~ d e pluvieux. It y aurait lieu d 'effectuer un cala~, diffOrent du modele pour |a ph~ie. Le modOle de Deardorff diverge a partix de 600 ram. par rapport a notre mod~.le, ce qui correspond a l'arrivee du front d'humidificat~on a z = 3 0 c m .
CONCLUSION
A
GEN~,RALF~
la lumi~re des rO~altata prdsentos dans cette ~tude, les conclusion~ ~uivantm~ peuvent ~!tre d~,~ag~e..~, La me~hudologie exp~rirnentaie u t i i ~ e a perm,~ d'obtenir les caract~ristiques hyd~:odynamiquesde chaque couche const2tttant un profil peklologique stratifi~ et par la m~ae de quantifier, a tout in~mt, les tran~fert~ d'eau ~t travers chaque horizon, De,~x consdquer, ees importantes en d~coulent: d ' u n e
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part, il est possible d'effectuer des ~ilans hydriq~l~ r ~ t ~ ~ r m~e v~rtlt:~*~;e~ d'estimer n o t a m m e n t los possibilites de recharge ~:i~ h ~ i ~ o t ~ ~ , t 0 ~ , ~ d'augre part, en presence de solut~t, ]a connai,~sanec des flu~ h.~¢drttl~te~ |*#~m e t d'effectuer des bilans de mati~re, couche par c~uche et de mieux uppre~. hender les cin~tiques des transferts. L'experim,:~r~tation a aussi permis d'~tabtir, p o u r le site consid~.~r~ ~me h** d'~vaporation du t y p e e = f(0 0 )e o o/; e et e o sont r e s p e c t i v c m e n t Ie~ ~a-x d'evaporation r~elle et potentielte, et oti f(Oo) est une fom:tion ti~-~¢~e croissante de la teneur en eau de s ~ f a e e 0o. Ce r0.sultat o b t e t m po,,r tm ~,~,1 nu, n'est pus extrapolable en presence d ' u n e v6g6tation. Noas avons ensuite montr~ que deux appr~ehes sont off~-,rte~ ptJt~r pr~Mm, les transferts engendr~s par d'autres conditions aux limites. La premiere m e t h o d e , plus satisfaisante d ' u n p o i n t de vue theorictue~ maL~ plus coateuse, eonsiste a r6soudre l'~quation c:e Richards avec une di~:retisation fine du aol, pCmr des c o n d i t i o n s aux limites qui sont a la surface du sol, soit un hy6togrm~ !he, soit une loi d'~vaporation, et en profo~Meur un ecoulement gravitaire La contrainte essentielle de c e t ~ m ~ t h o d e es~. de e .aracteriser prealablement le sol par horizons representatifs. La seconde m6thode, beaucoup plus globule, con;iste a ne con~iderer qu'une seule tranche d~, sol, limit~e h une certaine 6 p a i s ~ u r p o u r taqm4te les Oehanges sol--atmosl~ :bre sont param~trisds. Cette m ~ t h o d e , beaucoup plus rapide en temps caleul que la prec6dente presente deux t i m i t a t m n s importantes. Elle ne s~applique que si le flux a travers le f o n d de la tranche eonside¢oe est nul ou tres faible; elle n~eessite une d~termination den paramOtres par ealage sur des valeurs exp6rimentales. Duns te eas etudi~, il semble que h,s parmnetres obtenus pour i'essai de Jackson (1973) en Arizona s'appliquent bien. Ceci peut provenir d ' u n e similaritO entre les sols ,~t les climats, mais ee rt~suttat ne peut btre g6n~ratis~. tt nous p~a'ait impo!'~ant de c o n t i n u e r duns la vole propos6e par Deardorff0 ~.,n raison n o t a m m e n t du d 6 v e l o p p e m e n t des techniques de t616d~t, ection, plu~ particutiO,r e m e n t en hyperfr~qv, ence (Ulaby et Dobson, 1977;Sci:mugge, 1978) c!ui p e r m e t t e n t de caraet~riser l'humidit~ de surface. Une 6rude de sensibib~.,~ r-,~tant sur les param~tres C~ e~ C2 est neeessaire p o u r d e t e r m i n e r si ce type de module est morns sensible ~ l'effet de variabilit~ spatiale que ~,- module de Richards, en rue de leur utilisation ~ u n e echelle c o m p a t i b l e ,~w': [es mail]es de ealeul des modules hydrologiques e t / o u de circulation atmosph erique.
i~1BLIOG RAPHIE .Bh~ mralkar~ C.M,, i 9 7 5 . Numerical e x p e r i m e n t s on the c o m p u t a t i o n o f gl"~,urM ~ur['~;ce 'Lem~era~,ure in an atmospheric general circulation m o d e l , J, App], M e t ~ r o t . . I4: 246 -1258.
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