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De nouveaux espaces de séries de Dirichlet et leurs opérateurs de composition
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 207–212, 2001 Analyse fonctionnelle/Functional Analysis
De nouveaux espaces de séries de Dirichlet et leurs opérateurs de composition Frédéric BAYART UFR de mathématiques pures et appliquées, Université des sciences et technologies de Lille, bâtiment M2, 59655 Villeneuve-d’Ascq cedex, France Courriel : [email protected] (Reçu et accepté le 11 juin 2001)
Résumé.
En utilisant un point de vue de Bohr, nous introduisons de nouveaux espaces fonctionnels qui sont les analogues pour les séries de Dirichlet des espaces de Hardy. Nous étudions ces espaces, et notamment l’hypercontractivité d’un noyau similaire au noyau de Poisson. Nous étudions également les opérateurs de composition sur ces espaces, et comparons certaines propriétés de l’opérateur et de son symbole. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
New spaces of Dirichlet series and their composition operators Abstract.
Using Bohr’s vision, we introduce some new spaces of Dirichlet series, which are analogous of Hardy spaces for Fourier series. We study this spaces, and particularly the hypercontractivity of a semi-group analogous to the Poisson semi-group. We also study the composition operators on this spaces, and compare some properties of such an operator to properties of its symbol. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let f (s) = n1 an n−s be a Dirichlet series. If we factorize each integer n into a product of prime αr 1 numbers n = pα 1 · · · pr , we can define a Fourier series on the infinite polydisc by: D(f )(z) = an z1α1 · · · zrαr . n1
For more on this point of view, we refer to the French version. We use the definition and the properties of the Hardy spaces Hp (T∞ ) given in [2]. D EFINITION 1. – For 1 p +∞, we define Hp = D−1 (Hp (T∞ )). Formally, if f is an element of Hp , f admits a representation by a Dirichlet series look at the definition domain of f :
n1 an n
−s
. First, we
Note présentée par Jean-Pierre K AHANE. S0764-4442(01)02047-X/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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F. Bayart
T HEOREM 2. – (a) Let 1 p < +∞, C1/2 = {s ∈ C; (s) > 1/2}, and f (s) = n1 an n−s ∈ Hp . Then n1 an n−s converges on C1/2 to an holomorphic extension of f (still denoted by f ), and we have the optimal following estimate for s ∈ C1/2 : f (s)p f p p ζ 2(s) . H (b) If f ∈ H∞ , same conclusion, replacing C1/2 by C+ = {s ∈ C; (s) > 0}, and holomorphic extension by bounded holomorphic extension. Moreover, f H∞ = sups∈C+ |f (s)|. Let χ be a character on Z(∞) . Then χ can be seen as an element of T∞ by the transformation χ → (χ(p1 ), χ(p2 ), . . .), and conversely each element of T∞ gives a character on Z(∞) . If f (s) = n1 an n−s is a Dirichlet series, we define formally fχ (s) = n1 an χ(n)n−s , and we are interested by properties verified by the functions fχ for almost all χ. Let ϕ1 (z) = 1+z 1−z be the Cayley transform, which maps D into C+ . T HEOREM 3. – Let 1 p < +∞, and f ∈ Hp . Then for almost all χ, the function fχ has an extension to C+ , and fχ ◦ ϕ1 is in H p (T). Moreover, T 1 fχ (it)p dt → f p p , as T → +∞. H 2T −T In the case where 1 < p < +∞, fχ is a Dirichlet series which converges in C+ . We recall that a multiplier on Hp is an holomorphic function f so that, for each function f ∈ Hp , mf is in Hp . T HEOREM 4. – If 1 p < +∞, the set of multipliers of Hp is H∞ . Weissler studied in [8] the hypercontractivity of the Poisson kernel on the spaces H p (T). We do the same work with Dirichlet series for the following semi-group, similar to the Poisson semi-group for Fourier series: Tε an n−s = an n−ε n−s . n1
n1
T HEOREM 5. – Let 1 p q < +∞. Then Tε L(Hp ,Hq ) 1 if, and only if, 2−2ε p/q. Finally, we are looking at functions φ from C1/2 into C1/2 such that Cφ (f ) = f ◦ φ defines a continuous operator on Hp . We prove that: T HEOREM 6. – Let 2 p < +∞. An analytic function φ : C1/2 → C1/2 defines a bounded composition operator on Hp if, and only if : 1. It is of the form φ(s) = c0 s + ϕ(s), where c0 ∈ N, and ϕ admits a representation by a Dirichlet series convergent in some half-plane {(s) > θ}. 2. φ has an analytic extension to C+ , also denoted φ, such that (a) φ(C+ ) ⊂ C+ if c0 = 0; (b) φ(C+ ) ⊂ C1/2 if c0 = 0. In the case where 1 p < 2, the condition is necessary, and sufficient if c0 = 0. Furthermore, Cφ is a contraction if, and only if, c0 = 0. In the case where p = +∞, the situation is easier since we can prove that each function φ : C+ → C+ , which is of the form φ(s) = c0 s + ϕ(s) defines a continuous composition operator on H∞ . As usual with composition operators, invertible and Fredholm composition operators are the same. There are very few such operators for Dirichlet series, as indicated by the:
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Nouveaux espaces de séries de Dirichlet
T HEOREM 7. – Let 1 p < +∞. Then the following properties are equivalent: 1. Cφ is invertible. 2. Cφ is Fredholm. 3. φ(s) = s + ik, where k ∈ R. It is also easy to characterize normal composition operators: T HEOREM 8. – Cφ is a normal composition operator on H2 if and only if φ(s) = s + c1 , where (c1 ) 0. For the composition operators which are isometries, or similar to isometries, we refer to the French version. Finally, we study the compactness of Cφ . We recall that if ψ is in H(D, D), its Nevanlinna counting function is defined by:
1 log Nψ (ω) = , ω ∈ D − ψ(0) . |z| −1 z∈ψ
{ω}
If φ(s) = c0 s + ϕ(s), we define formally φχ (s) = c0 s + ϕχ (s). If φ extends to C+ , then for all χ ∈ T∞ , φχ extends to C+ . By using works on Shapiro about compactness of Cψ on Hp (T), we obtain: T HEOREM 9. – Let 1 < p < +∞, Cφ a composition operator on Hp with c0 1. We suppose that 1 Nϕ−1 ◦φχ ◦ϕ1 (w) = o log , |w| → 1, 1 |w| uniformly in χ ∈ T∞ . Then Cφ is compact on Hp . In particular, if p > 1, c0 1, and φ(C+ ) ⊂ Cε with ε > 0, then Cφ is compact on Hp . The case where p = ∞ is easier: T HEOREM 10. – Cφ is a compact operator on H∞ if, and only if, there exists ε > 0 so that φ(C+ ) ⊂ Cε .
1. Définition des nouveaux espaces Soit f (s) = n1 an n−s une série de Dirichlet. Bohr a remarqué que, si on factorise chaque entier n en −s αr −s 1 produit de facteurs premiers, n = pα 1 · · · pr , et si on pose z1 = p1 , . . . , zr = pr , . . . , alors f (s) s’écrit α1 αr encore n1 an z1 · · · zr , et que notre série de Dirichlet devient une série de Fourier en une infinité de variables, dont les propriétés vont refléter exactement celles de f grâce au lemme de Kronecker (voir [6]). Précisément, nous notons T (resp. D) le cercle unité (resp. le disque unité), et T∞ (resp. D∞ ) le produit dénombrable de T (resp. D), et nous posons, pour z ∈ T∞ : an z1α1 · · · zrαr . D(f )(z) = n1
Nos nouveaux espaces de séries de Dirichlet vont être construits à partir des espaces de Hardy usuels de l’analyse harmonique. En particulier, nous utiliserons les définitions et résultats de B.J. Cole et T.W. Gamelin [2] sur les espaces de Hardy Hp (T∞ ). D ÉFINITION 1.1. – Pour 1 p +∞, nous définissons Hp = D−1 (Hp (T∞ )). Ainsi, si f est un élément de Hp , f s’écrit formellement n1 an n−s . Le cas p = 2 correspond au cas où |an |2 < +∞. Il a déjà été abordé dans [4] par Hedenmalm, Lindqvist et Seip. Nous poursuivons leur étude dans le cas général, en commençant par chercher l’ensemble de définition des éléments de Hp . Cette Note d’annonce ne contient aucune preuve. Celles-ci seront publiées ultérieurement dans [1].
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F. Bayart
T HÉORÈME 1.2. – Soit 1 p < +∞, et f ∈ Hp . Alors l’abscisse de convergence uniforme de la série associée à f est inférieure ou égale à 1/2, et si (s) > 1/2, on a : f (s)p f p p ζ 2(s) . H De plus, cette inégalité est optimale. Si f ∈ H∞ , alors l’abscisse de convergence uniforme de la série associée à f est inférieure ou égale à 0, et f H∞ = sup{|f (s)|, s ∈ C+ }, où C+ = {s ∈ C; (s) > 0}. Nous utilisons pour cela un résultat de Cole et Gamelin qui dit qu’une fonction f de Hp (T∞ ) (resp. de H (T∞ )) se prolonge continûment à tout élément de D∞ ∩ 2 (resp., de D∞ ∩ c0 ). L’ensemble des caractères sur Z(∞) = {n = (n1 , n2 , . . .); ni ∈ Z et ni = 0 pour presque tout i} s’identifie à T∞ par la correspondance χ → (χ(p1 ), χ(p2 ), . . .). Soit χ ∈ T∞ . Si f (s) = n1 an n−s est un élément de Hp , on définit formellement une série de Dirichlet fχ par fχ (s) = n1 an χ(n)n−s . 1+z Pour presque tout χ de T∞ les fonctions fχ vérifient des propriétés intéressantes. Soit ϕ1 (z) = 1−z la p transformation de Cayley, qui envoie D dans C+ . Une fonction g est dite dans Hi (C+ ) si g ◦ ϕ1 est dans Hp (T), et dans ce cas g Hpi (C+ ) = g ◦ ϕ1 Hp (T) . En utilisant le théorème ergodique de Birkhoff– Khintchin, nous pouvons notamment prouver le théorème suivant : ∞
T HÉORÈME 1.3. – Soit 1 p < +∞, et f ∈ Hp , alors pour presque tout χ de T∞ , la fonction fχ se prolonge à C+ , et fχ ∈ Hpi (C+ ). En outre, T 1 fχ (it)p dt → f p p , quand T → +∞. H 2T −T Remarque 1.– L’utilisation d’un théorème ergodique donne également une autre définition des espaces N Hp . Si f (s) = n=1 an n−s est un polynôme de Dirichlet, alors f est un élément de Hp , et on a : T 1 f (it)p dt. f pHp = lim T →+∞ 2T −T Hp peut alors être vu comme la fermeture des polynômes de Dirichlet pour la norme définie par le membre de droite de l’égalité. Dans le cas où 1 < p < +∞, l’adaptation d’un raisonnement de Helson [5] prouve que le prolongement de fχ à C+ est très simple, puisque c’est la série de Dirichlet elle-même qui converge : T HÉORÈME 1.4. – Si 1 < p < +∞, et f est un élément de Hp , alors pour presque tout χ de T∞ , la série de Dirichlet associée à fχ converge dans C+ . Le point de vue de Bohr des séries de Dirichlet nous est également précieux pour déterminer quels sont les multiplicateurs de l’espace Hp , c’est-à-dire les fonctions holomorphes m telles que, pour tout f ∈ Hp , alors mf ∈ Hp . T HÉORÈME 1.5. – Pour 1 p < +∞, l’ensemble des multiplicateurs de Hp est H∞ . 2. Hypercontractivité d’un semi-groupe pour les séries de Dirichlet Nous définissons un semi-groupe d’opérateurs (Tε )ε0 sur Hp par : an n−s = an n−ε n−s . Tε n1
n1
Ce noyau est l’analogue séries de Dirichlet du noyau de Poisson (Pr ) défini sur Hp (T) par pour les inθ n inθ Pr ( n0 an e ) = n0 an r e . Nous cherchons à savoir sous quelles hypothèses ce noyau est hypercontractif, c’est-à-dire envoie Hp dans Hq avec une norme plus petite que 1.
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T HÉORÈME 2.1. – Soit 1 p q < +∞. Alors Tε L(Hp ,Hq ) 1 si, et seulement si, 2−2ε p/q. Pour prouver ce résultat, nous généralisons un théorème de Weissler [8], qui caractérise l’hypercontractivité du noyau de Poisson sur Hp (T). Par une récurrence, nous caractérisons l’hypercontractivité du noyau de Poisson sur les espaces Hp (TN ), puis sur l’espace Hp (T∞ ). L’isomorphisme isométrique entre Hp et Hp (T∞ ) nous permet alors de conclure. 3. Opérateurs de composition Nous cherchons dans cette partie les fonctions φ de C1/2 = {s ∈ C; (s) > 1/2} dans C1/2 telles que Cφ (f ) = f ◦ φ définisse un opérateur continu sur Hp . En modifiant des arguments de Gordon et Hedenmalm issus de [3], nous prouvons que : T HÉORÈME 3.1. – Soit 2 p < +∞. Une fonction holomorphe φ : C1/2 → C1/2 définit un opérateur de composition borné sur Hp si, et seulement si, 1. elle est de la forme φ(s) = c0 s + ϕ(s), où c0 ∈ N et ϕ admet une représentation par une série de Dirichlet convergente dans un demi-plan {(s) > θ} ; 2. φ admet un prolongement analytique à C+ , que nous noterons toujours φ, tel que : (a) φ(C+ ) ⊂ C+ si c0 = 0 ; (b) φ(C+ ) ⊂ C1/2 si c0 = 0. Dans le cas où 1 p < 2, la condition est nécessaire, et suffisante si c0 = 0. En outre, Cφ est une contraction si, et seulement si, c0 = 0. Remarque 2. – Le cas p = +∞ est plus facile, puisque l’on peut prouver que les opérateurs de composition sur H∞ sont ceux engendrés par les fonctions φ : C+ → C+ de la forme φ(s) = c0 s + ϕ(s). Nous étudions ensuite les propriétés de ces opérateurs de composition. Comme dans le cas classique, les opérateurs de composition inversibles et ceux qui sont de Fredholm sont les mêmes, et nous sommes capables de les déterminer exactement : T HÉORÈME 3.2. – Soit 1 p < +∞. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. Cφ est inversible. 2. Cφ est un opérateur de Fredholm. 3. φ(s) = s + ik, où k ∈ R. L’idée de la preuve de ce théorème est que, si φ n’est pas de cette forme, alors φ(C1/2−ε ) ⊂ C1/2+η , où ε, η > 0. En particulier, toute fonction dans l’image de Cφ est définie, et bornée dans C1/2−ε . On conclut alors en remarquant qu’il existe dans Hp un espace vectoriel de dimension infinie de fonctions qui ne se prolongent pas au-delà de C1/2 . Nous pouvons également caractériser les opérateurs de composition qui sont normaux : T HÉORÈME 3.3. – Cφ est un opérateur de composition normal sur H2 si et seulement si φ(s) = s + c1 , où (c1 ) 0. Les opérateurs de composition Cφ sur Hp (T) qui sont des isométries sont ceux engendrés par les fonctions intérieures. On a un analogue de ce théorème ici. Si φ(s) = c0 s + ϕ(s), nous définissons formellement φχ (s) = c0 s + ϕχ (s). Si φ s’étend holomorphiquement à C+ , alors pour tout χ, φχ s’étend aussi à C+ (se reporter à [3], proposition 4.1). T HÉORÈME 3.4. – Soit 1 p < +∞. Alors Cφ est une isométrie sur Hp si, et seulement si, pour presque tout χ de T∞ , pour presque tout t de R, alors φχ (it) ∈ iR. Dans le cas où φ vérifie une condition supplémentaire, nous avons un théorème plus précis :
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T HÉORÈME 3.5. – Nous supposons que φ(s) = c0 s + ϕ(s), et que la série de Dirichlet qui définit ϕ converge uniformément sur la droite iR. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. Cφ est une isométrie. 2. Cφ est semblable à une isométrie. 3. φ(s) = c0 s + ik, avec c0 1 et k ∈ R. Les opérateurs de composition compacts sur Hp (T) sont bien connus depuis le travail de Shapiro [7]. Plus précisément, soit ψ ∈ H(D, D), la fonction de comptage de Nevanlinna de ψ est définie par
1 log Nψ (ω) = , ω ∈ D − ψ(0) . |z| −1 {ω}
z∈ψ
p
Shapiro prouve que Cψ est compact sur H (T) si, et seulement si, 1 Nψ (w) = o log , |w| → 1. |w| Nous utilisons ce résultat pour prouver le théorème suivant : T HÉORÈME 3.6. – Soit 1 < p < +∞, Cφ un opérateur de composition sur Hp , avec c0 1. Nous supposons que : 1 Nϕ−1 ◦φχ ◦ϕ1 (w) = o log , |w| → 1, 1 |w| uniformément en χ ∈ T∞ . Alors Cφ est compact sur Hp . Nous en déduisons les corollaires suivants : C OROLLAIRE 3.7. – Si c0 1 et φ(C+ ) ⊂ Cε pour un certain ε > 0, alors Cφ est un opérateur compact sur Hp dès que p > 1. Si c0 = 0, et si φ(C+ ) ⊂ C1/2+ε , où ε > 0, alors Cφ est un opérateur compact sur Hp , pour p 1. Dans le cas de H∞ , la situation est plus facile car nous pouvons caractériser exactement les opérateurs compacts : T HÉORÈME 3.8. – Cφ est un opérateur compact sur H∞ si, et seulement si, il existe ε > 0 tel que φ(C+ ) ⊂ Cε . Références bibliographiques [1] Bayart F., Hardy spaces of Dirichlet series and their composition operators, Preprint. [2] Cole B.J., Gamelin T.W., Representing measures and Hardy spaces for the infinite polydisk algebra, Proc. Lond. Math. Soc. 53 (1986) 112–142. [3] Gordon J., Hedenmalm H., The composition operators on the space of Dirichlet series with square summable coefficients, Michigan Math. J. 46 (1999) 313–329. [4] Hedenmalm H., Lindqvist P., Seip K., A Hilbert space of Dirichlet series and a system of dilated functions in L2 (0, 1), Duke Math. J. 86 (1997) 1–36. [5] Helson H., Compact groups and Dirichlet series, Ark. Math. 8 (1969) 139–143. [6] Queffélec H., Harald Bohr’s vision of Dirichlet series: Old and new results, J. Anal. 3 (1995) 43–60. [7] Shapiro J.H., The essential norm of a compostion operator, Ann. of Math. 125 (1987) 375–404. [8] Weissler F.B., Logarithmic Sobolev inequalities and hypercontractive estimates on the circle, J. Funct. Anal. 37 (1980) 218–234.
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Résumé.
En utilisant un point de vue de Bohr, nous introduisons de nouveaux espaces fonctionnels qui sont les analogues pour les séries de Dirichlet des espaces de Hardy. Nous étudions ces espaces, et notamment l’hypercontractivité d’un noyau similaire au noyau de Poisson. Nous étudions également les opérateurs de composition sur ces espaces, et comparons certaines propriétés de l’opérateur et de son symbole. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
New spaces of Dirichlet series and their composition operators Abstract.
Using Bohr’s vision, we introduce some new spaces of Dirichlet series, which are analogous of Hardy spaces for Fourier series. We study this spaces, and particularly the hypercontractivity of a semi-group analogous to the Poisson semi-group. We also study the composition operators on this spaces, and compare some properties of such an operator to properties of its symbol. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version Let f (s) = n1 an n−s be a Dirichlet series. If we factorize each integer n into a product of prime αr 1 numbers n = pα 1 · · · pr , we can define a Fourier series on the infinite polydisc by: D(f )(z) = an z1α1 · · · zrαr . n1
For more on this point of view, we refer to the French version. We use the definition and the properties of the Hardy spaces Hp (T∞ ) given in [2]. D EFINITION 1. – For 1 p +∞, we define Hp = D−1 (Hp (T∞ )). Formally, if f is an element of Hp , f admits a representation by a Dirichlet series look at the definition domain of f :
n1 an n
−s
. First, we
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T HEOREM 2. – (a) Let 1 p < +∞, C1/2 = {s ∈ C; (s) > 1/2}, and f (s) = n1 an n−s ∈ Hp . Then n1 an n−s converges on C1/2 to an holomorphic extension of f (still denoted by f ), and we have the optimal following estimate for s ∈ C1/2 : f (s)p f p p ζ 2(s) . H (b) If f ∈ H∞ , same conclusion, replacing C1/2 by C+ = {s ∈ C; (s) > 0}, and holomorphic extension by bounded holomorphic extension. Moreover, f H∞ = sups∈C+ |f (s)|. Let χ be a character on Z(∞) . Then χ can be seen as an element of T∞ by the transformation χ → (χ(p1 ), χ(p2 ), . . .), and conversely each element of T∞ gives a character on Z(∞) . If f (s) = n1 an n−s is a Dirichlet series, we define formally fχ (s) = n1 an χ(n)n−s , and we are interested by properties verified by the functions fχ for almost all χ. Let ϕ1 (z) = 1+z 1−z be the Cayley transform, which maps D into C+ . T HEOREM 3. – Let 1 p < +∞, and f ∈ Hp . Then for almost all χ, the function fχ has an extension to C+ , and fχ ◦ ϕ1 is in H p (T). Moreover, T 1 fχ (it)p dt → f p p , as T → +∞. H 2T −T In the case where 1 < p < +∞, fχ is a Dirichlet series which converges in C+ . We recall that a multiplier on Hp is an holomorphic function f so that, for each function f ∈ Hp , mf is in Hp . T HEOREM 4. – If 1 p < +∞, the set of multipliers of Hp is H∞ . Weissler studied in [8] the hypercontractivity of the Poisson kernel on the spaces H p (T). We do the same work with Dirichlet series for the following semi-group, similar to the Poisson semi-group for Fourier series: Tε an n−s = an n−ε n−s . n1
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T HEOREM 5. – Let 1 p q < +∞. Then Tε L(Hp ,Hq ) 1 if, and only if, 2−2ε p/q. Finally, we are looking at functions φ from C1/2 into C1/2 such that Cφ (f ) = f ◦ φ defines a continuous operator on Hp . We prove that: T HEOREM 6. – Let 2 p < +∞. An analytic function φ : C1/2 → C1/2 defines a bounded composition operator on Hp if, and only if : 1. It is of the form φ(s) = c0 s + ϕ(s), where c0 ∈ N, and ϕ admits a representation by a Dirichlet series convergent in some half-plane {(s) > θ}. 2. φ has an analytic extension to C+ , also denoted φ, such that (a) φ(C+ ) ⊂ C+ if c0 = 0; (b) φ(C+ ) ⊂ C1/2 if c0 = 0. In the case where 1 p < 2, the condition is necessary, and sufficient if c0 = 0. Furthermore, Cφ is a contraction if, and only if, c0 = 0. In the case where p = +∞, the situation is easier since we can prove that each function φ : C+ → C+ , which is of the form φ(s) = c0 s + ϕ(s) defines a continuous composition operator on H∞ . As usual with composition operators, invertible and Fredholm composition operators are the same. There are very few such operators for Dirichlet series, as indicated by the:
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T HEOREM 7. – Let 1 p < +∞. Then the following properties are equivalent: 1. Cφ is invertible. 2. Cφ is Fredholm. 3. φ(s) = s + ik, where k ∈ R. It is also easy to characterize normal composition operators: T HEOREM 8. – Cφ is a normal composition operator on H2 if and only if φ(s) = s + c1 , where (c1 ) 0. For the composition operators which are isometries, or similar to isometries, we refer to the French version. Finally, we study the compactness of Cφ . We recall that if ψ is in H(D, D), its Nevanlinna counting function is defined by:
1 log Nψ (ω) = , ω ∈ D − ψ(0) . |z| −1 z∈ψ
{ω}
If φ(s) = c0 s + ϕ(s), we define formally φχ (s) = c0 s + ϕχ (s). If φ extends to C+ , then for all χ ∈ T∞ , φχ extends to C+ . By using works on Shapiro about compactness of Cψ on Hp (T), we obtain: T HEOREM 9. – Let 1 < p < +∞, Cφ a composition operator on Hp with c0 1. We suppose that 1 Nϕ−1 ◦φχ ◦ϕ1 (w) = o log , |w| → 1, 1 |w| uniformly in χ ∈ T∞ . Then Cφ is compact on Hp . In particular, if p > 1, c0 1, and φ(C+ ) ⊂ Cε with ε > 0, then Cφ is compact on Hp . The case where p = ∞ is easier: T HEOREM 10. – Cφ is a compact operator on H∞ if, and only if, there exists ε > 0 so that φ(C+ ) ⊂ Cε .
1. Définition des nouveaux espaces Soit f (s) = n1 an n−s une série de Dirichlet. Bohr a remarqué que, si on factorise chaque entier n en −s αr −s 1 produit de facteurs premiers, n = pα 1 · · · pr , et si on pose z1 = p1 , . . . , zr = pr , . . . , alors f (s) s’écrit α1 αr encore n1 an z1 · · · zr , et que notre série de Dirichlet devient une série de Fourier en une infinité de variables, dont les propriétés vont refléter exactement celles de f grâce au lemme de Kronecker (voir [6]). Précisément, nous notons T (resp. D) le cercle unité (resp. le disque unité), et T∞ (resp. D∞ ) le produit dénombrable de T (resp. D), et nous posons, pour z ∈ T∞ : an z1α1 · · · zrαr . D(f )(z) = n1
Nos nouveaux espaces de séries de Dirichlet vont être construits à partir des espaces de Hardy usuels de l’analyse harmonique. En particulier, nous utiliserons les définitions et résultats de B.J. Cole et T.W. Gamelin [2] sur les espaces de Hardy Hp (T∞ ). D ÉFINITION 1.1. – Pour 1 p +∞, nous définissons Hp = D−1 (Hp (T∞ )). Ainsi, si f est un élément de Hp , f s’écrit formellement n1 an n−s . Le cas p = 2 correspond au cas où |an |2 < +∞. Il a déjà été abordé dans [4] par Hedenmalm, Lindqvist et Seip. Nous poursuivons leur étude dans le cas général, en commençant par chercher l’ensemble de définition des éléments de Hp . Cette Note d’annonce ne contient aucune preuve. Celles-ci seront publiées ultérieurement dans [1].
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F. Bayart
T HÉORÈME 1.2. – Soit 1 p < +∞, et f ∈ Hp . Alors l’abscisse de convergence uniforme de la série associée à f est inférieure ou égale à 1/2, et si (s) > 1/2, on a : f (s)p f p p ζ 2(s) . H De plus, cette inégalité est optimale. Si f ∈ H∞ , alors l’abscisse de convergence uniforme de la série associée à f est inférieure ou égale à 0, et f H∞ = sup{|f (s)|, s ∈ C+ }, où C+ = {s ∈ C; (s) > 0}. Nous utilisons pour cela un résultat de Cole et Gamelin qui dit qu’une fonction f de Hp (T∞ ) (resp. de H (T∞ )) se prolonge continûment à tout élément de D∞ ∩ 2 (resp., de D∞ ∩ c0 ). L’ensemble des caractères sur Z(∞) = {n = (n1 , n2 , . . .); ni ∈ Z et ni = 0 pour presque tout i} s’identifie à T∞ par la correspondance χ → (χ(p1 ), χ(p2 ), . . .). Soit χ ∈ T∞ . Si f (s) = n1 an n−s est un élément de Hp , on définit formellement une série de Dirichlet fχ par fχ (s) = n1 an χ(n)n−s . 1+z Pour presque tout χ de T∞ les fonctions fχ vérifient des propriétés intéressantes. Soit ϕ1 (z) = 1−z la p transformation de Cayley, qui envoie D dans C+ . Une fonction g est dite dans Hi (C+ ) si g ◦ ϕ1 est dans Hp (T), et dans ce cas g Hpi (C+ ) = g ◦ ϕ1 Hp (T) . En utilisant le théorème ergodique de Birkhoff– Khintchin, nous pouvons notamment prouver le théorème suivant : ∞
T HÉORÈME 1.3. – Soit 1 p < +∞, et f ∈ Hp , alors pour presque tout χ de T∞ , la fonction fχ se prolonge à C+ , et fχ ∈ Hpi (C+ ). En outre, T 1 fχ (it)p dt → f p p , quand T → +∞. H 2T −T Remarque 1.– L’utilisation d’un théorème ergodique donne également une autre définition des espaces N Hp . Si f (s) = n=1 an n−s est un polynôme de Dirichlet, alors f est un élément de Hp , et on a : T 1 f (it)p dt. f pHp = lim T →+∞ 2T −T Hp peut alors être vu comme la fermeture des polynômes de Dirichlet pour la norme définie par le membre de droite de l’égalité. Dans le cas où 1 < p < +∞, l’adaptation d’un raisonnement de Helson [5] prouve que le prolongement de fχ à C+ est très simple, puisque c’est la série de Dirichlet elle-même qui converge : T HÉORÈME 1.4. – Si 1 < p < +∞, et f est un élément de Hp , alors pour presque tout χ de T∞ , la série de Dirichlet associée à fχ converge dans C+ . Le point de vue de Bohr des séries de Dirichlet nous est également précieux pour déterminer quels sont les multiplicateurs de l’espace Hp , c’est-à-dire les fonctions holomorphes m telles que, pour tout f ∈ Hp , alors mf ∈ Hp . T HÉORÈME 1.5. – Pour 1 p < +∞, l’ensemble des multiplicateurs de Hp est H∞ . 2. Hypercontractivité d’un semi-groupe pour les séries de Dirichlet Nous définissons un semi-groupe d’opérateurs (Tε )ε0 sur Hp par : an n−s = an n−ε n−s . Tε n1
n1
Ce noyau est l’analogue séries de Dirichlet du noyau de Poisson (Pr ) défini sur Hp (T) par pour les inθ n inθ Pr ( n0 an e ) = n0 an r e . Nous cherchons à savoir sous quelles hypothèses ce noyau est hypercontractif, c’est-à-dire envoie Hp dans Hq avec une norme plus petite que 1.
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Nouveaux espaces de séries de Dirichlet
T HÉORÈME 2.1. – Soit 1 p q < +∞. Alors Tε L(Hp ,Hq ) 1 si, et seulement si, 2−2ε p/q. Pour prouver ce résultat, nous généralisons un théorème de Weissler [8], qui caractérise l’hypercontractivité du noyau de Poisson sur Hp (T). Par une récurrence, nous caractérisons l’hypercontractivité du noyau de Poisson sur les espaces Hp (TN ), puis sur l’espace Hp (T∞ ). L’isomorphisme isométrique entre Hp et Hp (T∞ ) nous permet alors de conclure. 3. Opérateurs de composition Nous cherchons dans cette partie les fonctions φ de C1/2 = {s ∈ C; (s) > 1/2} dans C1/2 telles que Cφ (f ) = f ◦ φ définisse un opérateur continu sur Hp . En modifiant des arguments de Gordon et Hedenmalm issus de [3], nous prouvons que : T HÉORÈME 3.1. – Soit 2 p < +∞. Une fonction holomorphe φ : C1/2 → C1/2 définit un opérateur de composition borné sur Hp si, et seulement si, 1. elle est de la forme φ(s) = c0 s + ϕ(s), où c0 ∈ N et ϕ admet une représentation par une série de Dirichlet convergente dans un demi-plan {(s) > θ} ; 2. φ admet un prolongement analytique à C+ , que nous noterons toujours φ, tel que : (a) φ(C+ ) ⊂ C+ si c0 = 0 ; (b) φ(C+ ) ⊂ C1/2 si c0 = 0. Dans le cas où 1 p < 2, la condition est nécessaire, et suffisante si c0 = 0. En outre, Cφ est une contraction si, et seulement si, c0 = 0. Remarque 2. – Le cas p = +∞ est plus facile, puisque l’on peut prouver que les opérateurs de composition sur H∞ sont ceux engendrés par les fonctions φ : C+ → C+ de la forme φ(s) = c0 s + ϕ(s). Nous étudions ensuite les propriétés de ces opérateurs de composition. Comme dans le cas classique, les opérateurs de composition inversibles et ceux qui sont de Fredholm sont les mêmes, et nous sommes capables de les déterminer exactement : T HÉORÈME 3.2. – Soit 1 p < +∞. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. Cφ est inversible. 2. Cφ est un opérateur de Fredholm. 3. φ(s) = s + ik, où k ∈ R. L’idée de la preuve de ce théorème est que, si φ n’est pas de cette forme, alors φ(C1/2−ε ) ⊂ C1/2+η , où ε, η > 0. En particulier, toute fonction dans l’image de Cφ est définie, et bornée dans C1/2−ε . On conclut alors en remarquant qu’il existe dans Hp un espace vectoriel de dimension infinie de fonctions qui ne se prolongent pas au-delà de C1/2 . Nous pouvons également caractériser les opérateurs de composition qui sont normaux : T HÉORÈME 3.3. – Cφ est un opérateur de composition normal sur H2 si et seulement si φ(s) = s + c1 , où (c1 ) 0. Les opérateurs de composition Cφ sur Hp (T) qui sont des isométries sont ceux engendrés par les fonctions intérieures. On a un analogue de ce théorème ici. Si φ(s) = c0 s + ϕ(s), nous définissons formellement φχ (s) = c0 s + ϕχ (s). Si φ s’étend holomorphiquement à C+ , alors pour tout χ, φχ s’étend aussi à C+ (se reporter à [3], proposition 4.1). T HÉORÈME 3.4. – Soit 1 p < +∞. Alors Cφ est une isométrie sur Hp si, et seulement si, pour presque tout χ de T∞ , pour presque tout t de R, alors φχ (it) ∈ iR. Dans le cas où φ vérifie une condition supplémentaire, nous avons un théorème plus précis :
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T HÉORÈME 3.5. – Nous supposons que φ(s) = c0 s + ϕ(s), et que la série de Dirichlet qui définit ϕ converge uniformément sur la droite iR. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. Cφ est une isométrie. 2. Cφ est semblable à une isométrie. 3. φ(s) = c0 s + ik, avec c0 1 et k ∈ R. Les opérateurs de composition compacts sur Hp (T) sont bien connus depuis le travail de Shapiro [7]. Plus précisément, soit ψ ∈ H(D, D), la fonction de comptage de Nevanlinna de ψ est définie par
1 log Nψ (ω) = , ω ∈ D − ψ(0) . |z| −1 {ω}
z∈ψ
p
Shapiro prouve que Cψ est compact sur H (T) si, et seulement si, 1 Nψ (w) = o log , |w| → 1. |w| Nous utilisons ce résultat pour prouver le théorème suivant : T HÉORÈME 3.6. – Soit 1 < p < +∞, Cφ un opérateur de composition sur Hp , avec c0 1. Nous supposons que : 1 Nϕ−1 ◦φχ ◦ϕ1 (w) = o log , |w| → 1, 1 |w| uniformément en χ ∈ T∞ . Alors Cφ est compact sur Hp . Nous en déduisons les corollaires suivants : C OROLLAIRE 3.7. – Si c0 1 et φ(C+ ) ⊂ Cε pour un certain ε > 0, alors Cφ est un opérateur compact sur Hp dès que p > 1. Si c0 = 0, et si φ(C+ ) ⊂ C1/2+ε , où ε > 0, alors Cφ est un opérateur compact sur Hp , pour p 1. Dans le cas de H∞ , la situation est plus facile car nous pouvons caractériser exactement les opérateurs compacts : T HÉORÈME 3.8. – Cφ est un opérateur compact sur H∞ si, et seulement si, il existe ε > 0 tel que φ(C+ ) ⊂ Cε . Références bibliographiques [1] Bayart F., Hardy spaces of Dirichlet series and their composition operators, Preprint. [2] Cole B.J., Gamelin T.W., Representing measures and Hardy spaces for the infinite polydisk algebra, Proc. Lond. Math. Soc. 53 (1986) 112–142. [3] Gordon J., Hedenmalm H., The composition operators on the space of Dirichlet series with square summable coefficients, Michigan Math. J. 46 (1999) 313–329. [4] Hedenmalm H., Lindqvist P., Seip K., A Hilbert space of Dirichlet series and a system of dilated functions in L2 (0, 1), Duke Math. J. 86 (1997) 1–36. [5] Helson H., Compact groups and Dirichlet series, Ark. Math. 8 (1969) 139–143. [6] Queffélec H., Harald Bohr’s vision of Dirichlet series: Old and new results, J. Anal. 3 (1995) 43–60. [7] Shapiro J.H., The essential norm of a compostion operator, Ann. of Math. 125 (1987) 375–404. [8] Weissler F.B., Logarithmic Sobolev inequalities and hypercontractive estimates on the circle, J. Funct. Anal. 37 (1980) 218–234.
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