C. R. Acad. Sci. Paris, iquations aux d6rivCes (Probabilit&/Probability)
t. 324, S&ie partielles/Partial
I, p. 1099-l 103, Differential
1997 Equations
Diffusion sur une varihth de courbure non positive Victor
BONDARENKO
UniversitC nationale technique d’ukraine, Kiev-56 , prospecte Pobedy 37, Ukraine E-mail :
[email protected]
RCsumC.
de Mathkmatiques
appliquhes,
Pour la solution fondamentale de l’kquation parabolique sur une vari&& de courbure non positive, nous obtenons des estimations indkpendantes de la dimension. Comme conskquence, des conditions suffisantes d’equivalence pour une certaine classe de mew-es sont Ctablies.
Difision
Abstract.
Far&i
on
a manifold
of nonpositive
curvature
We gives estimates of the fundamental solution of the parabolic equation on a manifold nonpositive curvature that are independent of the dimension. As a corollary, suficient conditions of equivalence for some class of measure in Hilbert space were established. of
Abridged
English
Version
A heat kernel p(t, z, ;y), corresponding to the equation au/at = $ au, is considered on a complete simply connected Riemann manifold M. For this heat kernel and its gradient, the dimensionality independent estimates were elaborated with some restrictions on the curvature tensor (in the form of comparison theorems to some known function). The results received allow to use the criteria of measuresequivalence in Hilbert space, what is connected with the condition of uniform integrability (see [4]). As a corollary, sufficient conditions of equivalence of transitional probabilities of the diffusion processes in Hilbert space H with the initial condition and diffusion operator A(z) for disturbance are given. Specifically, if A-l (x) (z - cc) E H we have P (t, 5, l ) - P (t, z, 0).
1. Introduction Soit M, une variCtC riemannienne de courbure non positive, de dimension 71,cornpEte et simplement connexe. ConsidCrons 1’Cquation parabolique dans M du/dt = ; Au,
(1) Note prbent6e 0764~4442/97/03241099
par Paul MALLIAVIN. 0 AcadCmie
des SciencesElsevier,
Paris
1099
V.
Bondarenko
ou A est l’operateur la chaleur). Posons
de Laplace-Beltrami,
et soit p(t, 5, y) sa solution fondamentale
q(t: %, y) = (2rt)-“‘2
exp{-p’
(x7 ul)Ptl.
Des estimations du noyau p(t, z, y) furent obtenues dans [ l]-[3], avec des restrictions donnees sous forme de theoremes de comparaison avec la fonction q(t, 2, y) : (2)
.fl
P/q 5
<
(le noyau de
sur la courbure,
f2,
oti les fj dependent, en particulier, de la dimension de la variCte. Dans ces articles, les resultats suivants sont obtenus avec d’autres contraintes sur la courbure : A. L’inCgalitC (2) est demontree avec fj ne dependant pas de la dimension. B. La norme I)grad In (p/q)11 est estimee par une fonction independante de la dimension. Les estimations obtenues permettent d’etablir des conditions suffisantes sur l’equivalence des probabilites transitoires P (t, z, I’) des processus de diffusion dans un espace de Hilbert, pour les perturbations de la valeur initiale 2 et de l’operateur de diffusion (ces resultats generalkent des resultats connus sur les mesures gaussiennes).
2. Conditions Fixons les notations suivantes concernant la variete : (u, U) est le produit scalaire dans T,M ; (ek), ( ;ok) sont des bases orthonormees dans T,M ; gjk(Z) est le tenseur metrique ; p (2, y) est la distance entre z et y ; y (s) est la geodesique, y (0) = y, y (p) = z ; R(z)(X, Y) est le tenseur de la courbure ; Ric (z) (X, Y) = C (R(z) (X, ek) Y, ek) est le tenseur de Ricci ; Ric (z) = c Ric (z) (ek, ek) est k
la courbure scalairk Le tenseur de la courbure satisfait
aux conditions
suivantes
:
1. (R (z) (u; V) U, V) 2 0 (la courbure est non positive), 2.
c
I(R
k
(x)
(UT
ek)
‘U: pk)l
cdRic
<
(x) (U, u) . Ric (z) (‘u, ‘?I),
s Ric (y (s)) 3.so=-
ds < c pour chaque geodesique y.
4.1.
c
Il(ve,
(7
4.2.
5
I/(?
(a$) ($)
(Y
cs)) (S))
(‘? (s), (ek
(S),
‘pk
(s))
+(s))
‘? b)il Vk
(S>II
=
fl
(s)>
=
f2
(S),
4.3.Je IIPQ (s)R)(7 (3)) (? (SITej (s>>?(s>ll” = I? (S>, 4.4.
k ll(v?(s)@ j. k
4.5.
C
I We,
(sjR)(~
4.6.
‘6
I(ve,
(s)ve3
4.7-
l<
I(vek
(s)v+(s)R)
(7
oti les fonctions
f;(s)
(s>)
(ej
(s>>
(cpj
(@)
(s>? (SL
(Y(s)) (7
(s>>
satisfont
?(s)) -? (s>>
ek
(s)II”
ej
(s>,
(‘?
(S)>
ej (s))
cej
(s),
P(s))
les conditions
SW
s2fi (s) ds < c, i = 1, 2;
1100
.f4” (S)!
cpk (s)l + (5-h ej
cs)?
= ek
f5
(s)!
(S)l
=
f6
(s>,
ek (s>l
=
f7
(S)I
suivantes :
./-y
sfi (s) ds < c,
0
0
et ou toutes les constantes
=
sont independantes
de la dimension.
i=3B7,
Diffusion
Remarque 1. - Les conditions
sur
une
variCt6
l-3 assurent que la variCtC est sotchastiquement
Riemannienne
complkte (voiu [4]
et PI). DEFINITION. - Suit (ek] la base orthonormke demi-ge’odksiquedans T,A4 (c’est-&-dire el = p (p)).
Les champs basiquesde Jacobi Zk:(s) sont les solutons de l’kquation (Jacobi} v+
(s)‘zk
(S)
=
R (7
(3))
(+
(S)>
21,
(2))
‘? (s),
zk
(0)
=
0,
zk
(p)
=
ek-
Remarque 2. - La condition suffisante de solution unique du problkme aux limites est le caracdre non positif de la courbure.
3. Rhltats Supposons a (x9
Y)
=
1
(Pv+(s)
zk
b)
-
(7
(s))
Zk
(P>>
zk
b)>,
(~1,
+ (s)>
k b(x,
Y) =
op (P -
s) Ric
(“i
ds,
s
oti les ZI, sont les champs basiques de Jacobi. CONCLUSION 1. - Si la condition 1 est ve’rijke, on a les inkgalite’s
0 I fJ (x,
I
Y)
s0
’ sRic(y(s))(+(s),
-?(s))ds.
CONCLUSION 2. - Sous les conditions 1-3, la fonction exp{b (z, y)} est intkgrable par rapport ci une mesure q (t, 2! y) 0 (dy). THBOR&ME 1. - Sous les conditions 1-3, on a les in&alitks
exp{-kt
-
b(x,
y/)/2)
IP(&
5, y)lq(t,
2, Y)
pour
5 1,
x! y E A4
et
t > 0,
02 la constante k ne dt!pend pas de la dimension. THI~OR~ME 2. - Sous les conditions l-4.7,
on a la formule
Y> grad In p (t, z, y) = - P(X:, ~ t i, (P) + H (6 2, Y)> oit le champ vectoriel H satisfait l’inkgalite’ IIH (t, z, y)II <
J
a(x’ ;) + ‘>
x E M,
yEM,
o
Applications des estimations obtenues. - ConsidCrons le processus de la diffusion t (t) dans un espace de Hilbert ¶ble H et soit P (t, z, r) sa probabilitk transitoire. L’tquation pour < (t) est
(3)
[ (t) = x + It
A (< (T-) dw (T) + i’
oti A(z) est l’opkrateur
de Hilbert-Schmidt,
0
b (E CT)>do,
.0
b(x) = i tr (A (x) A* (xc))’ - t tr (A (x) A* (xc>)’ (A(x)
A* (CE)(.)) (A(x)
A* (x))-‘.
1101
V. Bondarenko
Soient A(z) et b(z) satisfaisant les conditions d’existence et d’unicitt que : a) K1 < A (x)A* (x) < K 2, oti Ki est l’opkrateur nuclkaire ; b) la s&e nzI (b(z), DCsignons ConsidCrons,
e,)’
= lib (z)II’
converge uniformkment
dans une certaine base (ek ).
par n, et nz’“, respectivement, les projecteurs de plus, deux Cquations stochastiques
c$(t) = x + It
ii (I)
dw (T) + 1’
7,({(T))
de la solution, et supposons
de H sur R” et de Rn+k sur R”.
dr,
0
7 (t) E R”, i(t) E H, et soient P, (t, xnr An) transitoires des processus 11 et i, x,, = III,s. TH~OR~ME
et P (t, 2, r),
respectivement,
les probabilitks
3. - Les relations suivantes sont ve’ri@es : 2::
E/l< (t) - 77@)[I’ = 0,
iimrn
pn+
k
(t,
n,,,
x,
(J-J;+*)
sur 1‘algdbre des ensembles dont les frontidres
= P (t. 5: n,’
-l4J
4n)
est de mesure de Lebesgue nulle.
Remarque 3. Pn (4
x7%, 4,)
=
P(t,
xn,
yn)~(dyn),
s k7
oti p est le noyau de la chaleur sur la variCtC A4 = n, H avec le tenseur m&ique gjk (nnx>
- (I-LA
(rInx>
A* (rITLX>
rIJ1~
u &ant l’Cl&ment de volume dans M. L’existence des estimations inddpendantes de la dimension et le rksultat du thCor&me 3 permettent d’appliquer le critkre de la continuitk absolue, qui utilise le concept d’intigrabilitk uniforme (voir
161, p. 522). TH~ORBME 4. - Le tenseur mttrique gjk (fl, x) engendre le tenseur de la courbure, pour toutes les dimensions, les conditions l-4.7. Si la relation
A-’
qui satisfait,
(x) (z - x) E H
est ve’rijiie’e, les mesures P (t, x, F) et P (t, z, r) sont kquivalentes pour t > 0. oti AI est l’opkrateur de Hilbert-Schmidt constant et Exemple. - Soit A(x) = Al (I + C(x)), oh C(s) est I’opCrateur nuclkaire. Si les dtrivCes C ck) (x) (k < 4) satisfont certaines conditions naturelles, le tenseur de la courbure correspondant A A(x) satisfera les conditions 1-4.7. TH~OR~?ME
5. - Si les conditions du thkor2me 4 sont kgalement ve’rijkes pour le tenseur me’trique &k (rInx)
N (n,,xA
(rInx)
et si la distance d(x! y) engendrke par celui-ci, p* (z-3 y) - d* (x3
1102
Y)
5 P* (:c,
Y)
j*
satisfait
(B(x)
(rInx)
n,)-1v
la condition
5, (01, +(O)),
13 (x) 5 4
A < 1,
Diffusion
oti B(z) est l’ope’rateur nuclkaire, alors la probabilite’de par rapport d P(t! x, I?), pour t > 0 et n: E H. Note
remise
le 13 mai
1996,
acceptCe
apt&
rCvision
Rkfkences
sur
une
variete
Riemannienne
transition P (t, 2, I’) est absolument continue
le 27 mars
1997.
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1103