Algèbres Hom-Gerstenhaber à homotopie près

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.1 (1-28) Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

Contents lists available at ScienceDirect

Bulletin des Sciences Mathématiques www.elsevier.com/locate/bulsci

Algèbres Hom-Gerstenhaber à homotopie près W. Aloulou a,∗ , R. Chatbouri b a

Université de Sousse, Laboratoire de Mathématique Physique Fonctions Spéciales et Applications, Département de Mathématiques, Institut Préparatoire aux Etudes d’Ingénieurs de Sfax, Route Menzel Chaker Km 0.5, Sfax, 3018, Tunisia b Université de Sousse, Laboratoire de Mathématique Physique Fonctions Spéciales et Applications, Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Monastir, Avenue de l’environnement, 5019 Monastir, Tunisia

i n f o

a r t i c l e

Historique de l’article : Reçu le 22 juillet 2014 Disponible sur Internet le xxxx MSC: 18G55 16W30 16E45 53D55 Mots-clés : Algèbres homotopiques Cogèbres Algèbres Différentielles graduées Cohomologie Keywords: Algebras up to homotopy Coalgebras Graded differential algebra Cohomology

r é s u m é On étudie le concept d’algèbre à homotopie près pour une structure définie par deux opérations . et [ , ]. Un exemple important d’une telle structure est celui d’algèbre de Gerstenhaber (commutative et de Lie). La notion d’algèbre de Gerstenhaber à homotopie près (G∞ algèbre) est connue. Dans cet article, nous considérons une algèbre Hom-Gerstenhaber définie par une structure commutative, Hom-associative et une structure Hom-Lie. Nous donnons la construction explicite de l’algèbre à homotopie près associée. Celle-ci est une bicogèbre (Hom-coLie et Hom-coassociative), munie d’une codifférentielle qui est une codérivation des deux coproduits permettant la construction d’une HomG∞ algèbre. © 2014 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

a b s t r a c t We study the concept of algebra up to homotopy for a structure defined by two operations . and [ , ]. An important example of such a structure is the Gerstenhaber algebra (commutatitve and Lie). The notion of Gerstenhaber algebra up to homotopy (G∞ algebra) is known. In this paper, we give a Hom-Gerstenhaber algebra defined by a structure of commutative and Hom-associative alge-

* Auteur correspondant. Adresses e-mail : [email protected] (W. Aloulou), [email protected] (R. Chatbouri). http://dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2014.12.004 0007-4497/© 2014 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

JID:BULSCI 2

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.2 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

bra and a structure of a Hom-Lie algebra. We will give an explicit construction of the associated Hom-Gerstenhaber algebra up to homotopy, this is a bicoalgebra (Hom-coLie and Hom-coassociative) equipped with a codifferential which is a coderivation for the two coproducts allowing the construction of HomG∞ algebra. © 2014 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

1. Introduction et motivation Les algèbres Hom-Lie sont apparues naturellement dans l’étude des q-déformations de l’algèbre de Lie des champs de vecteurs. [3] ont montré qu’il existe des q-déformations des algèbres de Witt et de Virasoro qui ne satisfont pas la condition de Jacobi mais satisfont une condition déformée par un homomorphisme f définissant une structure d’algèbre dite Hom-Lie (lorsque cet homomorphisme est l’identité, on retrouve les algèbres de Lie). Les algèbres Hom-associatives sont introduites après par Makhlouf et Silvestrov dans [5]. Ces algèbres s’obtiennent aussi en modifiant la condition d’associativité à l’aide d’un homomorphisme f (lorsque cet homomorphisme est l’identité, on retrouve les algèbres associatives). Maintenant, une algèbre de Gerstenhaber est un espace vectoriel V muni de deux lois : un produit commutatif ∧ de degré 0 et un crochet de Lie [ , ] de degré −1, avec une relation de compatibilité dite relation de Leibniz. Dans cet article, on se propose de définir l’algèbre Hom-Gerstenhaber et de construire l’algèbre à homotopie près associée. Plus précisément, disons que (G, ∧, [ , ], f ) est une algèbre Hom-Gerstenhaber si G est un espace vectoriel gradué muni d’une application linéaire f : G −→ G de degré 0, d’une multiplication graduée ∧ : G ⊗ G −→ G de degré 0 tel que (G, ∧, f ) est une algèbre commutative Hom-associative graduée et d’un crochet [ , ] : G ⊗ G −→ G de degré −1 tel que (G[1], [ , ], f ) soit une algèbre Hom-Lie graduée et que le crochet [ , ] et le produit ∧ vérifient une relation de compatibilité entre eux dite relation de Hom-Leibniz. On veut réaliser la construction d’algèbre à homotopie près faite comme dans le cas des algèbres de Gerstenhaber (voir [1]). La construction complète nécessite une bicogèbre W (munie d’un coproduit Δf et d’un cocrochet κf avec des relations de compatibiltés) et les deux lois de notre algèbre permettent de construire une seule application Q qui est une codérivation à la fois de Δf et de κf . Les axiomes d’algèbre Hom-Gerstenhaber sont équivalents à l’équation de structure Q2 = 0. Ceci permet de définir les algèbres Hom-Gerstenhaber à homotopie près. On commence d’abord par donner la construction des algèbres Hom-associatives, Hom-commutatives et Hom-Lie à homotopie près. Ensuite, on étudie explicitement le cas des algèbres Hom-Gerstenhaber et on donne l’algèbre à homotopie près associée à cette structure.

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.3 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

3

Dans [4], Camille Laurent-Gengoux et Joana Teles ont proposé une définition d’algèbre Hom-Poisson (A, μ, { , }, f ) telle que (A, μ, f ) est une algèbre commutative Homassociative et (A, { , }, f ) est une algèbre Hom-Lie et le crochet { , } et le produit μ vérifient la relation de Hom-Leibniz suivante : 

     f (α), μ(β, γ) = μ {α, β}, f (γ) + (−1)|β||α| μ f (β), {α, γ} .

Ils ont proposé aussi une définition d’algèbre Hom-Poisson pure (A, μ, { , }, f ) telle que (A, μ) est une algèbre commutative et associative et (A, { , }, f ) est une algèbre Hom-Lie et le crochet { , } et le produit μ vérifient la relation de Hom-Leibniz suivante : 

     α, μ(β, γ) = μ {α, β}, f (γ) + (−1)|β||α| μ f (β), {α, γ} .

On définit, enfin, une algèbre Hom-Gerstenhaber pure comme étant une version impaire d’une algèbre Hom-Poisson pure et on donne son algèbre à homotopie près. 2. Algèbres Hom-associatives à homotopie près 2.1. Algèbres et cogèbres Hom-associatives Soit (A, μ) une algèbre | |-graduée, son produit μ est de degré 0. Soit f : A −→ A un homomorphisme de l’algèbre A. On dit que (A, μ, f ) est une algèbre Hom-associative si     μ f (x), μ(y, z) = μ μ(x, y), f (z) .

∀x, y, z ∈ A,

Exemple 2.1. Soient l’espace A = Vect{x1 , x2 , x3 } et a, b ∈ R. On définit la multiplication μ dans A par : μ(x1 , x1 ) = ax1 ,

μ(x2 , x2 ) = ax2 ,

μ(x1 , x2 ) = μ(x2 , x1 ) = ax2 , μ(x2 , x3 ) = bx3 ,

μ(x3 , x3 ) = 0,

μ(x1 , x3 ) = μ(x3 , x1 ) = ax3 ,

μ(x3 , x2 ) = μ(x3 , x3 ) = 0.

On définit l’homomorphisme d’algèbre associative f par : f (x1 ) = ax1 ,

f (x2 ) = ax2 ,

f (x3 ) = bx3 .

On vérifie que (A, μ, f ) est une algèbre Hom-associative. Proposition 2.2. (Voir [6].) Si (A, μ) est une algèbre associative et f : A −→ A est un endomorphisme d’algèbre, alors, en posant μf = f ◦ μ on a (A, μf , f ) est une algèbre Hom-associative.

JID:BULSCI 4

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.4 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

Définition 2.3. Soient (A, μ, f ) et (B, η, g) deux algèbres Hom-associatives. On dit que F : A −→ B est un morphisme d’algèbres Hom-associatives si η ◦ (F ⊗ F ) = F ◦ μ

et F ◦ f = g ◦ F.

Définition 2.4. 1) Une cogèbre Hom-coassociative est un triplet (V, Δ, f ) tel que (V, Δ) est une cogèbre et f est une application linéaire de V dans V qui vérifie (f ⊗ Δ) ◦ Δ = (Δ ⊗ f ) ◦ Δ. 2) Un morphisme F de Hom-cogèbre est une application linéaire F : (V, Δ, f ) −→ (W, Δ , g) vérifiant (F ⊗ F ) ◦ Δ = Δ ◦ F

et

F ◦ f = g ◦ F.

3) Une codérivation Q de Hom-cogèbre est une application linéaire Q : (V, Δ, f ) −→ (V, Δ, f ) vérifiant (Q ⊗ f + f ⊗ Q) ◦ Δ = Δ ◦ Q et

Q ◦ f = f ◦ Q.

Proposition 2.5. 1) Soient (V, Δ) une cogèbre coassociative et f : V −→ V un endomorphisme de cogèbres. En posant Δf = Δ ◦ f , on obtient que (V, Δf , f ) est une cogèbre Homcoassociative. 2) Soient F : (V, Δ) −→ (W, Δ ) un morphisme de cogèbres coassociatives, f : V −→ V et g : W −→ W deux endomorphismes de cogèbres qui vérifient F ◦ f = g ◦ F . Alors, F : (V, Δf , f ) −→ (W, Δg , g) est un morphisme de cogèbres Hom-coassociatives. 2.2. Algèbres Hom-associatives à homotopie près Soit (A, μ, f ) une algèbre Hom-associative | |-graduée telle que f : A −→ A un endomorphisme d’espace vectoriel de degré 0 vérifiant f ◦ μ = μ ◦ (f ⊗ f ), c’est à dire f est un endomorphisme de l’algèbre (A, μ). On considère l’espace A[1], la graduation deg(α) = |α| − 1 qu’on note simplement par  p la lettre α et l’algèbre tensorielle de A[1] sans unité : T + (A[1]) = p≥1 ( A[1]). Sur cet espace on définit le coproduit Δf (α1 ⊗ . . . ⊗ αp ) =

p−1  k=1

f (α1 ) ⊗ . . . ⊗ f (αk )



f (αk+1 ) ⊗ . . . ⊗ f (αp ).

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.5 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

5

En notant le prolongement de f à T + (A[1]) simplement par f , on obtient que (f ⊗ f ) ◦ f (α1 ⊗ . . . ⊗ αp ) = (f ⊗ f ) ◦ f (α1 ⊗ . . . ⊗ αp ). Par conséquent, (T + (A[1]), Δf , f ) est une cogèbre Hom-coassociative. Cette cogèbre est colibre, ce qui permet de prolonger toute application linéaire Qk : k A[1] −→ A[1] vérifiant Qk ◦ f = f ◦ Qk en une codérivation de façon unique. On construit un nouveau produit m2 sur A[1] défini par m2 (α ⊗ β) = (−1)α μ(α, β). Alors, m2 devient de degré 1 sur A[1] et vérifie f ◦ m2 = m2 ◦ (f ⊗ f ). On le prolonge à (T + (A[1]), Δf ) comme une codérivation m de cette cogèbre ((m⊗f +f ⊗m)◦f = f ◦m et m ◦ f = f ◦ m) en posant : m(α1 ⊗ . . . ⊗ αp ) =

p−1

 (−1) i
⊗ m2 (αj , αj+1 ) ⊗ f (αj+2 ) ⊗ . . . ⊗ f (αp ). Ce prolongement ressemble à celui dans [1] page 3, quitte à remplacer les αj à l’extérieur de m2 par les f (αj ). Cette codérivation m est de degré 1 dans T + (A[1]), elle vérifie m ◦ m = 0. En effet, d’une part on a (m ⊗ f + f ⊗ m) ◦ f (α1 ⊗ . . . ⊗ αp )

   = (−1) i
⊗ f 2 (αj+1 ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (αk ) f 2 (αk+1 ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (αp )

 (−1) i
  ⊗ f 2 (αj−1 ) ⊗ m2 f (αj ), f (αj+1 ) ⊗ f 2 (αj+1 ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (αp ). D’autre part, on a f ◦ m(α1 ⊗ . . . ⊗ αp )

   = (−1) i
⊗ f 2 (αk )  +



f 2 (αk+1 ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (αp )

(−1)

i
f (α1 ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (αk )

αi 2

1≤k
  ⊗ . . . ⊗ f m2 (αj , αj+1 ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (αp ) = (m ⊗ f + f ⊗ m) ◦ f (α1 ⊗ . . . ⊗ αp ).



f 2 (αk+1 )

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.6 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

6

On vérifie facilement que m ◦ f = f ◦ m. Maintenant m étant une codérivation de degré impair, 2m ◦ m = [m, m] est une codérivation. Par unicité de la codérivation qui prolonge les (m ◦ m)k , on en déduit que m ◦ m = 0. Définition 2.6 (HomA∞ algèbre). Une HomA∞ algèbre est une cogèbre Hom-coassociative codifférentielle graduée de la forme (T + (A[1]), Δ, f, m) où Δ est un coproduit Homcoassociatif, f est un endomorphisme de cogèbre Hom-coassociative et m est une codérivation de Δ de degré 1 et de carré nul. Proposition 2.7. Si (A, μ, f, d) est une algèbre Hom-associative différentielle graduée telle que f est un endomorphisme de l’algèbre A (ici f ◦ d = d ◦ f ), on pose : Q2 (x ⊗ y) = (−1)x μ(x, y),

Q1 (x) = dx,

Qk = 0,

∀k ≥ 3,

et Q(α1 ⊗ . . . ⊗ αp ) =

p

 (−1) i
+

p−1 



(−1)

i
αi

f (α1 ) ⊗ . . . ⊗ f (αj−1 ) ⊗ Q2 (αj ⊗ αj+1 ) ⊗ f (αj+2 ) ⊗ . . . ⊗ f (αp ).

j=1

Alors, Q est une codérivation de Δf de degré 1 vérifiant Q2 = 0 et (T + (A[1]), Δf , f, Q) est une HomA∞ algèbre dite la HomA∞ algèbre enveloppante de A. Maintenant, soit F : (T + (A[1]), Δ, f ) −→ (T + (B[1]), Δ , g) un morphisme de cogèbres Hom-coassociatives ((F ⊗ F ) ◦  =  ◦ F et F ◦ f = g ◦ F ). On définit la projection Fn n  sur B[1] parallèlement à n≥1 ( B[1]) de la restriction de F à T n (A[1]). L’application n Fn : T (A[1]) −→ B[1] est n-linéaire. Si on connait la suite des (Fn )n , on vérifie comme dans [2] qu’on peut reconstruire F de façon unique, plus précisément : F (α1 ⊗ . . . ⊗ αn ) =

n−1 



Fr1 (α1 ⊗ . . . ⊗ αr1 ) ⊗ . . . ⊗ Frk (αrk−1 +1 ⊗ . . . ⊗ αn )

k=1 0
Définition 2.8 (Morphisme de HomA∞ algèbres). Un morphisme de HomA∞ algèbres A et B est un morphisme de cogèbres Hom-coassociatives codifférentielles F : (T + (A[1]), mA ) −→ (T + (B[1]), mB ) tel que mB ◦ F = F ◦ mA .

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.7 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

7

3. Algèbres Hom-Lie à homotopie près Définition 3.1. Soit g un espace vectoriel gradué. Une structure d’algèbre Hom-Lie graduée sur g est la donnée d’un crochet bilinéaire [ , ] antisymétrique de degré 0 et d’une application linéaire f : g −→ g vérifiant l’identité de Hom-Jacobi : ∀x, y, z ∈ g,    (−1)|x||z| [x, y], f (z) + (−1)|y||x| [y, z], f (x) + (−1)|z||y| [z, x], f (y) = 0. Si de plus, il existe une différentielle d : g −→ g (i.e. d2 = 0), telle que d ◦ f = f ◦ d, |d| = 1 et     d [x, y] = dx, f (y) + (−1)1.|x| f (x), dy . On dit que (g, [ , ], f, d) est une algèbre Hom-Lie différentielle graduée. Exemple 3.2. Soient l’espace vectoriel V = vect{x, y, z} défini sur un corps K et a, b, c, d des scalaires donnés. On définit un crochet antisymétrique [ , ] sur V par : [x, y] = ax + bz,

[x, z] = cy,

[y, z] = dx + 2az.

Soit l’application linéaire f de V définie par : f (x) = x,

f (y) = 2y,

f (z) = 2z.

On vérifie facilement que (V, [ , ], f ) est une algèbre Hom-Lie. De plus, si a = c = 0, alors, (V, [ , ]) est une algèbre de Lie. On pose deg(x) = |x| − 1 et on notera simplement x ce degré. On note aussi

εx

x1 ... xn xi1 ... xin

la signature de la permutation σ =



1 ... n i1 ... in

= εx (σ)  , en tenant compte des degrés de xj ,

autrement dit, εx est l’unique morphisme de Sn dans R tel que εx ((i, j)) = (−1)xi xj . Définition 3.3 (HomL∞ algèbre). Une HomL∞ algèbre est une cogèbre cocommutative Hom-coassociative et codifférentielle graduée de la forme (S + (g[1]), Δf , f, Q) où Δf est un coproduit cocommutatif Hom-coassociatif, f est un endomorphisme de cogèbre cocommutative Hom-coassociative et Q est une codérivation de Δf de degré 1 et de carré nul.

JID:BULSCI 8

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.8 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

Proposition 3.4. Soit g un espace gradué et f un endomorphisme de g de degré 0. Considé+ rons S + (g[1]) l’espace T (g[1]) x⊗y−(−1)xy y⊗x et la cogèbre colibre engendrée par g[1] :  +   S g[1] , Δf avec, si I = {i1 < . . . < ik }, xI désigne xi1 . . . xik et : Δf (x1 . . . xn ) =



εx

 x1 xI

... xn xJ



f (xI ) ⊗ f (xJ ).

I∪J={1,...n} #I,#J>0

Cette cogèbre est Hom-coassociative : (Δf ⊗ f ) ◦ Δf = (f ⊗ Δf ) ◦ Δf , et cocommutative : si τ est la volte τ (x ⊗ y) = (−1)xy y ⊗ x, alors τ ◦ Δf = Δf . Proposition 3.5. Si (g, [ , ], d, f ) est une algèbre Hom-Lie différentielle graduée telle que f ◦ [ , ] = [ , ] ◦ (f ⊗ f ) et f ◦ d = d ◦ f , on pose : Q1 (x) = dx,

Q2 (x.y) = (−1)x [x, y],

Qk = 0,

∀k ≥ 3,

et Q(x1 . . . xn ) =



εx

 x1 ...xn  xI xJ

Q#I (xI ).f (xJ ).

I∪J={1,...,n} I =∅

Alors, Q est une codérivation de Δf de degré 1 vérifiant Q2 = 0 et (S + (g[1]), Δf , Q, f ) est une HomL∞ algèbre dite la HomL∞ algèbre enveloppante de g. Maintenant, soit F : (S + (g[1]), Δ, f ) −→ (S + (h[1]), Δ , g) un morphisme de cogèbres cocommutatives et Hom-coassociatives. On définit la projection Fn sur h[1] parallèlement  à n≥2 (S n h[1]) de la restriction de F à S n (g[1]). L’application Fn : S n (g[1]) −→ h[1] est n-linéaire. Si on connait la suite des (Fn )n , on montre qu’on peut reconstruire F de façon unique, plus précisément : F (X1 . . . . .Xn ) =

 1 j! j>0



ε

x1 ...xn xI1 ...xIj



F|I1 | (XI1 ). . . . .F|Ij | (XIj ).

I1 ··· Ij ={1,...,n} I1 ...Ij =∅

Définition 3.6 (Morphisme de HomL∞ algèbres). Un morphisme de HomL∞ algèbres g et h est un morphisme de cogèbres cocommutatives, Hom-coassociatives et codifférentielles F : (S + (g[1]), Qg ) −→ (S + (h[1]), Qh ) tel que Qh ◦ F = F ◦ Qg .

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.9 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

9

4. Algèbres Hom-commutatives à homotopie près Définition 4.1. Soit A un espace vectoriel gradué. Une structure d’algèbre Homcommutative graduée sur A est la donnée d’une application bilinéaire μ commutative de degré 0 et d’une application linéaire f : A −→ A de degré 0 tel que (A, μ, f ) est une algèbre Hom-associative. Si de plus, il existe une différentielle d : A −→ A (i.e. d2 = 0), telle que |d| = 1, d ◦ f = f ◦ d et     d ◦ μ(x, y) = μ dx, f (y) + (−1)1.|x| μ f (x), dy . On dit que (A, μ, f, d) est une algèbre Hom-commutative différentielle graduée. La méthode des sections précédentes s’applique aussi aux algèbres Hom-commutatives. Soit A une algèbre Hom-commutative graduée. On construit la cogèbre Hom-coLie codifférentielle associée. Le degé de α, β dans A[1] est noté a, b. On définit d’abord les p, q battements de n = p + q lettres comme les permutatiosn σ de {1, . . . , n} telles que σ(1) < . . . < σ(p) et σ(p + 1) < . . . < σ(p + q). Le produit  battement de α = α1 ⊗ . . . ⊗ αp et β = αp+1 ⊗ . . . ⊗ αp+q dans (A[1]) est défini par : bat p,q (α, β) =



ε

a1 ... an aσ−1 (1) ... aσ−1 (n)



ασ−1 (1) ⊗ . . . ⊗ ασ−1 (n) .

σ∈Bat(p,q)

 Par définition, l’espace n (A[1]) est le quotient de A[1]⊗n par la somme des images des applications bat p,n−p (0 < p < n) et de façon abusive α[1,n] = α1 ⊗ . . . ⊗ αn la classe de α1 ⊗ . . . ⊗ αn .  Maintenant on introduit un cocrochet Hom-Lie δf sur + (A[1]) en posant d’abord :

δf (α1 ⊗ . . . ⊗ αn ) =

n−1 

f (α1 ) ⊗ . . . ⊗ f (αj )

j=1

−ε

a



1 ...an−j an−j+1 ...an aj+1 ...an a1 ...aj

⊗ f (αn )





f (αj+1 ) ⊗ . . . ⊗ f (αn )

f (αj+1 ) ⊗ . . .

f (α1 ) ⊗ . . . ⊗ f (αj ).

Cette formule permet de définir δf sur l’espace quotient δf (α[1,n] ) =



f (α[1,j] )



n

(A[1]) par

f (α[j+1,n] ) − (−1)a[1,j] a[j+1,n] f (α[j+1,n] )



f (α[1,j] ).

0
+ Proposition 4.2 (La structure de cogèbre). L’espace (A[1]) équippé de δf est une cogèbre Hom-coLie, c’est à dire que δf est coantisymétrique de degré 0 et vérifie l’identité

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.10 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

10

de Hom-coJacobi : si τ est la volte, τ ◦ δf = −δf et   ⊗3 id + (τ ⊗ id) ◦ (id ⊗ τ ) + (id ⊗ τ ) ◦ (τ ⊗ id) ◦ (δf ⊗ f ) ◦ δf = 0. Démonstration. On a (δf ⊗ f ) ◦ δf (α)  = f 2 (α[1,i] ) f 2 (α[i+1,j] ) f 2 (α[j+1,n] ) 0
−ε −ε



+ε

a[1,i] a[i+1,j] a[i+1,j] a[j+1,n] a[1,i] a[i+1,j] a[j+1,n] a[i+1,j]



f 2 (α[1,i] ) f 2 (α[j+1,n] ) f 2 (α[i+1,j] )  a[j+1,n] f 2 (α[j+1,n] ) f 2 (α[1,i] ) f 2 (α[i+1,j] ) a[1,i]  a[j+1,n] f 2 (α[i+1,j] ) f 2 (α[1,i] ). f 2 (α[j+1,n] ) a[1,i]

a[1,i] a[i+1,j] a[j+1,n] a[i+1,j] a[1,i] a[j+1,n]

Donc, en notant (i) = [1, i], (j) = [i + 1, j] et (n) = [j + 1, n], 

 id ⊗3 + (τ ⊗ id) ◦ (id ⊗ τ ) + (id ⊗ τ ) ◦ (τ ⊗ id) ◦ (δf ⊗ f ) ◦ δf (α)  f 2 (α(i) ) f 2 (α(j) ) f 2 (α(n) ) = 0
−ε

a

(i) a(j) a(n) a(j) a(i) a(n)





2

f 2 (α(i) )



f 2 (α(n) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(n) ) f 2 (α(i) ) − ε a(j) a(n) a(i) f 2 (α(j) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(j) ) f 2 (α(i) ) + ε a(n) a(j) a(i) f 2 (α(n) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(i) ) f 2 (α(j) ) + ε a(n) a(i) a(j) f 2 (α(n) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(j) ) f 2 (α(i) ) − ε a(n) a(j) a(i) f 2 (α(n) ) f 2 (α(j) ) f 2 (α(n) ) − f 2 (α(i) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(n) ) f 2 (α(j) ) + ε a(i) a(n) a(j) f 2 (α(i) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(n) ) f 2 (α(i) ) + ε a(j) a(n) a(i) f 2 (α(j) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(n) ) f 2 (α(j) ) − ε a(i) a(n) a(j) f 2 (α(i) )

a a a  (i) (j) (n) f 2 (α(i) ) f 2 (α(j) ) − ε a(n) a(i) a(j) f 2 (α(n) )

a a a  (i) (j) (n) + ε a(j) a(i) a(n) f 2 (α(j) ) f 2 (α(i) ) f 2 (α(n) ) = 0.

f 2 (α(j) )

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.11 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

11

4.1. Morphismes et codérivations  La structure de cogèbre Hom-coLie de ( + (A[1]), f, δf ) est libre. Nous montrons ici comment définir des codérivations Q et des morphismes F de cette structure à partir de leurs ‘série de Taylor’.   Soit F : ( + (A[1]), f, δf ) −→ ( + (B[1]), g, δg ) un morphisme de cogèbres HomcoLie. On suppose toujours F homogène de degré 0. On appelle Fn la projection sur k>1 n B[1] parallèlement à B[1] de la restriction de F à (A[1]). De même soit + + Q : ( (A[1]), f, δf ) −→ ( (A[1]), f, δf ) une codérivation de cogèbres Hom-coLie. On suppose que Q est homogène de degré q. On appelle Qn la projection sur A[1] paral  lèlement à k>1 A[1] de la restriction de Q à n (A[1]). Proposition 4.3 (Reconstruction de F et Q). La suite d’applications (Fn ) (resp. (Qn )) permet de reconstruire F (resp. Q) de façon unique. On a explicitement 

F (α[1,n] ) =

Fr1 (α[1,r1 ] ) ⊗ Fr2 (α[r1 +1,r1 +r2 ] ) ⊗ . . . ⊗ Frk (α[n−rk +1,n] )

k>0, 0
et Q(α[1,n] ) =



(−1)qa[1,j] f (α[1,j] ) ⊗ Qr (α[j+1,j+r] ) ⊗ f (α[j+r+1,n] ).

1≤r≤n 0≤j≤n−r

Démonstration. – Montrons que F est un morphisme. En gardant nos notations et en ajoutant (rj ) = [sj−1 + 1, sj ], on a par définition : δg ◦ F (α[1,n] ) =





g ◦ Fr1 (α(r1 ) ) ⊗ . . . ⊗ g ◦ Frj (α(rj ) )

r1 ,...,rk 0


g ◦ Frj+1 (α(rj+1 ) ) ⊗ . . . ⊗ g ◦ Frk (α(rk ) )

− (−1)a[1,sj ] a[sj +1,n] g ◦ Frj+1 (α(rj+1 ) ) ⊗ . . . ⊗ g ◦ Frk (α(rk ) ) g ◦ Fr1 (α(r1 ) ) ⊗ . . . ⊗ g ◦ Frj (α(rj ) ). D’autre part, (F ⊗ F ) ◦ δf (α[1,n] )   = (F ⊗ F ) f (α[1,s] ) f (α[s+1,n] ) 0
− (−1)a[1,s] a[s+1,n] f (α[s+1,n] )



 f (α[1,s] )

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.12 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

12

=



 0




    Fr1 f (α(r1 ) ) ⊗ . . . ⊗ Frj f (α(rj ) )

r1 ,...,rj rj+1 ,...,rk r1 +...+rj =s r1 +...+rk =n

    Frj+1 f (α(rj+1 ) ) ⊗ . . . ⊗ Frk f (α(rk ) )     − (−1)a[1,s] a[s+1,n] Frj+1 f (α(rj+1 ) ) ⊗ . . . ⊗ Frk f (α(rk ) )     Fr1 f (α(r1 ) ) ⊗ . . . ⊗ Frj f (α(rj ) ) .

On vérifie aisément que chaque terme de la première expression apparaît une fois et une seule dans la seconde et réciproquement. On a donc δg ◦ F = (F ⊗ F ) ◦ δf . – Montrons que Q est une codérivation. On a δf ◦ Q(α[1,n] ) = δf



 (−1)qa[1,j] f (α[1,j] ) ⊗ Qr (α[j+1,j+r] ) ⊗ f (α[j+r+1,n] ) .

r,j

Donc δf ◦ Q(α[1,n] )  = (−1)qa[1,j] f 2 (α[1,k] ) f 2 (α[k+1,j] ) ⊗ f ◦ Qr (α[j+1,j+r] ) ⊗ f 2 (α[j+r+1,n] ) r,0
− (−1)qa[1,j] +a[1,k] (a[k+1,n] +q) f 2 (α[k+1,j] ) ⊗ f ◦ Qr (α[j+1,j+r] ) ⊗ f 2 (α[j+r+1,n] ) f 2 (α[1,k] )  + (−1)qa[1,j] f 2 (α[1,j] ) ⊗ f ◦ Qr (α[j+1,j+r] ) r,0
⊗ f 2 (α[j+r+1,k] )



f 2 (α[k+1,n] )

− (−1)qa[1,j] +(a[1,k] +q)a[k+1,n] f 2 (α[k+1,n] ) f 2 (α[1,j] ) ⊗ f ◦ Qr (α[j+1,j+r] ) ⊗ f 2 (α[j+r+1,k] ). Par ailleurs, (f ⊗ Q + Q ⊗ f ) ◦ δf (α[1,n] )  (−1)q(a[1,k] +a[k+1,j] ) f 2 (α[1,k] ) = 0


f 2 (α[k+1,j] ) ⊗ Qr ◦ f (α[j+1,j+r] ) ⊗ f 2 (α[j+r+1,n] )

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.13 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••



−

13

(−1)q(a[k+1,n] +a[1,j] )+a[1,k] a[k+1,n] f 2 (α[k+1,n] )

0


f 2 (α[1,j] ) ⊗ Qr ◦ f (α[j+1,j+r] ) ⊗ f 2 (α[j+r+1,k] ) 

+

(−1)qa[1,j] f 2 (α[1,j] ) ⊗ Qr ◦ f (α[j+1,j+r] )

0
⊗ f 2 (α[j+r+1,k] ) −





f 2 (α[k+1,n] )

(−1)qa[k+1,j] +a[1,k] a[k+1,n] f 2 (α[k+1,j] ) ⊗ Qr ◦ f (α[j+1,j+r] )

0
⊗ f 2 (α[j+r+1,n] )



f 2 (α[1,k] ).

Il est clair que Q ◦ f = f ◦ Q. Donc Q est une codérivation et la proposition est prouvée. 2 4.2. HomC ∞ algèbre, morphismes de HomC ∞ algèbres Soit (A, μ, f ) est une algèbre Hom-commutative, on munit A[1] d’un produit m2 défini par m2 (α, β) = (−1)a μ(α, β) qui devient de degré 1, anticommutatif et Homantiassociatif : m2 (β, α) = −(−1)ab m2 (α, β),

    m2 m2 (α, β), f (γ) = −(−1)a m2 f (α), m2 (β, γ) .

Grâce à la proposition précédente, le produit m2 se prolonge à unique codérivation m du cocrochet δf de degré 1 et de carré nul par

m(α[1,n] ) =



n

(A[1]) en une

(−1)a[1,k−1] f (α[1,k−1] ) ⊗ m2 (αk , αk+1 ) ⊗ f (α[k+2,n] ).

0
Définition 4.4 (HomC ∞ algèbre et HomC ∞ morphisme). Une HomC ∞ algèbre est une  cogèbre codifférentielle de la forme ( + (A[1]), f, δf , m) où δf est le cocrochet Hom-coLie défini ci-dessus et m est une codérivation de δf de carré nul. Si (A, μ, f ) est une algèbre Hom-commutative graduée, la cogèbre Hom-coLie codif férentielle C(A) = ( + (A[1]), f, δf , m) où mk = 0 pour tout k = 2 et m2 (α ⊗ β) = (−1)a μ(α, β) s’appelle la HomC ∞ algèbre enveloppante de (A, μ, f ). Un morphisme de HomC ∞ algèbres A et B est un morphisme de cogèbres Hom-coLie   F : + (A[1]) −→ + (B[1]) tel que mB ◦ F = F ◦ mA .

JID:BULSCI 14

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.14 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

5. Algèbres Hom-Gerstenhaber à homotopie près 5.1. Algèbres Hom-Gerstenhaber Définition 5.1. Une algèbre Hom-Gerstenhaber est un espace vectoriel gradué G muni d’une application linéaire f : G −→ G de degré 0, d’une multiplication graduée ∧ : G ⊗ G −→ G de degré 0 tel que (G, ∧, f ) est une algèbre Hom-commutative graduée et d’un crochet [ , ] : G ⊗ G −→ G de degré −1 tel que (G[1], [ , ], f ) soit une algèbre Hom-Lie graduée et que le crochet [ , ] et le produit ∧ vérifient une relation de compatibilité entre eux dite relation de Hom-Leibniz. En notant |α| le degré d’un élément homogène α de G, on a :  f (α), β ∧ γ = [α, β] ∧ f (γ) + (−1)|β|(|α|−1) f (β) ∧ [α, γ]. Exemple 5.2. Soient (G, μ, [ , ]) une algèbre de Gerstenhaber et f un automorphisme d’algèbre de Gerstenhaber sur G (i.e. f ◦ μ = μ ◦ (f ⊗ f ) et f ◦ [ , ] = [ , ] ◦ (f ⊗ f )). Alors, (G, f ◦ μ, f ◦ [ , ], f ) une algèbre Hom-Gerstenhaber obtenue par composition. On donne maintenant un exemple d’algèbre Hom-Gerstenhaber non obtenue par composition. Exemple 5.3. Soit (g, [ , ]) une algèbre de Lie | |-graduée et f un automorphisme d’algèbre de Lie sur g. On sait que (g, [ , ]f = f ◦[ , ], f ) une algèbre Hom-Lie graduée. On considère  l’espace S(g) = n≥0 S n (g) muni de la graduation |X = α1 . . . . .αn | = |α1 | + · · · + |αn |. On prolonge à S(g) le crochet [ , ]f en un crochet [[ , ]] défini, pour X = α1 . . . . .αp et Y = β1 . . . . .βq , par : p  q

 [[X, Y ]] = ε α

α1

... αp β1 ...βq ˆ ˆ i βj α1 ...i...αp β1 ...j...βq



i=1 j=1

× [αi , βj ]f .f (α1 ). . . . ˆi . . . .f (αp ).f (β1 ). . . . ˆj . . . .f (βq ). On obtient que (S(g), [[ , ]], f ) est une algèbre Hom-Lie graduée. On considère après l’espace G = (S(g))[−1] muni de la graduation deg(X) = |X| + 1 noté simplement x. On définit sur cet espace un produit noté mf pour X = α1 . . . . .αp et Y = β1 . . . . .βq : mf (X, Y ) = f (α1 ). . . . .f (αp ).f (β1 ). . . . .f (βq ). On obtient que (G, mf , f ) est une algèbre commutative et Hom-associative deg-graduée (deg(mf ) = 0). De plus, sur G on a deg([[ , ]]) = −1, le crochet [[ , ]] et le produit mf

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.15 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

15

vérifient la relation de Hom-Leibniz. Comme G[1] = S(g) muni de [[ , ]] et f est une algèbre Hom-Lie graduée. Alors, (G = (S(g))[−1], mf , [[ , ]], f ) est une algèbre Hom-Gerstenhaber. Prenons l’exemple g = Tpoly (Rd ) l’espace des multi-champs de tenseurs complètement antisymétriques sur Rd . Cet espace muni de la graduation |α| = k − 1 si α est un k-tenseur et du crochet de Schouten [ , ]S est une algèbre de Lie | |-graduée. On définit sur g l’automorphisme d’algèbre f (α) = exp(|α|) α. On obtient que (g, [ , ]f = f ◦ [ , ]S , f ) une algèbre Hom-Lie graduée. La construction précédente montre que (G = (S(g))[−1], mf , [[ , ]], f ) est une algèbre Hom-Gerstenhaber. 5.2. La HomC ∞ algèbre vue comme une algèbre Hom-Lie Soit (G, ∧, [ , ], f ) une algèbre Hom-Gerstenhaber. Dans G[1], on note comme ci-dessus a, b, . . . les degrés de α, β, . . . . Le produit ∧ donne un produit anticommutatif et Homantiassociatif μ2 de degré 1 : μ2 (α, β) = (−1)a α ∧ β. [ , ] est un crochet d’algèbre Hom-Lie graduée sur G[1] de degré 0. De plus, les relations de Hom-Leibniz entre [ , ] et la multiplication μ2 deviennent :      f (α), μ2 (β, γ) = (−1)a μ2 [α, β], f (γ) + (−1)a(b+1) μ2 f (β), [α, γ] . Comme dans la section précédente, on peut construire la HomC ∞ algèbre naturellement associée à l’algèbre Hom-commutative (G, ∧, f ). On notera cette cogèbre Hom-coLie codifférentielle : (H, f, δf , μ) =

 +

  G[1] , f, δf , μ .

Avec, comme plus haut, δf (α[1,n] ) =



f (α[1,j] )



 f (α[j+1,n] ) − τ f (α[1,j] ) f (α[j+1,n] ) ,

0
μ(α[1,n] ) =



(−1)a[1,j−1] f (α[1,j−1] ) ⊗ μ2 (αj , αj+1 ) ⊗ f (α[j+2,n] ).

0
Maintenant, on prolonge le crochet [ , ] sur l’espace G ⊗ ∧ G ⊗ pour p

α = α{1,...,p} = α1 ⊗ . . . ⊗ αp par :

et

q

β = α{p+1,...,p+q} = αp+1 ⊗ . . . ⊗ αp+q

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.16 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

16



[α, β] =

ε

a1 aσ−1 (1)

... ap+q ... aσ−1 (p+q)



σ∈Bat(p,q) σ −1 (k)≤p<σ −1 (k+1)

× f (ασ−1 (1) ) ⊗ . . . ⊗ f (ασ−1 (k−1) ) ⊗ [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ f (ασ−1 (k+2) ) ⊗ . . . ⊗ f (ασ−1 (p+q) ). Il est à remarquer que le signe de la permutation σ ne dépend pas du morphisme f . On passe au quotient par les battements et on définit le crochet [ , ] par la même   expression sur l’espace p (G[1]) ∧ q (G[1]). On obtient : Théorème 5.4 (H est une algèbre Hom-Lie différentielle graduée). L’espace H, muni de f de degré 0, du crochet [ , ] et de l’opérateur μ est une algèbre Hom-Lie différentielle graduée : Pour tout α, β et γ de H, on a : (i) (ii) (iii) (iv)

[α, β] = −(−1)ab [β, α], (−1)ac [[α, β], f (γ)] + (−1)ba [[β, γ], f (α)] + (−1)cb [[γ, α], f (β)] = 0, μ([α, β]) = [μ(α), f (β)] + (−1)a [f (α), μ(β)], μ ◦ μ = 0, μ ◦ f = f ◦ μ et [ , ] ◦ f = f ◦ [ , ].

Démonstration. (i) On sait que [α[1,p] , α[p+1,p+q] ] =



ε

a1 ... ap+q aσ−1 (1) ... aσ−1 (p+q)



σ∈Bat(p,q) σ −1 (k)≤p<σ −1 (k+1)

× f (ασ−1 (1) ) ⊗ . . . ⊗ f (ασ−1 (k−1) ) ⊗ [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ f (ασ−1 (k+2) ) ⊗ . . . ⊗ f (ασ−1 (p+q) ). Ce crochet ressemble à celui dans [1] théorème 5.2 quitte à remplacer les αk à l’extérieur du crochet par les f (αk ). Comme le morphisme f est de degré 0, on obtient que [α[1,p] , α[p+1,p+q] ] = (−1)a[1,p] a[p+1,p+q] [α[p+1,p+q] , α[1,p] ]. (ii) Soient α = ξ1 ⊗ . . . ⊗ ξp , β = ξp+1 ⊗ . . . ⊗ ξp+q et γ = ξp+q+1 ⊗ . . . ⊗ ξp+q+r . En écrivant (−1)ac [[α, β], f (γ)] + (−1)ba [[β, γ], f (α)] + (−1)cb [[γ, α], f (β)], on trouve des termes de la forme : (1) : (2) :

  f 2 (ξi1 ) ⊗ . . . ⊗ f (ξi ), f (ξj ) ⊗ . . . ⊗ f (ξk ), f (ξl ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (ξip+q+r )  f 2 (ξs1 ) ⊗ . . . ⊗ [ξi , ξj ], f (ξk ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (ξsp+q+r ).

Comme dans [1, théorème 5.2], les termes de la forme (1) se simplifient deux à deux par antisymétrie du crochet [ , ] et les termes de la forme (2) se simplifient par l’identité de Hom-Jacobi.

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.17 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

(iii) On conserve la notation ε(σ) = ε   μ [α[1,p] , α[p+1,p+q] ]  =

a1 ... ap+q aσ−1 (1) ... aσ−1 (p+q)



ε(σ)(−1)

r
 . D’une part, on a

aσ−1 (r) 2

f (α[σ−1 (1),σ−1 (i−1)] )

σ∈Bat(p,q) i
  ⊗ μ f (ασ−1 (i) ), f (ασ−1 (i+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (i+2),σ−1 (k−1)] )   ⊗ f [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+2),σ−1 (p+q)] )

 + ε(σ)(−1) rk+1; σ −1 (k)≤p<σ −1 (k+1)

  ⊗ f [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+2),σ−1 (i−1)] )   ⊗ μ f (ασ−1 (i) ), f (ασ−1 (i+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (i+2),σ−1 (p+q)] )

 + ε(σ)(−1) r
  × f 2 (α[σ−1 (1),σ−1 (k−2)] ) ⊗ μ f (ασ−1 (k−1) ), [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+2),σ−1 (p+q)] )

 ε(σ)(−1) r
  × f 2 (α[σ−1 (1),σ−1 (k−1)] ) ⊗ μ [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ], f (ασ−1 (k+2) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+3),σ−1 (p+q)] ) = (I) + (II ) + (III ) + (IV ). D’autre part, on a 

μ(α[1,p] ), f (α[p+1,p+q] )  =



ε(σ)(−1)

r
aσ−1 (r) 2

f (α[σ−1 (1),σ−1 (i−1)] )

σ∈Bat(p,q) i
⊗ f ◦ μ(ασ−1 (i) , ασ−1 (i+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (i+2),σ−1 (k−1)] )  ⊗ f (ασ−1 (k) ), f (ασ−1 (k+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+2),σ−1 (p+q)] )

 + ε(σ)(−1) rk+1;σ −1 (k)≤p<σ −1 (k+1) −1 {σ (i),σ −1 (i+1)}⊂{1,...,p}

17

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.18 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

18

 ⊗ f (ασ−1 (k) ), f (ασ−1 (k+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+2),σ−1 (i−1)] ) ⊗ f ◦ μ(ασ−1 (i) , ασ−1 (i+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (i+2),σ−1 (p+q)] )

 + ε(σ)(−1) r
 ⊗ μ(ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ), f (ασ−1 (k+2) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+3),σ−1 (p+q)] )       = I  + II  + III  . De plus, ona  (−1)a[1,p] f (α[1,p] ), μ(α[p+1,p+q] )  =



ε(σ)(−1)

r
aσ−1 (r) 2

f (α[σ−1 (1),σ−1 (i−1)] )

σ∈Bat(p,q) i
⊗ f ◦ μ(ασ−1 (i) , ασ−1 (i+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (i+2),σ−1 (k−1)] )  ⊗ f (ασ−1 (k) ), f (ασ−1 (k+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+2),σ−1 (p+q)] )

 ε(σ)(−1) rk+1;σ −1 (k)≤p<σ −1 (k+1) {σ −1 (i),σ −1 (i+1)}⊂{p+1,...,p+q}

 ⊗ f (ασ−1 (k) ), f (ασ−1 (k+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+2),σ−1 (i−1)] ) ⊗ f ◦ μ(ασ−1 (i) , ασ−1 (i+1) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (i+2),σ−1 (p+q)] )

 ε(σ)(−1) r
 ⊗ f (ασ−1 (k) ), μ(ασ−1 (k+1) , ασ−1 (k+2) ) ⊗ f 2 (α[σ−1 (k+3),σ−1 (p+q)] )       = I  + II  + III  . Comme dans [1] théorème 5.2, on vérifie que (I) = (I  ) + (I  ), (II ) = (II  ) + (II  ). De plus, en appliquant l’identité de Hom-Leibniz, on obtient que (III ) + (IV ) = (III  ) + (III  ). (iv) Ces propriétés sont immédiates. 2 5.3. HomL∞ algèbre associée à H  Dans toute la suite, on notera le degré d’un élément α[1,n] = α1 ⊗ . . . ⊗ αn ∈ n (G[1])

n par a[1,n] = i=1 ai et on utilisera des lettres capitales pour les paquets, c’est à dire,  pour un paquet X = α1 ⊗ . . . ⊗ αn ∈ ( n (G[1]))[1] ⊂ H[1] le degré sera noté x =

n i=1 ai − 1 = a[1,n] − 1.

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.19 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

19

Le degré d’un élément X1 . . . . .Xn ∈ S n (H[1]) est alors x1 + . . . + xn . (H, f, [ , ], μ) étant une algèbre Hom-Lie différentielle graduée. En suivant l’étude qu’on a fait dans la section 3, on pourra construire une HomL∞ algèbre associée à H notée (S + (H[1]), f, Δf , + m), avec ( + m)2 = 2 = [ , ] et ( + m)1 = m1 = μ. La comultiplication Δf est définie sur S + (H[1]) par 

Δf (X1 . . . . .Xn ) =

ε

 x{1,...,n}  xI ,xJ

f (XI ) ⊗ f (XJ ).

I J={1,...n} #I>0,#J>0

Le crochet [ , ] sur H était antisymétrique de degré 0. On pose 2 (X, Y ) = (−1)x [X, Y ] qui devient une application symétrique sur S 2 (H[1]) de degré 1. Il vérifie l’identité de Hom-Jacobi et : (i)

      m1 2 (X, Y ) = − 2 m1 (X), f (Y ) + (−1)1+x 2 f (X), m1 (Y ) ,

(ii)

m1 ◦ f = f ◦ m1 ,

m1 ◦ m1 = 0 et 2 ◦ f = f ◦ 2 .

On prolonge le crochet 2 à S + (H[1]) de façon unique en une codérivation de degré 1 de la cogèbre (S + (H[1]), f, Δf ). Ce prolongement est donné par : (X1 . . . . .Xn ) =

 x1 ... xn  ε xi xj x1 ...ˆıjˆ...xn 2 (Xi , Xj ).f (X1 ). . . . ˆı . . . jˆ. . . .f (Xn ). i
Alors, est de carré nul ◦ = 0. On prolonge, de même, m1 à S n (H[1]) en une codérivation m de degré 1 par : m(X1 . . . . .Xn ) =

n 



(−1)

1≤r
xr

f (X1 ). . . . .m1 (Xj ). . . . .f (Xn ).

j=1

Alors, m est de carré nul m ◦ m = 0. De plus, grâce à la propriété (i) ci-dessus, on a ( + m) ◦ ( + m) = 0 et grâce à la propriété (ii), on a ( + m) ◦ f = f ◦ ( + m). D’où, (S + (H[1]), f, Δf , + m) est une HomL∞ algèbre. 5.4. Le cocrochet κf (H, f, δf , m1 ) étant une HomC ∞ algèbre. Le cocrochet δf sur  cocrochet κf sur p (G[1])[1] défini par : Pour X = α1 ⊗ . . . ⊗ αp ,

p

(G[1]) devient un

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.20 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

20

κf (X) =

p−1  f (α[j+1,p] ) (−1)a[1,j] f (α[1,j] ) j=1

−ε =

p−1 



a[1,n] a[j+1,n] a[1,j]

(−1)a[j+1,p] f (α[j+1,p] )

u

j (−1)uj +1 f (Uj ) f (Vj ) + ε vj

vj uj



 f (α{1,...,j} )

 f (Vj )



 f (Uj ) .

j=1

où Uj = α[1,j] , Vj = α[j+1,p] , uj = a[1,j] − 1 et vj = a[j+1,p]−1 . On prolonge κf à S + (H[1]) par : 

κf (X1 . . . . .Xn ) =



(−1)

i


xi

(−1)us +1

Us ⊗Vs =Xs Us ,Vs =∅

1≤s≤n I∪J={1,...,n}\{s}

  x ...x × ε xI u1s vsn xJ f (XI ).f (Us ) f (Vs ).f (XJ )    x ...x f (Us ).f (XJ ) , + ε xI v1s usn xJ f (XI ).f (Vs )

avec ε



x1 ...xn xI us vs xJ



=ε



x1 ...xn xI xs xJ





(−1)

is xi i∈J (−1) i∈I .

Il est clair que κf vérifie κf ◦ f = f ◦ κf . Posons τ12 = τ ⊗ id et τ23 = id ⊗ τ . Proposition 5.5. Le cocrochet κf vérifie les identités de Hom-coJacobi et de HomcoLeibniz graduées : (i) (id ⊗3 + τ12 ◦ τ23 + τ23 ◦ τ12 ) ◦ (κf ⊗ f ) ◦ κf = 0 (identité de Hom-coJacobi graduée). (ii) (f ⊗ Δf ) ◦ κf = (κf ⊗ f ) ◦ Δf + τ12 ◦ (f ⊗ κf ) ◦ Δf (identité de Hom-coLeibniz graduée). Démonstration. (i) On calcule d’abord, (κf ⊗ f ) ◦ κf (X1 . . . . .Xn ), on trouve pour t = s des termes de la forme : (1) :

ε1 .f 2 (XI ).f 2 (Ut )

(2) :

ε2 .f 2 (XI ).f 2 (Vt )

(3) :

ε3 .f 2 (XI ).f 2 (Ut )

(4) :

ε4 .f 2 (XI ).f 2 (Vt )

(5) : (6) :



f 2 (Vt ).f 2 (XJ ).f 2 (Us ) f 2 (Ut ).f 2 (XJ ).f 2 (Us ) f 2 (Vt ).f 2 (XJ ).f 2 (Vs )



f 2 (Vs ).f 2 (XK ) f 2 (Vs ).f 2 (XK ) f 2 (Us ).f 2 (XK )

f 2 (Ut ).f 2 (XJ ).f 2 (Vs ) f 2 (Us ).f 2 (XK ) f 2 (Vt ).f 2 (XJ ) f 2 (Vs ).f 2 (XK ) ε5 .f 2 (XI ).f 2 (Us ).f 2 (Ut ) f 2 (Ut ).f 2 (XJ ) f 2 (Vs ).f 2 (XK ) ε6 .f 2 (XI ).f 2 (Us ).f 2 (Vt )

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.21 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

(7) :

ε7 .f 2 (XI ).f 2 (Vs ).f 2 (Ut )

(8) :

ε8 .f 2 (XI ).f 2 (Vs ).f 2 (Vt )



f 2 (Vt ).f 2 (XJ ) f 2 (Ut ).f 2 (XJ )



21

f 2 (Us ).f 2 (XK ) f 2 (Us ).f 2 (XK )

Et pour t = s, si Xs = Us ⊗ Vs ⊗ Ws on trouve des termes de la forme : f 2 (Vs ).f 2 (XJ ) f 2 (Ws ).f 2 (XK ) f 2 (Us ).f 2 (XJ ) f 2 (Ws ).f 2 (XK ) ε10 .f 2 (XI ).f 2 (Vs ) f 2 (Ws ).f 2 (XJ ) f 2 (Us ).f 2 (XK ) ε11 .f 2 (XI ).f 2 (Vs ) f 2 (Vs ).f 2 (XJ ) f 2 (Us ).f 2 (XK ) ε12 .f 2 (XI ).f 2 (Ws )

ε9 .f 2 (XI ).f 2 (Us )

(9) : (10) : (11) : (12) :



Puisque f est de degré 0, alors ces termes se simplifient comme dans la proposition 6.1 de [1]. (ii) D’une part, on a (f ⊗ Δf ) ◦ κf (X1 . . . . .Xn ) 

= (−1) i
+ε +ε +ε

 

xJ xJ

 xJ

(−1)us +1

Us ⊗Vs =Xs Us ,Vs =∅

1≤s≤n I∪J∪K={1,...,n}\{s}

 × ε xJ



f 2 (XI ) f 2 (Vs ).f 2 (XK ) f 2 (XJ ).f 2 (Us )  2 x1 ...xn 2 f 2 (Vs ).f 2 (XK ) f 2 (XI ) us vs xK xI f (XJ ).f (Us )  2 x1 ...xn 2 f 2 (XI ) f 2 (Us ).f 2 (XK ) vs xI us xK f (XJ ).f (Vs )   2 x1 ...xn 2 f 2 (Us ).f 2 (XK ) f 2 (XI ) vs us xK xI f (XJ ).f (Vs ) x1 ...xn us xI vs xK



= (1) + (2) + (3) + (4). D’autre part, on a τ12 ◦ (f ⊗ κf ) ◦ Δf (X1 . . . . .Xn ) 

 x ...x  = ε xI x1J xsn xK (−1)xI (−1) i∈J xi 1≤s≤n I∪J∪K={1,...,n}\{s}

 x × ε xIJ +ε

 xI

= (5) + (6). De plus, on a

Us ⊗Vs =Xs Us ,Vs =∅

(−1)us +1

f 2 (XJ ).f 2 (Us ) f 2 (XI ) f 2 (Vs ).f 2 (XK )  xK  2 2 f 2 (XI ) f 2 (Us ).f 2 (XK ) xK f (XJ ).f (Vs )

xJ us vs xK us xI vs xK

xJ us vs xJ vs xI us





JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.22 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

22

(κf ⊗ f ) ◦ Δf (X1 . . . . .Xn )   x ...x ε xJ x1s xKn =

 xI



(−1)

i∈J



xi

(−1)us +1

Us ⊗Vs =Xs Us ,Vs =∅

1≤s≤n I∪J∪K={1,...,n}\{s}

  x x x x × ε xJ Jus svs KxK IxI f 2 (XJ ).f 2 (Us ) f 2 (Vs ).f 2 (XK ) f 2 (XI )   x x x x  + ε xJ Jvs sus KxK IxI f 2 (XJ ).f 2 (Vs ) f 2 (Us ).f 2 (XK ) f 2 (XI )

= (7) + (8). Le même calcul que dans la proposition 6.1 de [1] montre que (1) = (5), (2) = (7), (3) = (6) et (4) = (8). 2 Finalement, l’espace (S + (H[1]), f, κf ) est une cogèbre Hom-coLie. Proposition 5.6. Avec nos notations, m est une codérivation de degré 1 de S + (H[1]) pour le cocrochet κf : (f ⊗ m + m ⊗ f ) ◦ κf = −κf ◦ m. Démonstration. On a κf ◦ m(X1 . . . . .Xn ) =

n 

  (−1) i




= (−1) i
    x ...u v ...(x +1)...x × ε x1 I utt vt t (xss +1) xJn f 2 (XI ).f 2 (Ut ) f 2 (Vt ).f m(Xs ) .f 2 (XJ )

+ε

+ε

+ε +

x1 ...ut vt ...(xs +1)...xn xI (xs +1) ut vt xJ x1 ...ut vt ...(xs +1)...xn xI vt ut (xs +1) xJ x1 ...ut vt ...(xs +1)...xn xI (xs +1) vt ut xJ





(−1)

i
xi +ut +1+

  

  f 2 (Vt ).f 2 (XJ ) f 2 (XI ).f m(Xs ) .f 2 (Ut ) f 2 (XI ).f 2 (Vt )



  f 2 (Ut ).f m(Xs ) .f 2 (XJ ) 

  f 2 (Ut ).f 2 (XJ ) f (XI ).f m(Xs ) .f 2 (Vt ) 2

i
xi +1

t>s

    x ...u v ...(x +1)...x × ε x1 I utt vt t (xss +1) xJn f 2 (XI ).f 2 (Ut ) f 2 (Vt ).f m(Xs ) .f 2 (XJ )

+ε

x1 ...ut vt ...(xs +1)...xn xI (xs +1) ut vt xJ



  f 2 (Vt ).f 2 (XJ ) f 2 (XI ).f m(Xs ) .f 2 (Ut )

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.23 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

+ε

+ε +

x1 ...ut vt ...(xs +1)...xn xI vt ut (xs +1) xJ x1 ...ut vt ...(xs +1)...xn xI (xs +1) vt ut xJ

 

f 2 (XI ).f 2 (Vt )



23

  f 2 (Ut ).f m(Xs ) .f 2 (XJ ) 

  f 2 (Ut ).f 2 (XJ ) f (XI ).f m(Xs ) .f 2 (Vt ) 2

n 

(−1) i
   2 x ...(u +1) v ...x × ε x1 I (uss +1) vss xJn f 2 (XI ).f m(Us ) f (Vs ).f 2 (XJ ) 

   x ...(u +1) v ...x f m(Us ) .f 2 (XJ ) + ε x1 I vs s(us +1)s xJn f 2 (XI ).f 2 (Vs )

 

 x ...u (v +1)...x + (−1) i
  2 x ...u (vs +1)...xn 2 2 (X ) . f m(V ) f (U ) . f (X ) f + ε x1 I (vss +1) I s s J us xJ = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) + (9) + (10) + (11) + (12). En calculant (f ⊗ m) ◦ κf (X1 . . . . .Xn ), on trouve −(1) − (3) − (5) − (7) − (10) − (11) et en calculant (m ⊗ f ) ◦ κf (X1 . . . . .Xn ), on trouve −(2) − (4) − (6) − (8) − (9) − (12). 2 Proposition 5.7. Avec nos notations, est une codérivation de degré 1 de S + (H[1]) pour le cocrochet κf : (f ⊗ + ⊗ f ) ◦ κf = −κf ◦ . Démonstration. On sait que, 



κf ◦ (X1 . . . . .Xn ) = κf

ε

x

... xn xi xj xJ 1



 2 (Xi , Xj ).f (XJ )

i
– Si κf coupe f (XJ ), en posant J = J1 ∪ {s} ∪ J2 , il apparaît un terme de la forme (I) :

  f 2 (Xi , Xj ) .f 2 (XJ1 ).f 2 (Us ) f 2 (Vs ).f 2 (XJ2 )

avec le signe ε1 = (−1)xi +xj +xJ1 +us ε

x

1 ... xn xi xj xJ

 .

Ce terme apparaît aussi dans ( ⊗ f ) ◦ κf (X1 . . . . .Xn ) avec le signe

(−1)

r
xr +us +1

(−1)

xr r>s r
= (−1)xi +xj +xJ1 +us +1 ε

x

... xn xi xj xJ 1



= −ε1 .



JID:BULSCI 24

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.24 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

De même, on vérifie que les autres termes dans le premier et le second membre de la proposition apparaissent à un signe (−1) près. – Si κf coupe 2 (Xi , Xj ), on va l’étudier comme si on a deux paquets. Posons X = α1 ⊗ . . . ⊗ αp et Y = αp+1 ⊗ . . . ⊗ αp+q , alors on a κf ◦ 2 (X, Y )



= (−1)x

ε

a1 ... ap+q aσ−1 (1) ...aσ−1 (p+q)

 



(−1)

i≤t

aσ−1 (i)

t
σ∈Bat(p,q) k; σ −1 (k)≤p<σ −1 (k+1)

× f 2 (ασ−1 (1) ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (ασ−1 (t) ) f 2 (ασ−1 (t+1) ) ⊗ . . .   ⊗ f [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ . . . ⊗ f 2 (ασ−1 (p+q) )



a1 ... ap+q − (−1) i>t aσ−1 (i) ε a[σ−1 (t+1),σ−1 (p+q)] ,a[σ−1 (1),σ−1 (t)]   × f 2 (ασ−1 (t+1) ) ⊗ . . . ⊗ f [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ . . .  ⊗ f 2 (ασ−1 (p+q) ) f 2 (ασ−1 (1) ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (ασ−1 (t) )

   + (−1) i≤t aσ−1 (i) f 2 (ασ−1 (1) ) ⊗ . . . ⊗ f [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ . . . t>k

⊗ f 2 (ασ−1 (t) )



f 2 (ασ−1 (t+1) ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (ασ−1 (p+q) )



a1 ... ap+q − (−1) i>t aσ−1 (i) ε a[σ−1 (t+1),σ−1 (p+q)] ,a[σ−1 (1),σ−1 (t)] × f 2 (ασ−1 (t+1) ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (ασ−1 (p+q) ) f 2 (ασ−1 (1) ) ⊗ . . .    ⊗ f [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ . . . ⊗ f 2 (ασ−1 (t) ) = (1) + (2) + (3) + (4). Comme dans [1], on remplace les αi à l’extérieur du crochet par les f 2 (αi ) et les αi à l’intérieur du crochet par les f (αi ). Par exemple, le terme (1) :

f 2 (αp+1 ) ⊗ . . . ⊗ f 2 (αp+t ) f 2 (ασ−1 (t+1) ) ⊗ . . .   ⊗ f [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ . . . ⊗ f 2 (ασ−1 (p+q) )

apparaît dans κf ◦ 2 (X, Y ) avec le signe ε1 = (−1)x ε

a1 aσ−1 (1)

... ap+q ... aσ−1 (p+q)





(−1)

p+1≤i≤p+t

Ce terme apparaît dans (f ⊗ 2 ) ◦ κf (X, Y ) avec le signe −ε1 .

ai

2

.

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.25 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

25

5.5. HomG ∞ algèbre et morphisme de HomG ∞ algèbres Dans le paragraphe précédent, on a construit deux codérivations m et de degré 1 pour la comultiplication Δf de la cogèbre cocommutative et Hom-coassociative (S + (H[1]), f, Δf ) et pour le cocrochet κf de la cogèbre Hom-coLie (S + (H[1]), f, κf ) vérifiant m ◦ m = 0 et ◦ = 0. De plus, la comultiplication Δf et le cocrochet κf vérifie l’identité de Hom-coLeibniz (f ⊗ Δf ) ◦ κf = (κf ⊗ f ) ◦ Δf + τ12 ◦ (f ⊗ κf ) ◦ Δf . On dit que (S + (H[1]), f, Δf , κf ) est une cogèbre Hom-Gerstenhaber graduée. Comme +m est une codérivation de degré 1 de (S + (H[1]), f, Δf , κf ) vérifiant l’équation ( + m)2 = 0. Alors, (S + (H[1]), f, Δf , κf , + m) est une cogèbre Hom-Gerstenhaber différentielle graduée. Définition 5.8 (HomG ∞ algèbre). Une HomG ∞ algèbre est une bicogèbre de la forme  G(G) = (S + ( + (G[1])[1]), f, Δf , κf ) munie d’une codérivation pour les deux structures Δf et κf notée + m et de carré nul.  Soit G une algèbre Hom-Gerstenhaber, alors, G(G) = (S + ( + (G[1])[1]), f, Δf , κf , + m) avec k = 0

si k = 2,

mk = 0 si k = 1, (X, Y ∈ H =

+

2 (X, Y ) = (−1)x [X, Y ], m1 (X) = μ(X)

(G[1])), s’appelle la HomG ∞ algèbre enveloppante de l’algèbre G.

Maintenant, rappelons que si S + (g[1]) et S + (g [1]) sont deux HomL∞ algèbres, resp. +   si (A[1]) et (A [1]) sont deux HomC ∞ algèbres, un morphisme F de HomL∞ algèbre, resp. de HomC ∞ algèbre entre ces deux algèbres est un morphisme de cogèbre   qui commute avec les codifférentielles g et g , resp. les codifférentielles mA et mA . De plus, les morphismes de cogèbres sont caractérisés par leurs projections Fn   Fn : S n g[1] −→ h

resp. Fn :

 n

 A[1] −→ A .

On a la définition naturelle :  Définition 5.9 (Morphismes de HomG ∞ algèbres). Soit (S + ( + (G[1])[1]), f, Δf , κf ,  + m) et (S + ( + (G  [1])[1]), g, Δf , κf ,  + m ) deux HomG ∞ algèbres. Une applica  tion F : S + ( + (G[1])[1]) −→ S + ( + (G  [1])[1]) est un morphisme de HomG ∞ algèbres si F est un morphisme de cogèbres : F ◦ f = g ◦ F,

(F ⊗ F ) ◦ Δ = Δ ◦ F,

de degré 0 qui préserve les codifférentielles :

(F ⊗ F ) ◦ κ = κ ◦ F,

JID:BULSCI 26

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.26 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

  F ◦ ( + m) =  + m ◦ F. Un morphisme de HomG ∞ algèbres

F : (S + (

+



(G[1])[1]), f ) −→ (S + (

+

(G  [1])[1]), g),

est uniquement caractérisé par ses projections dans G  , que l’on note : Fp1 ...pn :

    p1 pn G[1] . . . . . G[1] −→ G  .

6. Algèbre Hom-Gerstenhaber pure Dans [4], Camille Laurent-Gengoux et Joana Teles ont proposé une définition d’algèbre Hom-Poisson (A, μ, { , }, f ) de telle sorte que (A, μ, f ) soit une algèbre commutative Hom-associative et (A, { , }, f ) soit une algèbre Hom-Lie et le crochet { , } et le produit μ vérifient la relation de Hom-Leibniz suivante :      f (α), μ(β, γ) = μ {α, β}, f (γ) + (−1)|β||α| μ f (β), {α, γ} .



Ils ont proposé aussi une définition d’algèbre Hom-Poisson pure (A, μ, { , }, f ) de telle sorte que (A, μ) soit une algèbre commutative et associative et (A, { , }, f ) soit une algèbre Hom-Lie et le crochet { , } et le produit μ vérifient la relation de Hom-Leibniz suivante : 

     α, μ(β, γ) = μ {α, β}, f (γ) + (−1)|β||α| μ f (β), {α, γ} .

Dans ce paragraphe, on définit une algèbre Hom-Gerstenhaber pure comme étant une version impaire d’une algèbre Hom-Poisson pure. Définition 6.1. Une algèbre Hom-Gerstenhaber pure est un espace vectoriel gradué G muni d’une application linéaire f : G −→ G de degré 0, d’une multiplication graduée ∧ : G ⊗ G −→ G de degré 0 tel que (G, ∧, f ) est une algèbre commutative associative graduée et d’un crochet [ , ] : G ⊗ G −→ G de degré −1 tel que (G[1], [ , ], f ) soit une algèbre Hom-Lie graduée et que le crochet [ , ] et le produit ∧ vérifient une relation de compatibilité entre eux dite relation de Hom-Leibniz : ∀α, β, γ ∈ G,

[α, β ∧ γ] = [α, β] ∧ f (γ) + (−1)|β|(|α|−1) f (β) ∧ [α, γ].

Comme ci dessus et comme dans [1], on construit l’algèbre à homotopie près associée à une algèbre Hom-Gerstenhaber pure. D’abord, on procède à un premier décalage en considérant l’espace G[1]. On y définit un produit μ2 de degré 1 : μ2 (α, β) = (−1)α α ∧ β et le crochet [ , ] qui est déjà de degré 0 dans G[1].

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.27 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

27

+ On prolonge après μ2 et [ , ] en μ et [ , ] à l’espace quotient H = (G[1]) de T (G[1]) par l’espace engendré par les images de toutes les applications battements. Ces prolongements sont donnés par : 

μ(X) =

(−1)a[1,j−1] α[1,j−1] ⊗ μ2 (αj , αj+1 ) ⊗ α[j+2,p]

0


[X, Y ] =

ε

α1 ... αp+q ασ−1 (1) ...ασ−1 (p+q)



f (ασ−1 (1) ) ⊗ . . .

σ∈Bat(p,q) σ −1 (k)≤p<σ −1 (k+1)

⊗ [ασ−1 (k) , ασ−1 (k+1) ] ⊗ . . . ⊗ f (ασ−1 (p+q) ). Sur H =

+

(G[1]), on a un cocrochet naturel δ : δ(X) =



α[1,j]



 α[j+1,p] − τ α[1,j] α[j+1,p] .

0
Le produit μ est une codérivation de δ telle que μ ◦ μ = 0. Ainsi, (H, δ, μ) est une cogèbre coLie et codifférentielle. D’autre part, le crochet [ , ] sur H est antisymétrique de degré 0 et vérifie l’identité de Hom-Jacobi. De plus, μ est une dérivation de [ , ]. Alors, on obtient que (H, [ , ], μ) est algèbre Hom-Lie différentielle graduée. La construction classique consiste à considérer l’espace H[1] et l’application 2 (X, Y ) = (−1)x [X, Y ] puis à considérer l’espace S + (H[1]) et le munir d’un coproduit Δf et des deux codérivations et m telle que ◦ = 0 et m◦m=0 : 

Δf (X1 . . . . .Xn ) =

 x1 ,...,xn 

ε

xI ,xJ

f (XI ) ⊗ f (XJ ),

I∪J={1,...,n}

m(X1 . . . . .Xn ) =

n 



(−1)

1≤r
xr

f (X1 ). . . . .μ(Xj ). . . . .f (Xn ),

j=1

(X1 . . . . .Xn ) =

 x1 ... xn  ε xi xj x1 ...ˆıjˆ...xn 2 (Xi , Xj ).f (X1 ). . . . ˆı . . . jˆ. . . .f (Xn ). i
On obtient que (S + (H[1]), Δf , m + , f ) est une cogèbre cocommutative, Homcoassociative et codifférentielle. De plus, (H, δ, μ) étant une cogèbre coLie et codifférentielle, il reste à décaler δ en κ sur H[1] pour l’étendre après à S + (H[1]). Ce prolongement est donné par : κ(X1 . . . . .Xn )  = 1≤s≤n I∪J={1,...,n}\{s}



(−1)

i
xi

 Us ⊗Vs =Xs Us ,Vs =∅

(−1)us +1

    x ...x  x ...x Vs .XJ + ε xI v1s usn xJ XI .Vs Us .XJ , × ε xI u1s vsn xJ XI .Us

JID:BULSCI

AID:2646 /FLA

[m1L; v1.143-dev; Prn:22/12/2014; 14:58] P.28 (1-28)

W. Aloulou, R. Chatbouri / Bull. Sci. math. ••• (••••) •••–•••

28

avec ε



x1 ...xn xI us vs xJ



=ε



x1 ...xn xI xs xJ





(−1)

is xi i∈J (−1) i∈I .

Cependant, m et sont aussi des codérivations de κ telles que (m + ) ◦ (m + ) = 0. Ainsi, (S + (H[1]), κ, m + ) est une cogèbre coLie et codifférentielle. Enfin, le coproduit Δf et le cocrochet κ vérifient la relation de Hom-coLeibniz suivante : (id ⊗ Δf ) ◦ κ = (κ ⊗ f ) ◦ Δf + τ12 ◦ (f ⊗ κ) ◦ Δf . D’où, (S + (H[1]), Δf , κ, m + ) est une bicogèbre cocommutative, Hom-coassociative, coLie et codifférentielle. Elle est l’algèbre Hom-Gerstenhaber pure à homotopie près enveloppante de G. Déclaration d’intérêts Rien à déclaré. Références [1] W. Aloulou, D. Arnal, R. Chatbouri, Algèbres et cogèbres de Gerstenhaber et cohomologies de Chevalley-Harrison, Bull. Sci. Math. 133 (2009) 1–50. [2] D. Arnal, D. Manchon, M. Masmoudi, Choix des signes pour la formalité de M. Kontsevich, Pac. J. Math. 203 (1) (2002) 23–66. [3] J.T. Hartwig, D. Larsson, S.D. Silvestrov, Deformations of Lie algebras using σ-derivations, J. Algebra 295 (2006) 314–361. [4] C. Laurent-Gengoux, J. Teles, Hom-Lie Algebroids, preprint, arXiv :1211.2263v1 [math.DG], 9 Nov 2012. [5] A. Makhlouf, S. Silvestrov, On Hom-algebra structures, J. Gen. Lie Theory Appl. 2 (2) (2008) 51–64. [6] D. Yau, Hom-algebras and homology, preprint, arXiv :0712.3515v3 [math.RA], 6 Aug 2009.