Perturbations des superalgèbres de Lie

JGP - Vol.6, n. 4, 1989

Perturbations des superalgèbres de Lie MICHEL GOZE Université de Haule Alsace — F.S.T. 4 Rue des Frères Lumière 68093 Mulhouse - Cedex France

Abstract. We developthe notion of perturbations of Lie Superalgebras in terms of infinitesimals. We solvethe classical equation of deformation, by usingperturbations. We are interested in the rigid Lie Superalgebras and we give such a Lie superalgebra, in all dimensions.

INTRODUCTION Les deformations des superalgèbres de Lie sont naturellement lièes a bon nombre de problèmes en physique [L]. Orle cadre géndral de la théorie des deformations est essentiellement formel: une deformation d’une loi de superalgèbre de Lie p~est donnée par une série entière formelle ~ = + ~ t’~. Outrele problème de convergence dc cette i>0

série, I’équation des deformations c’est a dire le système des equations portant sur les applications ço~et donnant les conditions nécessaires et suffisantes pour que ~ soit une superalgèbre de Lie, est équivalente a la donnée d’une infinite d’équations. On propose ici une approche dquivalente pour les deformations convergentes mais d ‘un point de vue infinitesimal. Dans ce cas Ic système correspondant a l’équation des deformations est de rang fini ce qui permet de trouver un nombre fim de conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une deformation infinitésimale, appelée ici perturbation, soit une loi de superalgebre de Lie. Dans tout cc travail les superalgèbres de Lie sont complexes et de dimension finie.

Key-Words: Perturbations — Super Lie algebras 1980 MSC: 17 B 72.

584

MICIIELGOZF

I. LA VARLETE DES SUPERALGEBRES DE LIE Surl’espace vectoricl ~

2-graduation iIxèc:

w V1

V0

=

considCronsune Z

Une vecteur X dc ~F’~dans V0 (rcsp V1) est dii homogène de degrC O(rcsp degrC 1) ci on notera d(X) = 0 (resp .d(X) = 1). I. DEFINITION. Soit

one application bilinCairc sur ~

~i

‘~

a valcur.c dans r

‘~.

de

On dii

quc j.~est one loi de superalgébre dc Lie si on a: 1. 2.

~i ( X,

~

(_Ud~Y)i~(X

Y)

=

—

( — I) d( X ) d( Y)

/L(

Y, X) oé X

Ct

Y sont hornogOncs

b~(Y, Z)) + (_ 1)d(Y)d(X)~(y ~i( z, X)) 0 oésont X,Y,Z son! des vecicurshomogèncs.

,a(ZJL(X,Y))

+

(— ])d(Z)d(Y)

Ceue dcmièrc condition est appelCc la condition de Jacobi. 2. La variété L~q. ConsidCronslagraduation cF~= VOWVI ctsupposonsque dim V0 = p ci dim V1 = q. On suppose cette graduation fixCc ci on note L~q l’enscmblc des lois des superalgèbrcs de Lie sur

V0 ~ V1 On notera ègalemcni

=

A~q= Soit (e1

fixéc. Soit

~.t E

:

~

x

~

ff~fl

bilinéairc verillant Ics conditions I 2

e~,e’1 e~) unc base homogènc de C’~ associcc ci posons: ,...

=

~(e,, e~)=

1 ~

~C~ek

~

e,)

=

~

D~e~

~E~.ek

On a les relations:

=

—C~ ci E~= E~,.

I

=

}

a Ia graduation


I

I <~
pet j


=

I

,...,

q

585

PERTURBATIONS DES SUPERALGEBRES DE LIE

Les conditions de Jacobi impliquent:

~(c~c:L+c]kc~+cL~c;l)=o

1
k=l...q;s:1...q;

~j ~

~

lkp

Ces equations montrent quc ~

est munie d’une structure de vanété algébrique plongée = = 0, onobtientune sousdans cJ1N avec N = p variete algebrique de ~ isomorphe ala variete L~des lois d’algèbre de Lie sur Soit f un isomorphisme du supcrespacc a”. Alors si p est tine loi dans ~ on définit la loi p~isomorphe a p via I’isomorphisme f par la relation: 2 (E~~L)+ 2pq2. Si onfait

p 1(X,Y)=f~opo(f(X),f(Y))

XetYE

(“.

Notons que si d(X) = d(Y) = 0 alors p~induit sur V0 tine loi d’algèbrc de Lie isomorphe a Ia loi p induite sur V0. On notera 0(p) l’orbitc de p dans L~. C’est une variété differentiable.

II. PERTURBATIONS DE SUPERALGEBRES DE LIE Classiquement, l’étude du comportement des points voisins d’un point donné sc fait a l’aide de la notion de deformation. Ici, l’approche est differcntc. Bien que noire objectif reste le méme, etude du voisinage d’un point donne, etude de la geometric tangente a Ia notion debase est la notion <> de perturbations qui décrit parfaitement cc qu’cst tin point infiniment proche d’un point standard. Plaçons-nous donc dans le cadre NON STANDARD des ensembles intemes lie a la théorie axiomatique I.S.T. ([L.G]) Rappelons brièvement les résultats principaux: Un element infiniment petit dans ~ est un element z vérifiant Izi < a pour tout a reel positif standard non nul —

586

MICIIEL

—

Un vectdur v

écrira v —

=

,..,

v,,) dc

avcc n standard cst inhinimcnt petit (on

~

0 ) si chaquc composante v1 est infiniment petite.

Un vccteur v

=

(v1,

•,

v,,) dc ~

dont aucunc composante v~n’cst infiniment

grandc (i.e. I /v~~ 0) cst dit limitC. Dans cc cas il existe tin unique vcctcur standard ~v (appelC ombre de v) dont Ics composantes sont les ombrcs des u1 : = (°v1 , ., avcc ~ standard, unique ct infiniment proche de v,. Dans tout cc quc suit, nous supposerons n standard. Ccci impliquc quc Ia vanCté algébriquc L~ est standard. Ainsi l’ewdc des lois dc ~ des points standard dc la vanete standard L~q.

est équivalcnic

a

l’Ctudc

I. DEFINITION. Soit p0 une loi standard dans L~4 On dit qu ‘unc loi p dc L~q est une perturbation de p~ si standard dans (F”.

On notcra p ~ infiniment proches.

Ofl

a: p( X, Y)

~

( X, Y) pour tout vccicur X

Ci

Y

Rcmarquons quc p ci p~ soni, en tant que vecicurs de A~q,

Decomposition d’une perturbation Le théorèmc de decomposition d’un point infinimcnt petit dans un cspace vectoriel standard établi dans [C1 I s’énoncc ici de la façon suivantc THEOREME. Soil p one pcrturbation d ‘one loi standard p~ dans

Alors on a Ia

decomposition suivante: ppo+ctcoI+~Ic2co2+...+E1...ckcok.

oâ les éléments c~son! complexes ci infinimeni petits Landis quc Ics (~,. . . , ~) dc A~qsoft linéaircment indépendants ci standard.

vectcurs

Comme chaquc élCmcnt tp~cst dans l’espace standard ~ Ia longucur k de la perturbation p correspondant au nombre des c, non nuls est finic et standard. C’est probablement là que reside la difference importantc cntrc les notions dc perturbations et celles de deformations. Notons, toutefois, qu’il est possible d’Ccrirc une perturbation comme une séne infinic dont le paramètre ~ est infiniment petit. On pcrd dans cc cas l’indépendancc des coefficients p~.

3. Equation des deformations. Equation des perturbations Commençons par quclques notations: Soient ço~ et tp2 dans A~q. On note çe~° ~

I’application trilinCaire dCfInie par:

587

PERTURBATIONS DES SUPERALGEBRES DE LIE

‘Pi ° ‘P

2(X,Y,Z)

=

~p1(~p2(Y, Z),X)

(

1)d(X)d(Y)

c01(’p2(X,Y),Z)

+ (_I)d(z)d(x)’p1(’P2(Z

‘p1(~p2(X,Y),Z) +

(_1)d(Y)d(Z)

X), Y)

‘p2(’p1(Y, Z), X)

+ (_1)d(Y)d(Z) + (...1)d(X)d(Y) +

(1)d(Z)d(X)

øà X,Y,Z sonthomogenes. Ccci étant, soit p E L~. Notons H’(p,p)(i = 0,1) lcsespacesdecohomologies associées a p. Alors pouriout ‘p E on a p~op~E B~(p0, p~)(L’étude générale des espaces H est faite dans [F]). Considérons a present une perturbation p d’une loi standard Po de L~ et supposons que sa decomposition soil de Iongueur k: P Comme p o p

=

Po

+ Ci’Pi + .. . +

0, on obtient:

=

Po °Po = 0 Po

o’Pj + C2PO

~I’Pi

oço~+

0 ‘Pi + 0 ‘P2

C2C3p0 0’P3 +

0 ‘P2 +

+ C1C2

. .

+

. . .

Cki’Pk 0 ‘Pk

.

e2 .•Ckpo

...+

=

O%Ok+

c~ço~ o

0

Comme les c, sont infirtiment petits Ic premier membre correspond a tin vecteur limité (dans I’espace standard des applications trilinéaires). Comme il est nul sa partie standard 0

est identiquement nulle. On obtient le système suivant: 0 i.e. ço~EZ~(p Po°’P1 0,p0) ~ ~‘P~‘Pt + 0 ‘P2 + c1f2 ~ço0 .•.

~

2 f1C2’p2

2 °

‘P2 + ~I~2

+

. . .

2 .

0

Cette dcmière relation cst appelec I’equation des perturbations. C’est unc relation lineaire entrc les vecicurs standard ~ 0 ‘Pt~-~- i-~0 ‘Pk a coefficients infiniment pctits. 4. Interpretation de l’equation des perturbations

Cette equation donne les conditions nécessaires ct suffisanics pour quc les applications bilinéaircs standard ‘p~ dont le ‘p~ vérific: 2ó~’p~= = 0, soicnt les composantcs dc la decomposition d’une perturbation d’une Ioi standard Po donnée.

588

MICIIEL OOZE

Or Ic premier tcrmc ~ d’unc perturbation p dc p~ correspond a un vecteur tangent du cone des tangentcs en Po a la variCté algébriquc L~q.L’équation des pertur-

bations s’intcrprètc done comme l’équation donnant Ics conditions nécessaires ct suflisantes pour qu’un vcctcur tangent <> du plan tangent de Zariski:

o}

= ~

soit un vcctcur tangent du cOne des tangentes. Elle décrit ainsi Ia géomctne tangcnte en Po ~ L~. Notons quc les relations cntrc lcs infiniment pctits c~qui se déduiscnt de cette equation donnent Ic comportement analytique de la variCtC algCbriquc L~ 0autour du point Po (cctte interpretation est décrite dans [C1 I). 5. Perturbation de longueur Un: equation des generatrices Soit p une perturbation de p~ de longucur I. On a +

=

avcc ‘p~ standard. Le système (D) se rCduit a: Po

OQ~ =

l/26.~’p~ 0,

‘‘Pt o’P~

—~•

Un tel vccteur tangent ~p en Po ~ L~qest vecteur dircclcur d ‘une génCratricc passant par Po

6. Perturbation de longueur 2 Soit p

=

p~+

une perturbation de longueur 2 de Po~ Lc système

+

(D) se réduit a: Po

~

=

1/26~6~ = 0.

C~’P~ 0’P~ + C1E~’P2 °‘P2 + 2P0

Lcs vcctcurs standard (~

~ cp1,(p1 0 ‘P2’P2

0’P2

=

0 ‘P2Po

0. °

‘Pa) engendrent done des

applications trilinéaircs. Si dim P2 = 3, iI existe a un scalaire multiplicatif prés, unc unique combinaison nullc ~ a,1p~0 + ap0 a p2 = 0 avcc a,) a standard I < i <1<2 Ainsi ~ = ~a11 ,E12 = ~0I2 )~0,r, 0 cc qui est impossible. D’oO dim P2 <2. Si dim P2 = 2 ii cxistc un système standard de deux equations IinCaircs a coefficients standard cntrc nos vcctcurs. Commc prCcCdcmmcnt on montre que ccci est impossible. Ainsi dim P1 = 1 (si dim P1 = 0 on cst ramenC aux perturbations d’ordrc I) cc qui implique quc p~0 = 0, ct est un géneratcur dc P2

589

PERTURBATIONS DES SUPERALGEBRES DE LIE

PROPOSITION. Un vecteur sp~dans Z2 (i~ Po) est ic premier terme d ‘une perturbation de longueur deux si et seulement si, ii existe ‘p e ~ telle que ‘P1 0’Pi

=

a&~’p 2, .

‘P2 0’P2 = C5~,’p2.

[F] une interpretation des ço~0 ‘P1 est donnée (dans Ic cadre des deformations) en terme de produit de Massey. Soit H~(p0,Po) Ia cohomologie 1-graduCe de La superalgèbrede Lie Po Enparticulierona H?(p0,po) = Si on note [] les classes de cohomologie dans Hr( Po ,Po), alors ‘P1 °‘P1 = a~ ‘P2 implique [‘Ps ~ ‘Pr] = 0 que l’on notera [tp~] = 0 (2° produit dc Massey). La proposition précédente petit s’énoncer de la manière suivante: Dans

2(p duplandcZ.ariski Z 0,p0) en Po a L~~q estle premier teime d’une perturbation de Iongucur2 si et seulement si on a: 1) [‘p~] = [c~4 I = [‘Pt] = 0 oil [p’jI désigne Ic ~ produit de Massey dans H~(p0,p0). 2) Lc rang des représentants des [p’~] i = I 2, 3 dan.s B? ( i-~~ Po) est égal àl. PROPOSITION. Un vecteur

‘Pi

,

,

REMARQUE. Comme ‘P2 est un représentant de ‘Pi °‘Pi, le troisième produit dc Massey correspond a la classe de ‘Pt 0 ‘P2; cette demière étant nulle on peut determiner le quatrième produit qui est défini dans notre cas par la classe de ‘P2 0 ‘P2 7. Cas général Nous avons vu que l’équation des perturbations se représentait comme tine equation linéaire a coefficients infiniment petits entre les vecteurs ‘P~0 p, et les vecteurs 2 ~ ‘P~ =

Po

0 ‘P~•

On va dormer a present l’equivalent standard de ces relations.

THEOREME. Soit p one perturbation de longueur k de Po dan.s L~8. Alors Ic rang des vectcurs (‘p,o ~ i = 1,...,k f i estégalaurangdcs vecteurs (‘p~o’p1) i=l,...,k, i<.j
0=e1

...ctW(49t

ClC~ -

o’pk)+

e~w(’p~ ~ ‘Pk)

Ona: C1C~.fkW(’p2 0’pk)+

+ c2w(p0

0 ‘P2) +

.

. . +

...+

C2 . . .CkW(/.LO

0

590

MICETEL

OOZE

En simplifiant par ic pluspetit en module des infinimcnt petits et en prenant Ia partic

standard on obtient: w(é~

0’p2) =

=

...

w(~’p~)=

0

~

=

...

=

°

= 0

Ces vcctcurs sont dans Kcrw d’oO le thCorème. COROLLAIRE. Si les vecteurs (‘Ps 0 ‘P,~~ ‘ps) j = I,. . . k, k I i son! reliCs par 1 ‘equation des deformations, alors le rang r de ces vecteurs vCnfic: r < k( k — I) /2. .

REMARQUE. Si Ic rang r cst tel que r < (k — l)( k — 2)/2 alors on peut trouver unc perturbation p2 delongueur (k — I) tell que ‘Pi soitlc premier tcrmc de cetic perturbation. Ainsi par induction, afin dc décrirc l’équation des perturbations dc longueur k, on peut supposer

(k—I)(k—2)/2
THEOREME. conditions nécesswres sufuisantes pour qu vcclcurk ‘P1 I ‘c2 (p~Les , Po) soil le premier ierme ci d ‘une perturbation de ‘on longucur ci CcCcrang space k(k— ZI)/2 son!: 1)

f’p~]=

0

s= 2,2k

oO

[p3]

dCsigneic s-ièmc produiidcMasscydc

[‘p1. 2)

Le rang des rcpréscntants dans B? (po, Po) de chacun des produits dc Massey

(poors=2,...,2k)

cstegaiàk(k—I)/2.

La demonstration est analogue

a cdllc dévcloppée dans Ic cas partiulier

k = 2.

REMARQUE. Dans l’approchc classiquc de deformations p 1 = + t’~,, l’Cquaiion des deformations (Pt °Po = 0) esi foimellemcntéquivalente au système mimi d’Cquations p~0 ‘P, + ~ ‘P~0 = 0 Dans le cas o~ Pt converge, cc système est d’alrès Ic théorème précédcnt equivalent

a un système fini de rang

k( k

—

I )/2.

III. SUPERALGEBRES DE LIE RIGIDES I. DEFINITION. So]! p~ one supera]gCbrc de Lie standard da.ns L~5. On dii que Po cst rigide si toute perturbation p dc Po esi isomorphc a p0

591

PERTURBATIONS DES SUPERALGEBRES DE LIE

C’est tine sous-variete régulière de Considérons l’orbite 0(po) de Po dans ~ Lp”,q. Sitouteperturbation p de Po estdans O(Po) alorsiehalo h(p 0) = E Lp”,q/ 0(Po) est un ouvert (pour la ~ po} induitc est contenu dans de O(po) qui montre que topologie par (FN) Lp”q. cc Notons que Ia topologie définie ici n’est pas la topologie de Za~iski.Mais, comme le corps de référence est (F, si O( Po) est ouvcrt pour la topologie metrique, elle est aussi ouverte pour la topologie de Zariski. On retrouve done la notion classiquc de rigidité. Ccci étant, Si O( Po) esi ouverte, O( Po) est une composante irréduciiblc de L~- Ainsi il n’existe, pour n, p, q fixes, qu’un nombre fini de classes d’isomorphie de supcralgèbres de Lie rigides. Via le principe du transfert, la determination des lois rigides est equivalence ala determination des lois rigides standard. 2. Exemples de lois rigides PROPOSITION. Dans L~ , ~ ii n ‘y a qu ‘one scule classe de superalgèbre dc Lie rigide.

EIIe correspond a Ia loi: p 0(X1,X2)

=

X1 p0(X2,Y1)

En effect toute loi dans L~1est isomorphe ~.4(X1,X2)=X1 = Xt;

p3(X1,X2)=0; p4(X11X2)=0; p5(X1,X2) = 0;

=

—Y1/2; p0(Y1,Y1)

= X~.

a l’une des lois suivantes:

p~(X2,Y1)=~Y1

~4(Y11Y1)=0

p2(X2,Y1) = —Y1/2; p3(X2,Y1)=0; p4(X21Y1)=O; p5(X2,Y1) =

p2(Y1,Y1)

= X1

p5(Y1,Y1)

=

0

Chacune des lois p2( i = 3 , 4 , 5) se perturbe dans uric loi isomorphe ~ et P2 ne peut se perturber sur tin éldment de la famille {p~}. Ccci prouve d’une part la proposition, d’autre part que la variété LL est La reunion de deux composantes algébriques irrdductibles. Le résultat précédent se généralise aisément:

pRoposmoN. La loi suiva.nte de L~ est rigide: p(X1,X2)

= X2

p(X1,Y~)=(l+i)~ i1,...p

REMARQUES. Si la loi dc la superalgèbrede Lie Po est rigide dans L~qalors Ia restriction pg de Po ~ (FP est une loi d’algèbre de Lie de dimension p rigidc. Ccci pennet de construire des superalgèbres de Lie ngidcs en dimension quelconque. Par exemple

592

MICHEL OOZE

considérons tine algèbrc de Lie rigide sur

On sail [G.A] qu’il exisic tin vecteur X0 dc (Fr) telque: adX0 : (FP soit diagonal. Considérons tine base X1,... ,X~_1formée des vecteurs proprcs. On a: (FP

~g(X0,X1)_X~X~

i=l...p—I

Ccci étant considérons tine loi se supcralgèbre de Lie Po sur (F’~= (F~telle que pg soil la restriction dc Po ~ Supposons qu’il existe tine base Y1 .. . de (FQ tdllequc: ~“

p2Y1

p0(X0,Y1) Les

z= I,...,q.

conditions de Jacobi impliqucnt:

+

=

cc qui montre quc Po ( Y~,Y1) est un vecteur propre dans (F ~ associé a Ia valeur propre + )~. Si ~, + )~, n’est pas valetir proprc alors p0(Y~,Y~)= 0. Dc mCme on a: +

soil: p0(X0 , p0(X1, par cxemplc: p, = i

~)) i

p0(X~,p0(}~.,X0))+ 1t0(Y,,p0(X0,X,))

=

I, .

X,=2p+i

Dans cc cas ni ~, + p0(X,Y) = p(Y,Y)

~,

=

p2)p~(X2,1’~’.) ci p0(X,, 1’,.) E V1 .p I

+

=

ni Pt 0.

+

n’cst valeur proprc de adX0. On en dCduit

12 la loi définie par i=l,...,p—l. ],...,p—

v0

I—i

i=

1,2.

q.

les crochets non Cents étant nuls. Alors cette lo] esi ngide.

(FP =

~ q Prenons

il,...q.

p(X,,X1) =X~1 j=i+ p(X0,1’~)(2p+i)Y~ i=1

La restriction p

0.

—

.

PROPOSITION. ConsidCrons dans L~qp p(X0,X1)iX1

=

=

.

12 étant ici pour assurer la rigidité de l’algèbre de Lie p~ sur

Pane même procédé on pcut eonstruire des supcralgèbrcs dc Lie rigides pour

p<. 12. Ainsi:

PERTURBATIONS DES SUPERALGEBRES DE LIE

mE0REME. Quelquesoit n, p, ilexiste dans

593

zinc Ioi de supcralgèbrc deLie rigide. .

3. Un Théorème de Rigidité 2(p 1:[ço1]—..[ij.4] avcc’pEZ 0,p0) Sipouruncertaini
En effet supposons2(p m2 injective; Si le deuxième produit de Massey est nul, alors p~ est un élément du B 0 ,p~) ci cette loi est rigide. I.e théorème précédent est une consequence du théorème du paragraphe II. .

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