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Forme canonique des transformations de Bogoliubov pour les bosons et des transformations (pseudo) orthogonales
I
1.C
I
Nuclear Physics 67 (1965) 609--624; ~ ) North-Holland Publishing Co., A m s t e r d a m
i
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F O R M E C A N O N I Q U E DES T R A N S F O R M A T I O N S DE B O G O L I U B O V P O U R LES B O S O N S E T DES T R A N S F O R M A T I O N S (PSEUDO) O R T H O G O N A L E S R. BALIAN, C. DE DOMINICIS et C. ITZYKSON Service de Physique Thdorique, C.E.N. Saclay, S et O, France Requ le 16 novembre 1964 Abstract: The real pseudo-orthogonal group of transformations in the space E, the direct sum of subspaces Et(t 1 . . . t,~) and E~(x 1 . . . xn) , is considered. These transformations are cast into the canonical form ~,Seq/', where q/, qz" are orthogonal transformations which do not mix coordinates t~ with x3, and ~ is a special Lorentz transformation which operates separately in each (t~x~) plane. Some properties of the usual Lorentz group are thereby generalized. A similar decomposition is also obtained for the orthogonal group. Bogoliubov linear canonical transformations for the boson creation and annihilation operators a~ a~t are also cast into the same form; ~', ~ ' are now unitary transformations in the single-particle boson space, which do not mix creation and annihilation operators; Sa only mixes the operators a~ and a~? referring to the same state i, in contradistinction with the fermion case. This canonical form is used to discuss two approximations commonly introduced in nuclear physics to solve the so-called R P A equations.
1. Introduction et R6sum6
Etant donn6 un groupe de transformations ~// dans un espace E --- E t ~) Ex, il arrive que le sous-groupe des transformations q/ qui laissent invariants les deux sous-espaces compl6mentaires E, et E x ait des propri6t6s plus simples que le groupe complet. On va montrer, darts plusieurs cas particuliers, que route transformation du groupe complet peut se mettre sous une forme canonique =
~ ' ,
(1.1)
o/t ~ et q/' font partie de ce sous-groupe; la transformation Se sera une ,,transformation sp6ciale", c'est ~t dire une transformation op6rant s6par6ment dans les 2-plans ( t l x l ) , ( t 2 X z ) . . . d6finis respectivement par un axe de coordonn6es h , t z . . . du sous-espace E t et un axe de coordonndes x l , x2 • . . du sous espace Ex. Un exemple de d6composition de ce type (1.1) a d6j~ 6t6 donn6 pour le groupe des transformations canoniques lin6aires pour des fermions 1, 2). Les espaces Et et Ex sont alors respectivement les espaces des op6rateurs d'absorptiort et de cr6ation, de sorte que les transformations ~ et ~ ' sont des changements de base unitaires. La transformation Sa est une transformation canonique de paires, qui m61ange simplement l'op6rateur d'absorption a~ de chaque 6tat i ~t l'op6rateur de cr6ation a[, d'un 6tat i' associ6 ~t i. On 6tablit ici, pour trois autres groupes, l'existence d'une d6composition (1.1) 609
610
R. BAX.J.ANet al.
par une m6thode analogue ~ eelle employ6e par Bloch et Messiah 1): 6tant donn6 la matriee .At', on forme ~ partir d'elle par multiplication, une matrice vY" hermitique ou sym&rique suivant le cas. On construit pour ,Yf une forme canonique, qui est plus simple clue (1.1) puisqu'elle ne f a r intervenir clue les matrices og et ~ de la d6composition (1.1) de Jr'. La forme canonique de ,af s'en d6duit imm6diatement. Remarquons cependant que, malgr6 la g6n6ralit6 de la d6monstration employ6e, il n'existe pas n6cessairement de d6composition du type (1.1) pour toute transformation dans un espace E = Et ~ g~. Par exemple, pour le groupe lin~aire complet dans l'espace E t @ Ex ~t 2 + 2 dimensions, la matrice
.~
=
O] 1 0
o]1 1
(1.2)
1 0
ne peut &re raise sous la forme (I.1), comme on peut le v6rifier directement. Au § 2, on &ablit une d6composition canonique (1.1) pour le groupe pseudoorthogonal, le hombre de variables de ,,temps" t 1 t2 • • • et d',,espace" xl xz • • • &ant quelconque. Les transformations ~ et ~/' de (1.1) sent des transformations orthogonales dans les sous-espaces Et et E x, et S~' des transformations de Lorentz sp6ciales, de sorte qu'ici la d6composition (1.1) g6n6ralise h u n hombre quelconque de dimensions la d6composition classique d'une transformation de Lorentz (transformation pseudo-orthogonale/t 1 + 3 dimensions). A titre d'application, on montre que la structure en 4 nappes du groupe de Lorentz, caract6ris6es par les parR& des transformations orthogonales d'espace et de temps, se g6n6ralise /t tout groupe pseudo-orthogonal. Au § 3 une d6composition canonique (1. I) est 6tablie pour le groupe orthogonal /t un nombre quelconque de dimemions, g6n6ralisant ainsi la d6composition d'Euler des rotations/~ 3 dimensions. Au § 4, on 6tablit une d6composition (1.1) pour le groupe des transformations de Bogoliubov, transformations lin6aires canoniques entre op6rateurs d'absorption et de creation de bosons. Comme dans le cas des fermions 1, 2), les transformations ~' et ~ ' sont des changements de base unitaires; mais la transformation sp6ciale oa° est ici plus simple, puisqu'eUe ne m61ange que les op~rateurs d'absorption a~ et de cr6ation a~ du m~me 6tat i. On utilise au § 4.2 eette d6composition canonique pour analyser les 6quations de la RPA a), qui apparaissent dans la recherche des modes propres d'un syst~me. II en r6sulte une interpr&ation formeUe simple de deux m&hodes d'approximation utilis6es en physique nucl6aire pour r6soudre ces 6quations. On montre au § 4.3 l'isomorphisme entre le groupe des transformations de Bogoliubov pour les bosons et le groupe symplectique r6el, ce qui permet d'6tablir une d6composition canonique des transformations symplectiques; l'identit6 des transformations sp6ciales S f introduites aux § 2 et 4 fait ainsi apparaitre une aaalogie entre le groupe pseudo-orthogonal et le groupe symplectique r6el.
611
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
2. Transformations Pseudo-Orthogonales On considrre l'espace E = Et ~ E~ de coordonnres x 1 . . . x j . . . x , , muni de la mrtrique pseudo-euclidienne
i=i
rrelles
q...
f t . . . t=,
j=l
et le groupe pseudo-orthogonal ~t m + n dimensions, c'est ~t dire le groupe des transformations linraires rrelles de cet espace qui laissent la forme quadratique (2.1) invariante; on peut supposer sans restriction de grnrralit6 n ~ m > 1. Drsignant par z le tenseur mrtrique
"~ ~
_i n
(les 4 blocs de cette matrice sont respectivement m x m, m x n, n x m e t n × n), les transformations pseudo-orthogonales sont reprrsentres par des matrices rrelles J r ' de dimension m + n caractrrisres par
M,d/=
(2.3)
o~ drsigne la matrice transposre de .A/. Le groupe pseudo-ortllogonal admet un sous-groupe de matrices q/orthogonales. La condition d'orthogonalitr, compte tenu de la condition de groupe (2.3), 6quivaut h la commutation avec x. I1 en rrsulte que ces matrices q / s o n t les matrices de la forme q/
__-
,
0 Ux
(2.4) '
o~ Ut et Ux reprrsentent respectivement des transformations orthogonales dans les
sous-espaces E, et Ex. Le groupe pseudo-orthogonal admet d'autre part un sous-groupe (abrlien) de matrices de la forme 'ch cpt
sh qh
0
ch ~o,. sh ~o1
sh q~., ch ~ot
, . ) --_
, sh q~m
ch ¢Pm
1 0
0 1
(2.5)
R. nALIAN e t al.
612'
ayant la propri6t6 de groupe S#(Cpl... cpm)" Sa(cp~... cp') = S#(cpl+tp~... (am+ cp~,).
(2.6)
Ces matrices correspondent/t un ensemble de ,,transformations de Lorentz spdciales" dans les 2-plans (tl x i ) . . . (tmx,~). Lemme 1. Toute matrice ~ pseudo-orthogonale, symdtrique et positive ddfinie peut s'dcrire o,~ = ~/oqa'~ ',
(2.7)
oft ql et S#' sont de la forme (2.4) et (2.5). La d6monstration, analogue /L celle de la r6f. 1, est donn6e dans l'appendice I. I1 r6sulte de (2.6) que S~' peut se mettre sous la forme oqaffa, les param&res t p x . . , cpm de S# 6tant 6gaux/t eeux de S#' multipli6s par un facteur ½. Toute matrice ~ : pseudoorthogonale, sym6trique et positive d6finie peut done encore s'6crire
= j¢/-~7-,
(2.8)
of1 ¢4: est une matrice pseudo-orthogonale de la forme ,f'=
q/Se.
(2.9)
Thdor~me 1. Toute transformation ,I/pseudo-orthogonale peut s'dcrire .~' = ¢ / S : ~ ' ,
(2.10)
oft q/, ~ ' et S/' sont respectivement de la forme (2.4), (2.4) et (2.5). Formons en effet la matrice
.~:'-- r i d ? .
(2.11)
La d6composition (2.8) (2.9) de a'ff"donne
soit
de sorte que q/', matrice ~ la lois orthogonale et pseudo-orthogonale, est bien de la forme (2.4). Ce th6or6me est l'extension, au groupe pseudo-orthogonal/t m + n dimensions, de la d6composition bien connue du groupe de Lorentz (m = 1, n = 3) err le produit d'une transformation de Lorentz sp6eiale Sa dans tree direction d'espace doun6e (direction ramen6e le long de l'axe des x 1 grace /l la rotation ~ ' ) par une transformation orthogonale q/, qui se r6duit alors /1 une rotation d'espace avec renversements 6ventuels d'espace et de temps.
613
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
Le groupe pseudo-orthogonal poss~de un certain hombre d'autres propri&6s analogues b. celles du groupe de Lorentz, et qu'on d6montre ais6ment ~t l'aide de la d6composition (2.10). En particulier, puisqu'une transformation .At' peut toujours 8tre consid6r6e eomme le produit de transformations de Lorentz sp6ciales par des transformations orthogonales ~ , le groupe pseudo-orthogonal ~ m+n dimensions a une structure en 4 nappes coanexes, qui refl~te simplement celle du sous-groupe (comprenant des retournemems darts les deux sous-espaces Et et E~). Plus pr6cis6ment, si l'on pose
dr'=-- ( M ' M~t
Mtx] M~ ] '
(2.12)
1°) on a Idet Mr[ = [det M~I = ]-I ch ~p~ > 1,
(2.13)
i
det Mt et - - - det Ut" det Ut, Idet Mtl det M~ s~ =
(2.14) - det Ux" det U~,,
Idet M~I det ~
= e, sx;
(2.15)
2 °) le 9roupe pseudo-orthogonal posskde 4 nappes connexes, caractdrisdes par les valeurs de et et ex ; 3 °) la valeur de st (ou sx) est une reprdsentation d une dimension du 9roupe pseudoorthooonal; la nappe st = s~ = + 1, constitue un sous-groupe, le groupe pseudoorthogonal propre. La d6monstration de ces propositions est donn6e dans l'appendice 2. Remarque. La d6monstration de l'appendice 1 montre que les param&res tpx . . . q~,, qui caract6risent la transformation Sa des 6qs. (2.7) ou (2.10) sont d6termin6s de mani~re unique, au signe pros et h une permutation pr~s. Darts le cas g6n6ral o/J ces param&res sont distincts et non nuls, la matrice ~' des 6qs. (2.7) ou (2.10) est d6termin6e de mani~re unique si n = m ou n -- m + 1, h des permutations d'indices et des renversements d'axes pr6s; sin > m + 2, un arbitraire suppl6mentaire s'introduit, correspondant au produit ~t droite de ~' par des transformations orthogonales de l'espace des xj(m < j < n). La d6compositiort (2.10) constitue donc uue param6trisatiort essentiellement unique du groupe pseudo-orthogortal lorsque n = m ou n= rn+l. D'ailleurs le groupe pseudo-orthogonal d6pend de ½(m + n)(m + n - 1 ) param~tres, le sous-groupe des ~ de ½m(m-1)+½n(n-1) param&res, le sous-groupe des .9° de m param~tres, et le groupe orthogonal de l'espace des x~(m < j < n) de ½(n-m) ( n - m - 1 ) param~tres, et l'on v~rifie sur (2.10) le d6eompte des param&res:
½(m+n)(m+n- 1) = 2[½m(rn- 1 ) + ½ n ( n - 1)] + m - ½ ( n - m ) ( n - m -
1).
614
R. BALIAN e t aL
3. T r a n s f o r m a t i o n s O r t h o g o n a l e s R6elles
On consid~re maintenant les transformations orthogonales r6elles .~' dans l'espace E d6fini au § 2. Le sous-groupe des transformations q / a la m~me d6finition (2.4) qu'au § 2, soit ~q/=
1,
(3.1)
[q/, z] = 0.
(3.2)
C'est le sous-groupe des transformations orthogonales ne m61angeant pas les coordonn6es t i avec les coordonn6es xj. Les matrices 5P sont d6finies ici comme des rotations propres dans les 2-plans (hxi)(i ~_ m), et sont de la forme ~cos got
- sin q~
- sin ~m i
COS tpm
=
sin q~l
cos qh (3.3)
0 sin q~m
cos tpm 1
0
0 1
Par une m6thode tout/t fait analogue/L celle du § 2, et bas6e maintertant sur l'&ude de la matrice a~" - J / x . ~ ,
(3.4)
et sa raise sous forme canonique, on d6montre le th6or6me: Thdordme 2. Toute transformation orthogonale ~ de l'espace E ---- E t (3 Ex peut s'dcrire =
eqe',
(3.5)
oft ad et all' sont des transformations orthogonales (2.4) des sous-espaces Et et Ex, et oft SP est un ensemble (3.3) de rotations dans les 2-plans (hx~)(i < m). Pour le groupe des rotations/t 3 dimensions, le th6or6me 2 se r6duit/t la d6composition bien connue d'une rotation en termes des angles d'Euler. En effet, en choisissant comme espace E t l'axe des z et comme espace E~ le plan (x, y), les transformations q / s o n t les rotations dans le plan (x, y), c'est/t dire autour de l'axe z, et les transformations oq° les rotations dans le plan (z, x), c'est /t dire autour de l'axe y.
615
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOL1UBOV
Pour des rotations ~ dans un espace ~t un nombre quelconque de dimensions, la d~composition (3.5) permet de ramener dr' ~t un produit de rotations ~t un nombre de dimensions inf~rieur. En r~duisant ainsi successivement le nombre de dimensions, on peut finalement se ramener ~t la d6composition d'Ettler de ~¢ e n t m produit de rotations darts des 2-plans.
4. Transformations de Bogolinbov pour les Bosons et Application ~ la RPA
4.1. FORME CANONIQUE On consid~re l'espace ~t 2m dimensions des op&ateurs ai et a~, qui annihilent ou orient un boson dans Fun des m &ats de base i o u f Le groupe de Bogoliubov est le groupe des transformations lin6aires (h coefficients complexes) qui pr6servent les relations de commutation. Ces transformations (at)=
o~¢ (aa't)
(4.1,
sont repr6sent6es par des matrices ~ A 2m dimensions caract&is6es par ..d'tZ3.~=Z3, O/1
. ~ * =~t..4(~1,
0) z3 --
_i m
(4.2)
(0 ,;) im
,
(~gt'* et ~¢t d6sigaent respectivement les matrices complexe conjugu6e et hermitique conjugu6e de .A¢). Le sous-groupe des transformations ~ de Bogoliubov unitaires est caract6ris6 par la commutation de la matrice ql avec z3. Ainsi, ces matrices ~ sont les matrices de la forme
o)
o/1 U est une matrice m x m unitaire. Ce sous-groupe est doric le groupe des change° ments de base dans l"espaee des dtats ~ un boson.
On introduit aussi le sous-groupe des transformations de Bogoliubov spdciales, repr6sent6es par les matrices Se de la forme (2.5) (les 4 blocs de la matrice Sa sont ici carr6s et diagonaux). Ces transformations, qui s'6crivent ai = ch ¢ia~+sh ~la~ t,
(4.5)
616
a.
BALmrq
et al.
s o n t caract&is6es par le fait qu'elles ne mdlangent que les opdrateurs de crdation et d'annihilation du m~me dtat i *. O n r e m a r q u e r a que, p o u r une m a t r i c e 'C 1
d1
cm
c¢=_ dl
dm (4.6)
Cl
dm
c./
d o n t les 4 blocs sont d i a g o n a u x et r6els, la d i a g o n a l i s a t i o n p a r une t r a n s f o r m a t i o n Aa d u t y p e (2.5) o u (4.5) ( 4 se t r a n s f o r m a n t en oga t ~ S P ) n ' e s t possible que si Ic~l > Idol, puisque les valeurs diagonales 2 de 6 : * c ~ sont alors donn6es p a r ci=
2 ich2go~,
d ~ = - 2 i s h 2 ( o i.
P o u r que les At existent et soient positifs, il faut et il sutfit en d6finitive que la m a t r i c e f~ soit positive d6tinie. Enfin c~ ne fait partie d u g r o u p e de B o g o l i u b o v que si c~ - d ~ = 1, a u q u e l cas elle est elle-m~me de la f o r m e (2.5).
Lemme 2. La condition ndcessaire et suffisante pour qu'une matrice off satisfaisant aux conditions off _~ offt,
off* :
"C1 off'~l
(4.7)
puisse s'dcrire d
=
(4.8)
oi~ ql est un chanoement de base (4.4) et oi~ cg est de la forme (4.6), est que off z3off commute avee ~3, soit [offz 3 off, z3] = 0.
(4.9)
La transformation ~ est alors l'une de celles qui diagonalisent off z3off . L a d 6 m o n s t r a t i o n t t est donn6e dans l ' a p p e n d i c e 3. Sous f o r m e d&aill6e, err posant off-
(B*. . )A*
'
410,
* Ces transformations sp~ciales sont plus simples que celles qui s'introduisaient darts le cas des fermions (r6fs. x, 2)), pour lesquels les 6tats i dcvaient ~tre eoupl6s par paires. *? Pour 6tablir le th6or~me 3 ci-dessous, il suffirait de d6montrer un lemme analogue au lemme 1 pour les matrices hermitiques A:" appartenant au groupe de Bogoliubov. Le lemme 2 est tm peu plus g~n6ral ( d ne fait pas partie du groupe de Bogoliubov) et sous cette forme sera utilis6 au paragraphe SuiVant.
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
617
avec A=A t, B=B
(4.7')
(ce qui 4quivaut ~t satisfaire aux conditions (4.7)), un changement de base (4.4) transforme A en UtAU comme une matrice, et B e n UtBU *
comme un tenseur. Le lemme 2 exprime que la condition pour que A et B puissent ~tre simultan6ment diagonalis6s par cette transformation est (4.9), ou sous forme explicite A B = (A~). (4.9') Th~or~me 3. Toute matrice ~
du groupe de Bogoliubov peut s'dcrire
J/=
q/SPq/',
(4.11)
oh ql, ql' et SP sont respectivement de la forme (4.4), (4.4) et (4.5). En effet, la matrice
X = d t ' ~ 't,
(4.12)
qui satisfait aux conditions du lemme 2, peut s'4crire
Alors, la matrice cg, positive d6finie, satisfait de plus aux conditions de groupe (4.2); elle est donc de la forme (2.5), de sorte qu'on peut 6crire oT(" = o~, ~,,o~,t = o~,~to-//t,
(4.13)
ce qui entraine, de la m~me fa¢on qu'au § 2, la forme (4.11) pour ~¢/. Dans le cas g6n6ral off les valeurs des I~oll sont distirtctes, la d~composition (4.11) est unique, ~t des permutations d'axes et des changements de signes des ¢pl pr6s. 4.2. INTERPRI~TATION PHYSIQUE Le th6or6me 3 peut se traduire de la mani~re suivante: toute transformation de Bogoliubov (4.1) sur des opdrateurs de bosons dquivaut ~ une transformation spdciale (4.5), moyennent un choix de bases convenables dans l'espace initial des 6tats une particule et dans l'espace final (ces choix 6tant caract6ris6s respectivement par les changements des bases u//et q/'). Par exemple, la transformation de Bogoliubov concervant l'impulsion ak =
ch q~ka~+sh
¢pka_k
(4.14)
618
R. BALIAN e t aL
oh ak absorbe l'onde plane e~k'r, couple les &ats par paires _+k. Cependant, raise sous sa forme canonique, elle apparait comme un produit q / S ~ ' , o~ 5a est la transformation (4.5), et q/' (ou q/t = q/,) la transformation qui fait passer de la base des ondes progressives e +i~'" ~t la base des ondes stationnaires cos k . r , sin k . r . Re6crite dans cette base des ondes stationnaires, la transformation (4.14) ne couple done que des op6rateurs a, a t relatifs au m~me 6tat. I1 est ~t rioter qu'un tel d~couplage des &ats de particule ind6pendante ne peut ~tre obtenu dans le
cos des fermions. La d6monstration du th6or~me 3 donne en m~me temps une forme canortique pour la matrice des valeurs moyennes
(a,a~)~ (a~aj)]'
(4.15)
prises darts le vide des op6rateurs a'~. Cette matriee est en effet ~gale (en vertu de (4.12)) dr'½(1 + "g3),~ ¢t = ½(~/" + "~3);
(4.16)
elle est caract6ris6e par le f a r que la matrice ~U est hermitique positive d6finie et satisfait aux conditions (4.2), et sa forme canonique est donn~e par (4.13). La d~monstration (4.11) peut aussi s'interpr&er utilement dans le contexte de la RPA 3) (random phase approximation). En se limitant au cas de la temp6rature nulle, et en d6signant par qx les op6rateurs (de fermions ou de bosons) dont le vide d6crit de fa~on approximative l'6tat fondamental du syst~me, on sait que dans la RPA les modes propres approch6s sont obtenus err diagoaalisant urte matrice hermitique ~¢ positive d6tinie, de la forme (4.10) (4.7'), A l'aide d'une transformation de Bogoliubov ~ ' du type (4.2); chaque ligae (ou colonne) de A et B est rep6r~e par une paire d'indices (2, #). Tout se passe comme si la paire q~qu &ait urt op~rateur de boson. La premiere 6tape de la d6composition (4.11) de ~ revient ~t construire les quasibosorts a~ = Z ~i(2/t)qxq,,
(4.17)
~t l'aide d'une base de fonctions d'onde ~ ~t 2 particules (fermions ou bosons). La seeonde 6tape (4.5) de (4.11) conduit ~t a; = ch q~, E V,(2#)qF/, + sh q~, E ~*(2#)r/~ q],
(4.18)
et la derni~re est un changement de base dans l'espace des a',, et conduit ~t des modes propres o~ interviennent deux fonctions distinctes comme coefficients de t/aq. et * qut r/~.
FORME C A N O N I Q U E DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
619
La condition pour que la premi6re 6tape, simple transformation tmitaire dans l'espace (2 #), sutfise pour diagonaliser .~1, c'est h dire pour que les modes propres soient de la forme (4.17), est que B = 0, c'est ~t dire que ~¢ commute avec %. Cette condition n'est en g6n6ral pas v6rifi6e, mais si on n6glige le bloc non diagonal B de ~ devant le bloc diagonal A, on obtient l'approximation souvent d6sign6e en physique nucl6aire 4) sous le nom d' ,,approximation I". Examinons la condition pour que ~¢ puisse ~tre diaoonalisde au moyen des deux premieres dtapes seulement, c'est-~-dire ~t l'aide d'une transformation ..It' de la forme particuli6re = q/~9°,
(4.19)
et conduise h des 6nergies de modes propres non n6gatives. Le lemme 2 et la remarque qui le pr6c6de montrent que cette condition est cette lois que .~¢ soit positive d6finie et que
A2-BB*
AB_~'~B
~¢4z3 ~¢~ = \ - - (AB - A B)*
- (A 2 - BB*)*]
commute avec za, c'est ~t dire que t~J
A B = AB. Si A B est sym6trique, chaque mode propre i est doric de la forme (4.18), et ne d6pend donc que d'une fonction ~u~. Cette condition n'est en g6n6ral pas satisfaite, mais si on n6glige maintertant A B - ~ B devant A 2 _ BB* (au lieu de n6gliger B devant A), on obtient urte approximation interm6diaire entre l'approximatiort I et la RPA compl6te, qui a aussi 6t6 utilis6e en physique nucl6aire (pour d = d * ) sous le nom d',,approximation sym6trique" s). Les 6nergies propres et la matrice ql de (4.19), c'est ~t dire la forme (4.18) des modes propres, s'obtiennent alors en diagonalisant A 2 _ BB*. Enfin, m~me dans le cas g6n6ral, la d6composition (4.11) offre tm certain int6r& dans le probl6me de la diagonalisation de ~ , puisqu'elle constitue urte paramdtrisation essentiellement unique des transformations de Bogoliubov ~ ' . 4.3. TRANSFORMATIONS LINI~AIRES ENTRE OPI~RATEURS CANONIQUEMENT CONJUGUI~S
On va traduire ici les r6sultats du § 4.1 en r6exprimant les transformations canoniques (4.1) dans l'espace des op6rateurs canoniquement conjugu6s 1
~
q, ---- --7=_(a,+ a,),
i
t
p, ---- - - (a, -- a,).
42
(4.20)
620
R. BALIAN e t al.
Les transformations (4.1) et (4.2) deviennent les transformations lin~aires entre op~rateurs q~ et p~ qui pr6servent les relations de commutation
[q~,pj] = iS~j,
[q~,qj] = [p~,pj] = 0
(4.21)
et l'hermiticit6 t. Les matrices ~ representatives sont caract~ris6es par les conditions ~2
dr' = ~2,
d/'* = ~¢t',
(4.2')
6quivalentes ~t (4.2); ces conditions (4.2') expriment que ../t' est r6elle et laisse invariante la forme bilin6aire
(q~p,- p~q,);
(4.22)
i
par suite, le groupe de Bogoliubov (4.1) (4.2) est isomorphe au groupe symplectique reel ?z 2m dimensions. Les changements de base (qui dans l'espace des a i 6taient repr6sent6s par le groupe urdtaire m x m (4.4)) sont repr6sent6s darts l'espace des qiP~ par les matrices q/~ du groupe symplectique qui commutent avec z2, c'est ~t dire par les matrices orthogonales symplectiques. Contrairement aux transformations q/ introduites pr6c6demment en (2.4), (3.2) ou (4.4), les q/~ m61angent ici les coordonn6es p e t q. Les transformations sp6ciales (4.5) s'6crivent maintenant q, = e~*'q;,
Pl = e-~'P;
(4.5')
et se traduisent donc par de simples afl~nitds symplectiques. Enfin, dans la base des qiP~, les matrices cC de la forme (4.6) deviennent les matrices diagonales d'616ments c~+ d~. Le lemme 2 et le th6or~me 3 se traduisent alors par les 6nonc6s 6quivalents:
Lemme 2'. Pour qu'une matrice symdtrique rdelle d soit diagonalisable par transformation orthogonale symplectique, il faut et il s u e t que d z 2 d commute avec z2. Thdor~me 3'. Toute transformation symplectique rdelle J [ peut s'dcrire = ~s6aq~"
(4.23)
o~t qls et q./'~ sont des transformations orthogonales symplectiques, et $0 une affinitd symplectique (4.5') le long des axes de coordonndes. Ces propd6t6s peuvent ~tre utiles dans le probl~me de la diagonalisation d'une forme quadratique en q~pj, c'est ~t dire dans la recherche des modes propres pour les petits mouvements d'un syst~me. Remarque. Pour les transformations symplectiques, il n'existe pas toujours err g~ndral de d6composition q / 6 a ~ ' du type 6tabli pour les transformations pseudot Ces transformations s'introduisent non seulement en m6canique quantique, mais aussi en m~canique classique, les conditions (4,21) 6tant alors remplac~es par les conditions de conjugaisoa canonique entre qt et p~.
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONSDE BOGOLIUBOV
621
orthogonales, orthogonales, ou de Bogoliubov, c'est ~t dire off d'une part les ~ et q/' ne m61angeraient pas les variables q~ avec les variables pj, et d'autre part 5 a serait une transformation dans les 2-plans (qlPt)(q2P2)... Par exemple, la matrice (1.2) est symplectique et n'admet pas de telle d6composition.
Appendiee 1 D~MONSTRATION DU LEMME 1
Les deux blocs diagonaux de ~ dans les sous-espaces E t et E x ~tant sym~triques, peuvent &re diagonalis6s respeetivement par des transformations orthogonales Ut(1> et U~1). La transformation ~//(~) correspondante dans l'espace E amine done 3C sous la forme o,Y" ( 1 > =--
[I'*>o,Y-U0 ) - (~ BD),
(A.1)
off A et D sont diagonales. La condition (2.3) de pseudo-orthogonalit6 de K s'6crit alors
(Au-Djj)Bij =
0,
(A.2)
B,jB,,i = tSu,(A 2 - 1 ) ,
(A.3)
BiyB,j, = 6.1y,(D~i--1).
(A.4)
j=l
i=1
L'6quation (A.2) montre que B n ' a d'616ments de matrice non nuls qu'entre indices eorrespondant ~t des valeurs propres 6gales de A et D. D'autre part, les 6quations (A.3) et (A.4) et la condition de positivit6 d6finie de ~ impliquent que les valeurs propres A , et Djy sont sup&ieures ou 6gales ~t 1. Consid6rons alors Fun des blocs non nuls de B, associ6 ~t l'ensemble des indices i et j tels que Al~ = Djj = ch q~; les d6g6n6rescences de cette valeur propre ch (p 6tant respectivement r et s pour A et D, ce bloc b e s t une matriee r x s qui satisfait, en vertu de (A.3) et (A.4), b~ = s h 2 ~ . ~ ,
gb = s h 2 ~ . ~ .
Ces 6quations impliquent que r = s, sauf si q~ = 0 auquel cas b = 0. Soit p < m < n le nombre de valeurs propres Aii distinetes de 1. C o m m e r = s pour ehaque valeur propre, on peut supposer que q/(t> a 6t6 choisie de mani~re que A , = D z > 1 pour i = j < p, et que A u --- Djj = 1 p o u r p < i < m , p < j < n. Consid6rons la transformation orthogonale q/(2> repr6sent6e darts le sous-espace i _<__p de Et par des blocs diagonaux respeetivement 6gaux (pour chaque valeur propre d6g6n6r6e ch ep) ~t
b/sh q~,
R. BALIAN et al.
622
et ne modifiant pas les autres coordonn6es de Et, ni celles de ~cx)q/t2) est alors de la forme 5 a cherch6e.
E x.
La matrice ~t2)
Appendiee 2 1°) La d6composition (2.10) de ~
montre que
det .At' = det a#. det 5 a . det q/',
(A.5)
et que d'autre part det Mt = det Ut" ]--[ ch go~• det U~, '
(A.6)
det Mx = det Ux" 1-I ch tp~ • det U" i
d'oh les 6qs. (2.13)-(2.15). 2 °) Consid6rons la d6composition (2.10) comme une param6trisation du groupe pseudo-orthogonal. Cette d6compositiort de o/t' n'6tant pas unique (voir remarque du § 2), on peut retrouver la mSme transformation ~ pour plusieurs ensembles de valeurs des param&res, mais ~t une variation continue des param&res correspond une variation continue de .At'. Le sous-groupe (2.5) des transformations sp6ciales SP 6tant connexe, les diverses nappes possibles pour le groupe pseudo-orthogonal proviennent de celles du sous-groupe orthogortal (2.4), car q / e t ql' peuvent varier de mani~re discontinue en raison des retournements darts E t et Ex. On peut toujours trouver une d6composition (2.10) de .At' telle que det Ut' = det U~ = + 1. En effet, si q/t1 repr6sente la transformation (orthogonale impropre) qui retourne l'axe tl (changement de signe de t 1 sans modification des autres coordonn6es), on a S#(q~l • • • ~°m)~tl = q/t1 5 a ( - ~ ° 1
"'" q>,,),
(A.7)
et de mSme S ¢ ( t p l . . . q~m)a//xl = a//x~5 ° ( - q h . . . q>m),
(A.7a)
de sorte que le sous-groupe (2.5) est invariant par les renversements d'axes. En se limitant/t de teUes d6compositions, on voit que le groupe pseudo-orthogonal comprend au plus 4 nappes, caract6ris6es par les signes possibles de det Ut et det Ux, c'est/t dire, d'apr~s (2.14), de et et e~. Enfin, il est impossible, par variation continue de ~ de passer d'une de ces nappes /t l'autre. Err effet, det Mt et det M~ varient continuement avec dr', et leurs modules sont sup6rieurs /t 1 (eq. (2.13)); par suite et et e~ ne peuvent changer de sigrte par variation continue de .aft'. 3 °) La valeur de et (ou de e~) est une fonction corttinue de J r , 6gale /t + 1 ou / t - 1 . Ayant 6crit ~ sous la forme (2.10) avec det Ut' = det U~ = + 1, on peut
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
623
toujours, par variation continue des param6tres de q/' et Sf, amener ~ sur q/. Les 4 nappes du groupe pseudo-orthogonal sent done caract6ris6es par la nature (propre ou non) des transformations orthogonales Ut et U~ auxquelles on peut ramener ~ par variation continue. I1 en r6sulte que d / e t .A'-1 sent sur la mSme nappe puisqu'il en est de mSme de ad et ql, soit et(~c)e,(dt'-1) = 1 = ~(1),
(A.8)
8x(..ll)Sx(..,£ - I ) = 1 = ~x(1).
(A.8a)
D'autr¢ part, si . ~ et ,At" peuvent &re ramen6s continuement sur q / e t q/', le produit dt',.gt" peut l'~tre sur q/q/', et par suite e,(d[) . e,(d/') = et(J/olC),
(A.9)
e~(~£)- e~(,.£') = e~(¢£.~').
(A.9a)
Les valeurs de et ferment done une repr6sentatioa en vertu des 6qs. (A.8) et (A.9), et de m~me celles de ex en vertu de (A.8a) et (A.9a). I1 en r6sulte imm6diatement que la nappe et = e~ = 1 est un sous-groupe.
Appendice 3 DI~MONSTKATION DU LEMME 2 La d6momtration que la condition (4.9) ou (4.9') est n6cessaire est imm6diate. Inversement, supposons que cette condition soit satisfaite; compte tenu de (4.7) ou (4.7'), elle entralne ABB t = BBtA,
(A.10)
de sorte qu'on peut, par un premier changement de base q/', amener d sous la forme d'-
qz'td~
'' =
A' B'*
B') A' '
(A.m
off A' et B'B "t sent diagonales et r6elles, et off B' satisfait ~t (4.9'), soit (A;,--A~j)B,~ -- O.
(A.12)
I1 r6sulte de (A.12) et de (4.7') que B' est constitu6e de blocs diagonaux carr6s b sym6triques de dimension r, correspondant/t chacune des valeurs propres distinctes de A' (de d6g6n6rescence r). Sous l'action d'une transformation q/" constitu6e de blocs diagonaux unitaires u de dimension r, A' reste inchang6, et chacun des blocs b devient u* b u*.
(A. 13)
624
R. BALIAN e t
aL
I1 suffit done de montrer qu'une matrice b sym&rique et telle qne bb t soit diagonal peut &re diagonalis6e par une transformation tmitaire r•elle u, ou, ee qui revient au mSme, que b admet une base complete de veeteurs propres r6els orthonorm6s. Or, il r6sulte du fait que bb t e s t diagonal et b sym6trique que
bb* = (b"bt) = b*g = b*b.
(A.14)
Par suite, il existe une base orthonorm6e de veeteurs e eommurts ~t b e t b t et telle que
be~ = 2,,e~,,
(A.15)
bte~ = 2*e~.
(A.16)
L'6quation (A. 16) et la sym6trie de b entrainent
be* = 2,e*.
(A.17)
Les 6quations (A.15) et (A.17) montrent alors q u ' o n peut construire ~ partir de Re e~ et I m e~ la base r6elle orthonorm6e ehereh6e. Apr6s transformations q/' et q/", A et B ont 6t6 simultaa6ment diagonalis6s, mais B reste eomplexe. Une derni~re transformation q/'" purement diagonale, et dont les 616ments ont les demi-phases de ceux de B " transforme en vertu de (A.13) cette matriee en lane matriee r6elle, et en d6finJtive off en une matriee de la forme %a.
R~f~rences 1) C. Bloch et A. Messiah, Nuclear Physics 39 (1962) 95 2) B. Zumino, J. Math. Phys. 3 0962) 1055 3) D. Pines, The many-body problem (Benjamin, New York, 1961) chap. 2 et 3; D. J. Thouless, The quantum mechanics of many body systems (Academic Press, New York, 1961) chap. 5 et 8 4) T. P. Elliott et B. H. Flowers, Proc. Roy. Soc. A242 (1957) 57 5) V. P. GiUet et E. A. Sanderson, Nuclear Physics 54 0964) 472
1.C
I
Nuclear Physics 67 (1965) 609--624; ~ ) North-Holland Publishing Co., A m s t e r d a m
i
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F O R M E C A N O N I Q U E DES T R A N S F O R M A T I O N S DE B O G O L I U B O V P O U R LES B O S O N S E T DES T R A N S F O R M A T I O N S (PSEUDO) O R T H O G O N A L E S R. BALIAN, C. DE DOMINICIS et C. ITZYKSON Service de Physique Thdorique, C.E.N. Saclay, S et O, France Requ le 16 novembre 1964 Abstract: The real pseudo-orthogonal group of transformations in the space E, the direct sum of subspaces Et(t 1 . . . t,~) and E~(x 1 . . . xn) , is considered. These transformations are cast into the canonical form ~,Seq/', where q/, qz" are orthogonal transformations which do not mix coordinates t~ with x3, and ~ is a special Lorentz transformation which operates separately in each (t~x~) plane. Some properties of the usual Lorentz group are thereby generalized. A similar decomposition is also obtained for the orthogonal group. Bogoliubov linear canonical transformations for the boson creation and annihilation operators a~ a~t are also cast into the same form; ~', ~ ' are now unitary transformations in the single-particle boson space, which do not mix creation and annihilation operators; Sa only mixes the operators a~ and a~? referring to the same state i, in contradistinction with the fermion case. This canonical form is used to discuss two approximations commonly introduced in nuclear physics to solve the so-called R P A equations.
1. Introduction et R6sum6
Etant donn6 un groupe de transformations ~// dans un espace E --- E t ~) Ex, il arrive que le sous-groupe des transformations q/ qui laissent invariants les deux sous-espaces compl6mentaires E, et E x ait des propri6t6s plus simples que le groupe complet. On va montrer, darts plusieurs cas particuliers, que route transformation du groupe complet peut se mettre sous une forme canonique =
~ ' ,
(1.1)
o/t ~ et q/' font partie de ce sous-groupe; la transformation Se sera une ,,transformation sp6ciale", c'est ~t dire une transformation op6rant s6par6ment dans les 2-plans ( t l x l ) , ( t 2 X z ) . . . d6finis respectivement par un axe de coordonn6es h , t z . . . du sous-espace E t et un axe de coordonndes x l , x2 • . . du sous espace Ex. Un exemple de d6composition de ce type (1.1) a d6j~ 6t6 donn6 pour le groupe des transformations canoniques lin6aires pour des fermions 1, 2). Les espaces Et et Ex sont alors respectivement les espaces des op6rateurs d'absorptiort et de cr6ation, de sorte que les transformations ~ et ~ ' sont des changements de base unitaires. La transformation Sa est une transformation canonique de paires, qui m61ange simplement l'op6rateur d'absorption a~ de chaque 6tat i ~t l'op6rateur de cr6ation a[, d'un 6tat i' associ6 ~t i. On 6tablit ici, pour trois autres groupes, l'existence d'une d6composition (1.1) 609
610
R. BAX.J.ANet al.
par une m6thode analogue ~ eelle employ6e par Bloch et Messiah 1): 6tant donn6 la matriee .At', on forme ~ partir d'elle par multiplication, une matrice vY" hermitique ou sym&rique suivant le cas. On construit pour ,Yf une forme canonique, qui est plus simple clue (1.1) puisqu'elle ne f a r intervenir clue les matrices og et ~ de la d6composition (1.1) de Jr'. La forme canonique de ,af s'en d6duit imm6diatement. Remarquons cependant que, malgr6 la g6n6ralit6 de la d6monstration employ6e, il n'existe pas n6cessairement de d6composition du type (1.1) pour toute transformation dans un espace E = Et ~ g~. Par exemple, pour le groupe lin~aire complet dans l'espace E t @ Ex ~t 2 + 2 dimensions, la matrice
.~
=
O] 1 0
o]1 1
(1.2)
1 0
ne peut &re raise sous la forme (I.1), comme on peut le v6rifier directement. Au § 2, on &ablit une d6composition canonique (1.1) pour le groupe pseudoorthogonal, le hombre de variables de ,,temps" t 1 t2 • • • et d',,espace" xl xz • • • &ant quelconque. Les transformations ~ et ~/' de (1.1) sent des transformations orthogonales dans les sous-espaces Et et E x, et S~' des transformations de Lorentz sp6ciales, de sorte qu'ici la d6composition (1.1) g6n6ralise h u n hombre quelconque de dimensions la d6composition classique d'une transformation de Lorentz (transformation pseudo-orthogonale/t 1 + 3 dimensions). A titre d'application, on montre que la structure en 4 nappes du groupe de Lorentz, caract6ris6es par les parR& des transformations orthogonales d'espace et de temps, se g6n6ralise /t tout groupe pseudo-orthogonal. Au § 3 une d6composition canonique (1. I) est 6tablie pour le groupe orthogonal /t un nombre quelconque de dimemions, g6n6ralisant ainsi la d6composition d'Euler des rotations/~ 3 dimensions. Au § 4, on 6tablit une d6composition (1.1) pour le groupe des transformations de Bogoliubov, transformations lin6aires canoniques entre op6rateurs d'absorption et de creation de bosons. Comme dans le cas des fermions 1, 2), les transformations ~' et ~ ' sont des changements de base unitaires; mais la transformation sp6ciale oa° est ici plus simple, puisqu'eUe ne m61ange que les op~rateurs d'absorption a~ et de cr6ation a~ du m~me 6tat i. On utilise au § 4.2 eette d6composition canonique pour analyser les 6quations de la RPA a), qui apparaissent dans la recherche des modes propres d'un syst~me. II en r6sulte une interpr&ation formeUe simple de deux m&hodes d'approximation utilis6es en physique nucl6aire pour r6soudre ces 6quations. On montre au § 4.3 l'isomorphisme entre le groupe des transformations de Bogoliubov pour les bosons et le groupe symplectique r6el, ce qui permet d'6tablir une d6composition canonique des transformations symplectiques; l'identit6 des transformations sp6ciales S f introduites aux § 2 et 4 fait ainsi apparaitre une aaalogie entre le groupe pseudo-orthogonal et le groupe symplectique r6el.
611
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
2. Transformations Pseudo-Orthogonales On considrre l'espace E = Et ~ E~ de coordonnres x 1 . . . x j . . . x , , muni de la mrtrique pseudo-euclidienne
i=i
rrelles
q...
f t . . . t=,
j=l
et le groupe pseudo-orthogonal ~t m + n dimensions, c'est ~t dire le groupe des transformations linraires rrelles de cet espace qui laissent la forme quadratique (2.1) invariante; on peut supposer sans restriction de grnrralit6 n ~ m > 1. Drsignant par z le tenseur mrtrique
"~ ~
_i n
(les 4 blocs de cette matrice sont respectivement m x m, m x n, n x m e t n × n), les transformations pseudo-orthogonales sont reprrsentres par des matrices rrelles J r ' de dimension m + n caractrrisres par
M,d/=
(2.3)
o~ drsigne la matrice transposre de .A/. Le groupe pseudo-ortllogonal admet un sous-groupe de matrices q/orthogonales. La condition d'orthogonalitr, compte tenu de la condition de groupe (2.3), 6quivaut h la commutation avec x. I1 en rrsulte que ces matrices q / s o n t les matrices de la forme q/
__-
,
0 Ux
(2.4) '
o~ Ut et Ux reprrsentent respectivement des transformations orthogonales dans les
sous-espaces E, et Ex. Le groupe pseudo-orthogonal admet d'autre part un sous-groupe (abrlien) de matrices de la forme 'ch cpt
sh qh
0
ch ~o,. sh ~o1
sh q~., ch ~ot
, . ) --_
, sh q~m
ch ¢Pm
1 0
0 1
(2.5)
R. nALIAN e t al.
612'
ayant la propri6t6 de groupe S#(Cpl... cpm)" Sa(cp~... cp') = S#(cpl+tp~... (am+ cp~,).
(2.6)
Ces matrices correspondent/t un ensemble de ,,transformations de Lorentz spdciales" dans les 2-plans (tl x i ) . . . (tmx,~). Lemme 1. Toute matrice ~ pseudo-orthogonale, symdtrique et positive ddfinie peut s'dcrire o,~ = ~/oqa'~ ',
(2.7)
oft ql et S#' sont de la forme (2.4) et (2.5). La d6monstration, analogue /L celle de la r6f. 1, est donn6e dans l'appendice I. I1 r6sulte de (2.6) que S~' peut se mettre sous la forme oqaffa, les param&res t p x . . , cpm de S# 6tant 6gaux/t eeux de S#' multipli6s par un facteur ½. Toute matrice ~ : pseudoorthogonale, sym6trique et positive d6finie peut done encore s'6crire
= j¢/-~7-,
(2.8)
of1 ¢4: est une matrice pseudo-orthogonale de la forme ,f'=
q/Se.
(2.9)
Thdor~me 1. Toute transformation ,I/pseudo-orthogonale peut s'dcrire .~' = ¢ / S : ~ ' ,
(2.10)
oft q/, ~ ' et S/' sont respectivement de la forme (2.4), (2.4) et (2.5). Formons en effet la matrice
.~:'-- r i d ? .
(2.11)
La d6composition (2.8) (2.9) de a'ff"donne
soit
de sorte que q/', matrice ~ la lois orthogonale et pseudo-orthogonale, est bien de la forme (2.4). Ce th6or6me est l'extension, au groupe pseudo-orthogonal/t m + n dimensions, de la d6composition bien connue du groupe de Lorentz (m = 1, n = 3) err le produit d'une transformation de Lorentz sp6eiale Sa dans tree direction d'espace doun6e (direction ramen6e le long de l'axe des x 1 grace /l la rotation ~ ' ) par une transformation orthogonale q/, qui se r6duit alors /1 une rotation d'espace avec renversements 6ventuels d'espace et de temps.
613
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
Le groupe pseudo-orthogonal poss~de un certain hombre d'autres propri&6s analogues b. celles du groupe de Lorentz, et qu'on d6montre ais6ment ~t l'aide de la d6composition (2.10). En particulier, puisqu'une transformation .At' peut toujours 8tre consid6r6e eomme le produit de transformations de Lorentz sp6ciales par des transformations orthogonales ~ , le groupe pseudo-orthogonal ~ m+n dimensions a une structure en 4 nappes coanexes, qui refl~te simplement celle du sous-groupe (comprenant des retournemems darts les deux sous-espaces Et et E~). Plus pr6cis6ment, si l'on pose
dr'=-- ( M ' M~t
Mtx] M~ ] '
(2.12)
1°) on a Idet Mr[ = [det M~I = ]-I ch ~p~ > 1,
(2.13)
i
det Mt et - - - det Ut" det Ut, Idet Mtl det M~ s~ =
(2.14) - det Ux" det U~,,
Idet M~I det ~
= e, sx;
(2.15)
2 °) le 9roupe pseudo-orthogonal posskde 4 nappes connexes, caractdrisdes par les valeurs de et et ex ; 3 °) la valeur de st (ou sx) est une reprdsentation d une dimension du 9roupe pseudoorthooonal; la nappe st = s~ = + 1, constitue un sous-groupe, le groupe pseudoorthogonal propre. La d6monstration de ces propositions est donn6e dans l'appendice 2. Remarque. La d6monstration de l'appendice 1 montre que les param&res tpx . . . q~,, qui caract6risent la transformation Sa des 6qs. (2.7) ou (2.10) sont d6termin6s de mani~re unique, au signe pros et h une permutation pr~s. Darts le cas g6n6ral o/J ces param&res sont distincts et non nuls, la matrice ~' des 6qs. (2.7) ou (2.10) est d6termin6e de mani~re unique si n = m ou n -- m + 1, h des permutations d'indices et des renversements d'axes pr6s; sin > m + 2, un arbitraire suppl6mentaire s'introduit, correspondant au produit ~t droite de ~' par des transformations orthogonales de l'espace des xj(m < j < n). La d6compositiort (2.10) constitue donc uue param6trisatiort essentiellement unique du groupe pseudo-orthogortal lorsque n = m ou n= rn+l. D'ailleurs le groupe pseudo-orthogonal d6pend de ½(m + n)(m + n - 1 ) param~tres, le sous-groupe des ~ de ½m(m-1)+½n(n-1) param&res, le sous-groupe des .9° de m param~tres, et le groupe orthogonal de l'espace des x~(m < j < n) de ½(n-m) ( n - m - 1 ) param~tres, et l'on v~rifie sur (2.10) le d6eompte des param&res:
½(m+n)(m+n- 1) = 2[½m(rn- 1 ) + ½ n ( n - 1)] + m - ½ ( n - m ) ( n - m -
1).
614
R. BALIAN e t aL
3. T r a n s f o r m a t i o n s O r t h o g o n a l e s R6elles
On consid~re maintenant les transformations orthogonales r6elles .~' dans l'espace E d6fini au § 2. Le sous-groupe des transformations q / a la m~me d6finition (2.4) qu'au § 2, soit ~q/=
1,
(3.1)
[q/, z] = 0.
(3.2)
C'est le sous-groupe des transformations orthogonales ne m61angeant pas les coordonn6es t i avec les coordonn6es xj. Les matrices 5P sont d6finies ici comme des rotations propres dans les 2-plans (hxi)(i ~_ m), et sont de la forme ~cos got
- sin q~
- sin ~m i
COS tpm
=
sin q~l
cos qh (3.3)
0 sin q~m
cos tpm 1
0
0 1
Par une m6thode tout/t fait analogue/L celle du § 2, et bas6e maintertant sur l'&ude de la matrice a~" - J / x . ~ ,
(3.4)
et sa raise sous forme canonique, on d6montre le th6or6me: Thdordme 2. Toute transformation orthogonale ~ de l'espace E ---- E t (3 Ex peut s'dcrire =
eqe',
(3.5)
oft ad et all' sont des transformations orthogonales (2.4) des sous-espaces Et et Ex, et oft SP est un ensemble (3.3) de rotations dans les 2-plans (hx~)(i < m). Pour le groupe des rotations/t 3 dimensions, le th6or6me 2 se r6duit/t la d6composition bien connue d'une rotation en termes des angles d'Euler. En effet, en choisissant comme espace E t l'axe des z et comme espace E~ le plan (x, y), les transformations q / s o n t les rotations dans le plan (x, y), c'est/t dire autour de l'axe z, et les transformations oq° les rotations dans le plan (z, x), c'est /t dire autour de l'axe y.
615
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOL1UBOV
Pour des rotations ~ dans un espace ~t un nombre quelconque de dimensions, la d~composition (3.5) permet de ramener dr' ~t un produit de rotations ~t un nombre de dimensions inf~rieur. En r~duisant ainsi successivement le nombre de dimensions, on peut finalement se ramener ~t la d6composition d'Ettler de ~¢ e n t m produit de rotations darts des 2-plans.
4. Transformations de Bogolinbov pour les Bosons et Application ~ la RPA
4.1. FORME CANONIQUE On consid~re l'espace ~t 2m dimensions des op&ateurs ai et a~, qui annihilent ou orient un boson dans Fun des m &ats de base i o u f Le groupe de Bogoliubov est le groupe des transformations lin6aires (h coefficients complexes) qui pr6servent les relations de commutation. Ces transformations (at)=
o~¢ (aa't)
(4.1,
sont repr6sent6es par des matrices ~ A 2m dimensions caract&is6es par ..d'tZ3.~=Z3, O/1
. ~ * =~t..4(~1,
0) z3 --
_i m
(4.2)
(0 ,;) im
,
(~gt'* et ~¢t d6sigaent respectivement les matrices complexe conjugu6e et hermitique conjugu6e de .A¢). Le sous-groupe des transformations ~ de Bogoliubov unitaires est caract6ris6 par la commutation de la matrice ql avec z3. Ainsi, ces matrices ~ sont les matrices de la forme
o)
o/1 U est une matrice m x m unitaire. Ce sous-groupe est doric le groupe des change° ments de base dans l"espaee des dtats ~ un boson.
On introduit aussi le sous-groupe des transformations de Bogoliubov spdciales, repr6sent6es par les matrices Se de la forme (2.5) (les 4 blocs de la matrice Sa sont ici carr6s et diagonaux). Ces transformations, qui s'6crivent ai = ch ¢ia~+sh ~la~ t,
(4.5)
616
a.
BALmrq
et al.
s o n t caract&is6es par le fait qu'elles ne mdlangent que les opdrateurs de crdation et d'annihilation du m~me dtat i *. O n r e m a r q u e r a que, p o u r une m a t r i c e 'C 1
d1
cm
c¢=_ dl
dm (4.6)
Cl
dm
c./
d o n t les 4 blocs sont d i a g o n a u x et r6els, la d i a g o n a l i s a t i o n p a r une t r a n s f o r m a t i o n Aa d u t y p e (2.5) o u (4.5) ( 4 se t r a n s f o r m a n t en oga t ~ S P ) n ' e s t possible que si Ic~l > Idol, puisque les valeurs diagonales 2 de 6 : * c ~ sont alors donn6es p a r ci=
2 ich2go~,
d ~ = - 2 i s h 2 ( o i.
P o u r que les At existent et soient positifs, il faut et il sutfit en d6finitive que la m a t r i c e f~ soit positive d6tinie. Enfin c~ ne fait partie d u g r o u p e de B o g o l i u b o v que si c~ - d ~ = 1, a u q u e l cas elle est elle-m~me de la f o r m e (2.5).
Lemme 2. La condition ndcessaire et suffisante pour qu'une matrice off satisfaisant aux conditions off _~ offt,
off* :
"C1 off'~l
(4.7)
puisse s'dcrire d
=
(4.8)
oi~ ql est un chanoement de base (4.4) et oi~ cg est de la forme (4.6), est que off z3off commute avee ~3, soit [offz 3 off, z3] = 0.
(4.9)
La transformation ~ est alors l'une de celles qui diagonalisent off z3off . L a d 6 m o n s t r a t i o n t t est donn6e dans l ' a p p e n d i c e 3. Sous f o r m e d&aill6e, err posant off-
(B*. . )A*
'
410,
* Ces transformations sp~ciales sont plus simples que celles qui s'introduisaient darts le cas des fermions (r6fs. x, 2)), pour lesquels les 6tats i dcvaient ~tre eoupl6s par paires. *? Pour 6tablir le th6or~me 3 ci-dessous, il suffirait de d6montrer un lemme analogue au lemme 1 pour les matrices hermitiques A:" appartenant au groupe de Bogoliubov. Le lemme 2 est tm peu plus g~n6ral ( d ne fait pas partie du groupe de Bogoliubov) et sous cette forme sera utilis6 au paragraphe SuiVant.
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
617
avec A=A t, B=B
(4.7')
(ce qui 4quivaut ~t satisfaire aux conditions (4.7)), un changement de base (4.4) transforme A en UtAU comme une matrice, et B e n UtBU *
comme un tenseur. Le lemme 2 exprime que la condition pour que A et B puissent ~tre simultan6ment diagonalis6s par cette transformation est (4.9), ou sous forme explicite A B = (A~). (4.9') Th~or~me 3. Toute matrice ~
du groupe de Bogoliubov peut s'dcrire
J/=
q/SPq/',
(4.11)
oh ql, ql' et SP sont respectivement de la forme (4.4), (4.4) et (4.5). En effet, la matrice
X = d t ' ~ 't,
(4.12)
qui satisfait aux conditions du lemme 2, peut s'4crire
Alors, la matrice cg, positive d6finie, satisfait de plus aux conditions de groupe (4.2); elle est donc de la forme (2.5), de sorte qu'on peut 6crire oT(" = o~, ~,,o~,t = o~,~to-//t,
(4.13)
ce qui entraine, de la m~me fa¢on qu'au § 2, la forme (4.11) pour ~¢/. Dans le cas g6n6ral off les valeurs des I~oll sont distirtctes, la d~composition (4.11) est unique, ~t des permutations d'axes et des changements de signes des ¢pl pr6s. 4.2. INTERPRI~TATION PHYSIQUE Le th6or6me 3 peut se traduire de la mani~re suivante: toute transformation de Bogoliubov (4.1) sur des opdrateurs de bosons dquivaut ~ une transformation spdciale (4.5), moyennent un choix de bases convenables dans l'espace initial des 6tats une particule et dans l'espace final (ces choix 6tant caract6ris6s respectivement par les changements des bases u//et q/'). Par exemple, la transformation de Bogoliubov concervant l'impulsion ak =
ch q~ka~+sh
¢pka_k
(4.14)
618
R. BALIAN e t aL
oh ak absorbe l'onde plane e~k'r, couple les &ats par paires _+k. Cependant, raise sous sa forme canonique, elle apparait comme un produit q / S ~ ' , o~ 5a est la transformation (4.5), et q/' (ou q/t = q/,) la transformation qui fait passer de la base des ondes progressives e +i~'" ~t la base des ondes stationnaires cos k . r , sin k . r . Re6crite dans cette base des ondes stationnaires, la transformation (4.14) ne couple done que des op6rateurs a, a t relatifs au m~me 6tat. I1 est ~t rioter qu'un tel d~couplage des &ats de particule ind6pendante ne peut ~tre obtenu dans le
cos des fermions. La d6monstration du th6or~me 3 donne en m~me temps une forme canortique pour la matrice des valeurs moyennes
(a,a~)~ (a~aj)]'
(4.15)
prises darts le vide des op6rateurs a'~. Cette matriee est en effet ~gale (en vertu de (4.12)) dr'½(1 + "g3),~ ¢t = ½(~/" + "~3);
(4.16)
elle est caract6ris6e par le f a r que la matrice ~U est hermitique positive d6finie et satisfait aux conditions (4.2), et sa forme canonique est donn~e par (4.13). La d~monstration (4.11) peut aussi s'interpr&er utilement dans le contexte de la RPA 3) (random phase approximation). En se limitant au cas de la temp6rature nulle, et en d6signant par qx les op6rateurs (de fermions ou de bosons) dont le vide d6crit de fa~on approximative l'6tat fondamental du syst~me, on sait que dans la RPA les modes propres approch6s sont obtenus err diagoaalisant urte matrice hermitique ~¢ positive d6tinie, de la forme (4.10) (4.7'), A l'aide d'une transformation de Bogoliubov ~ ' du type (4.2); chaque ligae (ou colonne) de A et B est rep6r~e par une paire d'indices (2, #). Tout se passe comme si la paire q~qu &ait urt op~rateur de boson. La premiere 6tape de la d6composition (4.11) de ~ revient ~t construire les quasibosorts a~ = Z ~i(2/t)qxq,,
(4.17)
~t l'aide d'une base de fonctions d'onde ~ ~t 2 particules (fermions ou bosons). La seeonde 6tape (4.5) de (4.11) conduit ~t a; = ch q~, E V,(2#)qF/, + sh q~, E ~*(2#)r/~ q],
(4.18)
et la derni~re est un changement de base dans l'espace des a',, et conduit ~t des modes propres o~ interviennent deux fonctions distinctes comme coefficients de t/aq. et * qut r/~.
FORME C A N O N I Q U E DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
619
La condition pour que la premi6re 6tape, simple transformation tmitaire dans l'espace (2 #), sutfise pour diagonaliser .~1, c'est h dire pour que les modes propres soient de la forme (4.17), est que B = 0, c'est ~t dire que ~¢ commute avec %. Cette condition n'est en g6n6ral pas v6rifi6e, mais si on n6glige le bloc non diagonal B de ~ devant le bloc diagonal A, on obtient l'approximation souvent d6sign6e en physique nucl6aire 4) sous le nom d' ,,approximation I". Examinons la condition pour que ~¢ puisse ~tre diaoonalisde au moyen des deux premieres dtapes seulement, c'est-~-dire ~t l'aide d'une transformation ..It' de la forme particuli6re = q/~9°,
(4.19)
et conduise h des 6nergies de modes propres non n6gatives. Le lemme 2 et la remarque qui le pr6c6de montrent que cette condition est cette lois que .~¢ soit positive d6finie et que
A2-BB*
AB_~'~B
~¢4z3 ~¢~ = \ - - (AB - A B)*
- (A 2 - BB*)*]
commute avec za, c'est ~t dire que t~J
A B = AB. Si A B est sym6trique, chaque mode propre i est doric de la forme (4.18), et ne d6pend donc que d'une fonction ~u~. Cette condition n'est en g6n6ral pas satisfaite, mais si on n6glige maintertant A B - ~ B devant A 2 _ BB* (au lieu de n6gliger B devant A), on obtient urte approximation interm6diaire entre l'approximatiort I et la RPA compl6te, qui a aussi 6t6 utilis6e en physique nucl6aire (pour d = d * ) sous le nom d',,approximation sym6trique" s). Les 6nergies propres et la matrice ql de (4.19), c'est ~t dire la forme (4.18) des modes propres, s'obtiennent alors en diagonalisant A 2 _ BB*. Enfin, m~me dans le cas g6n6ral, la d6composition (4.11) offre tm certain int6r& dans le probl6me de la diagonalisation de ~ , puisqu'elle constitue urte paramdtrisation essentiellement unique des transformations de Bogoliubov ~ ' . 4.3. TRANSFORMATIONS LINI~AIRES ENTRE OPI~RATEURS CANONIQUEMENT CONJUGUI~S
On va traduire ici les r6sultats du § 4.1 en r6exprimant les transformations canoniques (4.1) dans l'espace des op6rateurs canoniquement conjugu6s 1
~
q, ---- --7=_(a,+ a,),
i
t
p, ---- - - (a, -- a,).
42
(4.20)
620
R. BALIAN e t al.
Les transformations (4.1) et (4.2) deviennent les transformations lin~aires entre op~rateurs q~ et p~ qui pr6servent les relations de commutation
[q~,pj] = iS~j,
[q~,qj] = [p~,pj] = 0
(4.21)
et l'hermiticit6 t. Les matrices ~ representatives sont caract~ris6es par les conditions ~2
dr' = ~2,
d/'* = ~¢t',
(4.2')
6quivalentes ~t (4.2); ces conditions (4.2') expriment que ../t' est r6elle et laisse invariante la forme bilin6aire
(q~p,- p~q,);
(4.22)
i
par suite, le groupe de Bogoliubov (4.1) (4.2) est isomorphe au groupe symplectique reel ?z 2m dimensions. Les changements de base (qui dans l'espace des a i 6taient repr6sent6s par le groupe urdtaire m x m (4.4)) sont repr6sent6s darts l'espace des qiP~ par les matrices q/~ du groupe symplectique qui commutent avec z2, c'est ~t dire par les matrices orthogonales symplectiques. Contrairement aux transformations q/ introduites pr6c6demment en (2.4), (3.2) ou (4.4), les q/~ m61angent ici les coordonn6es p e t q. Les transformations sp6ciales (4.5) s'6crivent maintenant q, = e~*'q;,
Pl = e-~'P;
(4.5')
et se traduisent donc par de simples afl~nitds symplectiques. Enfin, dans la base des qiP~, les matrices cC de la forme (4.6) deviennent les matrices diagonales d'616ments c~+ d~. Le lemme 2 et le th6or~me 3 se traduisent alors par les 6nonc6s 6quivalents:
Lemme 2'. Pour qu'une matrice symdtrique rdelle d soit diagonalisable par transformation orthogonale symplectique, il faut et il s u e t que d z 2 d commute avec z2. Thdor~me 3'. Toute transformation symplectique rdelle J [ peut s'dcrire = ~s6aq~"
(4.23)
o~t qls et q./'~ sont des transformations orthogonales symplectiques, et $0 une affinitd symplectique (4.5') le long des axes de coordonndes. Ces propd6t6s peuvent ~tre utiles dans le probl~me de la diagonalisation d'une forme quadratique en q~pj, c'est ~t dire dans la recherche des modes propres pour les petits mouvements d'un syst~me. Remarque. Pour les transformations symplectiques, il n'existe pas toujours err g~ndral de d6composition q / 6 a ~ ' du type 6tabli pour les transformations pseudot Ces transformations s'introduisent non seulement en m6canique quantique, mais aussi en m~canique classique, les conditions (4,21) 6tant alors remplac~es par les conditions de conjugaisoa canonique entre qt et p~.
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONSDE BOGOLIUBOV
621
orthogonales, orthogonales, ou de Bogoliubov, c'est ~t dire off d'une part les ~ et q/' ne m61angeraient pas les variables q~ avec les variables pj, et d'autre part 5 a serait une transformation dans les 2-plans (qlPt)(q2P2)... Par exemple, la matrice (1.2) est symplectique et n'admet pas de telle d6composition.
Appendiee 1 D~MONSTRATION DU LEMME 1
Les deux blocs diagonaux de ~ dans les sous-espaces E t et E x ~tant sym~triques, peuvent &re diagonalis6s respeetivement par des transformations orthogonales Ut(1> et U~1). La transformation ~//(~) correspondante dans l'espace E amine done 3C sous la forme o,Y" ( 1 > =--
[I'*>o,Y-U0 ) - (~ BD),
(A.1)
off A et D sont diagonales. La condition (2.3) de pseudo-orthogonalit6 de K s'6crit alors
(Au-Djj)Bij =
0,
(A.2)
B,jB,,i = tSu,(A 2 - 1 ) ,
(A.3)
BiyB,j, = 6.1y,(D~i--1).
(A.4)
j=l
i=1
L'6quation (A.2) montre que B n ' a d'616ments de matrice non nuls qu'entre indices eorrespondant ~t des valeurs propres 6gales de A et D. D'autre part, les 6quations (A.3) et (A.4) et la condition de positivit6 d6finie de ~ impliquent que les valeurs propres A , et Djy sont sup&ieures ou 6gales ~t 1. Consid6rons alors Fun des blocs non nuls de B, associ6 ~t l'ensemble des indices i et j tels que Al~ = Djj = ch q~; les d6g6n6rescences de cette valeur propre ch (p 6tant respectivement r et s pour A et D, ce bloc b e s t une matriee r x s qui satisfait, en vertu de (A.3) et (A.4), b~ = s h 2 ~ . ~ ,
gb = s h 2 ~ . ~ .
Ces 6quations impliquent que r = s, sauf si q~ = 0 auquel cas b = 0. Soit p < m < n le nombre de valeurs propres Aii distinetes de 1. C o m m e r = s pour ehaque valeur propre, on peut supposer que q/(t> a 6t6 choisie de mani~re que A , = D z > 1 pour i = j < p, et que A u --- Djj = 1 p o u r p < i < m , p < j < n. Consid6rons la transformation orthogonale q/(2> repr6sent6e darts le sous-espace i _<__p de Et par des blocs diagonaux respeetivement 6gaux (pour chaque valeur propre d6g6n6r6e ch ep) ~t
b/sh q~,
R. BALIAN et al.
622
et ne modifiant pas les autres coordonn6es de Et, ni celles de ~cx)q/t2) est alors de la forme 5 a cherch6e.
E x.
La matrice ~t2)
Appendiee 2 1°) La d6composition (2.10) de ~
montre que
det .At' = det a#. det 5 a . det q/',
(A.5)
et que d'autre part det Mt = det Ut" ]--[ ch go~• det U~, '
(A.6)
det Mx = det Ux" 1-I ch tp~ • det U" i
d'oh les 6qs. (2.13)-(2.15). 2 °) Consid6rons la d6composition (2.10) comme une param6trisation du groupe pseudo-orthogonal. Cette d6compositiort de o/t' n'6tant pas unique (voir remarque du § 2), on peut retrouver la mSme transformation ~ pour plusieurs ensembles de valeurs des param&res, mais ~t une variation continue des param&res correspond une variation continue de .At'. Le sous-groupe (2.5) des transformations sp6ciales SP 6tant connexe, les diverses nappes possibles pour le groupe pseudo-orthogonal proviennent de celles du sous-groupe orthogortal (2.4), car q / e t ql' peuvent varier de mani~re discontinue en raison des retournements darts E t et Ex. On peut toujours trouver une d6composition (2.10) de .At' telle que det Ut' = det U~ = + 1. En effet, si q/t1 repr6sente la transformation (orthogonale impropre) qui retourne l'axe tl (changement de signe de t 1 sans modification des autres coordonn6es), on a S#(q~l • • • ~°m)~tl = q/t1 5 a ( - ~ ° 1
"'" q>,,),
(A.7)
et de mSme S ¢ ( t p l . . . q~m)a//xl = a//x~5 ° ( - q h . . . q>m),
(A.7a)
de sorte que le sous-groupe (2.5) est invariant par les renversements d'axes. En se limitant/t de teUes d6compositions, on voit que le groupe pseudo-orthogonal comprend au plus 4 nappes, caract6ris6es par les signes possibles de det Ut et det Ux, c'est/t dire, d'apr~s (2.14), de et et e~. Enfin, il est impossible, par variation continue de ~ de passer d'une de ces nappes /t l'autre. Err effet, det Mt et det M~ varient continuement avec dr', et leurs modules sont sup6rieurs /t 1 (eq. (2.13)); par suite et et e~ ne peuvent changer de sigrte par variation continue de .aft'. 3 °) La valeur de et (ou de e~) est une fonction corttinue de J r , 6gale /t + 1 ou / t - 1 . Ayant 6crit ~ sous la forme (2.10) avec det Ut' = det U~ = + 1, on peut
FORME CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS DE BOGOLIUBOV
623
toujours, par variation continue des param6tres de q/' et Sf, amener ~ sur q/. Les 4 nappes du groupe pseudo-orthogonal sent done caract6ris6es par la nature (propre ou non) des transformations orthogonales Ut et U~ auxquelles on peut ramener ~ par variation continue. I1 en r6sulte que d / e t .A'-1 sent sur la mSme nappe puisqu'il en est de mSme de ad et ql, soit et(~c)e,(dt'-1) = 1 = ~(1),
(A.8)
8x(..ll)Sx(..,£ - I ) = 1 = ~x(1).
(A.8a)
D'autr¢ part, si . ~ et ,At" peuvent &re ramen6s continuement sur q / e t q/', le produit dt',.gt" peut l'~tre sur q/q/', et par suite e,(d[) . e,(d/') = et(J/olC),
(A.9)
e~(~£)- e~(,.£') = e~(¢£.~').
(A.9a)
Les valeurs de et ferment done une repr6sentatioa en vertu des 6qs. (A.8) et (A.9), et de m~me celles de ex en vertu de (A.8a) et (A.9a). I1 en r6sulte imm6diatement que la nappe et = e~ = 1 est un sous-groupe.
Appendice 3 DI~MONSTKATION DU LEMME 2 La d6momtration que la condition (4.9) ou (4.9') est n6cessaire est imm6diate. Inversement, supposons que cette condition soit satisfaite; compte tenu de (4.7) ou (4.7'), elle entralne ABB t = BBtA,
(A.10)
de sorte qu'on peut, par un premier changement de base q/', amener d sous la forme d'-
qz'td~
'' =
A' B'*
B') A' '
(A.m
off A' et B'B "t sent diagonales et r6elles, et off B' satisfait ~t (4.9'), soit (A;,--A~j)B,~ -- O.
(A.12)
I1 r6sulte de (A.12) et de (4.7') que B' est constitu6e de blocs diagonaux carr6s b sym6triques de dimension r, correspondant/t chacune des valeurs propres distinctes de A' (de d6g6n6rescence r). Sous l'action d'une transformation q/" constitu6e de blocs diagonaux unitaires u de dimension r, A' reste inchang6, et chacun des blocs b devient u* b u*.
(A. 13)
624
R. BALIAN e t
aL
I1 suffit done de montrer qu'une matrice b sym&rique et telle qne bb t soit diagonal peut &re diagonalis6e par une transformation tmitaire r•elle u, ou, ee qui revient au mSme, que b admet une base complete de veeteurs propres r6els orthonorm6s. Or, il r6sulte du fait que bb t e s t diagonal et b sym6trique que
bb* = (b"bt) = b*g = b*b.
(A.14)
Par suite, il existe une base orthonorm6e de veeteurs e eommurts ~t b e t b t et telle que
be~ = 2,,e~,,
(A.15)
bte~ = 2*e~.
(A.16)
L'6quation (A. 16) et la sym6trie de b entrainent
be* = 2,e*.
(A.17)
Les 6quations (A.15) et (A.17) montrent alors q u ' o n peut construire ~ partir de Re e~ et I m e~ la base r6elle orthonorm6e ehereh6e. Apr6s transformations q/' et q/", A et B ont 6t6 simultaa6ment diagonalis6s, mais B reste eomplexe. Une derni~re transformation q/'" purement diagonale, et dont les 616ments ont les demi-phases de ceux de B " transforme en vertu de (A.13) cette matriee en lane matriee r6elle, et en d6finJtive off en une matriee de la forme %a.
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