Prediction of critical infrastructure accident consequences

Chapter 5

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter Outline 5.1 Prediction of process of initiating events 5.1.1 Prediction of process of initiating events at Baltic Sea waters 5.1.2 Prediction of process of initiating events at world sea waters 5.2 Prediction of process of environment threats 5.2.1 Prediction of process of environment threats at Baltic Sea waters 5.2.2 Prediction of process of environment threats at world sea waters 5.3 Prediction of process of environment degradation

95 95 97 98 98 101 107

5.3.1 Prediction of process of environment degradation at Baltic Sea waters 107 5.3.2 Prediction of process of environment degradation at world sea waters 110 5.4 Superposition of initiating events, environment threats and environment degradation processes 117 5.4.1 Superposition of initiating events, environment threats and environment degradation processes at Baltic Sea waters 117 5.4.2 Superposition of initiating events, environment threats and environment degradation processes at world sea waters 118

The unknown parameters of particular processes that are the parts of the general model of critical infrastructure accident consequences are identified in Chapter 4, Identification of critical infrastructure accident consequences. Now, the general model of critical infrastructure accident consequences is adapted to the prediction of critical infrastructure accident consequences at the Baltic Sea and world sea waters through the determining the characteristics of the processes of initiating events, environment threats, and environment degradation such as unconditional mean sojourn times, limit values of transient probabilities staying at their states, and approximate mean values of sojourn total times at particular states for the fixed time. Finally, applying the expression for total probability, the unconditional transient probabilities and mean values of sojourn total times of the joint process linking the processes of initiating events, environment threats, and environment degradation at particular states, for the fixed sufficiently large time, are fined.

5.1

Prediction of process of initiating events

We assume, as in Section 4.2, that we have identified the unknown parameters of the semi-Markov model of the process of initiating events EðtÞ; tAh0; 1 NÞ: G

G

G

the initial probabilities pl ð0Þ; l 5 1; 2; . . .; ω of the process of initiating events staying at the particular states el at the moment t 5 0; the probabilities plj ; l; j 5 1; 2; . . .; ω; l 6¼ j of the process of initiating events transitions from the state el into the state ej ; and the distributions of the process of initiating events conditional sojourn times θlj ; l; j 5 1; 2; . . .; ω; l 6¼ j at the particular states and their mean values M lj 5 E½θlj ; l; j 5 1; 2; . . .; ω; l 6¼ j;

then we can predict its basic characteristics.

5.1.1 Prediction of process of initiating events at Baltic Sea waters The matrix of probabilities plj ; l; j 5 1; 2; . . .; 16 of the process of initiating events transitions from the state el into the state ej is estimated in (4.55). The mean values M lj of the conditional sojourn times θlj ; l; j 5 1; 2; . . .; 16 of the process Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-819675-5.00005-X © 2020 Elsevier Inc. All rights reserved.

95

96

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

of initiating events at particular states are determined, and their values are given by (4.60), (4.69), and (4.76). This way, the process of initiating events for the Baltic Sea waters is approximately defined, and we may predict its main characteristics. After considering these results and applying (3.13), we conclude that the unconditional mean sojourn times of the process of initiating events at particular states are as follows: M 1 5 E½θ1  5 p12 M 12 1 p13 M 13 1 p14 M 14 1 p15 M 15 1 p16 M 16 1 p17 M 17 1 p18 M 18 5 0:1731U10; 249; 200 1 0:3558U8; 928; 571:43 1 0:0481U12; 614; 400 10:0962U13; 402; 800 1 0:2308U8; 694; 300 1 0:0865U5; 869; 200 1 0:0096U1; 576; 800D9; 376; 491:76; M 2 5 E½θ2  5 p21 M 21 1 p23 M 23 1 p26 M 26 1 p27 M 27 5 0:75U1 1 0:1U22:50 1 0:05U1:00 1 0:1U5:50 5 3:6; M 3 5 E½θ3  5 p31 M 31 5 1U1933:69 5 1933:69; M 4 5 E½θ4  5 p41 M 41 1 p47 M 47 5 0:8333U1 1 0:1667U1:00 5 1:0; 5 M 5 E½θ5  5 p51 M 51 1 p5 10 M 5 10 5 0:9U163:33 1 0:1U10:00D148:0; M 6 5 E½θ6  5 p61 M 61 1 p62 M 62 1 p63 M 63 1 p64 M 64 5 0:04U120:00 1 0:08U80:00 1 0:84U324:05 1 0:04U15:00D284:0; M 7 5 E½θ7  5 p71 M 71 1 p73 M 73 1 p7 13 M 7 13 5 0:5U225:83 1 0:4167U21:60 1 0:0833U1:00D122:0; M 8 5 E½θ8  5 p81 M 81 5 1U5:00 5 5:00; M 10 5 E½θ10  5 p10 1 M 10 1 5 1U10:00 5 10:00; M 13 5 E½θ13  5 p13 1 M 13 1 5 1U10:00 5 10:00:

(5.1)

To find the limit values of the transient probabilities pl ; l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of initiating events EðtÞ at its particular states, first, we have to solve the system of equations (3.16) that in our case takes the following form: 8 l l lj > < ½π 1 3 16 5 ½π 1 3 16 ½p 16 3 16 16 X πj 5 1; > : j51

where ½πl 1 3 16 5 ½π1 ; π2 ; . . .; π16  and the elements of the matrix ½plj 16 3 16 are given by (4.55). The system of equations consists of the following equations: π1 5 0:7500Uπ2 1 π3 1 0:8333Uπ4 1 0:9000Uπ5 1 0:0400Uπ6 10:5000Uπ7 1 π8 1 π10 1 π13 ; π2 5 0:1731Uπ1 1 0:0800Uπ16 ; 3 π 5 0:3558Uπ1 1 0:1000Uπ2 1 0:8400Uπ6 1 0:4167Uπ7 ; π4 5 0:0481Uπ1 1 0:0400Uπ6 ; π5 5 0:0962Uπ1 ; 6 π 5 0:2308Uπ1 1 0:0500Uπ2 ; 7 π 5 0:0865Uπ1 1 0:1000Uπ2 1 0:1667Uπ4 ; π8 5 0:0096Uπ1 ; π10 5 0:1000Uπ5 ; π13 5 0:0833Uπ7 ; 1 2 3 4 π 1 π 1 π 1 π 1 π5 1 π6 1 π7 1 π8 1 π10 1 π13 5 1:

(5.2)

Solving the system of equations, we get π1 5 0:42449; π2 5 0:08164; π3 5 0:26533; π4 5 0:02450; π5 5 0:04079; π6 5 0:10205; π7 5 0:04897; π8 5 0:00407; π10 5 0:00408; π13 5 0:00408:

(5.3)

Therefore according to (3.15) and considering (5.1) we get the approximate limit values of transient probabilities at the particular states of the process of initiating events

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

p1 5 0:999860710821154; p2 5 0:000000073830730; p3 5 0:000128885740640; p4 5 0:000000006154570; p5 5 0:000001516516305; p6 5 0:000007280530278; p7 5 0:000001500795773; p8 5 0:000000005112062; p10 5 0:000000010249244; p13 5 0:000000010249244:

97

(5.4)

l

Further, by (3.17) and considering (5.4), the approximate mean values of the sojourn total times θ^ of the process of initiating events EðtÞ during the fixed time θ 5 1 month 5 43,200 minutes at the particular states el expressed in minutes are 1 2 3 4 5 6 M^ 5 43; 193:98271; M^ 5 0:00319; M^ 5 5:56786; M^ 5 0:00027; M^ 5 0:06551; M^ 5 0:31452; 7 8 10 13 M^ 5 0:06483; M^ 5 0:00022; M^ 5 0:00044; M^ 5 0:00044:

(5.5)

5.1.2 Prediction of process of initiating events at world sea waters Proceedings in analogous way as in Section 5.1.1, we predict the process of initiating events within the world sea waters. The matrix of probabilities plj ; l; j 5 1; 2; . . .; 16 of the process of initiating events transitions from the state el into the state ej is estimated in (4.78). The mean values M lj of the conditional sojourn times θlj ; l; j 5 1; 2; . . .; 16 of the process of initiating events at particular states are determined, and their values are given by (4.90) and (4.91). This way, the process of initiating events for the world sea waters is approximately defined, and we may predict its main characteristics. After considering these results and applying (3.13), we conclude that the unconditional mean sojourn times of the process of initiating events at particular states are as follows: M 1 D10; 405; 787:49; M 2 D21:71; M 3 D4459:50; M 4 D10:07; M 5 D899:19; M 6 D1296:91; M 7 D940:30; M 8 D319:91; M 9 D162:63; M 10 D784:63; M 11 D253:31; M 12 5 30:00; M 13 D75:56; M 14 5 120:00; M 15 5 140:00; M 16 5 78:00:

(5.6)

To find the limit values of the transient probabilities pl ; l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of initiating events EðtÞ at its particular states, first, we have to solve the system of equations (3.16) that in our case takes the following form:  l  lj  8  l > < π 1 3 16 5 π 1 3 16 p 16 3 16 16 X πj 5 1; > : j51

where ½πl 1 3 16 5 ½π1 ; π2 ; . . .; π16  and the elements of the matrix ½plj 16 3 16 are given by (4.78). The system of equations consists of the following equations: π1 5 0:5461Uπ2 1 0:9908Uπ3 1 0:7450Uπ4 1 0:7692Uπ5 1 0:4488Uπ6 10:4115Uπ7 1 0:8750Uπ8 1 π9 1 0:5790Uπ10 1 0:4444Uπ11 1 π12 10:4445Uπ13 1 π14 1 0:4000Uπ16 ; π2 5 0:2460Uπ1 1 0:0026Uπ3 1 0:0201Uπ4 1 0:0989Uπ6 ; 3 1 2 π 5 0:2264Uπ 1 0:2880Uπ 1 0:0872Uπ4 1 0:3110Uπ6 1 0:5423Uπ7 10:5556Uπ11 1 0:3333Uπ13 1 π15 1 0:4000Uπ16 ; π4 5 0:0754Uπ1 1 0:0069Uπ2 1 0:0777Uπ6 1 0:0038Uπ7 ; π5 5 0:1644Uπ1 1 0:0092Uπ2 ; 6 1 π 5 0:1436Uπ 1 0:0507Uπ2 1 0:0053Uπ3 1 0:0604Uπ4 1 0:3947Uπ10 ; π7 5 0:1258Uπ1 1 0:0922Uπ2 1 0:0873Uπ4 1 0:2000Uπ16 ; π8 5 0:0184Uπ1 1 0:0116Uπ7 ; π9 5 0:0013Uπ3 1 0:0659Uπ5 ; 10 π 5 0:0046Uπ2 1 0:1429Uπ5 1 0:0141Uπ6 ; π11 5 0:0023Uπ2 1 0:0495Uπ6 1 0:0116Uπ7 ; π12 5 0:0037Uπ5 ; 13 π 5 0:0192Uπ7 1 0:1250Uπ8 ; π14 5 0:0263Uπ10 ; π15 5 0:2222Uπ13 ; π16 5 0:0183Uπ5 ; 1 π 1 π2 1 ? 1 π16 5 1: (5.7)

98

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

Solving the system of equations, we get π1 5 0:41596; π2 5 0:11083; π3 5 0:19241; π4 5 0:03807; π5 5 0:06940; π6 5 0:07319; π7 5 0:06612; π8 5 0:00842; π9 5 0:00482; π10 5 0:01146; 11 π 5 0:00465; π12 5 0:00026; π13 5 0:00232; π14 5 0:00030; π15 5 0:00052; π16 5 0:00127:

(5.8)

Therefore according to (3.15) and considering (5.6), we get the approximate limit values of transient probabilities at the particular states of the process of initiating events p1 5 0:999747226936710; p2 5 0:000000555751755; p5 5 0:000014413671674; p6 5 0:000021924276591; 9 p 5 0:000000181055360; p10 5 0:000002076888651; p13 5 0:000000040489613; p14 5 0:000000008315075;

p3 5 0:000198188063477; p7 5 0:000014360281962; p11 5 0:000000272062681; p15 5 0:000000016814930;

p4 5 0:000000088547445; p8 5 0:000000622162160; p12 5 0:000000001801600; p16 5 0:000000022880316: (5.9) l Further, by (3.17) and considering (5.9), the approximate mean values of the sojourn total times θ^ of the process of initiating events EðtÞ during the fixed time θ 5 1 month 5 43,200 minutes at the particular states el expressed in minutes are 1 2 3 4 5 6 M^ 5 43; 189:08020; M^ 5 0:02401; M^ 5 8:56172; M^ 5 0:00383; M^ 5 0:62267; M^ 5 0:94713; 7 8 9 10 11 12 M^ 5 0:62036; M^ 5 0:02688; M^ 5 0:00782; M^ 5 0:08972; M^ 5 0:01175; M^ 5 0:00008; 13 14 15 16 M^ 5 0:00175; M^ 5 0:00036; M^ 5 0:00073; M^ 5 0:00099:

5.2

(5.10)

Prediction of process of environment threats

We assume, as in Section 4.4, that we have identified the unknown parameters of the semi-Markov model of the process of environment threats Sðk=lÞ ðtÞ; tAh0; 1 NÞ for particular environment subareas Dk ; k 5 1; 2; . . .; n3 , while the process of initiating events EðtÞ is at the state el ; l 5 1; 2; . . .; ω: G

G

G

the initial probabilities piðk=lÞ ð0Þ; i 5 1; 2; . . .; υk ; k 5 1; 2; . . .; n3 ; l 5 1; 2; . . .; ω of the process of environment threats staying at the particular states siðk=lÞ at the moment t 5 0; the probabilities pijðk=lÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; n3 ; l 5 1; 2; . . .; ω of the process of environment threats transitions from the state siðk=lÞ into the state sjðk=lÞ ; and the distributions of the process of environment threats conditional sojourn times ηijðk=lÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; ij k 5 1; 2; . . .; n3 ; l 5 1; 2; . . .; ω at the particular states and their mean values Mðk=lÞ 5 E½ηijðk=lÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; n3 ; l 5 1; 2; . . .; ω;

then we can predict its basic characteristics.

5.2.1 Prediction of process of environment threats at Baltic Sea waters The matrices of probabilities pijðk=lÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29; j l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of environment threats transitions from the state siðk=lÞ into the state sðk=lÞ are estimated in ij ij (4.157)(4.164). The mean values Mðk=lÞ of the conditional sojourn times ηðk=lÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29; l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of environment threats at particular states are determined, and their values are given by (4.165). This way, the process of environment threats for the Baltic Sea waters is approximately defined, and we may predict its main characteristics. After considering these results and applying (3.36), we conclude that the unconditional mean sojourn times of the process of environment threats at particular states are as follows: h i 1 27 1 27 Mð1=2Þ 5 E η1ð1=2Þ 5 p1ð1=2Þ Mð1=2Þ 5 1U1 5 1; h i (5.11) 27 27 1 27 1 5 E η27 Mð1=2Þ ð1=2Þ 5 pð1=2Þ Mð1=2Þ 5 1U300 5 300;

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

h i 1 27 1 27 30 1 30 Mð1=3Þ 5 E η1ð1=3Þ 5 p1ð1=3Þ Mð1=3Þ 1 p1ð1=3Þ Mð1=3Þ 5 0:5U1 1 0:5U1 5 1; h i 27 27 27 1 27 1 Mð1=3Þ 5 E ηð1=3Þ 5 pð1=3Þ Mð1=3Þ 5 1U180 5 180; h i 30 30 1 30 1 5 E η30 Mð1=3Þ ð1=3Þ 5 pð1=3Þ Mð1=3Þ 5 1U240 5 240; h i 1 6 16 Mð1=8Þ 5 E η1ð1=8Þ 5 p1ð1=8Þ Mð1=8Þ 5 1U1 5 1; h i 6 1 61 5 E η6ð1=8Þ 5 p6ð1=8Þ Mð1=8Þ 5 1U240 5 240; Mð1=8Þ h i 1 33 1 33 5 E η1ð2=2Þ 5 p1ð2=2Þ Mð2=2Þ 5 1U1 5 1; Mð2=2Þ h i 33 33 1 33 1 5 E η33 Mð2=2Þ ð2=2Þ 5 pð2=2Þ Mð2=2Þ 5 1U1440 5 1440; h i 1 17 1 17 33 1 33 5 E η1ð2=3Þ 5 p1ð2=3Þ Mð2=3Þ 1 p1ð2=3Þ Mð2=3Þ 5 0:5U1 1 0:5U1 5 1; Mð2=3Þ h i 17 5 E η17 Mð2=3Þ 5 p17 1 M 17 1 5 1U10; 080 5 10; 080; hð2=3Þ i ð2=3Þ ð2=3Þ 33 33 1 33 1 5 E η33 Mð2=3Þ ð2=3Þ 5 pð2=3Þ Mð2=3Þ 5 1U1440 5 1440; h i 1 24 1 24 Mð3=2Þ 5 E η1ð3=2Þ 5 p1ð3=2Þ Mð3=2Þ 5 1U1 5 1; h i 24 24 1 24 1 5 E η24 Mð3=2Þ ð3=2Þ 5 pð3=2Þ Mð3=2Þ 5 1U1440 5 1440; h i 1 14 1 14 24 1 24 5 E η1ð3=3Þ 5 p1ð3=3Þ Mð3=3Þ 1 p1ð3=3Þ Mð3=3Þ 5 0:5U1 1 0:5U1 5 1; Mð3=3Þ h i 14 5 E η14 Mð3=3Þ 5 p14 1 M 14 1 5 1U10; 080 5 10; 080; hð3=3Þ i ð3=3Þ ð3=3Þ 24 24 1 24 1 5 E η24 Mð3=3Þ ð3=3Þ 5 pð3=3Þ Mð3=3Þ 5 1U1440 5 1440; h i 1 14 1 14 Mð4=3Þ 5 E η1ð4=3Þ 5 p1ð4=3Þ Mð4=3Þ 5 1U1 5 1; h i 14 14 1 14 1 5 E η14 Mð4=3Þ ð4=3Þ 5 pð4=3Þ Mð4=3Þ 5 1U10; 080 5 10; 080:

99

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

(5.17)

(5.18)

To find the limit values of the transient probabilities pijðk=lÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29; l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of environment threats Sðk=lÞ ðtÞ at its particular states, first, we have to solve the systems of equations (3.39) 8 i ij i > < ½πðk=lÞ 1 3 υk 5 ½πðk=lÞ 1 3 υk ½pðk=lÞ υk 3 υk υk X > πjðk=lÞ 5 1; : j51

where k k ½πυðk=lÞ 1 3 υk 5 ½π1ðk=lÞ ; π2ðk=lÞ ; . . .; πυðk=lÞ 

and the elements of the matrices ½pijðk=lÞ υk xυk are given by (4.157)(4.164). The systems of equations take the forms 8 1 27 > < πð1=2Þ 5 πð1=2Þ 1 π27 (5.19) ð1=2Þ 5 πð1=2Þ > : π1 1 π27 5 1 ð1=2Þ ð1=2Þ 8 1 30 πð1=3Þ 5 π27 > ð1=3Þ 1 πð1=3Þ > > < π27 5 0:5Uπ1 ð1=3Þ ð1=3Þ (5.20) π30 5 0:5Uπ1ð1=3Þ > > ð1=3Þ > : 1 30 πð1=3Þ 1 π27 ð1=3Þ 1 πð1=3Þ 5 1

100

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

8 1 6 > < πð1=8Þ 5 πð1=8Þ π6ð1=8Þ 5 π1ð1=8Þ > : π1 1 π6 5 1 ð1=8Þ ð1=8Þ 8 1 33 > < πð2=2Þ 5 πð2=2Þ 1 π33 ð2=2Þ 5 πð2=2Þ > : π1 1 π33 5 1 ð2=2Þ ð2=2Þ

8 1 33 πð2=3Þ 5 π17 > ð2=3Þ 1 πð2=3Þ > > < π17 5 0:5Uπ1 ð2=3Þ ð2=3Þ 5 0:5Uπ1ð2=3Þ > π33 > ð2=3Þ > : 1 33 πð2=3Þ 1 π17 ð2=3Þ 1 πð2=3Þ 5 1 8 1 24 > < πð3=2Þ 5 πð3=2Þ 1 π24 ð3=2Þ 5 πð3=2Þ > : π1 1 π24 5 1 ð3=2Þ ð3=2Þ 8 1 14 πð3=3Þ 5 πð3=3Þ 1 π24 > ð3=3Þ > > < π14 5 0:5Uπ1 ð3=3Þ ð3=3Þ π24 5 0:5Uπ1ð3=3Þ > > ð3=3Þ > : 1 24 πð3=3Þ 1 π14 ð3=3Þ 1 πð3=3Þ 5 1 8 1 14 > < πð4=3Þ 5 πð4=3Þ 1 π14 ð4=3Þ 5 πð4=3Þ > : π1 1 π14 5 1: ð4=3Þ ð4=3Þ

(5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

Solving the particular systems of equations, we get π1ð1=2Þ 5 0:5; π27 ð1=2Þ 5 0:5;

(5.27)

30 π1ð1=3Þ 5 0:5; π27 ð1=3Þ 5 0:25; πð1=3Þ 5 0:25;

(5.28)

π1ð1=8Þ 5 0:5; π6ð1=8Þ 5 0:5;

(5.29)

π1ð2=2Þ 5 0:5; π33 ð2=2Þ 5 0:5;

(5.30)

33 π1ð2=3Þ 5 0:5; π17 ð2=3Þ 5 0:25; πð2=3Þ 5 0:25;

(5.31)

π1ð3=2Þ 5 0:5; π24 ð3=2Þ 5 0:5;

(5.32)

24 π1ð3=3Þ 5 0:5; π14 ð3=3Þ 5 0:25; πð3=3Þ 5 0:25;

(5.33)

π1ð4=3Þ 5 0:5; π14 ð4=3Þ 5 0:5:

(5.34)

Therefore according to (3.38) and considering (5.11)(5.18), we get the approximate limit values of transient probabilities that are not equal to 0 at the particular states of the process of environment threats p1ð1=2Þ 5 0:003322259136213; p27 ð1=2Þ 5 0:996677740863787;

(5.35)

30 p1ð1=3Þ 5 0:004739336492891; p27 ð1=3Þ 5 0:426540284360190; pð1=3Þ 5 0:568720379146919;

(5.36)

p1ð1=8Þ 5 0:004149377593361; p6ð1=8Þ 5 0:995850622406639;

(5.37)

p1ð2=2Þ 5 0:000693962526024; p33 ð2=2Þ 5 0:999306037473976;

(5.38)

33 p1ð2=3Þ 5 0:000173580975525; p17 ð2=3Þ 5 0:874848116646416; pð2=3Þ 5 0:124978302378059;

(5.39)

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

101

p1ð3=2Þ 5 0:000693962526024; p24 ð3=2Þ 5 0:999306037473976;

(5.40)

24 p1ð3=3Þ 5 0:000173580975525; p14 ð3=3Þ 5 0:874848116646416; pð3=3Þ 5 0:124978302378059;

(5.41)

p1ð4=3Þ 5 0:000099196508283; p14 ð4=3Þ 5 0:999900803491717:

(5.42)

Further, by (3.40) and considering (5.35)(5.42), the approximate mean values of the sojourn total times η^ iðk=lÞ of the process of environment threats Sðk=lÞ ðtÞ during the fixed time η 5 1 month 5 43,200 minutes at the particular states siðk=lÞ expressed in minutes are 1 27 M^ ð1=2Þ 5 143:52; M^ ð1=2Þ 5 43; 056:48;

(5.43)

1 27 30 M^ ð1=3Þ 5 204:74; M^ ð1=3Þ 5 18; 426:54; M^ ð1=3Þ 5 24; 568:72;

(5.44)

1 6 M^ ð1=8Þ 5 179:25; M^ ð1=8Þ 5 43; 020:75;

(5.45)

1 33 M^ ð2=2Þ 5 29:98; M^ ð2=2Þ 5 43; 170:02;

(5.46)

1 17 33 M^ ð2=3Þ 5 7:50; M^ ð2=3Þ 5 37; 793:44; M^ ð2=3Þ 5 5399:06;

(5.47)

1 24 M^ ð3=2Þ 5 29:98; M^ ð3=2Þ 5 43; 170:02;

(5.48)

1 14 24 M^ ð3=3Þ 5 7:50; M^ ð3=3Þ 5 37; 793:44; M^ ð3=3Þ 5 5399:06;

(5.49)

1 14 M^ ð4=3Þ 5 4:29; M^ ð4=3Þ 5 43; 195:71:

(5.50)

5.2.2 Prediction of process of environment threats at world sea waters Proceedings in analogous way as in Section 5.2.1, we predict the process of environment threats within the world sea waters. The matrices of probabilities pijðk=lÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29; l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of environment threats transitions from the state siðk=lÞ into the state sjðk=lÞ are estiij mated in (4.167)(4.201). The mean values Mðk=lÞ of the conditional sojourn times ηijðk=lÞ i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29; l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of environment threats at particular states are determined, and their values are given by (4.211) and (4.214). This way, the process of environment threats for the world sea waters is approximately defined, and we may predict its main characteristics. After considering these results and applying (3.36), we conclude that the unconditional mean sojourn times of the process of environment threats at particular states are as follows: 1 7 27 Mð1=2Þ 5 1; Mð1=2Þ 5 240; Mð1=2Þ 5 3605:86;

(5.51)

1 23 27 30 Mð1=3Þ 5 154:14; Mð1=3Þ 5 240; Mð1=3Þ 5 3593:55; Mð1=3Þ 5 240;

(5.52)

1 5 13 27 35 Mð1=4Þ 5 1; Mð1=4Þ 5 300; Mð1=4Þ 5 120; Mð1=4Þ 5 2546:25; Mð1=4Þ 5 120;

(5.53)

1 3 4 7 17 27 34 Mð1=5Þ 5 1; Mð1=5Þ 5 1; Mð1=5Þ 5 1147:50; Mð1=5Þ 5 5; Mð1=5Þ 5 300; Mð1=5Þ 5 1488; Mð1=5Þ 5 15;

(5.54)

1 27 5 1; Mð1=6Þ 5 5760; Mð1=6Þ

(5.55)

1 27 30 Mð1=7Þ 5 1; Mð1=7Þ 5 2185:8; Mð1=7Þ 5 240;

(5.56)

1 3 6 7 8 21 27 5 1; Mð1=8Þ 5 40; Mð1=8Þ 5 1100; Mð1=8Þ 5 15; Mð1=8Þ 5 240; Mð1=8Þ 5 5; Mð1=8Þ 5 2648:4; Mð1=8Þ

(5.57)

1 2 33 5 1; Mð2=2Þ 5 280; 800; Mð2=2Þ 5 23; 682:13; Mð2=2Þ

(5.58)

1 17 18 33 Mð2=3Þ 5 146:91; Mð2=3Þ 5 24; 480; Mð2=3Þ 5 43; 200; Mð2=3Þ 5 11; 135:86;

(5.59)

1 33 Mð2=4Þ 5 1; Mð2=4Þ 5 31; 050;

(5.60)

102

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

1 33 Mð2=5Þ 5 1; Mð2=5Þ 5 38; 016;

(5.61)

1 33 Mð2=6Þ 5 1; Mð2=6Þ 5 12; 240;

(5.62)

1 17 33 Mð2=7Þ 5 1; Mð2=7Þ 5 1440; Mð2=7Þ 5 8640;

(5.63)

1 2 4 5 33 5 1; Mð2=8Þ 5 7200; Mð2=8Þ 5 1440; Mð2=8Þ 5 1440; Mð2=8Þ 5 12; 133:63; Mð2=8Þ

(5.64)

1 2 24 5 1; Mð3=2Þ 5 280; 800; Mð3=2Þ 5 23; 682:13; Mð3=2Þ

(5.65)

1 14 15 24 Mð3=3Þ 5 146:91; Mð3=3Þ 5 24; 480; Mð3=3Þ 5 43; 200; Mð3=3Þ 5 12; 398:05;

(5.66)

1 24 Mð3=4Þ 5 1; Mð3=4Þ 5 31; 050;

(5.67)

1 24 Mð3=5Þ 5 1; Mð3=5Þ 5 38; 016;

(5.68)

1 24 Mð3=6Þ 5 1; Mð3=6Þ 5 12; 240;

(5.69)

1 14 24 Mð3=7Þ 5 1; Mð3=7Þ 5 1440; Mð3=7Þ 5 8640;

(5.70)

1 2 3 4 24 Mð3=8Þ 5 1; Mð3=8Þ 5 7200; Mð3=8Þ 5 1440; Mð3=8Þ 5 1440; Mð3=8Þ 5 10; 497:27;

(5.71)

1 2 24 5 524:11; Mð4=2Þ 5 280; 800; Mð4=2Þ 5 35; 382:86; Mð4=2Þ

(5.72)

1 14 15 24 Mð4=3Þ 5 360:74; Mð4=3Þ 5 24; 480; Mð4=3Þ 5 43; 200; Mð4=3Þ 5 32; 230:59;

(5.73)

1 24 Mð4=4Þ 5 1; Mð4=4Þ 5 70; 765:71;

(5.74)

1 24 Mð4=5Þ 5 1; Mð4=5Þ 5 91; 440;

(5.75)

1 24 Mð4=6Þ 5 720:5; Mð4=6Þ 5 20; 880;

(5.76)

1 14 24 Mð4=7Þ 5 72:8; Mð4=7Þ 5 1440; Mð4=7Þ 5 18; 630;

(5.77)

1 2 4 24 Mð4=8Þ 5 1; Mð4=8Þ 5 7200; Mð4=8Þ 5 1440; Mð4=8Þ 5 34; 560;

(5.78)

1 24 Mð5=2Þ 5 351:32; Mð5=2Þ 5 26; 441:05;

(5.79)

1 15 24 Mð5=3Þ 5 271:02; Mð5=3Þ 5 43; 200; Mð5=3Þ 5 22; 368;

(5.80)

1 24 Mð5=4Þ 5 1; Mð5=4Þ 5 64; 260;

(5.81)

1 24 Mð5=5Þ 5 1; Mð5=5Þ 5 172; 800;

(5.82)

1 24 Mð5=6Þ 5 1440; Mð5=6Þ 5 17; 280;

(5.83)

1 24 Mð5=7Þ 5 1; Mð5=7Þ 5 11; 520;

(5.84)

1 24 Mð5=8Þ 5 1; Mð5=8Þ 5 87; 480:

(5.85)

pijðk=lÞ ;

To find the limit values of the transient probabilities i; j 5 1; 2; . . .; υk ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29; l 5 1; 2; . . .; 16 of the process of environment threats Sðk=lÞ ðtÞ at its particular states, first, we have to solve the systems of equations (3.39) 8 i ij i > < ½πðk=lÞ 1 3 υk 5 ½πðk=lÞ 1 3 υk ½pðk=lÞ υk 3 υk υk X > πjðk=lÞ 5 1; : j51

where k k ½πυðk=lÞ 1 3 υk 5 ½π1ðk=lÞ ; π2ðk=lÞ ; . . .; πυðk=lÞ 

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

103

and the elements of the matrices ½pijðk=lÞ υk 3 υk are given by (4.167)(4.201). Solving the particular systems of equations, we get π1ð1=2Þ D0:4943; π7ð1=2Þ D0:0114; π27 ð1=2Þ D0:4943;

(5.86)

27 30 π1ð1=3Þ 5 0:5000; π23 ð1=3Þ 5 0:0115; πð1=3Þ 5 0:4655; πð1=3Þ D0:0230;

(5.87)

27 35 π1ð1=4Þ 5 0:4866; π5ð1=4Þ D0:0268; π13 ð1=4Þ D0:0268; πð1=4Þ D0:4330; πð1=4Þ D0:0268;

(5.88)

π1ð1=5Þ D0:4348; π3ð1=5Þ D0:0435; π4ð1=5Þ D0:1738; π7ð1=5Þ D0:0435; 27 34 π17 ð1=5Þ D0:0435; πð1=5Þ D0:2174; πð1=5Þ D0:0435;

(5.89)

π1ð1=6Þ 5 0:5; π27 ð1=6Þ 5 0:5;

(5.90)

30 π1ð1=7Þ 5 0:5000; π27 ð1=7Þ 5 0:4375; πð1=7Þ 5 0:0625;

(5.91)

π1ð1=8Þ D0:48570; π3ð1=8Þ D0:02865; π6ð1=8Þ D0:08550; π7ð1=8Þ D0:02865; 27 π8ð1=8Þ D0:02865; π21 ð1=8Þ D0:02865; πð1=8Þ D0:31420;

(5.92)

π1ð2=2Þ D0:4943; π2ð2=2Þ D0:0114; π33 ð2=2Þ D0:4943;

(5.93)

18 33 π1ð2=3Þ 5 0:5000; π17 ð2=3Þ D0:0335; πð2=3Þ D0:0110; πð2=3Þ 5 0:4555;

(5.94)

π1ð2=4Þ 5 0:5; π33 ð2=4Þ 5 0:5;

(5.95)

π1ð2=5Þ 5 0:5; π33 ð2=5Þ 5 0:5;

(5.96)

π1ð2=6Þ 5 0:5; π33 ð2=6Þ 5 0:5;

(5.97)

33 π1ð2=7Þ 5 0:5000; π17 ð2=7Þ 5 0:4375; πð2=7Þ 5 0:0625;

(5.98)

π1ð2=8Þ 5 0:5000; π2ð2=8Þ 5 0:0355; π4ð2=8Þ 5 0:0355; π5ð2=8Þ 5 0:0355; π33 ð2=8Þ 5 0:3935;

(5.99)

π1ð3=2Þ D0:4943; π2ð3=2Þ D0:0114; π24 ð3=2Þ D0:4943;

(5.100)

15 24 π1ð3=3Þ 5 0:5000; π14 ð3=3Þ D0:0335; πð3=3Þ D0:0110; πð3=3Þ D0:4555;

(5.101)

π1ð3=4Þ 5 0:5; π24 ð3=4Þ 5 0:5;

(5.102)

π1ð3=5Þ 5 0:5; π24 ð3=5Þ 5 0:5;

(5.103)

π1ð3=6Þ 5 0:5; π24 ð3=6Þ 5 0:5;

(5.104)

24 π1ð3=7Þ 5 0:5000; π14 ð3=7Þ 5 0:4375; πð3=7Þ 5 0:0625;

(5.105)

π1ð3=8Þ 5 0:5000; π2ð3=8Þ 5 0:0355; π3ð3=8Þ 5 0:0355; π4ð3=8Þ 5 0:0355; π24 ð3=8Þ 5 0:3935;

(5.106)

π1ð4=2Þ 5 0:500; π2ð4=2Þ 5 0:023; π24 ð4=2Þ 5 0:477;

(5.107)

15 24 π1ð4=3Þ 5 0:500; π14 ð4=3Þ 5 0:068; πð4=3Þ 5 0:023; πð4=3Þ 5 0:409;

(5.108)

π1ð4=4Þ 5 0:5; π24 ð4=4Þ 5 0:5;

(5.109)

π1ð4=5Þ 5 0:5; π24 ð4=5Þ 5 0:5;

(5.110)

π1ð4=6Þ 5 0:5; π24 ð4=6Þ 5 0:5;

(5.111)

24 π1ð4=7Þ 5 0:5; π14 ð4=7Þ 5 0:1; πð4=7Þ 5 0:4;

(5.112)

π1ð4=8Þ 5 0:5; π2ð4=8Þ 5 0:1; π4ð4=8Þ 5 0:1; π24 ð4=8Þ 5 0:3;

(5.113)

π1ð5=2Þ 5 0:5; π24 ð5=2Þ 5 0:5;

(5.114)

104

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

24 π1ð5=3Þ 5 0:500; π15 ð5=3Þ 5 0:031; πð5=3Þ 5 0:469;

(5.115)

π1ð5=4Þ 5 0:5; π24 ð5=4Þ 5 0:5;

(5.116)

π1ð5=5Þ 5 0:5; π24 ð5=5Þ 5 0:5;

(5.117)

π1ð5=6Þ 5 0:5; π24 ð5=6Þ 5 0:5;

(5.118)

π1ð5=7Þ 5 0:5; π24 ð5=7Þ 5 0:5;

(5.119)

π1ð5=8Þ 5 0:5; π24 ð5=8Þ 5 0:5:

(5.120)

Therefore according to (3.38) and considering (5.51)(5.85), we get the approximate limit values of transient probabilities that are not equal to 0 at the particular states of the process of environment threats p1ð1=2Þ 5 0:000276824647437; p7ð1=2Þ 5 0:001532252145231; p27 ð1=2Þ 5 0:998190923207332;

(5.121)

27 p1ð1=3Þ 5 0:043835911892547; p23 ð1=3Þ 5 0:001569834135506; pð1=3Þ 5 0:951454585700935; 30 pð1=3Þ 5 0:003139668271012;

(5.122)

p1ð1=4Þ 5 0:000435442144920; p5ð1=4Þ 5 0:007194728411754; p13 ð1=4Þ 5 0:002877891364702; 35 p27 5 0:986614046713922; p 5 0:002877891364702; ð1=4Þ ð1=4Þ

(5.123)

p1ð1=5Þ 5 0:000809193690969; p3ð1=5Þ 5 0:000080956590518; p4ð1=5Þ 5 0:371163634671754; 27 p7ð1=5Þ 5 0:000404782952589; p17 ð1=5Þ 5 0:024286977155353; pð1=5Þ 5 0:602040106081050; p34 ð1=5Þ 5 0:001214348857767;

(5.124)

p1ð1=6Þ 5 0:000173580975525; p27 ð1=6Þ 5 0:999826419024475;

(5.125)

30 p1ð1=7Þ 5 0:000514515776340; p27 ð1=7Þ 5 0:984050010933460; pð1=7Þ 5 0:015435473290200;

(5.126)

p1ð1=8Þ 5 0:000519321952217; p3ð1=8Þ 5 0:001225330362859; p6ð1=8Þ 5 0:100560489203204; p7ð1=8Þ 5 0:000459498886072; p8ð1=8Þ 5 0:007351982177153; p21 ð1=8Þ 5 0:000153166295357; 27 pð1=8Þ 5 0:889730211123138;

(5.127)

p1ð2=2Þ 5 0:000033157381296; p2ð2=2Þ 5 0:214729428310395; p33 ð2=2Þ 5 0:785237414308309;

(5.128)

18 p1ð2=3Þ 5 0:011404073946944; p17 ð2=3Þ 5 0:127319487610230; pð2=3Þ 5 0:073775998088456; p33 ð2=3Þ 5 0:787500440354370;

(5.129)

p1ð2=4Þ 5 0:000032205081962; p33 ð2=4Þ 5 0:999967794918038;

(5.130)

p1ð2=5Þ 5 0:000026304021885; p33 ð2=5Þ 5 0:999973695978115;

(5.131)

p1ð2=6Þ 5 0:000081692672167; p33 ð2=6Þ 5 0:999918307327833;

(5.132)

33 p1ð2=7Þ 5 0:000427167876975; p17 ð2=7Þ 5 0:538231524989321; pð2=7Þ 5 0:461341307133704;

(5.133)

p1ð2=8Þ 5 0:000097410376222; p2ð2=8Þ 5 0:049796184324711; p4ð2=8Þ 5 0:009959236864942; p5ð2=8Þ 5 0:009959236864942; p33 ð2=8Þ 5 0:930187931569183;

(5.134)

p1ð3=2Þ 5 0:000033157381296; p2ð3=2Þ 5 0:214729428310395; p24 ð3=2Þ 5 0:785237414308309;

(5.135)

15 p1ð3=3Þ 5 0:010469571021354; p14 ð3=3Þ 5 0:116886335895330; pð3=3Þ 5 0:067730449245758; p24 ð3=3Þ 5 0:804913643837558;

(5.136)

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

105

p1ð3=4Þ 5 0:000032205081962; p24 ð3=4Þ 5 0:999967794918038;

(5.137)

p1ð3=5Þ 5 0:000026304021885; p24 ð3=5Þ 5 0:999973695978115;

(5.138)

p1ð3=6Þ 5 0:000081692672167; p24 ð3=6Þ 5 0:999918307327833;

(5.139)

24 p1ð3=7Þ 5 0:000427167876975; p14 ð3=7Þ 5 0:538231524989321; pð3=7Þ 5 0:461341307133704;

(5.140)

p1ð3=8Þ 5 0:000111382990928; p2ð3=8Þ 5 0:056938984962282; p3ð3=8Þ 5 0:011387796992456; p4ð3=8Þ 5 0:011387796992456; p24 ð3=8Þ 5 0:920174038061878;

(5.141)

p1ð4=2Þ 5 0:011104929242627; p2ð4=2Þ 5 0:273683291753946; p24 ð4=2Þ 5 0:715211779003427;

(5.142)

15 p1ð4=3Þ 5 0:011258403715360; p14 ð4=3Þ 5 0:103904136833938; pð4=3Þ 5 0:062018905203649; 24 pð4=3Þ 5 0:822818554247053;

(5.143)

p1ð4=4Þ 5 0:000014130938121; p24 ð4=4Þ 5 0:999985869061879;

(5.144)

p1ð4=5Þ 5 0:000010936013386; p24 ð4=5Þ 5 0:999989063986614;

(5.145)

p1ð4=6Þ 5 0:033355709358580; p24 ð4=6Þ 5 0:966644290641420;

(5.146)

24 p1ð4=7Þ 5 0:004769142078508; p14 ð4=7Þ 5 0:018866935695194; pð4=7Þ 5 0:976363922226298;

(5.147)

p1ð4=8Þ 5 0:000044513687959; p2ð4=8Þ 5 0:064099710661028; p4ð4=8Þ 5 0:012819942132206; p24 ð4=8Þ 5 0:923035833518807;

(5.148)

p1ð5=2Þ 5 0:013112688425847; p24 ð5=2Þ 5 0:986887311574153;

(5.149)

24 p1ð5=3Þ 5 0:011325246951561; p15 ð5=3Þ 5 0:111923627167956; pð5=3Þ 5 0:876751125880483;

(5.150)

p1ð5=4Þ 5 0:000015561538102; p24 ð5=4Þ 5 0:999984438461898;

(5.151)

p1ð5=5Þ 5 0:000005787003547; p24 ð5=5Þ 5 0:999994212996453;

(5.152)

p1ð5=6Þ 5 0:076923076923077; p24 ð5=6Þ 5 0:923076923076923;

(5.153)

p1ð5=7Þ 5 0:000086798021005; p24 ð5=7Þ 5 0:999913201978995;

(5.154)

p1ð5=8Þ 5 0:000011431053600; p24 ð5=8Þ 5 0:999988568946400:

(5.155)

Further, by (3.40) and considering (5.121)(5.155), the approximate mean values of the sojourn total times η^ iðk=lÞ of the process of environment threats Sðk=lÞ ðtÞ during the fixed time η 5 1 month 5 43,200 minutes at the particular states siðk=lÞ expressed in minutes are 1 7 27 M^ ð1=2Þ 5 11:96; M^ ð1=2Þ 5 66:19; M^ ð1=2Þ 5 43; 121:85;

(5.156)

1 23 27 30 M^ ð1=3Þ 5 1893:71; M^ ð1=3Þ 5 67:82; M^ ð1=3Þ 5 41; 102:84; M^ ð1=3Þ 5 135:63;

(5.157)

1 5 13 27 35 M^ ð1=4Þ 5 18:81; M^ ð1=4Þ 5 310:81; M^ ð1=4Þ 5 124:32; M^ ð1=4Þ 5 42; 621:73; M^ ð1=4Þ 5 124:32;

(5.158)

1 3 4 7 M^ ð1=5Þ 5 34:96; M^ ð1=5Þ 5 3:50; M^ ð1=5Þ 5 16; 034:27; M^ ð1=5Þ 5 17:49; 17 27 34 M^ ð1=5Þ 5 1049:20; M^ ð1=5Þ 5 26; 008:13; M^ ð1=5Þ 5 52:46;

(5.159)

1 27 M^ ð1=6Þ 5 7:50; M^ ð1=6Þ 5 43; 192:50;

(5.160)

106

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

1 27 30 M^ ð1=7Þ 5 22:23; M^ ð1=7Þ 5 42; 510:96; M^ ð1=7Þ 5 666:81; 1 3 6 7 M^ ð1=8Þ 5 22:43; M^ ð1=8Þ 5 52:93; M^ ð1=8Þ 5 4344:21; M^ ð1=8Þ 5 19:85; 8 21 27 M^ ð1=8Þ 5 317:61; M^ ð1=8Þ 5 6:62; M^ ð1=8Þ 5 38; 436:35;

(5.161) (5.162)

1 2 33 M^ ð2=2Þ 5 1:43; M^ ð2=2Þ 5 9276:31; M^ ð2=2Þ 5 33; 922:26;

(5.163)

1 17 18 33 M^ ð2=3Þ 5 492:66; M^ ð2=3Þ 5 5500:20; M^ ð2=3Þ 5 3187:12; M^ ð2=3Þ 5 34; 020:02;

(5.164)

1 33 M^ ð2=4Þ 5 1:39; M^ ð2=4Þ 5 43; 198:61;

(5.165)

1 33 M^ ð2=5Þ 5 1:14; M^ ð2=5Þ 5 43; 198:86;

(5.166)

1 33 M^ ð2=6Þ 5 3:53; M^ ð2=6Þ 5 43; 196:47;

(5.167)

1 17 33 M^ ð2=7Þ 5 18:45; M^ ð2=7Þ 5 23; 251:60; M^ ð2=7Þ 5 19; 929:94;

(5.168)

1 2 4 5 33 M^ ð2=8Þ 5 4:21; M^ ð2=8Þ 5 2151:20; M^ ð2=8Þ 5 430:24; M^ ð2=8Þ 5 430:24; M^ ð2=8Þ 5 40; 184:12;

(5.169)

1 2 24 M^ ð3=2Þ 5 1:43; M^ ð3=2Þ 5 9276:31; M^ ð3=2Þ 5 33; 922:26;

(5.170)

1 14 15 24 M^ ð3=3Þ 5 452:29; M^ ð3=3Þ 5 5049:49; M^ ð3=3Þ 5 2925:96; M^ ð3=3Þ 5 34; 772:27;

(5.171)

1 24 M^ ð3=4Þ 5 1:39; M^ ð3=4Þ 5 43; 198:61;

(5.172)

1 24 M^ ð3=5Þ 5 1:14; M^ ð3=5Þ 5 43; 198:86;

(5.173)

1 24 M^ ð3=6Þ 5 3:53; M^ ð3=6Þ 5 43; 196:47;

(5.174)

1 14 24 M^ ð3=7Þ 5 18:45; M^ ð3=7Þ 5 23; 251:60; M^ ð3=7Þ 5 19; 929:94;

(5.175)

1 2 3 4 24 M^ ð3=8Þ 5 4:81; M^ ð3=8Þ 5 2459:76; M^ ð3=8Þ 5 491:95; M^ ð3=8Þ 5 491:95; M^ ð3=8Þ 5 39; 751:52;

(5.176)

1 2 24 M^ ð4=2Þ 5 479:73; M^ ð4=2Þ 5 11; 823:12; M^ ð4=2Þ 5 30; 897:15;

(5.177)

1 14 15 24 M^ ð4=3Þ 5 486:36; M^ ð4=3Þ 5 4488:66; M^ ð4=3Þ 5 2679:22; M^ ð4=3Þ 5 35; 545:76;

(5.178)

1 24 M^ ð4=4Þ 5 0:61; M^ ð4=4Þ 5 43; 199:39;

(5.179)

1 24 M^ ð4=5Þ 5 0:47; M^ ð4=5Þ 5 43; 199:53;

(5.180)

1 24 M^ ð4=6Þ 5 1440:97; M^ ð4=6Þ 5 41; 759:03;

(5.181)

1 14 24 M^ ð4=7Þ 5 206:03; M^ ð4=7Þ 5 815:05; M^ ð4=7Þ 5 42; 178:92;

(5.182)

1 2 4 24 M^ ð4=8Þ 5 1:92; M^ ð4=8Þ 5 2769:11; M^ ð4=8Þ 5 553:82; M^ ð4=8Þ 5 39; 875:15;

(5.183)

1 24 M^ ð5=2Þ 5 566:47; M^ ð5=2Þ 5 42; 633:53;

(5.184)

1 15 24 M^ ð5=3Þ 5 489:25; M^ ð5=3Þ 5 4835:10; M^ ð5=3Þ 5 37; 875:65;

(5.185)

1 24 M^ ð5=4Þ 5 0:67; M^ ð5=4Þ 5 43; 199:33;

(5.186)

1 24 M^ ð5=5Þ 5 0:25; M^ ð5=5Þ 5 43; 199:75;

(5.187)

1 24 M^ ð5=6Þ 5 3323:08; M^ ð5=6Þ 5 39; 876:92;

(5.188)

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

5.3

107

1 24 M^ ð5=7Þ 5 3:75; M^ ð5=7Þ 5 43; 196:25;

(5.189)

1 24 M^ ð5=8Þ 5 0:49; M^ ð5=8Þ 5 43; 199:51:

(5.190)

Prediction of process of environment degradation

We assume, as in Section 4.6, that we have identified the unknown parameters of the semi-Markov model of the process of environment degradation Rðk=υÞ ðtÞ; tAh0; 1 NÞ for particular environment subareas Dk ; k 5 1; 2; . . .; n3 , while the process of environment threats SðkÞ ðtÞ is at the state sυðkÞ ; υ 5 1; 2; . . .; υk ; k 5 1; 2; . . .; n3 : G

G

G

the initial probabilities qiðk=υÞ ð0Þ; i 5 1; 2; . . .; ‘k ; k 5 1; 2; . . .; n3 ; υ 5 1; 2; . . .; υk of the process environment degradai tion staying at the particular states rðk=υÞ at the moment t 5 0; the probabilities qijðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; n3 ; υ 5 1; 2; . . .; υk of the process of environment degradaj i tion transitions from the state rðk=υÞ into the state rðk=υÞ ; the distributions of the process of environment degradation conditional sojourn times ζ ijðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; ij k 5 1; 2; . . .; n3 ; υ 5 1; 2; . . .; υk at the particular states and their mean values Mðk=υÞ 5 E½ζ ijðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; n3 ; υ 5 1; 2; . . .; υk ;

then we can predict its basic characteristics.

5.3.1 Prediction of process of environment degradation at Baltic Sea waters The matrices of probabilities qijðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23; υ 5 1; 2; . . .; υk ; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29 of the process of environment degradation transitions from j ij i the state rðk=υÞ into the state rðk=υÞ are estimated in (4.279)(4.286). The mean values Mðk=υÞ of the conditional sojourn ij times ζ ðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23; υ 5 1; 2; . . .; υk ; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29 of the process of environment degradation at particular states are determined, and their values are given by (4.287). This way, the process of environment degradation for the Baltic Sea waters is approximately defined, and we may predict its main characteristics. After considering these results and applying (3.58), we conclude that the unconditional mean sojourn times of the process of environment degradation at particular states are as follows: h i 1 2 12 Mð1=6Þ 5 E ζ 1ð1=6Þ 5 q1ð1=6Þ Mð1=6Þ 5 1U1 5 1; h i (5.191) 2 2 1 21 5 E ζ ð1=6Þ 5 q2ð1=6Þ Mð1=6Þ 5 1U240 5 240; Mð1=6Þ h i 1 6 16 5 E ζ 1ð1=27Þ 5 q1ð1=27Þ Mð1=27Þ 5 1U1 5 1; Mð1=27Þ h i (5.192) 6 6 61 61 Mð1=27Þ 5 E ζ ð1=27Þ 5 qð1=27Þ Mð1=27Þ 5 1U240 5 240; h i 1 11 1 11 5 E ζ 1ð1=30Þ 5 q1ð1=30Þ Mð1=30Þ 5 1U1 5 1; Mð1=30Þ h i (5.193) 11 11 11 1 11 1 Mð1=30Þ 5 E ζ ð1=30Þ 5 qð1=30Þ Mð1=30Þ 5 1U240 5 240; h i 1 27 1 27 5 E ζ 1ð2=17Þ 5 q1ð2=17Þ Mð2=17Þ 5 1U1 5 1; Mð2=17Þ h i 12 1 12 1 5 E ζ 12 Mð2=17Þ 5 q12 ð2=17Þ Mð2=17Þ 5 1U2880 5 2880; h ð2=17Þ i 16 12 16 12 5 E ζ 16 Mð2=17Þ 5 q16 ð2=17Þ Mð2=17Þ 5 1U3780 5 3780; h ð2=17Þ i (5.194) 21 21 16 21 16 5 E ζ 21 Mð2=17Þ ð2=17Þ 5 qð2=17Þ Mð2=17Þ 5 1U2880 5 2880; h i 25 21 25 21 5 E ζ 25 Mð2=17Þ 5 q25 ð2=17Þ Mð2=17Þ 5 1U300 5 300; h ð2=17Þ i 27 27 25 27 25 5 E ζ 27 Mð2=17Þ ð2=17Þ 5 qð2=17Þ Mð2=17Þ 5 1U240 5 240;

108

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

h i 1 6 16 Mð2=33Þ 5 E ζ 1ð2=33Þ 5 q1ð2=33Þ Mð2=33Þ 5 1U1 5 1; h i 6 6 61 61 Mð2=33Þ 5 E ζ ð2=33Þ 5 qð2=33Þ Mð2=33Þ 5 1U1440 5 1440; h i 1 27 1 27 5 E ζ 1ð3=14Þ 5 q1ð3=14Þ Mð3=14Þ 5 1U1 5 1; Mð3=14Þ h i 12 12 12 1 12 1 Mð3=14Þ 5 E ζ ð3=14Þ 5 qð3=14Þ Mð3=14Þ 5 1U2880 5 2880; h i 16 12 16 12 5 E ζ 16 Mð3=14Þ 5 q16 ð3=14Þ Mð3=14Þ 5 1U3780 5 3780; h ð3=14Þ i 21 5 E ζ 21 Mð3=14Þ 5 q21 16 M 21 16 5 1U2880 5 2880; hð3=14Þ i ð3=14Þ ð3=14Þ 25 21 25 21 5 E ζ 25 Mð3=14Þ 5 q25 ð3=14Þ Mð3=14Þ 5 1U300 5 300; h ð3=14Þ i 27 27 25 27 25 5 E ζ 27 Mð3=14Þ ð3=14Þ 5 qð3=14Þ Mð3=14Þ 5 1U240 5 240; h i 1 6 16 5 E ζ 1ð3=24Þ 5 q1ð3=24Þ Mð3=24Þ 5 1U1 5 1; Mð3=24Þ h i 6 1 61 5 E ζ 6ð3=24Þ 5 q6ð3=24Þ Mð3=24Þ 5 1U1440 5 1440; Mð3=24Þ h i 1 30 1 30 5 E ζ 1ð4=14Þ 5 q1ð4=14Þ Mð4=14Þ 5 1U1 5 1; Mð4=14Þ h i 12 1 12 1 5 E ζ 12 Mð4=14Þ 5 q12 ð4=14Þ Mð4=14Þ 5 1U2880 5 2880; h ð4=14Þ i 16 12 16 12 5 E ζ 16 Mð4=14Þ 5 q16 ð4=14Þ Mð4=14Þ 5 1U3780 5 3780; h ð4=14Þ i 21 5 E ζ 21 Mð4=14Þ 5 q21 16 M 21 16 5 1U2880 5 2880; hð4=14Þ i ð4=14Þ ð4=14Þ 28 21 28 21 5 E ζ 28 Mð4=14Þ 5 q28 ð4=14Þ Mð4=14Þ 5 1U300 5 300; h ð4=14Þ i 30 30 28 30 28 5 E ζ 30 Mð4=14Þ ð4=14Þ 5 qð4=14Þ Mð4=14Þ 5 1U240 5 240:

(5.195)

(5.196)

(5.197)

(5.198)

To find the limit values of the transient probabilities qijðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23; υ 5 1; 2; . . .; υk ; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29 of the process of environment degradation Rðk=υÞ ðtÞ at its particular states, first, we have to solve the systems of equations (3.61) 8 ij i i > > < ½πðk=υÞ 1 3 ‘k 5 ½πðk=υÞ 1 3 ‘k ½qðk=υÞ ‘k 3 ‘k ‘k X > πjðk=υÞ 5 1; > : j51

where k k ½π‘ðk=υÞ 1 3 ‘k 5 ½π1ðk=υÞ ; π2ðk=υÞ ; . . .; π‘ðk=υÞ 

and the elements of the matrices ½qijðk=υÞ ‘k 3 ‘k are given by (4.279)(4.286). The systems of equations take the forms 8 1 2 > < πð1=6Þ 5 πð1=6Þ π2ð1=6Þ 5 π1ð1=6Þ (5.199) > : π1 1 π2 5 1 ð1=6Þ ð1=6Þ 8 1 6 > < πð1=27Þ 5 πð1=27Þ π6ð1=27Þ 5 π1ð1=27Þ (5.200) > : π1 6 1 π 5 1 ð1=27Þ ð1=27Þ 8 1 11 > < πð1=30Þ 5 πð1=30Þ 1 π11 (5.201) ð1=30Þ 5 πð1=30Þ > : π1 11 1 π 5 1 ð1=30Þ ð1=30Þ

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

8 1 πð2=17Þ 5 π12 > ð2=17Þ > > > > π12 5 π16 > ð2=17Þ ð2=17Þ > > > 16 21 > π 5 π > ð2=17Þ < ð2=17Þ 25 π21 ð2=17Þ 5 πð2=17Þ > > 25 > πð2=17Þ 5 π27 > ð2=17Þ > > > 1 > π27 5 π > ð2=17Þ ð2=17Þ > > : π1 12 16 21 25 27 ð2=17Þ 1 πð2=17Þ 1 πð2=17Þ 1 πð2=17Þ 1 πð2=17Þ 1 πð2=17Þ 5 1 8 1 6 > < πð2=33Þ 5 πð2=33Þ 6 πð2=33Þ 5 π1ð2=33Þ > : π1 6 ð2=33Þ 1 πð2=33Þ 5 1 8 1 πð3=14Þ 5 π12 > ð3=14Þ > > > > π12 5 π16 > ð3=14Þ ð3=14Þ > > > π16 5 π21 > > ð3=14Þ < ð3=14Þ 25 π21 ð3=14Þ 5 πð3=14Þ > > 25 > πð3=14Þ 5 π27 > ð3=14Þ > > > 27 1 > π 5 π > ð3=14Þ ð3=14Þ > > : π1 12 16 21 25 27 ð3=14Þ 1 πð3=14Þ 1 πð3=14Þ 1 πð3=14Þ 1 πð3=14Þ 1 πð3=14Þ 5 1 8 1 2 > < πð3=24Þ 5 πð3=24Þ 2 πð3=24Þ 5 π1ð3=24Þ > : π1 2 ð3=24Þ 1 πð3=24Þ 5 1 8 π1ð4=14Þ 5 π12 > ð4=14Þ > > > 12 16 > π 5 π > ð4=14Þ ð4=14Þ > > > 16 21 > π 5 π > ð4=14Þ ð4=14Þ < 21 πð4=14Þ 5 π28 ð4=14Þ > > 28 30 > π 5 π > ð4=14Þ ð4=14Þ > > > 30 1 > π 5 π > ð4=14Þ ð4=14Þ > > : π1 12 16 21 28 30 1 π 1 π 1 π ð4=14Þ ð4=14Þ ð4=14Þ 1 πð4=14Þ 1 πð4=14Þ 5 1: ð4=14Þ

109

(5.202)

(5.203)

(5.204)

(5.205)

(5.206)

Solving the particular systems of equations, we get π1ð1=6Þ 5 0:5; π2ð1=6Þ 5 0:5;

(5.207)

π1ð1=27Þ 5 0:5; π6ð1=27Þ 5 0:5;

(5.208)

π1ð1=30Þ 5 0:5; π11 ð1=30Þ 5 0:5;

(5.209)

16 21 25 27 π1ð2=17Þ D0:1667; π12 ð2=17Þ D0:1667; πð2=17Þ D0:1667; πð2=17Þ D0:1667; πð2=17Þ D0:1666; πð2=17Þ D0:1666;

π1ð2=33Þ 5 0:5; π6ð2=33Þ 5 0:5; 16 21 25 27 π1ð3=14Þ D0:1667; π12 ð3=14Þ D0:1667; πð3=14Þ D0:1667; πð3=14Þ D0:1667; πð3=14Þ D0:1666; πð3=14Þ D0:1666;

π1ð3=24Þ 5 0:5; π2ð3=24Þ 5 0:5; 16 21 28 30 π1ð4=14Þ D0:1667; π12 ð4=14Þ D0:1667; πð4=14Þ D0:1667; πð4=14Þ D0:1667; πð4=14Þ D0:1666; πð4=14Þ D0:1666:

(5.210) (5.211) (5.212) (5.213) (5.214)

Therefore according to (3.60) and considering (5.191)(5.198), we get the approximate limit values of transient probabilities that are not equal to 0 at the particular states of the process of environment degradation

110

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

q1ð1=6Þ 5 0:004149377593361; q2ð1=6Þ 5 0:995850622406639;

(5.215)

q1ð1=27Þ 5 0:004149377593361; q6ð1=27Þ 5 0:995850622406639;

(5.216)

q1ð1=30Þ 5 0:004149377593361; q11 ð1=30Þ 5 0:995850622406639;

(5.217)

16 q1ð2=17Þ 5 0:000099199695891; q12 ð2=17Þ 5 0:285695124165349; qð2=17Þ 5 0:374974850467021; 25 27 q21 ð2=17Þ 5 0:285695124165349; qð2=17Þ 5 0:029742056392439; qð2=17Þ 5 0:023793645113951;

q1ð2=33Þ 5 0:000693962526024; q6ð2=33Þ 5 0:999306037473976; 16 q1ð3=14Þ 5 0:000099199695891; q12 ð3=14Þ 5 0:285695124165349; qð3=14Þ 5 0:374974850467021; 21 25 27 qð3=14Þ 5 0:285695124165349; qð3=14Þ 5 0:029742056392439; qð3=14Þ 5 0:023793645113951;

q1ð3=24Þ 5 0:000693962526024; q6ð3=24Þ 5 0:999306037473976; 16 q1ð4=14Þ 5 0:000099199695891; q12 ð4=14Þ 5 0:285695124165349; qð4=14Þ 5 0:374974850467021; 21 28 qð4=14Þ 5 0:285695124165349; qð4=14Þ 5 0:029742056392439; q30 ð4=14Þ 5 0:023793645113951:

(5.218) (5.219) (5.220) (5.221) (5.222)

i Further, by (3.62) and considering (5.215)(5.222), the approximate mean values of the sojourn total times ζ^ ðk=υÞ of the process of environment degradation Rðk=υÞ ðtÞ during the fixed time ζ 5 1 month 5 43,200 minutes at the particular i states rðk=υÞ expressed in minutes are 1 2 M^ ð1=6Þ 5 179:25; M^ ð1=6Þ 5 43; 020:75;

(5.223)

1 6 M^ ð1=27Þ 5 179:25; M^ ð1=27Þ 5 43; 020:75;

(5.224)

1 11 M^ ð1=30Þ 5 179:25; M^ ð1=30Þ 5 43; 020:75;

(5.225)

1 12 16 21 M^ ð2=17Þ 5 4:29; M^ ð2=17Þ 5 12; 342:03; M^ ð2=17Þ 5 16; 198:91; M^ ð2=17Þ 5 12; 342:03; 25 27 M^ ð2=17Þ 5 1284:86; M^ ð2=17Þ 5 1027:89;

(5.226)

1 6 M^ ð2=33Þ 5 29:98; M^ ð2=33Þ 5 43; 170:02;

(5.227)

1 12 16 21 M^ ð3=14Þ 5 4:29; M^ ð3=14Þ 5 12; 342:03; M^ ð3=14Þ 5 16; 198:91; M^ ð3=14Þ 5 12; 342:03; 25 27 M^ ð3=14Þ 5 1284:86; M^ ð3=14Þ 5 1027:89;

(5.228)

1 6 M^ ð3=24Þ 5 29:98; M^ ð3=24Þ 5 43; 170:02;

(5.229)

1 12 16 21 M^ ð4=14Þ 5 4:29; M^ ð4=14Þ 5 12; 342:03; M^ ð4=14Þ 5 16; 198:91; M^ ð4=14Þ 5 12; 342:03; 28 30 M^ ð4=14Þ 5 1284:86; M^ ð4=14Þ 5 1027:89:

(5.230)

5.3.2 Prediction of process of environment degradation at world sea waters Proceedings in analogous way as in Section 5.3.1, we predict the process of environment degradation within the world sea waters. The matrices of probabilities qijðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23; υ 5 1; 2; . . .; υk ; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29 of the process of environment degradation transij ij i tions from the state rðk=υÞ into the state rðk=υÞ are estimated in (4.290)(4.323). The mean values Mðk=υÞ of the condiij tional sojourn times ζ ðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23; υ 5 1; 2; . . .; υk ; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29 of the process of environment degradation at particular states are determined, and their values are given by (4.336) and (4.339). This way, the process of environment degradation for the world sea waters is approximately defined, and we may predict their main characteristics. After considering

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

111

these results and applying (3.58), we conclude that the unconditional mean sojourn times of the process of environment degradation at particular states are as follows: 1 6 22 25 28 5 1; Mð1=3Þ 5 180; Mð1=3Þ 5 120; Mð1=3Þ 5 120; Mð1=3Þ 5 300; Mð1=3Þ 1 20 21 24 27 29 30 Mð1=4Þ 5 1; Mð1=4Þ 5 20; Mð1=4Þ 5 680; Mð1=4Þ 5 920; Mð1=4Þ 5 2020; Mð1=4Þ 5 20; Mð1=4Þ 5 40;

(5.231) (5.232)

1 20 23 26 Mð1=5Þ 5 1; Mð1=5Þ 5 30; Mð1=5Þ 5 60; Mð1=5Þ 5 360;

(5.233)

1 2 17 18 19 Mð1=6Þ 5 1; Mð1=6Þ 5 1560; Mð1=6Þ 5 30; Mð1=6Þ 5 30; Mð1=6Þ 5 180;

(5.234)

1 2 6 8 10 Mð1=7Þ 5 1; Mð1=7Þ 5 15; Mð1=7Þ 5 180; Mð1=7Þ 5 120; Mð1=7Þ 5 420;

(5.235)

1 13 14 15 Mð1=8Þ 5 1; Mð1=8Þ 5 60; Mð1=8Þ 5 6; Mð1=8Þ 5 120;

(5.236)

1 6 Mð1=13Þ 5 1; Mð1=13Þ 5 120;

(5.237)

1 6 22 25 28 Mð1=17Þ 5 1; Mð1=17Þ 5 180; Mð1=17Þ 5 120; Mð1=17Þ 5 120; Mð1=17Þ 5 300;

(5.238)

1 20 Mð1=21Þ 5 1; Mð1=21Þ 5 10;

(5.239)

1 2 Mð1=23Þ 5 1; Mð1=23Þ 5 240;

(5.240)

1 6 Mð1=27Þ 5 1; Mð1=27Þ 5 2982:34;

(5.241)

1 11 Mð1=30Þ 5 1; Mð1=30Þ 5 260;

(5.242)

1 20 23 26 Mð1=35Þ 5 1; Mð1=35Þ 5 30; Mð1=35Þ 5 60; Mð1=35Þ 5 360;

(5.243)

1 5 Mð2=1Þ 5 1; Mð2=1Þ 5 600;

(5.244)

1 2 Mð2=2Þ 5 1; Mð2=2Þ 5 2880;

(5.245)

1 2 Mð2=4Þ 5 1; Mð2=4Þ 5 1440;

(5.246)

1 13 14 18 Mð2=5Þ 5 1; Mð2=5Þ 5 780; Mð2=5Þ 5 360; Mð2=5Þ 5 300;

(5.247)

1 12 16 21 25 27 5 1; Mð2=17Þ 5 2640; Mð2=17Þ 5 2145; Mð2=17Þ 5 1530; Mð2=17Þ 5 255; Mð2=17Þ 5 270; Mð2=17Þ

(5.248)

1 6 9 11 5 1; Mð2=18Þ 5 10; 080; Mð2=18Þ 5 11; 520; Mð2=18Þ 5 21; 600; Mð2=18Þ

(5.249)

1 2 6 9 5 1; Mð2=33Þ 5 246; 240; Mð2=33Þ 5 33; 935:21; Mð2=33Þ 5 5709:65; Mð2=33Þ 11 12 15 20 Mð2=33Þ 5 5051:25; Mð2=33Þ 5 14; 400; Mð2=33Þ 5 7200; Mð2=33Þ 5 10; 080; 22 23 Mð2=33Þ 5 1440; Mð2=33Þ 5 1440;

(5.250)

1 2 5 1; Mð3=2Þ 5 2880; Mð3=2Þ

(5.251)

1 5 Mð3=3Þ 5 1; Mð3=3Þ 5 1440;

(5.252)

1 13 14 18 Mð3=4Þ 5 1; Mð3=4Þ 5 780; Mð3=4Þ 5 360; Mð3=4Þ 5 300;

(5.253)

1 12 16 21 25 27 5 1; Mð3=14Þ 5 2640; Mð3=14Þ 5 2145; Mð3=14Þ 5 1530; Mð3=14Þ 5 255; Mð3=14Þ 5 270; Mð3=14Þ 1 6 9 11 5 1; Mð3=15Þ 5 10; 080; Mð3=15Þ 5 11; 520; Mð3=15Þ 5 21; 600; Mð3=15Þ 1 2 6 9 11 5 1; Mð3=24Þ 5 246; 240; Mð3=24Þ 5 16; 131:98; Mð3=24Þ 5 9983:58; Mð3=24Þ 5 2185:8; Mð3=24Þ 12 15 20 22 23 5 14; 400; Mð3=24Þ 5 7200; Mð3=24Þ 5 10; 080; Mð3=24Þ 5 1440; Mð3=24Þ 5 1440; Mð3=24Þ

(5.254) (5.255) (5.256)

1 2 5 1; Mð4=2Þ 5 2880; Mð4=2Þ

(5.257)

1 13 14 18 Mð4=4Þ 5 1; Mð4=4Þ 5 780; Mð4=4Þ 5 360; Mð4=4Þ 5 300;

(5.258)

112

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

1 12 16 21 28 30 Mð4=14Þ 5 1; Mð4=14Þ 5 2640; Mð4=14Þ 5 2145; Mð4=14Þ 5 1530; Mð4=14Þ 5 300; Mð4=14Þ 5 270;

(5.259)

1 6 9 11 5 1; Mð4=15Þ 5 10; 080; Mð4=15Þ 5 11; 520; Mð4=15Þ 5 21; 600; Mð4=15Þ

(5.260)

1 6 9 11 5 847:03; Mð4=24Þ 5 23; 281:14; Mð4=24Þ 5 7816:63; Mð4=24Þ 5 2300:69; Mð4=24Þ 24 25 26 Mð4=24Þ 5 5760; Mð4=24Þ 5 17; 282:16; Mð4=24Þ 5 29; 046:90;

(5.261)

1 5 5 1; Mð5=1Þ 5 600; Mð5=1Þ

(5.262)

1 6 9 11 Mð5=15Þ 5 1; Mð5=15Þ 5 10; 080; Mð5=15Þ 5 11; 520; Mð5=15Þ 5 21; 600;

(5.263)

1 6 9 11 5 420:64; Mð5=24Þ 5 21; 215:96; Mð5=24Þ 5 10; 749:49; Mð5=24Þ 5 27; 552: Mð5=24Þ

(5.264)

To find the limit values of the transient probabilities qijðk=υÞ ; i; j 5 1; 2; . . .; ‘k ; i 6¼ j; k 5 1; 2; . . .; 5; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23; υ 5 1; 2; . . .; υk ; υ1 5 35; υ2 5 33; υ3 5 29; υ4 5 29; υ5 5 29 of the process of environment degradation Rðk=υÞ ðtÞ at its particular states, first, we have to solve the systems of equations (3.61) 8 ij i i > > < ½πðk=υÞ 1 3 ‘k 5 ½πðk=υÞ 1 3 ‘k ½qðk=υÞ ‘k 3 ‘k ‘k X > πjðk=υÞ 5 1; > : j51

where k k ½π‘ðk=υÞ 1 3 ‘k 5 ½π1ðk=υÞ ; π2ðk=υÞ ; . . .; π‘ðk=υÞ 

and the elements of the matrices ½qijðk=υÞ ‘k 3 ‘k are given by (4.290)(4.323). Solving the particular systems of equations, we get 25 28 π1ð1=3Þ 5 0:2; π6ð1=3Þ 5 0:2; π22 ð1=3Þ 5 0:2; πð1=3Þ 5 0:2; πð1=3Þ 5 0:2;

(5.265)

21 24 π1ð1=4Þ 5 0:2500; π20 ð1=4Þ 5 0:0625; πð1=4Þ 5 0:1875; πð1=4Þ 5 0:1875; 29 30 π27 ð1=4Þ 5 0:1875; πð1=4Þ 5 0:0625; πð1=4Þ 5 0:0625;

(5.266)

23 26 π1ð1=5Þ 5 0:25; π20 ð1=5Þ 5 0:25; πð1=5Þ 5 0:25; πð1=5Þ 5 0:25;

(5.267)

18 19 π1ð1=6Þ D0:3751; π2ð1=6Þ D0:2502; π17 ð1=6Þ D0:1249; πð1=6Þ D0:1249; πð1=6Þ D0:1249;

(5.268)

π1ð1=7Þ D0:3332; π2ð1=7Þ D0:1667; π6ð1=7Þ D0:1667; π8ð1=7Þ D0:1667; π10 ð1=7Þ D0:1667;

(5.269)

14 15 π1ð1=8Þ 5 0:25; π13 ð1=8Þ 5 0:25; πð1=8Þ 5 0:25; πð1=8Þ 5 0:25;

(5.270)

π1ð1=13Þ 5 0:5; π6ð1=13Þ 5 0:5;

(5.271)

25 28 π1ð1=17Þ 5 0:2; π6ð1=17Þ 5 0:2; π22 ð1=17Þ 5 0:2; πð1=17Þ 5 0:2; πð1=17Þ 5 0:2;

(5.272)

π1ð1=21Þ 5 0:5; π20 ð1=21Þ 5 0:5;

(5.273)

π1ð1=23Þ 5 0:5; π2ð1=23Þ 5 0:5;

(5.274)

π1ð1=27Þ 5 0:5; π6ð1=27Þ 5 0:5;

(5.275)

π1ð1=30Þ 5 0:5; π11 ð1=30Þ 5 0:5;

(5.276)

23 26 π1ð1=35Þ 5 0:25; π20 ð1=35Þ 5 0:25; πð1=35Þ 5 0:25; πð1=35Þ 5 0:25;

(5.277)

π1ð2=1Þ 5 0:5; π5ð2=1Þ 5 0:5;

(5.278)

π1ð2=2Þ 5 0:5; π2ð2=2Þ 5 0:5;

(5.279)

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

113

π1ð2=4Þ 5 0:5; π2ð2=4Þ 5 0:5;

(5.280)

14 18 π1ð2=5Þ 5 0:25; π13 ð2=5Þ 5 0:25; πð2=5Þ 5 0:25; πð2=5Þ 5 0:25;

(5.281)

16 21 25 27 π1ð2=17Þ D0:1818; π12 ð2=17Þ D0:1818; πð2=17Þ D0:1818; πð2=17Þ D0:1818; πð2=17Þ D0:1818; πð2=17Þ D0:0910;

π1ð2=18Þ 5 0:25; π6ð2=18Þ 5 0:25; π9ð2=18Þ 5 0:25; π11 ð2=18Þ 5 0:25; π1ð2=33Þ D0:35610; π2ð2=33Þ D0:00285; π6ð2=33Þ D0:35330; π9ð2=33Þ D0:18230; π11 ð2=33Þ D0:09120; 12 15 20 22 23 πð2=33Þ D0:00285; πð2=33Þ D0:00285; πð2=33Þ D0:00285; πð2=33Þ D0:00285; πð2=33Þ D0:00285;

(5.282) (5.283) (5.284)

π1ð3=2Þ 5 0:5; π2ð3=2Þ 5 0:5;

(5.285)

π1ð3=3Þ 5 0:5; π2ð3=3Þ 5 0:5;

(5.286)

14 18 π1ð3=4Þ 5 0:25; π13 ð3=4Þ 5 0:25; πð3=4Þ 5 0:25; πð3=4Þ 5 0:25;

(5.287)

16 21 25 27 π1ð3=14Þ D0:1818; π12 ð3=14Þ D0:1818; πð3=14Þ D0:1818; πð3=14Þ D0:1818; πð3=14Þ D0:1818; πð3=14Þ D0:0910;

π1ð3=15Þ 5 0:25; π6ð3=15Þ 5 0:25; π9ð3=15Þ 5 0:25; π11 ð3=15Þ 5 0:25; 12 π1ð3=24Þ D0:3787; π2ð3=24Þ D0:0030; π6ð3=24Þ D0:3909; π9ð3=24Þ D0:1698; π11 ð3=24Þ D0:0426; πð3=24Þ D0:0030; 20 22 23 π15 ð3=24Þ D0:0030; πð3=24Þ D0:0030; πð3=24Þ D0:0030; πð3=24Þ D0:0030;

(5.288) (5.289) (5.290)

π1ð4=2Þ 5 0:5; π2ð4=2Þ 5 0:5;

(5.291)

14 18 π1ð4=4Þ 5 0:25; π13 ð4=4Þ 5 0:25; πð4=4Þ 5 0:25; πð4=4Þ 5 0:25;

(5.292)

16 21 28 30 π1ð4=14Þ D0:1818; π12 ð4=14Þ D0:1818; πð4=14Þ D0:1818; πð4=14Þ D0:1818; πð4=14Þ D0:1818; πð4=14Þ D0:0910;

(5.293)

π1ð4=15Þ 5 0:25; π6ð4=15Þ 5 0:25; π9ð4=15Þ 5 0:25; π11 ð4=15Þ 5 0:25;

(5.294)

24 π1ð4=24Þ D0:2305; π6ð4=24Þ D0:3842; π9ð4=24Þ D0:2307; π11 ð4=24Þ D0:0687; πð4=24Þ D0:0080; 26 π25 ð4=24Þ D0:0294; πð4=24Þ D0:0485;

(5.295)

π1ð5=1Þ 5 0:5; π5ð5=1Þ 5 0:5;

(5.296)

π1ð5=15Þ 5 0:25; π6ð5=15Þ 5 0:25; π9ð5=15Þ 5 0:25; π11 ð5=15Þ 5 0:25;

(5.297)

π1ð5=24Þ 5 0:25; π6ð5=24Þ 5 0:25; π9ð5=24Þ 5 0:25; π11 ð5=24Þ 5 0:25:

(5.298)

Therefore according to (3.60) and considering (5.231)(5.264) we get the approximate limit values of transient probabilities that are not equal to 0 at the particular states of the process of environment degradation q1ð1=3Þ 5 0:001386962552011; q6ð1=3Þ 5 0:249653259361998; q22 ð1=3Þ 5 0:166435506241331; 25 28 qð1=3Þ 5 0:166435506241331; qð1=3Þ 5 0:416088765603329;

(5.299)

21 q1ð1=4Þ 5 0:000365497076023; q20 ð1=4Þ 5 0:001827485380117; qð1=4Þ 5 0:186403508771930; 24 27 qð1=4Þ 5 0:252192982456140; qð1=4Þ 5 0:553728070175439; q29 ð1=4Þ 5 0:001827485380117; 30 qð1=4Þ 5 0:003654970760234;

(5.300)

23 q1ð1=5Þ 5 0:002217294900221; q20 ð1=5Þ 5 0:066518847006652; qð1=5Þ 5 0:133037694013304; q26 ð1=5Þ 5 0:798226164079823;

(5.301)

q1ð1=6Þ 5 0:000891687433483; q2ð1=6Þ 5 0:927849388263434; q17 ð1=6Þ 5 0:008907365537886; 19 q18 5 0:008907365537885; q 5 0:053444193227312; ð1=6Þ ð1=6Þ

(5.302)

114

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

q1ð1=7Þ 5 0:002712080724285; q2ð1=7Þ 5 0:020352814679096; q6ð1=7Þ 5 0:244233776149155; q8ð1=7Þ 5 0:162822517432770; q10 ð1=7Þ 5 0:569878811014694;

(5.303)

14 q1ð1=8Þ 5 0:005347593582888; q13 ð1=8Þ 5 0:320855614973262; qð1=8Þ 5 0:032085561497326; 15 qð1=8Þ 5 0:641711229946524;

(5.304)

q1ð1=13Þ 5 0:008264462809917; q6ð1=13Þ 5 0:991735537190083;

(5.305)

q1ð1=17Þ 5 0:001386962552011; q6ð1=17Þ 5 0:249653259361998; q22 ð1=17Þ 5 0:166435506241331; 25 28 qð1=17Þ 5 0:166435506241331; qð1=17Þ 5 0:416088765603329;

(5.306)

q1ð1=21Þ 5 0:090909090909091; q20 ð1=21Þ 5 0:909090909090909;

(5.307)

q1ð1=23Þ 5 0:004149377593361; q2ð1=23Þ 5 0:995850622406639;

(5.308)

q1ð1=27Þ 5 0:000335194781688; q6ð1=27Þ 5 0:999664805218312;

(5.309)

q1ð1=30Þ 5 0:003831417624521; q11 ð1=30Þ 5 0:996168582375479;

(5.310)

23 q1ð1=35Þ 5 0:002217294900221; q20 ð1=35Þ 5 0:066518847006652; qð1=35Þ 5 0:133037694013304; q26 ð1=35Þ 5 0:798226164079823;

(5.311)

q1ð2=1Þ 5 0:001663893510815; q5ð2=1Þ 5 0:998336106489185;

(5.312)

q1ð2=2Þ 5 0:000347101700798; q2ð2=2Þ 5 0:999652898299202;

(5.313)

q1ð2=4Þ 5 0:000693962526024; q2ð2=4Þ 5 0:999306037473976;

(5.314)

14 q1ð2=5Þ 5 0:000693962526024; q13 ð2=5Þ 5 0:541290770298404; qð2=5Þ 5 0:249826509368494; q18 ð2=5Þ 5 0:208188757807078;

(5.315)

16 q1ð2=17Þ 5 0:000149116888447; q12 ð2=17Þ 5 0:393668585500819; qð2=17Þ 5 0:319855725719415; 21 25 27 qð2=17Þ 5 0:228148839324338; qð2=17Þ 5 0:038024806554056; qð2=17Þ 5 0:020152926012925;

(5.316)

q1ð2=18Þ 5 0:000023147612324; q6ð2=18Þ 5 0:233327932223791; q9ð2=18Þ 5 0:266660493970047; q11 ð2=18Þ 5 0:499988426193838;

(5.317)

q1ð2=33Þ 5 0:000024916927851; q2ð2=33Þ 5 0:049105030314844; q6ð2=33Þ 5 0:838912565588299; 12 q9ð2=33Þ 5 0:072831403073114; q11 ð2=33Þ 5 0:032234150016616; qð2=33Þ 5 0:002871639199698; 15 20 qð2=33Þ 5 0:001435819599849; qð2=33Þ 5 0:002010147439789; q22 ð2=33Þ 5 0:000287163919970; 23 qð2=33Þ 5 0:000287163919970;

(5.318)

q1ð3=2Þ 5 0:000347101700798; q2ð3=2Þ 5 0:999652898299202;

(5.319)

q1ð3=3Þ 5 0:000693962526024; q2ð3=3Þ 5 0:999306037473976;

(5.320)

14 q1ð3=4Þ 5 0:000693962526024; q13 ð3=4Þ 5 0:541290770298404; qð3=4Þ 5 0:249826509368494; q18 ð3=4Þ 5 0:208188757807078;

(5.321)

16 q1ð3=14Þ 5 0:000149116888447; q12 ð3=14Þ 5 0:393668585500819; qð3=14Þ 5 0:319855725719415; 21 25 27 qð3=14Þ 5 0:228148839324338; qð3=14Þ 5 0:038024806554056; qð3=14Þ 5 0:020152926012925;

(5.322)

q1ð3=15Þ 5 0:000023147612324; q6ð3=15Þ 5 0:233327932223791; q9ð3=15Þ 5 0:266660493970047; q11 ð3=15Þ 5 0:499988426193838;

(5.323)

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

q1ð3=24Þ 5 0:000042373940330; q2ð3=24Þ 5 0:082657716399501; q6ð3=24Þ 5 0:705597268529304; 12 q9ð3=24Þ 5 0:189682617425731; q11 ð3=24Þ 5 0:010418940701696; qð3=24Þ 5 0:004833784584766; 15 20 qð3=24Þ 5 0:002416892292383; qð3=24Þ 5 0:003383649209336; q22 ð3=24Þ 5 0:000483378458477; 23 qð3=24Þ 5 0:000483378458476;

115

(5.324)

q1ð4=2Þ 5 0:000347101700798; q2ð4=2Þ 5 0:999652898299202;

(5.325)

14 q1ð4=4Þ 5 0:000693962526024; q13 ð4=4Þ 5 0:541290770298404; qð4=4Þ 5 0:249826509368494; 18 qð4=4Þ 5 0:208188757807078;

(5.326)

16 q1ð4=14Þ 5 0:000148122944977; q12 ð4=14Þ 5 0:391044574740492; qð4=14Þ 5 0:317723716976649; 21 28 30 qð4=14Þ 5 0:226628105815512; qð4=14Þ 5 0:044436883493238; qð4=14Þ 5 0:020018596029132;

(5.327)

q1ð4=15Þ 5 0:000023147612324; q6ð4=15Þ 5 0:233327932223791; q9ð4=15Þ 5 0:266660493970047; q11 ð4=15Þ 5 0:499988426193838;

(5.328)

q1ð4=24Þ 5 0:014944737158927; q6ð4=24Þ 5 0:684668207853979; q9ð4=24Þ 5 0:138033884146611; q11 ð4=24Þ 5 0:012098552156107; 24 25 qð4=24Þ 5 0:003527207664885; qð4=24Þ 5 0:038892325438421; q26 ð4=24Þ 5 0:107835085581070;

(5.329)

q1ð5=1Þ 5 0:001663893510815; q5ð5=1Þ 5 0:998336106489185;

(5.330)

q1ð5=15Þ 5 0:000023147612324; q6ð5=15Þ 5 0:233327932223791; q9ð5=15Þ 5 0:266660493970047; q11 ð5=15Þ 5 0:499988426193838;

(5.331)

q1ð5=24Þ 5 0:007017907978048; q6ð5=24Þ 5 0:353964565771115; q9ð5=24Þ 5 0:179343218978116; q11 ð5=24Þ 5 0:459674307272721:

(5.332)

i Further, by (3.62) and considering (5.299)(5.332), the approximate mean values of the sojourn total times ζ^ ðk=υÞ of the process of environment degradation Rðk=υÞ ðtÞ during the fixed time ζ 5 1 month 5 43,200 minutes at the particular i states rðk=υÞ expressed in minutes are 1 6 22 25 28 M^ ð1=3Þ 5 59:92; M^ ð1=3Þ 5 10; 785:02; M^ ð1=3Þ 5 7190:01; M^ ð1=3Þ 5 7190:01; M^ ð1=3Þ 5 17; 975:03;

(5.333)

1 20 21 24 M^ ð1=4Þ 5 15:79; M^ ð1=4Þ 5 78:95; M^ ð1=4Þ 5 8052:63; M^ ð1=4Þ 5 10; 894:74; 27 29 30 M^ ð1=4Þ 5 23; 921:10; M^ ð1=4Þ 5 78:95; M^ ð1=4Þ 5 157:89;

(5.334)

1 20 23 26 M^ ð1=5Þ 5 95:79; M^ ð1=5Þ 5 2873:61; M^ ð1=5Þ 5 5747:23; M^ ð1=5Þ 5 34; 483:37;

(5.335)

1 2 17 18 19 M^ ð1=6Þ 5 38:52; M^ ð1=6Þ 5 40; 083:09; M^ ð1=6Þ 5 384:80; M^ ð1=6Þ 5 384:80; M^ ð1=6Þ 5 2308:79;

(5.336)

1 2 6 8 10 M^ ð1=7Þ 5 117:16; M^ ð1=7Þ 5 879:24; M^ ð1=7Þ 5 10; 550:90; M^ ð1=7Þ 5 7033:93; M^ ð1=7Þ 5 24; 618:76;

(5.337)

1 13 14 15 M^ ð1=8Þ 5 231:02; M^ ð1=8Þ 5 13; 860:96; M^ ð1=8Þ 5 1386:10; M^ ð1=8Þ 5 27; 721:93;

(5.338)

1 6 M^ ð1=13Þ 5 357:03; M^ ð1=13Þ 5 42; 842:98;

(5.339)

1 6 22 25 28 M^ ð1=17Þ 5 59:92; M^ ð1=17Þ 5 10; 785:02; M^ ð1=17Þ 5 7190:01; M^ ð1=17Þ 5 7190:01; M^ ð1=17Þ 5 17; 975:03;

(5.340)

1 20 M^ ð1=21Þ 5 3927:27; M^ ð1=21Þ 5 39; 272:73;

(5.341)

1 2 M^ ð1=23Þ 5 179:25; M^ ð1=23Þ 5 43; 020:75;

(5.342)

116

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

1 6 M^ ð1=27Þ 5 14:48; M^ ð1=27Þ 5 43; 185:52;

(5.343)

1 11 M^ ð1=30Þ 5 165:52; M^ ð1=30Þ 5 43; 034:48;

(5.344)

1 20 23 26 M^ ð1=35Þ 5 95:79; M^ ð1=35Þ 5 2873:61; M^ ð1=35Þ 5 5747:23; M^ ð1=35Þ 5 34; 483:37;

(5.345)

1 5 M^ ð2=1Þ 5 71:88; M^ ð2=1Þ 5 43; 128:12;

(5.346)

1 2 M^ ð2=2Þ 5 14:99; M^ ð2=2Þ 5 43; 185:01;

(5.347)

1 2 M^ ð2=4Þ 5 29:98; M^ ð2=4Þ 5 43; 170:02;

(5.348)

1 13 14 18 M^ ð2=5Þ 5 29:98; M^ ð2=5Þ 5 23; 383:76; M^ ð2=5Þ 5 10; 792:51; M^ ð2=5Þ 5 8993:75;

(5.349)

1 12 16 21 M^ ð2=17Þ 5 6:44; M^ ð2=17Þ 5 17; 006:48; M^ ð2=17Þ 5 13; 817:77; M^ ð2=17Þ 5 9856:03; 25 27 M^ ð2=17Þ 5 1642:67; M^ ð2=17Þ 5 870:61;

(5.350)

1 6 9 11 M^ ð2=18Þ 5 1:00; M^ ð2=18Þ 5 10; 079:77; M^ ð2=18Þ 5 11; 519:73; M^ ð2=18Þ 5 21; 599:50;

(5.351)

1 2 6 9 M^ ð2=33Þ 5 1:08; M^ ð2=33Þ 5 2121:34; M^ ð2=33Þ 5 36; 241:02; M^ ð2=33Þ 5 3146:32; 11 12 15 20 22 23 M^ ð2=33Þ 5 1392:52; M^ ð2=33Þ 5 124:05; M^ ð2=33Þ 5 62:03; M^ ð2=33Þ 5 86:84; M^ ð2=33Þ 5 12:41; M^ ð2=33Þ 5 12:41;

(5.352)

1 2 M^ ð3=2Þ 5 14:99; M^ ð3=2Þ 5 43; 185:01;

(5.353)

1 2 M^ ð3=3Þ 5 29:98; M^ ð3=3Þ 5 43; 170:02;

(5.354)

1 13 14 18 M^ ð3=4Þ 5 29:98; M^ ð3=4Þ 5 23; 383:76; M^ ð3=4Þ 5 10; 792:51; M^ ð3=4Þ 5 8993:75;

(5.355)

1 12 16 21 M^ ð3=14Þ 5 6:44; M^ ð3=14Þ 5 17; 006:48; M^ ð3=14Þ 5 13; 817:77; M^ ð3=14Þ 5 9856:03; 25 27 M^ ð3=14Þ 5 1642:67; M^ ð3=14Þ 5 870:61;

(5.356)

1 6 9 11 M^ ð3=15Þ 5 1:00; M^ ð3=15Þ 5 10; 079:77; M^ ð3=15Þ 5 11; 519:73; M^ ð3=15Þ 5 21; 599:50;

(5.357)

1 2 6 9 11 M^ ð3=24Þ 5 1:83; M^ ð3=24Þ 5 3570:81; M^ ð3=24Þ 5 30; 481:80; M^ ð3=24Þ 5 8194:29; M^ ð3=24Þ 5 450:10; 12 15 20 22 23 M^ ð3=24Þ 5 208:82; M^ ð3=24Þ 5 104:41; M^ ð3=24Þ 5 146:17; M^ ð3=24Þ 5 20:88; M^ ð3=24Þ 5 20:88;

(5.358)

1 2 M^ ð4=2Þ 5 14:99; M^ ð4=2Þ 5 43; 185:01;

(5.359)

1 13 14 18 M^ ð4=4Þ 5 29:98; M^ ð4=4Þ 5 23; 383:76; M^ ð4=4Þ 5 10; 792:51; M^ ð4=4Þ 5 8993:75;

(5.360)

1 12 16 21 M^ ð4=14Þ 5 6:40; M^ ð4=14Þ 5 16; 893:13; M^ ð4=14Þ 5 13; 725:66; M^ ð4=14Þ 5 9790:33; 28 30 M^ ð4=14Þ 5 1919:67; M^ ð4=14Þ 5 864:80;

(5.361)

1 6 9 11 M^ ð4=15Þ 5 1:00; M^ ð4=15Þ 5 10; 079:77; M^ ð4=15Þ 5 11; 519:73; M^ ð4=15Þ 5 21; 599:50;

(5.362)

1 6 9 11 M^ ð4=24Þ 5 645:61; M^ ð4=24Þ 5 29; 577:67; M^ ð4=24Þ 5 5963:06; M^ ð4=24Þ 5 522:66; 24 25 26 M^ ð4=24Þ 5 152:38; M^ ð4=24Þ 5 1680:15; M^ ð4=24Þ 5 4658:48;

(5.363)

1 5 M^ ð5=1Þ 5 71:88; M^ ð5=1Þ 5 43; 128:12;

(5.364)

1 6 9 11 M^ ð5=15Þ 5 1:00; M^ ð5=15Þ 5 10; 079:77; M^ ð5=15Þ 5 11; 519:73; M^ ð5=15Þ 5 21; 599:50;

(5.365)

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

1 6 9 11 M^ ð5=24Þ 5 303:17; M^ ð5=24Þ 5 15; 291:27; M^ ð5=24Þ 5 7747:63; M^ ð5=24Þ 5 19; 857:93:

117

(5.366)

5.4 Superposition of initiating events, environment threats and environment degradation processes The processes of initiating event, environment threats, and environment degradation are predicted in Sections 5.15.3. Then, we may find the unconditional limit transient probabilities qiðkÞ ; i 5 1; 2; . . .; ‘k ; k 5 1; 2; . . .; n3 and the mean values of sojourn total times for the fixed sufficiently large time of the joint (the superposition) processes of initiating events, environment threats, and environment degradation.

5.4.1 Superposition of initiating events, environment threats and environment degradation processes at Baltic Sea waters Considering (5.4), (5.35)(5.42), and (5.215)(5.222) and applying (3.63), the unconditional approximate limit transient probabilities qiðkÞ ; k 5 1; 2; . . .; 5; i 5 1; 2; . . .; ‘k ; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23 at the particular states of the process of environment degradation are given by (the limit transient probabilities that are not equal to 0 are presented only) for the subarea Dk ; k 5 1     q1ð1Þ 5 p1 Up1ð1=1Þ 1 p2 Up1ð1=2Þ 1 p3 Up1ð1=3Þ 1 p8 Up1ð1=8Þ Uq1ð1=1Þ 1 p8 Up6ð1=8Þ Uq1ð1=6Þ     3 27 1 3 30 1 1 p2 Up27 1 p Up 1 p Up Uq ð1=2Þ ð1=3Þ ð1=27Þ ð1=3Þ Uqð1=30Þ

G

5 ð0:999860710821154U1 1 0:000000073830730U0:003322259136213 1 0:000128885740640U0:004739336492891 1 0:000000005112062U0:004149377593361ÞU1 1 ð0:000000005112062U0:995850622406639ÞU0:004149377593361 1 ð0:000000073830730U0:996677740863787 1 0:000128885740640U0:426540284360190ÞU0:004149377593361 1 ð0:000128885740640U0:568720379146919ÞU0:004149377593361 5 0:999872179003445;   q2ð1Þ 5 p8 Up6ð1=8Þ Uq2ð1=6Þ 5 ð0:000000005112062U0:995850622406639ÞU0:995850622406639 5 0:000000005069726;   3 27 6 q6ð1Þ 5 p2 Up27 ð1=2Þ 1 p Upð1=3Þ Uqð1=27Þ 5 ð0:000000073830730U0:996677740863787 1 0:000128885740640U0:426540284360190ÞU0:995850622406639 5 0:000054820128704;   3 30 11 q11 ð1Þ 5 p Upð1=3Þ Uqð1=30Þ 5 ð0:000128885740640U0:568720379146919ÞU0:995850622406639 5 0:000072995798125; G

(5.367) (5.368)

(5.369)

(5.370)

for the remaining subareas Dk ; k 5 2; . . .; 5 q1ð2Þ 5 0:999871085266778; q6ð2Þ 5 0:000016170471066; q12 ð2Þ 5 0:000032213681563; 21 25 q16 5 0:000042280457051; q 5 0:000032213681563; q ð2Þ ð2Þ ð2Þ 5 0:000003353578877; 27 qð2Þ 5 0:000002682863102;

(5.371)

q1ð3Þ 5 0:999871085266778; q6ð3Þ 5 0:000016170471066; q12 ð3Þ 5 0:000032213681563; 16 21 qð3Þ 5 0:000042280457051; qð3Þ 5 0:000032213681563; q25 ð3Þ 5 0:000003353578877; q27 5 0:000002682863102; ð3Þ

(5.372)

118

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

16 q1ð4Þ 5 0:999871139828532; q12 ð4Þ 5 0:000036818375059; qð4Þ 5 0:000048324117265; 21 28 qð4Þ 5 0:000036818375059; qð4Þ 5 0:000003832946714; q30 ð4Þ 5 0:000003066357371;

(5.373)

q1ð5Þ 5 1:

(5.374)

The results (5.367)(5.374) can play an essential and practically important role in the minimization of critical infrastructure accident consequences in Sections 6.3.1 and 6.3.2 and the losses mitigation. i Further, by (3.64) and considering (5.367)(5.374), the approximate mean values of the sojourn total time ζ^ ðkÞ of the unconditional process of environment degradation RðkÞ ðtÞ during the fixed time θ 5 1 month 5 43,200 minutes at pari ticular states rðkÞ expressed in minutes are 1 2 6 11 M^ ð1Þ 5 43; 194:47813; M^ ð1Þ 5 0:00022; M^ ð1Þ 5 2:36823; M^ ð1Þ 5 3:15342;

(5.375)

1 6 12 16 M^ ð2Þ 5 43; 194:43088; M^ ð2Þ 5 0:69856; M^ ð2Þ 5 1:39163; M^ ð2Þ 5 1:82652; 21 25 27 M^ ð2Þ 5 1:39163; M^ ð2Þ 5 0:14487; M^ ð2Þ 5 0:11590;

(5.376)

1 6 12 16 M^ ð3Þ 5 43; 194:43088; M^ ð3Þ 5 0:69856; M^ ð3Þ 5 1:39163; M^ ð3Þ 5 1:82652; 21 25 27 M^ ð3Þ 5 1:39163; M^ ð3Þ 5 0:14487; M^ ð3Þ 5 0:11590;

(5.377)

1 12 16 M^ ð4Þ 5 43; 194:43324; M^ ð4Þ 5 1:59055; M^ ð4Þ 5 2:08760; 21 28 30 M^ ð4Þ 5 1:59055; M^ ð4Þ 5 0:16558; M^ ð4Þ 5 0:13247;

(5.378)

1 M^ ð5Þ 5 43; 200:

(5.379)

5.4.2 Superposition of initiating events, environment threats and environment degradation processes at world sea waters Proceeding in an analogous way as in Section 5.4.1, we calculate the unconditional approximate limit transient probabilities qiðkÞ ; k 5 1; 2; . . .; 5; i 5 1; 2; . . .; ‘k ; ‘1 5 30; ‘2 5 28; ‘3 5 28; ‘4 5 31; ‘5 5 23 at the particular states of the process of environment degradation, for the particular subareas Dk ; k 5 1; 2; . . .; 5; at the world sea waters. Namely, considering (5.9), (5.121)(5.155), and (5.299)(5.332) and applying (3.63), we obtained the following results (the limit transient probabilities that are not equal to 0 are presented only): q1ð1Þ 5 0:999758661877160; q2ð1Þ 5 0:000000368024153; q6ð1Þ 5 0:000234503153208; q8ð1Þ 5 0:000000001135173; 11 q10 ð1Þ 5 0:000000003973106; qð1Þ 5 0:000000840669180; 14 q13 ð1Þ 5 0:000000001467634; qð1Þ 5 0:000000000146763; 15 qð1Þ 5 0:000000002935267; q17 ð1Þ 5 0:000000000557289; 18 qð1Þ 5 0:000000000557289; q19 ð1Þ 5 0:000000003343732; 21 q20 5 0:000000009922697; q ð1Þ 5 0:000000997227226; ð1Þ 22 qð1Þ 5 0:000000058584258; q23 ð1Þ 5 0:000000000118657; 25 q24 5 0:000001349189777; q ð1Þ ð1Þ 5 0:000000058263165; 27 q26 5 0:000000000711942; q ð1Þ 5 0:000002962351467; ð1Þ 28 qð1Þ 5 0:000000146460645; q29 ð1Þ 5 0:000000009776737; q30 5 0:000000019553475; ð1Þ

(5.380)

Prediction of critical infrastructure accident consequences Chapter | 5

q1ð2Þ 5 0:999749861320829; q5ð2Þ 5 0:000002264763052; q9ð2Þ 5 0:000018475286439; q12 ð2Þ 5 0:000013550968354; q14 ð2Þ 5 0:000000001547990; q16 ð2Þ 5 0:000010543199308; q20 ð2Þ 5 0:000000402306137; q22 ð2Þ 5 0:000000057472305; q25 ð2Þ 5 0:000001253387330;

119

q2ð2Þ 5 0:000009984221534; q6ð2Þ 5 0:000171309578824; q11 ð2Þ 5 0:000013761858129; q13 ð2Þ 5 0:000000003353979; q15 ð2Þ 5 0:000000287361526; q18 ð2Þ 5 0:000000001289992; q21 ð2Þ 5 0:000007520323982; q23 ð2Þ 5 0:000000057472305; q27 ð2Þ 5 0:000000664287985;

(5.381)

q1ð3Þ 5 0:999751944191735; q2ð3Þ 5 0:000016989451252; q6ð3Þ 5 0:000146779291559; q9ð3Þ 5 0:000042195540139; 12 q11 ð3Þ 5 0:000008832641765; qð3Þ 5 0:000013146320356; 14 q13 ð3Þ 5 0:000000003835076; qð3Þ 5 0:000000001770035; 15 qð3Þ 5 0:000000492036938; q16 ð3Þ 5 0:000009881825265; 20 q18 5 0:000000001475029; q ð3Þ ð3Þ 5 0:000000688851714; 21 qð3Þ 5 0:000007048574664; q22 ð3Þ 5 0:000000098407388; 25 q23 5 0:000000098407388; q ð3Þ ð3Þ 5 0:000001174762444; 27 qð3Þ 5 0:000000622617253;

(5.382)

q1ð4Þ 5 0:999756082711471; q6ð4Þ 5 0:000149222927982; q11 ð4Þ 5 0:000008731753325; q13 ð4Þ 5 0:000000004317380; q16 ð4Þ 5 0:000006628826921; q21 ð4Þ 5 0:000004728254167; q25 ð4Þ 5 0:000008313641854; 28 qð4Þ 5 0:000000927108660;

q2ð4Þ 5 0:000000191913748; q9ð4Þ 5 0:000032783820854; q12 ð4Þ 5 0:000008158556210; q14 ð4Þ 5 0:000000001992637; q18 ð4Þ 5 0:000000001660531; q24 ð4Þ 5 0:000000753977576; q26 ð4Þ 5 0:000023050878822; 30 qð4Þ 5 0:000000417657862;

(5.383)

q1ð5Þ 5 0:999751426543813; q5ð5Þ 5 0:000003933082185; q6ð5Þ 5 0:000084474766319; q9ð5Þ 5 0:000046093518504; q11 ð5Þ 5 0:000114072089179:

(5.384)

The results (5.380)(5.384) can play an essential and practically important role in the minimization of critical infrastructure accident consequences in Sections 6.3.3 and 6.3.4 and the losses mitigation. i Further, by (3.64) and considering (5.380)(5.384), the approximate mean values of the sojourn total time ζ^ ðkÞ of the unconditional process of environment degradation RðkÞ ðtÞ during the fixed time θ 5 1 month 5 43,200 minutes at pari ticular states rðkÞ expressed in minutes are 1 2 6 8 10 M^ ð1Þ 5 43; 189:57419; M^ ð1Þ 5 0:01590; M^ ð1Þ 5 10:13054; M^ ð1Þ 5 0:00005; M^ ð1Þ 5 0:00017; 11 13 14 15 17 18 M^ ð1Þ 5 0:03632; M^ ð1Þ 5 0:00006; M^ ð1Þ 5 0:00001; M^ ð1Þ 5 0:00013; M^ ð1Þ 5 0:00002; M^ ð1Þ 5 0:00002;

19 20 21 22 23 24 M^ ð1Þ 5 0:00014; M^ ð1Þ 5 0:00043; M^ ð1Þ 5 0:04308; M^ ð1Þ 5 0:00253; M^ ð1Þ 5 0:00001; M^ ð1Þ 5 0:05828; 25 26 27 28 29 30 M^ ð1Þ 5 0:00252; M^ ð1Þ 5 0:00003; M^ ð1Þ 5 0:12797; M^ ð1Þ 5 0:00633; M^ ð1Þ 5 0:00042; M^ ð1Þ 5 0:00084;

(5.385)

1 2 5 6 9 11 M^ ð2Þ 5 43; 189:19401; M^ ð2Þ 5 0:43132; M^ ð2Þ 5 0:09784; M^ ð2Þ 5 7:40057; M^ ð2Þ 5 0:79813; M^ ð2Þ 5 0:59451; 12 13 14 15 16 18 (5.386) M^ ð2Þ 5 0:58540; M^ ð2Þ 5 0:00014; M^ ð2Þ 5 0:00007; M^ ð2Þ 5 0:01241; M^ ð2Þ 5 0:45547; M^ ð2Þ 5 0:00006; 20 21 22 23 25 27 M^ ð2Þ 5 0:01738; M^ ð2Þ 5 0:32488; M^ ð2Þ 5 0:00248; M^ ð2Þ 5 0:00248; M^ ð2Þ 5 0:05415; M^ ð2Þ 5 0:02870;

120

Consequences of Maritime Critical Infrastructure Accidents

1 2 6 9 11 M^ ð3Þ 5 43; 189:28399; M^ ð3Þ 5 0:73394; M^ ð3Þ 5 6:34087; M^ ð3Þ 5 1:82285; M^ ð3Þ 5 0:38157; 12 13 14 15 16 18 M^ ð3Þ 5 0:56792; M^ ð3Þ 5 0:00017; M^ ð3Þ 5 0:00008; M^ ð3Þ 5 0:02126; M^ ð3Þ 5 0:42689; M^ ð3Þ 5 0:00006;

20 M^ ð3Þ

5 0:02976;

21 M^ ð3Þ

5 0:30450;

22 M^ ð3Þ

5 0:00425;

23 M^ ð3Þ

5 0:00425;

25 M^ ð3Þ

5 0:05075;

27 M^ ð3Þ

(5.387)

5 0:02690;

1 2 6 9 11 12 M^ ð4Þ 5 43; 189:46277; M^ ð4Þ 5 0:00829; M^ ð4Þ 5 6:44643; M^ ð4Þ 5 1:41626; M^ ð4Þ 5 0:37721; M^ ð4Þ 5 0:35245; 13 14 16 18 21 24 (5.388) M^ ð4Þ 5 0:00019; M^ ð4Þ 5 0:00009; M^ ð4Þ 5 0:28637; M^ ð4Þ 5 0:00007; M^ ð4Þ 5 0:20426; M^ ð4Þ 5 0:03257; 25 26 28 30 M^ ð4Þ 5 0:35915; M^ ð4Þ 5 0:99580; M^ ð4Þ 5 0:04005; M^ ð4Þ 5 0:01804;

1 5 6 9 11 M^ ð5Þ 5 43; 189:26163; M^ ð5Þ 5 0:16991; M^ ð5Þ 5 3:64931; M^ ð5Þ 5 1:99124; M^ ð5Þ 5 4:92791:

(5.389)