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Electrotransport d'impuretes dans Cu et Ni
J. Phys. Chem. Solids, 1973, Vol. 34, pp. 951-959.
PergamonPress. PrintedinGreatBritain
E L E C T R O T R A N S P O R T D ' I M P U R E T E S D A N S Cu ET Ni P. G U I L M I N , L. TURBAN et M. GERL
Laboratoire de Physique du Solide, Universit6 de Nancy I*, C.O 72, 54 Nancy, France ( R e c e i v e d 10 A p r i l 1972)
R6sum6- La valence eflicace de saFe, 5sCo et 125Sb dans Cu et de 5~ et 12~Sbdans Ni a 6t6 mesur6e en utilisant la technique de la couche mince. Alors que les impuret6s 6tudi6es migrent vers l'anode dans Cu, elles se d6placent dans le sens du champ dans la matrice Ni, ce qui montre que la diffusion des trous de la b a n d e d de Ni est pr6dominante. Les r6sistivit6s en position de col obtenues dans Cu sont relativement faibles par rapport aux valeurs attendues. Une explication qualitative en termes de niveau li6 virtuel est donn6e. A b s t r a c t - T h e effective valency of SaFe, 5sCo and ~zsSb in Cu and 5aFe, 125Sb in Ni has been determined using the thin-layer technique. The impurities are observed to move to the cathode in Ni, showing that the scattering of the holes of the d band dominates s scattering in Ni. In the Cu matrix, the resistivities obtained at the saddle point are rather small. A tentative explanation is given in terms of a virtual bound level on the impurity.
DEPUIS quelques ann6es, un certain nombre d'6tudes d'61ectrotransport de diff6rentes impuret6s ont 6t6 effectu6es, principalement dans les m6taux nobles: Cu[1-6], Ag[7-1 1], Au[12-16]. Ces exp6riences consistent ~t mesurer la vitesse d'entrainement des atomes de solut6 sous l'effet d'un fort courant 61ectrique. En plus de l'effet direct Fs du champ 61ectrique, l'impuret6 subit une force Fe due ?~ la diffusion des porteurs de charge sur le potentiel perturbateur qu'elle introduit dans la matrice. Que l'analyse de cet effet soit effectu6e ~t l'aide du module semi-classique de Huntington [13] et Fiks [17], ou dans le module quantique de Bosvieux et Friedel[18], il appara~t que la force Fe est reli6e au champ c par une expression de la forme:
'1' o?a P0 est la r6sistivit6 de la matrice de valence Z et p~ la r6sistivit6 sp6cifique de l'impuret6
*L.A. n ~ 155 au C.N.R.S.
dans la matrice. On peut ainsi esp6rer mesurer la r6sistivit6 P~ par une simple exp6rience de diffusion. Cette m6thode semble donc particuli~rement adapt6e dans les cas o/J une mesure classique de r6sistivit6 est d61icate, par exemple dans les m6taux liquides oh la r6sistivit6 de la matrice est importante. Dans les m6taux h l'6tat solide, les principales difficult6s de ce genre de mesure sont les suivantes: (i) que la diffusion se produise par un m6canisme lacunaire ou interstitiel, on mesure en fait la r6sistivit6 moyenne ~ de l'ion au cours de son d6placement vers le site voisin; (ii) d'autre part, dans le m6canisme lacunaire, la force subie par l'ion est affect6e par la pr6sence de la lacune voisine; cette force a 6t6 estim6e par Bosvieux et Friedel[ 18], dans une approximation o?a l'6crantage de l'ion et de la lacune sont suppos6s ind6pendants; (iii) en ce qui concerne la force 61ectrostatique directe, plusieurs mod61es sont en pr6sence. D'apr~s Bosvieux et Friedel, la force agissant sur le solut6 de valence Z' est la r6sultante des forces Z'~ et - - ( Z ' - Z ) e agissant respectivement sur l'ion et son
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6cran. Cela signifie que toute force exerc6e sur les 61ectrons de l'6cran est transmise l'ion, comme si ceux-ci &aient fortement li6s l'ion, et la force globale Zc gst la m~me que celle qui agit sur les ions du solvant. Ce r6sultat est contest6 par Huntington [19] qui argue du fait que les 61ectrons de l'6cran sont en fait extraits du gaz d'61ectrons libres et ne sont donc pas individuellement li6s ~t l'ion; (iv) dans une exp6rience d'61ectrotransport l'6tat solide, on mesure la vitesse relative du solut6 et du solvant; le fait que les ions du solvant subissent une force d'entrainement dissym6trise les fr6quences de saut de la lacune au voisinage de l'impuret6. La force d'entrainement relatif solut6 B/solvant A est alors: F' = Z y * c oh [20] ZB** -- Z* + otZa*
(2)
oh, dans le module de Bosvieux-Friedek
l'enceinte de diffusion, ce qui assure simultan6ment ia soudure de l'6chantiilon sur les 61ectrodes d'arriv6e du courant. Le traitement de diffusion est alors effectu6 sous pression atmosph6rique d'argon purifi6 de mani~re h limiter l'6vaporation. Le g6n&ateur de courant continu est pilot6 par un syst~me thermocouple-amplificateur magn6tique-inductance saturable; sym6trique du premier par rapport ~ l'interface de soudure, un second thermocouple permet de d6celer la pr6sence 6ventuelle d'un gradient de temp6rature. Dans toutes les exp6riences que nous avons r6alis6es, le gradient de temp6rature 6tait inf6rieur h 1 K/mm. Apr~s le traitement de diffusion, l'6chantillon est d6coup6 en sections de 30-70/xm, la pes6e des copeaux permettant la mesure de leur 6paisseur. Par comptage radioactif des copeaux, la concentration du traceur est d6termin6e avec pr6cision. Du d6placement 8(t) de la gaussienne repr6sentant la concentration du traceur, par rapport ~ l'interface de soudure, on peut ainsi d6duire la valence efficace apparente:
(3) Z** = Dans cette expression, on a suppos6 que l'ion, compl&ement 6crant6 en position de col, ne subit aucune force 61ectrostatique directe [ 18]; f0 est dO ~t la polarisation d'6cran de la lacune voisine de l'ion en position stable et 89 est la r6sistivit6 moyenne de l'ion au cours de son d6placement. ETUDE EXPERIMENTALE La valence efficace apparente Z** des solut6s ~gFe, 58Co et 125Sb dans Cu et de 59Fe, 125Sb dans Ni a 6t6 mesur6e. La technique utilis6e est la suivante [10,14, 21]: une fine couche de radiotraceur est d6pos6e par 61ectrolyse sur une des faces parfaitement polies de deux cylindres de la matrice, de longueur 10 mm et de diam~tre 7 h 9 ram. La soudure des deux cylindres est effectu6e par effet Joule, sous vide de l0 -6 tort dares
6kT 1 t D*eooJ
(4)
oh e est la charge de l'61ectron et J la densit6 de courant dans le syst~me (Fig. 1). La pr6cision de cette m6thode tient au fait qu'il est inutile de connaltre s6par6ment D* et t pour d6terminer Z**; le produit D*t est en effet obtenu simplement d'apr~s l'&alement de la distribution gaussienne du traceur, apr~s correction du temps de soudure de l'6chantillon: D* t = + -- D sts oh p e s t la pente de la droite Log c = f [ ( x - xu)2], Ds &ant le coefficient de diffusion du traceur ~t la temp6rature de la soudure, de dur6e t,. Au cours de l'analyse des r6sultats,
E L E C T R O T R A N S P O R T D ' I M P U R E T E S D A N S Cu ET Ni adiv|l~ unltis arbitraires
i e.e,.ee.~
/
9"
l'exp6rience est alors d6duite avec pr6cision de la mesure de D* (Fig. 2).
t C--u-Sb125 ] T - 1222 K
l \
, t_~5~loo,
IK
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I 1=16OOA ~r~ce
RESULTATS EXPERIMENTAUX El" INTERPRETATION
initiab
(1) A lliages ~ base de cuivre
/ / |
/" 0 0
/
./
/"
I\
/
\\
\o
\
d
\ 1
i
i
i
1
2
3
4
D
Dans la matrice Cu, contenant une concentration maximale d'impuret6s de l'ordre de 20 ppm, une 6tude de la variation de la valence efficace Z* de 125Sb et saFe en fonction de T a 6t6 effectu6e. Quelques mesures donnent 6galement une premiere approximation de Z* (58Co) dans Cu. L a concentration au maximum de la gaussienne devenant dans tous les cas inf6rieure ~ 1 0 0 p p m d~s que t > 3 . 1 0 3 s , il est raisonnable d'utiliser pour r6sistivit6 de la matrice celle du m6tal pur [22]:
x trnm)
po(~f~, cm) = -- 2,71 + 0,0094 T ( K ) .
Fig. 1. Concentration typique de 125Sbdans Cu.
rabscisse XM du maximum de la gaussienne est choisie de mani6re que l'6cart quadratique m o y e n des points e x p 6 d m e n t a u x par rapport aux droites Log c = f [ ( x - x u ) z] soit minimum[lO, 14]. La tempdrature de
Le calcul de la densit6 de courant est effectu6, 6tant donn6 l'intensit6 totale et les dimensions de l'6chantillon ~ 20~ en utilisant le coefficient de dilatation lin6aire [22]: = 0 , 1 2 . 1 0 - 4 + 0 , 9 5 . 1 0 -8 T ( K ) .
'n;t Cu_Fe s9 T= 1294 K t . c ,,s ~x_ x~'~2_ 9 cot6 § 9 cole _1
%.~
"\-.. ,. e~ A
\.
_2
o
\.
\,
I
t
I
1
2
3
\.
!
(._~Z~ "tin,2)
Fig. 2. Variation de In(c) en fonction de (x-x,,,) ~. La diff6rence de pente entre les c6t6s de l'anode et de la cathode est due h u n gradient de temp6rature de l'ordre de 1 K/mm.
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Les r6sultats ainsi obtenus sont donn6s dans le Tableau 1. Si l'on n6glige la faible variation avec la temp6rature du facteur poZ**[T de l'6quation (4), la droite dormant la variation de Log (v[J) en fonction de (l/T) est une droite de pente ( - Q / R ) (Fig. 3). On trouve ainsi pour 125Sb:
'"(~r 0 C_u_$bus
_1
Q(Sb) = 41 kcal/mole,
I/mole _2
en bon accord avec la valeur Q = 42 kcal/ mole obtenue par les techniques habituelles [23]. Dans le cas du syst6me Cu-5aFe, la gamme de temp6rature des exp6riences effectu6es est trop 6troite pour qu'une telle comparaison puisse ~tre faite valablement. Des valeurs de Z** obtenues directement, on d6duit la valence efficace vraie Z y du traceur en effectuant la correction de vent de lacunes [ I 0]: Z*- -Z
"\ i
i T
Fig. 3. D&ermination de l'6nergie d'activation pour la diffusion de 12'~Sbdans Cu.
sous champ 61ectrique. Les fr6quences de saut Wo ~i W 4 de la lacune ont la signification habituelle [20]:
** - - a Z *cu B
oO le coefficient: OL ~ -
3 ( Wz[W1) -- 2 + 7 ( W3[W O ( Wo/W4-- 1) (1 - - F ) 2+7/2(W3/W,)F (5)
traduit le fait que les atomes de solvant subissent une force dans le syst~me plac6
Wo: fr6quence de saut dans le m6tal pur; W3. WI: fr6quence des sauts dissociatifs et non dissociatifs du couple lacuneimpuret~; /4'4: fr6quence des sauts r6associatifs; F: est une fonction du rapport Wo/W4. La d6termination du coefficient a n6cessite donc la connaissance des rapports Wa/WI et Wo/W4 des fr6quences de saut de la
Tableau 1. Valences efficaces apparentes de 125Sb, 59Fe et 58C0 dans Cu T(K)
t(105s)
J ( A / c m 2)
8(/z)
125Sb
1122 1179 1200 1222 1244 1257 1286 1291 1292 1302 1288
6,905 6,015 1,732 5,161 0,829 4,294 5,21 11,53 12,72 6,036 13,21
3,148 2,846 4,659 4,419 3,432 3,341 3,225 5,182 3,992 3,556 3,170
188 420 255 758 179 816 210 674 442 289 180
--49-----6 --56• --46-----4 --40_+3 --55• --42•
59Fe
5sCo
--60----_5 --59• --45• --58• --34__+5
ELECTROTRANSPORT
D'IMPURETES
lacune; ceux-ci peuvent ~tre estim6s[24] en mesurant I'effet isotopique pour la diffusion ainsi que l'augmentation du coefficient d'autodiffusion du solvant due h une concentration c du solut6.
C_u_S~25
/
50
125Sb:
lo
W3
[ A H 1 -- AH3"~
k-r
pour
Z*sb*=
-- 45.
1
P = ~ ( f o P o - - -~)
off
fopo=~[Jo(b)--2J2(b)]=~l(b) et
=
. ( K b ) dK ~2kFjK[E(K)]Z J0
I
o.,
(6)
~'.)
~(,n.c,.~
Fig. 4. Variation avec la temp6rature de Z** pour 125Sb dans Cu.
oh j , est la fonction de Bessel sph6rique d'ordre n e t E(K) la fonction di61ectrique statique du gaz d'61ectrons. Le calcul du coefficient fopo est ais6ment effectu6 et r o n obtient, pour kF = 0,7186 u.a et b = 4,8372 u.a:
l(b)
En tout 6tat de cause, la correction a due au vent de lacunes reste relativement faible pour les impuret6s normales, c o m m e r a montr6 Doan[10] dans la matrice Ag. En n6gligeant cette correction, on obtient (Fig. 4) la variation de la valence efficace Z~b* en fonction de (1/po). D'aprSs rexpression (3), on doit obtenir une droite de pente:
J,(b)
ffi 8.1 9 0.8 (ll~.cm/at
-~
oh AH1 et AH3 sont respectivement 6gaux h 0,37 et 1,26kcal/mole. L'expression (5) conduit alors h la valeur a = 0,38 h 980~ si l'on n6glige la probabilit6 de r6association de la lacune une fois que le complexe lacune impuret6 est dissoci6. Utilisant la valeur Z*u = - 18 donn6e par Wever[1], on obtient ainsi: Z~'b = -- 38,2
a0
1
)
955
-- Z ~
(a) Impuretds normales Dans le cas des impuret6s normales, et en particulier de ~2~Sb aucune mesure d'effet isotopique n'existe et les rapports des fr6quences de saut ne peuvent qu'&re estim6s grossi~rement. On obtient ainsi, en utilisant le module de Le Claire[25] pour
W----~= exp~
D A N S Cu E T Ni
= - 0 , 0 7 0 5 ; fopo = 2,04u.a = 0,44/xO. cm/at.%.
De la pente, 8,1___0,8 (/xf~.cm/at.%) de la droite obtenue Fig. 4, on d6duit donc: = 7,7 ___0,8/xf~. cm/at.% pour 125Sb. La valeur Z* = 89de l'abscisse ~t l'origine de cette droite est due, dans le module de Bosvieux et Friedel, au fait que l'ion en position stable est soumis h la force Z~ et que, complbtement 6crant6 en position de col, il n'y subit aucune force. L'impr6cision des r6sultats (Fig. 4) ne permet pas de confirmer ce r6sultat. U n e m6thode plus simple [6] pour faire varier 1/po serait d'6tudier la diffusion de nsSb dans un alliage Cu-Sb de concentration suffisamment 61ev6e pour que 190 varie dans des proportions permettant
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P. GU1LMIN, L. TURBAN et M. GERL
une extrapolation h rorigine de la droite obtenue. U n e concentration de Sb de l'ordre de 2 pour cent suffirait p o u r doubler p0. Si l'on interpr&te la rrsistivit6 ~ c o m m e la s o m m e des rrsistivitrs ps en position stable et p~ en position de col, on obtient, a v e c p, = 5,45/xll. cm/at.% [26]:
C~-~
/~~j !~
50
p~ = 2,3 • 0 , 8 / z ~ . cm/at.%.
///~'~
Darts cette interprrtation, la rrsistivit6 en position de col de Sb serait infrrieure h sa rrsistivit6 en position stable, rrsultat drjh o b t e n u dans les s y s t r m e s Ag-Sb, Ag-Fe. L e s modbles utilisrs p o u r drcrire la force de frottem e n t des 61ectrons sont donc p r o b a b l e m e n t imparfaits. (b) Impuretds de transition D a n s le cas de SaFe, les m e s u r e s d'effet isotopique de Mullen[27] et les m e s u r e s de coefficient b d'augmentation du coefficient d'autoditfusion de Cu p a r dissolution de F e p e r m e t t e n t d'obtenir [ 10]: W3 = 0,04; W0
W1
~
= 6,67
d'o/~
25
~'~- ~p~: )5"4+'
/ / ~ /
"~,-fo po: 10.2•
Fig. 5. Variation avec la temprrature de la valence efficace apparente Z** et de la valence Z* corrigre de l'effet du vent de lacunes pour SgFedarts Cu. Les valeurs de ~ -foP0 sont donnres en/x.O, cm/at.%. - a v e c correction: p-~= 15,1 • 1 p.flcm/at.%. L a valeur de ps, r6sistivit6 en position stable 6tant 9,30/zD.cm/at.% on obtient ainsi, p o u r la position de col de 59Fe dans Cu:
ct = - 1,58.
L a correction de vent de lacunes n ' e s t doric pas nrgligeable dans ce syst~me, ce qui p e r m e t d ' o b t e n i r (Fig. 5) -
/
sans correction de vent de lacunes: p~ = 9,8 • 1/xfl. cm/at.%
pc = 5,8 p D c m / a t . % qui est encore infrrieure ~t la rrsistivit6 p,. D a n s le cas de 5sCo, l ' a b s e n c e de mesure d'effet isotopique interdit route correction r6aliste de vent de lacunes. L e T a b l e a u 2
Tableau 2. Rrsistivit~ d'impuret~s par diffusion sous champ 61ectrique dans Cu P--~,= (P, + Pc) (P~flcm/at.%) (1) sans correction de vent de lacunes; (2) avec correction. Les valeurs et incertitudes donn~es dans ce Tableau tiennent compte de la dispersion des diffdrents r~sultats obtenus Solut6
T(K)
125Sb 59Fe ~sCo
1200 1294 1288
Z**
1
- 48 -+5 7,8 ---0,8 --55+__7 9,8_+I --34--+5 6,0__0~9
Pc
2
ps
I
15,1 ----_I
5,45 9,30 6,4
2,3 ---0,8 0,5 0-4- 1
2
5,8
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D'IMPURETES
rgsume les r6sultats obtenus pour les diff6rents traceurs 6tudi6s dans Cu. (2) Alliages fi base de nickel Dans la matrice Ni, l'61ectransport de n5Sb et 59Fe a 6t6 6tudi6 h quelques temp6ratures seulement, car les coefficients de diffusion faibles dans cette matrice augmentent consid6rablement la dur6e des exp6riences. Bien que les r6sultats soient peu nombreux, il apparait dans le Tableau 3 que la valence efficace apparente Z** est positive pour Sb et Fe. Les impuret6s Sb et Fe se d6placent donc, relativement/i la matrice Ni, dans le sens du champ 61ectrique, alors que les ions de la matrice se d6placent en sens contraire ( Z * ~ = - l , 5 pour T = 1 6 5 8 K[28]). De m6me, les interstitiels H, D et C clans Ni se d6placent dans le sens du champ [29].
DANS
C u E T Ni
957
Cette d6pendance est relativement bien v6rifi6e dans la matrice Ag mais des d6viations syst6matiques apparaissent: (a) pour des impuretEs de faible valence, la r6sistivit6 ~ ( Z ' ) mesur6e est toujours sup6rieure ~tpsc(Z' ) ; (b) ~tforte valence, pi(Z') devient inf6rieure
~mc(z') Cet effet se reproduit dans Cu-Sb oh pc (Sb) = 2,3/zl).cm/at.% est probablement inf6rieur /t la r6sistivit6 de Te dans Cu. En l'absence de valeur exp6rimentale de p~(Te), on peut estimer celle-ci dans le module de niveau 1i6 virtuel p de Coqblin et al.[30]. Dans ce module:
p~ = 8,6 sin2 (yr( Z s - Z )-) ps cm/at.% de sorte que la r6sistivit6 de Te(Z' = 6) est la m6me que ceUe de S n ( Z ' = 4 ) . Dans cette approximation:
DISCUSSION
(1) Matrice normale
ps(Te) ~ ps(Sn) = 2,9/xf/. cm/at.%,
Darts une matrice normale, on s'attend /~ ce que la r6sistiviti6 ~7 mesur6e par diffusion sous champ 61ectrique soit du m~me ordre de grandeur que la somme (p~+pc) des r6sistivit6s en position stable et en position de col. Si l'on admet qu'un ion de valence Z' est compl6tement 6crant6 en position de col, la r6sistivit~ pc peut &re approxim6e par la r6sistivit6 p, de l'ion de valence Z' + Z en position stable: pc(W) = p,(Z' + Z) La r6sistivit6 ~ ( Z ' ) devrait donc 6tre 6gale, dans l'approximation de Born, h la
valeur sup6rieure pc(Sb) = 2,3 ~Sq. cm/at.%. Pour les solut6s de transition, il est difficile de comparer pc(W) et ps(Z'+ Z) vu l'impr6cision de la correction de vent de lacunes. Cependant, il semble que le m~me effet se produise. Ainsi, dans Cu: pc(Fe) = 5,8;
ps(Co) = 6,4.
somme"
Pour expliquer cet effet, nous avons tent6 le calcul de la force agissant sur une impuret6
mc(z') = p~(z') + p , ( z + z ' )
Tableau 3. Valences e~caces apparentes mesur~es dans la matrice Ni
.I.P.C.S. VoL 34. No. 6--C
T(K)
t(105s)
1630 • 5 1630 • 5
3,810 12,750
J(Alcm z) g(p.) 2567 2274
247 521
Z~s b
Z ~'ve
+ 3,9 -----0,7 + 2,7 -----0,5
958
P. GUILMIN, L. TURBAN et M. GERL
dans le cas d'une diffusion r6sonante l, en partant du modble d'Anderson. En pr6sence d'un niveau li6 virtuel l, la r6sistivit6 d'impuret6 peut se d6composer en: Pl = P~s + P~l
off p~8 est due aux transitions directes k--~ k' et ps~ aux transitions s---> l-->s. L a r6sistivit6 p~t suit une loi de la forme:
- - Z * ~ & + ( a - 1) PJ_!.
pm
P0
Otl ,0M est la valeur maximale de la r6sistivit6, obtenue quand l'6nergie m o y e n n e E~ du niveau 1i6 virtuel est 6gale h l'6nergie de Fermi EF. On peut montrer dans ces conditions que la valence efficace Z ~ due aux transitions s ---> l ---> s suit une loi du type:
(P~u'~[a+b(PM \--~- V'q
- z~ = \po/
La valence efficace est donc augment6e, en valeur absolue, par rapport h la valeur obtenue dans l'approximation de Born. Cet effet ne peut avoir une influence sur la valence efficace d'impuret6s de faible valence que si le niveau 1i6 virtuel est suffisamment large, ce qui peut 6tre le cas pour les solut6s normaux dans Cu et Ag [30]. (b) Pour des impuret6s de forte valence, Psz ~ PM et:
1/
J
(7)
off les coefficients a et b, p'ositifs et de l'ordre de l'unit6, sont d6termin6s d'apr~s la structure de bande de la matrice. L a valence efficace totale est alors la somme des valences Zs~' et Zs*, cette derni6re 6tant donn6e par l'expression obtenue dans l'approximation de Born:
\Po/
Po
L a valence efficace Z* peut alors &re notablement inf6rieure en valeur absolue au rapport p~/po si le coefficient a est inf6rieur ~ 1. (2) M a t r i c e de transition Dans une matrice de transition, le m~me genre d'effet peut se produire pour la conductivite's. Cependant il semble que la direction du transport atomique est gouvern6e par la comp6tition entre bandes s e t d. Dans une m~me matrice, le sens du d6placement de l'impuret6 est fonction de la valeur relative des sections efficaces de r6sistivit6 pour les 61ectrons s e t les trous d. D e plus, l'influence directe du champ est mal connue l'heure actuelle et n'est sans doute pas n6gligeable par rapport ~ la diffusion des porteurs de charge. Les r6sultats obtenus ici sont encore trop peu nombreux pour que l'on puisse en tirer des conclusions tr~s claires en ce qui concerne l'61ectromigration dans les m6taux de transition.
d'ofi Remerciements-Nous remercions vivement les Dr.
-Z*=
+(a-1)P-~+b Po
Po
___-1 kPol kPsl
.
(a) Pour des impuret6s de faible valence, p J p o est suffisamment faible pour qu'on puisse approximer Z* par: - - Z * = p i + b (O~/PM)V2 Po Po
N. V. Doan et Y. Adda, du Commissariat h l'Energie Atomique, pour l'aide qu'il nous ont apport6e dans la conduite de la pr6sente &ude. REFERENCES
1. WEVER H., Z. Electroch. 60, 1170 (1956). 2. GRONEA. R.,J. Phys. Chem. Solids 211,88 (1961). 3. KUZ'MENKO P. P., OSTROVSKY L. F. et KOVAL'CHUK V. S., Soviet Phys. solid St. 4, 356 (1962). 4. KUZ'MENKO P. P., OSTROVSKY L. F. et
ELECTROTRANSPORT
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
D ' I M P U R E T E S D A N S Cu E T Ni
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959
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PergamonPress. PrintedinGreatBritain
E L E C T R O T R A N S P O R T D ' I M P U R E T E S D A N S Cu ET Ni P. G U I L M I N , L. TURBAN et M. GERL
Laboratoire de Physique du Solide, Universit6 de Nancy I*, C.O 72, 54 Nancy, France ( R e c e i v e d 10 A p r i l 1972)
R6sum6- La valence eflicace de saFe, 5sCo et 125Sb dans Cu et de 5~ et 12~Sbdans Ni a 6t6 mesur6e en utilisant la technique de la couche mince. Alors que les impuret6s 6tudi6es migrent vers l'anode dans Cu, elles se d6placent dans le sens du champ dans la matrice Ni, ce qui montre que la diffusion des trous de la b a n d e d de Ni est pr6dominante. Les r6sistivit6s en position de col obtenues dans Cu sont relativement faibles par rapport aux valeurs attendues. Une explication qualitative en termes de niveau li6 virtuel est donn6e. A b s t r a c t - T h e effective valency of SaFe, 5sCo and ~zsSb in Cu and 5aFe, 125Sb in Ni has been determined using the thin-layer technique. The impurities are observed to move to the cathode in Ni, showing that the scattering of the holes of the d band dominates s scattering in Ni. In the Cu matrix, the resistivities obtained at the saddle point are rather small. A tentative explanation is given in terms of a virtual bound level on the impurity.
DEPUIS quelques ann6es, un certain nombre d'6tudes d'61ectrotransport de diff6rentes impuret6s ont 6t6 effectu6es, principalement dans les m6taux nobles: Cu[1-6], Ag[7-1 1], Au[12-16]. Ces exp6riences consistent ~t mesurer la vitesse d'entrainement des atomes de solut6 sous l'effet d'un fort courant 61ectrique. En plus de l'effet direct Fs du champ 61ectrique, l'impuret6 subit une force Fe due ?~ la diffusion des porteurs de charge sur le potentiel perturbateur qu'elle introduit dans la matrice. Que l'analyse de cet effet soit effectu6e ~t l'aide du module semi-classique de Huntington [13] et Fiks [17], ou dans le module quantique de Bosvieux et Friedel[18], il appara~t que la force Fe est reli6e au champ c par une expression de la forme:
'1' o?a P0 est la r6sistivit6 de la matrice de valence Z et p~ la r6sistivit6 sp6cifique de l'impuret6
*L.A. n ~ 155 au C.N.R.S.
dans la matrice. On peut ainsi esp6rer mesurer la r6sistivit6 P~ par une simple exp6rience de diffusion. Cette m6thode semble donc particuli~rement adapt6e dans les cas o/J une mesure classique de r6sistivit6 est d61icate, par exemple dans les m6taux liquides oh la r6sistivit6 de la matrice est importante. Dans les m6taux h l'6tat solide, les principales difficult6s de ce genre de mesure sont les suivantes: (i) que la diffusion se produise par un m6canisme lacunaire ou interstitiel, on mesure en fait la r6sistivit6 moyenne ~ de l'ion au cours de son d6placement vers le site voisin; (ii) d'autre part, dans le m6canisme lacunaire, la force subie par l'ion est affect6e par la pr6sence de la lacune voisine; cette force a 6t6 estim6e par Bosvieux et Friedel[ 18], dans une approximation o?a l'6crantage de l'ion et de la lacune sont suppos6s ind6pendants; (iii) en ce qui concerne la force 61ectrostatique directe, plusieurs mod61es sont en pr6sence. D'apr~s Bosvieux et Friedel, la force agissant sur le solut6 de valence Z' est la r6sultante des forces Z'~ et - - ( Z ' - Z ) e agissant respectivement sur l'ion et son
951
952
P. G U I L M I N , L. T U R B A N et M. G E R L
6cran. Cela signifie que toute force exerc6e sur les 61ectrons de l'6cran est transmise l'ion, comme si ceux-ci &aient fortement li6s l'ion, et la force globale Zc gst la m~me que celle qui agit sur les ions du solvant. Ce r6sultat est contest6 par Huntington [19] qui argue du fait que les 61ectrons de l'6cran sont en fait extraits du gaz d'61ectrons libres et ne sont donc pas individuellement li6s ~t l'ion; (iv) dans une exp6rience d'61ectrotransport l'6tat solide, on mesure la vitesse relative du solut6 et du solvant; le fait que les ions du solvant subissent une force d'entrainement dissym6trise les fr6quences de saut de la lacune au voisinage de l'impuret6. La force d'entrainement relatif solut6 B/solvant A est alors: F' = Z y * c oh [20] ZB** -- Z* + otZa*
(2)
oh, dans le module de Bosvieux-Friedek
l'enceinte de diffusion, ce qui assure simultan6ment ia soudure de l'6chantiilon sur les 61ectrodes d'arriv6e du courant. Le traitement de diffusion est alors effectu6 sous pression atmosph6rique d'argon purifi6 de mani~re h limiter l'6vaporation. Le g6n&ateur de courant continu est pilot6 par un syst~me thermocouple-amplificateur magn6tique-inductance saturable; sym6trique du premier par rapport ~ l'interface de soudure, un second thermocouple permet de d6celer la pr6sence 6ventuelle d'un gradient de temp6rature. Dans toutes les exp6riences que nous avons r6alis6es, le gradient de temp6rature 6tait inf6rieur h 1 K/mm. Apr~s le traitement de diffusion, l'6chantillon est d6coup6 en sections de 30-70/xm, la pes6e des copeaux permettant la mesure de leur 6paisseur. Par comptage radioactif des copeaux, la concentration du traceur est d6termin6e avec pr6cision. Du d6placement 8(t) de la gaussienne repr6sentant la concentration du traceur, par rapport ~ l'interface de soudure, on peut ainsi d6duire la valence efficace apparente:
(3) Z** = Dans cette expression, on a suppos6 que l'ion, compl&ement 6crant6 en position de col, ne subit aucune force 61ectrostatique directe [ 18]; f0 est dO ~t la polarisation d'6cran de la lacune voisine de l'ion en position stable et 89 est la r6sistivit6 moyenne de l'ion au cours de son d6placement. ETUDE EXPERIMENTALE La valence efficace apparente Z** des solut6s ~gFe, 58Co et 125Sb dans Cu et de 59Fe, 125Sb dans Ni a 6t6 mesur6e. La technique utilis6e est la suivante [10,14, 21]: une fine couche de radiotraceur est d6pos6e par 61ectrolyse sur une des faces parfaitement polies de deux cylindres de la matrice, de longueur 10 mm et de diam~tre 7 h 9 ram. La soudure des deux cylindres est effectu6e par effet Joule, sous vide de l0 -6 tort dares
6kT 1 t D*eooJ
(4)
oh e est la charge de l'61ectron et J la densit6 de courant dans le syst~me (Fig. 1). La pr6cision de cette m6thode tient au fait qu'il est inutile de connaltre s6par6ment D* et t pour d6terminer Z**; le produit D*t est en effet obtenu simplement d'apr~s l'&alement de la distribution gaussienne du traceur, apr~s correction du temps de soudure de l'6chantillon: D* t = + -- D sts oh p e s t la pente de la droite Log c = f [ ( x - xu)2], Ds &ant le coefficient de diffusion du traceur ~t la temp6rature de la soudure, de dur6e t,. Au cours de l'analyse des r6sultats,
E L E C T R O T R A N S P O R T D ' I M P U R E T E S D A N S Cu ET Ni adiv|l~ unltis arbitraires
i e.e,.ee.~
/
9"
l'exp6rience est alors d6duite avec pr6cision de la mesure de D* (Fig. 2).
t C--u-Sb125 ] T - 1222 K
l \
, t_~5~loo,
IK
953
I 1=16OOA ~r~ce
RESULTATS EXPERIMENTAUX El" INTERPRETATION
initiab
(1) A lliages ~ base de cuivre
/ / |
/" 0 0
/
./
/"
I\
/
\\
\o
\
d
\ 1
i
i
i
1
2
3
4
D
Dans la matrice Cu, contenant une concentration maximale d'impuret6s de l'ordre de 20 ppm, une 6tude de la variation de la valence efficace Z* de 125Sb et saFe en fonction de T a 6t6 effectu6e. Quelques mesures donnent 6galement une premiere approximation de Z* (58Co) dans Cu. L a concentration au maximum de la gaussienne devenant dans tous les cas inf6rieure ~ 1 0 0 p p m d~s que t > 3 . 1 0 3 s , il est raisonnable d'utiliser pour r6sistivit6 de la matrice celle du m6tal pur [22]:
x trnm)
po(~f~, cm) = -- 2,71 + 0,0094 T ( K ) .
Fig. 1. Concentration typique de 125Sbdans Cu.
rabscisse XM du maximum de la gaussienne est choisie de mani6re que l'6cart quadratique m o y e n des points e x p 6 d m e n t a u x par rapport aux droites Log c = f [ ( x - x u ) z] soit minimum[lO, 14]. La tempdrature de
Le calcul de la densit6 de courant est effectu6, 6tant donn6 l'intensit6 totale et les dimensions de l'6chantillon ~ 20~ en utilisant le coefficient de dilatation lin6aire [22]: = 0 , 1 2 . 1 0 - 4 + 0 , 9 5 . 1 0 -8 T ( K ) .
'n;t Cu_Fe s9 T= 1294 K t . c ,,s ~x_ x~'~2_ 9 cot6 § 9 cole _1
%.~
"\-.. ,. e~ A
\.
_2
o
\.
\,
I
t
I
1
2
3
\.
!
(._~Z~ "tin,2)
Fig. 2. Variation de In(c) en fonction de (x-x,,,) ~. La diff6rence de pente entre les c6t6s de l'anode et de la cathode est due h u n gradient de temp6rature de l'ordre de 1 K/mm.
954
P. G U I L M I N , L. T U R B A N et M. G E R L
Les r6sultats ainsi obtenus sont donn6s dans le Tableau 1. Si l'on n6glige la faible variation avec la temp6rature du facteur poZ**[T de l'6quation (4), la droite dormant la variation de Log (v[J) en fonction de (l/T) est une droite de pente ( - Q / R ) (Fig. 3). On trouve ainsi pour 125Sb:
'"(~r 0 C_u_$bus
_1
Q(Sb) = 41 kcal/mole,
I/mole _2
en bon accord avec la valeur Q = 42 kcal/ mole obtenue par les techniques habituelles [23]. Dans le cas du syst6me Cu-5aFe, la gamme de temp6rature des exp6riences effectu6es est trop 6troite pour qu'une telle comparaison puisse ~tre faite valablement. Des valeurs de Z** obtenues directement, on d6duit la valence efficace vraie Z y du traceur en effectuant la correction de vent de lacunes [ I 0]: Z*- -Z
"\ i
i T
Fig. 3. D&ermination de l'6nergie d'activation pour la diffusion de 12'~Sbdans Cu.
sous champ 61ectrique. Les fr6quences de saut Wo ~i W 4 de la lacune ont la signification habituelle [20]:
** - - a Z *cu B
oO le coefficient: OL ~ -
3 ( Wz[W1) -- 2 + 7 ( W3[W O ( Wo/W4-- 1) (1 - - F ) 2+7/2(W3/W,)F (5)
traduit le fait que les atomes de solvant subissent une force dans le syst~me plac6
Wo: fr6quence de saut dans le m6tal pur; W3. WI: fr6quence des sauts dissociatifs et non dissociatifs du couple lacuneimpuret~; /4'4: fr6quence des sauts r6associatifs; F: est une fonction du rapport Wo/W4. La d6termination du coefficient a n6cessite donc la connaissance des rapports Wa/WI et Wo/W4 des fr6quences de saut de la
Tableau 1. Valences efficaces apparentes de 125Sb, 59Fe et 58C0 dans Cu T(K)
t(105s)
J ( A / c m 2)
8(/z)
125Sb
1122 1179 1200 1222 1244 1257 1286 1291 1292 1302 1288
6,905 6,015 1,732 5,161 0,829 4,294 5,21 11,53 12,72 6,036 13,21
3,148 2,846 4,659 4,419 3,432 3,341 3,225 5,182 3,992 3,556 3,170
188 420 255 758 179 816 210 674 442 289 180
--49-----6 --56• --46-----4 --40_+3 --55• --42•
59Fe
5sCo
--60----_5 --59• --45• --58• --34__+5
ELECTROTRANSPORT
D'IMPURETES
lacune; ceux-ci peuvent ~tre estim6s[24] en mesurant I'effet isotopique pour la diffusion ainsi que l'augmentation du coefficient d'autodiffusion du solvant due h une concentration c du solut6.
C_u_S~25
/
50
125Sb:
lo
W3
[ A H 1 -- AH3"~
k-r
pour
Z*sb*=
-- 45.
1
P = ~ ( f o P o - - -~)
off
fopo=~[Jo(b)--2J2(b)]=~l(b) et
=
. ( K b ) dK ~2kFjK[E(K)]Z J0
I
o.,
(6)
~'.)
~(,n.c,.~
Fig. 4. Variation avec la temp6rature de Z** pour 125Sb dans Cu.
oh j , est la fonction de Bessel sph6rique d'ordre n e t E(K) la fonction di61ectrique statique du gaz d'61ectrons. Le calcul du coefficient fopo est ais6ment effectu6 et r o n obtient, pour kF = 0,7186 u.a et b = 4,8372 u.a:
l(b)
En tout 6tat de cause, la correction a due au vent de lacunes reste relativement faible pour les impuret6s normales, c o m m e r a montr6 Doan[10] dans la matrice Ag. En n6gligeant cette correction, on obtient (Fig. 4) la variation de la valence efficace Z~b* en fonction de (1/po). D'aprSs rexpression (3), on doit obtenir une droite de pente:
J,(b)
ffi 8.1 9 0.8 (ll~.cm/at
-~
oh AH1 et AH3 sont respectivement 6gaux h 0,37 et 1,26kcal/mole. L'expression (5) conduit alors h la valeur a = 0,38 h 980~ si l'on n6glige la probabilit6 de r6association de la lacune une fois que le complexe lacune impuret6 est dissoci6. Utilisant la valeur Z*u = - 18 donn6e par Wever[1], on obtient ainsi: Z~'b = -- 38,2
a0
1
)
955
-- Z ~
(a) Impuretds normales Dans le cas des impuret6s normales, et en particulier de ~2~Sb aucune mesure d'effet isotopique n'existe et les rapports des fr6quences de saut ne peuvent qu'&re estim6s grossi~rement. On obtient ainsi, en utilisant le module de Le Claire[25] pour
W----~= exp~
D A N S Cu E T Ni
= - 0 , 0 7 0 5 ; fopo = 2,04u.a = 0,44/xO. cm/at.%.
De la pente, 8,1___0,8 (/xf~.cm/at.%) de la droite obtenue Fig. 4, on d6duit donc: = 7,7 ___0,8/xf~. cm/at.% pour 125Sb. La valeur Z* = 89de l'abscisse ~t l'origine de cette droite est due, dans le module de Bosvieux et Friedel, au fait que l'ion en position stable est soumis h la force Z~ et que, complbtement 6crant6 en position de col, il n'y subit aucune force. L'impr6cision des r6sultats (Fig. 4) ne permet pas de confirmer ce r6sultat. U n e m6thode plus simple [6] pour faire varier 1/po serait d'6tudier la diffusion de nsSb dans un alliage Cu-Sb de concentration suffisamment 61ev6e pour que 190 varie dans des proportions permettant
956
P. GU1LMIN, L. TURBAN et M. GERL
une extrapolation h rorigine de la droite obtenue. U n e concentration de Sb de l'ordre de 2 pour cent suffirait p o u r doubler p0. Si l'on interpr&te la rrsistivit6 ~ c o m m e la s o m m e des rrsistivitrs ps en position stable et p~ en position de col, on obtient, a v e c p, = 5,45/xll. cm/at.% [26]:
C~-~
/~~j !~
50
p~ = 2,3 • 0 , 8 / z ~ . cm/at.%.
///~'~
Darts cette interprrtation, la rrsistivit6 en position de col de Sb serait infrrieure h sa rrsistivit6 en position stable, rrsultat drjh o b t e n u dans les s y s t r m e s Ag-Sb, Ag-Fe. L e s modbles utilisrs p o u r drcrire la force de frottem e n t des 61ectrons sont donc p r o b a b l e m e n t imparfaits. (b) Impuretds de transition D a n s le cas de SaFe, les m e s u r e s d'effet isotopique de Mullen[27] et les m e s u r e s de coefficient b d'augmentation du coefficient d'autoditfusion de Cu p a r dissolution de F e p e r m e t t e n t d'obtenir [ 10]: W3 = 0,04; W0
W1
~
= 6,67
d'o/~
25
~'~- ~p~: )5"4+'
/ / ~ /
"~,-fo po: 10.2•
Fig. 5. Variation avec la temprrature de la valence efficace apparente Z** et de la valence Z* corrigre de l'effet du vent de lacunes pour SgFedarts Cu. Les valeurs de ~ -foP0 sont donnres en/x.O, cm/at.%. - a v e c correction: p-~= 15,1 • 1 p.flcm/at.%. L a valeur de ps, r6sistivit6 en position stable 6tant 9,30/zD.cm/at.% on obtient ainsi, p o u r la position de col de 59Fe dans Cu:
ct = - 1,58.
L a correction de vent de lacunes n ' e s t doric pas nrgligeable dans ce syst~me, ce qui p e r m e t d ' o b t e n i r (Fig. 5) -
/
sans correction de vent de lacunes: p~ = 9,8 • 1/xfl. cm/at.%
pc = 5,8 p D c m / a t . % qui est encore infrrieure ~t la rrsistivit6 p,. D a n s le cas de 5sCo, l ' a b s e n c e de mesure d'effet isotopique interdit route correction r6aliste de vent de lacunes. L e T a b l e a u 2
Tableau 2. Rrsistivit~ d'impuret~s par diffusion sous champ 61ectrique dans Cu P--~,= (P, + Pc) (P~flcm/at.%) (1) sans correction de vent de lacunes; (2) avec correction. Les valeurs et incertitudes donn~es dans ce Tableau tiennent compte de la dispersion des diffdrents r~sultats obtenus Solut6
T(K)
125Sb 59Fe ~sCo
1200 1294 1288
Z**
1
- 48 -+5 7,8 ---0,8 --55+__7 9,8_+I --34--+5 6,0__0~9
Pc
2
ps
I
15,1 ----_I
5,45 9,30 6,4
2,3 ---0,8 0,5 0-4- 1
2
5,8
ELECTROTRANSPORT
D'IMPURETES
rgsume les r6sultats obtenus pour les diff6rents traceurs 6tudi6s dans Cu. (2) Alliages fi base de nickel Dans la matrice Ni, l'61ectransport de n5Sb et 59Fe a 6t6 6tudi6 h quelques temp6ratures seulement, car les coefficients de diffusion faibles dans cette matrice augmentent consid6rablement la dur6e des exp6riences. Bien que les r6sultats soient peu nombreux, il apparait dans le Tableau 3 que la valence efficace apparente Z** est positive pour Sb et Fe. Les impuret6s Sb et Fe se d6placent donc, relativement/i la matrice Ni, dans le sens du champ 61ectrique, alors que les ions de la matrice se d6placent en sens contraire ( Z * ~ = - l , 5 pour T = 1 6 5 8 K[28]). De m6me, les interstitiels H, D et C clans Ni se d6placent dans le sens du champ [29].
DANS
C u E T Ni
957
Cette d6pendance est relativement bien v6rifi6e dans la matrice Ag mais des d6viations syst6matiques apparaissent: (a) pour des impuretEs de faible valence, la r6sistivit6 ~ ( Z ' ) mesur6e est toujours sup6rieure ~tpsc(Z' ) ; (b) ~tforte valence, pi(Z') devient inf6rieure
~mc(z') Cet effet se reproduit dans Cu-Sb oh pc (Sb) = 2,3/zl).cm/at.% est probablement inf6rieur /t la r6sistivit6 de Te dans Cu. En l'absence de valeur exp6rimentale de p~(Te), on peut estimer celle-ci dans le module de niveau 1i6 virtuel p de Coqblin et al.[30]. Dans ce module:
p~ = 8,6 sin2 (yr( Z s - Z )-) ps cm/at.% de sorte que la r6sistivit6 de Te(Z' = 6) est la m6me que ceUe de S n ( Z ' = 4 ) . Dans cette approximation:
DISCUSSION
(1) Matrice normale
ps(Te) ~ ps(Sn) = 2,9/xf/. cm/at.%,
Darts une matrice normale, on s'attend /~ ce que la r6sistiviti6 ~7 mesur6e par diffusion sous champ 61ectrique soit du m~me ordre de grandeur que la somme (p~+pc) des r6sistivit6s en position stable et en position de col. Si l'on admet qu'un ion de valence Z' est compl6tement 6crant6 en position de col, la r6sistivit~ pc peut &re approxim6e par la r6sistivit6 p, de l'ion de valence Z' + Z en position stable: pc(W) = p,(Z' + Z) La r6sistivit6 ~ ( Z ' ) devrait donc 6tre 6gale, dans l'approximation de Born, h la
valeur sup6rieure pc(Sb) = 2,3 ~Sq. cm/at.%. Pour les solut6s de transition, il est difficile de comparer pc(W) et ps(Z'+ Z) vu l'impr6cision de la correction de vent de lacunes. Cependant, il semble que le m~me effet se produise. Ainsi, dans Cu: pc(Fe) = 5,8;
ps(Co) = 6,4.
somme"
Pour expliquer cet effet, nous avons tent6 le calcul de la force agissant sur une impuret6
mc(z') = p~(z') + p , ( z + z ' )
Tableau 3. Valences e~caces apparentes mesur~es dans la matrice Ni
.I.P.C.S. VoL 34. No. 6--C
T(K)
t(105s)
1630 • 5 1630 • 5
3,810 12,750
J(Alcm z) g(p.) 2567 2274
247 521
Z~s b
Z ~'ve
+ 3,9 -----0,7 + 2,7 -----0,5
958
P. GUILMIN, L. TURBAN et M. GERL
dans le cas d'une diffusion r6sonante l, en partant du modble d'Anderson. En pr6sence d'un niveau li6 virtuel l, la r6sistivit6 d'impuret6 peut se d6composer en: Pl = P~s + P~l
off p~8 est due aux transitions directes k--~ k' et ps~ aux transitions s---> l-->s. L a r6sistivit6 p~t suit une loi de la forme:
- - Z * ~ & + ( a - 1) PJ_!.
pm
P0
Otl ,0M est la valeur maximale de la r6sistivit6, obtenue quand l'6nergie m o y e n n e E~ du niveau 1i6 virtuel est 6gale h l'6nergie de Fermi EF. On peut montrer dans ces conditions que la valence efficace Z ~ due aux transitions s ---> l ---> s suit une loi du type:
(P~u'~[a+b(PM \--~- V'q
- z~ = \po/
La valence efficace est donc augment6e, en valeur absolue, par rapport h la valeur obtenue dans l'approximation de Born. Cet effet ne peut avoir une influence sur la valence efficace d'impuret6s de faible valence que si le niveau 1i6 virtuel est suffisamment large, ce qui peut 6tre le cas pour les solut6s normaux dans Cu et Ag [30]. (b) Pour des impuret6s de forte valence, Psz ~ PM et:
1/
J
(7)
off les coefficients a et b, p'ositifs et de l'ordre de l'unit6, sont d6termin6s d'apr~s la structure de bande de la matrice. L a valence efficace totale est alors la somme des valences Zs~' et Zs*, cette derni6re 6tant donn6e par l'expression obtenue dans l'approximation de Born:
\Po/
Po
L a valence efficace Z* peut alors &re notablement inf6rieure en valeur absolue au rapport p~/po si le coefficient a est inf6rieur ~ 1. (2) M a t r i c e de transition Dans une matrice de transition, le m~me genre d'effet peut se produire pour la conductivite's. Cependant il semble que la direction du transport atomique est gouvern6e par la comp6tition entre bandes s e t d. Dans une m~me matrice, le sens du d6placement de l'impuret6 est fonction de la valeur relative des sections efficaces de r6sistivit6 pour les 61ectrons s e t les trous d. D e plus, l'influence directe du champ est mal connue l'heure actuelle et n'est sans doute pas n6gligeable par rapport ~ la diffusion des porteurs de charge. Les r6sultats obtenus ici sont encore trop peu nombreux pour que l'on puisse en tirer des conclusions tr~s claires en ce qui concerne l'61ectromigration dans les m6taux de transition.
d'ofi Remerciements-Nous remercions vivement les Dr.
-Z*=
+(a-1)P-~+b Po
Po
___-1 kPol kPsl
.
(a) Pour des impuret6s de faible valence, p J p o est suffisamment faible pour qu'on puisse approximer Z* par: - - Z * = p i + b (O~/PM)V2 Po Po
N. V. Doan et Y. Adda, du Commissariat h l'Energie Atomique, pour l'aide qu'il nous ont apport6e dans la conduite de la pr6sente &ude. REFERENCES
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