Interpolation mit regulären splines

JOURNAL

OF

APPROXIhlATION

THEORY

interpolation

20, 23.-45(1977)

mit regulken HERBERT

Splines

~RNI>I

This paper is concerned with inter-poiation of real functions on compact intervals by nonlinear splines called regular splines introduced by R. Schaback and H. Werner. Regular splines contain the classical polynomial splines and represent a more flexible class; for example in the neighborhood of singularities one can use rational splines. We consider boundary value and periodic interpolation problems. In the case of boundary value problems interpolation yields unique results. With regard to the existence of interpolants we develop a nonlinear system of equations that can be written as the sum of a linear system of equations, known from the theory of polynomial splines, and a perturbation caused by the nonlinearities. The main tool in achieving this is a theorem which states that divided differences may be written as convex combinations of special divided differences that operate only on knot intervals. Convergence proper-tics conclude this paper.

i

Gegeben seien ein reel& I. 2,..., k, mit

Interval1 [n. b] mit u < IT und k Knoten I, ,

ZLI einem II E N seien weiterhin fiir jede, 1, :=m=[ti . t?.,] Klassen X, C c’i[r,] gegeben, i z 0, I,.... k. Dann dcfinieren wir die Klasse S, der (nichtlincaren) Splines beziiglich X =- (X,, . X, ,..., A’,) und der Zerlegung (1.1) als

dabei sei +q,,, die Menge aller Polynome hiichstens /x-ten Grades. Wir betrachten die folgenden Interpolationsprobleme: 23

24

HERBERT

ARNDT

A. Rand~vertprohkw Cegeben seien natiirliche Zahlen /I,, , 11, mit II,, --

II!

M

und eine Funktion

,f’t C”[a, h]. Gesucht ist eine Funktion s c Sx mit .x’)‘(t)i

f’,‘(t) ?

1; ;- I’: * 1. . ...> I<; j = I, .: 1:

:; ,I ;> 1..... ‘Ill * (1.3) ,j

0. I..... n1

Fiir periodische Funktionen ,/‘E C(R) kann die Zerlegung ( I. 1) periodisch auf W fortgesetzt werden. Es sei t, i I : t (:

f,

ch

b.1

/

ii< N,

4. tt),

(h

iEN.

Dann ist “’ < t; x-1t, J ‘__ “‘,

.i E a

( 1.4)

eine periodische Zerlegung van W mit der Periode 0

u.

B. Periodisches Interpolationsprohle~n Gegeben sei eine periodische Funktion ,f’~ C”(R) mit der Periode h Gesucht ist eine Funktion s E S,y mit

Eine Liisung s von (1.5) kann dann period&h BEISPIEL

x, :

I, I.

(I)

Fiir i

auf R fortgesetzt werden.

0, I ,..., k sei

{s i’ ‘@,, , i s(t)

Dann heiUt S,, ,~l,k: (2)

Fiir i

u.

ci t ~~ t,y

. r/(1 ~ t,)” ‘1 c. dE R; t E I,;.

S,y K&se dcr polynomialen

Splines.

0, I,..., Ii sei

111,, I/,; , t R

; t c I,, I .

Dann heil3t Gri,,: : ~~~S, Klasse der rationalen Splines (mit Iinenren Nennern). Urn zu hinreichendcn Bedingungen fiir die Existenz eincr Lijsung des

KEGUL;iRE

25

SPLINES

Randwertproblems und periodischen Tnterpolationsproblems zu gelangen, fordern wir von den-Funktionsklassen Xi , daB sie die folgenden Bedingungen (R), (D) und (B) erfiillen: (R)

Die Klassen Xi, i := 0, I,..., I\, seien regular von der Ordnung II

in I, Dabei heif3t eine Klasse 8 C C’I[a, h] regular von der Ordnung II in [a, h], wenn fiir zwei Funktionen s, SE 3 gilt: Besitzt (s - S)(71)mehr als eine Nullstelle in [a, b], so folgt s S. Regulare Klassen X, haben die Eigenschaft, daf!, ihre Elemente durch ihre n-ten Ableitungen in den Punkten ti und tidl parametrisiert werden kiinnen. d.h. fur x, E Xi kiinnen wir

(i.6)

schreiben mit j

i

und

,j

;-I~ 1.

0, I ,.... I<, seien glatt vom Grade (D) Die regularen Kiassen X, . i II + 2, d.h. es gelte Xi C Cl’-2[/,] und die Funktionen (1.6) und ihre Ableitungen m6gen stetig von Mi und Mi r abhangen. (B) Die Funktionen xi E Xi , i Mom 0, I,..., k, seien (I? + 2)-beschrankt, d.h. Schranken fur xin’(ti) und .xin)(tLJ innerhalb ihrer Definitionsbcreiche und fur s~~‘)(~,+J - xin’(ti) /I f,+I ~ fj ftihren zu Schranken fur xl” 12) in ii . Beztiglich der Definition der Bedingungen (R), (D) und (B) vergleiche man mit Werner [15]; dort wird die Bedeutung der Bedingung (B) diskutiert. Wcitcrhin benotigen wir den Begriff der Zulassigkeit (vgl. Schaback [12]): Das Tupel (JJ,, , MI ,..., il,I& E iw’-” heil3t zulassig (fir X), wcnn Adi, i0.1 ,..., k + I, zulassige Parameter fur die Funktionen (I .6) sind. Die Bedingungen (R), (D) und (B) sind fur die Klassen X, aus Beispiel 1.1 erfiillt. Wahrcnd im crsten Beispiel alle Tupel (M,, , M, . .... izI,<:r) E W” ~” zulassig sind, erweisen sich im zweiten Beispiel alle Tupel (M,, , M, ,..., M,>, r) cI?;” als zulassig. lnterpolationsprobleme mit Splines aus Sn-, ,L sind z.B. van Ahlberg et al. [l] und Karlin und Ziegler [9] behandelt wordcn. Da diese Probleme linear sind, steht die Struktur der zugehorigen Matrizen im Vordcrgrund der Untersuchungen. Im Fall II ~~ 2 konnte Schaback [I I] ein Kriterium fur die Tnterpolation bzgl. E,,, angcben, jedoch lassen sich seine Ergebnisse nicht auf den Fall IZ ::a 2 ubertragen (Arndt [4]). Werner [14]. Braess und Werner [7] und Schomberg [13] haben die Klasse G-l,k zur Approximation stetiger Funktioncn herangezogcn, vgl. such Braess [6] in diesem Zusammenhanp.

26

HLRBERT ARNDT

Interpolatiol7sprobleme mit regulgren Splines sind fiir /z 2 \on Schabacl, [12] und Werner [I 51 untersucht worden. Runge [lo] und Werner- [I 51 haben diese Ergebnisse auf die Liisung von Anfangsuertproblemen bei ge\viihnlichen Diffcrentialgleichungen angewandt. In dieser Arbeit solttn die Ergcbnisx LOII Schaback und M’~rncl- aut beliebiges II t- k verallgemeiner~ werden. Dabei stehcn die Ligensctlaficn gewissef Differenzenquotienten im Vordcrgrund der Untersuchungcn. ;ihnlich wie bei polynomialen Splinea \\ird ein Gleichungssqstem ;iufge>teltl. dessen rechte Seite aus Diff‘erenzenquotienten iibcr den Knoten und gcgeberieri Daten besteht. Diese Differenzenquotienten werden ate Kon\exkombinationen van Dit~erenzenquotientel7 dargcstclit, die nur auf Knotenintcrvatten wirken. Asqmptolixhe Entwicklungcn c;otchcr DifTcren7elicl~i)~ienten gestattcn tint’ Lijsung der Interpolati(~nsaufg~~bcn. indem die z~!gc/~i~rigcn Gteictlungasgstenie ;Its “geitiirte” lineal-e Gteichungssqstenie :!ulYgcfal!t werden, dercn lineal-en Anteite XLI~ dr!. ‘1 heorie dcr polynomialcn Splinex bekannl sind. III elncr- \p%teren Arbcit >otlen spczietle repulgre Splines unci ihrc numerische Behandlung unlersucht werden.

2. EINDEUTIGKEIT Wir werdcn policrendc des fiilircii n/imit ;ius S,, Dazu Eine Funktion r. wenn

DES KANDWERTPROBLEMS

zeigen. daIJ fiir reguti!re Kla~xn X, hiichstens elne InterRandwerlproblems ( 1.3) cxistiert. Den Eindeutigli~it~be~~eii tiilre dor Anzaht tier Nutlstctlen der Diffcrenz z\ceier SptincL) dehniercn uir die Vielfachhcit clner Nullctetle MIC iiblich: ,q C-C8iC[~.h] besitzt in I L; [N. h] tine Nutlstelte der Vielfachhei~


“’ -~
0,

r

111-: 1,

gilt. Zwei Nultstetlen I und 1 T van g heiljen separiert. wenn K nicht identisch zwischen ihnen verschwindet: Vietfachhei~en seien zugeiassen. Fiir die fotgenden Ausfiihrungen vergieiche mm Hrxss und Werner (7j ur:ti Arndt [3].

2 separierte Nullsteltcn. Dann Bex,eis. Wir nehmen an. w bes%Ue h t%gcn in einem Inter\alt [1( , /, ,j mindesten:, zwei ?eparierte Nuiistcllc~~. Dice ist ein Widerspruch zttr Regularit%t der Klassen .‘I’,

REGULiRE

Besitzt II’ mindestens k -1 2 Nullstelien. des Lemmas nicht separiert. 1 LEMVA

Es feiett

2.2.

die D~f~t;fcv-ett: I’ : =- s sognr

27

SPLINES

so sind diese nach dem ersten Teil

s, s”’ t S, uttd die Klussett

tt ~-~ I, ~- 2 Ndlstellen

Xi se&t

rqpliir.

n + k 1. 1 separierte

s* ltiiclwtens besitzt.

rerschwitdet

Dmtrt

Nullstelletl.

r auf eirtm

hut

Falls

Teilinterr~all

t

ran

[a. h] idetttiscii.

Angenommen I’ besitze n -: li --- 2 separierte Nullstellen. Nach Belztet’s. dem Satz von Rolle hat M’ : Y(“) dann /\ 4- 2 Nullstellen; diese sind ebenfalls separiert. Dies widerspricht der ersten Aussage von Lemma 2.1. Hieraus folgt sofort die zweite Behauptung. 1 SATr

r:

.5

2.3.

Es seietl

s, s* F S,y wil

.sx ltabe tt -r k

wguli’rett

-- 2 Nullstelletl

z, ‘-.’ I, . I,, , ” . Dutttt ,yilt .Y

s” ar!f’[a,

Klussett

z1 ‘: -lr

_ “.

i =: 1. 2..

A’,

Die

Differen:

z,) ,, Z wit , I;

(2.1)

b].

Der Beweis erfolgt durch lnduktion iiber k. Fur 1~ 0 folgt die Beh.ri.5. Aussage des Satzes aus Lemma 2.2. Wir nchmen nun an, der Satz sei fur lntervalle mit hiichstens k I Knoten bewiesen und zeigen seine Richtigkeit fiir lntervalle mit k Knoten. Da I’ mindestens n -~ /\ $- 2 Nullstellen besitzt, verschwindet r nach Lemma 2.2 auf einem Teilintervall [tj , ti ,] identisch. Es sei j I. Der Punkt ti ist eine (n ~-~I)-fache Nullstelle von r. Wir konnsn daher dehnieren: -*. -r

z, .

i = I. 2.,__,.;.

-*. -1

t /.

i

I,

-,:

-j

:- l.,j

2 . . . .. n

I.

i

Wegen (2. I ) gilt -,

I'

,

<.

i

I.2 ,...., j

I.

(2.2)

Also besitzt r im Interval1 [t,, , t,] mindestens n ~I-(,j 1) 2 Nullstellen, die (2.2) erfiillen. Da im lntervall [t,, , t,] hochstens 1; ~~ I Knoten liegen. konnen wir unsere Induktionsvoraussetzung auf das IntervaIl [t,, , ti] unwenden. Also gilt r y 0 auf [t,, , ti]. Entsprechend schliet3t man auf das Verschwinden von I’ im Interval [t! r , t,, ,I. falls ,j /i ~ I. Insgesamt ist damit gezeigt, daR r im Interval1 [a. h] identisch v~erschwindet. 1 AIs Anwendung erhalten wir unmittelbar

28

I IERHERT

AKND-I

Bei der Bchandlung der Interpol~~tions~~uf~aben mit regul&n Splines crwcist sich der Begriff des Differenzenquotienten als sehr niitzlich. Fiir einc uusfiihrliche Darstellung sei z.B. auf Werner und S&aback [16] \crbticsen. AuBerdem werden wir die fiir unsere Zwecke Lvichtigsten I-lilfsmi~tcl bercitstellen.

Gegeben 112,mit

seien HI - I paarwcise

\;crschiedene

t, . .”

/0 . und 171 I natiirliche Zahlen I’, . i bezeichnen wir mit T die Punkte I,,

, t ,) . -_-

,

I ,,

reelle Zahlen

I,

.

! /,/ , -_-

"1

"Ii

(3.1)

I,,,

0. I . . 112.mit CFl,, i’,

I , , vyc,

0. I.....

t, . i

i,,

.

.,

li

I.

Dann

I,,,

1'?,,

und mit T’t, die Punkte f,) . t(, )...5

t() ,....

tj

1 ti I’i

“II

)...,

f,

,..._

t,,, . f,,, -I-

1

. . . . . I,,,

“IIS

Weiterhin bezeichnen wir mit il”( T),/ den n-ten Ditferenzenquotier~ten de,Funktion,f’iiber den Stiitzstellen T. Mit der Schreibweise d,l’(T),f’deuten wir an, dafl das linearc Funktional dTt( T) bezii$ich der Variablen f anzuwcnden ist. In-i Fallc 112 I gilt die Rekursionsformcl

Bezeichnen uir die Punkte van T mit I,,‘. i,? _..,. t,, *. so gilt fiir z~\ei FunktionenJ: g t C’([CI. h] die Produktformel

Fiir zwei Funktionen

f!“(t,) gilt. schreiben

f: g cmCj’[t,, . t,,,], fiir die

,:““I t, ).

bir kurr: /’

i g auf 7:

0. I .._ i/l: j

0. I . . I

I.

REGULiRE

29

SPLINES

Das Randwertproblem (1.3) enth%lt II -; h- t 2 Interpolationsbedingungen. Aus den in (1.3) genannten II -; h- -t 2 Funktionswerten von f kijnnen wir )q _I- 2 “au emanderfolgende” I?-te Differenzenquotienten bilden. die wir der Reihe naci~ iit Q,(f). mf),...,

(3.4)

D,c l(.f)

bezeichnen wollen. Genauer sei U"(f)

:~~

3yt,, m

) t,, . . . . . t,, . 1, ) t, hU I I1 -"Cl

)...

),/,

t7,,

Entsprechend bilden wir fiir periodische Funktionen Stiitzstellen ( 1.4) die h + 1 “aufeinanderfolgenden” quotienten

,f’t C’i(rW) mit den tf-ten DifTerenzen-

Q,(f)> m.f) ,... 3 &(f) mit

(3.5) z?,(f) :

dyti

, ti.,~l ,..., tj. ,,I f;

i ~~ 0, I..... h.

Zur einheitlichen Darstellung der Diiferenzenquoticnten (3.4) und (3.5). wenden wir uns wieder der Zerlegung (3.1) zu und bezeichnen mit Z die Stiitzstellen

d.h. % besteht unter Beriicksichtigung der Vielfachheit ;tus (tn ~- 1) t? 1. 2, .. .. t? 171,van 11 1 aufPunkten. Aus Z kijnnen tI tn BlBcke Z, , i t7 I ~~~j mit einanderfolgenden Punkten von Z gcbildet werdcn; d.h. gilt i 0 ’ I 111~~ 1. I ’ j :. tz. so bestehe Z, aus den Punkten t,

.

t/

,....

1,

,

t,

1 ) t,

1 ,...)

tl.

,

_-,-/ --Tjry /I

i

Da wir auf diese Zerlegung von i lifter zuriickgrcifen, Komp: N --f Ni”.

Kemp(i)

setzcn wir (I, j).

30

HERBEIII’

ARND-I

Fiir den Rest ciieses Ahschnittes bezeichne T die Stiitzstellen

also

I’,

I. 2..... /?I

I fiiri

I’,,,

“0

I und

/I

(111

I

I)

/I

2

171.

0. I...., 111~~ I. Weiterhln sei /I, : Ii,, 1; . i veranschaulicht die Elemente von T:

Die folgende

.

l

.

.

\2 .

.

vn

(3.6) Skizze

\

I : l’ Cl,

,: .

.

.

.

I

I .

.

f0

f1

.“‘.

.

.

f,

t,,<

-!

t,,,

1

f,,,

Mit diesen Vereinbarungen gilt der fiir das Folgende grundlegende

!,

d=(T) f’

I,/

1 c, di’(Zj),/:

(3.7)

Wir bemerken. dalJ Satz 3. I allgemeiner fir beliebige (n J- 1)-punktige Stiitzstellenmengen T mit mindestens zwei verschiedenen Stiitzstellen gilt. Zum Reweis benutzen wir zwei Lemmata. Mit Hilfe der Knickfunktion

definieren wir fiir i mit (I, j) f<(t) :

(t

Kemp(i) die Funktionen

t,)” ’ (t

t, i)’ ‘.

i

I. 2. . /I 111.

(3.8)

I eine Sprungstelle auftreten kann. Es gilt ,/; t Cl Z[t,, . t,,,], wobei fiir j 0. I . .. .. II. stets die Deshalb wollen wir vereinbaren. daR unter f:“‘(t), I Rechtsableitung im Punkte t zu verstehen ist. Mit diesen Vereinbarungen IgDt sich das folgende Lemma leicht beweisen.

REGUL;iRE

LEMMA 3.2.

31

SPLINES

Es seif c C’l-l[t O, t,,,]. Dam gibt es genau eine Funktion n.111

Aufgrund von Lemma 3.2 geniigt es, Satz 3.1 fiir alle Funktionen (3.9) ZLI beweisen. Da die ,h in der Darstellung (3.9) linear auftreten. geniigt es 1, 2..... II . 111nachweiterhin, Satz 3.1 fir die )I ;TZ Funktionen .f, , i zuweisen. LEMMA 3.3.

Es sei (I, j) ~7 Kemp(i). Dam gilt r, i m:1, 2. .... /I

On(Z!,.)J; = (I//I,) I?,.~,

. 772.

(3.10)

Btweis. Es sei (/*,,j*) = Kemp(r). Gilt 1 + I*, so i,t (3.10) sicherlich richtie da dann /l-te Differenzenquotienten iiber Polynome (n - 1)-ten 0 anGrad:; gebildet werden. Sei also 1 -7 I” 0.B.d.A. kijnnen wir I nehmen. In diesem Fall geht (3.10) iiber in O'f(Z~*l,f~

=

C1,1i7")

sj,*

j,.j*

3

=

I. 2 ,....

(3.1 I)

I?.

Es sei j* <,j. Dal;.(t) 0 fiir -: t, gilt und in t, alle Ableitungen Ordnungj ~~ 2 verschwinden, folgt offenbar t

Ll”(Z,*),h ;ihnlich

bis zur

,j” -. j.

= OTL(Zj,) 0 = 0,

gilt fiir j* > j o’yzj*)f;.

= oyZ$*)[(t

-

= An(z,,)[(t

- t&-j

t,,y

(t

-

‘1

tl)'

(t - t,)j-I]

= 0,

da ,f; und das Polynom - fJ1~~j in den Stiitzstellen von Z,, in den bei der Bildung der Differenzenquotienten auftretenden Funktionswerten und Ableitungen iibereinstimmen. Damit ist (3.11) fiir j /- j* bewiesen. Sei nun j ==j*. Dann gilt (t

A"-yZ,\$t,)jJ

da.f; und seine Ableitungen on-yZj\t")~

(t

=

t,)'-l

0 = 0,

oyz,'\,t,)

in Z3’\t1die Werte 0 haben. Andererseits gilt

== on--l(Zj\tO)[(t

- tJ-’

(t

-

t,,;-

: oyzj\to)[(t

-

(t

-

t,)'

t,y-'

‘1 .‘I

: 1,

HERBERT ARNDT

32

da,f; in Zi\t, mit dem Polynom (t r,J-j (t - f,)‘-r iibereinstimmt. folgt (3.1 1) fiir j =_ j* aus der Rekursionsformel (3.2). 1 Beweis zxw Sa~z 3.1:

Es sei (I, j) L= Kemp(i) und

c, : =- h24y7-)j; Mit dieser Definition

,

i

I. 2. .... II 172.

(3.12)

folgt die Behauptung aus Lemma 3.2 und 3.3.

Die folgenden vier Lemmata beschreiben die Struktur (3.12). LEMMA 3.4.

Damit

[

der Konstanten

Es gilt (3.i3) i

Beweis.

1

Einsetzen der Funktion f‘(r)

in (3.7).

t”

1

Die folgende Aussage findet man z.B. in [8]. LEMMA 3.5.

Es gilt

O,.“( T)(x - ty- L

0,

falls

f 5 (I, , t,,,),

oJ;n(7-)[(s ~ to)” -I (x - ?,)‘!I

0.

falls

~a,, 17,

4 ,.“( T)[(x -- t,,)” (.\- ~ tJ--l]

0.

falls

1’1-~Z/I ,

0

sonst.

4,.“( 7‘)(.Y LEMMA 3.6.

Es sci g c P[t,,

L!l,yr)[(r Beweis.

t,) ‘g(t)]

, t,,,]. Dam gilt r =z 0. l..... nr.

= d”-‘(T!t,.)g.

Anwendung der Produktformel

LEMMA 3.7. Ci > 0

-

ty

Fiir die in (3.12) dejinierien

fur i == n - v0 + 1. I7 -- v,,

(3.3).

1

Konstanten 2 ,..., n(m -

gilt 1) ~. I',,<

(3.14)

und c, z= 0

fGr i == 1, 2,.,., 17-~ I-‘(,md i --- H(1)2-

I ) -:. I ,,, ~- 1,..., t? ’ ???. (3.15)

Beweis.

Nach (3.12) gilt mit (/,,j) = Kemp(i) D := (C$/?J := Ll”(T)[(f

--~-I/y-j

(t - t,,l)‘. ‘1.

33

REGUL;iRE SPLINES

Fur j -= n folgen die Behauptungen Wir spalten (t - tJ auf in

sofort aus Lemma 3.5. Sei also ,j < II.

(t --- tl) r- c(t -- t,,) -:~ r/(t -~~t,,,) m it 11-- t, (1 2~~--__ t ,it - f,,

(’ ~~~tm - fl t ,,J~ t,, ’ Mit Lemma 3.6 folgt D = dn(T)[(c(t

~ to) + d(t -~ r,,,))(t ~~ tJnmi-1 (t -- t,+&-‘1

-.. cA”+‘(Ti,t,,)[(t

tl)+jmm’ (t

tl ,J?‘] (3.16)

-:- dA”-‘( T’,t,,,)[(t --~~t()” j l (t - t, J-l]. Damit folgen die Behauptungen durch lnduktion

tiber n.

1

Formel (3.16) liefert eine Rekursionsformel zur Berechnung der Koeffizienten ci . Fur weitere Untersuchungen fiihren wir eine neue Bezeichnung ein. Es sei (IJ) = Kemp(i). Dann setzen wir Dln(t? !- 1 -.j,

j).f’:--

b(Z,),r

= An(tL ,_.., t,. I,,, ._.., tz+l)J’ I? ‘- 1 m,j .i (3.17)

und

D,~,(O, n + I)f := D,(n + I, 0) f := l;;yll, Die folgende Aussage iiber diese Differenzenquotienten durch Jnduktion. LEMMA 3.8.

Es seifE P[t,

, t[+,]. Dann gi1tfiir.j

. beweist man leicht

I, 2,..., n

Spater benutzen wir noch LEMMA 3.9. Es seien g, g* E C”[t, , t,] mit g = g* auf T\tio und Ail(T) g = All(T) g*. Dann gilt g =: g* auf T.

34

HERBERT

ARNDT

Zum Reweis vergleiche man die interpolationspolynomc von in und g* beziiglich T. Es sei nun,f’r; C” “[ t,, , r,]. Wir entwickeln den n-ten Differenzenquotienten P(tt I I ~-,j,j),/‘:

Ll,,qrr -{- 1

LEMX~A3.10 (vgl. Werner [IS]).

.i, i).L

D”(/r I~ I

/I :

j. j) /‘ hut

II,,

eine

Etitwickluttg

der Forw

mit 44, :

i

.f’(“)(t,).

0, I.

Id

CVeiterhiil

xiii O( (tl

Rj( to . t, 1.f)

-

(3.18)

t?)“).

BrwYis. Nach dem Darstellungssatz von Peano fiir lineare Funktionale (siehe z.B. Werner und Schaback [16]) hat D”(tt + 1 ~-j,j) f‘eine Darstellung der Form (Entwicklung urn t,,) D”(tz

I

.j, .j)./

r- c,f(“yt,,)

-: d,f’”

-t s:‘.f (U i “(t)

‘yt,,) Dxn(tz

-{- I -- j, ,j) +-rjr j

t)”

1

(jr

(3.19) mit

Nach der Taylorformel

gilt

Subtraktion von (3.19) und (3.20) liefert

35

REGUL.&RE SPLINES

Den Wet-t von dj erhalten wir aus der Giiltigkeit

wie man leicht durch lnduktion (3.3) beweist. Hiermit folgt D’“(l7 ‘- I

von

tiber )I unter Benutzung der Produktformel

.i. i? /

Damit bleibt (3.18) nachzuweisen. Wegen, r t [t, , t,] gilt offenbar,j(t, -~~I) : O(, t, ~ t,, i) und aus: Lemma 3.X folgt durch Einsetzen der Funktion (X t)Ti” sofort

SchlieBlich liefert die Integration von f,, bis t, wegen der Stetigkeit van ,1’” ‘) die Beziehung O((t, - I,,)‘) fur Ri(t,, . f, ..f). 1

4. GLEICHUNGSSYSTEME Otis REGULARE SPLINE-FUNKTIONEN; HINREICHENDE BEDINGUNCEN

Wir zeigen, da13 die Existenz von Losungen bestimmter Gleichungssysteme aquivalent mit der Existenz von Liisungen der betrachteten Tnterpolationsprobleme ist. Diese Systeme lassen sich als “gestorte” lineare Gleichungssysteme schreiben. AnschlieRend weisen wir nach, dub unter geeigneten Voraussetzungen eine Losung der Jnterpolationsprobieme fii~ hinreichend kleine KnotenabstCrde existiert. Daraus lciten sich Konvergenzaussagen ab. Die Klassen X, . i = 0, I,.... h seien regular. Wir betrachten zunachst das Randwertproblem (1.3). Es sei s E S,, eine Losung des Randwertproblems ( I .3). Wenden wir die Ergebnisse von Satz 3. I auf die Zerlegung (1.1) dea Intervalles [a, h] und die in (3.4) definierten n-ten Diffcrenzenquotienten an, so kann Dl(s) in der Form

36

HERBERT

ARNDl

dargestellt werden, wobei wir in diese Darstellung gegebenenfalls Koeffizienten c,l mit dem Wert Null aufgenommen haben. Es sei s in der Form

s(t) ~-p;(r) -j- Xi(Mi) :Lilj.l, t),

p;“&

1) ter;. i

0, I ,...)k,

mit L . ti) ~= M, , dargestellt. Mit der Definition

,j --- i

und

,j == i f

1, i == 0, I,..., k.

(3.17) geht (4. I) dann iiber in

(4.2)

wobei zwischen den Koeffizienten c,’ und c:] die Beziehung i -.-~ i c,., (‘, 1

(r, j) ~~ Kemp(i),

besteht. Gleichsetzen von D,(s) -= Dl(f) nichtlinearen Gleichungssystem

r-u ,= I

I -~-,j, j)

i fiir I

.vi( Mj , Mi , . t)

I, 2. . ... 11. (k -I- I), 0. I,..., k +- 1 fiihrt zu dem

DL(f)-

I == 0, I,.... k

1, (4.3)

zur Bestimmung der GriiBen M,, , M, ,..., ~l!,~,, fiir das Randwertproblem (1.3). Entsprechend gehen wir beim period&hen Interpolationsproblem (I S) var. Tst s c S,I- eine Liisung von (1.5) und ist s periodisch auf [w fortgesetzt, so gelangt man mit den n-ten Differenzenquotienten (3.5) zu dem nichtlinearen Gleichungssystem

1 Gleichungen zur Berechnung der GrSlJen Das System (4.4) besteht ;ILIS li /M(, , !Wl . .. .. .M,, Fiir die Gleichungssysteme (4.3) und (4.4) gilt

REGULiiRE

37

SPLINES

Beweis. Wie oben ausgefuhrt wurde, folgt (I) aus (2). Somit bleibt die Umkehrung zu zeigen. Wir betrachten nur das Randwertproblem: das periodische Interpolationsproblem iZOt sich analog behandeln. Aus der Losung M des Gleichungssystems (4.3) konstruieren wir eine Losung s E Sx eines geeigneten Anfangswertproblems und zeigen, daT3 s das Randwertproblem lost. Dabei konnen wir aus Symmetriegrtinden n, 5; n -- I voraussetzen. Wir geben eine Darstellung von s im Interval1 [t,. , t,.,,] in der Form n-1 s(t) = 1 yr’ (t -- r,)j -t .u,.(M, ) MT+1 ) t). ,=” .I.

(4.5)

yoj = (J‘(t) ~ .~“(M, , Ml , r)P’ Lt, ,

(4.6)

j == 0, 1'..., n,

an. Da M zulassig fur X ist, ist x,(M, , M,;r , t) wohldefiniert. unbekannten GriilJen

Die noch

YrJ’~ .i = n, -1~.l...., n - I

(4.7)

bestimmen wir folgendermaT3en: Gilt .sE Cn[a, b] in der Darstellung (4.5) von s, so folgt, daT3die n-ten Differenzenquotienten D ,(s) := dqt” ) I” . . . .. f, , t, , t2 )...) s,

I = I, 2,..., II ~~ 17”~ I

ITo4- I + 1 die Werte D-1 := - D_.,(s) = i $ C$y(lZ z=u, -1

-7 1 ~ ,j. i) .Yi(M< . Mj&l , t), I = I. 2,.... II

/lo -- I

(4.8)

mit den gemaT Satz 3.1 gebildeten Konstanten cij7 besitzen. Die Werte (4.8) sind durch die Losung M eindeutig bestimmt. Da s andererseits Tnterpolierende zufsein solI. setzen wir die Grogen (4.7) als Liisungen des linearen Gleichungssystems D-z(p) = D-, .

I = 1. 2. .... I? - n,, - 1

Dabei sei p E !T.12n--n,m.Z dasjenige Polynom, das p(j)(t,) = yoj L -[$ xo(Mo , Ml , t)( p(tJ -= f(fi).

, tc-fo

j = 0. I . .. .. 72~~ I,

i .-: 1, 2. . . . min(l7 ~ 17”~ 1, h- + I).

/,“‘(I,.{ 1) = .f”‘(t,. 1).

,j=

1,2 )..., I? .-- 11”- k -- 2,

(4.9)

38

HERBERT

ARNDT

erfiillt. Das Gleichungssystem (4.9) hat genau eine Losung (4.7), da die zugehijrige Matrix Dreiecksgestalt hat und ihre Hauptdiagonalelemente nicht verschwinden. Hiermit ist die Darstellung (4.5) von J’ im lntervall [to. fl] wohldetiniert. Wir defnieren s auf [a, 01 induktiv: 1st s auf dem Interval1 [t,, , r,] schon bekannt mit h:

h. so sei

Auf diese Weise ist s mit den Darstellungen (4.5) auf [(I. h] deiiniert und nach Konstruktion gilt s ES, Wir zeigen nun, daB s das Randwertproblem (I .3) lost. Wegen (4.6) sind die Interpolationsbedingungen im linken Randpunkt erfiillt. Wir nehmen nun an. deB

.J(f,)

.f(f,)

fur i

0. I . .....L’~

I

h

gilt. und zeigen (4.10)

.f( I,,).

dt,\ 1 Nach Satz 3. I gilt fiir I -- N ~ /I ~- II,,

=: u,,

falls

I c 0,

-~Zo,(f).

falls

/

0:

letzteres folgt aus (4.8) und (4.9) bzw. (4.3). Damit folgt die Behauptung (4.10) aus Lemma 3.9. Entsprechend zeigt man. da0 s die geforderten Randwerte im rechtcn Randpunkt annimmt. Insgesamt ist Satz 4.1 fur das Randwertproblem ( I .3) bewiesen. 1 Aus dem Beweis dieses Satzes geht hervor, dab die Losung s ~1S,- des Randwertproblems ( I ,3) bzw. des periodischen Tnterpolationsproblems ( I .5) eindeutig bestimmt ist, wenn eine Liisun g :I4 von (4.3) bzw. (4.4) existiert und M eindeutig bestimmt ist. Damit haben vvir in Erganzung zu Abschnitt 2 such fur das period&he Interpolationsproblem eine Eindeutigkeitsaussagc erhalten. Wir wollen nun zeigen. dab die betrachteten Gleicl~ungssystemet~ ayuiv alent sind mit gestiirten linearen Gleichungssystemen.

REGUL;iRE

39

SPLINES

Fiir die Gleichungen (4.3) gilt nach Lemma 3.10, wenn wir Xi C C” “[I,] voraussetzen und Q(S) -: II, benutzen,

I = 0, 1,. ., k -

1 dilMi = D,(f) -7 R,(s), r-O Entsprechende iiberlegungen polationsproblems (I .5) zu &ZMi

r:

ii,(f)

fiihren

+

I.

im Falle des periodischen

R,(s),

I =

0,

1 ). ..)

(4.13) Inter-

k.

Analog gilt fiir jede Funktion ,f‘~ C1r+2[,, 61

c ditfyti) = Q(f) i- &(,f), I : 0,I.....k -)~1.

i.4

(4.14)

und fiir jede Funktion f~ C’l-z(R) mit der Periode b -- a oder deren n-te Ableitung die Periode b-a besitzt

i W”‘k> = au> + m.n, I = 0,I....)k.

(4.15)

40

HERBERT

ARNDT

Nach Lemma 3.7 sind die Koeffizienten d,’ und Jii’ nichtnegativ. bzw. (4.15) folgt fur f( t) t” ,(d,l) !, = (2,‘); x

Aus (4.14)

I,n! :

dabei bedeute / .4 ,I= die Zeilensummennorm von A. Urn Aussagen fiir kleine Knotenabstande gcwinnen zu konnen. werden wir die Zerlegung ( 1.I) des lntervalls [a, h] verfeinern. Genauer werden wir Zerlegungen a

: toi

_ ...

t;., -- t;, , : -: IT,

j y 0, I . . . . .

(4.16)

des Intervalls [a, 61 konstruieren mit {fi ~i ~= I. 2,..., h-1 C {tij / i -- 1. 2 ,..., k,;,

j ~~ 0. 1,_.._

(4.17)

Bedingung (4.17) gewlhrleistet, dalj jedes Interval1 [tit, ti,l] in nur einem Interval1 [tl, tl,.,] enthalten ist. Dann sei S, so definiert. dal3 in allen Intervallen I” : ~- [tf’, r; ,] c [tc . t,. ,] die Einschrtinkungen von X, auf I* verwendet seien. Damit ist such fur alle Zerlegungen (4.16) die Klasse S,r definiert. Zu der Zerlegung (4.16) definieren wir IT,:--

t:,,

0, I ,.__.k; .

i

t,'.

und betrachten 17 --) 0. Eine Funktion ,f~ C”[n, b] heiRt zul%,sig fiir X (bei h + 0), wenn es ein 6 ;-, 0 gibt, so da0 fur jede Zerlegung (4.16) des IntervalIs [a, b] mit (4.17) die Parameter hli mit

i M,

-,f'"'(t,')l

:<

(S/q)

h.

i

: 0.

I . . . . . k,

-~ 1

zul%ssig fur X sind. Weiterhin bezeichnen wir mit A,, bzw. A”, die zu den Zerlegungen (4.16) gehiirenden Matrizen (dTz) bzw. (Jj2). die die Gleichungssysteme fur die Theorie der polynomialen Splines liefern. Damit sind wir in der Lage. unser Hauptergebnis zu beweisen.

SATZ 4.2. ZLI heschr&7ktenl q sei eine Folge ~‘017Zerlegw7gen (4.16) mir (4.17) gegrhen. Die zqqehtirigen Matrizen A,, hzw*. 27, seien it77~ertierhrrr 77nrfdie

REGUL;I;RE

41

SPLINES

Zeilens~l~?lmerinormen ihrer Itwersen gleichmtiJig beschriinkr. Ferner sei f’~ C” *2[a, b] suliissig fiir X, und die Klassen X, mb;gen den Bedingungen ( R). ( D) und (B) geniigen. Jm Falle des periodischen Interpolationsproblems habe ,f die Periode b - a. Dann existiert eine Lijsung des Randwertproblems ( I .3) hz~s. des periodischen Interpolationsproblems (1.5) beziiglich S,,fiir hinreichend kleines II.

Wir beweisen den Satz fiir das Randwertproblem (1.3). Der Beweis. Beweis fiir den periodischen Fall verlzuft analog. Wie oben ausgefiihrt wurde, geniigt es, eine L&ung M des Systems (4.13) zu finden. Setzen wir R,*(M) ~~-R,(s), so ist k-1

1 diLMi = &(f) z-0

+ RI*(A4),

/ 7 0, I,..., k + 1

(4.18)

mit M m=(M, , MI ,..., Mktl) zu &en, wobei k == k(h) von der Zerlegung (4.16) abhgngt. Nach Subtraktion von (4.14) geht (4.18) iiber in 1, I 1

c d,‘(Mi / -0

= R,*(M)

fyti))

-:- R,(f),

I = 0, I,..., k -; I.

(4.19)

,..., k + I

(4.20)

Mit

w, : Mi - p( rj), erhalten wir, wenn wir R,*(W)

setzen,

= R,*(M)

1 di’Wj i

i-O,1

:

R,*(W)

(- R,(f).

(4.21)

1)

Aus (4.1 1). den Lemmata 3.4 und 3.7 und aus (3.18) folgt I

R2(f‘) -= O(h”),

0, I,..., k -i- I

(4.22)

mit gleichmsl3ig beschrgnkten Funktionen O(P), weil ,f~ C” ‘“[a, b] vorausgesetzt ist. Da f’zul&sig fir X ist, gibt es ein S ‘a 0, so daf3 die Werte Mj E [.f(‘“)(t,) (6/q) /I. j(“)(ri) + (6/q) h] zul&sig fiir X sind. Da q beschrgnkt ist. nehmen wir zwecks Vereinfachung des Beweises 8/q I an. Dann ist jedes ~4~E [f’“‘(t;)

- h,f”“(rJ

+ II],

i-

0, l,...,k+-

I

zul&sig fiir X. Wegen (4.20) bedeutet dies. daB der Wiirfel j W,

; II.

i

0. 1, ., x I

I.

i4.23)

42

HERRER-I

ARNDT

zul&sig ist. Dies impliziert dJ(t,

.

f,-,)

M

q

Llyti.

.f”,

/i

,,f’“’

-i-

A’(/,

U(h)

‘Vr,j

.

U(1)

t,.,)w

O(I)

mit gleichm~f.iig beschrankten Funktionen O( 1). da q beschrgnkt ist. Da (B) fiir die Klassen Xi gilt, sind die Funktionen .Y~‘~%I.parametrisiert durch M. in den Teilintervallen von [a, 61 gleichmtil3ig beschrankt fiir II t S. Wie beim Beweis van (4.22) folgt daher

K,( h1.l

R,(W)

I

O(h”).

mit pleichmal3ig beschrankten Funktionen unter der Bedingung (4.23), da0 1 rl,‘W, 7 X,( M’) -’ R,(f). I 0

(4.24)

0. I..,,. h -so 1.

lnsgcsamt erhalten vvir

O(h2).

/ :- 0, I. . ..( ii -:- 1.

(4.25)

= O(h”)

mit gleichmaBig beschrankten Funktionen 0(/7”) gilt. Da die Normen ,~A;’ 11als gleichmSBig beschrankt vorausgesetzt sind, kBnnen wir ; R,(W)

R,(f),

:

K,,

:

/7 .

A,, ’ ;!I’.

I

0. i,.... h

I.

fur hinreichend kleinc /7 erreichen. Wir zeigen nun, daD (4.25) einen Fixpunkt W besitzt. Es sei H : und y die lincare Abbildung 7 : H --f H mit

(3.26)

[--/I, 171”

3

cp(W) :~ A,,kf’. Wegen ~A,, ‘,. Abbildung

1 ist y eine Abbildung

von H in sich. Weiterhin

sei 4’1die

t,'/:H-+[-~K,,.K,JL. mit

I,&W,,....I M’;,.,) :L- (R,,(W) -:~H,,(j) ..... R,,,(W) -1 R,.,(f)). Nach Voraussetzung (D) ist $ stetig. y ist ein Homoomorphismus p(H). Also ist $ . y ~~’stetig. Weiterhin enhalt p(H) den Wiirfel w,, :=- (WtW

2

w;

K,, . i

mit K/, aus (4.26). Also ist die Abbildung $ ^ ‘i ’ : cz‘), f IS’,,

0, I ..,_. h .- 1:

van H auf

REGUL;iRE

43

SPLINES

tine stetige Abbildung einer endlichdimensionalen konvexen Menge in sich. Nach dem Fixpunktsatz von Brouwer gibt es ein J’ =- ( J‘o ,..., J’,;..I) C: M/;, mit Q 0 ‘p-q J,) == J’. Fiir pj,+ : _. (W ” *-,

M/1”

,....

@‘-f,,)

:--~

c,>-‘(J’)

gilt dann J,J(w*j

.I‘,

dS0

Also gibt es eine Liisung W* von (4.25) fiir hinreichend kleines /I und mittels (4.20) eine LGsung M von (4.18). Damit ist der Satz fiir das Randwertproblem (1.3) bewiesen. 4.3. (1) Satz 4.2 setzt die BeschGnktheit der Normen von bzw. &I explizit voraus. Dies trim z.B. zu fiir die Matrizen Jil, falls 12 gerade und die Zerlegung (4.16) asymptotisch gquidistant vcrteilt ist (Ahlberg [2]). Im Falle des Randwertproblems ist die Beschrgnktheit dtr Normcn von A;’ in der Literatur bislang nur fiir 17: 2, IT,,_= 1~~= 1 bekannt (vgl. Ahlberg et al. [I]). Untersuchungen an der Universitgt Miinster [17, 181 zeigen, da13fiir gerades II und 11”~ II, == 17/2die Normen van Ai1 bei %quidistanter Verteilung (4.16) zumindest fiir II =~ 4, 6,..., 12 beschrgnkt bleiben (siehe such de Boor [5]). Benzerkmg

A,l

(2) Die Definition der Zullssigkeit von f ist so ausgelegt, da13sich als zulGsiger Bereich der Wi direkt der Wiirfel (4.23) ergibt. Man kann jedoch die Zul%ssigkeit vonf so wohl schwgcher als such stBrker formulieren, ohne daD die Aussage von Satz 4.2 davon beriihrt wird. Fordert man aIs ZuEssigkeit vonfftir X, da0 es ein 6 > 0 gibt, so daD alle Mi E [f’“‘(tJ

- (6/q) h?‘,fyti)

+ Wq)

w>

0
fiir i ~~ 0, l,..., k + I zul5ssig fiir X sind, so ergibt sich (mit 6,‘q =: 1) statt (4.23) als zul&siger Bereich der IYi der Wiirfel

j wi I r< /I”,

i-

0,l ,..., k + I.

(4.23')

Fiir 0 .-; p :< 1 bleibt der Beweis von Satz 4.2 unvergndert, indem man statt (4.23’) fiir hinreichend kleine h wiederum nur den Teilwiirfel(4.23) betrachtet, wghrend man im Falle 1

44

HERBERT

ARNDT

Letzteres fiihrt zu Llyt,

) l;.,)

A.4

-f”“l’(f,)

-j. O(h”

i-

1).

0.1 . . . ../i

1.

d.h. in diesem Falle liegt sowohl der betrachtete Parameterbereich von M “nahe” bei f(“) als such dlM “nahe” bei f’” ‘I). (3) Die Existenzaussage von Satz 4.2 kann unter schwgcheren Voraussetzungen gefolgert werden. Es geniigt, daB sich die Normen der Matrizen A;l bzw. J,,’ wie ‘2 :, l ‘_,

U(h “).

0

[I-

I:

gleichm%Big in 11verhalten. Der Beweis van Satz 4.2 bleibt dann im wesentlichen unvergndert; jedoch verschlechtern sich die Konvergenzaussagen des folgenden Satzes 4.4 urn den Faktor h-1’. (4) Gilt zusgtzlich zu Bedingung (D), daB die (n -i- 2)-ten Ableitungen von xi t X, stetige partielle Ableitungen nach den Parametern A4, besitzen, so kann eine LBsung von (4.18) mitt& des kontrahierenden Iterationsverfahrens M”‘l)

A,,l(D(f)

R*(M”‘)).

it

h;,

fiir hinreichend kleine /I gewonnen werden, da dann such

mit gleichm%l3ig beschrankten Funktionen O(V) gilt, wie aus der Darstellung von Rj au5 Lemma 3.10 hervorgeht (vgl. U’crner [15]). (5) Existenz Existenz Ahlberg

Gilt S, Sn;,,,C. liegt also der lineare Fall vor, 50 geniigt fiir die einer Liisung der Interpolationsaufgaben selbstverst%ndlich die der lnversen Ai1 bzn. >xil, die fiir Ai1 stets gewghrleistet ist (vgl. z.B. ef al. [I] und Karlin und Ziegler [9]).

SATz 4.4. Es mtigetl die ~‘~orausset,x.Mgetl~-on Sal; 4.2 crfiiiiil seiti, utlti s E s,y sei die Losung des Rand~verfpobletm (1.3) bz~‘. des periodischen I~~Mterpolariotlsproblet~~s (1.5),fiir hinreichend l
Dam gilt (rP/c/P)(f(r) - s(t)

- .(hn-‘2-‘).

i : 0, I...., It i 2,

gleichn$lig in t t [a, b]. Der Beweis verlguft analog dem Beweis des entsprechenden Satzes von Werner [HI.

RECUL;iRE SPLINES

45

ACKNOWLEDGMENT Diese Arbeit ist Teil meiner an der Universittit Miinster angefertigten Dissertation. Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr. H. Werner fiir die Farderung dieser Arbeit und seine wertvollen VerbesserungsvorschlHge. Ebenfalls dankbar bin ich Herrn Professor Dr. D. Braess fiir seine Anregungen wtihrend der Anfertigung dieser Arbeit.

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