- Email: [email protected]
INFINITE EIGENVALUE ASSIGNMENT BY OUTPUT-FEEDBACKS FOR SINGULAR SYSTEMS
Copyright (c) 2005 IFAC. All rights reserved 16th Triennial World Congress, Prague, Czech Republic
& )
)
! " " !).)+
)
!
!
!
$
! " #$ % " ( )*) * *) #+ ,' $ --
/
#$%&' "$
(% !)*)+ !)*!+ 0
/
/ 0
.
' " ' $
3
>
!
!)*,+ !))12
,
6
!)))+
( "
0
(
0
0
7,,,+
! ,
!
/ 0! 4 , ,
2
, /, 0
/ 0! @ )
!
5
!
"
982
7,,12
(, (%
!
7,,12
0
7,,7 +
0
7,,12
(?2
"5 7 8#$39:; <$#;&9
(.2
/º » ¼
(*2
ª "« ¬
"$
K&
1 K& 1 1 K!
9
/ 04
'
, /, 0
,
(!2
(
!2 >
, <
,
, K
/ 1
,1
01
1&
K&
1 )K ,
z, )
"
"0
/4 z ,
72 >
! @
!
(!,2
! (72
57 .4
2 ## $% "
9
(72
2
(!2
(12
(!2
5
1 &K )
1& <
" ( A
&
(
()2
"! " 7
/2
(
5
(
(!2
(!2
/ 0! 4 ,
5
!2 <
"
"
1)
/0
!
0
(12
, ( / 0
2, 0
/42 ª 0! º «, » ¬ ¼
C ª ! /! º « , » , /, ¼ ¬ !K ! ! /! 1 0! 1 !K& ,K , / 1 , , (
(=2
( !" # $ > 0
/ 0
(!2 2 <
, ( / 0
4,
;
!
(?2
" !
1 8#$39:; @$9& "$ <
/!
>
0 @
5 /
/ 04
1 " !
(B2
0!
983
/!
0!
ª !! /!! !7 /!7 « / 7! 77 /77 « « , /17 « , , ¬ ! " ! /! " ! 7 " ! /7 " !
A
/ 0
!
C
1 &K ) 5
/! 0! 2
!
/, 2
,
(!! 2
ª 0!! º «, » « » « » « » ¬, ¼
3
/1 " ! ,
/3 1
0!! 1
K K&
!" 7"
/" " !
3
¦ !
1" ""
3 !
" !
/!" º /7 " »» /1" » » /"" ¼ (!! 2
z,
0!! /7!
#
/" " !
# $% 9
/0
(
/! 0! 2
!
!
2
,
5
()2
5
!
!
,
,
!
>
(!7 2
/! 0! ! 4
5
,
>
!2 1 &K
,
(!12
/, 4 ,
/, @ !
77
,
, º » 7 ! » » ! ! ¼
!7
!
! !
77
7
! !
1!
1
! !
,
!
! !
!7
! ! !
!
º » (!?2 7 ! » » 1 ! » ! ! » ¼ !
! !
!
@
(!B2
(!B2
@
7!
,
77
, ,
,
/! 4! "!
!
,
2 !
!!
(!12 (!?2
(!! 2
/ 0! 4
5
! >
4!!
"!
/, 4 ,
,
!
9
(!7 2
&
<
'%
<
,
0
5
,
4!
,
/, 4
,
/!
!
ª, « «, «, ¬
ª !! « 7! %! /! « «, « «¬ , %!4! 4!
(.2
(!!2 ()2 2
%!
!
(72 (!2
3
!
/!
2
%$&
7
""
77
77
1!
,
7! 1!
!
! !
7
,
! !
1
7
! !
1
! ! ! !
7 1
! !
!
!
! !
()2
, ,
!
/!
0!
z,
ª !! « « 7! «, « «¬ ,
4!
!
!7 77
,
º » 7 ! » » ! ! ¼
!
%!
!7 77 1!
,
ª4!! º «, » « » « » « » ¬, ¼ z, (!7 2
!
! !
!
7
! !
1
! !
!
! !
!
/!
º » 7 ! » » 1 ! » ¼ ! ! » !
(!=2
5
,
/, 4 !
, 7! /! 0! ! , ,
4!! z , !!
, 17
!7
!1
! !
&
(!12 (!*2
>
!
984
!
(!*2
2
!
(!)2
, ( !2 ! 7!
5 ! /! 4! 4 %!
( !2 !
,
2
,
,
/!" @ 5`
(!*2
(C !
!
0!!
"
5 1 &K
!
7
1
0 3 %! ! /! ! " 0!!
! 0! ! ^>/!! /!7
9
!
!
%!
!
8 0
2 & ! "
< "
ª !! « «, «, ¬
7
(!.2
(!72
(& !2
,
, (!12
!
!
!
17
!
%!
!
5
,
/, 4
(!)2
/ 0! @
>
!
/! 0! ! @ , (7,2 V
! !
#
& !
(% 5
! 7 !
(!*2
! ! 2 ! "! " 7 A
"
(!,2 A
(!,2
ª º "« » ¬! ¼
"
(7! 2
(
2
(7! 2
=
"
# (% 9
(!72
!
! !
7
1
!
"" ) $ <
! & 7
!7
5!4
ª!º « !» ¬ ¼
5!4
5!4 /17
11
574 /11
!!
!7
!
>
!4
ª! º «,» ¬ ¼
5!4 0!!
ª! ,º «, ! » ¬ ¼
5B .4
%!
! ! ! !
ª,º «7» ¬ ¼
!1
/71
(!B2
& ! 5
/! / 0! 0
/7!
A (7!2
*% "
@?
! 7
ª! !º ª, º «, ! » /!7 «7» /!1 ¬ ¼ ¬ ¼ 5, !4 /77 5!4
!
#
7
&
(?2 "
! ,
ª, 7º «, !» ¬ ¼ 5!4 71
/!!
(72 (.2 (*2
7
!
77
(7!2
"! " 7 (!,2 <
!!
"
&
, ,
7
(772
!
"! " 7
!
/, , 0, ,
(!!2
A
" ! "
,
(1 2( !2 7 ( 72( !2 =
!
"
/4
5
!
ª! 7 1 ! º «, ! ! !»» « «, , ! ,» » « , !¼ ¬, ,
/! 0!
ª ! , «, « «, ! « ¬, , !
@
%! >
/ 0@
! 7º , ! »» ! ! , ,» » 7 ! , , ¼ ? !
? 7
= :D ;89: <
(!2
ª, «, « «, « ¬,
0
(?2 "
ª! «, « «, « ¬,
,º ! ! 7 »» / , ! !» » , , !¼ ,º !»» ª, ? ! «7 ? 1 ,» ¬ » ,¼ 7
!
ª! ! , ! º «, ! 7 , » » « «, ! ! !» « » ¬, , 7 ! ¼
>/
!!
0!
(772
/!7 /!1
@
ª! 7 º «, ! » ¬ ¼
ª! , ? ? º «, , ! 7» ¬ ¼ , , , ,º ª 5 « » ¬, ? "! " 7 " 1 ¼
(!*2
1 7º = !»¼
! ! 0! ! ^>/!! /!7 /!1 @ 5`
7 7"! , ? "! "! " 7 "1
1 7K7 , ! ( /2
985
7 " 7 1 ! 7" 1 " 7 ! "1 7
, ? ! " 7 ? 1 , ? 7 ? " 7 , ?
1 7 = ! ! 1
0 ;
7 = ! 7 " 7 1 ! 7" 1 "7 ! "1 7
1 7"! "!
!
(712
0 &
A
ª, ? ! 1 7º «7 ? 1 = ! » ¬ ¼
ª7 7 ! !º «, ? ! 1 7 » ¬ ¼
ª ! ! º « ! ,» ¬ ¼ "
/ 0! 4
5 ,
,? , ,
%! !
,
,
! !
7 , ! ! !
,
7
/ 0! 4
5
!
!
? '$ '9&%" > #:; # @
-
(
0
!))12 #:<:#: ':@
% %
9 (!)*)2 6 E 3 ' 9
6 %-' 6 &
&
" .. *7 (7,,12
4 &
& H#
'
= ) 4
& )
4 & & , " F ; ' @ !1 7 !B! !B. (!)*,2 7 6 & : ' 8 6 / E (!)*!2 / : : 7 6 & 8 -; (!).)2 7 ; 4 ' / 5 & /)) @ G 9
(712
"! ! " 7 7 " 1 ,
(7,,7 2 %
@
(!)))2 & 7)*
!
7! 1. (!))12 7 6 & ! 7 # @ 8 F G 0 * (7,,,2 1 8 % 6 84 6 & 7 6 & ; " H # ' 7 1 )1 )* 0 (7,,7 2 % & )) ) & 4 4 " 3 8 @ ?, 7 !1= !==
0
986
& )
)
! " " !).)+
)
!
!
!
$
! " #$ % " ( )*) * *) #+ ,' $ --
/
#$%&' "$
(% !)*)+ !)*!+ 0
/
/ 0
.
' " ' $
3
>
!
!)*,+ !))12
,
6
!)))+
( "
0
(
0
0
7,,,+
! ,
!
/ 0! 4 , ,
2
, /, 0
/ 0! @ )
!
5
!
"
982
7,,12
(, (%
!
7,,12
0
7,,7 +
0
7,,12
(?2
"5 7 8#$39:; <$#;&9
(.2
/º » ¼
(*2
ª "« ¬
"$
K&
1 K& 1 1 K!
9
/ 04
'
, /, 0
,
(!2
(
!2 >
, <
,
, K
/ 1
,1
01
1&
K&
1 )K ,
z, )
"
"0
/4 z ,
72 >
! @
!
(!,2
! (72
57 .4
2 ## $% "
9
(72
2
(!2
(12
(!2
5
1 &K )
1& <
" ( A
&
(
()2
"! " 7
/2
(
5
(
(!2
(!2
/ 0! 4 ,
5
!2 <
"
"
1)
/0
!
0
(12
, ( / 0
2, 0
/42 ª 0! º «, » ¬ ¼
C ª ! /! º « , » , /, ¼ ¬ !K ! ! /! 1 0! 1 !K& ,K , / 1 , , (
(=2
( !" # $ > 0
/ 0
(!2 2 <
, ( / 0
4,
;
!
(?2
" !
1 8#$39:; @$9& "$ <
/!
>
0 @
5 /
/ 04
1 " !
(B2
0!
983
/!
0!
ª !! /!! !7 /!7 « / 7! 77 /77 « « , /17 « , , ¬ ! " ! /! " ! 7 " ! /7 " !
A
/ 0
!
C
1 &K ) 5
/! 0! 2
!
/, 2
,
(!! 2
ª 0!! º «, » « » « » « » ¬, ¼
3
/1 " ! ,
/3 1
0!! 1
K K&
!" 7"
/" " !
3
¦ !
1" ""
3 !
" !
/!" º /7 " »» /1" » » /"" ¼ (!! 2
z,
0!! /7!
#
/" " !
# $% 9
/0
(
/! 0! 2
!
!
2
,
5
()2
5
!
!
,
,
!
>
(!7 2
/! 0! ! 4
5
,
>
!2 1 &K
,
(!12
/, 4 ,
/, @ !
77
,
, º » 7 ! » » ! ! ¼
!7
!
! !
77
7
! !
1!
1
! !
,
!
! !
!7
! ! !
!
º » (!?2 7 ! » » 1 ! » ! ! » ¼ !
! !
!
@
(!B2
(!B2
@
7!
,
77
, ,
,
/! 4! "!
!
,
2 !
!!
(!12 (!?2
(!! 2
/ 0! 4
5
! >
4!!
"!
/, 4 ,
,
!
9
(!7 2
&
<
'%
<
,
0
5
,
4!
,
/, 4
,
/!
!
ª, « «, «, ¬
ª !! « 7! %! /! « «, « «¬ , %!4! 4!
(.2
(!!2 ()2 2
%!
!
(72 (!2
3
!
/!
2
%$&
7
""
77
77
1!
,
7! 1!
!
! !
7
,
! !
1
7
! !
1
! ! ! !
7 1
! !
!
!
! !
()2
, ,
!
/!
0!
z,
ª !! « « 7! «, « «¬ ,
4!
!
!7 77
,
º » 7 ! » » ! ! ¼
!
%!
!7 77 1!
,
ª4!! º «, » « » « » « » ¬, ¼ z, (!7 2
!
! !
!
7
! !
1
! !
!
! !
!
/!
º » 7 ! » » 1 ! » ¼ ! ! » !
(!=2
5
,
/, 4 !
, 7! /! 0! ! , ,
4!! z , !!
, 17
!7
!1
! !
&
(!12 (!*2
>
!
984
!
(!*2
2
!
(!)2
, ( !2 ! 7!
5 ! /! 4! 4 %!
( !2 !
,
2
,
,
/!" @ 5`
(!*2
(C !
!
0!!
"
5 1 &K
!
7
1
0 3 %! ! /! ! " 0!!
! 0! ! ^>/!! /!7
9
!
!
%!
!
8 0
2 & ! "
< "
ª !! « «, «, ¬
7
(!.2
(!72
(& !2
,
, (!12
!
!
!
17
!
%!
!
5
,
/, 4
(!)2
/ 0! @
>
!
/! 0! ! @ , (7,2 V
! !
#
& !
(% 5
! 7 !
(!*2
! ! 2 ! "! " 7 A
"
(!,2 A
(!,2
ª º "« » ¬! ¼
"
(7! 2
(
2
(7! 2
=
"
# (% 9
(!72
!
! !
7
1
!
"" ) $ <
! & 7
!7
5!4
ª!º « !» ¬ ¼
5!4
5!4 /17
11
574 /11
!!
!7
!
>
!4
ª! º «,» ¬ ¼
5!4 0!!
ª! ,º «, ! » ¬ ¼
5B .4
%!
! ! ! !
ª,º «7» ¬ ¼
!1
/71
(!B2
& ! 5
/! / 0! 0
/7!
A (7!2
*% "
@?
! 7
ª! !º ª, º «, ! » /!7 «7» /!1 ¬ ¼ ¬ ¼ 5, !4 /77 5!4
!
#
7
&
(?2 "
! ,
ª, 7º «, !» ¬ ¼ 5!4 71
/!!
(72 (.2 (*2
7
!
77
(7!2
"! " 7 (!,2 <
!!
"
&
, ,
7
(772
!
"! " 7
!
/, , 0, ,
(!!2
A
" ! "
,
(1 2( !2 7 ( 72( !2 =
!
"
/4
5
!
ª! 7 1 ! º «, ! ! !»» « «, , ! ,» » « , !¼ ¬, ,
/! 0!
ª ! , «, « «, ! « ¬, , !
@
%! >
/ 0@
! 7º , ! »» ! ! , ,» » 7 ! , , ¼ ? !
? 7
= :D ;89: <
(!2
ª, «, « «, « ¬,
0
(?2 "
ª! «, « «, « ¬,
,º ! ! 7 »» / , ! !» » , , !¼ ,º !»» ª, ? ! «7 ? 1 ,» ¬ » ,¼ 7
!
ª! ! , ! º «, ! 7 , » » « «, ! ! !» « » ¬, , 7 ! ¼
>/
!!
0!
(772
/!7 /!1
@
ª! 7 º «, ! » ¬ ¼
ª! , ? ? º «, , ! 7» ¬ ¼ , , , ,º ª 5 « » ¬, ? "! " 7 " 1 ¼
(!*2
1 7º = !»¼
! ! 0! ! ^>/!! /!7 /!1 @ 5`
7 7"! , ? "! "! " 7 "1
1 7K7 , ! ( /2
985
7 " 7 1 ! 7" 1 " 7 ! "1 7
, ? ! " 7 ? 1 , ? 7 ? " 7 , ?
1 7 = ! ! 1
0 ;
7 = ! 7 " 7 1 ! 7" 1 "7 ! "1 7
1 7"! "!
!
(712
0 &
A
ª, ? ! 1 7º «7 ? 1 = ! » ¬ ¼
ª7 7 ! !º «, ? ! 1 7 » ¬ ¼
ª ! ! º « ! ,» ¬ ¼ "
/ 0! 4
5 ,
,? , ,
%! !
,
,
! !
7 , ! ! !
,
7
/ 0! 4
5
!
!
? '$ '9&%" > #:; # @
-
(
0
!))12 #:<:#: ':@
% %
9 (!)*)2 6 E 3 ' 9
6 %-' 6 &
&
" .. *7 (7,,12
4 &
& H#
'
= ) 4
& )
4 & & , " F ; ' @ !1 7 !B! !B. (!)*,2 7 6 & : ' 8 6 / E (!)*!2 / : : 7 6 & 8 -; (!).)2 7 ; 4 ' / 5 & /)) @ G 9
(712
"! ! " 7 7 " 1 ,
(7,,7 2 %
@
(!)))2 & 7)*
!
7! 1. (!))12 7 6 & ! 7 # @ 8 F G 0 * (7,,,2 1 8 % 6 84 6 & 7 6 & ; " H # ' 7 1 )1 )* 0 (7,,7 2 % & )) ) & 4 4 " 3 8 @ ?, 7 !1= !==
0
986