- Email: [email protected]
Calcul du titre instantané du distillat d'une rectification discontinue de mélange complexe
The Chemical Engineering Journal, 15 (1978) 229 - 231 @ Elsevier Sequoia S.A., Lausanne - Printed in the Netherlands
Short Communication comprise entre un plateau p et le condenseur conduit au systeme
Calcul du titre instantane du distillat d’une rectification discontinue de melange complexe
R Yi,p =
Ki,pxi,p
= -
R+l
S. DOMENECH et M. ENJALBERT
p =
dt
2
R+l
Xi,N+l
Ki,pXi,p
-
1=0
p =
0, 1, . . . . N
i=l
Pour resoudre le syst&me de (N + 1)C equations, il est necessaire de connaitre les (N + 1)C valeurs des rapports d’equilibre Ki,p a La methode rigoureuse de resolution consisterait a operer par iteration plateau par plateau et B introduire, dans chaque &ape de calcul,‘les valeurs de Ki,p lues dans les tables de don&es thermodynamiques. Mais cette procedure de calcul est beaucoup trop longue et inutilement precise. Certains auteurs [ 1 - 41 ont propose des methodes plus rapides bakes sur diverses hypotheses simplificatrices (debits constants, volatilites relatives oi constantes tout le long de la colonne), ou utilisent le calcul analogique. MQme dans le cas de colonnes de dimensions reduites (N = 5 par exemple), le simple cas de quatre constituants souleve des problemes de convergence et requiert un temps de calcul important malgre l’introduction d’une sous relaxation pour forcer la convergence [l] . Nous proposons ici une nouvelle methode encore plus simple et plus rapide car elle permet de calculer directement le titre instantan6 Xi,N+1 du distillat sans passer par le calcul des compositions sur les plateaux de la colonne. Cette methode est bake sur la double hypothese suivante: (1) la volatilitk relative ai de chaque constituant, par rapport au constituant de r&f& rence, est constante tout le long de la colonne; (2) la variation le long de la colonne du rapport d’equilibre Kr,p du constituant de
(1) V
0, 1, . . . . N (2)
V
z=--R+l &i,O -=--
R+l
le 31 mai 1977; r6vis6 le 22 novembre 1977)
La simulation d’une operation de rectification discontinue de melanges complexes necessite un volume de calculs tres important lorsque le nombre de plateaux et de constituants est 6leve. Dans ces conditions il est souvent diffitile d’effectuer de nombreux calculs previsionnels et d’etudier l’influence du taux de reflux sur la separation de chaque constituant. L’introduction d’hypotheses simplificatrices dans le modele permet de reduire le nombre de variables et d’equations et done la duree des calculs. Ainsi la perte de precision du modele est genklement compensee par un accroissement d’informations exploitables pour la conduite d’une operation complexe [l]. Avec les hypotheses classiques de MacCabe et Thiele, si l’on neglige les retenues dans la colonne, le modele de rectification discontinue d’un melange complexe est constitue par une equation de bilan massique global et les equations de bilans massiques sur chaque constituant: ds
+-
i = 1, 2, . . . . C
L.A. C.N.R.S. No 192, Znstitut du Gknie Chimique, Chemin de la Loge, 31078 - Toulouse Ce’dex (France) (Rqu
Xi,N+l Xi,p+l
-Xi,0
S i=12 , , *--, C
Compte tenu des hypotheses admises, le titre instantan Xi,N+r du distillat depend de thermodynamiques, du Xi 09 des don&es nombre de plateaux et du taux de reflux, et repkente la seule variable h connaftre pour integrer le modele (1). Le bilan massique sur chaque constituant dans la section de colonne 229
230
reference est don&e suivante :
par la loi empirique
K r,p = K,.o~-~
b3 CdCl.ll de xi,N+ 1 ne depend que de la valeur du parametre b determinee par la contrainte
4 (3)
c
oh b est un parametre, inconnu a priori, A dkterminer par optimisation (voir plus loin). Cette hypothese, inspiree d’un travail de Eshaya [5] , traduit une forme de variation empirique du profil de temperature de la colonne (voir Remarques). Compte tenu de ces hypotheses, on peut alors resoudre le systeme (2) par substitutions successives de Xi,0 dans Xi,l, puis dans xi,2 etc. jusqu’a x~,~+ 1. On obtient alors, tous calculs faits (voir ref. l), xi,N+l
Fi@)
= G,(b)
iFl
oh F,(b) et Gi(b) sont deux fonctions du seul parametre b : Fi(b)
(y)N+lb-NCN+llP
=R
(5) G,(b) =
R +1 +
TABLEAUl,“
% &,‘N+l “i,N+l* Xi,N+l Xi,N+l*
3
Xi,N+l xi.N+l*
4
Xi,N+l #i,N+l*
5
Xi.N+1 %,N+l*
6
_,
'. .-cl
xi,O
2
xi’o
\
N
1
G,(b)
Xi,N+l Xi.N+l*
.:
0,0816 .l?
c2
I
c3
._
c4
Temps de calcul (Sl
'0,6456 0,6546
0,3926 538 0,3053 0,299O
0,320s 2,7 0,0457 0,043o
0,0034 0,0034
1,2x 1o-2 096
0,8404 0,846s
0,148s OJ441
0,0104 0,009o
0,0004 0,0001
2,6x 1O-2 098
0,9367 0,9404
0,0612 0,058s
0,002o 0,0008
0,0001 0,dooo
3,3x 1o-2 132
0,9767 0,980O
0,023O 0,020o
0,0003 o,oooo
o,oooo o,oooo
7,7x 1o-2 1,5
0,9917 0,995s
0,0082 0,0042
0,0001 o,oooo
0,0000' o,oooo~
9,9x 1o-2 1,9
0,9971 0,9992
0,002s 0,0007
0,0001 0,0001
o,oooo o,oooo
*Rbsultats obtenusparlamethode rigoureuse.
= ’
La resolution de l’eqn. (6) est effect&e par une methode iterative a partir d’une valeur initiale de b. La procedure de calcul est exposee en detail ailleurs [l] . Nous avons applique cette methode a plusieurs problemes reels pour des melanges comportant jusqu’a 12 constituants et des colonnes de 25 plateaux [6] . La valeur initiale de b est prise Qgale a 1,l et la convergence est alors obtenue en moins de 10 iterations pour un, &art relatif sur b de l’ordre de 10w5. A titre d’exemple, nous presentons les resultats de calcul pour un melange compor: tant quatre constituants et pour &verses _ valeurs du nombre de plateaux (le taux .de. reflux est &gal a 20). L’examen du, Tableau 1 ._ permet de constater un ac,cord trbs satisfaisant entre les rdsultats fournis par cette methode -. et la methode. rigoureuse. L’erreur ma&aleT I, est de l’ordre de 1% pour un gain de temps de calcul variable dans un rapport de, 20 - 50. Cette.methode g&sent+ done une simplification impqrtante par rapport a la resolution du syst&me.(2); ellediminue le volume des
(4)
*i,O
F,(b)
0,205O 1
11,5x1o-2 2,5
231
calculs et done leur duke et entraine une reduction importante de l’encombrement memoire ce qui est appreciable lorsqu’on utilise un calculateur de moyenne capacite.
NOMENCLATURE
b C
Remarques
F,(b), Ki,p
(1) Avec la double hypothese - melange ideal, done Ki = pQ/P oti p” represente la tension de vapeur saturante du constituant i et P la pression totale; - variation de pp selon la loi
;I:
la relation K,,, = Kr,c bpP conduit a l’expression
Xi,p
1
-= Tp
1
log b
-+pTo
Xi.0
Br
Ki,p = Ki,o bpPPi = (Yi.oKr.0 bdpPi
(8)
et les relations (5) deviennent alors =
( Kr*zipo) N+lb-{N(N+1)/2)fli
R
(9) Gi(b) = R + 1 +
+
N Kr,oai,o z-----p=l
m
R S t V
(7)
qui traduit une variation lmeaire de l/T, en fonction dep. On obtient ainsi une interpretation physique simple de la relation (3). (2) Par ailleurs cette double hypothbse permet la suppression de l’hypothese restrictive de la Constance des volatilites relatives ce qui conduit a une amelioration du modele. En posant fli = -Bi/Br, la relation (7) conduit h l’expression
F,(b)
Gi(b)
b-[{N(N+l)-(N-P+l)(N-P)}/2lOi
Xi,N+ 1 Yi,P
parametre nombre de constituants fonctions de b rapport d’equilibre d’un constituant i B l’etage p R/(R + l), parametre nombre de plateaux de la colonne taux de reflux charge au bouilleur, mol variable de temps, h debit de vapeur, mol h-l fraction molaire liquide d’un constituant i A l’etage p fraction molaire liquide d’un constituant i au bouilleur titre d’un constituant i au distillat fraction molaire vapeur d’un constituant i g l’etage p
Greek symbol , volatilite relative d’un constituant i
ai
REFERENCES
S. Domenech, Th&e de Doctorat d’Etat, Institut National Polytechnique de Toulouse, 1976. A. Rose et T. J. Williams, Znd. Eng. Chem., 42 (1950) 2494. M. R. Goldman et E. R. Robinson, Br. Chem. Eng., 13 (1968) 1713. M. R. Goldman et E. R. Robinson, Br. Chem. Eng., 14 (1969) 809. 5 A. M. Eshaya, Chem. Eng. Sci., 4 (1955) 85. 6 S. Domenech, Travaux sous contrat, 1977, non publii?l
Short Communication comprise entre un plateau p et le condenseur conduit au systeme
Calcul du titre instantane du distillat d’une rectification discontinue de melange complexe
R Yi,p =
Ki,pxi,p
= -
R+l
S. DOMENECH et M. ENJALBERT
p =
dt
2
R+l
Xi,N+l
Ki,pXi,p
-
1=0
p =
0, 1, . . . . N
i=l
Pour resoudre le syst&me de (N + 1)C equations, il est necessaire de connaitre les (N + 1)C valeurs des rapports d’equilibre Ki,p a La methode rigoureuse de resolution consisterait a operer par iteration plateau par plateau et B introduire, dans chaque &ape de calcul,‘les valeurs de Ki,p lues dans les tables de don&es thermodynamiques. Mais cette procedure de calcul est beaucoup trop longue et inutilement precise. Certains auteurs [ 1 - 41 ont propose des methodes plus rapides bakes sur diverses hypotheses simplificatrices (debits constants, volatilites relatives oi constantes tout le long de la colonne), ou utilisent le calcul analogique. MQme dans le cas de colonnes de dimensions reduites (N = 5 par exemple), le simple cas de quatre constituants souleve des problemes de convergence et requiert un temps de calcul important malgre l’introduction d’une sous relaxation pour forcer la convergence [l] . Nous proposons ici une nouvelle methode encore plus simple et plus rapide car elle permet de calculer directement le titre instantan6 Xi,N+1 du distillat sans passer par le calcul des compositions sur les plateaux de la colonne. Cette methode est bake sur la double hypothese suivante: (1) la volatilitk relative ai de chaque constituant, par rapport au constituant de r&f& rence, est constante tout le long de la colonne; (2) la variation le long de la colonne du rapport d’equilibre Kr,p du constituant de
(1) V
0, 1, . . . . N (2)
V
z=--R+l &i,O -=--
R+l
le 31 mai 1977; r6vis6 le 22 novembre 1977)
La simulation d’une operation de rectification discontinue de melanges complexes necessite un volume de calculs tres important lorsque le nombre de plateaux et de constituants est 6leve. Dans ces conditions il est souvent diffitile d’effectuer de nombreux calculs previsionnels et d’etudier l’influence du taux de reflux sur la separation de chaque constituant. L’introduction d’hypotheses simplificatrices dans le modele permet de reduire le nombre de variables et d’equations et done la duree des calculs. Ainsi la perte de precision du modele est genklement compensee par un accroissement d’informations exploitables pour la conduite d’une operation complexe [l]. Avec les hypotheses classiques de MacCabe et Thiele, si l’on neglige les retenues dans la colonne, le modele de rectification discontinue d’un melange complexe est constitue par une equation de bilan massique global et les equations de bilans massiques sur chaque constituant: ds
+-
i = 1, 2, . . . . C
L.A. C.N.R.S. No 192, Znstitut du Gknie Chimique, Chemin de la Loge, 31078 - Toulouse Ce’dex (France) (Rqu
Xi,N+l Xi,p+l
-Xi,0
S i=12 , , *--, C
Compte tenu des hypotheses admises, le titre instantan Xi,N+r du distillat depend de thermodynamiques, du Xi 09 des don&es nombre de plateaux et du taux de reflux, et repkente la seule variable h connaftre pour integrer le modele (1). Le bilan massique sur chaque constituant dans la section de colonne 229
230
reference est don&e suivante :
par la loi empirique
K r,p = K,.o~-~
b3 CdCl.ll de xi,N+ 1 ne depend que de la valeur du parametre b determinee par la contrainte
4 (3)
c
oh b est un parametre, inconnu a priori, A dkterminer par optimisation (voir plus loin). Cette hypothese, inspiree d’un travail de Eshaya [5] , traduit une forme de variation empirique du profil de temperature de la colonne (voir Remarques). Compte tenu de ces hypotheses, on peut alors resoudre le systeme (2) par substitutions successives de Xi,0 dans Xi,l, puis dans xi,2 etc. jusqu’a x~,~+ 1. On obtient alors, tous calculs faits (voir ref. l), xi,N+l
Fi@)
= G,(b)
iFl
oh F,(b) et Gi(b) sont deux fonctions du seul parametre b : Fi(b)
(y)N+lb-NCN+llP
=R
(5) G,(b) =
R +1 +
TABLEAUl,“
% &,‘N+l “i,N+l* Xi,N+l Xi,N+l*
3
Xi,N+l xi.N+l*
4
Xi,N+l #i,N+l*
5
Xi.N+1 %,N+l*
6
_,
'. .-cl
xi,O
2
xi’o
\
N
1
G,(b)
Xi,N+l Xi.N+l*
.:
0,0816 .l?
c2
I
c3
._
c4
Temps de calcul (Sl
'0,6456 0,6546
0,3926 538 0,3053 0,299O
0,320s 2,7 0,0457 0,043o
0,0034 0,0034
1,2x 1o-2 096
0,8404 0,846s
0,148s OJ441
0,0104 0,009o
0,0004 0,0001
2,6x 1O-2 098
0,9367 0,9404
0,0612 0,058s
0,002o 0,0008
0,0001 0,dooo
3,3x 1o-2 132
0,9767 0,980O
0,023O 0,020o
0,0003 o,oooo
o,oooo o,oooo
7,7x 1o-2 1,5
0,9917 0,995s
0,0082 0,0042
0,0001 o,oooo
0,0000' o,oooo~
9,9x 1o-2 1,9
0,9971 0,9992
0,002s 0,0007
0,0001 0,0001
o,oooo o,oooo
*Rbsultats obtenusparlamethode rigoureuse.
= ’
La resolution de l’eqn. (6) est effect&e par une methode iterative a partir d’une valeur initiale de b. La procedure de calcul est exposee en detail ailleurs [l] . Nous avons applique cette methode a plusieurs problemes reels pour des melanges comportant jusqu’a 12 constituants et des colonnes de 25 plateaux [6] . La valeur initiale de b est prise Qgale a 1,l et la convergence est alors obtenue en moins de 10 iterations pour un, &art relatif sur b de l’ordre de 10w5. A titre d’exemple, nous presentons les resultats de calcul pour un melange compor: tant quatre constituants et pour &verses _ valeurs du nombre de plateaux (le taux .de. reflux est &gal a 20). L’examen du, Tableau 1 ._ permet de constater un ac,cord trbs satisfaisant entre les rdsultats fournis par cette methode -. et la methode. rigoureuse. L’erreur ma&aleT I, est de l’ordre de 1% pour un gain de temps de calcul variable dans un rapport de, 20 - 50. Cette.methode g&sent+ done une simplification impqrtante par rapport a la resolution du syst&me.(2); ellediminue le volume des
(4)
*i,O
F,(b)
0,205O 1
11,5x1o-2 2,5
231
calculs et done leur duke et entraine une reduction importante de l’encombrement memoire ce qui est appreciable lorsqu’on utilise un calculateur de moyenne capacite.
NOMENCLATURE
b C
Remarques
F,(b), Ki,p
(1) Avec la double hypothese - melange ideal, done Ki = pQ/P oti p” represente la tension de vapeur saturante du constituant i et P la pression totale; - variation de pp selon la loi
;I:
la relation K,,, = Kr,c bpP conduit a l’expression
Xi,p
1
-= Tp
1
log b
-+pTo
Xi.0
Br
Ki,p = Ki,o bpPPi = (Yi.oKr.0 bdpPi
(8)
et les relations (5) deviennent alors =
( Kr*zipo) N+lb-{N(N+1)/2)fli
R
(9) Gi(b) = R + 1 +
+
N Kr,oai,o z-----p=l
m
R S t V
(7)
qui traduit une variation lmeaire de l/T, en fonction dep. On obtient ainsi une interpretation physique simple de la relation (3). (2) Par ailleurs cette double hypothbse permet la suppression de l’hypothese restrictive de la Constance des volatilites relatives ce qui conduit a une amelioration du modele. En posant fli = -Bi/Br, la relation (7) conduit h l’expression
F,(b)
Gi(b)
b-[{N(N+l)-(N-P+l)(N-P)}/2lOi
Xi,N+ 1 Yi,P
parametre nombre de constituants fonctions de b rapport d’equilibre d’un constituant i B l’etage p R/(R + l), parametre nombre de plateaux de la colonne taux de reflux charge au bouilleur, mol variable de temps, h debit de vapeur, mol h-l fraction molaire liquide d’un constituant i A l’etage p fraction molaire liquide d’un constituant i au bouilleur titre d’un constituant i au distillat fraction molaire vapeur d’un constituant i g l’etage p
Greek symbol , volatilite relative d’un constituant i
ai
REFERENCES
S. Domenech, Th&e de Doctorat d’Etat, Institut National Polytechnique de Toulouse, 1976. A. Rose et T. J. Williams, Znd. Eng. Chem., 42 (1950) 2494. M. R. Goldman et E. R. Robinson, Br. Chem. Eng., 13 (1968) 1713. M. R. Goldman et E. R. Robinson, Br. Chem. Eng., 14 (1969) 809. 5 A. M. Eshaya, Chem. Eng. Sci., 4 (1955) 85. 6 S. Domenech, Travaux sous contrat, 1977, non publii?l