Existence d'une mesure de Sinai—Ruelle—Bowen pour des systèmes non uniformément hyperboliques

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Serie I, p. 1217-1220, Syst&mes dynamiqueslDynamica/ Systems

1998

Existence d’une mesure de Sinai-Ruelle-Bowen pour des syst&mes non uniform&ment hyperboliques Renaud

LEPLAIDEUR

Laboratoire Courriel (Rqu

de topologie et dynamicrue, : leplaideQtopo.math.u-psud.fr

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Paris-Sud,

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1998)

Si A4 estune variete riemanniennecompacteet f un Cl+“-diffeomorphismede M sur elle-m&me,on prouvequesi unensemblede Pesin(voir [S]) verifie certainesproprietes, et si le systeme(&f, f) est conservatifpour le volumeriemannien,Leb, alorsil existe une mesureSRB f-invariante et n-finie. 0 AcademicdesSciences/Elsevier, Paris

R&urn&

Existence of a Sinai-Ruelle-Rowen-measure for non-uniformly hyperbolic systems

Abstract.

Let M beILsmoothRiemannianmanifold, and f be a Cl+“-diffeomorphism of M onto itselJ Let A be a Pesin’s set (see 151). We prove that under some assumptions on A, and if the system (M, f) is conservative for the Lehesgue measure, then there exists a SRB-mea,sure, f-invariant and o-finite. 0 AcademicdesSciencesiElsevier, Paris

1. PrCsentation

du rhdtat

On dksignera par M une vat-i&k riemannienne, C”, compacte, de dimension finie et sans bord. L’application f designeraun C ‘+‘I-diffkomorphisme de M sur elle-meme. On dkfinit un ensemblede points de M, ayant une propritte d’hyperbolicitk, de la manike suivante : DEFINITION 1.1. - Soient X E W: et 0 < E < X/100. On appelle ensemble de Pesin l’ensemble AX de points z de A4 qui vkifient :

(i) il existe une dkcomposition f-invariante de T,M

= E”(z)

$ E”(z) ;

(ii) pour tout n E N, pour tout w E E”(:x:), ]D.f;‘~l 5 C(X) G-“(~-~)(II/, et pour tout TJE E”(z),

/Df,-“vj

5 C(x) t:-‘.‘(X-E)I~~J ;

(iii) Angle(E”(s),

E”(X))

2 &

;

1 (iv) II: H C(z) est a variations lentes, i.e., e:-E 5 * J ~ Les points de AX seront appeles points rhguliers. Note

prksentbe

par Jean-Michet

076@442/98/03261217

0 Acadhie

5 e”

BISMW. des Sciences/Elsevier, Paris

1217

R. Leplaideur

L’ensemble des points reguliers &ant fix& on construit une application borelienne 1 : AX ---+ [I, +oo] a variations lentes, like a la fonction C, puis un atlas de Lyapunov (voir 131 ou [7]) {Q>,l: : B(OJ(Z)-~) c Rd -+ IV}. On definit ensuite les varietes instables locales, W/‘(z), pour tout :I: regulier, en posant :

On definit de m&me W’;-(X) en changeant 11et --TX. Si lo est fix& on note A(0) (gr{:l: E Ax ; /,(:I:) < lo), et pour tout n > 0, A(n) ‘gf{5 E Ax ; I,Ic(n-l)E < I(X) < Zae(“)‘). Hypothese : On dira que l’ensemble Ax verifie une hypothese de non-intersection brutale s’il existe une constante universelle Kn < 1, telle que pour Lebesgue-presque tout :E darts A(n), il existe un entier m(x) tel que pour tout entier p > rr),(:c) et pour tout ~1E A(p),

DI?FINITION 1.2. - On dira qu’une mesure borelienne, a-finie, f-invariante, /I, est une mesure a-SRB si ses mesures desintegrees instables, {,$}, sont absolument continues par rapport aux :I: mesures {IAhl”l~,,(,~)).

Le but est de presenter le resultat suivant : THI%)R~~ME 1.3. - On supposeque les trois hypothesessuivantes sont verifiers :

(HI) I,ebnl(Ax) > (1: (Hz) le systeme (M, f) est conservaffpour lu mesurede Lebesgue; (Hs) pour tout X su@isumment petit, A, verijie une h.ypothPsede non-intersection brutule. Alor.s, il existe une mesurehore’lienne, IL, oTfinie, f-invariante et CT-SRB.

2. Principaux

lemmes

techniques

Une des Ctapes importantes de la preuve du thboreme est d’obtenir l’existence d’un rectangle de points reguliers qui verifie une propriete de Markov. Pour cela nous reprenons les idees de Bowen dans 121, et etablissons un lemme de poursuite. LEMME 2.1. - Posons p’ = min

(

1, (Y, max(log~~df 2x‘//.logI~dfll)

>’

Pour tout [j < /Y, les applications

CCH E’” (XI) et z H W(:r) .sont jj-ho/de’riennes sur chaque A(n,). La constunte de Holder est alors &ale a une constante CTmultiplic;e par l(:r).

Pour un tel /j, il nous apparait deux constantes C et p. qui permettent de definir pour tout :I dans A, cl (x) ‘gf inf’ (6”~) 5 &. &) . Cette valeur pet-met alors de donner les definitions des ( pseudo-orbites et orbites pistantes. DEFINITION 2.2. - Soit y t: IO, l[. On appelle y-pseudo-orhite de M toute suite de points (:I:~),~~ telle que pour tout i : (1) .I:; est un point de A, (2) F” z(:c;+l) 5 Z(“f(.Ti)) < (?Ez(:C,+l), (3) d(,f(:I~~).:?T;+~)

< 7

E1(X;+1)

On dira que l’orbite (f’(~:)),~z f’(:c) E @p:,)(B(O, fIsZ(:1;$“)). 1218

et d(Xi,

fmm’(X;+l))

5 7 . C1(XI).

d-piste la pseudo-orbite (zi)iEz

si et settlement si pour tout %

Existence d’une mesure de Sinai-Ruelle-Bowen

pour des systkmes non uniformbment

hyperboliques

Le lemme 2.1 now garantit que si ( x,)iEz est une y-pseudo-orbite, alors pour tout %les angles du type Angle(E”(f(xi)), E”(a:;+l)) sont petits, ce qui nous permet d’utiliser la thkorie de transformation de graphe. On prouve alors le rksultat suivant : LEMME 2.3 (Lemme de poursuite). - Pour rout h > 0 il existe y > 0, tel que route -~-pseudo-o-bite soit h-pi&e par une orbitr d’un point de A”~ff4~-,~e.

On recouvre ensuite un ensemble A > Ax de points par un nombre dknombrable de G rectangles >), {Ti}, qui sont ensuite d&oup& en sous-rectangles du type Tt,,, comme dans 121. L’hypohbse de non-intersection brutale introduite, ainsi que l’hypoth6se de conservativiti du sysdme permettent alors de montrer le rksultat suivant. LEMME 2.4. - IL existe un ensembleR c A’, de mesure de Lebesguepositive tel que : - pour taut (:c:,y) E R2, LV,C;:‘(x)n W;(g)

= (z} et t E II?;

- pour tout :I: E R, il e.xistti,J II E N* et ~TII.E N* tel que ,f” (:I:) E R et j”-“‘(x) - pour tout :I: E R, si f” (:I:) E R, aver ‘71.2 0, ulors

f’(Wp(~)

E 1~;

n R) I 14~,‘L(,fr~(~~)) n R et J”“(W;(X) n I?) c iV;‘(f’“(~)) n R.

3. fitapes de la dCmonstration

du thCorPme

La d6monstration du thkorkme repose essentiellement sur l’idke qu’une mesure SRB est caract&isCe localement. Nous prksentons ici les &apes principales de la preuve. Une dCmonstration plus complkte pourra &tre trouvke dans [4] 3.1. G-Cation

d’un

sous-systkme

associt?

On crCe une suite de trois systkmes :

Le passage du systkme global (M. f) au systtime (R! 9) se fait par induction : pour tout point 2 de R’, on dCfinit ~(2) = min{rr, ei N*, I” E R}, premier temps de retour dans R. Ensuite on pose y(:c) dz’f”(z)(z:). De plus, toute mesure f-invariante, nb, telle que m(R) > 0, se restreint en une mesure y-invariante. RCciproquement, on a : LEMME 3.1. - Si p est mesure de prohahilitP g-invariunte et ergodique, alors il existe une mesure m, a,jinie, f -invariunte et ergodique telle que rn restreinte 6 R wit &gale ti la mesure LL. Si de plus J 7’dp, < +;x;i, alors la mesure 711,crstjinie.

Dans le rectangle 12, on choisit un point x0 quelconque, puis on pose F = W;l(xO) n R. La structure rectangle de R prouve qu’on peut dkfinir une projection continue sur F, TJ:. On d&nit alors I’application !/F = T-I;’ o 9. On ktablit aussi le lien entre le systkme induit (F, .c~r) et le syst8me (n, 9). LEMME 3.2. - Si 11est une mesure de probobilitP .sur E’, gF-invariante et ergodique, alors ii exista une unique mesure

,u sur R, y-invariante, de probabilite’ et ergodique telle que (R. ,y. [L) -z

(F, CJF.v).

Le systkme (17: ye) est un systkme qui s’apparente A un rev&tement topologique expansif, a un nombre infini-dbnombrable de feuillets. Si (IJi)i,181 dksigne l’ensemble de ses feuillets, alors l’application I/F.? : 1;: -i F, kgale B gI;‘~E7,,est un homkomorphisme hiildkrien pour tout %. 1219

R. Leplaideur

DI~FINITION3.3. - Pour tout x de F, on appellera Ant(z)

1’ application

I’ensemble

des antecedents de z par

gF.

On remarque que pour tout i et pour tout x, 8’, contient exactement un Clement de Ant(z). 3.2. ktude

du systbme (F, gF)

L’idCe est d’utiliser la theorie des operateurs de Perron-Frobenius comme dans [ 1] et [6]. Pour cela il faut d’abord etudier l’invariance de la mesure de Lebesgue sur F. La propriete d’absolue continuite des deux feuilletages, stable et instable, entraine deux resultats importants. LEMME 3.4. - Pour tout horklien B de F, le terme Leb’”nVyCT,II(B) est nul si et seulement si le terme Leb~(~;l (B)) est nul.

Ce lemme prouve que F est de mesure de Lebesgue (sur W;“(Q)) strictement positive, ce qui permet de definir la restriction renormalisee de la mesure de Lebesgue sur F, hh~‘. LEMME 3.5. - La meSure LebF est conforme pour la transformation QF : il existe une application bore’lienne sur F, J, telle que pour tout bore’lien B sur lequel g est injective, LebF(gF(B)) =

JB e- “‘8 J d LebE. Le lemme 2.1 prouve que l’application J est Holder sur chaque F,. En posant ,C(cp)(z) = -‘OgJ(Yp(y), on definit un operateur sur les fonctions L1. De plus, la famille {I?} c yEAnt ” est bornee dans L”, et comme la boule unite B, est compacte pour la topologie faible de (L”, L1), on en deduit l’existence d’une fonction, qo, invariante par C dans L”. La mesure definie par d,~ = cpod LebF est alors gp-invariante, et equivalente a Leb F. En q>comme dans le lemme 3.1, on acheve la preuve du theoreme.

R6f6rences bibliographiques [I] Bowen R., Some Systems with Unique Equilibrium States, Math. Syst. Theory 8 (3) (1974) 193-202. [2] Bowen R., Equilibrium States and the Ergodic theory of Anosov Diffeomorphisms, Lect. Notes in Math. 470, Springer-Verlag, 1975. [3] Ledrappier F., Young L.-S., The metric entropy of diffeomorphisms Part I: Characterization of measures satisfying Pesin’s entropy formula, Ann. Math. 122 (1985) 509-539. [4] Leplaideur R., Structure locale produit de mesures hyperboliques, PhD thesis, Universite Paris-Sud, 1997. [5] Pesin Ya.B., Characteristic Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory, Russian Math. Surveys 32 (4) (1977) S5-1 14. [6] Ruelle D., Thermodynamic formalism for maps satisfying positive expansiveness and specification, Nonlinearity 5 (1992) 1223-l 236. [7] Young L.-S., Ergodic Theory of Differentiable Dynamical Systems, In: Proceedings of the NATO ASI, 1995.

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