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An alternative model to boundary and interface layer correctors in semiconductor theory: derivation and existence theory
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 271–276, 2001 Physique mathématique/Mathematical Physics (Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations)
An alternative model to boundary and interface layer correctors in semiconductor theory: derivation and existence theory Moulay D. TIDRIRI Department of Mathematics, Iowa State University, Ames, IA 50011-2064, USA E-mail: [email protected] (Reçu le 10 mai 2000, accepté le 11 décembre 2000)
Abstract.
In this paper we propose and study alternative models to boundary and interface layers correctors in semiconductor theory. These new models consist of coupling the Boltzmann transport equations with their drift diffusion approximations. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Un modèle alternatif aux correcteurs de couches limites en physique des semi-conducteurs : dérivation et théorie d’existence Résumé.
Dans cette Note on introduit et on étudie des modèles alternatifs à la méthode classique des correcteurs de couches limites et d’interfaces dans la théorie des semi-conducteurs. Ces nouveaux modèles consistent à coupler les équations de transport de Boltzmann avec leurs approximations par les équations de dérive-diffusion. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée Les équations de transport quantique de Boltzmann [6] sont données par la formule (1), où fe = fe (x, k, t) et fe = fe (x, k , t), B est la zone de Brillouin, et k ∈ B est un vecteur d’onde ; fe est la probabilité de présence à la position x, avec le vecteur d’onde k, au temps t ; V est le potentiel électrostatique et q > 0 la charge élémentaire. La vitesse ve de l’électron est donnée par : ve (k) = 1 h ∇k εe (k) où εe est son énergie. La constante h est la constante de Planck ; Q(f ) est l’opérateur de collision et S(k, k ) est la probabilité de transition. Des équations similaires sont aussi valables pour les trous. Pour plus de détail on renvoit à [6]. Ces équations décrivent l’évolution des électrons et trous dans un semi-conducteur. La solution numérique de ces équations est difficile et souvent très coûteuse. Il est donc clair que le développement d’approximations des équations quantiques de Boltzmann est un aspect très important de la théorie des semi-conducteurs. Les modèles macroscopiques constituent un bon compromis entre la précision physique Note présentée par Philippe G. C IARLET. S0764-4442(00)01823-1/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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et l’efficacité du calcul sur ordinateur. Dans ces modèles le nombre de variables indépendantes est réduit à quatre (trois pour la position et un pour le temps). Ces modèles macroscopiques ne sont pas valides près des surfaces ou dans des zones où le champ électrostatique varie rapidement. Dans ces cas, les effets cinétiques doivent être pris en compte. Plusieurs méthodes, basées sur l’analyse des couches limites, ont été proposés. Dans cette Note, on propose une nouvelle méthode, différente des méthodes classiques. Notre méthode consiste à coupler les équations des semi-conducteurs de Boltzmann avec leurs approximations macroscopiques. Les équations de Boltzmann sont utilisées seulement localement dans les régions où les effets cinétiques ne peuvent pas être décrits par les équations macroscopiques. On va développer la théorie de notre méthode dans le cas linéaire (l’opérateur de collision Q est supposé être linéaire). On va aussi imposer d’autres conditions sur le champ électrique E. Ces dérnières vont être précisées ci-dessous. Cependant, notre méthode est générale et peut être utilisée pour le couplage du modèle de Boltzmann dans sa généralité (ou d’autres modèles cinétiques en théorie des semi-conducteurs) avec son approximation macroscopique. Considérons maintenant les décompositions géométriques introduites dans le paragraphe 2 (voir formule (2)). Plaçons-nous d’abord dans le cas où le modèle macroscopique (ici le modèle de dérivediffusion) donne une mauvaise approximation à la densité de particules dans le domaine X1 , mais que ce modèle est valable dans X2 . Dans ce cas, on propose le modèle physique suivant consistant de deux modèles : le modèle de Boltzmann utilisé dans X1 et son approximation par dérive-diffusion utilisée dans X2 . Ce nouveau modèle qui sera appelé le modèle (α), est donné par les équations (3)–(8). Pour plus de détail sur la dérivation des conditions de transmission on renvoit à [10]. On se place maintenant dans le cas où le modèle macroscopique donne une bonne approximation à la densité de particules partout dans le domaine X sauf sur la surface. Dans ce cas, on prend X2 = X. On propose alors le modèle physique composé de deux modèles : le modèle de Boltzmann utilisé dans X1 et son approximation par les équations de dérive-diffusion utilisée globalement dans X2 = X. Les conditions de transmission sont obtenues de la même façon que pour le modèle (α) [10]. Le modèle ainsi obtenu sera appelé le modèle (β). Le lien entre les équations des semi-conducteurs de Boltzmann et leurs approximations par les équations de dérive-diffusion est donné dans [8]. Maintenant on va établir la théorie d’existence pour le modèle (α). Comme on l’a mentionné au début, on va supposer que l’opérateur de collision Q est linéaire continu. De plus, on va supposer que le champ électrique est continu et lipschitzien sur X × (0, T ) et satisfait : E ∈ L∞ (X × (0, T )). Cette hypothèse sur E est importante pour la validité du lemme 3.1 ci-dessous. Soit maintenant H l’espace défini par H = L1 (X1 × R3 ) × L1 (X2 ) muni de la norme (w1 , w2 ) = w1 L1 (X1 ×R3 ) + w2 L1 (X2 ) . Alors on a le résultat d’existence suivant. T HEOREM 0.1. – Soit u0 ∈ H, alors le modèle a une solution forte unique.
1. Introduction The quantum Boltzmann transport equations [6] correspond to finding fe (x, k, t) such that: ∂fe q + ve (k) · ∇x fe + ∇x V · ∇k fe = Q(fe )(x, k, t), ∂t h
(x, k) ∈ X × B,
(1)
where fe = fe (x, k, t) and fe = fe (x, k , t), B is the Brillouin zone, and k ∈ B is a pseudo wave-vector; fe is the probability of finding an electron in the volume dx dk of the conduction-band phase-space; V is the electrostatic potential and q > 0 is the positive elementary charge; ve (k) = h1 ∇k εe (k) with εe denoting the band diagram for the conduction bands and h is Planck’s constant; Q(fe ) is the collision operator. Similar
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An alternative model to boundary and interface layer correctors in semiconductor theory
equations are also valid for holes. For more details about the definition of the various terms involved in these equations we refer to [6]. These equations describe the evolution of a electron and hole population in a semiconductor device. The numerical solution of these equations is difficult and often very costly. Therefore it is clear that the development of approximate descriptions to the quantum Boltzmann transport equations is a very important aspect of the semiconductor theory. Macroscopic models constitute a good compromise between the physical accuracy and the computational efficiency. They remove the velocity dependence of the equations, thus, reducing the number of independent variables to four (three for the position and one for time). These macroscopic descriptions, however, are not valid for example near the boundaries, on the material interfaces, and when the electric field is large. In these cases, kinetic effects must be taken into account. Various approaches have been proposed, which mainly use kinetic and/or interface layer analysis. In this paper we propose alternative models to these various approaches. Our method consists in coupling the Boltzmann semiconductor equations with their macroscopic approximations. The Boltzmann equations are only used locally in the regions where the kinetic effects cannot be described by the macroscopic equations. We shall develop the analysis of our method for the case of linear (scaled) Boltzmann equations and under additional conditions on the electric field that will be detailed in the next section. We also only consider the macroscopic drift diffusion model. However, our method is general and can be used for the coupling of the full Boltzmann model with any of its macroscopic approximations. 2. Proposed models Let X, X1 , X2 be three open sets of R3 such that: X1 , X2 ⊂ X,
X 1 ∪ X 2 = X,
Γ1 = ∂X1 ∩ ∂X,
X2 = X − X 1 ,
Γ12 = ∂X1 ∩ X = ∂X2 ∩ X,
Γ− 1 = {(x, v) | x ∈ Γ1 , v · n1 (x) < 0},
Γ2 = ∂X2 ∩ ∂X,
Γ− 12 = {(x, v) | x ∈ Γ12 , v · n1 (x) < 0},
Γ+ 1 = {(x, v) | x ∈ Γ1 , v · n1 (x) > 0},
(2)
Γ+ 12 = {(x, v) | x ∈ Γ12 , v · n1 (x) > 0}, where n1 and n2 denote the outer unit normal vector to X1 and X2 respectively . Assume that X1 is the domain where the macroscopic model gives a poor approximation to the density of particles. Then we propose the following physical model consisting of two models: the Boltzmann model used in X1 and the drift-diffusion model used in X2 : q Q(f ) ∂f 1 + v · ∇x f − E · ∇v f − 2 = S(x, t)M (v), x ∈ X1 , v ∈ R3 , t > 0; (3) ∂t ε m ε f (x, v, t) = ρ(x, t)M (v) on Γ− f (x, v, t) = g(x, v, t) on Γ− (4) 12 , t > 0; 1 , t > 0; ∂ρ (5) + div J(x, t) = S(x, t), x ∈ X2 , t > 0; ∂t ρ(x, t) = h(x, t), x ∈ Γ2 , t > 0; (6) 1 1 J · n2 + ρ M (v)v · n2 dv = f v · n2 dv on Γ12 , t > 0; (7) ε v·n2 <0 ε v·n2 <0 f (x, v, 0) = f0 (x)M (v)
in X1 × R3 ;
ρ(x, 0) = f0 (x)
in X2 ;
(8)
where J(x, t) = −(D∇x ρ(x, t) − µρ(x, t)E(x, t)) is the electron current, t is in (0, T ) with T > 0, and ρ(x, t) is the electron density. The constant q is the elementary charge and m is the effective mass of the electron. E is the electric field, and the source term given models the generationrecombination processes. The constants D and µ are the diffusion coefficient and the mobility respectively.
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M (v) = (2πθ)−3/2 exp(−v 2 /2θ) is the normalised Maxwellian distribution at the temperature of the semiconductor. f0 , g, and h are given data. This model will be referred to as the model (α). For more details about the derivation of the transmission conditions we refer to [10]. Assuming now that the macroscopic description gives a good approximation of the Boltzmann equations everywhere except on the surface, we can then take X2 = X. The model we propose then corresponds to the physical model consisting of two components: the Boltzmann model used in X1 and the drift-diffusion model used globally in X2 = X with the appropriate coupling boundary conditions, which are obtained following the model (α) [10]. The connection between the drift-diffusion equations and the Boltzmann transport equations is given in [8]. For a recent account on the mathematical theory of the decoupled problems when the electric field is obtained by solving a Poisson equation, we refer to [4,5] and the references therein. For the remainder of this paper, we shall study the existence and uniqueness theory for the model (α). 3. Main result As we mentioned in the introduction, the operator Q is assumed to be linear continuous. Moreover, we shall assume that the electric field is Lipschitz-continuous on X × (0, T ) and satisfies: E ∈ L∞ (X × (0, T )). The assumption about E is important for the validity of Lemma 3.1 below. We shall work in the space H = L1 (X1 × R3 ) × L1 (X2 ) with the following norm (w1 , w2 ) = w1 L1 (X1 ×R3 ) + w2 L1 (X2 ) . We recall that these spaces are the most physically relevant spaces for the study of these problems. Set q + a = −m E. Assume that the characteristics stemming from Γ− 12 do not reach Γ12 . Then we have the following existence and uniqueness result. T HEOREM 3.1. – Assume that u0 ∈ H, then the model (α) has a unique strong solution. Remark 1. – By similar arguments we prove similar result for the model (β) [10]. Remark 2. – We shall study the homogeneous case (S ≡ 0, g ≡ 0 and h ≡ 0), by standard arguments we obtain the result for the nonhomogeneous case. Proof. – Let A be the operator defined in H by: A(w1 , w2 ) =
1 (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) ε div J
,
(9)
(w1 , w2 ) ∈ H | (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) ∈ L1 (X1 × R3 ), and w2 ∈ W1,1 (X2 ), − − 1 . D(A) = div J ∈ L (X2 ), w1 = 0 on Γ1 , w1 = M (v)w2 on Γ12 , w2 = 0 on Γ2 ,
1 1 J · n2 + w2 v·n2 <0 M (v)v · n2 dv = ε v·n2 <0 w1 v · n2 dv on Γ12 ε Let B be the operator defined in H as follows: B(w1 , w2 ) =
− ε12 Q(w1 ) 0
.
(10)
By a perturbation result if we prove that A is the infinitesimal generator of a C0 semigroup then A + B (Q is linear continuous) is also an infinitesimal generator of the C0 semigroup, and Theorem 3.1 will be proved. It is clear that D(A) is dense in H. We shall use the Hille–Yosida theorem [3]. Let λ be a real number and let f ∈ H. We shall study the problem: find w ∈ D(A) solution of Aw + λw = f , which corresponds to finding w ∈ D(A) such that:
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1 (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) + λw1 = f1 ε div J + λw2 = f2
in X1 × R3 ,
(11)
in X2 .
We shall consider first the transport problem: 1 (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) + λw1 = f1 ε w1 = g1
on
Γ− 1
in X1 × R3 ,
∪ Γ− 12 .
(12)
We use the method of characteristics: dx/ds = v, dv/ds = a, with initial conditions (x(0), v(0)) ∈ − Γ− 1 ∪ Γ12 . The solution w1 is given by: s (13) exp ελ(t − s) f1 x(t), v(t) dt. w1 x(s), v(s) = g1 x(0), v(0) exp(−λεs) + ε 0
We have (see [1]): L EMMA 3.1. – The solution w1 satisfies the following estimate: w1 L1 (Γ+ ∪Γ+ ) + λεw1 L1 (X1 ) g1 L1 (Γ− ∪Γ− ) + εf1 L1 (X1 ) . 1
12
1
12
(14)
We shall now consider the problem: div J + λw2 = f2
in X2 ,
D
∂w2 + γw2 = g2 ∂n2
on Γ2 ∪ Γ12 ,
where g2 ∈ L1 (Γ2 ∪ Γ12 ); u ∈ W1,1 is a weak solution of (15) if: ∂w2 a(w2 , v) = D ∇w2 · ∇v + µEi · v+λ w2 v + γ w2 v ∂xi X2 X2 X2 Γ2 ∪Γ12 i = fv + g2 v, ∀v ∈ C1 (X2 ). X2
(15)
(16)
Γ2 ∪Γ12
We have the following result: L EMMA 3.2. – The problem (16) has a unique solution w2 . Moreover w2 ∈ W1,q (X2 ) for all n and: 1 q < n−1 (17) w2 1,q Cq f2 L1 (X2 ) + g2 L1 (Γ2 ∪Γ12 ) . The proof of this lemma is based on the following result: L EMMA 3.3. – Let h0 , h1 , . . . , hn ∈ D(X2 ), then there exists a unique v ∈ C1 (X2 ) satisfying: ∂v ∗ a (v, ϕ) = D ∇v∇ϕ − µEi ϕ+λ vϕ + µEi ni vϕ + γ vϕ ∂xi X2 X2 X2 Γ2 Γ2 i i ∂ϕ = h0 ϕ + hi , ∀ϕ ∈ W1,1 (X2 ). ∂x i X2 X2 i Moreover, we have: v∞ Cp
hi p ,
∀p > n.
(18)
(19)
i
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The proof of Lemma 3.3 is a slight modification of the proof of similar lemma for the pure Neumann case (see [2,9]). The proof of Lemma 3.2 is then an immediate consequence of Lemma 3.3. We also have: L EMMA 3.4. – The solution w2 of problem (16) satisfies: λw2 L1 (X2 ) C f2 L1 (X2 ) + g2 L1 (Γ2 ∪Γ12 ) .
(20)
The proof of Lemma 3.4 is based on the methods of [2] and [7]. − Problem (11) is equivalent to problem (12) and (15) with g1 = w2 M (v) on Γ− 12 and g1 = 0 on Γ1 , and
g2 = 1ε v·n2 <0 w1 v · n2 dv on Γ12 and g2 = 0 on Γ2 . We shall now establish the existence theory for the problem (11). Using formula (13) and the assumptions depends only on f1 . Using this data about the characteristics stemming from Γ− 12 , we conclude that w1 |Γ+ 12 in problem (15) we conclude using Lemma 3.2 that this latter problem has a unique solution w2 . We use this solution to obtain the data for the problem (12). We then use formula (13) to conclude that the coupled problem (11) has a unique solution. We shall now prove the estimate: C f , ∀λ > 0. λ Using the coupling boundary conditions, the methods of [1], and formula (13), we obtain: w
1 g2 L1 (Γ2 ∪Γ12 ) = g2 L1 (Γ12 ) ε
(21)
1 1 |w1 ||v · n2 | dv dσ(x) w1 L1 (Γ+ ) f1 L1 (X1 ) . (22) 12 ε ε v·n2 <0
Moreover, we have using the coupling boundary conditions and the properties of the trace operator n mapping W1,q (X2 ) onto W1−1/q,q (Γ2 ∪ Γ12 ) (1 q < n−1 ): (23) g1 L1 (Γ− ∪Γ− ) = w2 M (v)L1 (Γ− ) Cw2 L1 (Γ12 ) Cw2 W1,1 (X2 ) . 1
12
12
On the other hand, we have using Lemma 3.2 and (22): w2 W1,1 (X2 ) C f2 L1 (X2 ) + f1 L1 (X1 ) .
(24)
Finally, combining Lemma 3.4, (22), Lemma 3.2, (23), and (24), we obtain the estimate (21). Acknowledgements. The author is partially supported by the Air Force Office of Scientific Research under Grant F49620-99-1-0197. The author would like to think the referee for the interesting comments.
References [1] Beals R., Protopopescu V., Abstract time-dependent transport equations, J. Math. Anal. Appl. 121 (1987) 370–405. [2] Brezis H., Strauss W.A., Semi-linear second-order elliptic equations in L1 , J. Math. Soc. Japan 25 (4) (1973) 565–590. [3] Dautray R., Lions J.L., Analyse mathématique et calcul numérique 7, Masson, 1985. [4] Degond P., Mathematical modelling of microelectronics semiconductor devices, in: AMS/IP Studies in Advanced Mathematics 15, AMS and International Press, 2000, pp. 77–110. [5] Jungel A., Macroscopic models for semiconductor devices: a review, Preprint, 2000. [6] Markowich P.A., Ringhofer C.A., Schmeiser C., Semiconductor Equations, Springer-Verlag, 1990. [7] Moser J., On Harnack’s theorem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961) 577–591. [8] Poupaud F., Diffusion approximation of the linear semiconductor Boltzmann equation: analysis of boundary layers, Asymptotic Analysis 4 (1991) 293–317. [9] Stampacchia, On some regular multiple integral problems in the calculus of variations, Comm. Pure Appl. Math. 16 (1963) 383–421. [10] Tidriri M.D., In preparation.
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Abstract.
In this paper we propose and study alternative models to boundary and interface layers correctors in semiconductor theory. These new models consist of coupling the Boltzmann transport equations with their drift diffusion approximations. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Un modèle alternatif aux correcteurs de couches limites en physique des semi-conducteurs : dérivation et théorie d’existence Résumé.
Dans cette Note on introduit et on étudie des modèles alternatifs à la méthode classique des correcteurs de couches limites et d’interfaces dans la théorie des semi-conducteurs. Ces nouveaux modèles consistent à coupler les équations de transport de Boltzmann avec leurs approximations par les équations de dérive-diffusion. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée Les équations de transport quantique de Boltzmann [6] sont données par la formule (1), où fe = fe (x, k, t) et fe = fe (x, k , t), B est la zone de Brillouin, et k ∈ B est un vecteur d’onde ; fe est la probabilité de présence à la position x, avec le vecteur d’onde k, au temps t ; V est le potentiel électrostatique et q > 0 la charge élémentaire. La vitesse ve de l’électron est donnée par : ve (k) = 1 h ∇k εe (k) où εe est son énergie. La constante h est la constante de Planck ; Q(f ) est l’opérateur de collision et S(k, k ) est la probabilité de transition. Des équations similaires sont aussi valables pour les trous. Pour plus de détail on renvoit à [6]. Ces équations décrivent l’évolution des électrons et trous dans un semi-conducteur. La solution numérique de ces équations est difficile et souvent très coûteuse. Il est donc clair que le développement d’approximations des équations quantiques de Boltzmann est un aspect très important de la théorie des semi-conducteurs. Les modèles macroscopiques constituent un bon compromis entre la précision physique Note présentée par Philippe G. C IARLET. S0764-4442(00)01823-1/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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et l’efficacité du calcul sur ordinateur. Dans ces modèles le nombre de variables indépendantes est réduit à quatre (trois pour la position et un pour le temps). Ces modèles macroscopiques ne sont pas valides près des surfaces ou dans des zones où le champ électrostatique varie rapidement. Dans ces cas, les effets cinétiques doivent être pris en compte. Plusieurs méthodes, basées sur l’analyse des couches limites, ont été proposés. Dans cette Note, on propose une nouvelle méthode, différente des méthodes classiques. Notre méthode consiste à coupler les équations des semi-conducteurs de Boltzmann avec leurs approximations macroscopiques. Les équations de Boltzmann sont utilisées seulement localement dans les régions où les effets cinétiques ne peuvent pas être décrits par les équations macroscopiques. On va développer la théorie de notre méthode dans le cas linéaire (l’opérateur de collision Q est supposé être linéaire). On va aussi imposer d’autres conditions sur le champ électrique E. Ces dérnières vont être précisées ci-dessous. Cependant, notre méthode est générale et peut être utilisée pour le couplage du modèle de Boltzmann dans sa généralité (ou d’autres modèles cinétiques en théorie des semi-conducteurs) avec son approximation macroscopique. Considérons maintenant les décompositions géométriques introduites dans le paragraphe 2 (voir formule (2)). Plaçons-nous d’abord dans le cas où le modèle macroscopique (ici le modèle de dérivediffusion) donne une mauvaise approximation à la densité de particules dans le domaine X1 , mais que ce modèle est valable dans X2 . Dans ce cas, on propose le modèle physique suivant consistant de deux modèles : le modèle de Boltzmann utilisé dans X1 et son approximation par dérive-diffusion utilisée dans X2 . Ce nouveau modèle qui sera appelé le modèle (α), est donné par les équations (3)–(8). Pour plus de détail sur la dérivation des conditions de transmission on renvoit à [10]. On se place maintenant dans le cas où le modèle macroscopique donne une bonne approximation à la densité de particules partout dans le domaine X sauf sur la surface. Dans ce cas, on prend X2 = X. On propose alors le modèle physique composé de deux modèles : le modèle de Boltzmann utilisé dans X1 et son approximation par les équations de dérive-diffusion utilisée globalement dans X2 = X. Les conditions de transmission sont obtenues de la même façon que pour le modèle (α) [10]. Le modèle ainsi obtenu sera appelé le modèle (β). Le lien entre les équations des semi-conducteurs de Boltzmann et leurs approximations par les équations de dérive-diffusion est donné dans [8]. Maintenant on va établir la théorie d’existence pour le modèle (α). Comme on l’a mentionné au début, on va supposer que l’opérateur de collision Q est linéaire continu. De plus, on va supposer que le champ électrique est continu et lipschitzien sur X × (0, T ) et satisfait : E ∈ L∞ (X × (0, T )). Cette hypothèse sur E est importante pour la validité du lemme 3.1 ci-dessous. Soit maintenant H l’espace défini par H = L1 (X1 × R3 ) × L1 (X2 ) muni de la norme (w1 , w2 ) = w1 L1 (X1 ×R3 ) + w2 L1 (X2 ) . Alors on a le résultat d’existence suivant. T HEOREM 0.1. – Soit u0 ∈ H, alors le modèle a une solution forte unique.
1. Introduction The quantum Boltzmann transport equations [6] correspond to finding fe (x, k, t) such that: ∂fe q + ve (k) · ∇x fe + ∇x V · ∇k fe = Q(fe )(x, k, t), ∂t h
(x, k) ∈ X × B,
(1)
where fe = fe (x, k, t) and fe = fe (x, k , t), B is the Brillouin zone, and k ∈ B is a pseudo wave-vector; fe is the probability of finding an electron in the volume dx dk of the conduction-band phase-space; V is the electrostatic potential and q > 0 is the positive elementary charge; ve (k) = h1 ∇k εe (k) with εe denoting the band diagram for the conduction bands and h is Planck’s constant; Q(fe ) is the collision operator. Similar
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equations are also valid for holes. For more details about the definition of the various terms involved in these equations we refer to [6]. These equations describe the evolution of a electron and hole population in a semiconductor device. The numerical solution of these equations is difficult and often very costly. Therefore it is clear that the development of approximate descriptions to the quantum Boltzmann transport equations is a very important aspect of the semiconductor theory. Macroscopic models constitute a good compromise between the physical accuracy and the computational efficiency. They remove the velocity dependence of the equations, thus, reducing the number of independent variables to four (three for the position and one for time). These macroscopic descriptions, however, are not valid for example near the boundaries, on the material interfaces, and when the electric field is large. In these cases, kinetic effects must be taken into account. Various approaches have been proposed, which mainly use kinetic and/or interface layer analysis. In this paper we propose alternative models to these various approaches. Our method consists in coupling the Boltzmann semiconductor equations with their macroscopic approximations. The Boltzmann equations are only used locally in the regions where the kinetic effects cannot be described by the macroscopic equations. We shall develop the analysis of our method for the case of linear (scaled) Boltzmann equations and under additional conditions on the electric field that will be detailed in the next section. We also only consider the macroscopic drift diffusion model. However, our method is general and can be used for the coupling of the full Boltzmann model with any of its macroscopic approximations. 2. Proposed models Let X, X1 , X2 be three open sets of R3 such that: X1 , X2 ⊂ X,
X 1 ∪ X 2 = X,
Γ1 = ∂X1 ∩ ∂X,
X2 = X − X 1 ,
Γ12 = ∂X1 ∩ X = ∂X2 ∩ X,
Γ− 1 = {(x, v) | x ∈ Γ1 , v · n1 (x) < 0},
Γ2 = ∂X2 ∩ ∂X,
Γ− 12 = {(x, v) | x ∈ Γ12 , v · n1 (x) < 0},
Γ+ 1 = {(x, v) | x ∈ Γ1 , v · n1 (x) > 0},
(2)
Γ+ 12 = {(x, v) | x ∈ Γ12 , v · n1 (x) > 0}, where n1 and n2 denote the outer unit normal vector to X1 and X2 respectively . Assume that X1 is the domain where the macroscopic model gives a poor approximation to the density of particles. Then we propose the following physical model consisting of two models: the Boltzmann model used in X1 and the drift-diffusion model used in X2 : q Q(f ) ∂f 1 + v · ∇x f − E · ∇v f − 2 = S(x, t)M (v), x ∈ X1 , v ∈ R3 , t > 0; (3) ∂t ε m ε f (x, v, t) = ρ(x, t)M (v) on Γ− f (x, v, t) = g(x, v, t) on Γ− (4) 12 , t > 0; 1 , t > 0; ∂ρ (5) + div J(x, t) = S(x, t), x ∈ X2 , t > 0; ∂t ρ(x, t) = h(x, t), x ∈ Γ2 , t > 0; (6) 1 1 J · n2 + ρ M (v)v · n2 dv = f v · n2 dv on Γ12 , t > 0; (7) ε v·n2 <0 ε v·n2 <0 f (x, v, 0) = f0 (x)M (v)
in X1 × R3 ;
ρ(x, 0) = f0 (x)
in X2 ;
(8)
where J(x, t) = −(D∇x ρ(x, t) − µρ(x, t)E(x, t)) is the electron current, t is in (0, T ) with T > 0, and ρ(x, t) is the electron density. The constant q is the elementary charge and m is the effective mass of the electron. E is the electric field, and the source term given models the generationrecombination processes. The constants D and µ are the diffusion coefficient and the mobility respectively.
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M (v) = (2πθ)−3/2 exp(−v 2 /2θ) is the normalised Maxwellian distribution at the temperature of the semiconductor. f0 , g, and h are given data. This model will be referred to as the model (α). For more details about the derivation of the transmission conditions we refer to [10]. Assuming now that the macroscopic description gives a good approximation of the Boltzmann equations everywhere except on the surface, we can then take X2 = X. The model we propose then corresponds to the physical model consisting of two components: the Boltzmann model used in X1 and the drift-diffusion model used globally in X2 = X with the appropriate coupling boundary conditions, which are obtained following the model (α) [10]. The connection between the drift-diffusion equations and the Boltzmann transport equations is given in [8]. For a recent account on the mathematical theory of the decoupled problems when the electric field is obtained by solving a Poisson equation, we refer to [4,5] and the references therein. For the remainder of this paper, we shall study the existence and uniqueness theory for the model (α). 3. Main result As we mentioned in the introduction, the operator Q is assumed to be linear continuous. Moreover, we shall assume that the electric field is Lipschitz-continuous on X × (0, T ) and satisfies: E ∈ L∞ (X × (0, T )). The assumption about E is important for the validity of Lemma 3.1 below. We shall work in the space H = L1 (X1 × R3 ) × L1 (X2 ) with the following norm (w1 , w2 ) = w1 L1 (X1 ×R3 ) + w2 L1 (X2 ) . We recall that these spaces are the most physically relevant spaces for the study of these problems. Set q + a = −m E. Assume that the characteristics stemming from Γ− 12 do not reach Γ12 . Then we have the following existence and uniqueness result. T HEOREM 3.1. – Assume that u0 ∈ H, then the model (α) has a unique strong solution. Remark 1. – By similar arguments we prove similar result for the model (β) [10]. Remark 2. – We shall study the homogeneous case (S ≡ 0, g ≡ 0 and h ≡ 0), by standard arguments we obtain the result for the nonhomogeneous case. Proof. – Let A be the operator defined in H by: A(w1 , w2 ) =
1 (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) ε div J
,
(9)
(w1 , w2 ) ∈ H | (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) ∈ L1 (X1 × R3 ), and w2 ∈ W1,1 (X2 ), − − 1 . D(A) = div J ∈ L (X2 ), w1 = 0 on Γ1 , w1 = M (v)w2 on Γ12 , w2 = 0 on Γ2 ,
1 1 J · n2 + w2 v·n2 <0 M (v)v · n2 dv = ε v·n2 <0 w1 v · n2 dv on Γ12 ε Let B be the operator defined in H as follows: B(w1 , w2 ) =
− ε12 Q(w1 ) 0
.
(10)
By a perturbation result if we prove that A is the infinitesimal generator of a C0 semigroup then A + B (Q is linear continuous) is also an infinitesimal generator of the C0 semigroup, and Theorem 3.1 will be proved. It is clear that D(A) is dense in H. We shall use the Hille–Yosida theorem [3]. Let λ be a real number and let f ∈ H. We shall study the problem: find w ∈ D(A) solution of Aw + λw = f , which corresponds to finding w ∈ D(A) such that:
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An alternative model to boundary and interface layer correctors in semiconductor theory
1 (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) + λw1 = f1 ε div J + λw2 = f2
in X1 × R3 ,
(11)
in X2 .
We shall consider first the transport problem: 1 (v · ∇x w1 + a · ∇v w1 ) + λw1 = f1 ε w1 = g1
on
Γ− 1
in X1 × R3 ,
∪ Γ− 12 .
(12)
We use the method of characteristics: dx/ds = v, dv/ds = a, with initial conditions (x(0), v(0)) ∈ − Γ− 1 ∪ Γ12 . The solution w1 is given by: s (13) exp ελ(t − s) f1 x(t), v(t) dt. w1 x(s), v(s) = g1 x(0), v(0) exp(−λεs) + ε 0
We have (see [1]): L EMMA 3.1. – The solution w1 satisfies the following estimate: w1 L1 (Γ+ ∪Γ+ ) + λεw1 L1 (X1 ) g1 L1 (Γ− ∪Γ− ) + εf1 L1 (X1 ) . 1
12
1
12
(14)
We shall now consider the problem: div J + λw2 = f2
in X2 ,
D
∂w2 + γw2 = g2 ∂n2
on Γ2 ∪ Γ12 ,
where g2 ∈ L1 (Γ2 ∪ Γ12 ); u ∈ W1,1 is a weak solution of (15) if: ∂w2 a(w2 , v) = D ∇w2 · ∇v + µEi · v+λ w2 v + γ w2 v ∂xi X2 X2 X2 Γ2 ∪Γ12 i = fv + g2 v, ∀v ∈ C1 (X2 ). X2
(15)
(16)
Γ2 ∪Γ12
We have the following result: L EMMA 3.2. – The problem (16) has a unique solution w2 . Moreover w2 ∈ W1,q (X2 ) for all n and: 1 q < n−1 (17) w2 1,q Cq f2 L1 (X2 ) + g2 L1 (Γ2 ∪Γ12 ) . The proof of this lemma is based on the following result: L EMMA 3.3. – Let h0 , h1 , . . . , hn ∈ D(X2 ), then there exists a unique v ∈ C1 (X2 ) satisfying: ∂v ∗ a (v, ϕ) = D ∇v∇ϕ − µEi ϕ+λ vϕ + µEi ni vϕ + γ vϕ ∂xi X2 X2 X2 Γ2 Γ2 i i ∂ϕ = h0 ϕ + hi , ∀ϕ ∈ W1,1 (X2 ). ∂x i X2 X2 i Moreover, we have: v∞ Cp
hi p ,
∀p > n.
(18)
(19)
i
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The proof of Lemma 3.3 is a slight modification of the proof of similar lemma for the pure Neumann case (see [2,9]). The proof of Lemma 3.2 is then an immediate consequence of Lemma 3.3. We also have: L EMMA 3.4. – The solution w2 of problem (16) satisfies: λw2 L1 (X2 ) C f2 L1 (X2 ) + g2 L1 (Γ2 ∪Γ12 ) .
(20)
The proof of Lemma 3.4 is based on the methods of [2] and [7]. − Problem (11) is equivalent to problem (12) and (15) with g1 = w2 M (v) on Γ− 12 and g1 = 0 on Γ1 , and
g2 = 1ε v·n2 <0 w1 v · n2 dv on Γ12 and g2 = 0 on Γ2 . We shall now establish the existence theory for the problem (11). Using formula (13) and the assumptions depends only on f1 . Using this data about the characteristics stemming from Γ− 12 , we conclude that w1 |Γ+ 12 in problem (15) we conclude using Lemma 3.2 that this latter problem has a unique solution w2 . We use this solution to obtain the data for the problem (12). We then use formula (13) to conclude that the coupled problem (11) has a unique solution. We shall now prove the estimate: C f , ∀λ > 0. λ Using the coupling boundary conditions, the methods of [1], and formula (13), we obtain: w
1 g2 L1 (Γ2 ∪Γ12 ) = g2 L1 (Γ12 ) ε
(21)
1 1 |w1 ||v · n2 | dv dσ(x) w1 L1 (Γ+ ) f1 L1 (X1 ) . (22) 12 ε ε v·n2 <0
Moreover, we have using the coupling boundary conditions and the properties of the trace operator n mapping W1,q (X2 ) onto W1−1/q,q (Γ2 ∪ Γ12 ) (1 q < n−1 ): (23) g1 L1 (Γ− ∪Γ− ) = w2 M (v)L1 (Γ− ) Cw2 L1 (Γ12 ) Cw2 W1,1 (X2 ) . 1
12
12
On the other hand, we have using Lemma 3.2 and (22): w2 W1,1 (X2 ) C f2 L1 (X2 ) + f1 L1 (X1 ) .
(24)
Finally, combining Lemma 3.4, (22), Lemma 3.2, (23), and (24), we obtain the estimate (21). Acknowledgements. The author is partially supported by the Air Force Office of Scientific Research under Grant F49620-99-1-0197. The author would like to think the referee for the interesting comments.
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