Espaces de modules de systèmes cohérents, II: nombres de Donaldson

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, S&ie I, p. 301-306, G6om&trie algCbrique/Algebraic Geomefry

1997

Espaces de modules de syst&mes II : nombres de Donaldson MIN

cohhrents,

HE

D6partement de Mathkmatiques, E-mail : hekSmathp7.jussieu.fr

R&urn&

Universitt

Paris-VII,

2, place

Jussieu,

75251

Paris

CEDEX

05,

France.

Dans [4], now avons introduit les espaces de modules S, de systkmes cohkrents o-semi-stables A = (I’, F(I)), oh F est un faisceau algebrique coherent de rang 2 sur le plan projectif P2(C), de classesde Chern (0, n), f! un entier > 1, et I’cH’(F(C)) un sous-espacevectoriel de rang 1. Quand ct n’est pas valeur critique, nous dtfinissons ici sur chaque variete S, les fib& determinants, et l’integrale correspondante. La description du saut des espaces de modules de systemescoherents a-semi-stables au passaged’une valeur critique, est analogue a celle des flips de Thaddeus, avec la difficult6 suppltmentaire due au fait que les espaces de modules ne sont pas forcement lisses. En etudiant le saut de ces integrales au passage d’une valeur critique, nous obtenons des relations entre les nombres de Donaldson sur P2 (C) et certains nombres d’intersection sur le schema de Hilbert Hilb”+P2 (P2) (3 5 n 5 11). Moduli

spaces

of coherent

systems,

II

: Donaldson

numbers

Abstract.

In [4], we have introduced the mod& spaces S a of a-semistable coherent systems A = (r, F(e)), where F is an algebraic coherent sheaf of rank 2 on the projective plane P2(C) with Chern classes (O,n), ! an integer > 1, and rcH’(F(!)) a vector subspace of rank 1. For each non-critical value (Y, we dejine on S, the determinant bundles and the corresponding integral. The behaviour of the moduli spaces of a-semistable coherent systems when Q passes through a critical value is analogous to the Thaddeus’sJips, with the additional d@culty that our moduli spaces are not necessarily smooth. By studying the changes of the above integral when Q passes through a critical value, we obtain relations between the Donaldson numbers on P2 (C) and certain intersection numbers on the Hilbert scheme Hilb”+” (P2) (3 < n 5 11).

Abridged

English

Version

We continue to use the terminologies of [4]. Recall that the Donaldson number Q~~-~(P~) is defined by: q4n-#2)

= .I MT?

Note pr&entiSe

par Jean-Pierre

Cl(R)4n-3,

SERRE.

0764-4442/97/032503010 Academicdes SciencesiElsevier. Paris

301

Min He

where M, is the moduli space of semistable sheaves of rank 2 and of Chern classes (0, n), and where D, is the determinant bundle of Pa. Let e = 2 and P be the Hilbert polynomianl of the sheaves of rank 2 with Chern classes cl = 4 and c2 = n + 4. Let Q be a polynomial which is not critical value. There exists a universal family A, = (I’,, Fa) parameterized by S, = Systp, n (1, P), hence we can define the determinant bundles on S,:

D= = A~~(-2)(01(-1))* -h = ~F~(--z)(~z) @I$-”

= det(p!(F,.Ol(-3)))*, = det(p!(F,XA(-2)))

@ I’z-2.

We introduce the corresponding integral: I, =

J

Cl (A)

11--nCl(D,)4n-3.

S,

Now we suppose 3 5 n 5 11. Let E be a polynomial smaller than the lowest critical value. We have a canonical morphisme S, + M,, hence get the relation I, = 211-n

q4+3

(Ps).

The calculation of 1~~ can be done easily too, where ,8- is a polynomial which is a little smaller than the greatest critical value. Using the technique of the Thaddeus flips, we can compute how I, changes when cr passes through a critical value. By this way, we can evaluate the Donaldson number q4n-3(P2) using the calculations of I, and I@-.

Cette Note est tiree de la deuxibme partie de [3] ; c’est la suite de [4]. Gardons les notations de la section 3 de [4] ; nous nous plagons sur le plan projectif complexe P2. 1. Fib&

ddterminants

Nous designons par K(P2) l’algebre de Grothendieck des classes de faisceaux algebriques coherents, CquipCe de la forme quadratique entibre q : ~LHX(~~) ; nous notons (. , .) la forme polaire associee. La classe d’un faisceau coherent F dans K(P2) est appelee la clusse de Grufhendieck de F et sera notee c(F) ; elle ne depend que de son rang r, de sa premiere classe de Chern cl et de sa caracteristique d’Euler-Poincare x, Pour tout n 2 2, designons par c la classe de Grothendieck d’un faisceau sur Ps de rang 2 et de classes de Chem (0, n). Notons M, l’espace de modules des faisceaux coherents semi-stables de classe c. Designons par p la projection canonique S x P2 + S pour une variete algebrique S. Nous avons alors un morphisme image directe en K-thtorie p! : K(S x P2) --t K(S), qui associe a la classe du faisceau G la classe de ci( - l)iRip, (0) dans K(S). Soit v E K(P2) une classe de Grothendieck de rang 0 et orthogonale a c. A une telle classe est associe un fib& dCterminant DV sur M,, caracterise par la propriete universelle suivante : soit F une famille S-plate de faisceaux semi-stables de classe c param&r6e par une variete algtbrique S, 36’2

Espaces de modules

de systtimes cohCrents,

II : nombres

de Donaldson

et soit f~ : S + M, le morphisme modulaire. Le produit 3.v de l’image inverse de v par 3 est dans K(S x Pz) ; le fibre inversible sur S defini par : X,(v)

= det (pt(3.v))

a un sens (voir section 2 de [5]) ; alors nous devons avoir :

Le groupe des classes v orthogonales a c et de rang 0 est un groupe cyclique qui a pour gerkrateur oh 1 est une droite de Pa. Le fibrt dCterminant de Donaldson est defini par vo = +A(-I)), TD, = DD,,. Le nombre de Donaldson qdn-s(P2) est defini par : Cl (Dn)4n-3. J WI Rappelons que E est un polynome plus petit que la plus petite valeur critique et p la plus grande valeur critique. Si max(3, a([ - 1)) 5 n 5 .!(!J + 3) + 1, les morphismes canoniques w : S, + M, et Sp- + Hilb”@ (Ps) sont surjectifs, ce qui permet de relier les variCtk% M, et Hilb”“‘(P2). Nous prenons e = 2 dans toute la suite (le cas e = 1 est fait dans [6]), nous avons alors 3 5 n 5 11. Dans ce cas, les seules valeurs critiques qui interviennent sont d’indice 0 ou 1. Soit a une valeur non-critique. Soit A, = (I?,, 3a) une famille universelle param&ree par S,. Alors nous pouvons definir, comme dans le cas de M,, les fib& determinants associes dans Pic(S,) : =

P4+3(P2)

Da = ba(-2)(Q(-1))*

(1.1)

(14

A, = X7,(-2)(01)

C?JI’,“-”

= det(p!(3a.Q(-3)))*, = det(p!(3a.01(-2)))

@ I’zp2,

qui ne dependent pas du choix de la famille universelle et sont caracterids par une propriete universelle analogue a celle qui a Cte enoncee pour M,. Nous introduisons l’inttgrale des fib& determinants sur S, : I@ =

s se

C1(dor)11--nC1(Da)4n-3.

2. Flips de Thaddeus Les fib& D, et A, n’ont pas de sens quand Q est valeur critique. Pour Cvaluer le saut de Ia au passage dune valeur critique y, nous avons besoin de construire un < 3 (et e = 2). Soit y une valeur critique. Nous avons les diagrammes cart.hiens

303

Min He

02 7r- et T+ sont les morphismes canoniques (et leurs restriction sur C- et C.+) don&s par les familles universelles sur S- et S,, les morphismes p- et p+ sont les kclatements de S- et S+ (OU leurs restrictions CzE) le long des sous-schkmas fen&s C- et C+ respectivement, et E le diviseur exceptionnel commun. 3. Calculs

des intCgrales

D’abord now allons introduire quelques notations. Designons toujours par p la premiere projection S x Pa + S avec S une variCt6 algebrique quelconque. Soient E et 1, respectivement, le sous-schema et l’ideal universels parametres par Hilb”+4(Pz), et Ve la classe de 3 - p,(C&(O, 1)) dans K(Hilb”+4 (P2)). Designons par b la premiere classe de Chem de l’image reciproque du generateur positif de Pic(Sym”+4(P2)) par le morphisme canonique Hilb”+4(Pz) + Sym”+4(P2), ou Sym”(Pz) est la k-ieme puissance symetrique de (Pz). Comme dans [4], notons B1aC’ le schema form’ e p ar tous les couples (2, C) avec 2 un sous-schema de longueur c’ de Pz et C une droite, avec 2 c C. Done B1lC’ parametre tous les systemes coherents de la forme A’ = (C,I’(l)). Le schema B1iC’ se plonge dans Pa x Hilb”‘(P2). Designons par a’ E H2(B1+’ , Z) la classe qui provient du gCnCrateur positif de H”(Pa, Z). Notons L” l’image reciproque du generateur positif du groupe de Picard Pic(Sym”” (Pz)) N Z par le morphisme canonique Hilbc”(P2) -+ SymC” (P2). Notons 6” = c1(L”). De meme, il y a un fib& inversible C’ sur Hilbc”(P2) ; designons aussi par C’ son image reciproque sur B1lc’ par le morphisme canonique B1sC’ + Hilbc’(P2). Notons 6’ = cl(L’). Definissons les classes suivantes dans l’algebre de Grothendieck K’(C) des classes de fib& vectoriels sur C : &xt,, (A’, A”) = C(-l)“Es~;(A’, i &&!(A”,

A”),

A’) = x(-l)‘Ed(A’l;

A’),

ou A’ et A” sont les images reciproques sur C x P2 des familles universelles sur B1,C’ x Ps et Hilbc”(P2)

x P2.

Notons b = 6’ + 6” dans H’(C, Z). Soit Q(x) le polynome a coefficients dans H(C, Z), Q(x) = (2~7:- b + 2a’)11-n(z

- b)4”-3 =

c

wpxq,

p+q=3n+a

oh wr est un polynome homogene de degre p en b et b - 2a’. Nous avons le resultat suivant : THGOR~ME3.1.

& = 211-“/&&(Pz).

(9 (ii)

IO- = (-l)ll-”

C 311-n-i24n-3-j( O
oti s est la classe de Segrk.

304

lly)(

4n;3) ~ilb.l+4cp21 s2n+8-i-j(144bi+~,

Espaces

de modules

de systemes

cohkrents,

II : nombres

de

Donaldson

(iii) Soit y une valeur critique d’indice 0. Alors IT- = IT,,. (iv) Soit y une valeur critique d’indice 1. Alors 17+ - IT- = (-1)” oii la classe X E K(C)

c p+q=n+3=c”

sc

%CPPL

est dkjinie par : x = EXct,!(A’, A”) + Ext,! (A”, A’)*,

et A’ et A” sont les families universelles parame’trkes par C.

Le resultat est comparable au resultat obtenu par Ellingsrud et Giittsche (voir [l] et [2]) dans le calcul des sauts par changement de polarisation sur une surface rationnelle. L’assertion (i) resulte du fait que ~~~(37~) = D2), et w,(~~(A,)r’-~) = 211-n par la propriete universelle des fib&s determinants. Pour l’assertion (ii), nous indiquons que le faisceau V = IE’pr,(Z(l)) donne dans [4] est de meme classe que V0 dans K(Hilb”+4 (P2)), Rappelons que Sp- = P(V). Soit u la classe fondamentale de &(,)(l), nous avons : CI(VD,-) = 2u+ 0

et

cl(Ao-)

= -3u - 3.

La demonstration des assertions (iii) et (iv) repose sur le lemme 2.1. Notons D-, D+, A- et A+, respectivement, les fib& determinants D,_ , ID,, , A,- et SLY,. Le lemme suivant compare les images reciproques de ces fib&s inversibles sur 3. LEMME 3.2. - Notons e la classe fondamentale de E. Alors, duns H2(g, Z) : (i) si y est une valeur critique d’indice 0, nous avons cl (ZT-) = cl(;D+) et cl(A-) = cl(A+) + e; (ii) si y est une valeur critique d’indice 1, nous avons cl(R) = cl(D)+) - e et cl(A-) = cl(A+)

+ 2e.

Remarquons que dans notre cas, ! = 2 les sous-schtmas C+ et C+ sont les fib&s en espaces projectifs P(Eztb(A’, A”)*) et P(&xtb(A”; A’)*) sur C respectivement; notons u+ et u- les classes tautologiques respectives. Sur le diviseur exceptionnel E, la classe de Chern de la restriction de ces fib& inversibles se calcule en termes des classes a’ et 6, et des classes tautologiques u+ et U- : LEMME 3.3. - Duns H2(E,Z), (i) si y est une valeur critique d’indice 0, nous avons : e]E = -(u+ cl(V-)

= 6,

clP+)

= 6,

cl(L)

+ u-),

= -b + 2a’ - u-,

cl(A+)

= -b + 2a’ + u+ ;

(ii) si y est une valeur critique d’indice 1, nous avons : elE = -(u+

cl(E)

+ u-),

= b+u-,

cl(A-) = -b+2a’-2ue, q(A+) = -b+2a’+2u+. cl(v+) = b-u+, Le calcul de la classe X se ramene au calcul de nombres d’intersection sur le produit Pa x Hilb”‘(P2) x Hilbc”(P2). Dam K(Hilb”“(Pa)), notons TJ, = ~!(0~~(rn)) et z, = p!(Z”(m)) = (m+1)Jm+2) -v,, &J z” et 2” sont, respectivement, l’ideal et le sous-schema universels de Hilb”” (P2) x Pa. Nous obtenons X = zo(a’) + (.G--1 + z,l+2)( 6’ - a’) - (zcl + z,j+3)(6’).

305

Min He

Remarquons que cette classe provient de K(P; x Hilbc’(P2) x Hilbc”(Pz)). Le sous-schema B1)C’ est dCfini dans le produit Pg x Hilb”‘(Pz) par la section canonique du fibrC W(a’) de rang c’, oti W = p! (Op (c’)) est le fibrd de rang c’ sur Hilb”‘(P2) ; nous obtenons done q+ - IT- =

c p+q=n+3+c,,

qJp(Nc&ya’)).

.I P;

x Hilb”’

(Pz) x Hilb”’

(Pz)

La formule du thCorkme 3.1 devrait pouvoir se calculer par ordinateur en suivant la mkthode de Ellingsrud et StrQmme et le thtorkme des rksidus de Bott. Note

remise

le 7 dkcembre

1996,

acceptke

aprks

r&ision

le 17 mars

1997.

RCfGrences bibliographiques Ellingsrud

[l]

G. et

Giittsche L., 1994. Variation

of moduli

spaces

and Donaldson

invariants

under

change

of polarization,

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306

and the Verlinde

formula,

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