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Dynamics of Bloch Electrons
CHAPTER
Dynamics of Bloch Electrons
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CHAPTER OUTLINE 8.1 Semiclassical Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.2 Velocity Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 8.3 k · p Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.4 Quasiclassical Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.5 Effective Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.6 Bloch Electrons in External Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.6.1 Time Evolution of Bloch Electrons in an Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.6.2 Alternate Derivation for Bloch Functions in an External Electric and Magnetic Field . . . . . . 252 8.6.3 Motion in an Applied DC Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.7 Bloch Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 8.8 Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.9 Zener Breakdown (Approximate Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.10 Rigorous Calculation of Zener Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.11 Electron–Phonon Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.1 SEMICLASSICAL MODEL We determined in Chapter 4 (Eq. 4.45) that the eigenfunction of the Hamiltonian of an electron moving in a crystalline solid with a periodic potential VðrÞ is a Bloch function ψ nk ðrÞ that can be expressed as .
ψ nk ðrÞ = eik r unk ðrÞ,
(8.1)
where unk ðrÞ is the periodic part of the Bloch function. Here, n is a band index, k is a vector in the first Brillouin zone in the restricted zone scheme but extends to infinity in the periodic zone scheme, and unk ðrÞ has the unique property that it remains unchanged when translated by any direct lattice vector Ri (Eq. 4.46), i.e., unk ðr + Ri Þ = unk ðrÞ:
(8.2)
Hψ nk ðrÞ = εn ðkÞψ nk ðrÞ
(8.3)
Thus, the Schrodinger equation
Physics of Condensed Matter. DOI: 10.1016/B978-0-12-384954-0.00008-6 © 2012 by Elsevier Inc. All rights reserved.
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CHAPTER OUTLINE 8.1 Semiclassical Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.2 Velocity Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 8.3 k · p Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.4 Quasiclassical Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.5 Effective Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.6 Bloch Electrons in External Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.6.1 Time Evolution of Bloch Electrons in an Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.6.2 Alternate Derivation for Bloch Functions in an External Electric and Magnetic Field . . . . . . 252 8.6.3 Motion in an Applied DC Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.7 Bloch Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 8.8 Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.9 Zener Breakdown (Approximate Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.10 Rigorous Calculation of Zener Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.11 Electron–Phonon Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.1 SEMICLASSICAL MODEL We determined in Chapter 4 (Eq. 4.45) that the eigenfunction of the Hamiltonian of an electron moving in a crystalline solid with a periodic potential VðrÞ is a Bloch function ψ nk ðrÞ that can be expressed as .
ψ nk ðrÞ = eik r unk ðrÞ,
(8.1)
where unk ðrÞ is the periodic part of the Bloch function. Here, n is a band index, k is a vector in the first Brillouin zone in the restricted zone scheme but extends to infinity in the periodic zone scheme, and unk ðrÞ has the unique property that it remains unchanged when translated by any direct lattice vector Ri (Eq. 4.46), i.e., unk ðr + Ri Þ = unk ðrÞ:
(8.2)
Hψ nk ðrÞ = εn ðkÞψ nk ðrÞ
(8.3)
Thus, the Schrodinger equation
Physics of Condensed Matter. DOI: 10.1016/B978-0-12-384954-0.00008-6 © 2012 by Elsevier Inc. All rights reserved.
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