A model for precipitation strengthening in multi-particle systems

;

;

;

;



D

h

h

b

a a b

c c c

c

U d

e 

h

s tt ;

;

W W

x x ;

;

ðhÞ ¼

p

 tð hÞ t

!

  ; h

t

ð Þ

h h h

h

p ðW = Þ

¼

6W 6 6W 6

W

/ /

h

ðhÞ

ðhÞ ¼ ðhÞ þ

ðhÞ ¼

h

þt

p

ð Þ

:

ð Þ

;

tð t

W

s¼

h

hÞ

!

  :

6W 6

ð Þ h



W

¼

W

s¼

s

s

¼

W

¼ :



 ð Þ

:

 ð Þ

:

ð Þ

W W

s

s¼

½

ðW = Þ

¼

:

ð Þ

s

;

Z

¼

 

1

 

:

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ

!

s

s

  

 

¼

ev  ;



 þt D  t

e¼

;

;

e ðÞ ; ðp= Þ

¼

e ðÞ

¼

! :

ð Þ

ð Þ

jdj:

ð

Þ

ð =ð ð =ð

e

e ÞÞ   e ÞÞ  







:

e ðÞ =ð Þ

e ðÞ =ð Þ



:

:



d

D

vð =Þ 

s

pffiffiffi

v

=



;

¼

vð =Þ

s

vð Þ ¼ =

¼

;

! ðp= Þ e

¼

ð Þ

;

!

e

:

vð = Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi     ¼    

 

v

 

pffiffiffi

v  ¼

  

   



;

;

ð

Þ

ð

Þ



a ¼  

v  ¼

 

 





 

v  ¼

  

 ;

ð

Þ

 :

ð

Þ



ð =Þ >

a:

a

s

a

;

¼

 x

 x   ð = Þ

ð

:

a a

W





W ¼ a ¼

 :

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ

W

"

s

!#

¼

;



:

W 

"

s

¼

;

!# 

:

W ¼

þ

ð

:

Þ

c

¼

ð  tÞ

; t

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ

t

 ¼x 

x

  x   :

x x

"

s

;

¼

 x

x

#  x   ð = Þ

;

Þ

(

s



¼

;



c

 )  bf :

ð

Þ

:

ð

Þ

;

ð

Þ

c b

b f

  ¼ f

c

p

c

c

¼

ð

p

Þ

s

 ;

¼

p

 pc





:

ð

Þ

s

¼

ðc

c

s

c

ð

Þ

ð

Þ

ð

:

Þ

c



ðc

¼

;

Þ;

c

¼

;

c

Þ

 ;

W

s

¼

;

ðc

c

Þ

ð

:

Þ

s

¼

ðp=  hÞ

ð

:

Þ

p

h

! ¼ ðc

c

¼

ðhÞ þc

Þ



ð

;

Þ

p ðc

Þ

ð  tÞ pð  tÞ

ðhÞ ¼

ð

;



h

h

Þ h h p

 t ð hÞ ;  ð  tÞ

ð

Þ

b

s

s

s

2 6ðc 4

¼

;

ðc

c

c

Þ

Þ









¼

;

 ;

¼

=

7 5:

c

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ



c

 :

½ ð Þ: ðp= Þ

:

ð

: h

3

:

c

s

=

¼

h

p

Þ

s

¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p t



 :

ð

Þ

h



c c





c

i

h







 p

t

p

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

p

¼ 

p

P

þð

v;

Þ 

;

ð

Þ

ð

Þ

rffiffiffi P ¼

;

 ¼ pffiffiffiffiffiffi 

¼

 ;

:

ð

Þ

ð

Þ

ð

Þ

c

;

2qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi = ¼ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

3 5:

 



P v;

v;

:

p

;

¼

p

:

ð

Þ

ð

Þ

p rffiffiffi ;

¼

:

l

l

W e c c c c m



 

;

;

¼

;

;

¼



p

  t t

 

e

;

ð

Þ

ð

Þ





p

þt t



 

e

:

 6W 6

 :

:

;

;

¼

;

;

¼

p

:

:

:

p

:

:





  t t

 þt t







e

;

ð

Þ

ð

Þ



e

:

t

s

¼

X Ds ; ¼

ð

Þ

...