Constraints, Adjunctions and (Co)algebras

          


         

 


    

   
                  
  





                 !!                                                            

!                 "                  

 #              

  $    %       %                    &           '                   (&   (                %&    %                     &          


  


                                      

                                      !    "       #    $%"        " %   % &

 !         %     "  

  %         %  '    #              &     &(  )%  ("         (            (    *  

 +

  (

­
          




' #             )%           "
"            "        " "                     %  , #    %         "                 &   

  "    (     #        
 
             & !         &   " 
"            % "  &      
        -  . / % 0   &      #       
   %              #  "
"  / %" 1 . -  2"         $ 

                              


         %    "       

   %      (   

  





  



3             &               "  % 3         "         !
   %        %            4   4"      %       %       #       %      %         "         

        #  ' !           "          %          %      4# %  4       "               #         3            

      5     %     "                    "            
  
           
"      
&    2




   
 '   
   
&    %  '                6 ¯     %   ¯      %  ¯       ½ ¾        7             6 ¯         %  "        ¯     &    % 8"      '               6                  9  ½  ¾      
     * ½ +  * ¾ +      * 
+      ' 
  
    ½  ¾         &     "    %         "   ½ ¾    

    %  
            ½ ¾          6  2                 2      " *+       '       :  4   4        :¼ ;   %     < : 9  ½ ¾        :¼ 9  ¼ ½¼  ¾¼      ¼                   '     :  :¼    6    ¼       2       ¼  ½  ¾     ´µ   9 * ½ + * ¾+     * ´µ+  
       :  :¼   =*: :¼+


 

       
 9       9 ½ ½ ¾ ¾         

    
 =*: :¼+ 

: 9  ½  ¾        :¼ 9  ½  ¾       




 5 / %" 1 . -  2

¾

'              : :¼    :  :¼         '   : :¼ 

   :  :¼ 3              "     % 6

 < : 9

" :¼ 9  ½¼  ¾¼      ¼  

¼      2      "  

 ½  ¾      

       $      :  :¼



>




   


 
Î  $      %  #       :¼  %         #   3  

   :¼ :   : %  %         %       8            6

   8 ?   % ¯       :  %        !"  ¯      :  :¼ ; :  :¼ 

  8     *8Î +  

     6 ¯
 !  *8Î +    

   "  ¯         ¼  **8Î ++ ;   ¼ 
                %                 

5¦¼ * +  - ¦¼ * + < :¼ 9  ½ ¾      #               " 5¦¼ * +  - ¦¼ * + 6

   8   5¦¼ * + 6 ?  *8Î +ÓÔ  

 ¯ ! :  *? +    =*:¼ :+     :¼  :"  ¯   6 :  :¼    %       *8Î +" %     @    5¦¼ * + %       "      ¼       6 :  :¼  ?  =*:¼ :+ =*: ¼  : +"   ÓÔ  

    =*:¼ :+  =*:¼ :¼+  *8Î + 

   @  - ¦¼ * + 6 *8Î +ÓÔ  ?     ¯ !  

  !   **8Î ++        - ¦¼ * + 9  ½  ¾   
 * ½+ * ¾+ * ´ µ+     9 


















 

½ ¾  ´µ

 ¯   6    ¼  

  # 
          #             




$%" 5¦¼ * + 

       :       :¼ :  - ¦¼ * +       %   

 4&  4       :     

        :¼ :
          !        6 





       

!
  
   

 

   6

  6

  


    "

  # 
   
 $    %     * +    * +











* +   

 









* +  

 

&
    

 


 
$      

 $             *+   * +   ' 



* + * + * + * + * + * +
 5  <  > ¾
      !  %  * +   * +      3     (       A#%   % * 
"   %     +"        

% 

  * +9 * + * +9 * +
   
 5¦¼ * +  - ¦¼ * +  
(
 
  $      5¦¼ * + 
 $   - ¦¼ * +
 B   >C   %   5¦¼ *:+   *8Î +  :  - ¦¼ * +  ? '       5¦¼ *:+  *8Î +"   "    

   :¼ :           - ¦¼ * +      :  - ¦¼ * +" 
"      :  - ¦¼ * +  ? ' "     #    :  - ¦¼ * +  *8Î +"           :¼ :     ¾
 !    5¦¼ * + - ¦¼ * +    9 :  - ¦¼ *5¦¼ *:++   9 5¦¼ *- ¦¼ * ++  
 ! %         ? "           "   6 ?  ? ½    :  *:+  * *:++ 9 *:+   :  ? ' &      :  *:+ 9 : 8 "      *8Î +ÓÔ"  6 *8Î +ÓÔ  ÓÔ*8Î +ÓÔ    * + * 
"      * +   *8Î + +   

  

  

 

  

 



 



 



  



  

  

 























  

















 









½





 

 

È Ë         ¦¼ ¦¼ 

C
















 * * ++ 

9  * + '  &        * + 9

5          "        >C      6 5¦¼ *- ¦¼ *5¦¼ *:+++ 9 5¦¼ *:+

 - ¦¼ *5¦¼ *- ¦¼ * +++ 9 - ¦¼ * + 1("     *8Î +  

    &   ?

   :  ?  

    &   *8Î + )

  




 


<    %              %    ; 


  


9  ½  ¾    
 

  

  
  
 :  9  ½ ¾     
 
9 :   :            !


¼

  
  
(
  * +,-   

     
 

:

  

- ¦ *5¦ *:++

.

          
 %

- ¦ *5¦ *:++ 9 :


 5 / %" 1 . -  2

¾


    %  (            %              

     

  "          &  

   


 

/ 
      *8Î +  

     
     
 
     
 :¼

%

5¦¼ *- ¦¼ * ++ 9 


 5 / %" 1 . -  2

¾


        >        

 ; :    &      

                ;     &   0




   

 
 
3                      #     %                

 %  <          "              #  "  %

   8     D  E  6 ¯ < E             %  "     "  ¯  D              "     
           !     

  <     % %   '    6 
          ; !½!¾!
  *!½!¾    !
+   $     "            $%* +  -* +
      &   %    " " F  

   8   - 6 E  D   6 ¯  %  !  E " ,




-* + 9 


"

      

 

 ¯    ¼  E  

    -* +  -* ¼ +  D  
  -* +         6 5

       ¼  E " 
" ¼ '         ¼      "  ¼"  -* ¼+ -* +        -* ¼+  -* +  D 

   @     $%* + 6 D   E  ¯ 

  ! "  D        "   %    

 ¯   "  "¼  D  

    $%*"+  $%*"¼ +  E   $%* +   "     %  %            "  "¼  D " 
" "    "¼"  %      $%*"¼+       ""         "¼"   

 %    "     $%*"+ 




$%* +  -* +   $    5      5¼ * +  - ¼ * +" $%* +  -* +   

!  "       "    6 ,)

!   *+ *+

 E 
  $%*-* ++
  *E +   $
 "  D  
 "  -*$%*"++
  *D +   $







*+ <         $%*-*++ B    -* +     $%*-*++ 9 $%*     + 9            %     1 "      *+ @           -*$%* ++      $%* +   -*$%* ++ 9 -*   %    + 9        %     

     '            ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¾


  


 -* + 6 E  D     $      -* + 
 $   $%* +

$%* + 6 D  E


 '       5¼ * +  - ¼ * +"    >C   %    6 -* +  "  DÓÔ   $%*"+  E  "  -* +  ""  $%*-* ++  $%*"+    

C           $%*-* ++"     %     $%*"+ 5 " %  $%*"+" -* +  -*$%*"++     "  -*$%*"++ #"   %    -* +  " # ¾
 ! %    " -* + $%* +  "     6  $%*-* ++    6 "  $%*-*"++
 %         E    # 6 E  E    # * +

 # *# * ++ 9 # * +  %  !  E ' # &   

   E  # * + 9  3      DÓÔ "

 # 6 DÓÔ  DÓÔ  " # *"+  # *# *"++ 9 # *"+" 

# &     "  D  # *"+ 9 " G




,

#  




 # 


$ / %" 1 . -  2"      $%*-* ++    $%"      $%*-* ++  #         #       "
*F+"   "
*F+       : :            %     :      5 -*$%*-* +++ 9 -* +"         %  !  E  

  &   $ / % "     -* +   *   & +   #   B &    -* +             # "     -* +  "           

 #  



¼

¼









#









   
  #                           %    B                  "        "       (              

       0


&

         #     *&+   &   

              %   &         " "              #"  &    %   '             

 "                      "  "       #        % &   
    "   C"   %    

#

! 1   * )222

    )*  +   ,                 "#      -../01-.2  )-*  +   3 '    4        

  $ %#  $&  -2/0156  )7*  8 9     # '  %# +  
&  8     $:   ; <  6






)2* = 8   ;     / >                  6/017- 62 )0* 4 8  9?'>'@/     A          B  C   8 +  +   
       "# (   $  )* ! +,   61-2 9B    '  )5*  4     +   '               
  D  3$
D$6$0 D  A

 =   9  6 )6* B + D   8   B/
 (  B 9 E F  'F  E         - $.   27    /  %#   01   2 ( 7

H