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Fractals de Rauzy
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 175–178 http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/
Systèmes dynamiques
Fractals de Rauzy Ali Messaoudi 1 Departamento de Matemática, Unesp-Universidade Estadual Paulista, Rua Cristovão Colombo, 2265, Jardim Nazareth, CEP 15054-000, São José de Rio Preto, SP, Brasil Reçu le 7 avril 2005 ; accepté après révision le 12 juin 2005
Présenté par Étienne Ghys
Résumé Nous étudions les propriétés arithmétiques et topologiques d’une classe de fractals de Rauzy. En particulier nous donnons une paramétrisation des frontières de ces ensembles et nous montrons que ceux-ci sont des quasi-disques. Pour citer cet article : A. Messaoudi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract Rauzy fractals. We study arithmetical and topological properties of a class of Rauzy Fractals. In particular, we give a parametrization of the boundaries of these sets and show that they are quasi-disks. To cite this article: A. Messaoudi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.
Soient a un entier naturel non nul et (Fn )n0 la suite récurrente définie par : F0 = 0, F1 = 0, F2 = 1, Fn+3 = aFn+2 + Fn+1 + Fn ∀n 0.Il est connu, en utilisant l’algorithme glouton que tout entier naturel n s’écrit d’une manière unique comme n = N i=2 εi Fi où (εi )2iN ∈ D, où D est l’ensemble des suites (εi )2iK tel que K 2 et pour tout i 2, εi = 0, 1, . . . , a, et le mot εi εi−1 εi−2 vérifie la relation εi εi−1 εi−2 1 et deux racines αet α complexes de module < 1. Au polynôme Pa (x), on peut associer un ensemble Ea ⊂ C défini par Ea = i { +∞ i=2 εi α |∀N 2, (εi )2iN ∈ D}. Le plus connu des ensembles Ea est l’ensemble E1 (Fractal de Rauzy). Il a été introduit par Rauzy [7] et a fait l’objet de plusieurs études (voir par exemple [2,4,5,8]). L’ensemble Ea a plusieurs propriétés. Il est compact, connexe [7] et il induit un pavage périodique de C modulo Z + Zα. L’ensemble Adresse e-mail : [email protected] (A. Messaoudi). 1 Financé par une bourse du CNPq-Brazil, 302298/2003-7.
1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. doi:10.1016/j.crma.2005.06.019
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Fig. 1. Voir texte.
Ea constitue aussi une représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution σ définie sur l’alphabet A = {1, 2, 3} par : σ (1) = 11 . . . 1 2, σ (2) = 13, σ (3) = 1. Il est connu [7,4] que la frontière de Ea a
est constituée de 6 régions (Fig. 1(c)) : Y = Y0 = Ea ∩ (Ea + 1 + α), Y1 = Ea ∩ (Ea + 1), Y2 = Ea ∩ (Ea − α), Y3 = Ea ∩ (Ea − 1 − α), Y4 = Ea ∩ (Ea − 1) et Y5 = Ea ∩ (Ea + α). En particulier, nous avons (1) Ea ∩ (Ea + p + qα) = ∅ ⇐⇒ p + qα ∈ 0, ±1, ±α, ±(1 + α) ∀p, q ∈ Z.
1. Résultats Comme |α| < 1 et 0 est contenu dans l’intérieur de Ea (voir [7]), tout nombre complexe et non nul z s’écrit en i base α comme z = +∞ i=l εi α , où l ∈ Z, εl = 0 et pour tout N 2, (εi+l−2 )2iN ∈ D. La suite (εi )il est appelée
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α-développement de z. Il est connu qu’un point de la frontière de Ea possède au moins deux α-développements. Ces nombres complexes sont caractérisés dans le théorème suivant (voir [9]). Théorème 1.1. Il existe un automate fini avec fini d’états) B tel que pour tout (xi )il et (yi )il (graphe ∞un nombre i = i si et seulement si la suite ((x , y )) deux α-développements, nous avons ∞ x α y α i i i i il est un chemin i=l i=l infini de l’automate B et commençant par l’état initial. La méthode de Thurston ne donne pas explicitement les états de l’automate. Ici nous proposons de donner ces états. ∞ i i que z = w. Quitte à Idée de la démonstration. Soient z = ∞ i=l xi α et w = i=l yi α où l ∈ Z. Supposons k −l −k+2 i multiplier par α , nous pouvons supposer que l = 0. Posons pour tout k 0, Ak = α i=0 (xi − yi )α . Donc Ak 2 Ak+1 = α + (xk+1 − yk+1 )α . Supposons sans perte de généralité que x0 = y0 et que x1 > y1 . D’où A0 = 0. Soit +∞ i−1 = i−1 . Si x < a et t = (z − y0 − y1 α − y2 α 2 )/α. Nous avons t = x1 − y1 + (x2 − y2 )α + +∞ 3 i=3 xi α i=3 yi α y3 < a, on a t ∈ Ea ∩ (Ea + x1 − y1 + (x2 − y2 )α). Donc, en vertu de la relation (1), x1 − y1 = 1 et x2 − y2 = 0 ou 1. Nous déduisons que A1 = α 2 et A2 = α si x2 = y2 ou A2 = α + α 2 si x2 = y2 + 1. En étudiant tous les cas et en continuant le même procédé, nous obtenons (voir [6]) que Ak ∈ S = {0, ±α, ±α 2 , ±(α + α 2 ), ±(1 + (a − 1)α 2 ), ±(1 + aα 2 ), ±(1 + α + (a − 1)α 2 )}. Nous construisons un automate B dont les états sont les éléments de S. Soient V et W deux éléments de S. Nous mettons une flèche étiquetée par (x, y) ∈ {0, 1, . . . , a} et allant de V à W si et seulement si W = Vα + (x − y)α 2 . Nous prenons 0 pour état initial de l’automate B. Comme l’ensemble S est fini, nous obtenons un automate fini (Fig. 1(a)). 2 2. Paramétrisation de la frontière de Ea L’automate B décrit explicitement les 6 régions Yi . Par exemple z ∈ Y = Ea ∩ (Ea + 1 + α) ⇔ z = 1 + α + (a − 1)α 2 + αw1 = kα 3 + α 2 w1 où k ∈ {1, . . . , a} et w1 , w1 ∈ Ea . En utilisant l’automate B nous construisons 5 fonctions Fi , i = 1, . . . , 5, et 2a + 1 fonctions gi , i = 0, . . . , 2a telles que Yi = Fi (Y )
∀i = 1, . . . , 5 et Y =
2a
gk (Y ).
(2)
k=0
Ces fonctions sont définies par F1 (z) = 1 + (a − 1)α 2 + αz, F2 (z) = −α 2 + z/α, F3 (z) = z − 1 − α, F4 (z) = (a − 1)α 2 + αz, F5 (z) = −α 2 + α + z/α ; et g0 (z) = c0 + α 3 z, g1 (z) = c1 + α 4 z, g2k (z) = c2k + α 3 z, ∀k = 1, 2, . . . , a et g2k+1 (z) = c2k+1 +α 2 z, ∀k = 1, . . . , a −1 ; où c0 = α 3 +aα 4 , c1 = 1+α +(a −1)α 2 +aα 5 , c2k = kα 3 +(a −1)α 4 , c2k+1 = 1 + α + (a − 1)α 2 + (k − 1)α 3 . Lemme 2.1. Nous avons pour tout i, j ∈ {0, . . . , 2a}, gi (Y )∩gj (Y ) = ∅ ⇔ 0 |i −j | 1. En particulier g2k (Y )∩ g2k+1 (Y ) = {g2k (y0 )} = {g2k+1 (y0 )} ∀k = 0, . . . , a − 1, et g2k−1 (Y ) ∩ g2k (Y ) = {g2k−1 (x0 )} = {g2k (x0 )} ∀k = 3 4 1, . . . , a, où x0 = −α 2 et y0 = aα +(a−1)α . 1−α 3 Soit z un élément de Y . En vertu de la relation (2), il existe une suite (ai )i1 dans {0, 1, . . . , 2a}N telle que z = limn →+∞ ga 1 ◦ ga2 · · · ◦ gan (y) où y ∈ Y arbitraire. Soit g : [0, 1] → Y la correspondance définie de la façon −i N suivante : si t = +∞ i=1 ai (2a + 1) où (ai )i1 ∈ {0, 1, . . . , 2a} alors g(t) = limn→+∞ gb1 ◦ · · · ◦ gbn (x0 ) où b1 = k−1 a1 et pour tout k 2, bk = ak si i=1 ai est pair et 2a − ak sinon. L’idée de la construction de g repose sur le fait ψ(Y ) est l’union des ensembles ψ ◦ g0 (Y ), ψ ◦ g1 (Y ), . . . , ψ ◦ g2a (Y ) que si ψ = ga1 ◦ ga2 · · · ◦ gan alors l’ensemble (dans le sens trigonométrique) si ni=1 ai est pair, et ψ ◦ g2a (Y ), ψ ◦ g2a−1 (Y ), . . . , ψ ◦ g0 (Y ) si ni=1 ai est
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kn où les nombres c sont donnés ci-dessus, k = 0 et k = impair. Il est facile de voir que g(t) = +∞ i 1 n n=1 cbn α pn + 2(n − 1 + ln ) pour tout n 2, où pn (resp. ln ) est le nombre d’entiers pairs (resp. le nombre de 1) figurant n’est pas de voir que g est bien définie. En effet : soient t, t ∈ [0, 1] tels dans le mot difficile +∞b1 · · · bn−1 . Il +∞ −i que t = i=1 ai (2a + 1) et t = i=1 ai (2a + 1)−i où (ai )i1 , (ai )i1 ∈ {0, 1, . . . , 2a}N . Si t = t et (ai )i1 est lexicographiquement supérieure á (ai )i1 alors nous pouvons monter qu’il existe un entier k tel que ai = ai pour tout 1 i k, ak+1 = ak+1 + 1, ai = 0 et ai = 2a∀i > k + 1. En utilisant la définition de g, nous vérifions facilement que g(t) = g(t ). En vertu de la relation (2) et du Lemme 2.1, nous pouvons aussi montrer (voir [6]) que g est une application −2 ln |α| Hölder continue. Posons F0 (z) = z, bijective, continue et vérifie g(0) = x0 et g(1) = y0 . En plus g est δ = ln(2a+1) ∀z ∈ C. En utilisant les fonctions g et Fi , i = 0, 1, . . . , 5, nous définissons une application continue et bijective de [0, 1] dans Yi par : hi (t) = Fi ◦ g(t) si i est pair, et hi (t) = Fi ◦ g(1 − t) si i est impair. En fait, Yi est Fi (y0 ) et Fi (x0 ) si i est impair. l’arc d’extrémités Fi (x0 ) et Fi (y0 ) (dans le sens trigonométrique) si i est pair, et −i Maintenant, considérons la correspondance f : [0, 1] → Fr(Ea ) définie par : si t = +∞ i=1 ai 6 où ai ∈ {0, 1, . . . , 5} alors f (t) = Fa1 ◦ g(6t − a1 ) si a1 est pair, et Fa1 ◦ g(1 + a1 − 6t) si a1 est impair. Théorème 2.2. La correspondance f est une application bijective est continue sur ]0, 1[. En plus f (0) = f (1) et −2 ln |α| f est δ = ln(2a+1) Holder ¨ continue. 3. La frontière de Ea est un quasi-cercle Nous pouvons montrer, en utilisant l’auto-similarité de Y0 qu’il existe un réel k > 0, tels que si 0 t0 t1 t2 1 alors |g(t1 ) − g(t0 )| k|g(t2 ) − g(t0 )|. En vertu de l’auto-similarité de Fr(Ea ) et du Lemme 2.1, nous pouvons montrer (voir [6]) que pour tout x, y ∈ Fr(Ea ), min(diam(I (x, y)), diam(I (y, x)) k|x − y|, où pour tout z, w ∈ Fr(Ea ), I (z, w) est l’arc de Fr(Ea ) d’origine z et d’extrémité w dans le sens trigonométrique, et diam(I (z, w)) est le diamétre de I (z, w). D’où Fr(Ea ) vérifie les conditions d’Ahlfors. Par conséquent, Fr(Ea ) est un quasi-cercle. Remarque 1. Le cas a = 1 a été étudié dans [5], et la même approche a été utilisée dans [3] pour étudier la frontière du fractal du Dragon. Pour l’étude de certaines propriétés topologiques d’ ensembles fractals donnés par un système de numération, voir aussi [1]. Remerciements Je tiens à remercier le referee pour ses suggestions importantes. Références [1] S. Akiyama, J. Thuswaldner, A survey on topological properties of tiles related to number systems, Geom. Dedicata 109 (2004) 89–105. [2] P. Arnoux, S. Ito, Pisot substitutions and Rauzy fractals, Bul. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8 (2001) 181–207. [3] A. Benedek, R. Panzone, The set of Gaussian fractions, in: Proc. Second Conf. Math. “Dr. Antonio A.R. Monteiro” (Bahia Blanca), 1993, 11–40. [4] S. Ito, M. Kimura, On the Rauzy Fractal, Japan J. Indust. Appl. Math. 8 (1991) 461–486. [5] A. Messaoudi, Frontière du fractal de Rauzy et systèmes de numération complexe, Acta Arith. XCV (3) (2000) 195–224. [6] A. Messaoudi, Propriétés arithmétiques et topologiques d’une classe d’ensembles fractals, Preprint numéro 7, Institut de Mathématiques de Luminy, Marseille, 2005. [7] G. Rauzy, Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France 110 (1982) 147–178. [8] A. Siegel, Pure discrete spectrum dynamical systems and periodic tiling associated with a substitution, Ann. Inst. Fourier 2 (54) (2004) 288–299. [9] W.P. Thurston, Groups, Tilings, and Finite State Automata, Amer. Math. Soc. Colloq. Lectures, Amer. Math. Soc., 1990.
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Présenté par Étienne Ghys
Résumé Nous étudions les propriétés arithmétiques et topologiques d’une classe de fractals de Rauzy. En particulier nous donnons une paramétrisation des frontières de ces ensembles et nous montrons que ceux-ci sont des quasi-disques. Pour citer cet article : A. Messaoudi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract Rauzy fractals. We study arithmetical and topological properties of a class of Rauzy Fractals. In particular, we give a parametrization of the boundaries of these sets and show that they are quasi-disks. To cite this article: A. Messaoudi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.
Soient a un entier naturel non nul et (Fn )n0 la suite récurrente définie par : F0 = 0, F1 = 0, F2 = 1, Fn+3 = aFn+2 + Fn+1 + Fn ∀n 0.Il est connu, en utilisant l’algorithme glouton que tout entier naturel n s’écrit d’une manière unique comme n = N i=2 εi Fi où (εi )2iN ∈ D, où D est l’ensemble des suites (εi )2iK tel que K 2 et pour tout i 2, εi = 0, 1, . . . , a, et le mot εi εi−1 εi−2 vérifie la relation εi εi−1 εi−2
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Fig. 1. Voir texte.
Ea constitue aussi une représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution σ définie sur l’alphabet A = {1, 2, 3} par : σ (1) = 11 . . . 1 2, σ (2) = 13, σ (3) = 1. Il est connu [7,4] que la frontière de Ea a
est constituée de 6 régions (Fig. 1(c)) : Y = Y0 = Ea ∩ (Ea + 1 + α), Y1 = Ea ∩ (Ea + 1), Y2 = Ea ∩ (Ea − α), Y3 = Ea ∩ (Ea − 1 − α), Y4 = Ea ∩ (Ea − 1) et Y5 = Ea ∩ (Ea + α). En particulier, nous avons (1) Ea ∩ (Ea + p + qα) = ∅ ⇐⇒ p + qα ∈ 0, ±1, ±α, ±(1 + α) ∀p, q ∈ Z.
1. Résultats Comme |α| < 1 et 0 est contenu dans l’intérieur de Ea (voir [7]), tout nombre complexe et non nul z s’écrit en i base α comme z = +∞ i=l εi α , où l ∈ Z, εl = 0 et pour tout N 2, (εi+l−2 )2iN ∈ D. La suite (εi )il est appelée
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α-développement de z. Il est connu qu’un point de la frontière de Ea possède au moins deux α-développements. Ces nombres complexes sont caractérisés dans le théorème suivant (voir [9]). Théorème 1.1. Il existe un automate fini avec fini d’états) B tel que pour tout (xi )il et (yi )il (graphe ∞un nombre i = i si et seulement si la suite ((x , y )) deux α-développements, nous avons ∞ x α y α i i i i il est un chemin i=l i=l infini de l’automate B et commençant par l’état initial. La méthode de Thurston ne donne pas explicitement les états de l’automate. Ici nous proposons de donner ces états. ∞ i i que z = w. Quitte à Idée de la démonstration. Soient z = ∞ i=l xi α et w = i=l yi α où l ∈ Z. Supposons k −l −k+2 i multiplier par α , nous pouvons supposer que l = 0. Posons pour tout k 0, Ak = α i=0 (xi − yi )α . Donc Ak 2 Ak+1 = α + (xk+1 − yk+1 )α . Supposons sans perte de généralité que x0 = y0 et que x1 > y1 . D’où A0 = 0. Soit +∞ i−1 = i−1 . Si x < a et t = (z − y0 − y1 α − y2 α 2 )/α. Nous avons t = x1 − y1 + (x2 − y2 )α + +∞ 3 i=3 xi α i=3 yi α y3 < a, on a t ∈ Ea ∩ (Ea + x1 − y1 + (x2 − y2 )α). Donc, en vertu de la relation (1), x1 − y1 = 1 et x2 − y2 = 0 ou 1. Nous déduisons que A1 = α 2 et A2 = α si x2 = y2 ou A2 = α + α 2 si x2 = y2 + 1. En étudiant tous les cas et en continuant le même procédé, nous obtenons (voir [6]) que Ak ∈ S = {0, ±α, ±α 2 , ±(α + α 2 ), ±(1 + (a − 1)α 2 ), ±(1 + aα 2 ), ±(1 + α + (a − 1)α 2 )}. Nous construisons un automate B dont les états sont les éléments de S. Soient V et W deux éléments de S. Nous mettons une flèche étiquetée par (x, y) ∈ {0, 1, . . . , a} et allant de V à W si et seulement si W = Vα + (x − y)α 2 . Nous prenons 0 pour état initial de l’automate B. Comme l’ensemble S est fini, nous obtenons un automate fini (Fig. 1(a)). 2 2. Paramétrisation de la frontière de Ea L’automate B décrit explicitement les 6 régions Yi . Par exemple z ∈ Y = Ea ∩ (Ea + 1 + α) ⇔ z = 1 + α + (a − 1)α 2 + αw1 = kα 3 + α 2 w1 où k ∈ {1, . . . , a} et w1 , w1 ∈ Ea . En utilisant l’automate B nous construisons 5 fonctions Fi , i = 1, . . . , 5, et 2a + 1 fonctions gi , i = 0, . . . , 2a telles que Yi = Fi (Y )
∀i = 1, . . . , 5 et Y =
2a
gk (Y ).
(2)
k=0
Ces fonctions sont définies par F1 (z) = 1 + (a − 1)α 2 + αz, F2 (z) = −α 2 + z/α, F3 (z) = z − 1 − α, F4 (z) = (a − 1)α 2 + αz, F5 (z) = −α 2 + α + z/α ; et g0 (z) = c0 + α 3 z, g1 (z) = c1 + α 4 z, g2k (z) = c2k + α 3 z, ∀k = 1, 2, . . . , a et g2k+1 (z) = c2k+1 +α 2 z, ∀k = 1, . . . , a −1 ; où c0 = α 3 +aα 4 , c1 = 1+α +(a −1)α 2 +aα 5 , c2k = kα 3 +(a −1)α 4 , c2k+1 = 1 + α + (a − 1)α 2 + (k − 1)α 3 . Lemme 2.1. Nous avons pour tout i, j ∈ {0, . . . , 2a}, gi (Y )∩gj (Y ) = ∅ ⇔ 0 |i −j | 1. En particulier g2k (Y )∩ g2k+1 (Y ) = {g2k (y0 )} = {g2k+1 (y0 )} ∀k = 0, . . . , a − 1, et g2k−1 (Y ) ∩ g2k (Y ) = {g2k−1 (x0 )} = {g2k (x0 )} ∀k = 3 4 1, . . . , a, où x0 = −α 2 et y0 = aα +(a−1)α . 1−α 3 Soit z un élément de Y . En vertu de la relation (2), il existe une suite (ai )i1 dans {0, 1, . . . , 2a}N telle que z = limn →+∞ ga 1 ◦ ga2 · · · ◦ gan (y) où y ∈ Y arbitraire. Soit g : [0, 1] → Y la correspondance définie de la façon −i N suivante : si t = +∞ i=1 ai (2a + 1) où (ai )i1 ∈ {0, 1, . . . , 2a} alors g(t) = limn→+∞ gb1 ◦ · · · ◦ gbn (x0 ) où b1 = k−1 a1 et pour tout k 2, bk = ak si i=1 ai est pair et 2a − ak sinon. L’idée de la construction de g repose sur le fait ψ(Y ) est l’union des ensembles ψ ◦ g0 (Y ), ψ ◦ g1 (Y ), . . . , ψ ◦ g2a (Y ) que si ψ = ga1 ◦ ga2 · · · ◦ gan alors l’ensemble (dans le sens trigonométrique) si ni=1 ai est pair, et ψ ◦ g2a (Y ), ψ ◦ g2a−1 (Y ), . . . , ψ ◦ g0 (Y ) si ni=1 ai est
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A. Messaoudi / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 175–178
kn où les nombres c sont donnés ci-dessus, k = 0 et k = impair. Il est facile de voir que g(t) = +∞ i 1 n n=1 cbn α pn + 2(n − 1 + ln ) pour tout n 2, où pn (resp. ln ) est le nombre d’entiers pairs (resp. le nombre de 1) figurant n’est pas de voir que g est bien définie. En effet : soient t, t ∈ [0, 1] tels dans le mot difficile +∞b1 · · · bn−1 . Il +∞ −i que t = i=1 ai (2a + 1) et t = i=1 ai (2a + 1)−i où (ai )i1 , (ai )i1 ∈ {0, 1, . . . , 2a}N . Si t = t et (ai )i1 est lexicographiquement supérieure á (ai )i1 alors nous pouvons monter qu’il existe un entier k tel que ai = ai pour tout 1 i k, ak+1 = ak+1 + 1, ai = 0 et ai = 2a∀i > k + 1. En utilisant la définition de g, nous vérifions facilement que g(t) = g(t ). En vertu de la relation (2) et du Lemme 2.1, nous pouvons aussi montrer (voir [6]) que g est une application −2 ln |α| Hölder continue. Posons F0 (z) = z, bijective, continue et vérifie g(0) = x0 et g(1) = y0 . En plus g est δ = ln(2a+1) ∀z ∈ C. En utilisant les fonctions g et Fi , i = 0, 1, . . . , 5, nous définissons une application continue et bijective de [0, 1] dans Yi par : hi (t) = Fi ◦ g(t) si i est pair, et hi (t) = Fi ◦ g(1 − t) si i est impair. En fait, Yi est Fi (y0 ) et Fi (x0 ) si i est impair. l’arc d’extrémités Fi (x0 ) et Fi (y0 ) (dans le sens trigonométrique) si i est pair, et −i Maintenant, considérons la correspondance f : [0, 1] → Fr(Ea ) définie par : si t = +∞ i=1 ai 6 où ai ∈ {0, 1, . . . , 5} alors f (t) = Fa1 ◦ g(6t − a1 ) si a1 est pair, et Fa1 ◦ g(1 + a1 − 6t) si a1 est impair. Théorème 2.2. La correspondance f est une application bijective est continue sur ]0, 1[. En plus f (0) = f (1) et −2 ln |α| f est δ = ln(2a+1) Holder ¨ continue. 3. La frontière de Ea est un quasi-cercle Nous pouvons montrer, en utilisant l’auto-similarité de Y0 qu’il existe un réel k > 0, tels que si 0 t0 t1 t2 1 alors |g(t1 ) − g(t0 )| k|g(t2 ) − g(t0 )|. En vertu de l’auto-similarité de Fr(Ea ) et du Lemme 2.1, nous pouvons montrer (voir [6]) que pour tout x, y ∈ Fr(Ea ), min(diam(I (x, y)), diam(I (y, x)) k|x − y|, où pour tout z, w ∈ Fr(Ea ), I (z, w) est l’arc de Fr(Ea ) d’origine z et d’extrémité w dans le sens trigonométrique, et diam(I (z, w)) est le diamétre de I (z, w). D’où Fr(Ea ) vérifie les conditions d’Ahlfors. Par conséquent, Fr(Ea ) est un quasi-cercle. Remarque 1. Le cas a = 1 a été étudié dans [5], et la même approche a été utilisée dans [3] pour étudier la frontière du fractal du Dragon. Pour l’étude de certaines propriétés topologiques d’ ensembles fractals donnés par un système de numération, voir aussi [1]. Remerciements Je tiens à remercier le referee pour ses suggestions importantes. Références [1] S. Akiyama, J. Thuswaldner, A survey on topological properties of tiles related to number systems, Geom. Dedicata 109 (2004) 89–105. [2] P. Arnoux, S. Ito, Pisot substitutions and Rauzy fractals, Bul. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8 (2001) 181–207. [3] A. Benedek, R. Panzone, The set of Gaussian fractions, in: Proc. Second Conf. Math. “Dr. Antonio A.R. Monteiro” (Bahia Blanca), 1993, 11–40. [4] S. Ito, M. Kimura, On the Rauzy Fractal, Japan J. Indust. Appl. Math. 8 (1991) 461–486. [5] A. Messaoudi, Frontière du fractal de Rauzy et systèmes de numération complexe, Acta Arith. XCV (3) (2000) 195–224. [6] A. Messaoudi, Propriétés arithmétiques et topologiques d’une classe d’ensembles fractals, Preprint numéro 7, Institut de Mathématiques de Luminy, Marseille, 2005. [7] G. Rauzy, Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France 110 (1982) 147–178. [8] A. Siegel, Pure discrete spectrum dynamical systems and periodic tiling associated with a substitution, Ann. Inst. Fourier 2 (54) (2004) 288–299. [9] W.P. Thurston, Groups, Tilings, and Finite State Automata, Amer. Math. Soc. Colloq. Lectures, Amer. Math. Soc., 1990.