De nouveaux invariants numériques pour les extensions totalement ramifiées de corps locaux

Journal of Number Theory  NT1983 journal of number theory 59, 159202 (1996) article no. 0092

De nouveaux invariants numeriques pour les extensions totalement ramifiees de corps locaux Volker Heiermann* Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultat II, Institut fur Mathematik, Sitz: Ziegelstrasse 13A, Humboldt-Universitat zu Berlin, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin, Germany Communicated by P. Roquette Received October 25, 1994

Nous etudions la categorie des extensions totalement ramifiees d'un corps local a l'aide d'un certain type d'equations, definissant de telles extensions. Ce type d'equations est defini par des series formelles, et non pas par des polyno^mes d'Eisenstein. A cette occasion, nous ameliorons des resultats anciens de Arf et de Krasner. En particulier, nous donnons de nouveaux invariants numeriques pour les extensions totalement ramifiees d'un corps local qui ameliorent l'information donnee par la fonction de Herbrand.  1996 Academic Press, Inc.

Une etude des extensions totalement ramifiees d'un corps local K a partir d'equations definissantes a ete debutee simultanement par Arf [A] et Krasner [Kr1] dans les annees 30. Ils en tirent notamment le theoreme de HasseArf dans le cas general [A] et le nombre d'extensions de degre donne d'un corps ^-adique dans une clo^ture algebrique [Kr2]. Alors que Krasner adoptait le point de vue des polyno^mes d'Eisenstein avec comme outil technique le polygone de Newton, Arf a considere un autre type d'equations qui est defini a partir de series formelles: En fixant une uniformisante t de l'anneau des entiers A de K, on fait correspondre a tout couple (F, n), forme d'une serie formelle inversible F a coefficients dans A et d'un entier n1, une extension totalement ramifiee L de K (unique a K-isomorphisme pres) dont une uniformisante u verifie l'equation t=u nF(u).

(V)

Nous allons approfondir ici l'etude de Arf et de Krasner. Notre resultat principal est l'introduction de nouveaux invariants numeriques, appeles indices d 'inseparabilite, qui sont une suite finie d'entiers positifs que nous * E-mail: heiermanmathematik.hu-berlin.de.

159 0022-314X96 18.00 Copyright  1996 by Academic Press, Inc. All rights of reproduction in any form reserved.

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associons a une extension totalement ramifiee donnee de corps locaux, et qui ameliorent l'information donnee par la fonction de Herbrand. Pour une extension totalement ramifiee L d'un corps local K de caracteristique p>0, ces invariants seraient definis de la maniere suivante: soient F une serie formelle a coefficients dans un systeme de representants multiplicatifs de A (dans le cas d'egale caracteristique, un tel systeme est un corps de representants), verifiant une equation du type (*), et j un entier, 0 jv&1, v designant la valuation p-adique du degre de l'extension LK. L'indice d'inseparabilite d'ordre j de l'extension LK est le plus petit entier i de valuation  j, tel que le terme de degre i de la serie F soit non nul. L'indice d'inseparabilite d'ordre v est par convention nul. Dans le cas d'inegale caracteristique, qui nous interesse ici, les entiers obtenus par la construction precedente doivent, pour e^tre reellement des invariants, c'esta-dire ne dependre que du type d'isomorphie de l'extension LK, et non des choix de F, t ou u, e^tre convenablement modifies (cf. definition 3.7). La demonstration de cette invariance, assez complexe, ne pourra intervenir qu'a la fin de cette etude. Ces invariants peuvent se lire egalement sur tout polyno^me d'Eisenstein qui definit l'extension (cf. proposition 3.12). Nous avons adopte comme Arf le point de vue des series formelles qui presente les avantages suivants:  Il est mieux adapte a l'etude des substitutions de la forme u [ v mX (v) dans (*) (avec X serie formelle inversible a coefficients dans A) qui decrivent completement la categorie des extensions totalement ramifiees de K.  Il est mieux adapte au passage au quotient. Ceci est particulierement interessant dans le contexte de la theorie d'approximation de corps locaux de Krasner et Deligne [Del] dont le resultat principal est le suivant: Soit K$ un corps local dont l'anneau des entiers A$ verifie A$m lA$ $Am lA pour un entier l1. Alors, il existe un isomorphisme de groupe Gal(K$ sepK$)Gal(K$ sepK$) l  Gal(K sepK)Gal(K sepK) l entre les groupes de Galois d'extensions separables maximales donnees de K et K$, quotientes par leur l eme groupe de ramification en notation superieure. Apres avoir donne quelques preliminaires et fixe les notations au premier paragraphe, nous reformulons l'approche de Arf au deuxieme paragraphe dans le langage des categories, en introduisant une multiplication V sur l'ensemble des couples (F, n), formes d'une serie formelle inversible F a

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coefficients dans un systeme de representants multiplicatifs S de A et d'un entier n1: nous ecrirons (G, mn)=(X, m) V (F, n), si G s'obtient a partir de F (U mX)X n, serie en U convenablement modifiee pour avoir elle-aussi ses coefficients dans le systeme de representants S. Cette modification est d'ailleurs la principale source de complications dans la preuve du theoreme 4.6. Nous definissons alors une categorie dont les objets sont les couples de la forme (F, n), un morphisme de source (F, n) et de but (G, mn) etant un couple (X, m) qui verifie (G, mn)= (X, m) V (F, n). Nous montrons que cette categorie est equivalente a celle des extensions totalement ramifiees de K (cf. theoreme 2.18). Au troisieme paragraphe, nous definissons nos invariants a l'aide d'une certaine notion d'inseparabilite pour les extensions d'anneaux de valuation discrete complets tronques. Un tel anneau tronque sera appele un anneau discret-complet. Cette definition intrinseque nous permet de prouver sans calcul une premiere propriete d'invariance de nos indices d'inseparabilite (cf. corollaire 3.11). La categorie des anneaux discrets-complets est d'ailleurs la plus grande categorie d'anneaux a laquelle se generalisent les resultats de ce travail (cf. [T]). Une telle generalisation ne presente pas seulement de l'intere^t en elle-me^me (en particulier tout anneau commutatif fini est construit a partir d'anneaux discrets-complets finis), mais aussi pour la theorie des corps locaux en raison de la theorie d'approximation de KrasnerDeligne. En effet, le resultat rappele ci-dessus s'obtient comme corollaire d'une equivalence entre une certaine categorie d'extensions d'anneaux discrets-complets et une certaine categorie de corps locaux. En particulier, la propriete d'inseparabilite de nos indices devrait se relever gra^ce a cette theorie dans le groupe de Galois absolu, ce qui donnerait une autre definition de ces indices. Au quatrieme paragraphe, nous enoncons notre resultat principal qui decrit la continuite de l'application (X, m) [ (X, m) V (F, n) (cf. theoreme 4.6), et ses corollaires, y compris le theoreme de Arf (cf. corollaire 4.13). Posons (G, mn)=(X, m) V (F, n). Arf s'est interesse au terme de degre minimal de la serie G qui differe de celui de la serie F. Plus precisement, Arf a prouve que, si X est congruente a 1 modulo degre d, alors la serie G est congruente modulo degre n. LK (d) a la serie F, ou . LK designe la fonction de Herbrand d'une extension totalement ramifiee LK definie par F a l'aide d'une equation du type (*). Par ailleurs, il a deduit de la serie t&U nF un polyno^me additif P v(d ) qui exprime la difference des coefficients des termes de degre n. LK (d ) de F et de G en fonction de celui de degre d de X. L'idee avec laquelle nous avons ameliore le resultat de Arf est la suivante: nous, nous examinons de plus pour tout entier j,

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0 jv p(n), ( p designant la caracteristique residuelle de K,) le terme de degre minimal de la serie G qui differe de celui de la serie F et dont le degre est de valuation p-adique  j. Notre resultat s'enonce alors par un raffinement de la fonction de Herbrand deduit de nos indices d'inseparabilite, et nous donnons l'equivalent du polyno^me P v(d ) pour les entiers j, 0 jv&1. La preuve du resultat principal se trouve au paragraphe 5. Dans le paragraphe 6, nos resultats sur la multiplication V sont traduits dans la categorie des extensions totalement ramifiees de K. Nous en deduisons entre autre une majoration du cardinal du groupe de Galois (cf. remarque 6.7) qui est meilleure que celle obtenue par Arf. En particulier, nous donnons l'exemple d'une extension dont nous prouvons qu'elle n'est pas galoisienne, alors que ceci est impossible, en utilisant uniquement les resultats de Arf (cf. exemple dans la remarque 6.7). Au septieme paragraphe, nous prouvons finalement l'invariance annoncee de nos indices d'inseparabilite (cf. theoreme 7.1 et proposition 7.4). Les resultats de ce travail qui ont ete annonces en partie dans [H] font partie de ma these de Doctorat [T], soutenue en janvier 1994 a Marseille a l'Universite de Provence sous la direction de J.-P. Soublin. Je lui en suis tres reconnaissant. Mes remerciements vont egalement a P. Deligne pour quelques ``petites suggestions'' et a E.-W. Zink pour m'avoir conseille de mieux mettre en valeur la multiplication V .

1. Notations et preliminaires Nous nous fixons un anneau de valuation discrete complet A de caracteristique residuelle p et une uniformisante t de A. Nous noterons v A la valuation discrete normalisee de A, K le corps des fractions de A, e( =v A( p1 A )) l'indice de ramification absolu de K, k le corps residuel de A, et a [ a l'application residuelle qui associe a un element a de A son image a dans k. Nous supposerons l'indice de ramification absolu fini et le corps residuel k parfait, bien que ces hypotheses ne soient pas absolument necessaires. (Dans le cas d'egale caracteristique, la situation est me^me plus simple en raison de l'existence d'un corps de representants). Nous noterons S l'unique systeme de representants du corps residuel k dans A qui est multiplicatif (cf. [B] ch. 9, 9 2, n% 2, proposition 7). Si k est fini de cardinal q, S est l'ensemble des racines (q&1) eme de l'unite. Nous designerons par } le plus petit sous-anneau de A contenant S. C'est un anneau de valuation discrete complet dont une uniformisante est donnee par p1 A . L'extension A} est totalement ramifiee dans le sens defini cidessous.

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Nous dirons qu'un anneau B est une extension de A, si B est un anneau de valuation discrete complet qui domine A en tant qu'anneau local (i.e. A est un sous-anneau de B et l'intersection de l'ideal maximal de B avec A est egale a l'ideal maximal de A). Une extension BA sera dite finie, si l'extension residuelle l'est. On definit une correspondance biunivoque entre les extensions finies L du corps local K et les extensions finies B de A, en associant a L la clo^ture integrale B de A dans L (cf. [Se] chapitre II, proposition 3). Le groupe des automorphismes de l'extension LK s'identifiant a celui de l'extension BA, la categorie des extensions finies de K est ainsi isomorphe a celle des extensions finies de A. Nous dirons qu'une extension finie B de A verifie une propriete (P), si l'extension des corps des fractions verifie (P). Par exemple, une extension BA sera dite totalement ramifiee de degre n, si l'extension des corps des fractions est de degre n et si l'extension residuelle est de degre 1. Nous noterons Ext tot(A, t) la categorie dont les objets sont les couples (B, u) formes d'une extension totalement ramifiee B de A et d'une uniformisante u de B, et dont un morphisme de source (B, u) et de but (C, v) est un A-morphisme de B dans C (on ne suppose pas que u est envoye sur v), la composition des morphismes etant la composition usuelle. (La categorie Ext tot(A, t) ne depend evidemment pas de t, mais il sera utile dans la suite d'avoir fixe une uniformisante t de A. Par ailleurs, cette notation est justifiee, si on considere Ext tot(A, t) comme etant la souscategorie pleine de Ext tot(}, p1 } ) formee des ``extensions totalement ramifiees'' de (A, t).) En associant a un objet (B, u) de la categorie Ext tot(A, t) l'anneau B, on definit un foncteur quasi-inversible de la categorie Ext tot(A, t) dans la categorie Ext tot(A) des extensions totalement ramifiees de A. Par ailleurs, nous utiliserons dans la suite les notations suivantes: ]z[: plus petit entier z, z nombre reel; coeff(F, :): coefficient du terme de degre : d'une serie formelle F de A[[U]]; coeff(F, :): l'image de coeff(F, :) dans k.

2. Extensions totalement ramifiees et series formelles (2.1) Posons E A =A[[U]]*_N*. Nous appellerons degre (resp. serie sous-jacente) d'un element de E A l'entier (resp. la serie formelle) correspondant a cet element.

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Tout element de E A definit une extension totalement ramifiee de A, comme les font les polyno^mes d'Eisenstein: (2.2) Theoreme.

Soit (F, n) un element de E A . Alors, l'anneau A F =A[[U]](t&U nF) A[[U]]

est une extension totalement ramifiee de degre n de A dont une uniformisante est donnee par la classe U de U. Si B est une extension totalement ramifiee de A, et si u est une uniformisante de B, telle que t=u nF (u), il existe un unique A-isomorphisme de A F sur B qui envoie U sur u. Preuve. Existence: Il faut montrer que A F est un anneau de valuation discrete complet d'uniformisante U, que l'application canonique A  A F est injective et que le corps residuel de A F s'identifie a celui de A par cette injection. Rappelons qu'un anneau de valuation discrete est un anneau integre, local et noetherien dont l'ideal maximal est principal et non nul. L'anneau A F est noetherien comme quotient d'un anneau de series formelles a coefficients dans un anneau noetherien. Comme l'anneau A[[U]] est local d'ideal maximal M=tA[[U]]+UA[[U]], l'anneau A F est lui aussi local, et son ideal maximal est l'image de M qui est UA F . Il est facile de voir que tout element de A F peut s'ecrire sous la forme  : avec s : dans l'image du systeme de representants multiplicatifs  :=0 s : U S. Il est inversible, si s 0 {0. (En effet, il est alors l'image d'un element inversible de A[[U]].) Montrer que A F est integre et que UA F {0 revient donc a prouver que U n'est pas nilpotent. Supposons U nilpotent. Il existe alors un entier l>0 et une serie H de A[[U]], telle que U l =(t&U nF) H. L'anneau A etant integre, U engendre un ideal premier de A[[U]]. Par suite, il existe H* dans A[[U]], telle que H=U lH*. On a donc 1=(t&U nF) H*, ce qui est absurde, la serie t&U nF n'etant pas inversible dans A[[U]]. L'anneau A F est donc bien de valuation discrete, et il est clair qu'il est complet. Si l'application canonique A  A F n'etait pas injective, t serait nilpotent dans A F , et U serait alors nilpotent dans A F , ce qui est faux comme on vient de le voir. Il est clair que l'application composee A  A F  A F UA F est surjective et qu'elle se factorise par l'ideal maximal de A. L'injection A  A F induit donc bien un isomorphisme entre les corps residuels de A et A F . Unicite: Soit B un autre anneau de valuation discrete complet et u une uniformisante de B, tels que les hypotheses du theoreme soient verifiees. La surjection A[[U]]  B qui associe a une serie H(U) l'element H(u) de B

File: 641J 198306 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:03 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3211 Signs: 2512 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

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induit un homomorphisme surjectif entre A F et B qui est injectif, l'image de U par cet homomorphisme ne pouvant e^tre nilpotent. K (2.3) Definition. Soit (F, n) un element de E A . Un objet (B, u) de la categorie Ext tot(A, t) qui verifie t=u nF (u) sera dit defini par (F, n). On dira aussi que (B, u) est defini par (F, n) relativement a (A, t). (2.4) Proposition. Soit (B, u) une extension de (A, t) definie par un element (F, n) de E A . Soit F le polyno^me minimal de u sur A. La serie t&UF est le produit de F par un element inversible de A[[U]]. Si F n'est pas un polyno^me, les elements de B qui annulent la serie t&U nF sont exactement les racines de F dans B. Si F est un polyno^me, t&U nF est le produit de F par un polyno^me H dont les racines, dans toute extension finie de A, sont des unites (de cet anneau). Preuve. Ceci resulte du theoreme de preparation de Weierstrass (cf. [L] chapitre V, theoreme 11.2). K (2.5) Remarque. La proposition montre que, si F est un polyno^me, les anneaux A[[U]](t&U nF) A[[U]] et A[U](t&U nF) A[U] ne sont en general pas isomorphes. Pour qu'ils soient isomorphes, il faut (et il suffit) que F soit constant. (2.6) Corollaire (avec les hypotheses et notations de la proposition 2.4). La differente de l 'extension BA est l 'ideal principal de B, engendre par la derivee de U nF (U) en u. Preuve. Ecrivons F=(t&U nF) H. La differente de BA est l'ideal principal engendre par la derivee de F en u (cf. [Se] ch. III 9 6). Compte tenu de la proposition 2.4, la derivee de F en u est egal au produit de la derivee de U nF (U) en u par un inversible de B, d'ou le corollaire. K (2.7) Il existe evidemment une infinite de couples de E A definissant un objet (B, u) donne de la categorie Ext tot(A, t). Pour avoir une unicite, posons E k =S[[U]]*_N*, S[[U]]* designant le sous-ensemble de A[[U]]*, forme des series formelles a coefficients dans S. (2.8) Proposition. Soient (F, n) dans E A , et (B, u) un objet de Ext tot(A, t) defini par (F, n). Il existe un unique element (FS , n) dans E k definissant (B, u) relativement a (A, t). On a FS =(1+U nR) F&tR, ou R est determinee de fac on unique comme element de A[[U]].

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Preuve. Comme n1, les coefficients r : de R sont determines de maniere unique par la relation de recurrence &r : t+coeff((1&U nR) F, :)

est dans S.

Par ailleurs, on a u nFS (u)=u n[(1+u nR(u)) F(u)&tR(u)] =u nF(u)+u nR(u)[u nF(u)&t] =t. L'unicite de FS est evidente, tout element de B s'ecrivant de facon unique comme serie en u a coefficients dans S. (2.9) Definition (avec les hypotheses et notations de la proposition 2.8). Le couple (FS , n) sera appele la classe modulo t de (F, n) et la se rie formelle R le reste modulo t de (F, n). On va munir l'ensemble E k d'une multiplication, ce qui nous permettra d'e noncer une e quivalence entre la cate gorie des extensions totalement ramifie es de (A, t) et une certaine cate gorie E k(2) de finie a partir de E k et d'une multiplication V 2 . (2.10) On notera 2=(F0 , e) l'e le ment de E k qui de finit (A, t) relativement a (}, p 1 } ), } etant l'anneau de coefficients de A (cf. paragraphe 1). (2.11) DefinitionProposition. En associant a deux elements (X, m) et (F, n) de E k le couple (G, mn) qui est la classe modulo t de (F (U mX) Xn, mn), on munit l 'ensemble E k d 'une loi de composition. On ecrira (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n). Preuve. Il faut prouver que la definition de la multiplication V 2 ne depend pas du choix de l'extension (A, t) de (}, p1 } ) definie par 2. Or, si (A$, t$) est une autre extension de (}, p1 } ) definie par 2, il existe par 2.2 un }-isomorphisme de A sur A$ qui envoie t sur t$. Les classes modulo t et modulo t$ de (F (U mX) X n, mn) sont donc egales pour deux elements (X, m) et (F, n) de E k . K (2.12) Proposition. Soient (X, m), (F, n) dans E k , (B, u) une extension de (A, t) definie par (F, n), et (C, v) une extension de (B, u) definie par (X, m).

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Pour qu'un element (G, mn) de E k verifie (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n), il faut et il suffit que t=v mnG(v). Preuve. Comme v mn(X(v)) n F(v mX(v))=(v mX(v)) n F(v mX(v))=u nF(u)=t, l'extension (C, v) est definie par X nF(U mX) relativement a (A, t). Compte tenu de la proposition 2.8, l'egalite t=v mnG(v) revient a dire que (G, mn) est la classe modulo t de (X nF(U mX), mn) dans E k , ce qui equivaut par definition a (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n).

K

(2.13) Proposition. Soient (B, u) et (C, v) des extensions de (A, t) definies respectivement par des elements (F, n) et (G, mn) de E k . On definit une bijection entre l'ensemble des elements (X, m) de E k , tels que (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n) et l 'ensemble des A-morphismes de B dans C, en associant a (X, m) le A-morphisme qui envoie u sur v mX(v). Preuve. Soit _ un A-morphisme de B dans C. Il est evidemment injectif, et le couple (_(B), _(u)) est egalement defini par (F, n) relativement a (A, t). Soit (X, m) l'element de E k qui definit (C, v) relativement a (_(B), _(u)). On a donc _(u)=v mX(v), ce qui implique (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n), en raison de 2.12. Inversement, soit (X, m) un element de E k qui verifie (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n). Soit (C$, v$) une extension de (B, u) definie par (X, m). Le theoreme 2.2 montre qu'il existe un A-isomorphisme _ de C$ sur C qui envoie v$ sur v.

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Sa restriction a gauche a B est un A-morphisme de B dans C qui envoie u sur _(u)=_(v$ mX(v$))=v mX(v). Ayant deux applications, l'une l'inverse de l'autre, ceci prouve la proposition. K (2.14) Lemme. Soit B un anneau de valuation discrete complet, et soit X une serie formelle inversible de A[[U]]. L'application u [ uX(u) permute les uniformisantes de B. Preuve. Voir par exemple [Kr1], page 142.

K

Notons quelques proprietes formelles de la multiplication V 2 : (2.15) Proposition.

La multiplication V 2 verifie les proprietes suivantes:

(1) Son element neutre est (1, 1). (2) Pour qu'un element (X, m) de E k soit inversible, il faut et il suffit que m=1. (3) On a (Y, l ) V 2 [(X, m) V 2 (F, n)]=[(Y, l ) V 3 (X, m)] V 2 (F, n) pour tous (Y, l), (X, m) de E k avec 3=(F, n) V (1, 1) 2. Preuve. Il est clair que (1, 1) est un element neutre, et on sait qu'une loi de composition admet au plus un element neutre. La condition m=1 est alors necessaire, pour que (X, m) soit inversible. Elle est suffisante en raison du lemme 2.14 et de la proposition 2.12. La propriete 3) decoule immediatement de 2.12. K (2.16) Definition. Soit E k(2) la collection dont les objets sont les elements de E k . (1) Pour deux objets (F, n) et (G, l) donnes de E k(2), on appellera morphisme de source (F, n) et de but (G, l ) un element (X, m) de E k qui verifie (G, l)=(X, m) V 2 (F, n). (2) Pour trois objets (F, n), (G, m) et (H, l ) donnes de E k(2), la loi de composition Mor((G, m), (H, l))_Mor((F, n), (G, m))  Mor((F, n), (H, l )) sera definie par la multiplication V 3 avec 3=(F, n) V (1, 1) 2.

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(2.17) Proposition. La collection E k(2) munie des donnees de la definition 2.16 est une categorie dont les isomorphismes sont les elements de la forme (X, 1) de E k . Preuve. Ceci resulte de la proposition 2.15: En effet, l'associativite de la composition des morphismes decoule de la propriete 3), alors que la propriete 1) montre que, pour tout objet (F, n) de E k(2), (1,1) est un morphisme de source (F, n) et de but (F, n) qui est l'element neutre pour la composition des morphismes. La propriete 2) montre finalement que les isomorphismes sont les elements de la forme (X, 1) de E k . K (2.18) Theoreme. En associant a tout objet (B, u) de la categorie Ext tot(A, t) l'objet T(B, u)=(F, n) de la categorie E k(2) qui definit (B, u) relativement a (A, t), et en associant a un morphisme _ de source (B, u) et de but (C, v), le morphisme T(_)=(X, m) de source T(B, u) et de but T(C, v), tel que _(u)=v mX(v), on definit un foncteur quasi-inversible de la categorie Ext tot(A, t) dans la categorie E k(2). En particulier, les categories Ext tot(A, t) et E k(2) sont equivalentes. Preuve. Le theoreme 2.2 montre que, pour tout objet (B, u) de Ext tot(A, t), T(B, u) ainsi defini est un objet de la categorie E k(2). La proposition 2.12 montre que, pour tout morphisme _ de la categorie Ext tot(A, t), T(_) est un morphisme de la categorie E k(2). Si _=id (B, u) , on a T(_)=(1, 1). Le fait que T est compatible avec la composition des morphismes resulte egalement de la proposition 2.12. Le foncteur T est pleinement fidele en raison de la proposition 2.13. Finalement, si (F, n) est un objet de E k(2), et si (B, u) est une extension de (A, t) definie par (F, n), alors (B, u) est un objet de Ext tot(A, t) qui verifie T(B, u)=(F, n), ce qui montre que T est quasi-inversible.

3. Inseparabilite formelle (3.1.) Definition. Un anneau discret-complet sera un anneau commutatif qui n'est pas un corps et qui est l'image d'un anneau de valuation discrete complet par un homomorphisme. (3.2) Fixons pour la suite un anneau discret-complet A qui est l'image de A par un homomorphisme note a [ a^ dans ce paragraphe. Cet anneau est local et son unique ideal maximal m A est principal, engendre par t^. Sa caracteristique residuelle est p, et S est l'unique systeme de representants de k dans A qui est multiplicatif. On dira qu'un generateur de l'ideal maximal de A est une uniformisante de cet anneau. L'application v A : A  Z _ [ +] qui associe a un element

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non nul a^ de A le plus grand entier v, tel que a^ # m vA , et qui verifie v A(0)= + sera appelee la pseudo-valuation de A. La borne superieure dans R de l'ensemble des entiers l>0, tels que t^ l&1 {0, sera appelee la longueur de A, notee l(A ). Remarquons que l'anneau A est un anneau de valuation discrete complet, si et seulement si sa longueur est +. Une extension de A sera un anneau discret-complet B qui domine A en tant qu'anneau local, i.e. A est un sous-anneau de B et l'intersection de l'ideal maximal de B avec A est egale a l'ideal maximal de A. Lorsque B est une extension de A, l'entier e=v B(t^ ) sera appele l'indice de ramification et l'entier f=[Bm B : Am A ] le degre residuel de l'extension. On dira que l'extension BA est totalement ramifiee si son degre residuel est 1 et qu'elle est non-ramifiee si son indice de ramification est 1. Le degre de l'extension BA, note [B : A ], sera le produit ef de son indice de ramification e avec son degre residuel f. Remarquons que, comme l'extension residuelle est separable, l'extension BA se decompose par le lemme de Hensel en une extension non-ramifiee suivie d'une extension totalement ramifiee. (3.3) Proposition. Soient B, C des extensions finies de A, B /C. Alors, l'anneau C est une extension de degre fini de B, et on a [C : A ]= [C : B ][B : A ]. Preuve. Notons m C l'ideal maximal de C, et m B celui de B. L'ideal m C & B est un ideal premier de B. Il est different de l'ideal 0, car m C & A est par hypothese egal a l'ideal maximal de A qui est non nul par definition de A. Le seul ideal premier {0 de B etant m B , ceci prouve que C domine B. L'anneau C est donc bien une extension de B. Soient u^ et v^ des uniformisantes de B et C respectivement. Si t^ # u^ e1B* et u^ # v^ e2C*, alors t^ # v^ e1e2C*. Par suite, l'indice de ramification de l'extension CA est egal au produit de ceux des extensions CB et BA. Comme le degre residuel est multiplicatif, on trouve bien la formule indiquee. K (3.4) Definition. Un element u^ d'un sur-anneau de A sera dit de degre fini sur A, si A^ ] est une extension de degre fini de A. L'entier [A] : A ] sera appele le degre de u sur A. Par exemple, toute uniformisante u^ d'une extension totalement ramifiee B de degre n de A est de degre n sur A. Si BA est une extension nonramifiee de degre n, tout element u^ de B dont l'image engendre l'extension residuelle est de degre n sur A. (En effet, il est immediate que l'on a B =A^ ] dans les deux cas.) (3.5) Definition. Soit u^ un element d'un sur-anneau de A. Supposons u^ de degre n sur A. On dira que u^ est formellement inseparable sur A, si u^ p

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est de degre np sur A. La plus grande puissance p j de p, telle que u^ p soit de degre np j, sur A, sera appelee le degre d 'inseparabilite formelle de u^ sur A.

(3.6) Proposition. Soient u^ une uniformisante d 'une extension totalement ramifiee de degre n de A. Pour que le degre d 'inseparabilite formelle de u^ sur A soit p j, il faut et il suffit que p j divise n et qu'il existe une serie j formelle F dans S[[U p ]], telle que t^ =u^ nF (u^ ). Preuve. Ecrivons t^ =u^ nF (u^ ) avec F dans S[[U]]*. Si F  est dans j j j  j est l'element de S[[U p ]]) on peut ecrire t^ =(u^ j ) np F j(u^ j ), ou u^ j =u^ p et F j S[[U]]* qui verifie F  j(U p )=F (U). Soit Fj un relevement de F j dans S[[U]]*. D'apres 2.2, il existe une extension totalement ramifiee de A j dont une uniformisante u j verifie l'equation t=(u j ) np Fj(u j ). L'application canonique A  A induit une surjection A[u j ]  A^ j ] qui envoie u j sur u^ j , ce qui prouve que A^ j ] est un anneau discret-complet. Reciproquement, supposons u^ de degre d'inseparabilite formelle p j sur j A. L'anneau A^ p ] est alors une extension de degre np j de A. Compte tenu de la proposition 3.3, A^ ] est une extension totalement ramifiee de j j degre p j de A^ p ]. Comme la pseudo-valuation de A^ ] en u^ p vaut p j, j j ceci prouve que u^ p est une uniformisante de A^ p ]. Gra^ce a la multij plicativite du degre residuel, on voit que l'extension A^ p ]A est totalement ramifiee. L'image S de S dans A est donc un systeme de representants j du corps residuel de A^ p ]. On peut alors choisir un element F dans j j S[[U]], tel que t^ =u^ nF (u^ p ), et la serie F (U p ) a les proprietes demandees. (3.7) Definition. Soient u une uniformisante d'une extension totalement ramifiee B de degre n de A, et j un entier, 0j
Supposons p>3, n=p 2 et 2

F=1+U p +p +U 3p

2 +p

+U 4p

2 +p&3

2

+U 4p +5p+1.

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Alors, on trouve i~ 2 =0,

i~ 1 =p 2 +p,

i~ 0 =4p 2 +p&3.

(3.10) Proposition. Soit (B, u) un objet de Ext tot(A, t), defini par un element (F, n) de E k . Alors, les indices d'inseparabilite de u sont donnes par les indices de (F, n). Preuve. Soit j un entier, 0jv p(n). Le cas j=v p(n) etant trivial, supposons j
mod m n+i , B

ce qui prouve que le degre d'inseparabilite formelle de l'image de u dans B sur AA & m n+i B est p j+1 (cf. proposition 3.6). Bm n+i B B Par contre, si G est une serie formelle a coefficients dans S qui verifie t#u nG(u)

$ mod m n+i B

pour un entier i $>i, alors son terme de degre i est necessairement non nul, tout element de B s'ecrivant de maniere unique comme serie en u a coefficients dans le systeme de representants S. Elle ne peut donc e^tre un j+1 $ ne element de S[[U p ]]*, ce qui prouve que l'image de u dans Bm n+i B j+1 n+i $ sur AA & m B . K peut e^tre de degre d'inseparabilite formelle p (3.11) Corollaire. Soit t$ une autre uniformisante de A. Alors, l'element (F$, n) de E k qui definit (B, u) relativement a (A, t$) a les me^mes indices que (F, n). (3.12) Proposition. Soient B une extension totalement ramifiee de A, u une uniformisante de B, et F= n:=0 a : X : le polyno^me minimal de u ; avec a :, ; dans S, et posons F= sur A. Ecrivons a : =  ;=1 a :, ; t n&1  n;+: .  :=0  ;=0 a :, ;+1 U Alors, les indices d 'inseparabilites de u sur A sont donnes par les indices de (F, n). Preuve. Remarquons que la proposition 3.6 reste vraie, si on remplace j  (u^ )'' dans son enonce ``serie formelle F dans S[[U p ]], telle que t^ =u^ nF j par ``polyno^me F dans A p ] qui est l'image d'un polyno^me d'Eisenstein de A[X] et qui verifie F(u^ )=0''. On peut alors faire un raisonnement analogue a celui qui prouve la proposition 3.10. K

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Remarquons qu'il n'y a aucune raison que (B, u) soit defini par le couple (F, n) de la proposition 3.12. Il a ete introduit uniquement pour faire comprendre, comment on trouve les indices d'inseparabilite sur un polyno^me d'Eisenstein. (3.13) Les indices d'inseparabilite d'une uniformisante u d'une extension totalement ramifiee B de A dependent en general du choix de u, comme le montre l'exemple suivant. Ce ne sont donc pas des invariants de l'extension BA. Traduit en terme de la categorie E k(2), ceci signifie que les indices d'un objet (F, n) de la categorie E k(2) ne constituent pas des invariants de la classe d'isomorphie de (F, n). Supposons e=1, n=p, F=1 et X=1+U. On a p

F(UX) X p =X p = : :=0

p&1 p 1 p U : =1+U p +p : U :. p : : :=1

\+

\+

Les nombres ( :p )p avec 1: p & 1 etant des entiers rationnels, le p&1 p ( : )p U : reste R modulo t par rapport a E k de (F, n) est congru a  :=1 modulo U p+1, d'ou coeff((1+U pR) F(UX) X p, p+1) =coeff(F(UX) X p, p+1)+coeff(RF(UX) X p, 1) =1. On voit que l'indice d'ordre 0 de (F, p) est +, alors que l'indice d'ordre 0 de (G, p)=(1+U, 1) V 2 (F, p) est p+1. Pour obtenir des invariants de l'extension BA (ou de la classe d'isomorphie de (F, n)), il faut regulariser les indices definis au-dessus de la maniere suivante (cf. theoreme 7.1 qui prouve l'invariance par isomorphie des indices regularises definis ci-dessous): (3.14) Definition. Soient i~ v , ..., i~ 0 les indices d'un objet (F, n) de E k(2), ou v=v p(n). Les entiers i v , ..., i 0 , definis de facon recursive par i v =0 et ij=

i~ j ,

{i

j+1 +ne,

si i~ j
lorsque 0j
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(3.15) Remarque. Les indices de (F, n) sont definis pour (F, n) en tant qu'element de l'ensemble E k , alors que les indices regularises de (F, n) sont definis pour (F, n) en tant qu'objet de la categorie E k(2), puisqu'ils dependent du degre e de 2. (3.16) Exemple. trouve

Dans les notations et hypotheses de l'exemple 3.9, on

i 2 =0,

i 1 = p 2,

i 0 =2p 2,

si e=1,

i 2 =0,

i 1 = p 2 + p,

i 0 =3p 2 + p,

si e=2,

i 2 =0,

2

i 1 = p + p,

2

i 0 =4p + p&3,

si e3.

(3.17) Lemme. Soit (F, n) un objet de la categorie E k(2). Soit j un entier, 0jv p(n). L'indice regularise d'ordre j de (F, n) est le plus petit entier s'ecrivant i~ j $ +( j $&j) ne avec jj $v p(n), i~ j $ designant l 'indice d 'ordre j $ de (F, n). Si ij =i~ j $ +( j$&j) ne avec j$> j et i~ j $ {0, on a j $=v p(i j ). Preuve. Pour prouver la premiere partie du lemme, il suffit de faire une recurrence descendante sur j, en commencant par j=v p(n). Quant a la deuxieme partie, il resulte des hypotheses que v p(i j )= v p(i~ j $ )j $. Si v p(i~ j $ )< j$, on aurait i~ j $ =i~ j $&1 et donc i~ j $&1 +( j$&1&j) ne
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Or, pour que v p(n+i~ ) ne+n+i~ &1 soit minimal dans l'ensemble des v p(n+:) ne+n+:&1, tels que :0 et f : {0, il faut que i~ soit un indice de (F, n). Une comparaison des valuations p-adiques montre que les entiers de la forme v p(n+i~ ) ne+i~ , avec i~ indice de (F, n), i~ < +, sont tous distincts. D'autre part, comme i~ =i~ vp(@~ ) pour tout indice i~ de (F, n), tel que 0{i~ < +, le lemme 3.17 montre que leur infimum est egal a l'indice d'ordre 0 de (F, n). K

4. Description partielle de la multiplication V On se fixe dans ce paragraphe un objet (F, n) de la categorie E k(2). On notera v la valuation p-adique de n, i~ v , ..., i~ 0 les indices de (F, n), et i v , ..., i 0 les indices regularises de (F, n). (4.1) Definition. Un morphisme de la categorie E k(2) sera dit constant (resp. unitaire), si la serie sous-jacente est constante (resp. de terme constant 1). La proposition suivante montre que tout morphisme de E k(2) peut se decomposer en un morphisme constant suivi d'un morphisme unitaire. (4.2) Proposition. Soit (X, m) un element de E S . Notons x le terme constant de la serie sous-jacente. On a (X, m) V 2 (F, n)=(x &1X, m) V 2 (F(xU) x n, n). Preuve. Posons (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n). Le couple (G, mn) est la classe modulo t de (F(U mX) X n, mn). En posant Fx =F(xU) x n et Xu =x &1X, on a Fx (U mXu ) X nu =F(U mxXu ) x nX nu =F(U mX) X n, ce qui montre que (G, mn) est egalement la classe modulo t de Fx (U mXu ) X nu , d'ou la proposition. K (4.3) Pour simplifier les enonces qui suivent, on va introduire une fonction w p, n qui est une tronquee de la valuation p-adique: Elle associe a un entier z sa valuation p-adique, si celle-ci est v=v p(n), et elle vaut v sinon. Notons les trois proprietes suivantes: (a)

w p, n(0)=v;

(b)

w p, n(n+:)=w p, n(:) pour tout entier :;

(c)

w p, n(:)
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m m (4.4) On va definir des fonctions .~ m j , . j et P j , a l'aide desquelles nous decrirons la multiplication V . Fixons des entiers m et j, m0 et 0jv. L'application affine qui associe a un nombre reel l0 la valeur mi j +lp j, sera notee .~ m j . ~ m On notera . m j l'infimum des fonctions . j $ , j $ entier, 0j $j. m Lorsque l est un entier 0, tel que . m j (l ) verifie w p, n(. j (l ))j, on m designera par P j (l ) le polyno^me de k[X] qui est egal a la classe de

: h iwp, n(ij $)(!f e0 ) (wp, n(ij $ )&j $)f iwp, n(ij $) X p

j$

mod tA[X],

j$

ou h iwp, n(ij $) =

n+i wp, n(ij $) p wp, n(ij $ )

et ! est donne par p1 A =!t e, la somme portant sur les j$ tels que m .~ m j $ (l )=. j (l ). (On remarque que l'indice d'ordre w p, n(i j $ ) de (F, n) est m regulier, si l'egalite .~ m j $ (l )=. j (l ) vaut.) m Si w p, n(. j (l)) est > j, on posera P m j (l )=0. On omettra l'exposant m, si m=1. Remarquons que, pour tous entiers l0, m1, on a . m j (l )=m. j(lm), (l)=P (lm) si l est divisible par m. Cette derniere egalite 0jv, et P m v v permet de definir P v pour tout nombre rationnel, en posant P v(lm)= Pm v (l ). (On verifie facilement que cette definition est bonne.) (4.5) Remarque. Pour tout j, 0jv, et tout entier m1, le graphe de .~ m j (l ) est une demi-droite coupant l'axe des ordonnees en l'indice regularise d'ordre j de (F, n) multiplie par m, et le polyno^me P m j (l ) est un polyno^me additif de k[X], c'est-a-dire l'application polynomiale de k dans k associee est un homomorphisme de F p -modules. Par ailleurs, on verra (cf. 6.11) que l'egalite . v(l)=n. BA(l ) vaut pour tout l0, . BA designant la fonction de Herbrand d'une extension BA definie par (F, n) (celle-ci pouvant se definir aussi pour des extensions non-galoisiennes gra^ce a l'existence d'une theorie de ramification nongaloisienne (cf. [He])). Enoncons notre resultat principal. (4.6) Theoreme. Soient l un entier 1, X un polyno^me de degre l&1 a coefficients dans S de terme constant 1, et x un element de S. Les elements (Gl&1 , mn) et (Gl , mn) de E k , tels que (Gl&1 , mn)=(X, m) V 2 (F, n)

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et (Gl , mn)=(X+xU l, m) V 2 (F, n), verifient les deux proprietes suivantes: (a) Les coefficients de degre d de Gl&1 et de Gl sont egaux, lorsque d est un entier qui verifie d<. m wp, n(d ) (l ). m (b) Si j est un entier, 0jv, tel que . m j (l ) verifie w p, n(. j (l))j, l'egalite m m coeff(Gl , . m j (l ))=coeff(Gl&1 , . j (l ))+(P j (l ))(x ).

vaut. Avant de donner la preuve de ce theoreme, ce qui se fera au prochain paragraphe, enoncons quelques corollaires concernant la multiplication V 2 . (4.7) Corollaire. Soit (X, 1) un element de E k . Pour tout entier l0, notons Xl le polyno^me forme des termes de degre l de X. Alors, la suite (Gl ) l0 definie par (Gl , n)=(Xl , 1) V 2 (F, n) converge pour la topologie U-adique vers une serie G, telle que (G, n)=(X, 1) V 2 (F, n). Preuve. A l'aide de la proposition 4.2, on se ramene au cas ou la serie X a terme constant 1. Par le theoreme 4.6, on a Gl #Gl&1

mod

U .v(l )A[[U]],

lorsque l est un entier 1. La fonction l [ . v(l ) divergeant vers +, la suite (Gl ) l1 est de Cauchy. Elle admet donc une limite G qui est un element de S[[U]]*. Soit (B, u) defini par (F, n) relativement a (A, t). Pour tout entier l0, notons u l l'uniformisante de B qui verifie u=u l Xl(u l ), et x l le terme de degre l de X. Comme 0=u l Xl(u l )&u l&1 Xl&1(u l&1 )=(u l &u l&1 ) Y(u l , u l&1 )+x l u l+1 l :+1 avec Y(u l , u l&1 )= l&1 &u :+1 :=0 x : (u l l&1 )(u l &u l&1 ), et que Y(u l , u l&1 ) est , m B designant l'ideal maximal une unite dans B, on a u l #u l&1 mod m l+1 B

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de B. La suite (u l ) l0 est donc de Cauchy dans B, et sa limite u$ est une uniformisante de B. Les suites (u l Xl(u l )) l0 et (u nl Gl(u l )) l0 convergeant respectivement vers u$X(u$) et u$ nG(u$) dans B, on a u=u$X(u$) et t=u$ nG(u$), et il resulte de la proposition 2.12 que (G, n)=(X, 1) V 2 (F, n). K (4.8) Corollaire. Soit (X, 1) un element de E k dont la serie sousjacente a terme constant 1. Notons x l le coefficient du terme de degre l de X, Xl le polyno^me forme des termes de degre l de X, et (Gl , n) l'element de E k tel que (Gl , n)=(Xl , 1) V 2 (F, n). (On a donc G0 =F.) Alors, pour qu'un element (G, n) de E k verifie (G, n)=(X, 1) V 2 (F, n), il faut et il suffit que les deux proprietes suivantes soient verifiees: (a) Les termes de degre d de F et de G sont egaux, si d verifie d<. wp, n(d )(1). (b)

L'egalite coeff(G, . j(l ))=coeff(Gl&1 , . j(l ))+(P j(l ))(x l )

vaut, si j, l sont des entiers, 0jv et l1, tels que w p, n(. j(l ))j. Preuve. Soit (G, n) tel que (G, n)=(X, 1) V 2 (F, n). Par le theoreme 4.6, les termes de degre d de Gl et de Gl&1 sont egaux, lorsque d verifie d<. wp, n(d )(1), d'ou a) compte tenu du corollaire precedent. Soient j, l des entiers, 0jv et l1, tels que w p, n(. j(l ))j. Le theoreme 4.6 montre que Gl $ et Gl ont me^me terme de degre . j(l ) si l $>l, d'ou l'on deduit a l'aide du corollaire precedent que G et Gl ont me^me coefficient de degre . j(l). La propriete b) resulte alors de la partie b) de 4.6. Reciproquement, soit G un element de S[[U]]*, satisfaisant aux conditions a) et b) de l'enonce. Posons (G$, n)=(X, 1) V 2(F, n). Il faut montrer que G=G$. Par ce qui precede, la serie G$ possede egalement les proprietes a) et b). Soit d un entier 0, et posons j=w p, n(d). On va montrer que G et G$ ont me^me terme de degre d.

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Si d<. j(1), les termes de degre d de G et G$ sont egaux gra^ce a la propriete a). Si d. j(1), il existe un entier l1, tel que d=. j(l ), puisque . j est une fonction strictement croissante, affine par morceaux de pente 1 et que les pentes des morceaux divisent d&. j(0). La propriete b) montre alors que les termes de degre d de G et de G$ sont egaux. (4.9) On designera par s 0(F, n) le plus petit nombre reel l0, tel que . v(l )=. 0(l). (4.10) Corollaire. Soit (G, n) un element de E k qui verifie G#F

U lA[[U]]

pour un entier l>i 0(F, n)+s 0(F, n). Alors, (G, n) et (F, n) sont isomorphes dans la categorie E k(2). L'isomorphisme peut e^tre obtenu par un morphisme dont la serie sous-jacente est congrue a 1 modulo U l&i0( F , n)A[[U]]. Preuve. Comme . v(s 0(F, n))=i 0(F, n)+s 0(F, n), et que . v(l&i 0(F, n)) =l, ceci est une consequence du corollaire precedent, le polyno^me P j(l ) etant un mono^me de degre 1 lorsque l>s 0 . (4.11) Corollaire. Dans la categorie E k(2), (F, n) est isomorphe a un objet (G, n) dont la serie sous-jacente est un polyno^me de degre . v(s 0(F, n)) dont tous les termes de degre non divisible par pa l'exception de celui de degre i 0 peut-e^tresont nuls. Preuve. Ceci est une consequence immediate des corollaires precedents, le polyno^me P 0(l) etant un mono^me de degre 1, lorsque . 0(l ) est premier a p. (4.12) Corollaire. Soit (X, m) un element de E k . Notons pour tout entier l0 par Xl le polyno^me forme des termes de degre l de X. Alors, la suite (Gl ) l0 definie par (Gl , mn)=(Xl , m) V 2 (F, n) converge pour la topologie U-adique vers une limite G, telle que (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n). Preuves. Remarquons d'abord que la preuve de 4.7 ne se generalise pas directement. Par la proposition 4.2, on peut supposer que X a terme constant 1.

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180

VOLKER HEIERMANN

Fixons un objet (B, u) defini par (F, n) relativement a (A, t), et un objet (C, v) defini par (X, m) relativement a (B, u). Par le corollaire 4.10, (Xl , m) et (X, m) sont isomorphes dans la categorie E k(3) avec 3=(F, n) V (1, 1) 2, si l>i 0(X, m)+s 0(X, m). Par ailleurs, on peut choisir un isomorphisme dont la serie sous-jacente est congrue a 1 modulo U l&i0( X, m)A[[U]]. Pour tout entier l>i 0(X, m)+s 0(X, m), il existe donc une uniformisante v l de C, telle que (C, v l ) soit defini par (Xl , m) relativement a (B, u). On a v C (v&v l )l&i 0(X, m)+1, et (C, v l ) est defini par (Gl , mn) relativement a (A, t). Par 4.6, la suite (Gl ) l est de Cauchy. Notons G sa limite qui est un Gl(v l ) converge element de S[[U]]*. La suite (v l ) l convergeant vers v, v mn l vers v mnG(v). On a donc t=v mnG(v), ce qui prouve que (G, mn) definit (C, v) relativement a (A, t). On deduit alors de 2.12 que (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n).

K

(4.13) Corollaire. Soient l un entier 1, (X, m) et (X$, m) des elements de E k dont les series sous-jacentes sont congrues modulo U lA[[U]]. Posons (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n)

et

(G$, mn)=(X$, m) V 2 (F, n)

Alors, on a G$#G

mod U dA[[U]]

et coeff(G$, d )&coeff(G, d )=P v(lm)(x ), avec d=m. v(lm) et x =coeff(X$&X, l ). Preuve. Pour tout entier l $0, notons Xl $ (resp. X$l $ ) le polyno^me forme des termes de degre l$ de la serie X (resp. X$). Posons (Gl $ , mn)=(Xl $ , m) V 2 (F, n)

et

(G$l $ , mn)=(X$l $ , m) V 2 (F, n).

Le corollaire precedent et le theoreme 4.6 prouvent qu'avec les notations de l'enonce les congruences Gl #G mod U d+1A[[U]]

et

G$l #G$

mod U d+1A[[U]]

valent, alors que G$l #Gl

mod U dA[[U]]

et coeff(G$&G, d )=P v(lm)(x ) par 4.6, compte tenu des formules pour . m et P m. K

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DE NOUVEAUX INVARIANTS NUMERIQUES

181

(4.14) Remarque. Le resultat du corollaire 4.13 a deja ete enonce au langage pres par Arf [A]. Krasner [Kr1] avait obtenu auparavant un resultat semblable pour les polyno^mes d'Eisenstein, en se restreignant au cas m=1. Son outil technique etait le polygone de Newton. Ils ont aussi deja remarque que l'egalite . v(l)=n. BA(l ) vaut dans le cas galoisien (Arf) aussi bien que dans le cas d'un corps residuel fini (Krasner) pour tout l0, . BA designant la fonction de Herbrand d'une extension B de A definie par (F, n). (4.15) Remarque. Le lecteur aura probablement remarque que les corollaires de 4.6a l'exception du corollaire 4.13 qui a deja ete obtenu par Arfn'utilisent que la partie m=1 du theoreme 4.6. En effet, si m est divisible par p, le passage a la limite dans la preuve du corollaire 4.8 ne s'effectue plus aussi aisement. En particulier, on n'obtient plus un aussi joli resultat que le corollaire 4.8. Avec une petite astuce, il est cependant possible de donner une description partielle du passage a la limite quand p divise m (cf. [T]), mais, comme nous n'en donnerons pas d'application ici, nous n'avons pas voulu insister.

5. Preuve du theoreme principal On va prouver d'abord le cas m=1, en utilisant un raisonnement qui se generalise facilement. Remarquons que, si on veut etablir le theoreme 4.6 uniquement pour m=1, on peut simplifier la demonstration considerablement, car, en utilisant des arguments de limite, on peut se restreindre a X=1. Ces arguments de limite ne se generalisent malheureusement pas. (5.1) Posons Y=X+xU l et fixons un entier j, 0 jv. Soit R (resp. S) le reste modulo t de (F(UX) X n, n) (resp. de (F(UY) Y n, n)). On a Gl&1 =(1+U nR) F(UX) X n &tR #F(UX) X n +U nRF(UX) X n

mod tA[[U]]

et Gl #F(UY) Y n +U nSF(UY) Y n

mod tA[[U]].

On va comparer d'abord les termes F(UX) X n et F(UY) Y n, et ensuite les termes U nRF(UX) X n et U nSF(UY) Y n.

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182

VOLKER HEIERMANN

(5.2) Lemme. Soit : un entier 0. On a l n+:

coeff((X+xU )

&X

n+:

{

0,

, d )# 0, v$ h: x p ,

si

v p(d )
si si

0d
avec v$=v p(n+:) et h : =(n+:)p v$. Preuve. Ceci est une consequence immediate de la congruence v$

v$

v$

(X+xU l ) n+: #(X p +x p U lp ) h:

mod tA.

(5.3) On notera s j la fonction qui associe a un nombre reel l0 le plus petit nombre s'ecrivant i~ +lp wp, n(i~ ) avec i~ indice (non-regularise ) d'ordre  j de (F, n). L'ensemble des indices i~ d'ordre  j de (F, n), tels que s j(l )=i~ +lp wp, n(i~ ) sera note I j(l ). (5.4) Lemme. (a) Les coefficients de degre d de F(UX) X n et de F(UY) Y n sont congrus modulo tA, lorsque d est un entier
wp, n(i)

i

vaut avec h i =(n+i)p

wp, n(i)

, la somme portant sur les elements de I j (l ).

Preuve. Soit d un entier s j(l) qui verifie w p, n(d ) j. Ecrivons coeff(F(UY) Y n &F(UX) X n, d ) d

= : f : coeff((X+xU l ) n+: &X n+:, d&:) :=0

Posons c : =coeff((X+xU l ) n+: &X n+:, d&:). Supposons d'abord que d{s j (l ). Pour etablir la partie a) du lemme, il suffit de montrer que f : c : =0 pour tout entier :0. Si :=d, ou si w p, n(d&:) j impliquerait w p, n(d&:)  j, puisque w p, n(d ) j, d'ou w p, n(:)=w p, n(n+:)w p, n(d&:) j, ce qui est absurde), d'ou d&:d&i~ wp, n(:)
File: 641J 198324 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3038 Signs: 1546 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

DE NOUVEAUX INVARIANTS NUMERIQUES

183

Supposons alors w p, n(s j(l )) j, et posons d=s j(l). Si :=d, si w p, n(d&:)
coeff(SH, r)#coeff(RG, r)+ : f $+1x $

mod tA,

$=0

ou la classe modulo tA de x $ est donnee par x $ t $+1 #coeff(H, r&$n)&coeff(G, r&$n)

mod t $+2A

si $ est congru a &1 modulo e, x $ =0 sinon. Preuve. Remarquons d'abord que l'inegalite n+d

d

& ne _ e & n _ +1

(1)

vaut pour tout entier d. (En effet, on a ](n+d )ne[ e=(1n)](n+d )ne[ne (1n)(n+d )=dn+1.)

File: 641J 198325 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2749 Signs: 1786 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

184

VOLKER HEIERMANN

Lorsque d et : sont des entiers, 0dr et lp j <:
coeff(R, d&:)#0

(2)

Fixons un entier d, 0dr, tel que w p, n(d ) j. On va effectuer une recurrence sur N : = ](d&:)n[. La plus petite valeur que peut prendre N : est 0. On a alors d&:0. La congruence est triviale, si l'inegalite est stricte, alors que le terme constant de R est nul, puisque celui de G appartient a S. Soit N un entier, 1N ](d&lp j )n[ et supposons l'assertion pour tout :, tel que N : N&1. Soit : un entier satisfaisant aux hypotheses de l'enonce ci-dessus et tel que N : =N. Comme coeff(R, d&:) est le reste modulo t par rapport a S du coefficient du terme de degre d&: de G+U nRG, et que mod t ](r&d+1)n[ +1A,

coeff(G, d&:)#0

par l'hypothese b) du lemme et l'inegalite (1), on est ramene a prouver que coeff(RG, d&:&n)#0

mod t ](r&d+1)n[ +1A.

Pour cela, il suffit de montrer que coeff(G, ;) coeff(R, d&:&n&;)#0

mod t ](r&d+1)n[ +1A,

pour 0;d&:&n. Or, on a alors ;
mod t ](r&d+1)n[ +1A,

si w p, n(;) j et ;{0, et de l'hypothese de recurrence que coeff(R, d&:&n&;)#0

mod t ](r&d+1)n[ +1A,

si w p, n(;)> j ou ;=0. Lorsque d est un entier, &n
mod t ](r&d )n[A.

(3)

et coeff(G, :) coeff(R, d&:) #coeff(H, :) coeff(S, d&:)

mod t ](r&d+1)n[ A,

pour 0<:d.

File: 641J 198326 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2506 Signs: 1419 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

(4)

DE NOUVEAUX INVARIANTS NUMERIQUES

185

En particulier, la congruence coeff(RG, d )#coeff(SH, d)

mod t ](r&d )n[A

(5)

vaut. Remarquons que la premiere conclusion du lemme est une consequence immediate de la congruence (5). On va montrer les congruences (3), (4) et (5) simultanement par recurrence sur N d = ]dn[. La plus petite valeur que peut prendre N d est 0. On a alors d0. Les congruences sont triviales, si l'inegalite est stricte, alors que les termes constants de R et S sont nuls, puisque ceux de G et H appartiennent a S. Soit N un entier, 1N ](r&1)n[, et supposons les congruences verifiees pour tout entier d satisfaisant aux hypotheses ci-dessus et tel que N d N&1. Soit d tel que N d =N. L'ensemble des entiers :, 0<:d, est reunion (disjointe) des quatre sous-ensembles suivants: E 1(d ) : 0<:
et w p, n(:) j;

j

E 2(d ) : d&lp :d

et w p, n(:) j;

E 3(d ) : :lp j

et w p, n(:)> j;

j

E 4(d ) : lp <:d

et w p, n(:)> j.

Si : est dans E 1(d ), la congruence (4) est une consequence immediate des hypotheses b) et a) du lemme et de l'inegalite (1). Si : est dans E 2(d ) ou E 3(d ), la congruence mod t ](r&d+1)n[ A

coeff(G, :)#coeff(H, :)

vaut gra^ce a l'hypothese a) du lemme et de l'inegalite (1). La congruence (2) donne coeff(R, d&:)#0

mod t ](r&d+1)n[ A

pour : dans E 4(d ). La congruence (4) pour : dans E 2(d ) _ E 3(d ) _ E 4(d ) est donc une consequence de la relation coeff(R, d&:)#coeff(S, d&:)

mod t ](r&d+1)n[ A,

qui resulte du (3) de l'hypothese de recurrence. Reste a etablir la congruence (3). Les coefficients des termes de degre d de R et S sont respectivement les restes modulo t par rapport a S des coefficients des termes de degre d de G+U nRG et de H+U nSH. Il resulte de l'hypothese a) du lemme et de l'inegalite (1) que coeff(H, d )#coeff(G, d )

mod t ](r&d )n[ +1A,

File: 641J 198327 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2709 Signs: 1731 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

186

VOLKER HEIERMANN

et du (5) de l'hypothese de recurrence que coeff(RG, d&n)#coeff(SH, d&n)

mod t ](r&d )n[ +1A,

d'ou (3). La congruence (5) se trouve, en sommant les congruences (4) sur :, 0<:d, et en y ajoutant la congruence (3) multipliee par f qui est le coefficient du terme constant de G et de H. Supposons w p, n(r) j et l'hypothese a) verifiee pour d=r. On observe que les congruences (3), (4) et (5) valent alors aussi pour d=r, les demonstrations se generalisant. (Les congruences (3) et (5) sont d'ailleurs triviales pour d=r.) Pour terminer la demonstration du lemme, on va prouver par recurrence descendante sur $$ que coeff(SH, r&$$n) [rn]

#coeff(RG, r&$$n)+t $$ : f $&$$+1x $

mod t $$+1A,

(6)

$=$$

lorsque 0$$[rn]+1. En faisant $$=0 dans (6), on trouve en effet la derniere assertion du lemme. Si $$=[rn]+1, on a r&$$n<0, et la congruence est triviale. Soit $$ un entier, 0$$<[rn]+1, et supposons la congruence ci-dessus verifiee pour $$+1. On a donc coeff(SH, r&$$n&n) [rn]

#coeff(RG, r&$$n&n)+t $$+1

:

f $&$$x $

mod t $$+2A.

$=$$+1

Par l'hypothese a) du lemme et definition de x $$ , on trouve coeff(H, r&$$n)#coeff(G, r&$$n)+x $$ t $$+1

mod t $$+2A,

ayant ](n+$$n)ne[e$$+2 si $$ n'est pas congru a &1 modulo e. Les coefficients des termes de degre r&$$n de S et de R etant respectivement les restes modulo t des coefficients des termes de degre r&$$n de G+U nRG et de H+U nSH par rapport a S, on conclut que [rn]

coeff(S, r&$$n)#coeff(R, r&$$n)+t d $ : f $&$$x $ $=$$

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mod t $$+1A.

187

DE NOUVEAUX INVARIANTS NUMERIQUES

La congruence (6) se trouve, en multipliant cette derniere congruence par f qui est le coefficient du terme constant de G et de H, et en y ajoutant la somme des congruences (4) pour :, 0<:r&$$n. K Pour appliquer le lemme 5.5 a la situation presente, il faudra comparer les series X b et Y b pour tout entier b0. On va d'abord s'interesser a la valuation p-adique des coefficients du bino^me: (5.6) Lemme. Soient a et b deux entiers positifs, ba. La valuation p-adique de ( ba ) est egale au nombre des retenues lors de la soustraction p-adique de b et a. En particulier, on a v p(( ba ))v p(b)&v p(a). L'egalite vaut, si a est p-primaire d 'exposant v p(b), et alors ( ba )#ba mod p vp(b)&vp(a)+1, en remarquant que ba est bien un entier. A defaut d'une reference adequate, nous donnons une preuve de ce resultat. Preuve. Soient b=b 0 +b 1 p+ } } } +b s p s, a=a 0 +a 1 p+ } } } +a s p s

et

b&a=c 0 +c 1 p+ } } } +c s p s

respectivement les developpements p-adiques de b, a et b&a a coefficients dans [0, ..., p&1]. La valuation p-adique de b! est donnee par v p(b!)=(b&b 0 & } } } &b s )( p&1)

(cf. [N] page 38).

En calculant de me^me les valuations p-adiques de a et de b&a, on trouve que vp (

b

\a+ )=[(a +c &b )+(a +c &b )+ } } } +(a +c &b )]( p&1). 0

0

0

1

1

1

s

s

s

Pour tout entier :, 0:s, posons d : =1 s'il y a, lors de la soustraction p-adique de b et a, une retenue lors de la : eme operation, et d : =0 sinon. Comme ba, il ne peut y avoir une retenue lors de la s eme operation, d'ou d s =0. En posant d &1 =0, on a a : +c : &b : =d : p&d :&1 , pour tout entier :, 0:s. Par suite, la valuation p-adique de ( ba ) est bien egale a  s:=0 d : . La deuxieme assertion decoule immediatement de la premiere.

File: 641J 198329 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2617 Signs: 1651 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

188

VOLKER HEIERMANN

Supposons que a soit p-primaire d'exposant v p(b). La congruence enoncee pour ( ba ) est equivalente a b

b

\a+ # a

mod_ p,

ou mod _ designe la congruence multiplicative de Hasse (cf. [Ha] page 35). Or, pour tout entier :, 1:a&1, on a v p(:)
\+

(5.7) Lemme. Soit b un entier 1, et soient a 0 , ..., a s des entiers 0 de somme egale a b. Alors, pour tout entier :, 0:s, b a:

\ +

divise

b! . a 0 ! . .. a s !

(5.8) Lemme. Soient b, a des entiers 1. Alors, la valuation en t du coefficient de degre a de X b est (v p(b)&v p(a)) e. : Preuve. Ecrivons X= l&1 :=0 x : U . Le coefficient du terme de degre a de X est egal a b

m! l&1 x a00 . . .x al&1 , a ! . .. a ! 0 l&1 a0, ..., al&1 :

la somme portant sur tous les entiers a 0 , ..., a l&1 0 de somme b qui verifient a 1 +2a 2 + } } } +(l&1) a l&1 =a. Or, si a 0 , ..., a l&1 sont des entiers qui verifient les conditions ci-dessus, alors, pour au moins un indice :, a : a une valuation p-adique plus petite ou egale a celle de a, d'ou l'on deduit a l'aide des deux lemmes precedents que la valuation en t de m !(a 0 ! . . .a l&1 !) est (v p(b)&v p(a)) e. K (5.9) Lemme. Soient a et b des entiers, 0alb. Notons \ le plus petit entier qui verifie a
File: 641J 198330 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2487 Signs: 1525 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

DE NOUVEAUX INVARIANTS NUMERIQUES

189

Preuve. Ecrivons b

Y b &X b =(X+xU l ) b &X b = : :=1

b : b&: l: xX U . :

\+

Tous les termes non nuls sont de degre l. Comme b

coeff(Y b &X b, a)= : :=1

b

\:+ x coeff(X :

b&:

, a&l:),

il resulte des lemmes 5.6 et 5.8 que la valuation en t de chaque terme de la somme est sup[v p(b)&v p(:), 0] e+sup[(v p(b&:)&v p(a&l:)) e, 0], ce qui est bien (v p(b)&v p(a)) e comme on le verifie facilement. L'inegalite a j $. L'ensemble des couples (i~ , j $) ci-dessus qui verifient l'egalite i~ + (w p, n(i~ )& j $) ne+lp j $ =r j(l) sera note R j(l). (5.11) Lemme. Notons r le plus petit des deux entiers r j(l )&n et s j(l ). (a) Les coefficients de degre d de SF(UY) Y n et de RF(UX) X n sont congrus modulo tA, lorsque d est un entier, 0d
Supposons r
coeff(SF(UY) Y n, r)=coeff(RF(UX) X n, r)+ : h i(! f e0 ) wp, n(i)& j $f i x p (i, j $)

vaut avec h i =(n+i)( p wp, n(i), la somme portant sur les elements de R j (l ). [Rappelons que ! verifie p1 A =!t e.]

File: 641J 198331 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2793 Signs: 1559 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

j$

190

VOLKER HEIERMANN

Preuve. On va appliquer le lemme 5.5 a F(UY) Y n et F(UX) X n. Pour cela, on va verifier dans l'ordre les hypotheses a) et b), et calculer explicitement les coefficients x $ . Pour tout entier d, 0d
coeff(F(UY) Y n &F(UX) X n, d)= : f : coeff(Y n+: &X n+:, d&:). :=0

Nous allons montrer que le coefficient de degre d&: de Y n+: &X n+: est de valuation  ](n+r&d )ne[e en t pour tout entier :, 0:d, tel que f : {0. Par le lemme 5.9, celle-ci est minoree par (v p(n+:)&v p(d&:)) e, et par (v p(n+:)&\) e, ou \ verifie d&:1 et w p, n(i~ ){0, alors d&:=r&(r&d )&:< r&(( ](n+r&d )ne[ &1) ne&n)&i~ , car ( ](n+r&d )ne[ &1) ne&n= ](n+r&d )ne[ne&ne&nw p, n(i~ )& ](n+r&d ) ne[ +1 j, cette derniere expression est, par definition de r j(l), majoree par lp w(:)& ](n+r&d )ne[ +1 ou par l, suivant que w p, n(i~ ) est  ](n+r&d ) ne[ &1 ou pas. Si finalement ](n+r&d )ne[ =1, alors d&:
\&

n+r&d+1 &1 ne+lp j &n
_ +

par definition de r et de r j(l ), on a :
File: 641J 198332 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3107 Signs: 2225 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

191

DE NOUVEAUX INVARIANTS NUMERIQUES

En particulier, on peut supposer i~ >0. Ecrivons :

coeff(F(UX) X n, :)= : f ; coeff(X n+;, :&;). ;=0

L'inegalite :
&

n+r&d+1 , ne

_

et il resulte de 5.8 que l'on a alors coeff(X n+;, :&;)#0

mod t ](n+r&d+1)ne[eA,

ce qui prouve l'assertion ci-dessus. Les hypotheses a) et b) de 5.5 etant verifiees, la partie a) de la proposition 5.11 est prouvee. Supposons r
j$

mod t $+2A,

(i, j $)

ou h i =(n+i)p wp, n(i), la somme portant sur les elements de R j(l ) qui verifient (w p, n(i)& j $) e&1=$. On va comparer les coefficients de degre r&$n&: de Y n+: et de X n+: pour tout entier :, 0:r&$n. Le resultat se trouvera alors en sommant sur :, ayant coeff(F(UY) Y n &F(UX) X n, r&$n) r&$n

= : f : coeff(Y n+: &X n+:, r&$n&:). :=0

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Supposons d'abord que : soit un indice @~ de (F, n) et qu'il existe un entier j$ qui verifie (w p, n(i~ )& j$) e&1=$, tel que le couple (i~ , j$) appartienne a R j(l ). Alors, r&$n&i~ =lp j $ et coeff(Y n+i~ &X n+i~ , r&$n&i~ )#h i~ ! wp, n(i~ )& j $t $+1x p

j$

mod t $+2A

par 5.9, en rappelant les egalites p1 A =!t e et (w p, n(i~ )& j $) e=$+1. Il reste donc a prouver que la valuation en t du coefficient de degre r&$n&: de Y n+: &X n+: est $+2, si f : {0 et si : ne verifie pas les conditions ci-dessus. Si w p, n(:)j+($+1)e+1, on a w p, n(r&$n&:) j, et on peut conclure par le lemme 5.9. Supposons w p, n(:)< j+($+1)e+1. Compte tenu du lemme 5.9, il suffit de montrer que r&$n&:
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DE NOUVEAUX INVARIANTS NUMERIQUES

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Il montre aussi que l'on a i j $ =@~ j " +( j "& j$) ne avec j "=w p, n(i j $ ), si i j $ n'est pas regulier. Si i j $ est regulier, et si . j (l)=.~ j $(l ), on verifie facilement que j$=w p, n(i j $ ). En associant a j $ le couple (i~ wp, n(ij$ ) , j$), on definit donc une application de l'ensemble des entiers j$, 0 j $ j, tels que . j(l )=.~ j $(l ), dans l'ensemble des couples (i~ , j $), formes d'un entier j $, 0 j $ j, et d'un indice i~ de (F, n), tels que w p, n(i~ )j $ et que i~ +(w p, n(i~ )& j $) ne+lp j $ soit le plus petit des deux entiers r j(l ) et s j(l). On verifie facilement que cette application est bijective. Le mono^me qui correspond dans 4.4 a un entier j$, 0 j $ j, tel que . j(l )=.~ j $(l) etant le me^me que celui qui correspond dans la partie b) du lemme 5.4 ou du lemme 5.11 au couple (i~ wp, n(ij$ ) , j$) (ou a l'indice i~ j $ si w p, n(i j $ )= j$), ceci prouve que P j(l)=P rj(l )+P sj(l ). K Deduisons finalement le theoreme 4.6: (5.14) Preuve du theoreme 4.6. Compte tenu du lemme 5.13, le theoreme 4.6 pour m=1 est une consequence directe des lemmes 5.4 et 5.11. Supposons m>1 et ecrivons d

coeff(F(U mY) Y n &F(U mX) X n, d )= : f : coeff(Y n+: &X n+:, d&m:). :=0

Les enonces des lemmes 5.4 et 5.11 et leurs preuves se generalisent, si on j m remplace s j par s m j : l [ mi~ j +lp et r j par r j : l [ mr j(lm). Le plus petit des m m m m m deux entiers s j (l ) et r j (l) est egal a . j (l ) et l'egalite P m j =P sj +P rj vaut pour m m les polyno^mes P sj et P rj correspondants, d'ou l'on deduit le theoreme pour m>1. K 6. Applications aux extensions totalement ramifiees Nous gardons les notations du paragraphe precedent, et nous nous fixons de plus un objet (B, u) de la categorie Ext tot(A, t) defini par (F, n). Le groupe des automorphismes de l'extension BA sera note G. (6.1)

On posera G l =[_ # Gv B (_(u)&u)l+1],

lorsque l0, v B designant la valuation discrete normalisee de B. Si l'extension BA est galoisienne, G l est le l eme groupe de ramification de l'extension dans les notations de [Se]. Remarquons que, si on veut generaliser la theorie de ramification aux extensions non-galoisiennes, il ne suffit plus de considerer les G l (cf. [He] et 6.8).

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On montre comme dans le cas galoisien que la definition des G l ne depend pas du choix de u, que la suite (G l ) l0 est une filtration decroissante du groupe G par des sous-groupes distingues, et que l'on a G l =[1] pour l suffisamment grand. (6.2)

On posera (P j(0))(X)=X n+ij

pour tout entier j, 0 jv, et P(l)=(P v(l ), ..., P 0(l)), lorsque l est un entier 0. (Pour la definition de P j(l ) pour l1, voir 4.4). Les applications polynomiales associees a P(l ), l0, definissent des morphismes de groupe k +  (k + ) v+1 et k*  (k*) v+1 respectivement. (6.3) Proposition. (a) En associant a un element _ de G l l 'image de _(u)u dans k, on definit un morphisme de groupe de G 0 dans le noyau de P(0). Par passage au quotient, on obtient un morphisme injectif G 0 G 1  ker P(0). (b) Soit l un entier 1. En associant a un element _ de G l l'image de (_(u)&u)u l+1 dans k, on definit un morphisme de groupe de G l dans le noyau de P(l). Par passage au quotient, on obtient un morphisme injectif G l G l+1  ker P(l). (c) Supposons que s 0 =s 0(F, n) (tel que defini dans 4.9) soit un entier. Alors, s 0 est le plus grand entier s, tel que G s {[1], et on a |G s0 | = |ker P v(s 0 )|. Preuve. Ceci resulte de 4.8, en identifiant G au groupe des automorphismes de (F, n) dans la categorie E k(2) gra^ce au foncteur quasiinversible de 2.18. K (6.4) Remarque. On n'a que l'injectivite dans les parties a) et b) de la proposition 6.3, car, pour un entier l0 et un element x # S donnes, le corollaire 4.8 ne permet generalement pas de repondre entierement a la question, si un certain element (G, n) de E k est de la forme (X, 1) V 2 (F, n) avec X#1+xU l mod U l+1A[[U]] ou pas. Par contre, si ls 0(F, n), il resulte des corollaires 4.8 et 4.10 que tout couple (G, n) de E k avec G#FmodU lA[[U]] et coeff(G, . v(l ))= coeff(F, . v(l))+(P v(l))(x ) est de la forme (X, 1) V 2 (F, n) avec X# 1+xU l mod U l+1A[[U]]. Dans ce cas, les applications G l G l+1  ker (P(l)) sont donc surjective. (6.5) Corollaire. Pour que l 'extension BA soit galoisienne, il faut que les deux proprietes suivantes soient verifiees:

File: 641J 198336 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2985 Signs: 2055 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

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(a)

L'abscisse de tout sommet du graphe de . v est un entier.

(b) Le polyno^me P v(l ) est scinde sur k, et les applications P(l ) et P v(l ) ont me^me noyau, lorsque l est l 'abscisse d 'un sommet du graphe de . v . En particulier, G l G l+1 est isomorphe au noyau de P v(l ), si l 'extension BA est galoisienne. Preuve. Lorsque l est un entier 0, notons d v(l ) le degre separable de P v(l ). En ecrivant n=hp v, on voit que d v(0)=h. En notant pour tout entier l1 par j +(l ) (resp. j &(l)) le plus grand (resp. plus petit) entier j, tel que . v(l )=.~ j(l), on a d v(l )=p j + (l )&j & (l ), P v(l ) s'ecrivant sous la forme j (Q v(l ))(X p & (l ) ) avec Q v(l ) polyno^me separable de degre p j + (l )&j &(l ) de k[X]. Comme j +(l+1) j &(l ) pour tout entier l1, et que j +(1) p v, on  j + (l )&j & (l ) n, d'ou l'on deduit a l'aide de la trouve >  l=0 d v(l)=h > l=1 p proposition 6.3 les inegalites 







|G| = ` |G l G l+1 |  ` |ker(P(l ))|  ` |ker(P v(l )|  ` d v(l )n. l=0

l=0

l=0

l=0

Pour que l'extension BA soit galoisienne, il faut qu'il y ait l'egalite partout. En particulier, les abscisses s des sommets du graphe de . v doivent e^tre des entiers, tels que P v(s) soit scinde sur k, et, pour tout s, l'egalite |ker (P v(s))| = |ker (P(s))| doit valoir, d'ou le corollaire. K (6.6) Remarque. Le corollaire 6.5 montre que dans le cas galoisien, les abscisses des sommets du graphe de . v s'identifient aux sauts de ramification de l'extension BA, i.e. aux entiers s, tels que G s {G s+1 . Du fait que P(s) et P v(s) ont me^me noyau, on deduit directement (le resultat connu) que les sauts de ramification >0 sont congrus modulo p (a i 0 qui est la valeur supplementaire de Hilbert de la differente), car si si 0 mod p, l'application P 0(s) est injective. (6.7) Remarque. De la proposition 6.3, on peut deduire des bornes pour le cardinal du groupe d'automorphismes d'une extension donnee de A. Ces bornes peuvent e^tre utilisees pour estimer le nombre d'extensions nonconjuguees de degre donne de A (cf. [T]). (Le nombre d'extensions de degre donne dans une clo^ture algebrique du corps des fractions de A a ete determine par Krasner [Kr2].) L'exemple suivant montre que la proposition 6.3 et le corollaire 6.5 ameliorent effectivement les resultats de Arf et de Krasner qui n'avaient a leur disposition que la fonction P v : Supposons e=1, n=2p 3 et p5. Soit k le corps de decomposition de 2 (X p +X)(X p +X) sur F p .

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Posons F=1+U p

3 &p2

& 12 U 2p &2p +U 2p &p&1

G=1+U p

3 &p2

+ 12 U 2p &2p +U 2p &p&1

3

H=1+U p &p

3

3

3

3

2

+U 2p

3 &p&1

On trouve

{

lp 3,

si

. 3(l)= p 3 +(l&1)p 2 2p 3 +(l&p&1), 3

2

X p &X p , 2 &X p , P 3(l)= 2 &X p &X, &X,

0l1;

si 1l p+1; si lp+1;

si l=1; si l=2, 3, ..., p; si l= p+1; si l= p+2, p+3, ...;

{

et P j(1)=0

si j=0

ou j=2.

pour les trois objets (F, n), (G, n) et (H, n). Mais, X p &X, P 1(1)= &X p &X,

{

&X,

pour (F, n); pour (G, n); pour

(H, n);

et donc |ker P(1)| =

p,

{1,

pour (F, n); pour (G, n) et (H, n).

Des extensions definies par (G, n) et (H, n) ne peuvent donc e^tre galoisiennes, mais, du corollaire 6.5, on ne sait rien dire sur une extension definie par (F, n). Rappelons brievement quelques notions de la theorie de ramification nongaloisiennes. Pour plus de details, le lecteur pourra consulter [He]. (6.8) Notons 0 la fermeture integrale de B dans une clo^ture algebrique de son corps des fractions. Nous designerons par E=E(BA) l'ensemble des A-isomorphismes de B dans 0.

File: 641J 198338 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2122 Signs: 905 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

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On posera E l =[_ # Ev B (_(u)&u)l+1], lorsque l est un reel  &1, v B designant l'unique prolongement a 0 de la valuation discrete normalisee de B. Cette definition ne depend pas du choix de u. Deux plongements _ et _$ sont dits equivalents modulo E l , si v B (_(u)&_(u$))l+1. On definit ainsi une relation d'equivalence sur E dont l'espace quotient sera note EE l . Remarquons que deux classes modulo un me^me E l ont me^me cardinal. (6.9) Proposition. Supposons qu'il existe une extension galoisienne totalement ramifiee C de A contenant B. Notons m le degre de C sur B, identifions E a l 'ensemble des A-morphismes de B dans C, et fixons une uniformisante v de C. (a) En associant a un element _ de E l'image de _(u)u dans k, on definit une bijection de E 0 E 1m sur le noyau de P v(0). (b) Soit l un entier 1. En associant a un element _ de E lm l'image dans k de l 'element x de C qui verifie (_(u)&u)u=xv l, on definit une bijection de E lm E (l+1)m sur le noyau de P v(lm). En particulier, les polyno^mes P v(lm) sont scindes sur k, et les denominateurs des abscisses des sommets du graphe de . v divisent m. Preuve. Il est clair que les procedes decrits dans a) et b) definissent des applications E 0 E 1m  k* et E lm E (l+1)m  k respectivement que l'on notera \ l . Notons (G, mn) et (X, m) les elements de E k qui definissent (C, v) relativement a (A, t) et (B, u) respectivement. On a donc (G, mn)=(X, m) V 2 (F, n). Notons x 0 le terme constant de X. Fixons un entier l0, et un element _ de E lm . Notons (X_ , m) l'element de E k , tel que _(u)=v mX_(v), x _ le coefficient du terme de degre l de X_ , et x celui de X. Si l=0, on a \ l(_)=x _ x. Si l>0, on peut ecrire _(u)&u=v m(X_(v)&X(v))=v m+ly avec y =x _ &x, d'ou (_(u)&u)u=(v mu) yv l et \ l(_)=(x _ &x )x 0 . Ayant (G, m)=(X_ , m) V 2 (F, n), on deduit de 4.2 et de 4.13 que (P v(lm))(x _ x 0 )=(P v(lm))(xx 0 ) si l>0, et que (P v(0))(x _ )=(P v(0))(x ), ce qui prouve que \ l(_) est bien un element du noyau de P v(lm). En notant d v(lm) le degre separable de P v(lm) si lm>0, et en posant d v(0)=h, on trouve comme dans la preuve de 6.5 (en remplacant . v et .~ j  respectivement par . m ~ m v et . j ) que > l=0 d v(lm)n.

File: 641J 198339 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3065 Signs: 2211 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

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En remarquant que le cardinal de E est n, et que les classes modulo un me^me E lm ont toutes le cardinal |E lm |, on deduit de ce qui precede les inegalites 





n= |E| = ` |E lm E (l+1)m |  ` |ker(P v(lm))|  ` d v(lm)n l=0

l=0

l=0

qui sont en fait des egalites. L'application \ l est donc bijective, les polyno^mes P v(lm) sont scindes sur k, et les denominateurs des abscisses des sommets du graphe de . v divisent m. K (6.10)

L'application l[

1 n

|

l

|E " | d" 0

sera appelee la fonction de Herbrand de l'extension BA, notee . BA . Si l'extension BA est galoisienne, elle co@ ncide avec la fonction de Herbrand telle que definie dans [Se]. (6.11) Corollaire L'egalite . v(l )=n. BA(l) vaut pour tout nombre reel l0. Preuve. Fixons une extension galoisienne C de A contenant B. Supposons d'abord que CA est totalement ramifiee. Notons pour tout entier j, 0 jv, s j le plus petit nombre reel s, tel que . v(s)=. j(s). Alors, la proposition 6.9 montre que |E l | =p j pour s j
File: 641J 198340 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2820 Signs: 1935 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

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(6.12) Remarque. Remarquons que la theorie de ramification nongaloisienne ne se generalise pas aux extensions totalement ramifiees d'un anneau de valuation discrete complet dont le corps residuel est imparfait, car de telles extensions ne se plongent pas necessairement dans une extension galoisienne a extension residuelle separable (cf. [De2]).

7. Invariance des indices d'inseparabilite Nous gardons les notations du paragraphe precedent. (7.1) Theoreme. Les indices regularises de (F, n) et les fonctions . j constituent des invariants de l 'extension BA. Ils ne dependent ni du choix de l'uniformisante t de A ni de la classe d 'isomorphie de (F, n) dans la categorie E k(2). Les termes de F correspondant aux indices regularises de (F, n) sont invariants par isomorphisme unitaire, et ainsi sont les polyno^mes P j(l ), l0. Preuve. On a deja prouve que les indices et donc aussi les indices regularises de (F, n) ne dependent pas du choix de t (cf. 3.11). Par ailleurs, il est clair que les indices regularises sont invariants par isomorphismes constants. Par la proposition 4.2, on est donc ramene aux isomorphismes unitaires. Soit (G, n) un objet de E k(2) qui est isomorphe a (F, n) par un isomorphisme unitaire, et supposons qu'il existe un entier j, 0 jv, tel que les indices regularises d'ordre j de (F, n) et de (G, n) different. Supposons de plus j maximal pour cette propriete. On a j
K

(7.2) Remarque. En generalisant les definitions precedentes au cas d'un systeme de representants quelconque (i.e. non necessairement multiplicatif) contenant 0, on peut facilement montrer que les indices regularises d'un couple (F, n) qui definit (B, u) relativement a (A, t) ne dependent pas non

File: 641J 198341 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2990 Signs: 2319 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

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plus du choix du systeme de representants S dont lequel les coefficients de F sont choisis. Ceci est surtout interessant, si on veut generaliser le present travail au cas d'un corps residuel imparfait, car il existe alors plusieurs systemes de representants multiplicatifs (cf. [B] et [T]). (7.3) Definition. Soit j un entier, 0 jv. L'indice regularise d'ordre j de (F, n) sera appele l'indice d 'inseparabilite d 'ordre j de l'extension BA et note i j(BA). (7.4) Proposition. Soit j un entier, 0 jv, notons i (resp. i~ ) l 'indice regularise (resp. I'indice) d 'ordre j de (F, n), et supposons i~ &ip j. (a) Si la fonction P j(1) n'est pas constante nulle sur le corps residuel k, (F, n) est isomorphe dans E k(2) a un objet (G, n) dont l 'indice d'ordre j est donne par i+p j. (b) Si i~ =i+p j, et si le polyno^me (P j(1))(X)&coeff(F, . j(1)) a une racine dans k, (F, n) est isomorphe dans E k(2) a un objet (G, n) dont l 'indice d'ordre j est {i~ . Preuve. Remarquons tout d'abord que les hypotheses sur i et i~ impliquent que . j(1)=i+p j. Supposons l'hypothese de a) verifiee. Il existe alors un element x de S dont l'image dans k n'est pas une racine de P j(1), et il resulte de 4.8 que l'indice d'ordre j de (G, n), (G, n)=(1+xU, 1) V 2 (F, n), est egal a i+p j. On prouve de me^me la partie b) de la proposition, en prenant pour x un element de S dont l'image dans k annule le polyno^me (P j(1))(X)& coeff(F, . j(1)). K (7.5) Remarque. La proposition 7.4 montre que la regularisation des indices de (F, n) etait optimale. En effet, l'hypothese i~ &ip j n'est pas restrictive, car 0
File: 641J 198342 . By:CV . Date:29:07:96 . Time:15:04 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3055 Signs: 2212 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

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u 0 de B 0 dans B 0 m n+j soit de degre d 'inseparabilite formelle p j+1 sur B0 n+j A 0 A 0 & m B0 , m B0 designant l 'ideal maximal de B 0 . Preuve. Ceci resulte de la proposition 7.4 et de la remarque apres, compte tenu de la proposition 3.10. (7.7) Remarque. L'exemple suivant montre que les indices d'inseparabilite sont des invariants plus fins que la fonction de Herbrand: 2 Supposons p>3, n=p 2 (en sorte que v=2), e=3, et que X p &3X se decompose sur k. Posons 2

2

F=1+U 3p &2p +U 3p &3

et

G=1+U 3p

2 &p

2

+U 3p &3.

On trouve . 2(l )=

{

lp 2, 3p 2 +l&3,

si l3; si l3,

et 2

Xp , 2 P 2(l )= X p &3X,

{

&3X

si l=1, 2; si l=3; si

l4.

dans les deux cas. Le graphe de . 2 n'ayant qu'un seul sommet dont l'abscisse est 3 et le polyno^me P 2(3) etant scinde sur k, des extensions definies par (F, n) ou (G, n) sont galoisiennes par la partie c) de la proposition 6.3. Par contre, les indices regularises d'ordre 1 de (F, n) et de (G, n) different. Les objets (F, n) et (G, n) ne peuvent donc e^tre isomorphes dans E k(2). On en deduit deux extensions galoisiennes qui ont la me^me fonction de Herbrand et dont les groupes de Galois sont isomorphes par un isomorphisme de filtration, mais dont les indices d'inseparabilite d'ordre 1 different et qui ne sont donc pas A-isomorphes. (7.8) Remarque. Remarquons qu'il n'est malheureusement pas toujours possible de deduire des indices d'inseparabilites de deux extensions consecutives BA et CB les indices d'inseparabilites de l'extension CA.

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