Gamma caméra à collimation assistée par ordinateur (CACAO)

Gamma

camera

2 collimation assistke par ordinateur (CACAO)

Premike

partie : principes de base mkthode de reconstruction

et

C Jeanguillaume1B2, S BBgot2, M Quartuccio2, P Ballongue2

epuis sa conception vers 1960, la gamma camera ou camera d/Anger a ete l’objet de nombreux perfectionnements techniques, qui ont nettement contribue a l’augmentation de sa resolution intrinseque. Paradoxalement, les collimateurs n’ont, dans leur principe, pas evolue, seuls des progres dans leur fabrication ont permis de reduire le diametre des trous et des parois. En effet avant 1970, les collimateurs utilises pour le technetium 99m comportaient typiquement 4000 trous form& de tubes car&s accoles. 11s furent alors remplac&s par des collimateurs form& de lames embouties, encore utilises de nos jours, et permettant d’obtenir des cloisons (ou septa) t&s fins (0,2 mm) 111. Ces derniers collimateurs sont actuellement en concurrence avec des collimateurs moules qui presentent une plus faible distorsion au prix d’une sensibilite un peu diminuee. A cot& de cette evolution des collimateurs a trous paralleles qui va dans le sens d’une reduction du diametre, quelques auteurs ont propose des ouvertures codees [2,31, puis des ouvertures codees en mouvement [41. Mais la plupart de ces travaux avaient pour but d’augmenter la resolution sans se saucier de la sensibilite et ont done conduit a des systemes de peu d’interet pratique. De plus, beaucoup de ces essais directement inspires des travaux de l’optique photonique considerent

‘Sewe de mkdecine nuclkaire (Pr Gaile), h&ital centre d’Orsay, 91405 Orsay, France, REM

Henri-Mondor

(1996)

94000 Crirteil : 2 laboratoire

18, 7, 198-206

0 Elsevier,

Paris

un code rigoureusement plan pour imager un objet suppose plan, ce qui est loin des conditions de travail de l’imagerie medicale gamma. Parallelement ?I nos travaux, mais independamment, Fonroget a propose, dans une communication, d’utiliser un collimateur a trous cylindriques anime d’un mouvement de translation pour la scintigraphie thyro’idienne. Mais son systeme ne fait pas cas de la sensibilite, ne travaille pas en tomographie et ne corrige pas la variation de la reponse en fonction de la distance.

Imperfection des collimateurs a trous paraMes classiques La partie detecteur des gamma cameras est tres efficace pour les gamma de 140 keV du 99mT~ : resolution 3 h 4 mm ; sensibilite : 90 %. Malheureusement, l’ensemble collimateur-detecteur est loin d’etre optimum. n Compromis

rholution-sensibilite Dans un des derniers numeros de MPdecine Nuclkaire, Mestais et al et Tournier et al [5,61 presentent de facon detaillee le compromis resolution-sensibilite des gamma cameras. Nous nous contenterons ici d’une approche simplifiee. 11est bien connu que la resolution d’un detecteur fixe equip6 d’un collimateur a trous paralleles est

de physique des solides

bstlment 510,

CACAO : principes

d’autant meilleure que le diametre des trous est petit. Par ailleurs, la degradation de la resolution avec la distance source-collimateur est aggravee par la diminution de la longueur des trous du collimateur. Malheureusement, plus les trous du collimateur sont fins et longs, plus la sensibilite du systeme est reduite. Typiquement, pour un collimateur classique, possedant des trous hexagonaux de 2 mm de large et de 5 mm de long, la sensibilite geomktrique du collimateur est de 10-4. C’est-a-dire qu’un seul photon atteindra le detecteur sur les lo4 emis. Pour les valeurs courantes des collimateurs utilises en medecine nucleaire, le compromis sensibilit&-resolution suit d’ailleurs une loi lineaire. Si l’on trace, pour une gamma camera, plusieurs valeurs de couples sensibilite-resolution correspondant a differents collimateurs, les points se repartissent sur une droite. La figure 1 a et& tracee a partir des donnees fournies par les constructeurs : resolution a 10 cm et sensibilite en cpm/nCi pour le 99mT~. n Incertitude

de bases et m&hode

100

-I 6

de reconstruction

-

Elsc~nt

-‘-

Picker

-

TrIonix

-.-

Slemens

AH

I 6.5

7

7,5

RBsolution

8

8,5

en

mm

9

B 10

9,s

10

cm

5, Fig 7. Diagramme ihstrant graphiquement le compromis sensibilit8-r6solution pour dift+ fkrentes gamma cam&as commercia/i&es actuellement. Chaque point du diagramme a2 repksente un ensemble collimateur-dbtecteur. Les diffkrents points provenant du meme dktecteur sent reks ensemble par des segments de droites.

trou

Pour les gamma cameras du commerce, la resolution intrinseque est comprise entre 3 et 4 mm et il n’est pas ininteressant de constater que la plupart des collimateurs tous usages ou haute resolution ont des trous de largeurs inferieures a ces valeurs. 11 en resulte une c( incertitude trou >> au contact de la camera (fig 2). D’une image form&e par un seul photon, il n’est pas possible de savoir par quel trou du collimateur ce photon est passe. On a la une indetermination importante qui fait chuter la resolution au contact de la camera a 5 ou 6 mm dans le meilleur des cas. Ainsi, le collimateur affecte les performances des detecteurs a un tel point qu’une augmentation de la resolution intrinseque ne sera que tres faiblement ressentie au niveau de la resolution globale ou extrinseque du systeme [5]. w Variation de la rkponse avec la distance objet collimateur La reponse du detecteur a une source ponctuelle est d’autant

Fig 2. Schkma reprksentant R/‘incertitude trou )), qui est la perte de r&o/&ion due au couI p/age collimateur-dhtecteur. Pour une r&solution intrinskque de 3 mm (reprksehe ici de faGon discrete) le dhtecteur se trouve k/air@ sur 6 mm. /I est alors impossible de savoir par s quel trou du collimateur est passe le photon gamma.

plus large que la source est eloignee du detecteur. Ainsi la resolution chute en fonction de ce parametre et d’autant plus rapidement que la longueur des trous du collimateur est faible. Dans le cas precedent, avec une resolution de 5 mm au contact du collimateur, la resolution sera de 8mma10cmet17mma20cm.Ce phenomene rend compte de la difficult& d’observer en scintigraphie des organes profonds (comme le pancreas). RBM

(1996) l!%

18,i’

w Application

P la tomographie

Cette variation de la reponse en fonction de la distance est encore plus nefaste en tomographie. Examinons ce qui passe lors d’une reconstruction par simple retroprojection. Pour la tomodensitometrie X et pour un echantillonnage infiniment fin, la simple retroprojection nous donne une image equivalente a la convolution de l’objet par un noyau a symetrie cylindrique

C Jeanguillaume

decroissant en 1 /r, qui sera done parfaitement corrigee par un filtre rampe. Lors d’une acquisition faite avec une gamma camera, pour chaque angle d’acquisition, les sources composant l’objet sont en fait convoluees dans le plan du detecteur, avec une reponse d’autant plus large que l’objet est eloigne. AprPs retroprojection dans le plan transverse, les differentes largeurs de ces reponses ne seront done pas identiques. Seul le pixel au centre de rotation sera c>par un noyau symetrique. Le terme convolue est ici

et a/

mis entre guillemets car le noyau varie de point en point et il ne s’agit plus d’une veritable convolution, mais d’une convolution glissante. La symetrie cylindrique du noyau n’est d’ailleurs plus respectee pour les autres pixels, cet effet est illustre sur la figure 3 qui montre comment des reponses de largeurs differentes vont se combiner dans l’image retroprojetee. Bien que quelques efforts theoriques aient et6 realises ces dernieres annees pour corriger cette distorsion, le faible nombre de photons recueillis et les

RCtroprojection

Fig 3. Wation de la r&olution avec /a distance source-ditecteur en mode tomographique. A gauche, une source radioactive est d6tect6e B trois moments diffbrents au tours de /a kvolution de /a gamma cam&a autour du patient. Les trois cam&as sont repr6sent6es avec la rkponse qui est d’autant plus large que /a source est plus loin. A droite, ces rkponses se trouvent report6es dans le p/an de /a Mroprojection, conduisant g une relation objet/image qui n’est plus une simple convolution, comme cela est g&ka/ement admis.

Fig 4. Ensemble du syst&me de detection CACAO : I- d&ecteursensib/e B /a position ; 2collimafeur d gros trous (plus large que la r&olution intrins8que du d&ecteur) ; 3- mouvement Waire de translation tangentielle ; 4- mouvement de r&olution circulaire ou elliptique, a&our du patient. RBM

(1996) “IL

18,7

importantes incertitudes de localisation attenuent malheureusement le gain que pourrait apporter cette correction.

Le concept CACAO : description I Schema &&al Le concept de gamma camera g collimation assistee par ordinateur (CACAO) a et6 forme pour kiter tous les inconvenients evoques ci-dessus et permettre un reel gain dans le compromis resolution-sensibilite. Bien que deja decrit 17,101, nous en presenterons ici les elements essentiels. L’ensemble du systeme (fig 4) se compose d’un detecteur type camera de Anger (1) equip6 d’un collimateur a trous cylindriques (ou coniques) (2) dont le diametre est superieur a la resolution intrinseque du detecteur. Comme tout systeme tomographique, l’ensemble est capable d’un mouvement de rotation (41, auquel on ajoute un deplacement lineaire tangentiel (3). n Collimateur

Le collimateur se compose d’un assemblage compact de trous, comme la disposition hexagonale qui assure une haute sensibilite. La difference majeure avec les systemes actuels est la largeur des trous qui est augmentee, superieure a la resolution intrinseque du detecteur. Cette caracteristique a plusieurs consequences : la sensibilite est grandement amelioree et on peut profiter d’une partie de ce gain en sensibilite pour augmenter la longueur des trous, ameliorant la resolution et attenuant la variation de la resolution avec la distance. Les trous sont moins nombreux, l’epaisseur des parois entre les trous influence moins la sensibilite. Une amelioration de la collimation peut ainsi @tre obtenue a moindre frais. Enfin, derniere consequence de cette augmentation de la taille des trous, nous n’avons plus de projection vraie, directement interpretable par nos yeux lors d’une acquisition statique. Nous devons done realiser des acquisitions tomographiques, avec une sequence d’acquisition un peu particuliere.

CACAO : principes

de bases et mkthode

de reconstruction

w Acquisition Pour retrouver un ensemble d’information complet sur le volume analysk, nous proposons d’ajouter un balayage plan de l’ensemble collimateur-detecteur. La figure 5 illustre ce point. Supposons, pour simplifier, que nous ayons un collimateur & un seul trou (fig 5a) : comme ce trou a une largeur supkrieure 2i la rksolution intrinsgque, il correspond 2 n x n pixels du detecteur (fig 5c), on d&place ce trou sur toute la surface & analyser d’une facon dense. 11y aura done N x N positions du trou (fig 5b) ; & la fin de ce processus, on tourne le plan d’analyse pour recommencer un autre cycle. Cornpark g une acquisition tomoscintigraphique classique, le seul mouveinent & rajouter est un balayage-plan. Celui-ci peut toutefois @trerkduit a un simple balayage ligne, si l’on dispose de plus d’un trou dans le collimateur, et si ces trous sont agencks en un rkseau incline par rapport & l’axe de dkplacement lingaire. Cette configuration est illustrke sur la figure 6, oti nous avons rep&sent6 le collimateur avec ses trous et leurs centres (fig 6a), le mPme collimateur apr& une translation (fig 6b) et aprPs plusieurs translations en ne conservant que les centres des trous pour montrer l’agencement rkgulier de ces derniers (fig 6~). La figure 4 illustre alors notre sbquence d/acquisition qui sera composke d’un dkplacement linkaire (de N x N pas) suivi d’une rotation puis d’un nouveau dkplacement linkaire, et ainsi de suite jusqu’g rotation complPte. 11faut toutefois noter dPs maintenant que I’augmentation de la complexitk de l’acquisition n’impose pas forcement une acquisition plus longue. Grhce h l’augmentation du gain en sensibilitk, le nombre de photons compt& dans chaque acquisition elkmentaire va croitre et, par ailleurs, le nombre d’angles pourra @trediminuk par la prise en compte de l’effet tomographique lors du balayage plan.

Reconstruction

tomographique

11 existe 2 l’heure actuelle de nombreuses mkthodes de recons-

le dhscteur est d6plack au dessus de la surface k observer

NxN

positions

du ditecteur

SC

le dbtecteur

a nxn

pixels I’ensemble est

,,m

-$ Fig 5.

Schema ihstrant

/a dimensionaM

des donrkes acquises NxNxnxn par angle

des donm?es acquises avec le mode CACAO.

b

a

Fig 6. Schkma montrant comment un arrangement des trous suivant un rbeau inclink et un dkplacement linkaire de /‘ensemble collimateur detecteur rkalise un balayage suffacique compact. 6a reprksente /es trous du collimateur et leurs centres. 6b reprksente le collimateur dans sa position Male et le collimateur lbgkrement d8cak. 6c aprks 15 d.kp/acements, seules /es positions des centres des trous sont reprksentkes, montrant au centre de la figure un rkseau rbgulier compact.

truction tomographique qui peuvent s’appliquer 2 la tomographie de simple photon et le systirme CACAO pourra en bkneficier. Les diffkrences entre ces algorithmes dependent de leurs performances en termes de temps de calcul et de qualitk de l’image reconstruite. w Sommation-dkcalage Cette methode proposke [7, 101 devrait etre intkessante en terme de rapiditk de calcul. Elle peut servir de base 3 des traitements plus complexes et permet de transformer le probkme en une kquation de convolution qui pr& RBM

(1996)

2a-1

18, 7

sente un int&Pt didactique. Pour faciliter la comprkhension, nous traiterons un problhme rkduit h deux dimensions, mais l’extension & trois dimensions ne pr& sente pas de difficult& particulikes. Description dimensions

du probEme b deux

Dans ce chapitre, nous considkrerons un objet gmetteur B deux dimensions et un detecteur & une dimension se dkplafant le long d’une ligne fixe. La figure 7 donne les notations utiliskes pour dkrire le collimateur : L est la largueur du dktecteur (diamgtre

C Jeanguillaume

pour un trou de section circulaire), P est la profondeur du collimateur ou longueur des trous. La figure 8 montre les systemes de coordonnees utilises : 0 est l’origine des coordonnees prises a la hauteur du plan d/entree du cristal detecteur ; x et y les coordonnees de l’espace objet ; p(x,y) est la densite de source radioactive a reconstruire (c’est-a-dire provenant du patient) ; x est l’abscisse rep&ant la position du detecteur sur l’axe x (rep&e fixe) v est la coordonnee algebrique rep&ant la position d’un photon gamma arrivant sur le detecteur par rapport au milieu de celui-ci (rep&e mobile) ; enfin g(x, v) est la densite de photons detect&, correspondant a l’acquisition ; enfin z represente la plus grande distance au-deli de laquelle on ne considerera plus d’objet emissif. En negligeant les phenomenes d’attenuation et en supposant la collimation parfaite, le probleme s’ecrit mathematiquement comme l/inversion de l’equation integrale suivante (1) :

oti la double integration represente l’acquisition selon un seul angle lorsque le detecteur se d&place parallelement a l’axe des x. Son abscisse (x) varie et, a chaque position, on obtient une fonction dependant de la variable v : g(x,v) a x fix& Chaque point du detecteur enregistre l’activite des sources sit&es dans un triangle dont le sommet est le point du detecteur considere et dont les cot& s’appuient sur les rebords du collimateur (volume multiplex). L’integration est effectuee sur I’axe y entre z et P, puisque les sources emettrices sont situees a l’exterieur du collimateur (y > I’) et pas plus eloignees que 7 (y < z). En x, l’integration est plus complexe puisqu’elle tient compte de la position du detecteur, du point du detecteur considere et de la position y de la source pour determiner les limites du volume multiplex. Sommation-de’calage dimensions

h deux

Examinons maintenant le cas simple d’une source situee t&s

et a/

L -1

I

Fig 7. Trou du collimateur dans une rbduction du sy.st&me,4deux dimensions. L est la largeur et P la profondeur.

cisses v les plus eloignees de la source recoivent des photons. L’encart en haut de la figure 10 montre les don&es obtenues dans le plan (x, v) oti seul un parallelogramme est eclair+. La sommation-decalage consiste a transformer le plan (x, v) par glissement des donnees pour obtenir une reponse rectangulaire des sources eloignees. Puis une sommation transforme ces rectangles en fonction creneau, ramenant le probleme a un produit de convolution dans l’espace reel. Dans cette description, la fonction a deux dimensions g(x, v) est d’abord transformee en une fonction a trois dimensions G(x,v,,y) par le changement de variable suivant (2) : v->

v2

IIx->,Y=x+v,(y/P-1) Fig 8. Schema reprkenfant /es axes de r.f& rences et /es notations ufili&es dans le texfe. Oxy est le rep&e fixe Ii6 au patient. Dans ce rep&e, on recherche la densif de source radioactive p(x,yj. x rep&e /a position du centre du d&ecteur dans le systeme d’axe fixe. Et v rep&e /a position sur le dktecteur (par rapport au centre de ce dernier) dans le rep&e mobile. g(x,v) est /a dens26 de photons gamma d&ect&.

pres du collimateur (x = x1 y = I’). La figure 9 illustre la situation, pour toutes les positions eloignees de x1, le detecteur ne collectera aucun photon, et pour les positions situees entre x1 - L/2 et x1 + L/2, le detecteur sera presque uniformement eclair6 (en fait il y aura une leg&e dependance avec l’angle d’eclairement, d’autant plus faible que P sera grand). La partie haute de la figure 9 illustre les don&es obtenues dans le plan (x, v) oti seul le rectangle limit6 par x1 - L/2 et x1 + L/2 est eclair+. La figure 10 montre le cas d’une source eloignee de l’entree du collimateur (x = x2, y = 6). Le detecteur refoit des photons sur un ensemble de positions plus large : de x2 + L(G/P -l/2) a x2 L(6/P - l/2). Mais pour ces positions, l’eclairement du detecteur n’est pas uniforme, seules les absRBM

(1996) &U

IS,7

Enfin S(x,y) est obtenue simplement par sommation (ou projection) (3) :

S(X,Y) = J:$~x,

v2 ,yW,

La figure lla montre un objet compose de deux sources, l’une a l’ordonnee y = P + 64 ; x1 = 50 l’autre a l’ordonnee y = P ; x2 = 90, avec le systeme d’axes utilise et le collimateur. Les figures llb et 11c illustrent respectivement le principe de la sommation-decalage et le resultat obtenu avec l’objet de la figure lla. Sur la figure llb, on a represent6 a gauche les coupes de G(x, v2, y) pour differentes valeurs de y. Sur la partie droite de la figure, la fonction S(x, y) est represent&e en niveau de gris. La figure 1lc represente le calcul de S(x, y) represente en trois dimensions. Certes, chacune des sources donne une reponse non nulle dans tous les plans y, mais on peut remarquer que cette reponse est plus etalee pour les plans ne passant pas par la position reelle de cette source. Comparee a la retroprojection utilisee en tomographie classique, la situation est plus avantageuse, car apres sommation-decalage selon un seul angle, l’effet tomographique est deja present. Cet effet sera evidemment renforce apres sommation sur tous les angles d’acquisition.

CACAO : principes

La sommation-de’calage

de reconstruction

filtue’e

Au niveau de la position reelle de la source, le signal se trouve convolue par une fonction creneau de largeur Ly/P et done a ce niveau, la fonction de reponse est particulierement bien definie en terme de contraste, nous autorisant une deconvolution. On peut proposer I’algorithme suivant : pour chaque angle 8 : effectuer le decalage : g(x, v) --> G(x, v2, y) ; effectuer la sommation G(x, v2, y) --> S(x, y) ; deconvoluer selon x par un signal creneau de largeur yL/P S(x, y) --> Y(x, y) ; additionner la contribution angulaire avec sa rotation convenable ; passer a l’angle suivant. Correction diagonaux

de bases et mkthode

des termes non

Malgre un effet tomographique plus marque, le processus de reconstruction que nous venons de decrire n’est pas mathematiquement parfait. Mais ceci peut @tre obtenu de plusieurs facons en utilisant par exemple le processus iteratif decrit ci-apres ; dans la description precedente, par souci pedagogique, nous avons utilise un objet compose de deux sources ponctuelles. La situation reelle est bien differente, l’objet a visualiser etant compose d’un ensemble de sources plus ou moins denses, parfois m@med’un continuum. Ainsi sur la m@me abscisse x, on aura generalement plusieurs sources sit&es a differentes profondeurs. Avec notre systeme de projection-decalage, une source sit&e a I’ordonnee y = d donnera des contributions dans toutes les couches P < y < T. Ces couches sont en nombre fini et pourront @tre trait&es sur un ordinateur. Leur nombre depend de la taille du pixel de l’image reconstruite. Considerons i l’index de ces couches correspondant a la numerisation de l’ordonnee y. Ainsi p(x, y) dans le cas continu devient pi(x) pour la densite de source dans la couche y = i. S(x, y) devient Si(x). Appelons Rij(x) la reponse d’une source ponctuelle situee a I’ordonnee i dans la couche j. Avec ces notations, le systeme est mathematiquement decrit par (4) :

(c) V 1

ta’r=lmlIn ii=wmi Source

(x=x1,y=p)

Fig 9. kponse du syst&me A une source sitube au contact du collimateur. La figure se compose de trois niveaux. (a) : /‘ensemble collimateur est reprksentk dans diffkrentes positions, la source Btant reprisentke par le point noir au centre de /a figure. (b) : /es rbponses du d&ecteur sont schbmati&es par des rectangles blancs lorsque le systkme ne recueille aucun photon, et par des rectangles gris& lorsque le systkme est &/air& (c): /es rectangles ont subi une rotation de 90” pour rep&enter /es donnies acquises dans le plan 1,~.

(cl (b)

I

(a)

I

iin!

;G Fjg IO. Schkma repkentant la rbponse du systbme 4 une source Bloignbe du collimateur. ‘!!! Les trois rangbes de schbmas correspondent aux niveaux dkfinis sur /a figure 9.

ou @ represente le produit de convolution. Les Rij(x) representant les reponses non diagonales si i # j et Rii(x), les reponses diagonales si i = j. Ce dernier cas correspond aux fonctions creneau precedemment d&rites. 11est maintenant facile de montrer que cette description est equivalente a un systeme matriciel. Si on effectue une transformation de Fourier selon l’axe des x, en vertu du theoreme de convolution, le systeme s’ecrit (5): Sj(X)=ZRij(X)'Pi(S)

Fourier des Si(x) Rij(x) et pi(x). En digitalisant le systeme suivant l’axe des x, on s’apercoit aisement que l’on est bien en presence d’un systeme lineaire. Une methode iterative vient tout de suite a l’esprit ; en rearrangeant la formule precedente en fonction des termes diagonaux, on peut ecrire (6) : Sj(X)=Rji(a).pj(“)+

CRij(x).pi(x) it,

Si nous avons effectue une premiere deconvolution, l’approximation d’ordre zero est don&e par (7) :

i

sj(x)

Sj(X>=CRij(x)OPi(X) i

oh les ‘j , les Rij et les Pi representent les transform&es de REM

(1996) 20%

18,;

p:"'(x)

=

_ R,ti

C-x>

C Jeanguillaume

et al

oti l’ordre de l’approximation est donne en indice. Les ordres suivants seront donnes par (8) :

pl”‘(x)=& sj(x)- ~.Rij(“)+y’(X) (+I 1 !.I i p+64

a

+---t---

f53

G(x,vP,y)

pour

y=p

Cette operation peut egalement s’appliquer dans l’espace reel, ce qui permet une deconvolution regularisee, avec contrainte de positivite par exemple.

x

S(X,Y)

Pour

Y=P

Autres me’thodes

S(x,y)

b

pour

y=p+Ci4

Fig 11. lllusfration du processus de sommafion-d&a/age SW un objet composk de deux sources radioacfives ; a : le syhme d’axe, /‘ensemble collimafeur-dktecfeur en position initiale et /es deux sources sent reprksenfkes ; b : pour trois profondeurs (y = p, y = p t 30 et y = p t 64) /es kponses dkalkes G et inf6gkes S sent reprhenfkes en niveau de gris ; c : /es kponses somm6es dkcakes S(x,y) poury compris enfre p et pt 128 sonf rep& senfkes dans le p/an de reconstruction (x~,() avec en Blkvafion /‘infensifk

Projections

angle

Matrice

R

Image

R

p

Ligne Ligne

1 2

Ligne

N

no1

ElENElE-EE 00

angle

n”Nfl

I

l b l b l b ma l b l b l b

m m l b me me l b l o l b me I

Fig 12. Illustration de /a mafrice de fransferf R du sysfhme compos6 de sous matrices de type Toeplifz (rectangle avec une bande oblique). Ceffe mafrice relic /‘objet reprksenfk A droife par un vecfeur compose des lignes de /‘image, aux projections (images) reprksenfees par le vecfeur B gauche du signe kgal, compos6 d’aufanf d’images que d’angles d’acquisifion, e//es-m&mes d&ompo&es en lignes. RBM

(1996) .-.

18,7

Nous venons de voir que les transformees de Fourier (TF) des projections sommees-decalees sont reliees a la TF de l’objet par une relation matricielle. Comme la TF est une transformation lineaire, les projections sommeesdecalees sont done reliees lineairement a l’objet. Ceci peut egalement se deduire d’un simple examen de la relation (4) lorsque l’on sait qu’un produit de convolution s’exprime a une dimension par le produit d’une matrice de Toeplitz (c’est-a-dire une matrice dont chaque ligne est identique a la precedente, mais decalee d’une colonne vers la droite). Ainsi l’ensemble de notre systeme peut se ramener a la resolution d’un systeme matriciel (de grande dimension) que l’on peut ecrire : S = R.p dans lequel s represente le vecteur des projections sommees decalees ; R la matrice BlocToeplitz de transfert ; p le vecteur de l’image a reconstruire. La figure 12 montre le diagramme de cette relation pour un systeme simplifie a deux dimensions. Enfin, on peut egalement remonter aux acquisitions directes avant sommation-decalage, tout en conservant une formulation matricielle, on peut s’en convaincre de deux facons : l les relations (2) definissant la sommation-decalage etant des relations lineaires, l/ensemble des relations de (2) a (4) sera lineaire ; l la figure 13 montre que pour chaque element detecteur, un ensemble fini de pixels objets peut emettre des rayonnements atteignant cet element detecteur (volume multiplex). L’analogie avec les methodes de tomographie est ici evidente. Dans cellesci, le volume multiplex est cylin-

CACAO : principes

drique, pour nous ce volume sera conique. Mais en negligeant l’attenuation, acquisition et objet pourront @tre relies par un systeme lineaire et de nombreuses methodes de reconstruction pourront @tre utilisees [8]. Une remarque : le choix existe entre plusieurs formulations matricielles du probleme et parmi un grand nombre de methodes de traitement. Par ailleurs, les donnees ne sont pas exactes a cause du bruit de comptage, et quel que soit le systeme choisi, la matrice de transfert pourra etre ma1 conditionnke. 11 faudra done introduire des donnees supplementaires pour regulariser le probleme. La contrainte de positivite de la solution est tres importante puisqu’elle reduit de facon notable l/ensemble des solutions possibles, evitant que celleci s’eloigne trop de la Galite.

Performances A l’heure actuelle, aucun appareil de ce type n’ayant vu le jour, nous nous contenterons d’analyser les principaux facteurs physiques dirigeant les performances du systeme CACAO. n Resolution

La resolution va dependre de deux facteurs essentiels : la resolution intrinseque du detecteur ; l/influence du bruit sur l’image reconstruite. La figure 14 montre les facteurs geometriques intervenant dans le processus. Soit deux sources ecartees d’une distance d, ri est la resolution intrinseque du cristal, P est toujours la profondeur du collimateur, et D la distance sources-collimateur. Les sources les plus rapprochees qui donneront des acquisitions differentes seront espacees de (9) : d=L

D. r. P

L’autre condition pour que les acquisitions soient distinctes est que le pas d’echantillonnage a l/acquisition soit effectivement infkrieur a d (typiquement d/2 pour repondre au critere de Shanon). L’autre probleme qui peut se poser est de savoir si le bruit de photon ne va pas &tre amplifie par le traitement des don&es au point

de bases et mkthode

de reconstruction

Detecteur Collimateur Patient

Volume multiplex

Fig 13. Le volume multiplex qui est dkfini comme le volume de /‘objet (ou du patient) dmettant dans un Wment du dbtecteur.

de faire perdre l’avantage obtenu au niveau de l’acquisition. 11faut bien comprendre que les programmes de reconstruction utilises dans les deux methodes sont tres voisins. L’effet tomographique est toutefois plus marque en CACAO avec la sommationdecalage, qu’avec la retroprojection classique. Mais, comme nous le verrons dans la deuxieme partie de cet article, tout se passe au niveau de l’acquisition. Si le bruit a l/acquisition interdit de differentier deux sources separees d’une distance d, aucun traitement ne les fera apparaitre lors de la reconstruction. Avec une sensibilite augmentee, et une resolution amelioree au niveau de l’acquisition, il n’y a pas lieu de s’inquieter. Certains critiques pourront remarquer que les noyaux d’acquisition sont plus larges en CACAO, mais il faut se rappeler qu’en tomographie classique, la variation de la fonction reponse avec la distance source-collimateur est simplement ignoree, d’oti un noyau faussement plus etroit. w Sensibilite La sensibilite geometrique (p) des detecteurs est definie comme le rapport du nombre de photons arrivant au detecteur par le nombre de photons emis par la source. Pour la calculer, nous utilisons la formule suivante(l0) 191:

oti L represente le diametre des trous du collimateur, t : l’epaisseur des septa, p : la profondeur des trous, K : un coefficient num& RBM

(

6) 18, 7

P 1

D

7 Fig 14. Notations utiliskes dans la formule (9) dormant /a r&o/ution au niveau des acquisitions.

rique (&gal a 0,26 pour des trous hexagonaux). Cette formule peut s’expliquer schematiquement comme le produit de deux termes : le premier L/P represente l’angle solide d’acceptance et le second mesure le rapport de la surface utile sur la surface totale du detecteur. On constate que le diametre des trous intervient a la puissance quatrieme, en augmentant ce facteur, on ameliore done grandement la sensibilit& Dans l’equation de la resolution en CACAO (91, ce facteur n’intervient pas en premiere approximation. Un moyen d’optimiser ce parametre sera decrit dans la deuxieme partie de cet article.

Exemple de configuration Le tableau I presente un exemple de configuration et appelle les commentaires suivants : les

C Jeanguillaume

et a/

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dimensions du collimateur classique sont celles normalement utilisees dans les collimateurs tous usages basse energie ; la resolution intrinseque supposee pour les deux configurations est de 3 mm ; les performances de la configuration classique correspondent done a la meilleure des courbes donnees sur la figure 1 ; les rendements de detection ont ete calcules par la formule (10). Et pour la configuration classique, la resolution a ete calculee par la formule suivante (11) :

dans laquelle ri represente toujours la resolution intrinseque, et rc la resolution due au collimateur. Pour le systeme CACAO, la formule (9) fournit le chiffre correspondant a l’influence de la resolution intrinseque supposee. Ces deux chiffres de resolution sont bien stir theoriques et la comparaison avec la figure 1 montre leur relatif optimisme. En effet, nous n’avons pas tenu compte de la penetration septale dans nos calculs. Mais un simple examen de l’epaisseur des cloisons montre que cet effet sera moins impor-

tant en CACAO. Le traitement de la reconstruction va deteriorer ces chiffres de rksolution calcules au niveau de l’acquisition. A 10 cm, nous aurons a deconvoluer le signal par une fonction creneau de largeur 10,6 mm, done, nous aurons un noyau un peu plus large 21 comparer avec un effet d’elargissement tout simplement ignore en tomographie classique.

Conclusions On peut resumer les avantages (tableau II) et les inconvenients (tableau III) attendus de l’approche CACAO. Au prix de quelques modifications et d’un traitement informatique plus long, il est possible d’ameliorer le compromis resolution sensibilite des images scintigraphiques. Pour optimiser les parametres d/acquisitions, il est necessaire d’etudier plus en detail le rapport signal sur bruit avec cette technique, c’est le but de l’article suivant. H

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