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Champ electromagnetique accompagnant un paquet de particules dans un guide periodique a paroi faiblement perturbee
Nuclear Instruments and Methods 205 (1983) 27-36 North-Holland Publishing Company
27
C H A M P E L E C T R O M A G N E T I Q U E A C C O M P A G N A N T UN P A Q U E T DE P A R T I C U L E S DANS UN GUIDE PERIODIQUE A PAROI FAIBLEMENT PERTURBEE
M. C H A T A R D - M O U L I N et A. P A P I E R N I K Laboratoire d'Electronique des Microondes, U.E.R. des Sciences, Universite de Limoges, 123, rue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex, France
ReCu le 12 f+vrier 1982 et en forme revis+e le 6 mai 1982
A bunch moving along the axis of a particle accelerator waveguide is submitted not only to the accelerator field but also to the self-field. The latter is found from Maxwell's equations. We study smoothly varying circular periodic waveguides. We expand the field in Dini and Fourier series and use perturbation methods.
1. Introduction Lors de la travers6e de structures utilis6es dans les acc616rateurs, les paquets de particules subissent non seulement l'action du champ 61ectrique acc616rateur mais aussi Faction du champ induit par le paquet lui-mbme. On se propose dans cette note de donner une m6thode de calcul du champ +lectromagn+tique qui accompagne le paquet de particules. Ce champ est d6termin6 ~ partir des 6quations de Maxwell puis d6compos6 en s6rie double de Dini et de Fourier. Consid6rant des structures de r6volution faiblement perturb6es, c'est-h-dire dont la g6n6ratrice a pour 6quatin a ( z ) = a 0 [1 + ~s(z)] on recherche des solutions approchbes en utilisant des m6thodes de perturbations.
2. Hypotheses du probl~me Une structure non uniforme sans perte pr6sentant une sym6trie de r6volution autour de l'axe z e s t excit6e par un paquet de particules se d6pla~ant h vitesse constante v (fig. 1). Ce paquet de particules est consid6r6 sous la forme d'un cylindre de r6volution de rayon p centr6 sur l'axe de la structure. La densit6 longitudinale est constante dans une section droite du faisceau. Elle est d+sign6e part: L ( t - z / v ) = i( t - z / v ) / ~ p 2,
(l)
off i(t - z / v ) est l'intensit+ du paquet. Dans ces conditions seuls sont excitbs les modes TM de r~volution de la structure. Le champ 61ectromagn&ique est rep6r6 en coordonn6es cylindriques (r, 0, z) et les 6quations de Maxwell montrent que la composante azimuthale H o permet de le d6terminer complbtement la fois par l'6quation de propagation 0[ 1 0 ] 02Ho -~r r -~r ( r H ° ) + - - aZ 2
1 02Ho C2
OZ 2
Oj: Or '
(2)
et la condition limite sur la structure d'hquation r = a ( z ) 1 0
r 3r ( r H ° )
d a ( z ) OH o
dz
Oz "
0168-5087/83/0000-0000/$03.00 © 1983 North-Holland
(3)
28
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electromagnetique
j
\
-i ~
//
Fig. 1. Structure de rbvolution non uniforme excit+e par un paquet cylindrique de particules centr~e su l'axe de r+volution.
N o t r e b u t 6tant de d6terminer le c h a m p 61ectromagn6tique a c c o m p a g n a n t le p a q u e t anim6 de la vitesse c o n s t a n t e v nous effectuons le c h a n g e m e n t de variable ~ = t - z/v. En n o t a n t H(r, z, 77) la c o m p o s a n t e Ho(r, z, t) les 6quations pr6c6dentes s'6crivent:
0 [ _10 (rH) ] + - - -1- +O2H Or
r
vZy 2 Oq2
O2H 2 O2H Oz2 v OrlOz tgr '
3_O(rH) da(z)[ 1~ 0 ] Or dz - v (rH) + (rH) ,
(4)
(s)
off y = 1/(1 -
v2/c2) '/2
(6)
est l'6nergie r6duite des particules du faisceau ( r a p p o r t de l'6nergie des particules et de leur 6nergie au repos). On se p r o p o s e de r6soudre ce probl6me dans le cas d ' u n e structure p6riodique d o u c e c'est-h-dire une structure d o n t l'6quation de la g6n6ratrice p e u t se m e t t r e sous la forme:
a(z)
= a0[1 +
es(z)].
(7)
La fonction p6riodique s(z) de pas b caract6rise la forme g6om6trique de cette g6n6ratrice; elle sera d a n s la suite consid6r6e p a r son d 6 v e l o p p e m e n t en s6rie de F o u r i e r
+oo
s(z)= E
C , e j*2 /b
k=-oo
(S)
La valeur du r a y o n m o y e n a 0 sera toujours choisie de faqon que s(z) air une valeur m o y e n n e nulle, e est un p a r a m 6 t r e de p e r t u r b a t i o n qui caract6rise l ' a m p l i t u d e de la d6formation.
3. D6veloppement en s6ries de la solution La p6riodicit6 de la structure et la sym6trie de r6volution incite h rechercher les solutions sous la forme d ' u n d o u b l e d 6 v e l o p p e m e n t en s6rie de F o u r i e r et en s6rie de Dini [6], soit:
+oo
H(r, z, 7) = ~
Y~ hnp(71) e-jp2="/hJ,(xonr/ao),
n=l p=--oo
(9)
M. Chatard-Moulin,A. Papiernik/ Champ Dlectromagn~tique
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Off Jl(x) e s t la fonction de Bessel de premi6re esp6ce d'ordre 1 et x0. la racine ni6me de la fonction de Bessel Jo(x) de premi6re esp6ce d'ordre 0. De l'6q. (4) on d6duit que les coefficients
1 d2h.p(il) I)2-/2
.4vr dh.p(~l) J-gTvp
d, 2
2
1
drl
hnp(TI) doivent
[ 4~r2 t -Up
2 At_
satisfaire l'6quation:
X2n]
[
a2
/]h.p(,) 23pO
r"o Oj:
r
-- a~Jl(Xo.) b -b/2[ ~r(rH)] .... e-jp2"ZlbdZ+a2j12(Xo.)Jo rOrrJl(x°'~)dr, avec3p0=l
sip=0
et
8p0=0
(10)
sip*0.
Equation dont le premier membre se r6duit h:
47r dh.p(~l) -J--~c p d~
4¢r 2
~-P
2 +X2n t a~ )
h.p(,)
(11)
dans Ie cas off la vitesse des particules est 6gale/i la vitesse c de la lumi6re (~, infini) le second membre +tant alors inchang&
4. R e c h e r c h e d e s o l u t i o n s a p p r o c h 6 e s
Nous limitant h des structures/~ faibles corrugations nous avons choisi de r6soudre ce probl6me par des m6thodes permettant de d6terminer les modifications apport6es au champ du guide lisse par les d6formations transversales de la structure.
4.1. Condition limite sur la structure Sour r6serve que is(z) soit petit devant 1 nous pouvons d6velopper la condition sur la structure en s6rie de Taylor autour de r = a 0 [1] et ainsi la condition sur la structure sera remplac6e par la condition suivante 6crite en r = a o
-~r (rU) + eaos 32(rU---~) ~- e2a2s2 - -03(rH) +... Or2 2 Or3 =
ea ds t[
0dztL-v
1 &3-~(rH)+~z(rH)] +eaos[
102(rH) 02(rH) ] } v O r ~ + Or------~z + . . . .
(12)
4.2. Perturbation du champ Le champ 61ectromagn6tique cr66 dans la structure corrugu6e par le passage du paquet est consid6r6 comme la somme du champ H t°) qui serait cr66 dans un guide lisse de rayon a 0 par le m6me paquet et d'un terme correctif H d traduisant l'influence de la d6formation de la structure. On cherchera ainsi le champ sous la forme:
H(r, z, ~/) = H(°'(r, ~/) + Hd(r, z, ~).
(13)
Les m6thodes de perturbation consistent h supposer, comme cela a d6jh 6t6 fait dans divers travaux sur les guides h faibles corrugations sinusoidales [1,2], que l'6criture de la g6n6ratrice de la structure sous la forme (7) autorise un d6veloppement du champ en s~rie enti~re du param6tre de perturbations e.
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electromagn&ique
30
4.3. Expression du champ crOd dans le guide lisse Le c h a m p 61ectromagn6tique a c c o m p a g n a n t le faisceau se calcule de fac2on relativement simple h l'aide de sa transform6e de Fourier par rapport h la variable ,/. En d6signant par UI°l(r, v) la transform6e de Fourier de H(°)(r, ~/) U ' ° ' ( r , v)
=f
+~
H(°,(r, ~) e -2~j~" dr/
--OG
= F{H(°'(r, rl)),
(14)
et par l(v)= F(i(~l)). Ainsi pour la r6gion int6rieure au faisceau de rayon p.
U~T(r,v)=~p),,( 2rrVrt v7 l
Ko ( 2vrv a { 2~rv
K,(Tp)+
o) 1 ( 2 "rl
(15)
lo ( ~.~ 2~v a O) 11~-~ ~
et pour la r6gion ext6rieure au faisceau:
'-'exw'r'°,tr, ) v) = --~p l , ~ --~-y O
K , \ vy
]+
~-Y a°]l,_2VVr { 2 try
]
.
(16)
v¥
Dans ces expressions I0, I> K o, K~ repr6sentent les fonctions de Bessel modifi+es d'ordre 0 et d'ordre 1 respectivement de premi6re et de seconde esp6ce. Dans le cas off la vitesse des particules est 6gale h celle de la lumi6re, ce qui correspond h 7 infini, nous trouvons par passage h la lirnite:
u(O) (r u) INT, ,
I(v) r
vrp2 2
et
I1(°) (
~Exf~r,
v)-l(v)
2~rr"
(17)
Dans ce cas simple nous d+duirons par transormation de Fourier inverse
H(o,
INT~'''
,)_ i(,) r crp2 2
et
.(o) (_
..EXT~t,
i(,)
T/) = 2~rr
(IS)
5. M6thode de perturbation
5.1. MOthode de perturbation simple La g6n6ratrice du guide 6tant prise sous la forme:
a(z)=ao[1 + ~s(z)] .
(19)
On d6veloppe les champs en s6rie entibre du parambtre de perturbation e. Appliqu~e dans notre cas au coefficient h,,e(T/), d6veloppement (9) en s6ries doubles de Dini et de Fourier de la c o m p o s a n t e du c h a m p magn~tique, cette m6thode permet d'~crire:
"-('"
(20)
M. Chatard- Moulin, A. Papiernik / Champ dlectromagn&ique
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qui implique:
Hd(r, z, 71) = eHO)(r, z, rl) + e2H(2)(r, z, rl) + . . . eiH(i)(r, z, r)) + ....
(21)
avec +oo
H(i'(r, z, rl) = E
(i, ~1) eJp2"z/"J,(xonr/ao ). hnp(
E
n=lp=
(22)
oe
En introduisant le d6veloppement en s6rie de Taylor autour de r = a 0 de la condition sur la structure (12) dans lequel le champ a 6t6 d6velopp6 selon (13) et (21) nous obtenons 6galement un dhveloppement en shrie entihre de ~ pour cette condition limite sur la structure. Ainsi en reportant ces d6veloppements dans les 6quations de propagation des coefficients h,,p(TI) [6q. (10)] nous obtenons une shrie entihre de e pour chaque membre, s4rie dont il suffit d'6galer les coefficients correspondants pour dhterminer successivement les solutions aux ordres 1, 2, etc. du paramhtre de perturbation. Ordre 1 e n e
1
d2 I)2~ 2 dTJ 2 (h(nlp)) 2 --
aoJi(xo,,)
Ordre 2 en l
02~t2
[
l[b/2
.o
32(rH (°)) Or2
ba-,,/2t-s
)
x2 4'/7"2 2 q_ ~On ] h(n1)
d -J. 4 ~ vpG(h'2)-
1 ds 3 ] e jp2~z/t, v dz O0 (rH(°)) ..... dz.
(23)
e
d2h(2p ) 4qr dh~2p) a T / 2 J-ffV-vP-~- -
(4'rr2
~-P
2
x2n)h(n2)p + aZ
2 1 fb/2 [ 02(rH (')) aoJ,(xo, ) bY_b~2[ - s Or 2 ( s2 o3(rH(°)) -a° + 2 OrB
1 as 3 (rH(,)) +dzaS 0 ( r H `l>) dz OO
t?
1 ds 02 )] s (rH (°)) e jp2~/b dz. dz OrOfl .....
v
(24)
La premiere 6quation permet de calculer le champ a l'ordre 1 h partir du champ du guide lisse. La seconde 6quation permet de calculer le champ/t l'ordre 2/~ partir du champ du guide lisse et de H (~). Ce processus de calcul pourrait s'6tendre aux ordres sup6rieurs mais dans le cas g6nhral la complexit6 croit trhs rapidement et il n'est pas possible d'envisager de relations de reccurence. Dans le cas off la vitesse des particules est 6gale h celle de la lumihre les expressions pr6c4dentes se simplifient d'une part parce que y est infini et que d'aprbs la forme (18) du champ H ~°>, O/Or(rH ~°)) = O, nous obtenons alors: Ordre 1 e n e
4~ dhl,'p) -j-~-c P - ~ - _
1
4~r2 2 XoZ,,) ~-P
+ aZ/h~'P)
1 /'6/2[ 1 ds c9 (rH(O))]
aoJl(xo,,) bJJ_b/zt c d z 0O
Ordre 2 en •
4"ff ---rip
4~'2 T -p
2
+
Xon
(2)
] .....
e jp2~;/bdz.
(25)
M. Chatard- Moulin, A. Papiernik / Champ electromagn&ique
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--
aoJ,(xo, ) b~ _ I,/2[-s
oqr2
c d z 07/
+dzz
( r H ~1,)....... e jp2,=/~dz. (26)
Dans ce cas, l'expression de la composante azimutale du champ magn6tique /t l'ordre 1 d+duite de l'~quation est, tous calculs faits:
H~"(r, z, ~1)
) J l ( X 0 ~ i ' ( ~ l ) * Y(*I) e ~2...... " eJPZ=~/"J,(xo,r/ao),
2~ra °
(27)
n=l p=--~
ou Y(,/) est la fonction 6chelon unite d'Heaveside, i'(~/) est la d6riv6e de i(~/) par r a p p o r t / t ,/, et:
cp X2o~bc V~p = ~-~ + 8pqrZa 2 . Nous n'avons pas calcul6 les termes du second ordre du champ moyen qui, dans le cas g6n6ral ou s(z) est une fonction p6riodique quelconque, prennent une forme tr6s complexe.
5.2. MOthode de perturbation tenant compte de l'apparition des termes sOculaires 5.2.1. Calcul des champs 3 l'ordre 1 En ordonnant aux diff6rrents ordres i du param6tre de perturbation e, nous avons montr6 que h,,p(rt) ~'~ s'exprime en fonction des H~J)(r, z, 7/) p o u r j < i; ainsi H ~) en fonction de H~°); H ~2) en fonction de H ~°~ et H ~ ; H ~3~ en fonction de H ~°1, H ~1) et H ~2). Nous avons sans difficult6 jusqu'au deuxi6me ordre calcul6 des solutions finies. Par contre, des l'ordre 3, l'6quation de propagation de h~,3p~(~) contient au second membre une expression en exp(2~rju,,p~), ce qui conduit dans la solution/~ un terme infini appel6 terme s6culaire. Pour 6viter l'apparition de tels termes, on utilise une m6thode de perturbations plus 61abor6e, inspir6e de celle de Poincar6 [3,4] qui consiste/l changer la variable r/ par une variable 7/* = (1 + ~e + ),e 2 + ... )r/ o/~ a, ), .... sont convenablement choisis afin d'emp~cher l'apparition de termes s6culaires. Dans notre probl6me, nous supposons que h,,p(rl) se d6veloppe en s6rie de perturbations en relativement/~ la variable ~/* d6finie par: "r/* =/~ p'r/ avec #,p = 1 + a~ee + ~knp82 + . . .
(28)
Par cons6quent, si l'on consid6re la fonction f~p d6finie par: (29) ou par: ~.~(~,o~) = h ~ ( ~ ) ,
(30)
on peut 6crire: ~np(n*)
E'(I)
*
_2 0(2)/~*~ +
(31)
~(~
les ~;np 6tant ind6pendants de e. Ainsi le champ H d s'exprime sous la forme:
Ha(r, z, 71) = eH("*( r, z, ~ ) + e2H~2'*( r, z, 71) + . . .
(32)
M. Chatard- Moulin, A. Papiernik / Champ ~lectromagn&ique
33
off
H ( ° * ( r , z, 7 ) = ~
~
f~,~)e(l~,p7)eJp2=~/bJ,(xoJ/ao) •
(33)
n=l p=--~
La m6thode s'applique rigoureusement dans le cas o/a la vitesse des particules est 6gale h celle de la lumi6re, cas pour lequel nous allons exposer la m6thode. En 6crivant h,p(7*) sous la forme (31) apr6s avoir not6 selon 6q. (30), le premier membre (11) de l'6quation de propagation s'6crit: .~4qr
~np
4~2 2 + ~0n g~nlp)
-JgPTU*- --U p
a0
47r2 2 x2.1£(2 ) [.4~r d~'.'p~]} ~ - - p + a T ] -n p - a" p [J -~c P d~-~* ]
{ .4~r d ~ p ~ + e 2 - j --~c p - ~ , • ~4~" ~arVnp
4¢r2
2
+ e -- J -'~c p ' ~ , -- ---~- p + a2 ] . p
47r ¢Vnp a.p [J -~c p ~g-. ] - A~p j ~c -d 7--~ + ....
(34)
ou dans cette expression nous avons not6 f~ip)pour f~.p(q~i) _.~). La condition limite sur la structure consid6r6e au second membre de 1'6% (10) fait mtervenir le champ total pris sous la forme H = H m) + H a.
Nous posons, pour 7 et 7* satisfaisant 6% (28)
%m)(r, ~1") = H(°)( r, 7).
(35)
%m)(r, 7*) = Hm)(r, 7*) + eA + e2B + ....
(36)
Alor:
A, B s'exprimant en fonction de r, 7" et non de e. De m~me, posons:
% a ( r , z, 7*) = Hd(r, z, 7),
(37)
%d(r, z, 7*) = e%(1)( r, z, 7*) + e Z c + . . . . Puisque pour tout entier n, p
t~.p =
1 q- OlnpE"b ~knpE2 + . . . ,
on d6duit d'6qs. (32) et (37) que -oo
% ° ) ( r , z, 7*) = E n=l
Y'~ £.p(7 ~,) * )e jp2~rz/bJ , ( x o , r / a o ) .
(38)
p=--~
Nous obtenons donc pour la condition sur la structure:
a,
, ao_ ds a ( r H m , ) + e 2[ __32(rA) -Or - t r H a ) = - ~ c dz OO* [ -a°s Or 2
-c~
t
on*
+ ~ " " ~ 0n
ao_ ds O (rA) O2(r~)C(") oarl* -a°s c dz Or 2
+a°dzz
(r%(')
+ ....
(39)
Nous n'6crirons pas les termes d'ordre 3 e n e qui s'av~rent inutiles dans la suite du calcul. Nous obtenons apr~s avoir ordonn6 en e pour l'ordre 1 une ~quation en 7" de la m6me forme que celle de la m6thode simle en 7. Equation dont la forme aprSs avoir explicit6 7/* se pr6sente comme suit:
34
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electromagnetique
doff
H(~)*( r, z, ~7)
+o~ E Xo,----jl (Ce~ i'(l~,,p~)* Y(~) eZ'J~",'~",;'leJP2~--/"Jl(Xo,,r/ao),
1
~=
et
/~,p = 1 + ea,p + e2~knp.
2qrao
(40)
=1 p=-~
avec
cp x~.bc Pne = ~ + 8p~r2a2
(41)
Y est la fonction 6chelon unit6 d'Heaviside. Cette formule montre qu'il va a p p a r a h r e nbcessairement au second m e m b r e des 6quations correspondant (i) , ) des termes e2~r jvw,n* termes pouvant conduire ~ des termes s6culaires. ~,e(~
5.2.2. Dktermination des termes s~culaires Apr6s avoir isol6 les termes s6culaires aux diff6rents ordres en ~, ce calcul consiste ~ d6terminer les valeurs des coefficients a,p, X,p qui permettent leur 61imination. R e m a r q u o n s en premier lieu que, dans le cas p = 0, les premiers membres de l'6quation de propagation (11) se r6duisent ~: X2
~o. t(i)
(42)
2 '~n0 " a 0
I1 n'y aura donc pas de termes s6culaires. Par cons6quent, pour tout n sup6rieur ou 6gal h 1,
et /~.o=I.
a.o=X.o=O
(43)
1. D~termination de a,p L'6quation de propagation de l'ordre 2 en e d6duite d'6qs. (34) et (39) s'6crit:
d,*
1
• 4¢r d[ '~''u %pt" *'])] =anpJ~c P d~* c dz
~
+ 70 / _ 2 I f + b / : [ _sOZ(rA) + 1 0 ( r A ) _ s 0Z(r~: ' ' ' ) Ji(xo.) b~-b/2 [ Or2 c 09* Or2
] + 2~
dn*
......
(44)
Nous supposerons dans la suite du calcul que pour tout n e t pour tout p diff6rent de l Pnp :~: Pnl~
soit
p l ~ xZ"b2
(45)
4~2a02 • (2) Le premier m e m b r e de cette 6quation en ~'~,p est le m~me que celui de l'6quation en i'~),,,p. Les termes s6culaires sont donc g6n6r6s par les expressions exp(j2~rv, pTt*) au second membre. Or d'aprbs 6qs. (38), (40), (45) et sachant que s(z), d6velopp6 selon 6% (8) s6rie de Fourier de z, ne pr6sente pas de terme constant, le seul terme s6culaire est donc:
d[ <';(.*)]
Ognp
d~*
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electrornagnetique L'hlimination de ce terme implique Dans ces conditions
35
anp = 0
tt,,p = 1 +e2Xn, etA(r, 7 * ) = 0 . 2. Expression de X.p Le calcul de ce coefficient se d4duit de l'annulation des termes s6culaires g6nhrhs par les 4quations d'ordre 3, 6quations qui s'6crivent:
.4vr
(3) , d[ f~.p(rI )]
-J~-c p
d'q*
2 4'/7"2 2 q_ ~X0nt h n, (p3( ),_ , , b2 p
ao ]
• 4vr d[ f~l~Ip)(T/*)] = XnPJ ~TcP d~* + coefficient du terme en ~3 de
(46)
a2Jl(XOn) b "--b/2L-~F (rHd) r=ao e jp2~rz/b dz . L'annulation du terme s6culaire impose tous calculs faits [5]
)t,p
2bc
~
Xo,
PP,,p ,= ~ ( 21U,
×
4¢r2a 2
b
b212 4~r2a ) [ 4 ¢r2a°2 b-
~
"
t-p)(pb b
"t]c (47)
Ainsi cette expression se pr6sente sous la forme d'une serie faisant essentiellement intervenir la forme de la structure par le rayon m o y e n a 0, la p6riode b, mais aussi par l'ensemble des coefficients C k de son d6veloppement en s6rie de Fourier.
6. Conclusion N o u s avons expos6 une m6thode de calculs permettant de r6soudre de faqon approch6e le champ 61ectromagn6tique d ' u n faisceau de particules de distribution longitudinale quelconque se d6plaqant /t vitesse constante sur l'axe de r6volution d ' u n e structure p6riodique donn6e dont la g6n6ratrice a 6t6 consid6r6e sous la forme a(z) = a0[1 + es(z)]. Le champ 61ectromagn&ique est d6velopp6 en s6rie double de Fourier pour traduire la p6riodicit6 de Dini qui permet d'exprimer la condition sur la structure dans l'6quation de propagation de cette s6rie. La m & h o d e de r6solution utilis6e est bas6e/t la fois sur un d6veloppement du champ en s6rie enti6re du param6tre de perturbation e et le remplacement de la condition sur la structure par une condition plus complexe mais s'exprimant en r = a 0. La m6thode de perturbation simple met en 6vidence l'apparition de termes s6culaires de l'ordre 3, termes dont on a formul6 une m6thode de calcul. U n e application de cette m+thode sera effectu6e ult6rieurement pour d&erminer l'6nergie perdue par un tel paquet de particules.
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ blectromagn~tique
36
R6f6rences [1] [2] [3] [4] [5] [6]
O.R. Asfar and A.H. Nayfeh, IEEE Trans. Microwave Theory Techn. MTT-23 no. 9 (Sept, 1975). J. Chandezon, G. Cornet and G. Raoult, Compt. Rend. 277 (1975) 355 358. A.H. Nayfeh, Perturbation methods (Wiley, New York, 1973). J.D. Cole, Perturbation methods in applied mathematics (Blaisdell, 1968). M. Chatard-Moulin, Th6se, Universit6 de Limoges (Dec, 1979). G.N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions (Cambridge University Press, 1966).
27
C H A M P E L E C T R O M A G N E T I Q U E A C C O M P A G N A N T UN P A Q U E T DE P A R T I C U L E S DANS UN GUIDE PERIODIQUE A PAROI FAIBLEMENT PERTURBEE
M. C H A T A R D - M O U L I N et A. P A P I E R N I K Laboratoire d'Electronique des Microondes, U.E.R. des Sciences, Universite de Limoges, 123, rue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex, France
ReCu le 12 f+vrier 1982 et en forme revis+e le 6 mai 1982
A bunch moving along the axis of a particle accelerator waveguide is submitted not only to the accelerator field but also to the self-field. The latter is found from Maxwell's equations. We study smoothly varying circular periodic waveguides. We expand the field in Dini and Fourier series and use perturbation methods.
1. Introduction Lors de la travers6e de structures utilis6es dans les acc616rateurs, les paquets de particules subissent non seulement l'action du champ 61ectrique acc616rateur mais aussi Faction du champ induit par le paquet lui-mbme. On se propose dans cette note de donner une m6thode de calcul du champ +lectromagn+tique qui accompagne le paquet de particules. Ce champ est d6termin6 ~ partir des 6quations de Maxwell puis d6compos6 en s6rie double de Dini et de Fourier. Consid6rant des structures de r6volution faiblement perturb6es, c'est-h-dire dont la g6n6ratrice a pour 6quatin a ( z ) = a 0 [1 + ~s(z)] on recherche des solutions approchbes en utilisant des m6thodes de perturbations.
2. Hypotheses du probl~me Une structure non uniforme sans perte pr6sentant une sym6trie de r6volution autour de l'axe z e s t excit6e par un paquet de particules se d6pla~ant h vitesse constante v (fig. 1). Ce paquet de particules est consid6r6 sous la forme d'un cylindre de r6volution de rayon p centr6 sur l'axe de la structure. La densit6 longitudinale est constante dans une section droite du faisceau. Elle est d+sign6e part: L ( t - z / v ) = i( t - z / v ) / ~ p 2,
(l)
off i(t - z / v ) est l'intensit+ du paquet. Dans ces conditions seuls sont excitbs les modes TM de r~volution de la structure. Le champ 61ectromagn&ique est rep6r6 en coordonn6es cylindriques (r, 0, z) et les 6quations de Maxwell montrent que la composante azimuthale H o permet de le d6terminer complbtement la fois par l'6quation de propagation 0[ 1 0 ] 02Ho -~r r -~r ( r H ° ) + - - aZ 2
1 02Ho C2
OZ 2
Oj: Or '
(2)
et la condition limite sur la structure d'hquation r = a ( z ) 1 0
r 3r ( r H ° )
d a ( z ) OH o
dz
Oz "
0168-5087/83/0000-0000/$03.00 © 1983 North-Holland
(3)
28
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electromagnetique
j
\
-i ~
//
Fig. 1. Structure de rbvolution non uniforme excit+e par un paquet cylindrique de particules centr~e su l'axe de r+volution.
N o t r e b u t 6tant de d6terminer le c h a m p 61ectromagn6tique a c c o m p a g n a n t le p a q u e t anim6 de la vitesse c o n s t a n t e v nous effectuons le c h a n g e m e n t de variable ~ = t - z/v. En n o t a n t H(r, z, 77) la c o m p o s a n t e Ho(r, z, t) les 6quations pr6c6dentes s'6crivent:
0 [ _10 (rH) ] + - - -1- +O2H Or
r
vZy 2 Oq2
O2H 2 O2H Oz2 v OrlOz tgr '
3_O(rH) da(z)[ 1~ 0 ] Or dz - v (rH) + (rH) ,
(4)
(s)
off y = 1/(1 -
v2/c2) '/2
(6)
est l'6nergie r6duite des particules du faisceau ( r a p p o r t de l'6nergie des particules et de leur 6nergie au repos). On se p r o p o s e de r6soudre ce probl6me dans le cas d ' u n e structure p6riodique d o u c e c'est-h-dire une structure d o n t l'6quation de la g6n6ratrice p e u t se m e t t r e sous la forme:
a(z)
= a0[1 +
es(z)].
(7)
La fonction p6riodique s(z) de pas b caract6rise la forme g6om6trique de cette g6n6ratrice; elle sera d a n s la suite consid6r6e p a r son d 6 v e l o p p e m e n t en s6rie de F o u r i e r
+oo
s(z)= E
C , e j*2 /b
k=-oo
(S)
La valeur du r a y o n m o y e n a 0 sera toujours choisie de faqon que s(z) air une valeur m o y e n n e nulle, e est un p a r a m 6 t r e de p e r t u r b a t i o n qui caract6rise l ' a m p l i t u d e de la d6formation.
3. D6veloppement en s6ries de la solution La p6riodicit6 de la structure et la sym6trie de r6volution incite h rechercher les solutions sous la forme d ' u n d o u b l e d 6 v e l o p p e m e n t en s6rie de F o u r i e r et en s6rie de Dini [6], soit:
+oo
H(r, z, 7) = ~
Y~ hnp(71) e-jp2="/hJ,(xonr/ao),
n=l p=--oo
(9)
M. Chatard-Moulin,A. Papiernik/ Champ Dlectromagn~tique
29
Off Jl(x) e s t la fonction de Bessel de premi6re esp6ce d'ordre 1 et x0. la racine ni6me de la fonction de Bessel Jo(x) de premi6re esp6ce d'ordre 0. De l'6q. (4) on d6duit que les coefficients
1 d2h.p(il) I)2-/2
.4vr dh.p(~l) J-gTvp
d, 2
2
1
drl
hnp(TI) doivent
[ 4~r2 t -Up
2 At_
satisfaire l'6quation:
X2n]
[
a2
/]h.p(,) 23pO
r"o Oj:
r
-- a~Jl(Xo.) b -b/2[ ~r(rH)] .... e-jp2"ZlbdZ+a2j12(Xo.)Jo rOrrJl(x°'~)dr, avec3p0=l
sip=0
et
8p0=0
(10)
sip*0.
Equation dont le premier membre se r6duit h:
47r dh.p(~l) -J--~c p d~
4¢r 2
~-P
2 +X2n t a~ )
h.p(,)
(11)
dans Ie cas off la vitesse des particules est 6gale/i la vitesse c de la lumi6re (~, infini) le second membre +tant alors inchang&
4. R e c h e r c h e d e s o l u t i o n s a p p r o c h 6 e s
Nous limitant h des structures/~ faibles corrugations nous avons choisi de r6soudre ce probl6me par des m6thodes permettant de d6terminer les modifications apport6es au champ du guide lisse par les d6formations transversales de la structure.
4.1. Condition limite sur la structure Sour r6serve que is(z) soit petit devant 1 nous pouvons d6velopper la condition sur la structure en s6rie de Taylor autour de r = a 0 [1] et ainsi la condition sur la structure sera remplac6e par la condition suivante 6crite en r = a o
-~r (rU) + eaos 32(rU---~) ~- e2a2s2 - -03(rH) +... Or2 2 Or3 =
ea ds t[
0dztL-v
1 &3-~(rH)+~z(rH)] +eaos[
102(rH) 02(rH) ] } v O r ~ + Or------~z + . . . .
(12)
4.2. Perturbation du champ Le champ 61ectromagn6tique cr66 dans la structure corrugu6e par le passage du paquet est consid6r6 comme la somme du champ H t°) qui serait cr66 dans un guide lisse de rayon a 0 par le m6me paquet et d'un terme correctif H d traduisant l'influence de la d6formation de la structure. On cherchera ainsi le champ sous la forme:
H(r, z, ~/) = H(°'(r, ~/) + Hd(r, z, ~).
(13)
Les m6thodes de perturbation consistent h supposer, comme cela a d6jh 6t6 fait dans divers travaux sur les guides h faibles corrugations sinusoidales [1,2], que l'6criture de la g6n6ratrice de la structure sous la forme (7) autorise un d6veloppement du champ en s~rie enti~re du param6tre de perturbations e.
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electromagn&ique
30
4.3. Expression du champ crOd dans le guide lisse Le c h a m p 61ectromagn6tique a c c o m p a g n a n t le faisceau se calcule de fac2on relativement simple h l'aide de sa transform6e de Fourier par rapport h la variable ,/. En d6signant par UI°l(r, v) la transform6e de Fourier de H(°)(r, ~/) U ' ° ' ( r , v)
=f
+~
H(°,(r, ~) e -2~j~" dr/
--OG
= F{H(°'(r, rl)),
(14)
et par l(v)= F(i(~l)). Ainsi pour la r6gion int6rieure au faisceau de rayon p.
U~T(r,v)=~p),,( 2rrVrt v7 l
Ko ( 2vrv a { 2~rv
K,(Tp)+
o) 1 ( 2 "rl
(15)
lo ( ~.~ 2~v a O) 11~-~ ~
et pour la r6gion ext6rieure au faisceau:
'-'exw'r'°,tr, ) v) = --~p l , ~ --~-y O
K , \ vy
]+
~-Y a°]l,_2VVr { 2 try
]
.
(16)
v¥
Dans ces expressions I0, I> K o, K~ repr6sentent les fonctions de Bessel modifi+es d'ordre 0 et d'ordre 1 respectivement de premi6re et de seconde esp6ce. Dans le cas off la vitesse des particules est 6gale h celle de la lumi6re, ce qui correspond h 7 infini, nous trouvons par passage h la lirnite:
u(O) (r u) INT, ,
I(v) r
vrp2 2
et
I1(°) (
~Exf~r,
v)-l(v)
2~rr"
(17)
Dans ce cas simple nous d+duirons par transormation de Fourier inverse
H(o,
INT~'''
,)_ i(,) r crp2 2
et
.(o) (_
..EXT~t,
i(,)
T/) = 2~rr
(IS)
5. M6thode de perturbation
5.1. MOthode de perturbation simple La g6n6ratrice du guide 6tant prise sous la forme:
a(z)=ao[1 + ~s(z)] .
(19)
On d6veloppe les champs en s6rie entibre du parambtre de perturbation e. Appliqu~e dans notre cas au coefficient h,,e(T/), d6veloppement (9) en s6ries doubles de Dini et de Fourier de la c o m p o s a n t e du c h a m p magn~tique, cette m6thode permet d'~crire:
"-('"
(20)
M. Chatard- Moulin, A. Papiernik / Champ dlectromagn&ique
31
qui implique:
Hd(r, z, 71) = eHO)(r, z, rl) + e2H(2)(r, z, rl) + . . . eiH(i)(r, z, r)) + ....
(21)
avec +oo
H(i'(r, z, rl) = E
(i, ~1) eJp2"z/"J,(xonr/ao ). hnp(
E
n=lp=
(22)
oe
En introduisant le d6veloppement en s6rie de Taylor autour de r = a 0 de la condition sur la structure (12) dans lequel le champ a 6t6 d6velopp6 selon (13) et (21) nous obtenons 6galement un dhveloppement en shrie entihre de ~ pour cette condition limite sur la structure. Ainsi en reportant ces d6veloppements dans les 6quations de propagation des coefficients h,,p(TI) [6q. (10)] nous obtenons une shrie entihre de e pour chaque membre, s4rie dont il suffit d'6galer les coefficients correspondants pour dhterminer successivement les solutions aux ordres 1, 2, etc. du paramhtre de perturbation. Ordre 1 e n e
1
d2 I)2~ 2 dTJ 2 (h(nlp)) 2 --
aoJi(xo,,)
Ordre 2 en l
02~t2
[
l[b/2
.o
32(rH (°)) Or2
ba-,,/2t-s
)
x2 4'/7"2 2 q_ ~On ] h(n1)
d -J. 4 ~ vpG(h'2)-
1 ds 3 ] e jp2~z/t, v dz O0 (rH(°)) ..... dz.
(23)
e
d2h(2p ) 4qr dh~2p) a T / 2 J-ffV-vP-~- -
(4'rr2
~-P
2
x2n)h(n2)p + aZ
2 1 fb/2 [ 02(rH (')) aoJ,(xo, ) bY_b~2[ - s Or 2 ( s2 o3(rH(°)) -a° + 2 OrB
1 as 3 (rH(,)) +dzaS 0 ( r H `l>) dz OO
t?
1 ds 02 )] s (rH (°)) e jp2~/b dz. dz OrOfl .....
v
(24)
La premiere 6quation permet de calculer le champ a l'ordre 1 h partir du champ du guide lisse. La seconde 6quation permet de calculer le champ/t l'ordre 2/~ partir du champ du guide lisse et de H (~). Ce processus de calcul pourrait s'6tendre aux ordres sup6rieurs mais dans le cas g6nhral la complexit6 croit trhs rapidement et il n'est pas possible d'envisager de relations de reccurence. Dans le cas off la vitesse des particules est 6gale h celle de la lumihre les expressions pr6c4dentes se simplifient d'une part parce que y est infini et que d'aprbs la forme (18) du champ H ~°>, O/Or(rH ~°)) = O, nous obtenons alors: Ordre 1 e n e
4~ dhl,'p) -j-~-c P - ~ - _
1
4~r2 2 XoZ,,) ~-P
+ aZ/h~'P)
1 /'6/2[ 1 ds c9 (rH(O))]
aoJl(xo,,) bJJ_b/zt c d z 0O
Ordre 2 en •
4"ff ---rip
4~'2 T -p
2
+
Xon
(2)
] .....
e jp2~;/bdz.
(25)
M. Chatard- Moulin, A. Papiernik / Champ electromagn&ique
32
--
aoJ,(xo, ) b~ _ I,/2[-s
oqr2
c d z 07/
+dzz
( r H ~1,)....... e jp2,=/~dz. (26)
Dans ce cas, l'expression de la composante azimutale du champ magn6tique /t l'ordre 1 d+duite de l'~quation est, tous calculs faits:
H~"(r, z, ~1)
) J l ( X 0 ~ i ' ( ~ l ) * Y(*I) e ~2...... " eJPZ=~/"J,(xo,r/ao),
2~ra °
(27)
n=l p=--~
ou Y(,/) est la fonction 6chelon unite d'Heaveside, i'(~/) est la d6riv6e de i(~/) par r a p p o r t / t ,/, et:
cp X2o~bc V~p = ~-~ + 8pqrZa 2 . Nous n'avons pas calcul6 les termes du second ordre du champ moyen qui, dans le cas g6n6ral ou s(z) est une fonction p6riodique quelconque, prennent une forme tr6s complexe.
5.2. MOthode de perturbation tenant compte de l'apparition des termes sOculaires 5.2.1. Calcul des champs 3 l'ordre 1 En ordonnant aux diff6rrents ordres i du param6tre de perturbation e, nous avons montr6 que h,,p(rt) ~'~ s'exprime en fonction des H~J)(r, z, 7/) p o u r j < i; ainsi H ~) en fonction de H~°); H ~2) en fonction de H ~°~ et H ~ ; H ~3~ en fonction de H ~°1, H ~1) et H ~2). Nous avons sans difficult6 jusqu'au deuxi6me ordre calcul6 des solutions finies. Par contre, des l'ordre 3, l'6quation de propagation de h~,3p~(~) contient au second membre une expression en exp(2~rju,,p~), ce qui conduit dans la solution/~ un terme infini appel6 terme s6culaire. Pour 6viter l'apparition de tels termes, on utilise une m6thode de perturbations plus 61abor6e, inspir6e de celle de Poincar6 [3,4] qui consiste/l changer la variable r/ par une variable 7/* = (1 + ~e + ),e 2 + ... )r/ o/~ a, ), .... sont convenablement choisis afin d'emp~cher l'apparition de termes s6culaires. Dans notre probl6me, nous supposons que h,,p(rl) se d6veloppe en s6rie de perturbations en relativement/~ la variable ~/* d6finie par: "r/* =/~ p'r/ avec #,p = 1 + a~ee + ~knp82 + . . .
(28)
Par cons6quent, si l'on consid6re la fonction f~p d6finie par: (29) ou par: ~.~(~,o~) = h ~ ( ~ ) ,
(30)
on peut 6crire: ~np(n*)
E'(I)
*
_2 0(2)/~*~ +
(31)
~(~
les ~;np 6tant ind6pendants de e. Ainsi le champ H d s'exprime sous la forme:
Ha(r, z, 71) = eH("*( r, z, ~ ) + e2H~2'*( r, z, 71) + . . .
(32)
M. Chatard- Moulin, A. Papiernik / Champ ~lectromagn&ique
33
off
H ( ° * ( r , z, 7 ) = ~
~
f~,~)e(l~,p7)eJp2=~/bJ,(xoJ/ao) •
(33)
n=l p=--~
La m6thode s'applique rigoureusement dans le cas o/a la vitesse des particules est 6gale h celle de la lumi6re, cas pour lequel nous allons exposer la m6thode. En 6crivant h,p(7*) sous la forme (31) apr6s avoir not6 selon 6q. (30), le premier membre (11) de l'6quation de propagation s'6crit: .~4qr
~np
4~2 2 + ~0n g~nlp)
-JgPTU*- --U p
a0
47r2 2 x2.1£(2 ) [.4~r d~'.'p~]} ~ - - p + a T ] -n p - a" p [J -~c P d~-~* ]
{ .4~r d ~ p ~ + e 2 - j --~c p - ~ , • ~4~" ~arVnp
4¢r2
2
+ e -- J -'~c p ' ~ , -- ---~- p + a2 ] . p
47r ¢Vnp a.p [J -~c p ~g-. ] - A~p j ~c -d 7--~ + ....
(34)
ou dans cette expression nous avons not6 f~ip)pour f~.p(q~i) _.~). La condition limite sur la structure consid6r6e au second membre de 1'6% (10) fait mtervenir le champ total pris sous la forme H = H m) + H a.
Nous posons, pour 7 et 7* satisfaisant 6% (28)
%m)(r, ~1") = H(°)( r, 7).
(35)
%m)(r, 7*) = Hm)(r, 7*) + eA + e2B + ....
(36)
Alor:
A, B s'exprimant en fonction de r, 7" et non de e. De m~me, posons:
% a ( r , z, 7*) = Hd(r, z, 7),
(37)
%d(r, z, 7*) = e%(1)( r, z, 7*) + e Z c + . . . . Puisque pour tout entier n, p
t~.p =
1 q- OlnpE"b ~knpE2 + . . . ,
on d6duit d'6qs. (32) et (37) que -oo
% ° ) ( r , z, 7*) = E n=l
Y'~ £.p(7 ~,) * )e jp2~rz/bJ , ( x o , r / a o ) .
(38)
p=--~
Nous obtenons donc pour la condition sur la structure:
a,
, ao_ ds a ( r H m , ) + e 2[ __32(rA) -Or - t r H a ) = - ~ c dz OO* [ -a°s Or 2
-c~
t
on*
+ ~ " " ~ 0n
ao_ ds O (rA) O2(r~)C(") oarl* -a°s c dz Or 2
+a°dzz
(r%(')
+ ....
(39)
Nous n'6crirons pas les termes d'ordre 3 e n e qui s'av~rent inutiles dans la suite du calcul. Nous obtenons apr~s avoir ordonn6 en e pour l'ordre 1 une ~quation en 7" de la m6me forme que celle de la m6thode simle en 7. Equation dont la forme aprSs avoir explicit6 7/* se pr6sente comme suit:
34
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electromagnetique
doff
H(~)*( r, z, ~7)
+o~ E Xo,----jl (Ce~ i'(l~,,p~)* Y(~) eZ'J~",'~",;'leJP2~--/"Jl(Xo,,r/ao),
1
~=
et
/~,p = 1 + ea,p + e2~knp.
2qrao
(40)
=1 p=-~
avec
cp x~.bc Pne = ~ + 8p~r2a2
(41)
Y est la fonction 6chelon unit6 d'Heaviside. Cette formule montre qu'il va a p p a r a h r e nbcessairement au second m e m b r e des 6quations correspondant (i) , ) des termes e2~r jvw,n* termes pouvant conduire ~ des termes s6culaires. ~,e(~
5.2.2. Dktermination des termes s~culaires Apr6s avoir isol6 les termes s6culaires aux diff6rents ordres en ~, ce calcul consiste ~ d6terminer les valeurs des coefficients a,p, X,p qui permettent leur 61imination. R e m a r q u o n s en premier lieu que, dans le cas p = 0, les premiers membres de l'6quation de propagation (11) se r6duisent ~: X2
~o. t(i)
(42)
2 '~n0 " a 0
I1 n'y aura donc pas de termes s6culaires. Par cons6quent, pour tout n sup6rieur ou 6gal h 1,
et /~.o=I.
a.o=X.o=O
(43)
1. D~termination de a,p L'6quation de propagation de l'ordre 2 en e d6duite d'6qs. (34) et (39) s'6crit:
d,*
1
• 4¢r d[ '~''u %pt" *'])] =anpJ~c P d~* c dz
~
+ 70 / _ 2 I f + b / : [ _sOZ(rA) + 1 0 ( r A ) _ s 0Z(r~: ' ' ' ) Ji(xo.) b~-b/2 [ Or2 c 09* Or2
] + 2~
dn*
......
(44)
Nous supposerons dans la suite du calcul que pour tout n e t pour tout p diff6rent de l Pnp :~: Pnl~
soit
p l ~ xZ"b2
(45)
4~2a02 • (2) Le premier m e m b r e de cette 6quation en ~'~,p est le m~me que celui de l'6quation en i'~),,,p. Les termes s6culaires sont donc g6n6r6s par les expressions exp(j2~rv, pTt*) au second membre. Or d'aprbs 6qs. (38), (40), (45) et sachant que s(z), d6velopp6 selon 6% (8) s6rie de Fourier de z, ne pr6sente pas de terme constant, le seul terme s6culaire est donc:
d[ <';(.*)]
Ognp
d~*
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ electrornagnetique L'hlimination de ce terme implique Dans ces conditions
35
anp = 0
tt,,p = 1 +e2Xn, etA(r, 7 * ) = 0 . 2. Expression de X.p Le calcul de ce coefficient se d4duit de l'annulation des termes s6culaires g6nhrhs par les 4quations d'ordre 3, 6quations qui s'6crivent:
.4vr
(3) , d[ f~.p(rI )]
-J~-c p
d'q*
2 4'/7"2 2 q_ ~X0nt h n, (p3( ),_ , , b2 p
ao ]
• 4vr d[ f~l~Ip)(T/*)] = XnPJ ~TcP d~* + coefficient du terme en ~3 de
(46)
a2Jl(XOn) b "--b/2L-~F (rHd) r=ao e jp2~rz/b dz . L'annulation du terme s6culaire impose tous calculs faits [5]
)t,p
2bc
~
Xo,
PP,,p ,= ~ ( 21U,
×
4¢r2a 2
b
b212 4~r2a ) [ 4 ¢r2a°2 b-
~
"
t-p)(pb b
"t]c (47)
Ainsi cette expression se pr6sente sous la forme d'une serie faisant essentiellement intervenir la forme de la structure par le rayon m o y e n a 0, la p6riode b, mais aussi par l'ensemble des coefficients C k de son d6veloppement en s6rie de Fourier.
6. Conclusion N o u s avons expos6 une m6thode de calculs permettant de r6soudre de faqon approch6e le champ 61ectromagn6tique d ' u n faisceau de particules de distribution longitudinale quelconque se d6plaqant /t vitesse constante sur l'axe de r6volution d ' u n e structure p6riodique donn6e dont la g6n6ratrice a 6t6 consid6r6e sous la forme a(z) = a0[1 + es(z)]. Le champ 61ectromagn&ique est d6velopp6 en s6rie double de Fourier pour traduire la p6riodicit6 de Dini qui permet d'exprimer la condition sur la structure dans l'6quation de propagation de cette s6rie. La m & h o d e de r6solution utilis6e est bas6e/t la fois sur un d6veloppement du champ en s6rie enti6re du param6tre de perturbation e et le remplacement de la condition sur la structure par une condition plus complexe mais s'exprimant en r = a 0. La m6thode de perturbation simple met en 6vidence l'apparition de termes s6culaires de l'ordre 3, termes dont on a formul6 une m6thode de calcul. U n e application de cette m+thode sera effectu6e ult6rieurement pour d&erminer l'6nergie perdue par un tel paquet de particules.
M. Chatard-Moulin, A. Papiernik / Champ blectromagn~tique
36
R6f6rences [1] [2] [3] [4] [5] [6]
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