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Isomorphisme de Thom et feuilletages presque sans holonomie
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, GCombtrie diff~rentielle/Differentia/ (Analyse fonctionnelle/functiona/
Sbrie
Isomorphisme sans holonomie
de Thorn
Gilbert
HECTOR
I, p. 1015-1018, Geometry
Analysis)
et Marta
G. H. : Institut Girard-Desargues. 43, bd 11-Novembre-1918, 69622 E-mail : [email protected]
et feuilletages
presque
MACHO-STADLER UniversitC Villeurbanne
M. M.-S.
: Departamento de Matemiticas, Universidad de1 Pais Vasco, Apartado E-mail : [email protected]
R&urn&
1997
644,
Claude-Bernard cedex, France.
Facultad 48080
(Lyon
I).
de Ciencias, Bilbao, Espagne.
g la reprksentation du groupolde d’holonomie d’un feuilletage presque saris holonomie, comme graphe de groupes abeliens, on va montrer que ces feuilletages vkifient la conjecture de Baum-Connes dans une version analogue B celle utiliske par A. Connes pour les actions de 0%
G&e
Thorn isomorphism Abstract.
and almost without
holonomy
foliations
We describe the holonorny groupoid of a foliation almost without holonomv as a graph abelian groups. As a consequence, we obtain that the Baum-Connes conjecture holds true for these foliations in a way similar to the one described by A. Connes for R-actions. of
1. Groupdides
et feuilletages
Tout groupo’ide de Lie G induit sur son espace d’unids M une relation d’equivalence ouverte, qui d&nit sur M un feuilletage de Stefan. 11 est dit r&t&r lorsque ses fibres sont connexes et les sous-groupdides d’isotropie discrets ; dans ce cas, le feuilletage induit sur A4 est regulier. Un groupdide regulier r&&e un feuilletuge 3 lorsque ses orbites sont les feuilles de F. Un groupoide de Lie regulier a fibres contractiles est appele groupoi’de classijiant : cette appellation est justifiee par le fait que dans ce cas, le classifiant BG de G a le type d’homotopie de G (et done aussi de M). Le groupoide G est K-orient& si le groupe structural du fibre T(F) est reduit a A4ln’(R) (ou, de faGon equivalente, si le classifiant BG de G admet une structure Spin’). On designera par C*(G) la C*-algebre reduite du groupaide de Lie (ou plus generalement, du groupdide localement compact) G. Les notions d’equivalence de Morita sont dtfinies pour les groupoi’des (resp. les C*-algebres) dans [2] (resp. dans [9]). Enfin, dans [9] on montre que les C*-algebres de groupoi’des equivalents sont Cquivalentes. Note
pr&ent6e
07644442/97/0325
par Alain CONNES. 10 15 0 Acadkmie
des ScienceslElsevier,
Paris
1015
C.
Hector
et M.
Macho-Stadler
Si G est le groupo’ide d’holonomie de (44, F), il est Morita-equivalent (voir [2]) au groupoi’de d’holonomie transverse G$ = {y E G : cr(y).p(y) E T}, oti T est une sous-variete transverse (en general non connexe). Deux feuilletages sont dits Moritu-e’quivalents si leurs groupoi’des d’holonomie respectifs le sont. Tout feuilletage est Morita-equivalents a un feuilletage a feuilles de dimension paire.
2. Suite exacte en K-thdorie
topologique
On transpose a la categoric des groupoi‘des de Lie (puis de leurs C*-algebres) la construction de la suite exacte de K-theorie d’une paire (1W. U), oti U est un ouvert d’une variete M, et on obtient : si G est un groupo’ide de Lie regulier, on considere U c M un ouvert sature (pour le feuilletage realise par G sur A4) et F = izI - U. Alors Gr: est un sous-groupo’ideouvert plein de G, et l’inclusion naturelle de Gu dans G induit un homomorphisme injectif de C*-algebres (l’extension par zero), e : C* (Gci) --+ C*(G), dont l’image est un ideal ferme de C*(G). On appelle e un morphisme d’inclusion entre C*-algebres. Le sous-groupo’ideferme GF = G - Gc n’est pas en general un groupoi’de de Lie, mais seulement un groupoi’de localement compact, dont l’inclusion dans G est propre. Cette inclusion induit un morphisme de restriction. I’ : C*(G) -+ C*(GF). On obtient done la suite : 0 ---f C*(Gu) AC*(G)
LC*(Gp)
-+ 0. ou, en general, Ker(r,) < Im(e). On dit que
le ferme F est permis lorsque la suite ci-dessus est exacte : ces fermes permis seront obtenus a l’aide de conditions de moyennabilite (voir theoreme 6). En procedant de facon analogue au cas topologique, on montre (voir [S]) : PROPOSITION 1. - Avec les notations ci-dessus.si F est un jet-me permis. on a la suite exucte longue : --i K, (C*(Gc-)) ‘*K,
(C*(G)) I-I
K,(c*(G’,.))
-LK,,(CI*(G,,))
-T-K&*(G))
AK,(C:*(GF)).
Le morphisme de connexion a est construit par un procede en tout point semblable a celui utilise dans le cas des espaceslocalement compacts et P-algebres commutatives : c’est done une composition de morphismes d’inclusion et de restriction. 11en est ainsi pour tous les morphismesde groupes qui apparaissentdans la suite exacte longue ci-dessus; ceci servira pour Ctablir les proprietes de fonctorialite au paragraphe 3.
3. L’homomorphisme
de Thorn
Si G est un groupdide K-orient& qui realise un feuilletage sur M a feuilles de dimension paire, A. Connes et G. Skandalis (voir [l]) construisent l’homomorphisme de Thorn p : Ko(Co(M)) Ko(C*(G)), qui en fait, est induit par la correspondunce fondamentule (au sens des groupo’ides, voir [8]) entre le groupdide trivial M et le groupdide d’holonomie G. .I1 possede les proprietes fonctorielles suivantes (voir [7] et [8]) : PROPOSITION 2. - Si le groupoihreG est K-oriente et 6 feuilles de dimension puire, ulors il en est de me^mepour les groupoi’des GL~et GF et on a les diugrammes commututifs : (al)* Ko(Co(V)
-
PC.’ 1 Ko(C*(G))
1016
-
K,](c,(?~l))
Ko(Co(W)
(e)-
1
I-1
Ko(C*(G))
et
P
(To)*
1
1
Ko(C*(G))
Ko(Co(F))
0,
Ko(C*(GF)).
PF
lsomorphisme
de Thorn
et feuilletages
presque
saris
holonomie
THI$OR~ME 1 (voir [S]). - Dans les conditions ci-dessus, si U est un ouvert saturk et F = IV - U un fermk permis, alors on a un diagramme commutatif : K,JG,(~:)) 111' I K,(C-(GU))
o(1) 2
Kl(c,(nl))
(PO): K,(Co(F))
I' I K,(C'-(G))
(2) :
PF I K,(C*(G,))
80 (3) A
K\;,(C,(I:)) /b 1 KO(C‘(G~,))
= (4) 3
K,(C,(AI)) I' I K,(C‘(G))
= (5) =
Ko(G(F)) I'r; ! K,(C‘(GFl)
De’monstration. - Tous les homomorphismes qui apparaissent ont CtC obtenus B partir de morphismes d’inclusion ou de restriction, il suffit done d’utiliser la proposition 2. 4. Feuilletages
presque
saris holonomie
On va appliquer les considkrations prkddentes A certains feuilletages 3 de codimension un, de classe C” (r 4 I), transversalement orient& par un champ de vecteurs Y, de norme finie, sur une variCtC riemannienne complkte IV de dimension m, tangent au bord si a(,W) # 0. Le feuilletage (hf. 3) est presque saris holonomie (voir [3] et [4]) si l’holonomie de toute feuille non fermCe est triviale. Si 111 est compacte, on retrouve les feuilletages presque saris holonomie habituels. Le feuilletage est de type jini s’il ne possi!de qu’un nombre fini de feuilles fermkes. Cette restriction n’est que provisoire ; il s’agit plut6t d’une simplification technique (voir [6]). Dans la suite, (M, 3) sera un feuilletage presque sans holonomie de type fini. Un graphefini de groupes d’homkomorphismes abfliens de typefini de Iw est dCfini par les donnCes suivantes : (i) d’un graphe r = (I’O,F1,~,r) fini et orientk; (ii) pour s E I”, d’un groupe abklien de type fini G, d’hom6omorphismes de iw, saris point lixe ; de Iw, ayant 0 (iii) pour chaque a E I? ‘, d’un groupe abelien de type fini H, d’homkomorphismes comme unique point fixe ; (iv) pour chaque (L. E rl, de deux homomorphismes de groupes S, : H, -+ G,(,) et R, : H, --+ G,(,, , oti R,,,(f) = log o f o exp et S, (J’) = log o f o -exp, pour f E H,. GComttriquement, le passage de H, 2 G,.(,) consiste B restreindre f B (0: oo), puis reparametrer pour obtenir un homkomorphisme de la droite, qui &idemment ne posskdera plus de point fixe. La notion d’isomorphisme de deux tels graphes se dkfinit de fagon Cvidente. I1 s’agit d’associer A (A[, 3) un graphe fini de groupes d’homkomorphismes abkliens de 1:ype fini de W. THI~OR~ME 2 (voir naturelle dans A4 et de Iw, I’(3). En fait, est appelP fe graphe
[S]). - I1 existe une transversale totale T au feuilletage, qui se plonge de faGon qui d$init un graphe jini de groupes d’home’omorphismes abkliens de type fini n’est rien d’autre que le groupoide transverse de 3 relativement i2 T. I1 r(3) du feuilletage (M, 3).
PROPOSITION3. - Le feuilletage (Al. 3) est saris holonomie si et seulement si r(3) unique sommet s, dont le groupe G, est le groupe d’holonomie du feuilletage.
est re’duit 2 un
TH~ORZME 3. - Si (MI. 31) et (&Iz: 3 2) sont deux feuilletages presque saris holonomie de type$ni, ils sont Morita-e’quivalents si et seulement si leurs graphes associks sont isomorphes. RCciproquement, on peut montrer : THBOI&ME 4 (voir [8]). - A partir d’un graphejni de groupes d’homkomorphismes abe’liens de tqpe jini de iw, r, on peut construire un feuilletage (MO, 30) qui vkrifie : (i) 3. est presque saris holonomie, classi$ant et ti feuilles de dimension paire ; (ii) le graphe associe’ au feuilletage (n/r,, 30), r(.;Fg), est isomorphe C?r.
1017
C. Hector
et M.
Macho-Stadler
TH~ORI?ME 5 (voir [S]). - Le feuilletage construit duns le the’orgme4 est Morita-e’quivalent & (,21: 3).
Si, de plus, (M, 3) est classifiant et F est la r&don des feuilles fertrkes, alors le groupdide d’holonomie restreint GF coi’ncide avec le groupdide fondamental, III(F), et on en dCduit : LEMME PF
: K*(F)
1. d
Si U est une composante connexe de M -- F, on a les isomorphismesde groupes K$h(F))
et pu
: &(CO(u))
+
K*(C*((&)).
THGORBME 6 (voir [8]). - Si (n/r, 3) est un feuilletage presque suns holonomie, de fype jini et classi$ant, alors l’homomorphisme de Thorn p : K* (A4) - + K,(C* ((G)) est un isomorphisme de groupes, appele’ l’isomorphisme de Thorn pour (M, 3). Zdkede la de’monstration.- On considitre le fermk F rkunion des feuilles g holonomie non nulle. Les groupes d’holonomie correspondants sont abeliens, done moyennables; on en dCduit aiskment que F est un fermi permis. On pose U = A4 - F ; le fibrC T(3) est trivial, done les fib&s et les applications qui apparaissentdans les constructions prkckdentes sont Cvidemment K-orientkes. Compte tenu du lemme 1 et du thkortme 1, le lemme des cinq garantit alors que p est aussi un isomorphisme. Par Cquivalence de Morita, on obtient le thCor&ne final, qui gCnCraliseles rksultats de [lo] :
TH~OR~ME 7. - Si (M! 3) est un .feuilletage presque suns holonomie de type fini sur M compacte, il ve’ri$e la conjecture de Baum-Connes. Remarque.- Dans tout ce qui prkkde, on peut remplacer les C*-algkbres rkduites par les C*-algkbres pleines Cka,(G). Tous les rksultats convenablement transposCsrestent valables, les dkmonstrations sont les m&mes,simplifikes, car il n’y a plus lieu d’introduire la notion de fermC permis : en effet, la suite 0 -+ C”,,,(Gu) 2 C&,,(G) AC* max(G1:) + 0 est toujours exacte (voir [7]). Note
remisele 24 avril 1997, acceptkeaprksrkvision le 15 septembre1997.
RCfkences
bibliographiques
[I] Connes A et Skandalis G., 1984. The longitudinal index theorem for foliations, Publ. R.I.M.S. Kyoto Univ.. 20, p, 1139-1183. [2] Haefliger S., 1984. Groupoi’des d’holonomie et classifiants. AsrPrisque, 116, p. 70-97. [3] Hector G., 1972. Sur les feuilletages presque saris holonomie, C. R. Acud. SC. Paris, 274, p. 1703-1706. [4] Hector G., 1978. Croissance des feuilletages presque sans holonomir:, Lecture Nores in Maths, 652 Springer, p. 141-l 82. [S] Hector G., 1994. Groupoi’des, feuilletages et C*-algkbres (quelques aspects de la conjecture de Baum-Connes). Proceedings Geometric Study of Foliations. Tokyo 1993, World Scientific, p. 3-34. [6] Hector G. et Macho-Stadler M. L’isomorphisme de Thorn pour les, graphes de groupes a&liens (a paraitre). [7] Hilsum H. et Skandalis G., 1987. Morphismes h’-orient& d’espaces de feuilles et fonctorialite en theorie de Kasparov (d’apres une conjecture d’A. Connes), Ann. Sci. EC. Norm. Sup.. 20, p. 325-390. [8] Macho-Stadler M., 1996. Isomorphisme de Thorn pour lcs feuilletages presque saris holonomie, These Lyon I. [9] Mulhy P. S., Renault J. et Williams D.P., 1987. Equivalence and isomorphism for groupoid C*-algebras. J. Operator Theor?, 17. p. 3-22. [lo] Torpe A. M., 1985. K-theory for the leaf space of foliations by Reeb components, J. Fund. Anal., 61, p. 15-71.
1018
Sbrie
Isomorphisme sans holonomie
de Thorn
Gilbert
HECTOR
I, p. 1015-1018, Geometry
Analysis)
et Marta
G. H. : Institut Girard-Desargues. 43, bd 11-Novembre-1918, 69622 E-mail : [email protected]
et feuilletages
presque
MACHO-STADLER UniversitC Villeurbanne
M. M.-S.
: Departamento de Matemiticas, Universidad de1 Pais Vasco, Apartado E-mail : [email protected]
R&urn&
1997
644,
Claude-Bernard cedex, France.
Facultad 48080
(Lyon
I).
de Ciencias, Bilbao, Espagne.
g la reprksentation du groupolde d’holonomie d’un feuilletage presque saris holonomie, comme graphe de groupes abeliens, on va montrer que ces feuilletages vkifient la conjecture de Baum-Connes dans une version analogue B celle utiliske par A. Connes pour les actions de 0%
G&e
Thorn isomorphism Abstract.
and almost without
holonomy
foliations
We describe the holonorny groupoid of a foliation almost without holonomv as a graph abelian groups. As a consequence, we obtain that the Baum-Connes conjecture holds true for these foliations in a way similar to the one described by A. Connes for R-actions. of
1. Groupdides
et feuilletages
Tout groupo’ide de Lie G induit sur son espace d’unids M une relation d’equivalence ouverte, qui d&nit sur M un feuilletage de Stefan. 11 est dit r&t&r lorsque ses fibres sont connexes et les sous-groupdides d’isotropie discrets ; dans ce cas, le feuilletage induit sur A4 est regulier. Un groupdide regulier r&&e un feuilletuge 3 lorsque ses orbites sont les feuilles de F. Un groupoide de Lie regulier a fibres contractiles est appele groupoi’de classijiant : cette appellation est justifiee par le fait que dans ce cas, le classifiant BG de G a le type d’homotopie de G (et done aussi de M). Le groupoide G est K-orient& si le groupe structural du fibre T(F) est reduit a A4ln’(R) (ou, de faGon equivalente, si le classifiant BG de G admet une structure Spin’). On designera par C*(G) la C*-algebre reduite du groupaide de Lie (ou plus generalement, du groupdide localement compact) G. Les notions d’equivalence de Morita sont dtfinies pour les groupoi’des (resp. les C*-algebres) dans [2] (resp. dans [9]). Enfin, dans [9] on montre que les C*-algebres de groupoi’des equivalents sont Cquivalentes. Note
pr&ent6e
07644442/97/0325
par Alain CONNES. 10 15 0 Acadkmie
des ScienceslElsevier,
Paris
1015
C.
Hector
et M.
Macho-Stadler
Si G est le groupo’ide d’holonomie de (44, F), il est Morita-equivalent (voir [2]) au groupoi’de d’holonomie transverse G$ = {y E G : cr(y).p(y) E T}, oti T est une sous-variete transverse (en general non connexe). Deux feuilletages sont dits Moritu-e’quivalents si leurs groupoi’des d’holonomie respectifs le sont. Tout feuilletage est Morita-equivalents a un feuilletage a feuilles de dimension paire.
2. Suite exacte en K-thdorie
topologique
On transpose a la categoric des groupoi‘des de Lie (puis de leurs C*-algebres) la construction de la suite exacte de K-theorie d’une paire (1W. U), oti U est un ouvert d’une variete M, et on obtient : si G est un groupo’ide de Lie regulier, on considere U c M un ouvert sature (pour le feuilletage realise par G sur A4) et F = izI - U. Alors Gr: est un sous-groupo’ideouvert plein de G, et l’inclusion naturelle de Gu dans G induit un homomorphisme injectif de C*-algebres (l’extension par zero), e : C* (Gci) --+ C*(G), dont l’image est un ideal ferme de C*(G). On appelle e un morphisme d’inclusion entre C*-algebres. Le sous-groupo’ideferme GF = G - Gc n’est pas en general un groupoi’de de Lie, mais seulement un groupoi’de localement compact, dont l’inclusion dans G est propre. Cette inclusion induit un morphisme de restriction. I’ : C*(G) -+ C*(GF). On obtient done la suite : 0 ---f C*(Gu) AC*(G)
LC*(Gp)
-+ 0. ou, en general, Ker(r,) < Im(e). On dit que
le ferme F est permis lorsque la suite ci-dessus est exacte : ces fermes permis seront obtenus a l’aide de conditions de moyennabilite (voir theoreme 6). En procedant de facon analogue au cas topologique, on montre (voir [S]) : PROPOSITION 1. - Avec les notations ci-dessus.si F est un jet-me permis. on a la suite exucte longue : --i K, (C*(Gc-)) ‘*K,
(C*(G)) I-I
K,(c*(G’,.))
-LK,,(CI*(G,,))
-T-K&*(G))
AK,(C:*(GF)).
Le morphisme de connexion a est construit par un procede en tout point semblable a celui utilise dans le cas des espaceslocalement compacts et P-algebres commutatives : c’est done une composition de morphismes d’inclusion et de restriction. 11en est ainsi pour tous les morphismesde groupes qui apparaissentdans la suite exacte longue ci-dessus; ceci servira pour Ctablir les proprietes de fonctorialite au paragraphe 3.
3. L’homomorphisme
de Thorn
Si G est un groupdide K-orient& qui realise un feuilletage sur M a feuilles de dimension paire, A. Connes et G. Skandalis (voir [l]) construisent l’homomorphisme de Thorn p : Ko(Co(M)) Ko(C*(G)), qui en fait, est induit par la correspondunce fondamentule (au sens des groupo’ides, voir [8]) entre le groupdide trivial M et le groupdide d’holonomie G. .I1 possede les proprietes fonctorielles suivantes (voir [7] et [8]) : PROPOSITION 2. - Si le groupoihreG est K-oriente et 6 feuilles de dimension puire, ulors il en est de me^mepour les groupoi’des GL~et GF et on a les diugrammes commututifs : (al)* Ko(Co(V)
-
PC.’ 1 Ko(C*(G))
1016
-
K,](c,(?~l))
Ko(Co(W)
(e)-
1
I-1
Ko(C*(G))
et
P
(To)*
1
1
Ko(C*(G))
Ko(Co(F))
0,
Ko(C*(GF)).
PF
lsomorphisme
de Thorn
et feuilletages
presque
saris
holonomie
THI$OR~ME 1 (voir [S]). - Dans les conditions ci-dessus, si U est un ouvert saturk et F = IV - U un fermk permis, alors on a un diagramme commutatif : K,JG,(~:)) 111' I K,(C-(GU))
o(1) 2
Kl(c,(nl))
(PO): K,(Co(F))
I' I K,(C'-(G))
(2) :
PF I K,(C*(G,))
80 (3) A
K\;,(C,(I:)) /b 1 KO(C‘(G~,))
= (4) 3
K,(C,(AI)) I' I K,(C‘(G))
= (5) =
Ko(G(F)) I'r; ! K,(C‘(GFl)
De’monstration. - Tous les homomorphismes qui apparaissent ont CtC obtenus B partir de morphismes d’inclusion ou de restriction, il suffit done d’utiliser la proposition 2. 4. Feuilletages
presque
saris holonomie
On va appliquer les considkrations prkddentes A certains feuilletages 3 de codimension un, de classe C” (r 4 I), transversalement orient& par un champ de vecteurs Y, de norme finie, sur une variCtC riemannienne complkte IV de dimension m, tangent au bord si a(,W) # 0. Le feuilletage (hf. 3) est presque saris holonomie (voir [3] et [4]) si l’holonomie de toute feuille non fermCe est triviale. Si 111 est compacte, on retrouve les feuilletages presque saris holonomie habituels. Le feuilletage est de type jini s’il ne possi!de qu’un nombre fini de feuilles fermkes. Cette restriction n’est que provisoire ; il s’agit plut6t d’une simplification technique (voir [6]). Dans la suite, (M, 3) sera un feuilletage presque sans holonomie de type fini. Un graphefini de groupes d’homkomorphismes abfliens de typefini de Iw est dCfini par les donnCes suivantes : (i) d’un graphe r = (I’O,F1,~,r) fini et orientk; (ii) pour s E I”, d’un groupe abklien de type fini G, d’hom6omorphismes de iw, saris point lixe ; de Iw, ayant 0 (iii) pour chaque a E I? ‘, d’un groupe abelien de type fini H, d’homkomorphismes comme unique point fixe ; (iv) pour chaque (L. E rl, de deux homomorphismes de groupes S, : H, -+ G,(,) et R, : H, --+ G,(,, , oti R,,,(f) = log o f o exp et S, (J’) = log o f o -exp, pour f E H,. GComttriquement, le passage de H, 2 G,.(,) consiste B restreindre f B (0: oo), puis reparametrer pour obtenir un homkomorphisme de la droite, qui &idemment ne posskdera plus de point fixe. La notion d’isomorphisme de deux tels graphes se dkfinit de fagon Cvidente. I1 s’agit d’associer A (A[, 3) un graphe fini de groupes d’homkomorphismes abkliens de 1:ype fini de W. THI~OR~ME 2 (voir naturelle dans A4 et de Iw, I’(3). En fait, est appelP fe graphe
[S]). - I1 existe une transversale totale T au feuilletage, qui se plonge de faGon qui d$init un graphe jini de groupes d’home’omorphismes abkliens de type fini n’est rien d’autre que le groupoide transverse de 3 relativement i2 T. I1 r(3) du feuilletage (M, 3).
PROPOSITION3. - Le feuilletage (Al. 3) est saris holonomie si et seulement si r(3) unique sommet s, dont le groupe G, est le groupe d’holonomie du feuilletage.
est re’duit 2 un
TH~ORZME 3. - Si (MI. 31) et (&Iz: 3 2) sont deux feuilletages presque saris holonomie de type$ni, ils sont Morita-e’quivalents si et seulement si leurs graphes associks sont isomorphes. RCciproquement, on peut montrer : THBOI&ME 4 (voir [8]). - A partir d’un graphejni de groupes d’homkomorphismes abe’liens de tqpe jini de iw, r, on peut construire un feuilletage (MO, 30) qui vkrifie : (i) 3. est presque saris holonomie, classi$ant et ti feuilles de dimension paire ; (ii) le graphe associe’ au feuilletage (n/r,, 30), r(.;Fg), est isomorphe C?r.
1017
C. Hector
et M.
Macho-Stadler
TH~ORI?ME 5 (voir [S]). - Le feuilletage construit duns le the’orgme4 est Morita-e’quivalent & (,21: 3).
Si, de plus, (M, 3) est classifiant et F est la r&don des feuilles fertrkes, alors le groupdide d’holonomie restreint GF coi’ncide avec le groupdide fondamental, III(F), et on en dCduit : LEMME PF
: K*(F)
1. d
Si U est une composante connexe de M -- F, on a les isomorphismesde groupes K$h(F))
et pu
: &(CO(u))
+
K*(C*((&)).
THGORBME 6 (voir [8]). - Si (n/r, 3) est un feuilletage presque suns holonomie, de fype jini et classi$ant, alors l’homomorphisme de Thorn p : K* (A4) - + K,(C* ((G)) est un isomorphisme de groupes, appele’ l’isomorphisme de Thorn pour (M, 3). Zdkede la de’monstration.- On considitre le fermk F rkunion des feuilles g holonomie non nulle. Les groupes d’holonomie correspondants sont abeliens, done moyennables; on en dCduit aiskment que F est un fermi permis. On pose U = A4 - F ; le fibrC T(3) est trivial, done les fib&s et les applications qui apparaissentdans les constructions prkckdentes sont Cvidemment K-orientkes. Compte tenu du lemme 1 et du thkortme 1, le lemme des cinq garantit alors que p est aussi un isomorphisme. Par Cquivalence de Morita, on obtient le thCor&ne final, qui gCnCraliseles rksultats de [lo] :
TH~OR~ME 7. - Si (M! 3) est un .feuilletage presque suns holonomie de type fini sur M compacte, il ve’ri$e la conjecture de Baum-Connes. Remarque.- Dans tout ce qui prkkde, on peut remplacer les C*-algkbres rkduites par les C*-algkbres pleines Cka,(G). Tous les rksultats convenablement transposCsrestent valables, les dkmonstrations sont les m&mes,simplifikes, car il n’y a plus lieu d’introduire la notion de fermC permis : en effet, la suite 0 -+ C”,,,(Gu) 2 C&,,(G) AC* max(G1:) + 0 est toujours exacte (voir [7]). Note
remisele 24 avril 1997, acceptkeaprksrkvision le 15 septembre1997.
RCfkences
bibliographiques
[I] Connes A et Skandalis G., 1984. The longitudinal index theorem for foliations, Publ. R.I.M.S. Kyoto Univ.. 20, p, 1139-1183. [2] Haefliger S., 1984. Groupoi’des d’holonomie et classifiants. AsrPrisque, 116, p. 70-97. [3] Hector G., 1972. Sur les feuilletages presque saris holonomie, C. R. Acud. SC. Paris, 274, p. 1703-1706. [4] Hector G., 1978. Croissance des feuilletages presque sans holonomir:, Lecture Nores in Maths, 652 Springer, p. 141-l 82. [S] Hector G., 1994. Groupoi’des, feuilletages et C*-algkbres (quelques aspects de la conjecture de Baum-Connes). Proceedings Geometric Study of Foliations. Tokyo 1993, World Scientific, p. 3-34. [6] Hector G. et Macho-Stadler M. L’isomorphisme de Thorn pour les, graphes de groupes a&liens (a paraitre). [7] Hilsum H. et Skandalis G., 1987. Morphismes h’-orient& d’espaces de feuilles et fonctorialite en theorie de Kasparov (d’apres une conjecture d’A. Connes), Ann. Sci. EC. Norm. Sup.. 20, p. 325-390. [8] Macho-Stadler M., 1996. Isomorphisme de Thorn pour lcs feuilletages presque saris holonomie, These Lyon I. [9] Mulhy P. S., Renault J. et Williams D.P., 1987. Equivalence and isomorphism for groupoid C*-algebras. J. Operator Theor?, 17. p. 3-22. [lo] Torpe A. M., 1985. K-theory for the leaf space of foliations by Reeb components, J. Fund. Anal., 61, p. 15-71.
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