Diffusion sur une variété de courbure non positive

Diffusion sur une variété de courbure non positive

C. R. Acad. Sci. Paris, iquations aux d6rivCes (Probabilit&/Probability) t. 324, S&ie partielles/Partial I, p. 1099-l 103, Differential 1997 Equati...

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C. R. Acad. Sci. Paris, iquations aux d6rivCes (Probabilit&/Probability)

t. 324, S&ie partielles/Partial

I, p. 1099-l 103, Differential

1997 Equations

Diffusion sur une varihth de courbure non positive Victor

BONDARENKO

UniversitC nationale technique d’ukraine, Kiev-56 , prospecte Pobedy 37, Ukraine E-mail : [email protected]

RCsumC.

de Mathkmatiques

appliquhes,

Pour la solution fondamentale de l’kquation parabolique sur une vari&& de courbure non positive, nous obtenons des estimations indkpendantes de la dimension. Comme conskquence, des conditions suffisantes d’equivalence pour une certaine classe de mew-es sont Ctablies.

Difision

Abstract.

Far&i

on

a manifold

of nonpositive

curvature

We gives estimates of the fundamental solution of the parabolic equation on a manifold nonpositive curvature that are independent of the dimension. As a corollary, suficient conditions of equivalence for some class of measure in Hilbert space were established. of

Abridged

English

Version

A heat kernel p(t, z, ;y), corresponding to the equation au/at = $ au, is considered on a complete simply connected Riemann manifold M. For this heat kernel and its gradient, the dimensionality independent estimates were elaborated with some restrictions on the curvature tensor (in the form of comparison theorems to some known function). The results received allow to use the criteria of measuresequivalence in Hilbert space, what is connected with the condition of uniform integrability (see [4]). As a corollary, sufficient conditions of equivalence of transitional probabilities of the diffusion processes in Hilbert space H with the initial condition and diffusion operator A(z) for disturbance are given. Specifically, if A-l (x) (z - cc) E H we have P (t, 5, l ) - P (t, z, 0).

1. Introduction Soit M, une variCtC riemannienne de courbure non positive, de dimension 71,cornpEte et simplement connexe. ConsidCrons 1’Cquation parabolique dans M du/dt = ; Au,

(1) Note prbent6e 0764~4442/97/03241099

par Paul MALLIAVIN. 0 AcadCmie

des SciencesElsevier,

Paris

1099

V.

Bondarenko

ou A est l’operateur la chaleur). Posons

de Laplace-Beltrami,

et soit p(t, 5, y) sa solution fondamentale

q(t: %, y) = (2rt)-“‘2

exp{-p’

(x7 ul)Ptl.

Des estimations du noyau p(t, z, y) furent obtenues dans [ l]-[3], avec des restrictions donnees sous forme de theoremes de comparaison avec la fonction q(t, 2, y) : (2)

.fl

P/q 5

<

(le noyau de

sur la courbure,

f2,

oti les fj dependent, en particulier, de la dimension de la variCte. Dans ces articles, les resultats suivants sont obtenus avec d’autres contraintes sur la courbure : A. L’inCgalitC (2) est demontree avec fj ne dependant pas de la dimension. B. La norme I)grad In (p/q)11 est estimee par une fonction independante de la dimension. Les estimations obtenues permettent d’etablir des conditions suffisantes sur l’equivalence des probabilites transitoires P (t, z, I’) des processus de diffusion dans un espace de Hilbert, pour les perturbations de la valeur initiale 2 et de l’operateur de diffusion (ces resultats generalkent des resultats connus sur les mesures gaussiennes).

2. Conditions Fixons les notations suivantes concernant la variete : (u, U) est le produit scalaire dans T,M ; (ek), ( ;ok) sont des bases orthonormees dans T,M ; gjk(Z) est le tenseur metrique ; p (2, y) est la distance entre z et y ; y (s) est la geodesique, y (0) = y, y (p) = z ; R(z)(X, Y) est le tenseur de la courbure ; Ric (z) (X, Y) = C (R(z) (X, ek) Y, ek) est le tenseur de Ricci ; Ric (z) = c Ric (z) (ek, ek) est k

la courbure scalairk Le tenseur de la courbure satisfait

aux conditions

suivantes

:

1. (R (z) (u; V) U, V) 2 0 (la courbure est non positive), 2.

c

I(R

k

(x)

(UT

ek)

‘U: pk)l

cdRic

<

(x) (U, u) . Ric (z) (‘u, ‘?I),

s Ric (y (s)) 3.so=-

ds < c pour chaque geodesique y.

4.1.

c

Il(ve,

(7

4.2.

5

I/(?

(a$) ($)

(Y

cs)) (S))

(‘? (s), (ek

(S),

‘pk

(s))

+(s))

‘? b)il Vk

(S>II

=

fl

(s)>

=

f2

(S),

4.3.Je IIPQ (s)R)(7 (3)) (? (SITej (s>>?(s>ll” = I? (S>, 4.4.

k ll(v?(s)@ j. k

4.5.

C

I We,

(sjR)(~

4.6.

‘6

I(ve,

(s)ve3

4.7-

l<

I(vek

(s)v+(s)R)

(7

oti les fonctions

f;(s)

(s>)

(ej

(s>>

(cpj

(@)

(s>? (SL

(Y(s)) (7

(s>>

satisfont

?(s)) -? (s>>

ek

(s)II”

ej

(s>,

(‘?

(S)>

ej (s))

cej

(s),

P(s))

les conditions

SW

s2fi (s) ds < c, i = 1, 2;

1100

.f4” (S)!

cpk (s)l + (5-h ej

cs)?

= ek

f5

(s)!

(S)l

=

f6

(s>,

ek (s>l

=

f7

(S)I

suivantes :

./-y

sfi (s) ds < c,

0

0

et ou toutes les constantes

=

sont independantes

de la dimension.

i=3B7,

Diffusion

Remarque 1. - Les conditions

sur

une

variCt6

l-3 assurent que la variCtC est sotchastiquement

Riemannienne

complkte (voiu [4]

et PI). DEFINITION. - Suit (ek] la base orthonormke demi-ge’odksiquedans T,A4 (c’est-&-dire el = p (p)).

Les champs basiquesde Jacobi Zk:(s) sont les solutons de l’kquation (Jacobi} v+

(s)‘zk

(S)

=

R (7

(3))

(+

(S)>

21,

(2))

‘? (s),

zk

(0)

=

0,

zk

(p)

=

ek-

Remarque 2. - La condition suffisante de solution unique du problkme aux limites est le caracdre non positif de la courbure.

3. Rhltats Supposons a (x9

Y)

=

1

(Pv+(s)

zk

b)

-

(7

(s))

Zk

(P>>

zk

b)>,

(~1,

+ (s)>

k b(x,

Y) =

op (P -

s) Ric

(“i

ds,

s

oti les ZI, sont les champs basiques de Jacobi. CONCLUSION 1. - Si la condition 1 est ve’rijke, on a les inkgalite’s

0 I fJ (x,

I

Y)

s0

’ sRic(y(s))(+(s),

-?(s))ds.

CONCLUSION 2. - Sous les conditions 1-3, la fonction exp{b (z, y)} est intkgrable par rapport ci une mesure q (t, 2! y) 0 (dy). THBOR&ME 1. - Sous les conditions 1-3, on a les in&alitks

exp{-kt

-

b(x,

y/)/2)

IP(&

5, y)lq(t,

2, Y)

pour

5 1,

x! y E A4

et

t > 0,

02 la constante k ne dt!pend pas de la dimension. THI~OR~ME 2. - Sous les conditions l-4.7,

on a la formule

Y> grad In p (t, z, y) = - P(X:, ~ t i, (P) + H (6 2, Y)> oit le champ vectoriel H satisfait l’inkgalite’ IIH (t, z, y)II <

J

a(x’ ;) + ‘>

x E M,

yEM,

o
Applications des estimations obtenues. - ConsidCrons le processus de la diffusion t (t) dans un espace de Hilbert ¶ble H et soit P (t, z, r) sa probabilitk transitoire. L’tquation pour < (t) est

(3)

[ (t) = x + It

A (< (T-) dw (T) + i’

oti A(z) est l’opkrateur

de Hilbert-Schmidt,

0

b (E CT)>do,

.0

b(x) = i tr (A (x) A* (xc))’ - t tr (A (x) A* (xc>)’ (A(x)

A* (CE)(.)) (A(x)

A* (x))-‘.

1101

V. Bondarenko

Soient A(z) et b(z) satisfaisant les conditions d’existence et d’unicitt que : a) K1 < A (x)A* (x) < K 2, oti Ki est l’opkrateur nuclkaire ; b) la s&e nzI (b(z), DCsignons ConsidCrons,

e,)’

= lib (z)II’

converge uniformkment

dans une certaine base (ek ).

par n, et nz’“, respectivement, les projecteurs de plus, deux Cquations stochastiques

c$(t) = x + It

ii (I)

dw (T) + 1’

7,({(T))

de la solution, et supposons

de H sur R” et de Rn+k sur R”.

dr,

0

7 (t) E R”, i(t) E H, et soient P, (t, xnr An) transitoires des processus 11 et i, x,, = III,s. TH~OR~ME

et P (t, 2, r),

respectivement,

les probabilitks

3. - Les relations suivantes sont ve’ri@es : 2::

E/l< (t) - 77@)[I’ = 0,

iimrn

pn+

k

(t,

n,,,

x,

(J-J;+*)

sur 1‘algdbre des ensembles dont les frontidres

= P (t. 5: n,’

-l4J

4n)

est de mesure de Lebesgue nulle.

Remarque 3. Pn (4

x7%, 4,)

=

P(t,

xn,

yn)~(dyn),

s k7

oti p est le noyau de la chaleur sur la variCtC A4 = n, H avec le tenseur m&ique gjk (nnx>

- (I-LA

(rInx>

A* (rITLX>

rIJ1~

u &ant l’Cl&ment de volume dans M. L’existence des estimations inddpendantes de la dimension et le rksultat du thCor&me 3 permettent d’appliquer le critkre de la continuitk absolue, qui utilise le concept d’intigrabilitk uniforme (voir

161, p. 522). TH~ORBME 4. - Le tenseur mttrique gjk (fl, x) engendre le tenseur de la courbure, pour toutes les dimensions, les conditions l-4.7. Si la relation

A-’

qui satisfait,

(x) (z - x) E H

est ve’rijiie’e, les mesures P (t, x, F) et P (t, z, r) sont kquivalentes pour t > 0. oti AI est l’opkrateur de Hilbert-Schmidt constant et Exemple. - Soit A(x) = Al (I + C(x)), oh C(s) est I’opCrateur nuclkaire. Si les dtrivCes C ck) (x) (k < 4) satisfont certaines conditions naturelles, le tenseur de la courbure correspondant A A(x) satisfera les conditions 1-4.7. TH~OR~?ME

5. - Si les conditions du thkor2me 4 sont kgalement ve’rijkes pour le tenseur me’trique &k (rInx)

N (n,,xA

(rInx)

et si la distance d(x! y) engendrke par celui-ci, p* (z-3 y) - d* (x3

1102

Y)

5 P* (:c,

Y)

j*

satisfait

(B(x)

(rInx)

n,)-1v

la condition

5, (01, +(O)),

13 (x) 5 4

A < 1,

Diffusion

oti B(z) est l’ope’rateur nuclkaire, alors la probabilite’de par rapport d P(t! x, I?), pour t > 0 et n: E H. Note

remise

le 13 mai

1996,

acceptCe

apt&

rCvision

Rkfkences

sur

une

variete

Riemannienne

transition P (t, 2, I’) est absolument continue

le 27 mars

1997.

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1103