- Email: [email protected]
Optimierung ebener, sphärischer und räumlicher getriebe zur approximierten lagenzuordnung
Mechanism and Machine Theory Vol. 21, No. 2, pp. 187-197, 1986 Printed in Great Britain.
0094-114X/86 $3.00 + .00 © 1986 Pergamon Press Ltd.
OPTIMIERUNG EBENER, SPHA,RISCHER UND RAUMLICHER GETRIEBE ZUR APPROXIMIERTEN LAGENZUORDNUNG JORGE ANGELES Department of Mechanical Engineering, McGiil University, Montreal, Quebec H3A 2K6, Canada
(Eingegangen 12, Juli 1984) Zusammenfassung--Das Problem der Optimierung ebener, sph/irischer und riiumlicher Getriebe zur
exakten Lagenzuordnung mit Hilfe eines freien Parameters ist schon gel6st worden. In diesem Beitrag wird dieses Problem for den Fall gelOst, bei dem die Synthesegleichungen zu einem tiberbestimmten linearem Gleichungssystem fiihren, d. h., bei dem die Anzahl der Gleichungen gr6Ber als die der Unbekannten ist. Die vorgestellte Methode erlaubt, die Getriebeparameter zu berechnen, die nicht nur die Synthesegleichungen mit dem kleinsten Quadratfehler ann/iheren, sondern aueh eine Zielfunktion minimieren bzw. maximieren, die eine Eigenschaft des Getriebes darstellt. EINLEITUNG Es wurden schon Methoden entwickelt, die mit Hilfe eines freien Parameters die Computersynthese ebener, sph~irischer und rfiumlicher Getriebe zur Koordinierung der Bewegungen des Antriebs- und Abtriebsgliedes erlauben[l-3, 4]. Diese Methoden finden Anwendung bei Problemen, bei denen man die exakte Erf011ung der auftretenden Gleichungen sowie die Optimierung eines Bewegungsablaufes versucht. Doch manche Anwendungen vedangen die Erftillung einer Anzahl von Synthesegleichungen, die die Anzahl der Getriebeparameter iiberschreitet. Damit ergibt sich ein tiberbestimmtes Gleichungssystem, das im allgemein keine exakte L6sung besitzt. Methode zur Berechnung der Getriebeparameter, die diese Synthesegleichungen im Sinne der kleinsten Quadrate oder des maximalen Betrages der Abweichungen besser ann~heren sind bekannt[5-8]. Die gleichzeitige Behandlung der obengenannten Probleme ist jedoch noch nicht versucht worden. Das ist aber eine 16sbare Aufgabe, die sich viel vereinfacht, wenn man die Methoden von[l-4] einftihrt. Dieser Beitrag behandelt die L6sung des Problems der Ann/ihcrung der Synthesegleichungen mit dermkleinsten Quadratfehler bei der gleichzeitigen Optimierung einer entsprechenden Zielfunktion, die die Lauff'fihigkeit des Getriebes beeinhaltet. FORMULIERUNG DES PROBLEMS
Es sei {(~i, qbi)}~"eine Menge von m Wertpaaren, die die Antriebs- bzw. Abtriebswinkel darstellen. Bei der Lagenzuordnung sucht man eine Menge von Getriebeparametern {pi}~', d. h. entweder L~ingen oder Winkel, die das gesuchte Getriebe, das die vorgegebene Beziehung zwischen den Antriebsund Abtriebswinkel verwirklicht, bestimmen. Im Bericht werden nur drehende Antriebs- und Abtriebsglieder betrachtet; die Erweiterung zu schie187
benden Glieder kann aber einfach durchgefOhrt werden. Schon 195519] wurde gezeigt, wie bei der Einfiihrung einer nichtlinearen Abbildung der Getriebeparameter zu abhfingigen Parameter {k;}~',yon hier ab als Vektor k dargestellt, die Synthesegleichungen bei einem Getriebe vom Typ R R R R linear werden k6nnen. Weiterhin[10] wurde dieses Verfahren bei sphgtrischen und r/iumlichen Getriebe vom Typ R S S R angewandt. Damit ergibt sich das Gleichungssystem Sk = b,
(1)
wobei S bzw. b eine m x n-Matrix bzw. ein mdimensioneller Vektor darstellt. S und b hfingen von der Menge {(0i, qbl)}i" ab. Setzt man in Gl. (1) m = n, so ergibt sich ein bestimmtes lineares Gleichungssystem, das im allgemeinen 16sbar ist, well die Matrix S ebenfalls im allgemeinen nicht singular ist. Deswegen besitzt das Gleichungssystem (l) eine eindeutige L6sung k = [k., k., . . . . . k,,] r. Bisher wurde angenommen, dab der Winkel qJ bzw. qb yon einer fixierten vereinbarten Linie gemessen wird. In [1-4] hat man gezeigt, dab bei der Z/ihlung dieser Winkel nicht von fixierten, sondern yon unbestimmten Linien, die durch die Winkei ct bzw. 13 festgelegt werden, sind S und b des Gleichungssystem (l) nichtlineare Funktionen der aund 13-Parameter. Damit ergibt sich fiir jedes (a, 13) Paar, das die Matrix S nichtsingulfir macht, eine eindeutige L6sung k, d.h., bei der Einftihrung der aund 13-Parameter liiBt sich eine unendliche Anzahl von Vektoren k berechnen, die das Gleichungssystem (1) erfiillen. Damit laBt sich ein bestimmter Wert yon k wfihlen, der einem bestimmten Getriebeeigenschaft, z.B. einem vorgegebenen minimalen Wert des 0bertragungswinkels[4], entspricht. Wie in [1-4] bewiesen wird, sind jedoch die a- und 13Parameter nicht unabh/ingig von einander. Tats~ichlich sind sie durch eine nichtlineare Funktion
188
J. ANGELES
des Typs
nichttrivialen L6sung f ( a , 13) = 0
(2)
verbunden. GI. (2) bestimmt eine implizite Funktion a = a(13) for jeden reellen Wert von a, die periodisch in ~r ist. Genauer hat die Funktion f(et, 13) die Gestalt f ( a , 13) = det(M),
Rang(M) < min{m, q} = q.
(5)
Es seien ml . . . . . mq m-dimensionelle Vektoren, die die Spalten der M-Matrix darstellen. Dar0ber hinaus wird angenommen, dab die Spalten so zugeordnet sind, als wenn mq eine Funktion nur von c~ sei, d.h.,
(3) mq =
mq(a).
(6)
wobei det(M) die Determinante der q × q-Matrix Ist die Bedingung (5) erf011t, so kann der m uM darstellt. Speziell ist q = 3 bei ebenen Getrieben, Vektor als eine Linearkombination der ml . . . . . q = 4 bei sph~irischen Getrieben und q = 6 bei mq_ r V e k t o r e n ausgedrfickt werden, d.h. als rfiumlichen Getrieben des Typs RSSR. Darfiber hinaus ist jedes Element der Matrix M eine trigonom q = x l m l + x 2 m 2 + ... + Xq-lmq-i. (7) metrische Funktion der Variablen d~i, +i, a und 13. Legt man einen bestimmten Wert von [3, z.B. 13t in GI. (2) fest, so ergibt sich eine Funktion g = g(a), Definiert man die A-Matrix und den x-Vektor als deren Wurzel al dem vorgegebenen Wert 131 von 13 entspricht. Wie in [1-4] bemerkt wird, entsprechen A = [m~, m2, . . . mq-j], (8) j e d e m 13-Wert nicht ein, sondern zwei a-Werte. Das X = [Xl, X2 . . . . . X q - I ] T, Problem der Bestimmung der a-Werte ft~r einen [3Wert ist nichtlinear; deswegen verlangt seine LOso lafSt sich GI. (7) als sung die Anwendung einer iterativen Methode. Die Methode, die in [1-4] angewandt wird, ist ableiAx = mq (9) tungsfrei; sie basiert auf der Halbierung des Suchintervalles. Sie besitzt globale Konvergenz-EigenausdrOcken. GI. (9) stellt ein lineares Gleichungsschaften, d.h., zur Konvergenz verlangt sie keine system von m Gleichungen und q - 1 Unbekannten Startwerte in der N~ihe einer L6sung, doch wenn dar. Sind beliebige Werte von a und 13 vorgegeben, sie iterativ einen Wert in der N~ihe einer Ltisung so existiert im allgemein kein x-Vektor, der die m ermittelt, wird ihre Konvergenz langsam, weil ihre Gleichungen (9) erft~llt. Doch man kann einen besKonvergenzordnung linear[11] ist. timmten x-Vektor, Xo, berechnen, der die EukliEs wurde schon in [12] gezeigt, dab es mfglich dsche Norm des Fehlers e des Gleichungssysist, die Ableitung dg(a)/da zu berechnen. Damit tems (9) minimiert. Ist der Fehler als kann man bei diesem Problem eine ableitungsabhfingige Methode, z.B. die Newton-Raphson-Methe = m u - Ax (10a) ode[l 1], anwenden. Obwohl solche Methode keine globale-Konvergenz-Eigenschaft besitzten, kon- definiert, so wird seine Euklidsche Norm ~ als vergieren sie in der Nahe einer LOsung schnell. Tats~ichlich besitzen sie eine quadratische Konvergen= [(mqAx)T(mqA x ) ] I/2 (10b) zordnung in der N~ihe einer L6sung. Diese Eigenschaft der Newton-Raphson-Methode er- berechnet. Der optimale Vektor Xo wird dann mit laubt, nicht nur isolierte a-Werte, sondern die Hilfe der Moore-Penrose'schen generalisierten Inganze Funktion a = a(13) zu berechnen, wie es in verse[13] ausgedrfickt: [12] gezeigt wird. Falls m in GI. (1) gr/)13er als n ist, ist die Methode von [1-4] noch anwendbar, wie im Xo = Almq, (lla) folgenden bewiesen wird. Tats~ichlich basiert die Ableitung der GI. (2) auf der Bedingung, die die wobei A t die generalisierte Inverse von A, als Existenz einer nichttrivialen L f s u n g eines linearen homogenen Systems garantiert. Dieses System hat AI = (ATA) - j A r (lib) die Gestalt ,
Mx = 0,
(4)
wobei M eine quadratische Matrix ist, die schon diskutiert wurde. Ist m > n i m Gleichungssystem (1), so ist M eine nichtquadratische m x q-Matrix. In diesem Falle ist die Existenzbedingung einer
definiert, darstellt. Die Existenz der obengenannten generalisierten Inverse verlangt natiarlich, dab Rang(A)
=
q
-
1.
(llc)
Der Ausdrfick ( l l a ) , der den xo-Vektor bestimmt, ist nur symbolisch, da die explizite Bere-
189
Optimierung Ebener, Sph/irischer und R~iumlicher Getriebe chnung der ALMatrix nicht nur unn6tig, sondern auch nicht zu empfehlen ist[14]. Anstatt dessen ist dieser Vektor mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen[15] zu berechnen. Der 13-Wert, dem der vorgegeben ct-Wert entspricht, l/iBt sich wie folgt berechnen: Es sei eo der in GI. (10a) schon definierte Fehler, der die minimale Euklidsche Norm besitzt, d.h.
licherweise ergibt sich cge_oo cga = (AA1 --
1) (CgA ~'a Xo -- cgmq' 0a /t "
Also kann man die Beziehung zwischen a und 13 wie folgt ausd~cken:
d~
eo = m q
-
-
Axo.
(12)
Stellt man den Wert von et, z.B. et = a~, fest, so existiert bestimmt ein Wert 13~ von 13, der den Fehler eo zu Null macht, d.h., e o ( a l , 130 = O.
(13)
(19b)
f(ct, 13) = d'-~ = 0.
(20a)
-d~ - = eor(AAI - 1 CgAXo. d13 )'~
(20b)
Dar~ber hinaus folgt unmittelbar aus G1. (19), dab 0eo/c913 im Kern der A~-bzw. der At-Matrix liegt, d.h.,
FOr beliebige 13-Werte ergibt sich e2 = ~2(13) = e~(~l, 13)eo(al, 13) -->0.
(14)
Den bestimmten Wert 13~ von GI. (13) kann man jetzt aus folgenden Optimierungsproblem berechnen: ~(13) = ~ez(13)---~min.
(15)
Die Zielfunktion ~(13) erreicht einen statiomiren Wert beim Verschwinden ihrer Ableitung nach 13. Diese kann man aus
d~
(Oeo'~r 04
CgA
-
o13
xo -
0A = (At - AZ)~'-~ Xo = 0.
cgXo
A -
ol3
(17)
folgt. In GI. (17) liiBt sich 0A/013 explizit von der Definition von A, doch c9Xo/013mit Hilfe yon Gin. ( l l a u. b) berechnen. Aus diesen Gleichungen ergibt sich cgXo CgAI 0[3 -- 013 mq,
(ArA) - J A r - ~
(18a)
Ar ~
AI CgAA/" ~"
(18b)
OA (AA1 - 1) -~- Xo,
(19a)
wobei 1 die m x m-Identit~itsmatrix darstellt. ~ , h n -
= O.
(21c)
(~eo~r cgeo
{c92eo'~r
C9--13= \C913z ]
Ersetzt man GI. (18b) in GI. (18a) und diese in GI. (17), so ergibt sich 0[3
(21b)
Legt man einen bestimmten Wert aj von tx fest, so kann man bei der L6sung der GI. (20) den entsprechenden 13-Wert 131 berechnen. Das kann entweder mit Hilfe einer ableitungsfreien[16], oder einer ableitungsabh~ingigen, z.B. der Newton Raphson'schen, Methode erreicht werden. Eine Methode der zweiten Klasse verlangt zwar die Berechnung von C9f/C913,doch sie konvergiert schneller als die Methode der ersten Klasse. Diese Ableitung kann man unter Berticksichtigung der Gin. (16) and (20) berechnen aus
Of
Oe.__2o =
= 0,
was nur eintritt, wenn
wobei, wie man unmittelbar beweisen kann, CgAI 0[3 -
(21a)
Weiterhin ergibt sich aus der Definition von At gem~il3 G1. (lib).
(16)
berechnen, wobei aus GI. (12)
c913
I)-~-Xo CgA
{cgeo~r
d--~ = \C913/ cgeo = 1~-~) eo
cgeo
At ~cgeo = At(AAI -
eo + \C913/ C9"-'~-'
(22)
wobei aus GI. (19) folgt
02e° - (AA' - 1) {C92A
0132
\C9132-
2 OA A' C9A) xo. c913
(23)
Zur Optimierung einer Zielfunktion z, die den Getriebevorgang darstellt, benftigt man bei Anwendung einer Gradientenmethode die Ableitung d13/da. Diese kann mit GI. (20) wie folgt berechnet
190
J. ANGELES
werden:
und
o13
of / aot
dct
0f/013 "
0fl013 wurde
schon in GI. (23) hergestellt, doch Of/ Oct wird mit Hilfe der Gin. (16) und (20) berechnet:
Of
( 02eo '~ r (Oeo'/r Oeo 0--e~ = \~9--~-~/ eo + \013/ Oct"
(25)
Die einzige Ableitung der GI. (25), die noch fehlt, ist 02 e0/0a 0[L Diese kann doch einfach mit Hilfe der G1. (17) zu
dZeo
[ ( O_2A
Oct a----~= (AA' - 1) 1_\act 013 0A AI 0A'~
OAAtOmq ] octj
(26)
EINFUHRUNG EINER ZIELFUNKTION ZUR OPTIMIERUNG DES GETRIEBEVORGANGS
Vorausgesetzt, dab eine implizite Funktion 13 = 13(ct) sowie ihre Ableitung 13'(ct) nach ct zur Verfi~gung stehen, wird jetzt versucht, den angenommen Getriebevorgang zu optimieren. Dabei wird angenommen, dab man eine Funktion der Gestalt ~.,, 61 . . . . .
~b.... k)
(27b)
ko = ko(a).
(29b)
Damit wird z eine Funktion zo der Gestalt Zo = zo(ot, ko).
(30)
Sodann kann man Zo als implizite Funktion des ot-Argumentes betrachten, die einen station/iren Wert beim Verschwinden ihrer ganzen Ableitung nach ct erreicht. Diese Ableitung ist dzo OZo + d13 OZo ( d k o ] r dzo dot - 0ot ~ ~ + \-d--~a/ 0--~o'
(31)
wobei OZo/OCtsowie dzo/bko v o n d e r Gestalt der zo explizit zu berechnen sind. Doch dko/dot ergibt sich aus GI. (29a) zu dko _ dSt b + St d b dot dot dot '
(28a)
(32a)
wobei die Ableitungen von St bzw. von b nach a wie folgt zu berechnen sind: dS 1 _ 0St q- d_~_~0S___ t dct Oct dct 013 '
(32b)
db _ 0b + d13 0b dot Oct dot 013
(32c)
Die Ableitungen von S1 nach ot bzw. nach 13 werden analog zu GI. (18b) berechnet:
Mit BerOcksichtigung der Synthesegleichungen (1), der Beziehung (20) zwischen ot und 13 und der Definitionen (27b) kann das Optimierungsproblem z = z(ct, 13, k) ~ min
(29a)
(27a)
schon bestimmt hat. Diese Funktion stellt den Vorgang, z.B. den kleinsten Betrag des Obertragungswinkels, die Genauigkeit, den hOchsten Betrag der Abtriebsbeschleunigung u.s.w., des Getriebes dar. Im allgemein versucht man die Maximierung oder die Minimierung von z. Weiterhin wird angenommen, dab die {(0~, +i)}]"-Wertpaare, wie vor allem bei Lagenzuordnungen, fixiert sind. Sodann reduziert sich die Gestalt der z auf z = z(ot, ~, k).
Die L6sung dieses Problems wird jetzt beschrieben: Jedem a-Wert entspricht ein 13-Wert, der durch die L6sung der GI. (28c) berechnet werden kann. Damit kann man die S-Matrix sowie den b-Vektor als Funktionen nicht von ot und 13, sondern nur von a betrachten. Dartiber hinaus wird der k-Wert ko, der das Oberbestimmte Gleichungssystem im Sinne der kleinsten Quadratfehler am besten approximiert, mit Hilfe der generalisierten Inverse von S wie folgt ausgedrOckt:
ko ist natOrlich eine Funktion von ot, d.h.,
berechnet werden. Wie frOher gesagt, ist die generalisierte Inverse At nicht explizit, sondern implizit mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen, zu berechnen.
z = z(ct, 13, 01 . . . . .
(28c)
ko = S/b.
0A AIOA act 0--[3
o13 oct/x°+~
f(ot, 13) = 0.
(24)
0St _ 0ot
St 0S St 0ct '
0St _ 013
St 0S St . 013
(32d)
Ersetzt man Gin. (32b-d) in GI. (32a), so ergibt sich
c~,k
angesetzt werden mit Ber~cksichtigung der Restriktionen Sk = b
(28b)
dko da
SI ~
+ ~
ko
(Oh
+s' ~ + ~
(33)
Optimierung Ebener, Sphfirischer und R~iumlicher Getriebe Zur Berechnung der dko/da und danach der dzo/ det braucht man nur ko aus GI. (29a) mit Hilfe der schon erw~ihnten Householder'schen Spiegelungen zu ermitteln. Danach wird die rechte Seite der G1. (33), u genannt, als die LOsung des folgenden fiberbestimmten Systems: (OS Su = -
d13 0_~)
~aa + ~aa
191
a3
a4 a2
Ob d13 0.._b_b ko + 0-~ + da013 (34) w
w
-
-
w
aI
berechnet. Dieses wird einfach gefasst, bestimmt Bild 1. Ebenes Viergelenkgetriebe des Typs RRRR. weil die S-Matrix schon mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen in dreieckigen Form dargestellt wird. E b e n e Getriebe des Typs RRRR Weiterhin wird der optimierende ct-Wert, otopt, Ein Getriebe dieses Typs ist im Bild 1 schemawie folgt berechnet: Es sei g(et) = dzo/dct. Dann tisch dargestellt. Seine Obertragungsfunktion (OF) kann man o/.opt als den ,~-Wert berechnen, bei dem lautet nach[4]: g(ot) verschwindet. Da das Verschwinden der g(a) einen minimalen zo-Wert nicht garantiert, mug man f(to, tb) = a 2 + a 2 - a 2 + a24 + 2aja4 aopt innerhalb eines [oh, et2]-Intervalles suchen, wobei x cos d~ - 2ata2 cos tO - 2a2a4 g(al) < 0,
g(az) > 0,
al < a2.
x cos(tO - ~b) = 0.
(35)
Danach kann man Otopt sehr effizient mit Hilfe einer Direkte-Suche-Methode[16] bestimmen. Die Struktur der M-matrix, bzw. der A-Matrix, die zur GI. (20) leiten, sowie die der S-Matrix, die den kVektor nach G1. (29a) zu berechnen erlaubt, bei ebener, sph~ischer und r~iumlicher Getriebe wird im folgenden beschrieben.
(36)
FiJhrt man die unbestimmten et- und 13-Winkel des Bildes 2 sowie eine Menge von m Wertpaaren {(tO,., dpi)}T ein, so ergibt sich die folgende OF: f(tO,., tb,.) = a~ + a~ - a 2 + a24 + 2ala4
x cos(d~,. + 13) - 2ala2 x cos(tO,. + or) - 2a2a4 x cos(tO,. + a - ~b,.- 13) = 0,
OPTIMIERUNGSGLEICHUNGEN BEI DER SYNTHESE EBENER, SPH~i,RISCHER UND R,~UMLICHER GETRIEBE
Im folgenden werden die M- bzw. A- und S-Matrizen, sowie die k- und b-Vektoren des vorgehenden Problems bei ebenen, sph~irischen und rfiumlichen Getrieben dargestellt. Nur drehgelenke werden betrachtet, doch k6nnen auch Schubgelenke mit Hilfe dieser Methode behandelt werden. Die i-te Zeile der vorgehenden Matrizen werden als m i, a; und s", die i-te Komponenten der k- bzw. bVektoren als ki bzw. bi bezeichnet.
(37a)
sowie f(ot, 13) = a~ + a 2 - a~ + a42 + 2aja4 cost 13 - 2aja2coset - 2a2a4 cos(a - 13) = 0.
(37b)
Bei der Einftihrung der Definitionen kl =
a~ + a22 - a ] + a 2
k2 = al/a2,
2a2a4 k3 = at~a4,
Bild 2. Einf0hrung der unbestimmten a--und 13-Winkeln zur Optimierung der Synthese.
(38a)
192
J. ANGELES
l a u t e t GI. (37a) k l + k2 COS((I) i "~- 13) -- k3 c o s ( 0 i
+ a)
= cos(O~ + ~ - +i i=
13),
1. . . . .
m.
(38b)
D a m i t ergibt sich ein l i n e a r e s G l e i c h u n g s s y s t e m d e r G e s t a l t (1) m i t s i = [1, c(+i + 13), bi = c(Oi + ~ -
-c(Oi
+i -
+ a)],
(38c)
13),
k = [k], ks, k3] r
(38d) Bild 3. Sph~trisches Viergelenkgetriebe des Typs RRRR.
w o b e i s(.) bzw. c(.) v o n h i e r a b die Sinus- bzw. die K o s i n u s - F u n k t i o n i h r e s A r g u m e n t e s darstellt. E r s e t z t m a n die D e f i n i t i o n e n (38a) in G1. (37b), so ergibt sich k l + k s c o s [3 -
k3 c o s a
= cos(a
-
F i i h r t m a n die u n b e s t i m m t e n a- und 13-Winkeln des Bildes 2 sowie die m W e r t p a a r e n { 0 , qbi}]n ein, so ergibt sich die U F
13). ( 3 8 e )
f(Oi, ~)i) = C a l C0~2 CoL4 -- C0~3 + SO~l SO~2 c a 4 Bei d e r S u b s t r a k t i o n d e r GI. (38e) v o n GI. (38b) erh~ilt m a n
)'( c ( 0 i --}- a ) + s ~ 2 sot.4 s ( 0 i -{- a )
x s(~b~ + 13) + ca~ sa2 sa4
ks[c(+i + 13) - c13] - k3[c(+~ + a ) - c a ] -
[c(Oi+
a-+~-
13)-
x c(Oe + a ) c ( + i + 13)
c(a-
13)] = O,
i = 1. . . . .
m.
- scdt ca2 Sa 4
(38D x c(+i + 13) = O,
Die Gin. (38f) stellen ein h o m o g e n e s lineares S y s t e m d e r G e s t a l t (4) dar. D a b e i gilt
i=1
.....
m,
(43a)
sowie m i = [c(+i + 13) - c13, c(Oi + a - + i - c(a -
13)
13), c(Oi + a) - ca],
x = [Xl, x2, x3] r = [kz/k3, -
l/k3, -
1] r.
(39a) (39b)
f ( a , [ 3 ) = c a l c a z c a 4 - ca3 - s a t c a z s a 4 c 1 3 + S~lSa2Ca4Ca
+ CalS~2Sa4Ca
C13
+ s ~ s~4 s a s13 = 0. A u s GI. (4) k a n n m a n mit d e n v o r g e h e n d e n Def i n i t i o n e n die dritte Spalte d e r M - M a t r i x als eine L i n e a r k o m b i n a t i o n i h r e r e r s t e n zwei S p a i t e n ausd r t i c k e n , d.h.
Bei d e r E i n f i i h r u n g d e r D e f i n i t i o n e n
k[ = m3 = xlmi
S o d a n n erh~ilt m a n eine B e z i e h u n g d e r G e s t a l t (9) mit
k2 -
[c(+~ +
13) -
c13,
c(Oi + a - dOi -
13) - c ( a -
13)] (41)
Sphiirische Getriebe des Typs RRRR Die G l e i c h u n g e n , die z u r S y n t h e s e des im Bild 3 gezeigten sph/irischen Getriebes benutzt werden, sind wie folgende. Die O F dieses G e t r i e b e s ist nach[12] f ( O , (b) ~--- COt'l C0/-2 c a 4 -- c a 3 + sot.i s a 2 c a 4 CII/
sat c a 2 s a 4 c c b = O.
tan a2 tan 0£4
(44a)
sal
tan az k4-
tan a t
e r h a l t m a n aus GI. (43a) kl + k z c ( O i + a) + k3 s(Oi + a)s(qbi + 13)
+ k4 c(O,- + a ) c ( + i + [3) = c(+i + 13), i=1
"+" 810[2 SO~4 SlJl S( D "~- CO~I SO~2 S0£4 C 0 C~b
-
S a l C a 2 S~4
tan a2 k3 -
ai =
C a I C a 2 C a 4 -- C a 3
(40)
+ x2m2.
(42)
(43b)
.....
m.
(44b)
D a m i t ergibt sich ein l i n e a r e s G l e i c h u n g s s y s t e m d e r G e s t a l t (1), w o b e i
193
Optimierung Ebener, Sph~irischer und R/iumlicher Getriebe
si=
[1, c ( , i + ot),
dieses G e t r i e b e s ist n a c h [ l - 4 und 12]
s(+, + a)s(+,. + 13), c(0i + ot) c(d~i + 13)1, (44c)
bi = c(d~/ + 13), k = [k~, kz, k3, k4] r.
f(+,~b) = az2 - (aT + a~ + a4~ + sT
(44d)
- 2s~s4cot4 + s4z) - 2a3a4c+
E r s e t z t man die Definitionen (44a) in GI. (43b), so ergibt sich k~ + kz cot + k3 sot s13 + k4 cot c13 = c13.
+ 2a3sl sot4 s~b + 2 a l a 4 c t ~
2ajs4 sot4 sO + 2alaacot4sO s~b
-
(44e)
(48)
+ 2ala3 ct~ ct~ = 0.
Bei der Substraktion der GI. (44d) von G1. (43b) erh~ilt man
Bei der Einftihrung der ot- und 13-Winkel sowie der W e r t p a a r e n {4i, ~b~)}7' erh~ilt man die O F
k3[s(,l,~ + ot) s(+i + 13) - sot s13]
f ( O i , ~ i ) = a 2 - (aT + a ] + a ] + s 2 -- 2S|S4COt4 + S 2) -- 2a3a4c(d~i + 13)
+ k4[c(~,, + ot)c(+,. + 13) - cot c13] -- [C((l) / +
13) -- C13] "4- k2[c(i.~i --1- 12/.) -
ca]
i = 1. . . . .
m.
= 0,
+ 2a3sl SOt4 S(l~)i -]- 13) "1- 2ala4c(Oi + ot)
(44f)
-- 2ats4 sot4 s(~lli + ot) + 2ala3cot4s(Oi + ot) S((1)i -~- 13)
Die Gin. (440 stellen ein h o m o g e n e s lineares G l e i c h u n g s s y s t e m der Gestalt (4) dar. Dabei sind
+ 2a i a3 c ( 0 / + a) c(~bi + 13) = 0, i = ! .....
m i = [s(,i + ot)s(~bi + 13) - sot s13,
c(,l,~ + ot) c(+~ + 13) - cot c13,
m,
(49a)
sowie
c(+/ + 13) - c13, c(t~i + ot) - cot]
(45a)
f(ot, 13) = a 2 - (a 2 + a ] + a42 + sT
x = Ix1, x2, x3, x4] T
-- 2SlS4COt4 + S 2) -- 2a3a4c13
= [-k3/k2,
-k4/k2,
1/k2, -
1] r.
(45b)
+ 2aas~ SOt4 S13 + 2a~a4ca - 2 a i s 4 s a 4 s a + 2ala3 COt4 SOt $13 + 2ala3 c a c13 = 0.
Aus G1. (4), m4 = x~m~ + x2m2 + x3m3.
(46)
Sodann erhalt man eine Beziehung der Gestalt (9) mit a i = [s(0i + ot) S((~)/ + 13) -- SOt S13,
c(cbj + 13) - c13]. (47) Riiumliche Getriebe des Typs RSSR Die Gleichungen, die zur Synthese des Getriebes des Typs e n t s p r e c h e n d Bild 4 sind folgende. Die U F
I I
Weiterhin f~ihrt man die folgende Definitionen ein: a22 - (a 2 + a 2 + a 2 + s 2 - 2sis4cot4 + S2) kl =
2ala3
k2 = a~ , al
c(+~ + ot)c(+; + 13) - c a c13,
I I
(49b)
(50a)
k3 = s l sot4 , k4 = _a4 , al a3
k5 _ $4 s a 4 , a3
k6 =
Cot4.
Sodann kann GI. (49a) wie folgt ausgedr0ckt werden: kl - k2 c(d~i + 13) + k3 s(~bi + 13)
+ k4 c(+; + a) - k5 s(+; + a) + k6s(t~i
+ ot)s(~bi +
x c(~bi + 13),
13) =
-c(~Ji
i = 1. . . . .
+ ot)
m.
(50b)
Damit ergibt sich ein lineares Gleichungssystem der Gestalt (1) mit Si = [1, -c(~bi + [3), s(qbi + 13), c(t~i + a),
- s ( ~ , i + a), s(~i + a) s(+i + 13)], bi = - c ( O i + a ) c ( + i + 13),
Bild 4. R~iumliches Viergelenkgetriebe des Typs RSSR.
k = [kl . . . . .
k6] r.
(50c)
(50d) (50e)
194
J. ANGELES
Ersetzt man die Definitionen (50a) in GI. (49b), so ergibt sich kt - k2 c13 + k3 s13 + /(4 CO- -- k~ so+ k6 so- s13 =
--CO- C13.
(50f)
Aus Gin. (50b und d) erh~ilt man -k2[c(+~
+ 13) -
Co-] -
ks[s(o-
s131
13k+ I = 13k
~- I~Ji)
-- SO-] + k6[s(llti + O-) s(~bi + [3) -
sot s13]
co-c13 = 0,
i =
1 .....
m.
(50g)
Die Gln. (50g) stellen ein homogenes lineares Gleichungssystem der Gestalt (4) dar. Dabei ist m i = [c(0i + O-) - ca, -c(~bi + 13)
c13, s(+;
+
+ 13) -- S13~
S(~Ii "l- Of) S(+i "l- 13) -- SOt. $13, C(*i "{- O-)C((bi "}- 13) -- CO. C13,
+ a) - sa], x = [x, . . . . .
x6] r
[k~5 k2 k3 k6 -
1
' k5 ' k5 ' k5 ' k5 '
1
]7
.
(51a)
(51b)
Aus GI. (4), m6=xlml+x2m2+x3m3+x4m,+xsms.
(52)
Zuletzt erh~ilt man eine Beziehung der Gestalt (9), wobei a i = [c(Oi + o~) -
ca,
(54a)
f(o-i, 13k)
fl3(o-i, 13k) '
f ~ =- df/013
+ c ( , i + O-)c(+~ + 13) -
f(o-i, 13k) _~ O,
dann wird ein verbesserter 13-Wert 13k+~aus
c13] + k3[s(+i + 13) -
-I- k4[c(i.IJ i + of) -
erfOllt, mit Hilfe der Newton-Raphson'schen Methode folgendermaBen: Ist O-" der laufende a-Wert, 13k der approximierte 13-Wert, dem O-i in GI. (20) entspricht, d.h.
(54b) (54c)
berechnet. Weiterhin wird die Ableitung (24) berechnet. Als Startwert 13okann man einen 13Wert entweder in der N~ihe einer L6sung der GI. (20a) oder beliebigerweise voraussetzen. Das letzte kann man z.B. mit Hilfe eines Unterprograms zur Generierung einer Reihe zuf'~ihliger Zahlen fassen. (iii) Hat man 13i, der a; entspricht, nach ii) bestimmt, kann man die S-Matrix, sowie den bVektor der G1. (28b) berechnen. Damit erzeugt man mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen den k0-Vektor, der das iiberbestimmte Gleichungssystem (28b) im Sinne der kleinsten Quadratfehler so gut wie mOglich approximiert. (iv) Die Zielfunktion Zo sowie ihre Ableitung nach O- nach Gln. (31-33) k0nnen jetzt berechnet werden. (v) Der gesuchte O-opt-Wert kann jetzt durch Nullsetzen von dzo/do- bestimmt werden. Die Anwendung des vorgehenden Algorithmus wird mit Hilfe eines Beispieles gezeigt. Bild 5 zeigt den Ablaufplan des Algorithmus.
- c ( q b l + 13) BEISPIEL
+ c13, s(6~ + 13) s(~
+ a ) s(+~ + 13) c(~
s13, s a s13,
+ a) c ( + i + 13) -
c a c13].
(53)
Gesucht wird ein ebenes Getriebe des Typs R R R R , das die Beziehung {(0i, ~bi)}7', m i t m > 4, so gut wie m/)glich approximiert. Die Beziehung lautet
Das beschriebene Verfahren wird im folgenden Algorithmus zusammengefaBt.
,] ~bi = c2 exp(~i),
B E S C H R E I B U N G DES A L G O R I T H M U S
Ziel des Algorithmus ist es, einen bestimmten aWert O-optzu berechnen, wobei die Zielfunktion z, in GI. (27a) eingefiihrt, einen Iokalen Minimalwert erreicht. Gleichzeitig werden die Gleichungsrestriktionen (20a u. b) und (29) berOcksichtigt. Der Algorithmus lautet wie folgt: (i) Angenommen, man hat einen Startwert von a, z.B. a °, entweder in der N~ihe des Otoptoder beliebigerweise vorausgesetzt, dann (ii) sucht man einen entsprechenden 13-Wert, der zusammen mit dem laufenden c~-Wert GI. (20)
i = 1. . . . .
m,
wobei cl = ~r/4,
c2 = e x p ( - ~r/2).
Die vorgegebenen Werte {~}~ sind die sogenannte Tschebyschev'schen Abzissen[l 7]. Diese besitzen die Eigenschaft, dab sie optimal zur Interpolation einer stetigen Funktion innerhalb eines vorgegebenen Intervalles sind. Weiterhin wird die Zielfunktion z so definiert, dab man bei ihrer Minimierung den l]bertragungswinkel Ix (Bild 1) optimiert. In diesem Zusammen-
Optimierung Ebener, Sph~irischer und R~iumlicherGetriebe
195
a,Aa
I I
k:o
I
k ,,- k +1 I O ~ G k+1
Die BETA-Subroutine berechnet /gta),/9'(0 )
|
,,
T
Die ZETA-Subroutine berechnel z(o),Z'(a)
I I
I
do
I
Aa.4- - ~ a
Nein
a~a+~a
I
nO ~.- Gk-1 Gb ~ G#
F
I
I °'"'(a a,ab)-Intervollbs °"°'°"°°""°'°°"J
Bild 5. Ablaufplan des Algorithmus zur Optimierung der Getriebesynthese. hang versucht man, dab der Obertragungswinkel so nahe wie m6glich am Wert Ix = 90° bzw. 270 °, innerhalb des Intervalles [01, 0m], bleibt. Dieses kann man erreichen, wenn man z als
1 m z = ~mm~ c°s2 o.i -i-
(55)
definiert. Bei der EinfiJhrung der GI. (38a) kann cos I~i aus Bild 1 wie folgt a u s g e d ~ c k t werden:
Zum Minimieren der Zielfunktion sucht man den a-Weft aopt bei dem g - dz/da verschwindet und die Bedingungen (35) erf011t werden. Die vorgehende Ableitung kann direkt aus GI. (55) wie folgt berechnet werden:
l m
d__.~z= ~ [A 1cos Ixi/C + Az - B sin(0/+ a)], da mr, j wobei AI =- k2k3kl + klk3 - k2(l + k23)k~
cos Ix," = A + B cos(0; + a ) / C , mit
+ klk: Az -~ - k 3 k l
A ~k2(1 + k~) - klk3,
B - ~ k 2,
C---k2(1 + k 2) + ka(k3 - 2klk2).
-
k3(l + k2)k~,
+ (1 + k2)k~ + 2k2k3
+ cos(d)/ + a) - klk~, k~ ==--dki/da,
i = 1, 2, 3.
196
J. ANGELES
Tabelle I Ill
O¢opI
[3op t
4 5 7 9 11
11.32° 10.92° 10.92° 10.92° 10.92°
3.255° 2.998° 2.998° 2.999° 2.999°
k
Zmin
0.1061 0.1057 0.1057 0.1057 0.1057
Ein FORTRAN-77-Computerprogramm for einen Kleinrechner liegt vor, dab die hier beschriebenden Berechnungen verwirklicht. Einige Ergebnisse enth~ilt Tabelle 1. Von m = 7 an blieben die Ergebnisse fast ohne Anderungen. Die Gliedl~ingern des optimierten Getriebes for m = 11 sind al = 1.0000, a2 = -2.7453, a3 = 1.0001, a4 = -2.7598. Bei diesem Getriebe ergab sich als quadratischer Mittelwert des Ann~iherungsfehlers
1.0044 1.0051 1.0051 1.0051 1.0051
kz
k~
-0.36357 -0.36428 -0.36428 -0.36428 -0.36423
-0.36276 - 0.36234 -0.36235 -0.36235 -0.36234
Ann~iherung an moptin 8 Iterationen bei jedem mWeft. SchlieBlich zeigt sich, da6 das optimierte Getriebe eine Doppelschwinge ist. Tats~ichlich erreicht der Antriebswinkel 0 einen Minimalwert von 4.5 °. Dieses bedeutet, dab die Stellen in der Nfihe yon 0° nicht erreicht werden. Sollte 0 = 0° unbedingt eingehalten werden, dann muBte man eine positiv definierte Gewichtsmatrix W in Gl. (28b) einf0hren, um die Synthesegleichungen der Stellen, die in der Nfihe von 0 = 0 liegen, "wichtiger" als die restliche vorauszusetzen. SCHLUBFOLGERUNGEN Es wird eine Methode vorgestellt, die der Optimierung in der Getriebesynthese dient. Die Aufgabe der Synthese besteht in der Koordinierung der Bewegungen des Ab- und Antriebsgliedes. Da die Anzahl der Sollpunkte gr6Ber als die der Getriebeparameter angenommen wird, k6nnen die Synthesegleichungen nicht exakt erftillt werden. Es wird jedoch versucht, sie so gut wie m0glich hinsichtlich des Quadratfehlers zu approximieren. Die vorgestellte Methode fuBt auf einer yon Luck, Modler u.a. for die sogenannte exakte LOsung entwickelten Methode. Mit Hilfe eines freien Parameters kann man bei der approximierten Synthese eines ausgew~ihlten Getriebevorgang optimieren. Die Suche des Optima|werts des freien Parameters
q = [ l ( S k o - b)r(Sko- b)]l/: = 0.005245, wobei k0 in G1. (29a) definiert wird. Dar0ber hinaus erzeugt man einen quadratischen Mittelwert cos ~ = ~ = 0.3251 bzw. -~ = 289.0 °. Wie Bild 6 zeigt, liegt der Mittelwert yon ~ in der N~he von 270 °, d.h. liegt der Mittelwert yon cos ~ in der N~ihe yon 0. Die Fehlerverteilung zeigt Bild 7. Das Computerprogramm sucht den Optimalwert C~ovtmit Hilfe einer direkten Suche tiber g = dz/dct. Somit wird ein Intervall [ct", etb] bestimmt, wobei die Bedingungen (35) effOllt werden. Danach wird die direkte Suche durgeftihrt. Diese erzeugte eine
(Grad) O
O
° O O .
i
8"
(Grad)
Q
!00
i
t
16.oo
i
2'.oo
i
i
.oo
i
,,:oo
I
8o oo
Bild 6. Verlauf des erzeugten Obertragungswinkels.
i
96~00
197
Optimierung Ebener, Sphfirischer und R~iumlicherGetriebe
(Grad) oQ -
°
Q i
0.00
16.00
32,00
48.00
64.00
8 0 . O0
96.-00
t~
(Grad) Bild 7. Verteilung des erzeugten Fehlers. d~/ = Istwert; ~bs = e~/e'c/z, Sollwert. 3. K. Luck, Computersynthese des viergliedrigen r~iumlichen Koppelgetriebes vom Typ RSSR. Mech. Mach. Theory 11,213-225 (1976). 4. W. Lichtenheldt und K. Luck, Konstruktionslehre der Getriebe. Akademie-Verlag Berlin (1979). 5. C.-H. Suh und A. W. Mecklenburg, Optimal design of mechanisms with the use of matrices and least squares. Mech. Mach. Theory 8, 479-495 (1973). 6. J. Angeles, Optimal synthesis of linkages using Householder reflections. Proc. V World Congress on TMM, S. 111-114, Montreal (Juli 1979). 7. D. J. Wilde, Error linearization in the least squares design of function generating mechanisms. J. Mech. Des. Trans. ASME 104, 881-884 (1982). Anerkennungen--Die hier dargestellte Forschungsarbeit 8. S. O. Tinubu und K. C. Gupta, Optimal synthesis of wurde im Laboratorium far CAD der ,,Post-graduate"function generators without the branch defect. J. Abteilung der Fakultfit fiir Ingenieurwesen (DEPFI) der Mech. Transmiss. Automat. Design, Trans. ASME 106, Nationaluniversit~it Mexiko (UNAM) teilweise durchge348-354 (1984). fiihrt. Sic wurde in der Maschinenwesen-Abteilung der 9. F. Freudenstein, Design of Four-Link Mechanisms, McGill University vollgeendet. Das obengenannte LaborPh.D. Dissertation, Columbia University, New York atorium wurde 1981 mit Hilfe eines Gerfitespendes der (1954). Alexander-von-Humboldt-Stiftung gegriindet. Der Ver- 10. R. S. Hartenberg und J. Denavit, Kinematic Synthesis fasser dankt der DEPFI-UNAM sowie der A.-von-Humof Linkages, McGraw Hill, New York (1964). boldt-Stiftung sehr herzlich fiir die Unterstiitzung, die er 11. K. G. Finck von Finckenstein, Einfi~hrung in die Nuyon ihnen erhalten hat. Zuletzt bedankt sich der Verfasser merische Mathematik. Carl-Hansen Verlag, M0nchenfor die wertvolle Hilfe der Gutachtern und, vor allem, des Wien (1977). Herausgebers for die Deutsche Sprache dieser Zeitschrift, 12. J. Angeles, Spatial Kinematic Chains. Analysis, SynProf. Dr.-lng. habil. Johannes Volmer, bei der Vorberthesis and Optimization. Springer-Verlag, Berlin eitung dieses Manuskriptes. (1982). 13. A. Bjerhammar, Theory of Error and Generalized lnverses. Elsevier, Amsterdam (1973). LITERATUR 14. G. W. Stewart, Introduction to Matrix Computations. i. K. Luck, Synthese allgemein r~iumlicher und sph~Academic, London (1973). ischer Getriebe unter Einbeziehungder Computertech- 15. G. H. Golub und C. Van Loan, Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore (1983). nik. Wiss. Zeitschrift der TU Dresden 24, 1051-1062 16. R. P. Brent, Algorithms for Minimization without De(1975). 2. G. Geise, K. Luck und K.-H. Modler, Zur exakten rivatives. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (1973). Synthese von rfiumlichen Viergelenk-Koppelgetrieben. 17. G. Dahlquist und ,~. Bj6rck, Numerical Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (1974). Wiss. Zeitshrift der TU Dresden 25, 521-527 (1976).
basiert auf der Berechnung des Gradientes der verschiedenen einbezogenen Variablen. DafOr ist die Ableitung der generalisierten Inverse einer nichtquadratischen Matrix notwendig. Die Anwendung der Methode wird anhand eines Beispiels gezeigt, bei dem die beste Ann~iherung der Synthesegleichungen eines Getriebes zum Verwirklichen einer Exponentialfunktion gesucht wird. Gleichzeitig wird eine Zielfunktion optimiert, die die Giite des Ubertragungswinkels darstellt.
OPTIMIZATION OF PLANAR, SPHERICAL AND SPATIAL LINKAGES FOR APPROXIMATE FUNCTION GENERATION Abstract--The problem of planar-, spherical- and spatial-linkage optimization for exact function generation using a free parameter was solved elsewhere. Solved in this paper is the said problem for the case in which the synthesis equations give rise to an overdetermined linear system of equations, i.e. one for which the synthesis equations is greater than that of unknowns. The method presented here allows the computation of the linkage parameters that not only approximate the synthesis equations with the least-square error, but also extremize an objective function representing a performance index of the linkage.
0094-114X/86 $3.00 + .00 © 1986 Pergamon Press Ltd.
OPTIMIERUNG EBENER, SPHA,RISCHER UND RAUMLICHER GETRIEBE ZUR APPROXIMIERTEN LAGENZUORDNUNG JORGE ANGELES Department of Mechanical Engineering, McGiil University, Montreal, Quebec H3A 2K6, Canada
(Eingegangen 12, Juli 1984) Zusammenfassung--Das Problem der Optimierung ebener, sph/irischer und riiumlicher Getriebe zur
exakten Lagenzuordnung mit Hilfe eines freien Parameters ist schon gel6st worden. In diesem Beitrag wird dieses Problem for den Fall gelOst, bei dem die Synthesegleichungen zu einem tiberbestimmten linearem Gleichungssystem fiihren, d. h., bei dem die Anzahl der Gleichungen gr6Ber als die der Unbekannten ist. Die vorgestellte Methode erlaubt, die Getriebeparameter zu berechnen, die nicht nur die Synthesegleichungen mit dem kleinsten Quadratfehler ann/iheren, sondern aueh eine Zielfunktion minimieren bzw. maximieren, die eine Eigenschaft des Getriebes darstellt. EINLEITUNG Es wurden schon Methoden entwickelt, die mit Hilfe eines freien Parameters die Computersynthese ebener, sph~irischer und rfiumlicher Getriebe zur Koordinierung der Bewegungen des Antriebs- und Abtriebsgliedes erlauben[l-3, 4]. Diese Methoden finden Anwendung bei Problemen, bei denen man die exakte Erf011ung der auftretenden Gleichungen sowie die Optimierung eines Bewegungsablaufes versucht. Doch manche Anwendungen vedangen die Erftillung einer Anzahl von Synthesegleichungen, die die Anzahl der Getriebeparameter iiberschreitet. Damit ergibt sich ein tiberbestimmtes Gleichungssystem, das im allgemein keine exakte L6sung besitzt. Methode zur Berechnung der Getriebeparameter, die diese Synthesegleichungen im Sinne der kleinsten Quadrate oder des maximalen Betrages der Abweichungen besser ann~heren sind bekannt[5-8]. Die gleichzeitige Behandlung der obengenannten Probleme ist jedoch noch nicht versucht worden. Das ist aber eine 16sbare Aufgabe, die sich viel vereinfacht, wenn man die Methoden von[l-4] einftihrt. Dieser Beitrag behandelt die L6sung des Problems der Ann/ihcrung der Synthesegleichungen mit dermkleinsten Quadratfehler bei der gleichzeitigen Optimierung einer entsprechenden Zielfunktion, die die Lauff'fihigkeit des Getriebes beeinhaltet. FORMULIERUNG DES PROBLEMS
Es sei {(~i, qbi)}~"eine Menge von m Wertpaaren, die die Antriebs- bzw. Abtriebswinkel darstellen. Bei der Lagenzuordnung sucht man eine Menge von Getriebeparametern {pi}~', d. h. entweder L~ingen oder Winkel, die das gesuchte Getriebe, das die vorgegebene Beziehung zwischen den Antriebsund Abtriebswinkel verwirklicht, bestimmen. Im Bericht werden nur drehende Antriebs- und Abtriebsglieder betrachtet; die Erweiterung zu schie187
benden Glieder kann aber einfach durchgefOhrt werden. Schon 195519] wurde gezeigt, wie bei der Einfiihrung einer nichtlinearen Abbildung der Getriebeparameter zu abhfingigen Parameter {k;}~',yon hier ab als Vektor k dargestellt, die Synthesegleichungen bei einem Getriebe vom Typ R R R R linear werden k6nnen. Weiterhin[10] wurde dieses Verfahren bei sphgtrischen und r/iumlichen Getriebe vom Typ R S S R angewandt. Damit ergibt sich das Gleichungssystem Sk = b,
(1)
wobei S bzw. b eine m x n-Matrix bzw. ein mdimensioneller Vektor darstellt. S und b hfingen von der Menge {(0i, qbl)}i" ab. Setzt man in Gl. (1) m = n, so ergibt sich ein bestimmtes lineares Gleichungssystem, das im allgemeinen 16sbar ist, well die Matrix S ebenfalls im allgemeinen nicht singular ist. Deswegen besitzt das Gleichungssystem (l) eine eindeutige L6sung k = [k., k., . . . . . k,,] r. Bisher wurde angenommen, dab der Winkel qJ bzw. qb yon einer fixierten vereinbarten Linie gemessen wird. In [1-4] hat man gezeigt, dab bei der Z/ihlung dieser Winkel nicht von fixierten, sondern yon unbestimmten Linien, die durch die Winkei ct bzw. 13 festgelegt werden, sind S und b des Gleichungssystem (l) nichtlineare Funktionen der aund 13-Parameter. Damit ergibt sich fiir jedes (a, 13) Paar, das die Matrix S nichtsingulfir macht, eine eindeutige L6sung k, d.h., bei der Einftihrung der aund 13-Parameter liiBt sich eine unendliche Anzahl von Vektoren k berechnen, die das Gleichungssystem (1) erfiillen. Damit laBt sich ein bestimmter Wert yon k wfihlen, der einem bestimmten Getriebeeigenschaft, z.B. einem vorgegebenen minimalen Wert des 0bertragungswinkels[4], entspricht. Wie in [1-4] bewiesen wird, sind jedoch die a- und 13Parameter nicht unabh/ingig von einander. Tats~ichlich sind sie durch eine nichtlineare Funktion
188
J. ANGELES
des Typs
nichttrivialen L6sung f ( a , 13) = 0
(2)
verbunden. GI. (2) bestimmt eine implizite Funktion a = a(13) for jeden reellen Wert von a, die periodisch in ~r ist. Genauer hat die Funktion f(et, 13) die Gestalt f ( a , 13) = det(M),
Rang(M) < min{m, q} = q.
(5)
Es seien ml . . . . . mq m-dimensionelle Vektoren, die die Spalten der M-Matrix darstellen. Dar0ber hinaus wird angenommen, dab die Spalten so zugeordnet sind, als wenn mq eine Funktion nur von c~ sei, d.h.,
(3) mq =
mq(a).
(6)
wobei det(M) die Determinante der q × q-Matrix Ist die Bedingung (5) erf011t, so kann der m uM darstellt. Speziell ist q = 3 bei ebenen Getrieben, Vektor als eine Linearkombination der ml . . . . . q = 4 bei sph~irischen Getrieben und q = 6 bei mq_ r V e k t o r e n ausgedrfickt werden, d.h. als rfiumlichen Getrieben des Typs RSSR. Darfiber hinaus ist jedes Element der Matrix M eine trigonom q = x l m l + x 2 m 2 + ... + Xq-lmq-i. (7) metrische Funktion der Variablen d~i, +i, a und 13. Legt man einen bestimmten Wert von [3, z.B. 13t in GI. (2) fest, so ergibt sich eine Funktion g = g(a), Definiert man die A-Matrix und den x-Vektor als deren Wurzel al dem vorgegebenen Wert 131 von 13 entspricht. Wie in [1-4] bemerkt wird, entsprechen A = [m~, m2, . . . mq-j], (8) j e d e m 13-Wert nicht ein, sondern zwei a-Werte. Das X = [Xl, X2 . . . . . X q - I ] T, Problem der Bestimmung der a-Werte ft~r einen [3Wert ist nichtlinear; deswegen verlangt seine LOso lafSt sich GI. (7) als sung die Anwendung einer iterativen Methode. Die Methode, die in [1-4] angewandt wird, ist ableiAx = mq (9) tungsfrei; sie basiert auf der Halbierung des Suchintervalles. Sie besitzt globale Konvergenz-EigenausdrOcken. GI. (9) stellt ein lineares Gleichungsschaften, d.h., zur Konvergenz verlangt sie keine system von m Gleichungen und q - 1 Unbekannten Startwerte in der N~ihe einer L6sung, doch wenn dar. Sind beliebige Werte von a und 13 vorgegeben, sie iterativ einen Wert in der N~ihe einer Ltisung so existiert im allgemein kein x-Vektor, der die m ermittelt, wird ihre Konvergenz langsam, weil ihre Gleichungen (9) erft~llt. Doch man kann einen besKonvergenzordnung linear[11] ist. timmten x-Vektor, Xo, berechnen, der die EukliEs wurde schon in [12] gezeigt, dab es mfglich dsche Norm des Fehlers e des Gleichungssysist, die Ableitung dg(a)/da zu berechnen. Damit tems (9) minimiert. Ist der Fehler als kann man bei diesem Problem eine ableitungsabhfingige Methode, z.B. die Newton-Raphson-Methe = m u - Ax (10a) ode[l 1], anwenden. Obwohl solche Methode keine globale-Konvergenz-Eigenschaft besitzten, kon- definiert, so wird seine Euklidsche Norm ~ als vergieren sie in der Nahe einer LOsung schnell. Tats~ichlich besitzen sie eine quadratische Konvergen= [(mqAx)T(mqA x ) ] I/2 (10b) zordnung in der N~ihe einer L6sung. Diese Eigenschaft der Newton-Raphson-Methode er- berechnet. Der optimale Vektor Xo wird dann mit laubt, nicht nur isolierte a-Werte, sondern die Hilfe der Moore-Penrose'schen generalisierten Inganze Funktion a = a(13) zu berechnen, wie es in verse[13] ausgedrfickt: [12] gezeigt wird. Falls m in GI. (1) gr/)13er als n ist, ist die Methode von [1-4] noch anwendbar, wie im Xo = Almq, (lla) folgenden bewiesen wird. Tats~ichlich basiert die Ableitung der GI. (2) auf der Bedingung, die die wobei A t die generalisierte Inverse von A, als Existenz einer nichttrivialen L f s u n g eines linearen homogenen Systems garantiert. Dieses System hat AI = (ATA) - j A r (lib) die Gestalt ,
Mx = 0,
(4)
wobei M eine quadratische Matrix ist, die schon diskutiert wurde. Ist m > n i m Gleichungssystem (1), so ist M eine nichtquadratische m x q-Matrix. In diesem Falle ist die Existenzbedingung einer
definiert, darstellt. Die Existenz der obengenannten generalisierten Inverse verlangt natiarlich, dab Rang(A)
=
q
-
1.
(llc)
Der Ausdrfick ( l l a ) , der den xo-Vektor bestimmt, ist nur symbolisch, da die explizite Bere-
189
Optimierung Ebener, Sph/irischer und R~iumlicher Getriebe chnung der ALMatrix nicht nur unn6tig, sondern auch nicht zu empfehlen ist[14]. Anstatt dessen ist dieser Vektor mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen[15] zu berechnen. Der 13-Wert, dem der vorgegeben ct-Wert entspricht, l/iBt sich wie folgt berechnen: Es sei eo der in GI. (10a) schon definierte Fehler, der die minimale Euklidsche Norm besitzt, d.h.
licherweise ergibt sich cge_oo cga = (AA1 --
1) (CgA ~'a Xo -- cgmq' 0a /t "
Also kann man die Beziehung zwischen a und 13 wie folgt ausd~cken:
d~
eo = m q
-
-
Axo.
(12)
Stellt man den Wert von et, z.B. et = a~, fest, so existiert bestimmt ein Wert 13~ von 13, der den Fehler eo zu Null macht, d.h., e o ( a l , 130 = O.
(13)
(19b)
f(ct, 13) = d'-~ = 0.
(20a)
-d~ - = eor(AAI - 1 CgAXo. d13 )'~
(20b)
Dar~ber hinaus folgt unmittelbar aus G1. (19), dab 0eo/c913 im Kern der A~-bzw. der At-Matrix liegt, d.h.,
FOr beliebige 13-Werte ergibt sich e2 = ~2(13) = e~(~l, 13)eo(al, 13) -->0.
(14)
Den bestimmten Wert 13~ von GI. (13) kann man jetzt aus folgenden Optimierungsproblem berechnen: ~(13) = ~ez(13)---~min.
(15)
Die Zielfunktion ~(13) erreicht einen statiomiren Wert beim Verschwinden ihrer Ableitung nach 13. Diese kann man aus
d~
(Oeo'~r 04
CgA
-
o13
xo -
0A = (At - AZ)~'-~ Xo = 0.
cgXo
A -
ol3
(17)
folgt. In GI. (17) liiBt sich 0A/013 explizit von der Definition von A, doch c9Xo/013mit Hilfe yon Gin. ( l l a u. b) berechnen. Aus diesen Gleichungen ergibt sich cgXo CgAI 0[3 -- 013 mq,
(ArA) - J A r - ~
(18a)
Ar ~
AI CgAA/" ~"
(18b)
OA (AA1 - 1) -~- Xo,
(19a)
wobei 1 die m x m-Identit~itsmatrix darstellt. ~ , h n -
= O.
(21c)
(~eo~r cgeo
{c92eo'~r
C9--13= \C913z ]
Ersetzt man GI. (18b) in GI. (18a) und diese in GI. (17), so ergibt sich 0[3
(21b)
Legt man einen bestimmten Wert aj von tx fest, so kann man bei der L6sung der GI. (20) den entsprechenden 13-Wert 131 berechnen. Das kann entweder mit Hilfe einer ableitungsfreien[16], oder einer ableitungsabh~ingigen, z.B. der Newton Raphson'schen, Methode erreicht werden. Eine Methode der zweiten Klasse verlangt zwar die Berechnung von C9f/C913,doch sie konvergiert schneller als die Methode der ersten Klasse. Diese Ableitung kann man unter Berticksichtigung der Gin. (16) and (20) berechnen aus
Of
Oe.__2o =
= 0,
was nur eintritt, wenn
wobei, wie man unmittelbar beweisen kann, CgAI 0[3 -
(21a)
Weiterhin ergibt sich aus der Definition von At gem~il3 G1. (lib).
(16)
berechnen, wobei aus GI. (12)
c913
I)-~-Xo CgA
{cgeo~r
d--~ = \C913/ cgeo = 1~-~) eo
cgeo
At ~cgeo = At(AAI -
eo + \C913/ C9"-'~-'
(22)
wobei aus GI. (19) folgt
02e° - (AA' - 1) {C92A
0132
\C9132-
2 OA A' C9A) xo. c913
(23)
Zur Optimierung einer Zielfunktion z, die den Getriebevorgang darstellt, benftigt man bei Anwendung einer Gradientenmethode die Ableitung d13/da. Diese kann mit GI. (20) wie folgt berechnet
190
J. ANGELES
werden:
und
o13
of / aot
dct
0f/013 "
0fl013 wurde
schon in GI. (23) hergestellt, doch Of/ Oct wird mit Hilfe der Gin. (16) und (20) berechnet:
Of
( 02eo '~ r (Oeo'/r Oeo 0--e~ = \~9--~-~/ eo + \013/ Oct"
(25)
Die einzige Ableitung der GI. (25), die noch fehlt, ist 02 e0/0a 0[L Diese kann doch einfach mit Hilfe der G1. (17) zu
dZeo
[ ( O_2A
Oct a----~= (AA' - 1) 1_\act 013 0A AI 0A'~
OAAtOmq ] octj
(26)
EINFUHRUNG EINER ZIELFUNKTION ZUR OPTIMIERUNG DES GETRIEBEVORGANGS
Vorausgesetzt, dab eine implizite Funktion 13 = 13(ct) sowie ihre Ableitung 13'(ct) nach ct zur Verfi~gung stehen, wird jetzt versucht, den angenommen Getriebevorgang zu optimieren. Dabei wird angenommen, dab man eine Funktion der Gestalt ~.,, 61 . . . . .
~b.... k)
(27b)
ko = ko(a).
(29b)
Damit wird z eine Funktion zo der Gestalt Zo = zo(ot, ko).
(30)
Sodann kann man Zo als implizite Funktion des ot-Argumentes betrachten, die einen station/iren Wert beim Verschwinden ihrer ganzen Ableitung nach ct erreicht. Diese Ableitung ist dzo OZo + d13 OZo ( d k o ] r dzo dot - 0ot ~ ~ + \-d--~a/ 0--~o'
(31)
wobei OZo/OCtsowie dzo/bko v o n d e r Gestalt der zo explizit zu berechnen sind. Doch dko/dot ergibt sich aus GI. (29a) zu dko _ dSt b + St d b dot dot dot '
(28a)
(32a)
wobei die Ableitungen von St bzw. von b nach a wie folgt zu berechnen sind: dS 1 _ 0St q- d_~_~0S___ t dct Oct dct 013 '
(32b)
db _ 0b + d13 0b dot Oct dot 013
(32c)
Die Ableitungen von S1 nach ot bzw. nach 13 werden analog zu GI. (18b) berechnet:
Mit BerOcksichtigung der Synthesegleichungen (1), der Beziehung (20) zwischen ot und 13 und der Definitionen (27b) kann das Optimierungsproblem z = z(ct, 13, k) ~ min
(29a)
(27a)
schon bestimmt hat. Diese Funktion stellt den Vorgang, z.B. den kleinsten Betrag des Obertragungswinkels, die Genauigkeit, den hOchsten Betrag der Abtriebsbeschleunigung u.s.w., des Getriebes dar. Im allgemein versucht man die Maximierung oder die Minimierung von z. Weiterhin wird angenommen, dab die {(0~, +i)}]"-Wertpaare, wie vor allem bei Lagenzuordnungen, fixiert sind. Sodann reduziert sich die Gestalt der z auf z = z(ot, ~, k).
Die L6sung dieses Problems wird jetzt beschrieben: Jedem a-Wert entspricht ein 13-Wert, der durch die L6sung der GI. (28c) berechnet werden kann. Damit kann man die S-Matrix sowie den b-Vektor als Funktionen nicht von ot und 13, sondern nur von a betrachten. Dartiber hinaus wird der k-Wert ko, der das Oberbestimmte Gleichungssystem im Sinne der kleinsten Quadratfehler am besten approximiert, mit Hilfe der generalisierten Inverse von S wie folgt ausgedrOckt:
ko ist natOrlich eine Funktion von ot, d.h.,
berechnet werden. Wie frOher gesagt, ist die generalisierte Inverse At nicht explizit, sondern implizit mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen, zu berechnen.
z = z(ct, 13, 01 . . . . .
(28c)
ko = S/b.
0A AIOA act 0--[3
o13 oct/x°+~
f(ot, 13) = 0.
(24)
0St _ 0ot
St 0S St 0ct '
0St _ 013
St 0S St . 013
(32d)
Ersetzt man Gin. (32b-d) in GI. (32a), so ergibt sich
c~,k
angesetzt werden mit Ber~cksichtigung der Restriktionen Sk = b
(28b)
dko da
SI ~
+ ~
ko
(Oh
+s' ~ + ~
(33)
Optimierung Ebener, Sphfirischer und R~iumlicher Getriebe Zur Berechnung der dko/da und danach der dzo/ det braucht man nur ko aus GI. (29a) mit Hilfe der schon erw~ihnten Householder'schen Spiegelungen zu ermitteln. Danach wird die rechte Seite der G1. (33), u genannt, als die LOsung des folgenden fiberbestimmten Systems: (OS Su = -
d13 0_~)
~aa + ~aa
191
a3
a4 a2
Ob d13 0.._b_b ko + 0-~ + da013 (34) w
w
-
-
w
aI
berechnet. Dieses wird einfach gefasst, bestimmt Bild 1. Ebenes Viergelenkgetriebe des Typs RRRR. weil die S-Matrix schon mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen in dreieckigen Form dargestellt wird. E b e n e Getriebe des Typs RRRR Weiterhin wird der optimierende ct-Wert, otopt, Ein Getriebe dieses Typs ist im Bild 1 schemawie folgt berechnet: Es sei g(et) = dzo/dct. Dann tisch dargestellt. Seine Obertragungsfunktion (OF) kann man o/.opt als den ,~-Wert berechnen, bei dem lautet nach[4]: g(ot) verschwindet. Da das Verschwinden der g(a) einen minimalen zo-Wert nicht garantiert, mug man f(to, tb) = a 2 + a 2 - a 2 + a24 + 2aja4 aopt innerhalb eines [oh, et2]-Intervalles suchen, wobei x cos d~ - 2ata2 cos tO - 2a2a4 g(al) < 0,
g(az) > 0,
al < a2.
x cos(tO - ~b) = 0.
(35)
Danach kann man Otopt sehr effizient mit Hilfe einer Direkte-Suche-Methode[16] bestimmen. Die Struktur der M-matrix, bzw. der A-Matrix, die zur GI. (20) leiten, sowie die der S-Matrix, die den kVektor nach G1. (29a) zu berechnen erlaubt, bei ebener, sph~ischer und r~iumlicher Getriebe wird im folgenden beschrieben.
(36)
FiJhrt man die unbestimmten et- und 13-Winkel des Bildes 2 sowie eine Menge von m Wertpaaren {(tO,., dpi)}T ein, so ergibt sich die folgende OF: f(tO,., tb,.) = a~ + a~ - a 2 + a24 + 2ala4
x cos(d~,. + 13) - 2ala2 x cos(tO,. + or) - 2a2a4 x cos(tO,. + a - ~b,.- 13) = 0,
OPTIMIERUNGSGLEICHUNGEN BEI DER SYNTHESE EBENER, SPH~i,RISCHER UND R,~UMLICHER GETRIEBE
Im folgenden werden die M- bzw. A- und S-Matrizen, sowie die k- und b-Vektoren des vorgehenden Problems bei ebenen, sph~irischen und rfiumlichen Getrieben dargestellt. Nur drehgelenke werden betrachtet, doch k6nnen auch Schubgelenke mit Hilfe dieser Methode behandelt werden. Die i-te Zeile der vorgehenden Matrizen werden als m i, a; und s", die i-te Komponenten der k- bzw. bVektoren als ki bzw. bi bezeichnet.
(37a)
sowie f(ot, 13) = a~ + a 2 - a~ + a42 + 2aja4 cost 13 - 2aja2coset - 2a2a4 cos(a - 13) = 0.
(37b)
Bei der Einftihrung der Definitionen kl =
a~ + a22 - a ] + a 2
k2 = al/a2,
2a2a4 k3 = at~a4,
Bild 2. Einf0hrung der unbestimmten a--und 13-Winkeln zur Optimierung der Synthese.
(38a)
192
J. ANGELES
l a u t e t GI. (37a) k l + k2 COS((I) i "~- 13) -- k3 c o s ( 0 i
+ a)
= cos(O~ + ~ - +i i=
13),
1. . . . .
m.
(38b)
D a m i t ergibt sich ein l i n e a r e s G l e i c h u n g s s y s t e m d e r G e s t a l t (1) m i t s i = [1, c(+i + 13), bi = c(Oi + ~ -
-c(Oi
+i -
+ a)],
(38c)
13),
k = [k], ks, k3] r
(38d) Bild 3. Sph~trisches Viergelenkgetriebe des Typs RRRR.
w o b e i s(.) bzw. c(.) v o n h i e r a b die Sinus- bzw. die K o s i n u s - F u n k t i o n i h r e s A r g u m e n t e s darstellt. E r s e t z t m a n die D e f i n i t i o n e n (38a) in G1. (37b), so ergibt sich k l + k s c o s [3 -
k3 c o s a
= cos(a
-
F i i h r t m a n die u n b e s t i m m t e n a- und 13-Winkeln des Bildes 2 sowie die m W e r t p a a r e n { 0 , qbi}]n ein, so ergibt sich die U F
13). ( 3 8 e )
f(Oi, ~)i) = C a l C0~2 CoL4 -- C0~3 + SO~l SO~2 c a 4 Bei d e r S u b s t r a k t i o n d e r GI. (38e) v o n GI. (38b) erh~ilt m a n
)'( c ( 0 i --}- a ) + s ~ 2 sot.4 s ( 0 i -{- a )
x s(~b~ + 13) + ca~ sa2 sa4
ks[c(+i + 13) - c13] - k3[c(+~ + a ) - c a ] -
[c(Oi+
a-+~-
13)-
x c(Oe + a ) c ( + i + 13)
c(a-
13)] = O,
i = 1. . . . .
m.
- scdt ca2 Sa 4
(38D x c(+i + 13) = O,
Die Gin. (38f) stellen ein h o m o g e n e s lineares S y s t e m d e r G e s t a l t (4) dar. D a b e i gilt
i=1
.....
m,
(43a)
sowie m i = [c(+i + 13) - c13, c(Oi + a - + i - c(a -
13)
13), c(Oi + a) - ca],
x = [Xl, x2, x3] r = [kz/k3, -
l/k3, -
1] r.
(39a) (39b)
f ( a , [ 3 ) = c a l c a z c a 4 - ca3 - s a t c a z s a 4 c 1 3 + S~lSa2Ca4Ca
+ CalS~2Sa4Ca
C13
+ s ~ s~4 s a s13 = 0. A u s GI. (4) k a n n m a n mit d e n v o r g e h e n d e n Def i n i t i o n e n die dritte Spalte d e r M - M a t r i x als eine L i n e a r k o m b i n a t i o n i h r e r e r s t e n zwei S p a i t e n ausd r t i c k e n , d.h.
Bei d e r E i n f i i h r u n g d e r D e f i n i t i o n e n
k[ = m3 = xlmi
S o d a n n erh~ilt m a n eine B e z i e h u n g d e r G e s t a l t (9) mit
k2 -
[c(+~ +
13) -
c13,
c(Oi + a - dOi -
13) - c ( a -
13)] (41)
Sphiirische Getriebe des Typs RRRR Die G l e i c h u n g e n , die z u r S y n t h e s e des im Bild 3 gezeigten sph/irischen Getriebes benutzt werden, sind wie folgende. Die O F dieses G e t r i e b e s ist nach[12] f ( O , (b) ~--- COt'l C0/-2 c a 4 -- c a 3 + sot.i s a 2 c a 4 CII/
sat c a 2 s a 4 c c b = O.
tan a2 tan 0£4
(44a)
sal
tan az k4-
tan a t
e r h a l t m a n aus GI. (43a) kl + k z c ( O i + a) + k3 s(Oi + a)s(qbi + 13)
+ k4 c(O,- + a ) c ( + i + [3) = c(+i + 13), i=1
"+" 810[2 SO~4 SlJl S( D "~- CO~I SO~2 S0£4 C 0 C~b
-
S a l C a 2 S~4
tan a2 k3 -
ai =
C a I C a 2 C a 4 -- C a 3
(40)
+ x2m2.
(42)
(43b)
.....
m.
(44b)
D a m i t ergibt sich ein l i n e a r e s G l e i c h u n g s s y s t e m d e r G e s t a l t (1), w o b e i
193
Optimierung Ebener, Sph~irischer und R/iumlicher Getriebe
si=
[1, c ( , i + ot),
dieses G e t r i e b e s ist n a c h [ l - 4 und 12]
s(+, + a)s(+,. + 13), c(0i + ot) c(d~i + 13)1, (44c)
bi = c(d~/ + 13), k = [k~, kz, k3, k4] r.
f(+,~b) = az2 - (aT + a~ + a4~ + sT
(44d)
- 2s~s4cot4 + s4z) - 2a3a4c+
E r s e t z t man die Definitionen (44a) in GI. (43b), so ergibt sich k~ + kz cot + k3 sot s13 + k4 cot c13 = c13.
+ 2a3sl sot4 s~b + 2 a l a 4 c t ~
2ajs4 sot4 sO + 2alaacot4sO s~b
-
(44e)
(48)
+ 2ala3 ct~ ct~ = 0.
Bei der Substraktion der GI. (44d) von G1. (43b) erh~ilt man
Bei der Einftihrung der ot- und 13-Winkel sowie der W e r t p a a r e n {4i, ~b~)}7' erh~ilt man die O F
k3[s(,l,~ + ot) s(+i + 13) - sot s13]
f ( O i , ~ i ) = a 2 - (aT + a ] + a ] + s 2 -- 2S|S4COt4 + S 2) -- 2a3a4c(d~i + 13)
+ k4[c(~,, + ot)c(+,. + 13) - cot c13] -- [C((l) / +
13) -- C13] "4- k2[c(i.~i --1- 12/.) -
ca]
i = 1. . . . .
m.
= 0,
+ 2a3sl SOt4 S(l~)i -]- 13) "1- 2ala4c(Oi + ot)
(44f)
-- 2ats4 sot4 s(~lli + ot) + 2ala3cot4s(Oi + ot) S((1)i -~- 13)
Die Gin. (440 stellen ein h o m o g e n e s lineares G l e i c h u n g s s y s t e m der Gestalt (4) dar. Dabei sind
+ 2a i a3 c ( 0 / + a) c(~bi + 13) = 0, i = ! .....
m i = [s(,i + ot)s(~bi + 13) - sot s13,
c(,l,~ + ot) c(+~ + 13) - cot c13,
m,
(49a)
sowie
c(+/ + 13) - c13, c(t~i + ot) - cot]
(45a)
f(ot, 13) = a 2 - (a 2 + a ] + a42 + sT
x = Ix1, x2, x3, x4] T
-- 2SlS4COt4 + S 2) -- 2a3a4c13
= [-k3/k2,
-k4/k2,
1/k2, -
1] r.
(45b)
+ 2aas~ SOt4 S13 + 2a~a4ca - 2 a i s 4 s a 4 s a + 2ala3 COt4 SOt $13 + 2ala3 c a c13 = 0.
Aus G1. (4), m4 = x~m~ + x2m2 + x3m3.
(46)
Sodann erhalt man eine Beziehung der Gestalt (9) mit a i = [s(0i + ot) S((~)/ + 13) -- SOt S13,
c(cbj + 13) - c13]. (47) Riiumliche Getriebe des Typs RSSR Die Gleichungen, die zur Synthese des Getriebes des Typs e n t s p r e c h e n d Bild 4 sind folgende. Die U F
I I
Weiterhin f~ihrt man die folgende Definitionen ein: a22 - (a 2 + a 2 + a 2 + s 2 - 2sis4cot4 + S2) kl =
2ala3
k2 = a~ , al
c(+~ + ot)c(+; + 13) - c a c13,
I I
(49b)
(50a)
k3 = s l sot4 , k4 = _a4 , al a3
k5 _ $4 s a 4 , a3
k6 =
Cot4.
Sodann kann GI. (49a) wie folgt ausgedr0ckt werden: kl - k2 c(d~i + 13) + k3 s(~bi + 13)
+ k4 c(+; + a) - k5 s(+; + a) + k6s(t~i
+ ot)s(~bi +
x c(~bi + 13),
13) =
-c(~Ji
i = 1. . . . .
+ ot)
m.
(50b)
Damit ergibt sich ein lineares Gleichungssystem der Gestalt (1) mit Si = [1, -c(~bi + [3), s(qbi + 13), c(t~i + a),
- s ( ~ , i + a), s(~i + a) s(+i + 13)], bi = - c ( O i + a ) c ( + i + 13),
Bild 4. R~iumliches Viergelenkgetriebe des Typs RSSR.
k = [kl . . . . .
k6] r.
(50c)
(50d) (50e)
194
J. ANGELES
Ersetzt man die Definitionen (50a) in GI. (49b), so ergibt sich kt - k2 c13 + k3 s13 + /(4 CO- -- k~ so+ k6 so- s13 =
--CO- C13.
(50f)
Aus Gin. (50b und d) erh~ilt man -k2[c(+~
+ 13) -
Co-] -
ks[s(o-
s131
13k+ I = 13k
~- I~Ji)
-- SO-] + k6[s(llti + O-) s(~bi + [3) -
sot s13]
co-c13 = 0,
i =
1 .....
m.
(50g)
Die Gln. (50g) stellen ein homogenes lineares Gleichungssystem der Gestalt (4) dar. Dabei ist m i = [c(0i + O-) - ca, -c(~bi + 13)
c13, s(+;
+
+ 13) -- S13~
S(~Ii "l- Of) S(+i "l- 13) -- SOt. $13, C(*i "{- O-)C((bi "}- 13) -- CO. C13,
+ a) - sa], x = [x, . . . . .
x6] r
[k~5 k2 k3 k6 -
1
' k5 ' k5 ' k5 ' k5 '
1
]7
.
(51a)
(51b)
Aus GI. (4), m6=xlml+x2m2+x3m3+x4m,+xsms.
(52)
Zuletzt erh~ilt man eine Beziehung der Gestalt (9), wobei a i = [c(Oi + o~) -
ca,
(54a)
f(o-i, 13k)
fl3(o-i, 13k) '
f ~ =- df/013
+ c ( , i + O-)c(+~ + 13) -
f(o-i, 13k) _~ O,
dann wird ein verbesserter 13-Wert 13k+~aus
c13] + k3[s(+i + 13) -
-I- k4[c(i.IJ i + of) -
erfOllt, mit Hilfe der Newton-Raphson'schen Methode folgendermaBen: Ist O-" der laufende a-Wert, 13k der approximierte 13-Wert, dem O-i in GI. (20) entspricht, d.h.
(54b) (54c)
berechnet. Weiterhin wird die Ableitung (24) berechnet. Als Startwert 13okann man einen 13Wert entweder in der N~ihe einer L6sung der GI. (20a) oder beliebigerweise voraussetzen. Das letzte kann man z.B. mit Hilfe eines Unterprograms zur Generierung einer Reihe zuf'~ihliger Zahlen fassen. (iii) Hat man 13i, der a; entspricht, nach ii) bestimmt, kann man die S-Matrix, sowie den bVektor der G1. (28b) berechnen. Damit erzeugt man mit Hilfe der Householder'schen Spiegelungen den k0-Vektor, der das iiberbestimmte Gleichungssystem (28b) im Sinne der kleinsten Quadratfehler so gut wie mOglich approximiert. (iv) Die Zielfunktion Zo sowie ihre Ableitung nach O- nach Gln. (31-33) k0nnen jetzt berechnet werden. (v) Der gesuchte O-opt-Wert kann jetzt durch Nullsetzen von dzo/do- bestimmt werden. Die Anwendung des vorgehenden Algorithmus wird mit Hilfe eines Beispieles gezeigt. Bild 5 zeigt den Ablaufplan des Algorithmus.
- c ( q b l + 13) BEISPIEL
+ c13, s(6~ + 13) s(~
+ a ) s(+~ + 13) c(~
s13, s a s13,
+ a) c ( + i + 13) -
c a c13].
(53)
Gesucht wird ein ebenes Getriebe des Typs R R R R , das die Beziehung {(0i, ~bi)}7', m i t m > 4, so gut wie m/)glich approximiert. Die Beziehung lautet
Das beschriebene Verfahren wird im folgenden Algorithmus zusammengefaBt.
,] ~bi = c2 exp(~i),
B E S C H R E I B U N G DES A L G O R I T H M U S
Ziel des Algorithmus ist es, einen bestimmten aWert O-optzu berechnen, wobei die Zielfunktion z, in GI. (27a) eingefiihrt, einen Iokalen Minimalwert erreicht. Gleichzeitig werden die Gleichungsrestriktionen (20a u. b) und (29) berOcksichtigt. Der Algorithmus lautet wie folgt: (i) Angenommen, man hat einen Startwert von a, z.B. a °, entweder in der N~ihe des Otoptoder beliebigerweise vorausgesetzt, dann (ii) sucht man einen entsprechenden 13-Wert, der zusammen mit dem laufenden c~-Wert GI. (20)
i = 1. . . . .
m,
wobei cl = ~r/4,
c2 = e x p ( - ~r/2).
Die vorgegebenen Werte {~}~ sind die sogenannte Tschebyschev'schen Abzissen[l 7]. Diese besitzen die Eigenschaft, dab sie optimal zur Interpolation einer stetigen Funktion innerhalb eines vorgegebenen Intervalles sind. Weiterhin wird die Zielfunktion z so definiert, dab man bei ihrer Minimierung den l]bertragungswinkel Ix (Bild 1) optimiert. In diesem Zusammen-
Optimierung Ebener, Sph~irischer und R~iumlicherGetriebe
195
a,Aa
I I
k:o
I
k ,,- k +1 I O ~ G k+1
Die BETA-Subroutine berechnet /gta),/9'(0 )
|
,,
T
Die ZETA-Subroutine berechnel z(o),Z'(a)
I I
I
do
I
Aa.4- - ~ a
Nein
a~a+~a
I
nO ~.- Gk-1 Gb ~ G#
F
I
I °'"'(a a,ab)-Intervollbs °"°'°"°°""°'°°"J
Bild 5. Ablaufplan des Algorithmus zur Optimierung der Getriebesynthese. hang versucht man, dab der Obertragungswinkel so nahe wie m6glich am Wert Ix = 90° bzw. 270 °, innerhalb des Intervalles [01, 0m], bleibt. Dieses kann man erreichen, wenn man z als
1 m z = ~mm~ c°s2 o.i -i-
(55)
definiert. Bei der EinfiJhrung der GI. (38a) kann cos I~i aus Bild 1 wie folgt a u s g e d ~ c k t werden:
Zum Minimieren der Zielfunktion sucht man den a-Weft aopt bei dem g - dz/da verschwindet und die Bedingungen (35) erf011t werden. Die vorgehende Ableitung kann direkt aus GI. (55) wie folgt berechnet werden:
l m
d__.~z= ~ [A 1cos Ixi/C + Az - B sin(0/+ a)], da mr, j wobei AI =- k2k3kl + klk3 - k2(l + k23)k~
cos Ix," = A + B cos(0; + a ) / C , mit
+ klk: Az -~ - k 3 k l
A ~k2(1 + k~) - klk3,
B - ~ k 2,
C---k2(1 + k 2) + ka(k3 - 2klk2).
-
k3(l + k2)k~,
+ (1 + k2)k~ + 2k2k3
+ cos(d)/ + a) - klk~, k~ ==--dki/da,
i = 1, 2, 3.
196
J. ANGELES
Tabelle I Ill
O¢opI
[3op t
4 5 7 9 11
11.32° 10.92° 10.92° 10.92° 10.92°
3.255° 2.998° 2.998° 2.999° 2.999°
k
Zmin
0.1061 0.1057 0.1057 0.1057 0.1057
Ein FORTRAN-77-Computerprogramm for einen Kleinrechner liegt vor, dab die hier beschriebenden Berechnungen verwirklicht. Einige Ergebnisse enth~ilt Tabelle 1. Von m = 7 an blieben die Ergebnisse fast ohne Anderungen. Die Gliedl~ingern des optimierten Getriebes for m = 11 sind al = 1.0000, a2 = -2.7453, a3 = 1.0001, a4 = -2.7598. Bei diesem Getriebe ergab sich als quadratischer Mittelwert des Ann~iherungsfehlers
1.0044 1.0051 1.0051 1.0051 1.0051
kz
k~
-0.36357 -0.36428 -0.36428 -0.36428 -0.36423
-0.36276 - 0.36234 -0.36235 -0.36235 -0.36234
Ann~iherung an moptin 8 Iterationen bei jedem mWeft. SchlieBlich zeigt sich, da6 das optimierte Getriebe eine Doppelschwinge ist. Tats~ichlich erreicht der Antriebswinkel 0 einen Minimalwert von 4.5 °. Dieses bedeutet, dab die Stellen in der Nfihe yon 0° nicht erreicht werden. Sollte 0 = 0° unbedingt eingehalten werden, dann muBte man eine positiv definierte Gewichtsmatrix W in Gl. (28b) einf0hren, um die Synthesegleichungen der Stellen, die in der Nfihe von 0 = 0 liegen, "wichtiger" als die restliche vorauszusetzen. SCHLUBFOLGERUNGEN Es wird eine Methode vorgestellt, die der Optimierung in der Getriebesynthese dient. Die Aufgabe der Synthese besteht in der Koordinierung der Bewegungen des Ab- und Antriebsgliedes. Da die Anzahl der Sollpunkte gr6Ber als die der Getriebeparameter angenommen wird, k6nnen die Synthesegleichungen nicht exakt erftillt werden. Es wird jedoch versucht, sie so gut wie m0glich hinsichtlich des Quadratfehlers zu approximieren. Die vorgestellte Methode fuBt auf einer yon Luck, Modler u.a. for die sogenannte exakte LOsung entwickelten Methode. Mit Hilfe eines freien Parameters kann man bei der approximierten Synthese eines ausgew~ihlten Getriebevorgang optimieren. Die Suche des Optima|werts des freien Parameters
q = [ l ( S k o - b)r(Sko- b)]l/: = 0.005245, wobei k0 in G1. (29a) definiert wird. Dar0ber hinaus erzeugt man einen quadratischen Mittelwert cos ~ = ~ = 0.3251 bzw. -~ = 289.0 °. Wie Bild 6 zeigt, liegt der Mittelwert yon ~ in der N~he von 270 °, d.h. liegt der Mittelwert yon cos ~ in der N~ihe yon 0. Die Fehlerverteilung zeigt Bild 7. Das Computerprogramm sucht den Optimalwert C~ovtmit Hilfe einer direkten Suche tiber g = dz/dct. Somit wird ein Intervall [ct", etb] bestimmt, wobei die Bedingungen (35) effOllt werden. Danach wird die direkte Suche durgeftihrt. Diese erzeugte eine
(Grad) O
O
° O O .
i
8"
(Grad)
Q
!00
i
t
16.oo
i
2'.oo
i
i
.oo
i
,,:oo
I
8o oo
Bild 6. Verlauf des erzeugten Obertragungswinkels.
i
96~00
197
Optimierung Ebener, Sphfirischer und R~iumlicherGetriebe
(Grad) oQ -
°
Q i
0.00
16.00
32,00
48.00
64.00
8 0 . O0
96.-00
t~
(Grad) Bild 7. Verteilung des erzeugten Fehlers. d~/ = Istwert; ~bs = e~/e'c/z, Sollwert. 3. K. Luck, Computersynthese des viergliedrigen r~iumlichen Koppelgetriebes vom Typ RSSR. Mech. Mach. Theory 11,213-225 (1976). 4. W. Lichtenheldt und K. Luck, Konstruktionslehre der Getriebe. Akademie-Verlag Berlin (1979). 5. C.-H. Suh und A. W. Mecklenburg, Optimal design of mechanisms with the use of matrices and least squares. Mech. Mach. Theory 8, 479-495 (1973). 6. J. Angeles, Optimal synthesis of linkages using Householder reflections. Proc. V World Congress on TMM, S. 111-114, Montreal (Juli 1979). 7. D. J. Wilde, Error linearization in the least squares design of function generating mechanisms. J. Mech. Des. Trans. ASME 104, 881-884 (1982). Anerkennungen--Die hier dargestellte Forschungsarbeit 8. S. O. Tinubu und K. C. Gupta, Optimal synthesis of wurde im Laboratorium far CAD der ,,Post-graduate"function generators without the branch defect. J. Abteilung der Fakultfit fiir Ingenieurwesen (DEPFI) der Mech. Transmiss. Automat. Design, Trans. ASME 106, Nationaluniversit~it Mexiko (UNAM) teilweise durchge348-354 (1984). fiihrt. Sic wurde in der Maschinenwesen-Abteilung der 9. F. Freudenstein, Design of Four-Link Mechanisms, McGill University vollgeendet. Das obengenannte LaborPh.D. Dissertation, Columbia University, New York atorium wurde 1981 mit Hilfe eines Gerfitespendes der (1954). Alexander-von-Humboldt-Stiftung gegriindet. Der Ver- 10. R. S. Hartenberg und J. Denavit, Kinematic Synthesis fasser dankt der DEPFI-UNAM sowie der A.-von-Humof Linkages, McGraw Hill, New York (1964). boldt-Stiftung sehr herzlich fiir die Unterstiitzung, die er 11. K. G. Finck von Finckenstein, Einfi~hrung in die Nuyon ihnen erhalten hat. Zuletzt bedankt sich der Verfasser merische Mathematik. Carl-Hansen Verlag, M0nchenfor die wertvolle Hilfe der Gutachtern und, vor allem, des Wien (1977). Herausgebers for die Deutsche Sprache dieser Zeitschrift, 12. J. Angeles, Spatial Kinematic Chains. Analysis, SynProf. Dr.-lng. habil. Johannes Volmer, bei der Vorberthesis and Optimization. Springer-Verlag, Berlin eitung dieses Manuskriptes. (1982). 13. A. Bjerhammar, Theory of Error and Generalized lnverses. Elsevier, Amsterdam (1973). LITERATUR 14. G. W. Stewart, Introduction to Matrix Computations. i. K. Luck, Synthese allgemein r~iumlicher und sph~Academic, London (1973). ischer Getriebe unter Einbeziehungder Computertech- 15. G. H. Golub und C. Van Loan, Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore (1983). nik. Wiss. Zeitschrift der TU Dresden 24, 1051-1062 16. R. P. Brent, Algorithms for Minimization without De(1975). 2. G. Geise, K. Luck und K.-H. Modler, Zur exakten rivatives. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (1973). Synthese von rfiumlichen Viergelenk-Koppelgetrieben. 17. G. Dahlquist und ,~. Bj6rck, Numerical Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (1974). Wiss. Zeitshrift der TU Dresden 25, 521-527 (1976).
basiert auf der Berechnung des Gradientes der verschiedenen einbezogenen Variablen. DafOr ist die Ableitung der generalisierten Inverse einer nichtquadratischen Matrix notwendig. Die Anwendung der Methode wird anhand eines Beispiels gezeigt, bei dem die beste Ann~iherung der Synthesegleichungen eines Getriebes zum Verwirklichen einer Exponentialfunktion gesucht wird. Gleichzeitig wird eine Zielfunktion optimiert, die die Giite des Ubertragungswinkels darstellt.
OPTIMIZATION OF PLANAR, SPHERICAL AND SPATIAL LINKAGES FOR APPROXIMATE FUNCTION GENERATION Abstract--The problem of planar-, spherical- and spatial-linkage optimization for exact function generation using a free parameter was solved elsewhere. Solved in this paper is the said problem for the case in which the synthesis equations give rise to an overdetermined linear system of equations, i.e. one for which the synthesis equations is greater than that of unknowns. The method presented here allows the computation of the linkage parameters that not only approximate the synthesis equations with the least-square error, but also extremize an objective function representing a performance index of the linkage.