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Sur des Invariants Caractéstiques des Groupes Semi-Simples
MATHEMATICS
SUR DES INVARIANTS CARACTERISTIQUES DES GROUPES SEMI-SIMPLES PAR
HANS FREUDENTHAL (Communicated at the meeting of March 28, 1953)
I. Le produit interieur defini dans un groupe de Lie G au moyen de la forme quadratique de Cartan est un invariant du groupe adjoint: ([A; B], 0) = (A, [B, 0]).
Par consequent la forme cubique (A, B, 0) =([A, B], 0)
est antisymetrique dans toutes ses variables. Elle est aussi invariante par rapport aux transformations du groupe adjoint: ([D, A], B, G)
+ (A,
[D, B], 0)
+ (A, B,
[D, 0])
([D, A], [B, 0]) + ([D, B], [0, A])+ ([D, 0], [A, B]) (D, [A, [B, 0]]) + (D, [B, [0, A]])+ (D, [0, [A, B]])
=
0,
2. Theoreme I: Si G est semi-simple et depourvu de facteurs directs de rang 1 (c'est-a-dire localement isomorphes au groupe lineaire special de deux variables), le plus grand groupe lineaire connexe conservant la forme gauche cubique (A, B, 0) est le groupe adjoint· de G. Si le rang de G est l, la forme cubique equivaut au determinant, qui est invariant par rapport a toutes les transformations speciales lineaires a trois dimensions; done dans ce cas le theoreme cesse d'etre vrai. La demonstration est contenue dans les numeros 3-8. 3. Soit@ le groupe infinitesimal de G. Nous choisissons un sous-groupe regulier maximal abelien ~ et, en faisant usage des notations bien connues 1 ), nous ecrivons les lois de QS sous la forme
[H, EJ = aEa I [Ea. E_J = Ha I [E0 , Ep] ~ Na,pEa+IJ (a+ {J =/= 0), (H 0 ,Hp) = -(a, {J) 1 (H, Ea} = 0, (E0 , E_a) = -1, [~, ~]
=0
I
Na,IJ = N-a,-11· 1) H. WEYL, Math. Zeitschr. 24, 366,374 (1926); B. L. v. Zeitschr. 37, 446-448 (1933).
D. WAERDEN,
Math.
91
On en deduit pour la forme cubique:
(Ha, Ep, E_p) =-(a, {J) (Ea, Ep, Ey) = -Na,fJ (a-t {3
+y =
0),
les autres combinaisons etant nulles. Comme il n'y a pas de facteurs de rang 1, on peut trouver pour chaque forme-racine a une forme-racine independante {3, tel que (a, {3) =I= 0. 4. Soit I une transformation lineaire qui Jaisse invariante la forme cubique. Il suffit de demontrer que 1 fait partie du groupe adjoint, pour des I d'un voisinage (aussi petit qu'on veut) de l'identite. Les elements generaux de @ remplissant un ensemble dense ouvert, on peut choisir H0 tel que H 0 et I(H0 ) sont generaux. ~ sera suppose d'etre le groupe maximal abelien contenant H0 • La relation
(A, B, 0) = 0 pour des A, B fixes et tous les 0 equivaut a [A, B] = 0
parce que le produit interieur est non-degenere. Done la commutativite est une relation invariante par rapport a I et par consequent I(~) est aussi un sous-groupe regulier maximal abelien. Si I ne differe pas beaucoup de l'identite, il y a une transformation g du groupe adjoint, qui transforme ~en 1(~). Alors g-11conserve la forme cubique et le groupe~· Il est permis de supposer que I possede deja cette propriete. Le plan engendre par Ea et E_a est appele ~a· Les elements A de sont caracterises par la propriete suivante: Les HE~ qui satisfont a [H, A] = 0, remplissent un espace a l-'- 1 ou l dimensions, l etant le rang de @. Ce fait implique l'invariance de l;/(~ +~a) par rapport a I et par consequent celle de chaque ~ + ~a individual, si I se trouve dans un voisinage assez petit de l'identite. Done 5.
ld (~ + ~a)
(1)
I(HA) = HAl•
(2)
I(Ea)
=
PaEa
+ qa E_a + Ha,
ou A., A.', a. sont des combinaisons lineaires de formes-racines. 6.
Il est permis de supposer que
(3}
pour tous les a, done (4)
!Pal > i' Jqal < f,
92
En appliquant la transformation (1)- (2) (HJ.> Ea, E_ 0 )
on trouve
a
-(J., a)
=
(5)
done,
a cause
de (4):
(J., a)= 0 implique (J.', a)= 0 pour tousles a. Par consequent A.'= eA., ou e est un constant dont on peut supposer que
11-el < J.
(6) (I) peut etre rem place par ( 1')
f(H)
=
eH
et (5) par (5')
7.
a
Le meme raisonnement applique
conduit
(Ea, Ep, E_p)
a
=
0
(PpP-P- qtfl-p) (a, {3)
=
0,
si a et {3 sont des racines independantes, done (voir (4))
(a, {3)
(7)
o.
=
a etant donne, on peut trouver une forme-racine y, tel que a+ y est une forme-racine (voir la fin de 3). On a (a, y)
done
(a, a
0,
=
+ y) =
0,
(a, a)= 0.
Par consequent (7) vaut pour chaque forme-racine {3. Puisque a disparait, (2) peut etre simplifie: (2')
/(Ea)
=
PaEa
+ qaE-a•
De plus, si & est compose, chaque facteur individual est invariant par rapport a f, done & peut etre suppose simple et d'un rang l > 1. 8.
Lea memes considerations appliquees (Ea, Ep, E,)
conduisent (8)
(9)
a
(Ea, Ep, E_,)
=
0
(a+ {3 + y
+ qaqtfl, = l, PaPtfl-y + qaqpP-y = 0.
PaPpP,
Done, tenant compte de (5'): (10)
-Na,P•
=
a =
0)
93 Par consequent, si a+ fJ + y = 0 et si l'un des qa, qfl, q'Y disparait,-tous les trois disparaissent. & etant simple, on peut relier deux formes-racines quelconques par une chaine de formes-racines a 1, ••• , ar, tel que pour tous les i, a, + a.+l est une forme-racine. Done qa = 0 pour un a special implique qa = 0 pour tous les a. Si a + fJ + y = 0, on a done et si qa =I= 0: (11) done qaq-a est independant de a. En multipliant qaqfl = -eq-Y et q_aq-fl = -eqy, et en tenant compte de (11), on trouve qaq-a = (! 2 • A cause de (3) et (6) on sait que
lqaq-al <
a'
1!?2 1 > 6'
ce qui est contradictoire. Done tous les qa disparaissent et I(H)
= eH,
I(Ea)
I
a la forme
= PaFla,
ou, d'apres (7) et (8), 1
Mais alors
PaP-a = Q,
(!3 =
done
(!
Cela veut dire que trivial). 9.
I
(a+ fJ + y
PaPfiPy = 1
=
0).
1,
= I.
est un automorphisme (a savoir l'automorphisme
La forme binaire, biquadratique et symetrique
([A, B], [A, B])
(12)
est un invariant du groupe adjoint: ([[0, A], B], [A, B]) + ([A, [0, B]], [A, B]) = ([0, [A, B]], [A, B]) = 0. Theoreme II: Les con~tions du tMoreme I etant remplies, le plus grand groupe lineaire eonnexe eonservant la forme (12) est le groupe adjoint de G. La demonstration est contenue au numero suivant: 10. Si f conserve (12), il conserve aussi Done
([A, B], [A, 0]) =-([A, [A, B]], 0).
est une relation invariante.
[A, [A, B]]
=;:
0
94
Soient H 0 et f(H0 ) generaux et .\) le sous-groupe maximal abelien contenant H 0 • .\) est caracterise comme !'ensemble des solutions A de [H0 , [H0 , A]]= 0.
Done/(.\)) est le sous-groupe maximal abelien contenant f(H0 ) • sont reguliers, et l'on peut supposer /(.\)) = .\).
.\)
et
/(~)
ld (.\) + @:a)
est !'ensemble des A tels que [H, [H, A]]= 0, HE.\)
ait au moins l - I solutions H independantes. Done chaque .\) invariant par rapport a f. j(HJ.) = HA, , /(Ea) = PaEa + qaE-a Le principe d'invariance applique
a
([HJ., Ea], [H.t, E_a])
donne
(PaP-a
+ @;
0
est
+ Hi!.•
=
(l, a)2
+ qaq-a) (l', a) 2 =
(A., a)2
et, en repetant le raisonnement de 6: f(H) = eH, (PaP-a + qaq-a)e 2 = I. ([H, Ea], [H, Ea]) = 0 conduit a 2ea2paqa = 0, 1
done PaP-a= De l'invariance de la relation il resulte que
Qi•
[Ea, [Ea, E,]] = 0,
[f(Ea), [f(Ea), /(E,)] = 0. En calculant le coefficient de E,, on trouve (a, y)2 = o, ce qui implique de nouveau
a= o.
On a done
f(H) = eH, f(Ea) "=7 PaEa, PaP-a = En substituant ces formulas dans la transformee de ([Ea, E_a], [Ea, E_ 0 ] ) =-(a, a), on voit que
t..
done ([H
conduit .done
f
PaP-a= e = I. [H + Ea, Ep + E,])
+ Ea, Ep + E,],
a
PaPPP:v est un automorphisme.
=
I,
=
({3-y)Np,y (a+ {3 + y
=
0)
SUR DES INVARIANTS CARACTERISTIQUES DES GROUPES SEMI-SIMPLES PAR
HANS FREUDENTHAL (Communicated at the meeting of March 28, 1953)
I. Le produit interieur defini dans un groupe de Lie G au moyen de la forme quadratique de Cartan est un invariant du groupe adjoint: ([A; B], 0) = (A, [B, 0]).
Par consequent la forme cubique (A, B, 0) =([A, B], 0)
est antisymetrique dans toutes ses variables. Elle est aussi invariante par rapport aux transformations du groupe adjoint: ([D, A], B, G)
+ (A,
[D, B], 0)
+ (A, B,
[D, 0])
([D, A], [B, 0]) + ([D, B], [0, A])+ ([D, 0], [A, B]) (D, [A, [B, 0]]) + (D, [B, [0, A]])+ (D, [0, [A, B]])
=
0,
2. Theoreme I: Si G est semi-simple et depourvu de facteurs directs de rang 1 (c'est-a-dire localement isomorphes au groupe lineaire special de deux variables), le plus grand groupe lineaire connexe conservant la forme gauche cubique (A, B, 0) est le groupe adjoint· de G. Si le rang de G est l, la forme cubique equivaut au determinant, qui est invariant par rapport a toutes les transformations speciales lineaires a trois dimensions; done dans ce cas le theoreme cesse d'etre vrai. La demonstration est contenue dans les numeros 3-8. 3. Soit@ le groupe infinitesimal de G. Nous choisissons un sous-groupe regulier maximal abelien ~ et, en faisant usage des notations bien connues 1 ), nous ecrivons les lois de QS sous la forme
[H, EJ = aEa I [Ea. E_J = Ha I [E0 , Ep] ~ Na,pEa+IJ (a+ {J =/= 0), (H 0 ,Hp) = -(a, {J) 1 (H, Ea} = 0, (E0 , E_a) = -1, [~, ~]
=0
I
Na,IJ = N-a,-11· 1) H. WEYL, Math. Zeitschr. 24, 366,374 (1926); B. L. v. Zeitschr. 37, 446-448 (1933).
D. WAERDEN,
Math.
91
On en deduit pour la forme cubique:
(Ha, Ep, E_p) =-(a, {J) (Ea, Ep, Ey) = -Na,fJ (a-t {3
+y =
0),
les autres combinaisons etant nulles. Comme il n'y a pas de facteurs de rang 1, on peut trouver pour chaque forme-racine a une forme-racine independante {3, tel que (a, {3) =I= 0. 4. Soit I une transformation lineaire qui Jaisse invariante la forme cubique. Il suffit de demontrer que 1 fait partie du groupe adjoint, pour des I d'un voisinage (aussi petit qu'on veut) de l'identite. Les elements generaux de @ remplissant un ensemble dense ouvert, on peut choisir H0 tel que H 0 et I(H0 ) sont generaux. ~ sera suppose d'etre le groupe maximal abelien contenant H0 • La relation
(A, B, 0) = 0 pour des A, B fixes et tous les 0 equivaut a [A, B] = 0
parce que le produit interieur est non-degenere. Done la commutativite est une relation invariante par rapport a I et par consequent I(~) est aussi un sous-groupe regulier maximal abelien. Si I ne differe pas beaucoup de l'identite, il y a une transformation g du groupe adjoint, qui transforme ~en 1(~). Alors g-11conserve la forme cubique et le groupe~· Il est permis de supposer que I possede deja cette propriete. Le plan engendre par Ea et E_a est appele ~a· Les elements A de sont caracterises par la propriete suivante: Les HE~ qui satisfont a [H, A] = 0, remplissent un espace a l-'- 1 ou l dimensions, l etant le rang de @. Ce fait implique l'invariance de l;/(~ +~a) par rapport a I et par consequent celle de chaque ~ + ~a individual, si I se trouve dans un voisinage assez petit de l'identite. Done 5.
ld (~ + ~a)
(1)
I(HA) = HAl•
(2)
I(Ea)
=
PaEa
+ qa E_a + Ha,
ou A., A.', a. sont des combinaisons lineaires de formes-racines. 6.
Il est permis de supposer que
(3}
pour tous les a, done (4)
!Pal > i' Jqal < f,
92
En appliquant la transformation (1)- (2) (HJ.> Ea, E_ 0 )
on trouve
a
-(J., a)
=
(5)
done,
a cause
de (4):
(J., a)= 0 implique (J.', a)= 0 pour tousles a. Par consequent A.'= eA., ou e est un constant dont on peut supposer que
11-el < J.
(6) (I) peut etre rem place par ( 1')
f(H)
=
eH
et (5) par (5')
7.
a
Le meme raisonnement applique
conduit
(Ea, Ep, E_p)
a
=
0
(PpP-P- qtfl-p) (a, {3)
=
0,
si a et {3 sont des racines independantes, done (voir (4))
(a, {3)
(7)
o.
=
a etant donne, on peut trouver une forme-racine y, tel que a+ y est une forme-racine (voir la fin de 3). On a (a, y)
done
(a, a
0,
=
+ y) =
0,
(a, a)= 0.
Par consequent (7) vaut pour chaque forme-racine {3. Puisque a disparait, (2) peut etre simplifie: (2')
/(Ea)
=
PaEa
+ qaE-a•
De plus, si & est compose, chaque facteur individual est invariant par rapport a f, done & peut etre suppose simple et d'un rang l > 1. 8.
Lea memes considerations appliquees (Ea, Ep, E,)
conduisent (8)
(9)
a
(Ea, Ep, E_,)
=
0
(a+ {3 + y
+ qaqtfl, = l, PaPtfl-y + qaqpP-y = 0.
PaPpP,
Done, tenant compte de (5'): (10)
-Na,P•
=
a =
0)
93 Par consequent, si a+ fJ + y = 0 et si l'un des qa, qfl, q'Y disparait,-tous les trois disparaissent. & etant simple, on peut relier deux formes-racines quelconques par une chaine de formes-racines a 1, ••• , ar, tel que pour tous les i, a, + a.+l est une forme-racine. Done qa = 0 pour un a special implique qa = 0 pour tous les a. Si a + fJ + y = 0, on a done et si qa =I= 0: (11) done qaq-a est independant de a. En multipliant qaqfl = -eq-Y et q_aq-fl = -eqy, et en tenant compte de (11), on trouve qaq-a = (! 2 • A cause de (3) et (6) on sait que
lqaq-al <
a'
1!?2 1 > 6'
ce qui est contradictoire. Done tous les qa disparaissent et I(H)
= eH,
I(Ea)
I
a la forme
= PaFla,
ou, d'apres (7) et (8), 1
Mais alors
PaP-a = Q,
(!3 =
done
(!
Cela veut dire que trivial). 9.
I
(a+ fJ + y
PaPfiPy = 1
=
0).
1,
= I.
est un automorphisme (a savoir l'automorphisme
La forme binaire, biquadratique et symetrique
([A, B], [A, B])
(12)
est un invariant du groupe adjoint: ([[0, A], B], [A, B]) + ([A, [0, B]], [A, B]) = ([0, [A, B]], [A, B]) = 0. Theoreme II: Les con~tions du tMoreme I etant remplies, le plus grand groupe lineaire eonnexe eonservant la forme (12) est le groupe adjoint de G. La demonstration est contenue au numero suivant: 10. Si f conserve (12), il conserve aussi Done
([A, B], [A, 0]) =-([A, [A, B]], 0).
est une relation invariante.
[A, [A, B]]
=;:
0
94
Soient H 0 et f(H0 ) generaux et .\) le sous-groupe maximal abelien contenant H 0 • .\) est caracterise comme !'ensemble des solutions A de [H0 , [H0 , A]]= 0.
Done/(.\)) est le sous-groupe maximal abelien contenant f(H0 ) • sont reguliers, et l'on peut supposer /(.\)) = .\).
.\)
et
/(~)
ld (.\) + @:a)
est !'ensemble des A tels que [H, [H, A]]= 0, HE.\)
ait au moins l - I solutions H independantes. Done chaque .\) invariant par rapport a f. j(HJ.) = HA, , /(Ea) = PaEa + qaE-a Le principe d'invariance applique
a
([HJ., Ea], [H.t, E_a])
donne
(PaP-a
+ @;
0
est
+ Hi!.•
=
(l, a)2
+ qaq-a) (l', a) 2 =
(A., a)2
et, en repetant le raisonnement de 6: f(H) = eH, (PaP-a + qaq-a)e 2 = I. ([H, Ea], [H, Ea]) = 0 conduit a 2ea2paqa = 0, 1
done PaP-a= De l'invariance de la relation il resulte que
Qi•
[Ea, [Ea, E,]] = 0,
[f(Ea), [f(Ea), /(E,)] = 0. En calculant le coefficient de E,, on trouve (a, y)2 = o, ce qui implique de nouveau
a= o.
On a done
f(H) = eH, f(Ea) "=7 PaEa, PaP-a = En substituant ces formulas dans la transformee de ([Ea, E_a], [Ea, E_ 0 ] ) =-(a, a), on voit que
t..
done ([H
conduit .done
f
PaP-a= e = I. [H + Ea, Ep + E,])
+ Ea, Ep + E,],
a
PaPPP:v est un automorphisme.
=
I,
=
({3-y)Np,y (a+ {3 + y
=
0)