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Problème variationnel et commande relaxée
JOURNAL
OF MATHEMATICAL
Probkme
ANALYSIS
.4ND
34, 166-186 (1971)
APPLICATIONS
Variationnel
et Commande
RelaxCe
N. GANI” Laboratoire d’dutomatique
Thiorique, Faculte’ des Sciences de Paris, France Submitted by L. A. Zadeh
I.
IN-I-R~DUCTI~N
Soit U un ensemblequelconque. Soit E un espacede Banach reflexif dont le corps de baseest R. Soit E’ son dual topologique. Soit A C E et soit B un ouvert de E. Soit f : [0, l] x E x U --f E une application telle que 1. Pour tout {x, u} E E
U l’application fz,U : [0, l] + E definie par :
x
soit faiblement integrale. 2. 11existe a ELl([O, 11)telle que presquepartout sur [0, l] l’on ait pour tout{x,y}CEetuEU:
3. 11existe xc E E et b EU([O, 11)tels que presquepartout sur [0, l] l’on ait pour tout u E U
IIf@>x0 9u)ll < b(t) et enfin une hypothese de regularite non standard. 4. Pour tout x E E il existe un ensembleE, C [0, l] de mesure nulle tel que pour tout u E U et t E [0, l] - E, l’on ait faiblement: t+h f(T,
x,4
d7
=
f(t,
x,
u).
t
Remarquonsque les hypotheses2 et 3 sont CquivalentesB : * Ce travail a BJ effect& avecl’aide du Centre Nationaldes&udes Spatialeset de la DBBgation G&kale B la RechercheScientifiqueet Technique, Contract 66-00-461. 166
PROBLBME
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
167
RELAXiE
11 existe K EU([O, I]) telle que presque partout sur [0, l] I’on ait pour tout {x,y}CEetuEU; 2bis.
llf(t, x, 4 - f(t, Y, 411 < 40 II x - Y II ,
Sk.
Ilf(t, x, u)ll < k(t)
(!I x II + 1).
Soit maintenant l’application F : [0, I] t, x, 21E [O, l] x E x u F(,,&)
x
E -+ Eu telle que I’on ait pour
= f(t> x, u).
Presque partout sur [0, I] et pour tout x E E F(t, X) est bornCe sur U en raison de 3bis. Soit M I’espace des fonctions A valeurs dans R uniformkment bornkes et muni de la norme gence uniforme. Soit M’ son dual topologique et soit NC M’
m E No
(1). (2).
uniformiment dkfinies sur U de la convertel que
m est positif i.e. : Pour tout $ E M tel que Inf,,, l’on ait (m, q~) > 0 m est norm6 i.e. : (m, 1a) = 1.
#(u) 3 0
Soit v E EU tel que Sup,,, I/ v(u)11 < + co. Pour tout x’ E E’ soit l’application [x’, ~1 : U + R telle que pour tout u E U l’on ait :
Lx’,91b> = (x’, df4>. On a d’aprb
[2] :
Lx’,~1EMOn peut done dkfinir m * v E E de la fagon suivante : Pour tout x’ E E’
= Cm,Lx’,~1). Soit enfin I’application g : [0, I] x E t, x, m E [0, l] x E x N l’on ait :
x
N --f E
telle
que
tout
g(t, x, m) = m . F(t, x). Nous avons done d’aprhs [2] pour tout (t, x} E [0, l] x E
{g(t, x, m); m E N} = TGf(t, x, 24);u E U}. Soit w : B -+ R et semi-continue suphieurement. Considtrons le probltme d’optimisation suivant : Rendre minimum $x(l)) oh x et u sont des applications dkfinies par : x:[O,
l]+E
u : [O, I] + u
168
GANI
et vkrifiant les conditions suivantes: 1.1. x est absolument continue. 1.2. (d/dt) x(t) =f(t, I, u(t)) faiblement presque partout sur [0, 11. 1.3. x(0) EA. 1.4. X(1) E B. Ce problkme est dit problkme original, x trajectoire originale et u commande originale. Nous associonsg celui-ci le problkme suivant : Rendre minimum v(x(1)) oh N et m sont des applications dkfinies par : x : [0, l] --t E, m : [0, l] --f N,
et vkrifiant les conditions suivantes : l.lbis.
x est absolument continue.
1.2bis. (d/dt) x(t) = g(t, x(t), m(t)) fal‘bl ement presque partout sur [0, 11. 1.3bis. x(O) E A. 1.4bis. x(1) E B. Ce probkme est dit problkme relax& x trajectoire relaxke et m commande relaxke. Le but de cet article est de dkmontrer que toute trajectoire relaxke peut &tre approximke uniformkment par une trajectoire originale. Le problkme original ne peut done avoir de solution que si le probltme relax& en posskdeet telle que la trajectoire qui lui correspond soit aussiune trajectoire originale. Deux contre exemplessont don&s pour justifier la nCcessitCdes conditions (a) B est ouvert. (b) la condition 4 surf.
II. APPROXIMATION
UNIFORME D'UNE TRAJECTOIRE REL&E PAR DES TRAJECTOIRES ORIGINALES
Pour obtenir le rksultat annonck nous avons besoin de quelques lemmes: LEMME
1. g vkrife les conditions 2 et 3 auxquelles est soumis f.
Dt!monstration. 11suffit de vkrifier les conditions 2bis et 3bis. Soit B’ la boule unit6 de E’. Presquepartout sur [0, l] pour tout {x, m} E E x N on a :
IIg(4 x, Ml = II m *WY 411= fj;;, W, m - F(t, xl>
= :;; 04 Lx’,W, 91) B ,Sy Ilfk x, 4ll G WI (IIx II + 1).
PROBLhXE
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
169
RELAXiE
De m&me presque partout sur [0, 11, pour tout {x, y} C E et tout m E N on a :
IIg(t, *, m) - g(t, y, 411 = IIm - {(t, 4 - F(4 r)>ll = fq, W, m *P(t, 4 - F(t, y)D = ,S.yg Cm, b’, W, 4 - JTt, r)l>
d 2; Ill% x, 4 -fkY,
4 < W) II3 -Y II *
LEMME II. Soit x0 E A alors il existe une application z : [0, l] -P R telle que pour toute solution (x, m) vhiJiant 1. Ibis-1.2bis et telle que r(O) = x,, Z’on ait pour tout t E [0, l] :
II+)ll < 49,
(2.1)
et
Dkmonstration.
En effet on a pour tout x’ E B’ et tout t E [0, l]
(x’, .r(t)> = Cx’, s> +
t (x’, g(T, X(T), m(d)> d7. s0
Or, d’aprh le Lemma 1 presque partout sur [0, I] on a :
(x’, gb, 43, m(4)> < IIx’ IIIIAT, 44 m(d>ll ,< 47) (II MII + 1). D’oh pour tout t E [0, l] on a : (~‘3 x(t)> < II xo II + j-” k(7) (II x(~)ll + 1) dr. 0
Or pour tout t E [0, I] on a :
IIx(t>ll = sup. X’EB’
D’oti pour tout t E [0, l] on a : II #II
G II xo II + j-1 4~) (II 441 + 1) dT.
GANI
170
Done d’aprks le lemme de Gronwall on a : 11 existe une application z : [O, l] --, R telle que tout t E [0, I] I’on ait :
IIx@ll < ~0) = II ‘r,,II + ( 4~) (4~) + 1)dT. Remarque.
Soit u : [0, 1] -+ R l’application
dkfinie par :
u(t) = k(t) (z(t) + 1). On a done presque partout sur [0, l] d’aprks le Lemme 1, (2.1) et (2.2) :
II& 4th +>I LEMME III.
< w (II w
+ 1) G W) (40 + 1) = 4).
(2.3)
Duns les mhes conditions que duns le Lemme II on a:
II 4 + 4 - 4t)lI d f:,h U(T) dT = z(t + h) - z(t)
(2.4)
pour tout intervalle [t, t + h] C [0, 11.
[t,
Dbmonstration. En effet on a pour t + h] C [0, l] d’apr6.s (2.3) : (X’, X(t + h) - X(t)) = 1;
Or pour tout intervalle [t,
t
(X’,
g(T,
tout x’ E B’
X(T), $7)))
et tout
d7 < ,:‘”
intervalle
U(T)
dT.
+ h] C [0, I] on a :
II 4 + 4 - 4t)ll = z;, (x’, 4 + 4 - w. D’oti le rksultat. LEMME IV. Dans les m&es conditions que duns le Lemme II pour tout x’ E B’ soit p : [O, l] + R l’application dt@aie par : l-4) = s,;; w, f(t, 4th aAlors p EL1([O, 11). En effet soit Q la classe des applications u : [0, l] -+ U Dhonstration. telles que les deux conditions suivantes soient v&if&s (i)
{u(t); t E [0, l]} est un ensemble fini;
(ii)
Pour tout OLE U u-l(a) est un ensemble mesurable.
PROBLhE
Considerons
VARIATIONNEL
maintenant le probkme
ET
COMMANDE
d’optimisation
RELAXBE
171
suivant :
Rendre maximum la quantite $ (x’, f(7, X(T), U(T))) do sachant que l’application u E 42. En effet pour tout u E ‘?Xsoit /3 : [0, I] - E l’application definie par : B(t) = f(4 x(t), 4));
BEJWO,11,E) esPace des fonctions
dkfinies sur a valeurs dans E et Bochner integrable. En effet, soit (a,; p E N n [1, A]} les diverses valeurs que prend lorsque t d&it l’intervalle [0, I]. Soit {A,; p E N n [I, A]) defini par : Pour tout Penn [l,k] A, = u-y”,).
Pour toutp EN n [l, k] A, est mesurable et on a pour tout t E [0, l] tvidemment :
11 s&it done de demontrer que pour tout u E U l’application y : [0, l] + E dCfinie par : y(t) = f(C -w> 4 est Bochner integrable sur [0, I]. En effet soit {yp; p E N} la suite d’applications dkfinies par : yD : [0, I] -+ E telles que :
r&) =f (4 x (y
, u)
oh pour tout 7 E R[T~ designe la par-tie entiere de T. D’oti presque partout sur [0, I] on a : 1;: %I(~) = y(t) car d’aprb 1.1 bis x est continue et f est continue en x d’aprb partout sur [0, l] et enfin pour tout 7 E R on a :
(2) presque
lim IIp7Ti = 7. pm P Par ailleurs presque partout sur [0, I] on a pour tout p EN d’apres 3bis (2.2) et (2.3) :
172
CAN1
Done d’apres le theoreme de la convergence majoree de Lebesgue il suffit de demontrer que pour tout p E N, yp est fortement mesurable. Or pour tout Q EN n [l, p] et t E [(q - 1)/p, q/p[ C [0, l] on a :
p)
+$).
Done il suffit de demontrer $ : [0, l] + E definie par :
que pour tout {x, U> E E $(t) =“f(t,
U l’application
x
Jc, 4
est fortement mesurable. Or d’apres l’hypothese 1 # est faiblement mesurable, done d’aprts le theoreme de Pettis il suffit de demontrer qu’il existe un ensemble H de mesure nulle tel que l’ensemble {4(t); t E [0, l] - H} soit separable. Soit maintenant {t,; p E N} une suite de points partout dense dans [0, 11. Soit (5,; p E N} la suite de vecteurs de E engendree par :
Soit 4 le sous espace de Banach de L? engendre par (5,; p E Nl. Soit [ : [0, l] -+ E l’application definie par : c(t) = @T, t(t) existe d’aprts l’hypothtse 3bis (2.3) et (2.4) :
x, u) dT = s: #(T) dr.
1. Or pour tout [t, t + h] C [0, l] on a d’aprb
= (II *II + 1)w + 4 - 44)> done 5 est continue sur [0, l] done {c(t); t E [0, l]} C E. D’oh [t, t + h] C [0, l] on a : 1 tfh #J(T) dT E E. st h
pour tout
Or d’apres l’hypothese 4 il existe un ensemble H de mesure nulle tel que pour tout t E [0, l] - H on ait faiblement :
e-h 1 st f(~, x, u) d7 = limjr&o -h t
t+h
‘k)
dT.
PROBLkME
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
173
RELAXkE
D’oh
{W); t E LO,11- fq c 5. Or t est ¶ble Cvidemment. D’oh /3 EL~([O, I], E). Done i’application 7 : u E%-+R dkfinie par:
est bien dkfinie sur 9. Par ailleurs 7 est uniformtment born&e sur @ par Ji U(T) dr Cvidemment, en effet on a pour tout u E @ et x’ E B’ :
h’
j-’ K(T) (Z(T) + 1) dT = f:
U(T)
d7.
0
Done on peut construire
une suite {u,; p E N} C !2 telle que l’on ait :
Soit maintenant {rip; p E N} Q,; [0, I] -+ R telles que :
la suite
d’applications
dkfinies
par :
771(t) =f(tt 4th WD et pour tout p EN I’on ait : 779+1(t) = SuPhI,(
WY f(t, x(t), %+$)))I.
Pour tout p EN Q est Cvidemment mesurable. De plus soient {Ap,; p E N et n E N n [l, p]}, les ensembles dkfinis par :
A,, = {t ELO,11;G> = h’, f@,4th MN>I. On a tvidemment
pour tout p E N
u neNn[l
A,, = [O,11. ,P]
Pour toutpEN et nENn[l,p] A,, est mesurable Cvidemment. Soient maintenant {BDn; p E N et n E N n [I, p]} les ensembles Cvidemment mesurables d&finis par : pour tout p E N
174
GANI
et pour tout p E N et 11EN n [2, p], %,=4,-
u qsNn[l
A,, . p-l]
Soit enfin (ag; p E N} C @ la suite d’applications dtfinies par : wp : [O, l] -+ u telles que pour tout p E N, n E N (7 [ 1, p] et t E B,, l’on ait : V&J = %(4* On a done pour tout p E N et t E [0, l] Q)
= w, f(4 x(t), %m
et par ailleurs on a pour tout p E N et t E [0, l] %(O d 1)9+1(t) et
I%@)I = I
40 = li$x’,
f(t, x(t), %O))>;
(ii)
v EWO,
11);
(iii)
1’ F(T) dr = lim pco j-’ (~‘3 AT, X(T), 4~))) 0
0
>, ;z
1: (X’, f(T, X(T), u&))>
> f:t Or, d’aprb
dT dT
j-’ (X’, f(T, X(T), u(T))) dT. 0
la definition mgme de la suite {er,; p E N} C @ on a done :
:t$ ,: (X’, f(T, X(T), u(T))) dT 3 1;: ,: (X’, f(T, X(T), v,(T))> A. D’ou on a : 1
I
'J'(T) 0
dT
=
%l
j-1 (X's
f(T,
X(T),
U(T))>
dT.
PROBLkME
VARIATIONNRL
ET
COMhIANDE
175
RELAXhE
Pour tout u E U et [t, t + h] C [0, l] soit {w,;p E N} la suite d’applications definies par : w 9 : [0, l] -+ U telles que tout p EN l’on ait : W,(T) =
si
W,(T)
=U On a done d’aprb (1) (2)
si
\j
7
E It,
t
+ A[.
la definition de {wp; p E N}
{w~,;P EWC% Pour tout T E [0, I] et p EN on a : w, f(T, 44
(3)
7 E [O, t] u [t + A, 11
Pour tout
W&9
7
wll+1 (TN> 3 WI f(T, 44, %(‘N> ;
E [0, I] on a :
44, f%(T))) = 7x4 = @‘AT,
D’oh d’aprb
44, u)>
si
7 E [Q tl u [t + h, 11;
si
7 E It,
t
+ h[.
le theoreme de Beppo-Levi on a :
D’oh pour tout [t, t + h] C [0, l] on a :
Par ailleurs il existe une suite {t,; p E N} partout dense dans [0, 11. Done il existe un ensemble F de mesure nulle tel que pour tout t E 10, I] -F et p E N l’on ait :
Or on a par ailleurs presque partout sur [0, l] d’apres 2bis et (2.4) pour tout p E N
176
GANI
D’oti presque partout sur [0, l] on a :
+‘, f(T, X(T), u)> = (X’, f(‘-, x(b), u)> + 2 h’,f(T, dt,), u)> - k(T) (1z(T) - @,)I). D’oh pour tout u E U et [t, t + h] C [0, l] on a :
s:,h q,(T) dT > 5:‘”
(X’,f(T,
x(T),
24))dT
3 5:‘” (X’,f(T, .r(&,), U)) dT - jrh
k(T)
(I
Z(T)
- z(t,)l (27.
Mais par ailleurs il existe un ensemble G de mesure nulle tel que tout t E [0, l] - G et p EN l’on ait : t+h
D’oti presque partout sur [0, l] on a pour tout u E U :
v(t) 3 W,f(t, w,
u>>- k(t) (I 40 - 44Jl)
> W,f(t, +>, 4) + @‘,f(C .$t,), 4 -f(4
x(t), 4)
- 40 (I z(t) - %)I) > W,f(tr w, 4) - 2W) (I z(t) - .&)I)’ D’oti presque partout sur [0, l] on a : F,(t) 2 2;
4th 4) - Wt)
;;i I 4) - @p)l .
Or la suite {t,; p EN} est partout dense sur [0, l] et z est continue sur [0, 1] done presque partout sur [0, l] on a : v(t) 3 ;;;
x(t), a.
Or on a presque partout sur [0, I] v(t) = 5:
%(W
< z,u, (x’, f(t, .z.(O,4).
D’oti on a presque partout sur [0, l] P(t) = t;g W,f(4 D’oti le rksultat.
x(t), 4).
PROBLhIE
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
177
RELAXiE
Dans les m&mes conditions que dans le Lemme II pour tout E > 0 LEMME V. il existe n E N et une suite (us; p E N n [ 1, n]} C 4? telle que l’on ait: /’ jlg(~,
X(T), m(7)) dr - f
0
y ff(~, y=1 0
(2.5)
X(T), Q(T) dr I/ < c.
En effet, on a presquepartout sur [0, l] pour tout R’ E B’
Dbmonstration.
D’oti d’aprks le Lemme IV pour tout x’ E B’ on a : ,: b’, g(T, x(‘-), m(T))>dT 6 1; “,;; (X’, f(T, X(T), U)) dT et d’aprb la dimonstration du Lemme IV on a :
&II ,: (x’, f(~, x(T), u(T))>dT = 1; p)(T)dT = j-1 %f: +‘, f(T> x(T), U)>dT. D’oh on a pour tout x’ EB’
D’oh le rhltat. LEMME VI. Dans les m&mes conditions E > 0 il existe u E ql telle que l’on ait:
/I 1: dT, x(T>, m(T)) dT - /;J(TI
que dans le Lemme II pour
X(T), U(T)> dT 11< E.
tout
(2.6)
Dbmonstration. D’aprks (2.5) il suffit de dkmontrer la proposition suivante : Pour tout E>O tout nEN et toute suite {u,;p~Nn[l,n]}C% il existe u E @ telle que l’on ait : ii k i zJ=l
fj(i,
X(T),
UP(T))
dT - ffcT,
0
Y(T),
U(T))
dT 11< E
(2.6bis)
0
le cas n = 1 est trivial. 11suffit done de dkmontrer ce rksultat pour n > 2. Pour ceci considkronsI’application h : R -+ R dkfinie par : (i) h est pkriodique de phiode n. (ii) h(T) = 1 pour o,
178
GANI
On a Cvidemment pour tout T E R et p E N f h(n%--)=l. q=l
Soit maintenant Ll([O, 11, E) 1’esp ace des fonctions definies sur [0, l] a valeurs dans E et Bochner integrables muni de la norme de la convergence en moyenne i.e. Si z/ EU([O, 11, E) alors 11I,LI/ = r: // tj(~)Ij d7. Pour tout {p, 4) C N soit l’operateur TDq : Ll([O, 11, E) -+ E defini par : G,(4)
= j: YnpT - 4 RT) dT,
alors pour tout 4 E N lii
T&,b) = + j’ $(T) d7. 0
En effet on a pour tout {p, 4) C N
Done d’aprks le theoreme de Banach-Steinhaus il suffit de demontrer ce resultat pour les fonctions {+&+ x E E et t E [0, I]} definies par : &t : [0, l] + E telles que l’on ait : &,k)
= x3 =Z 0,
si si
T E 10, t]; 7 E]t, 11.
Or pour tout {p, 4) C N, x E E et t E [0, l] on a : ~,,,(I/&.,)
= x j:
h(tZ*T
- 4) dT = ;
Is’-”
h(T) dT.
OronapourtoutpENettE[O,l] j,“‘”
h(T)
dT - 4 < I;;-”
Et
D’oul’onapourtoutqEN,xEEettE[O,l]:
h(T)
dT < Q + J;”
h(T)
dT.
PROBLBME VARIATIONNEL ET COMMANDE RBLAXkE
179
Introduisons maintenant la suite de fonctions {wB; p EN) C 4 dkfinie par v, : [0, I] -+ U telle que l’on ait pour tout t E [0, l] et p E N v*(t) = u*(t)
q = [n*tn mod 12.
oh
D’oh on a : fk
x(t), fJ*(t>) = f f(t, x(t), @>> wt
- a).
Q=l
Or d’aprks la dtmonstration du Lemme IV la suite {#Q; 4 EN n [I, n]} dkfinie par : t,h,: [0, I] + E telle que tout t E [0, I] et QE N n [l, n] #a(t) = fk
4th UQW
est in&se dans Ll([O, 11,E). Done en appliquant le rtsultat prkliminaire on a :
D’oh le rksultat.
Soit f sutisfaisant aux hypothbes (l), (2), (3) et (4) toute relaxke est la limite unzjorme de trajectoires originales.
T&O&ME. trajectoire
Soit n EN, soit une suite (t,; p EN n [I, n]} telle que
Dhonstration.
I’on ait : t, = 0,
t, = 1
et telle que pour tout p E N n [l, n - l]
(9 4t*+J (ii)
41) 4t*)
-
40)
= 71
tp+l > t, .
L’on a pour tout p EN n [ 1, n - l] d’aprks (2.4)
4) - 4v n
= Z(tp+l) - x(t,)
= f:”
O(T) d7 > r::”
h(T)
dT.
(2.7)
Par des dkmonstrations analoguesk cellesdes LemmesI, II, III, IV, V et VI on a le rksultat suivant : Pour tout p E N n [I, n - I] soit 4ZDla classe des applications vo; [tp , t,+J -+ U telles que les deux conditions suivantes soient satisfaites (i) (v,(t); t E [tl, , tp+J} est un ensemblefini; (ii) Pour tout 01E U TJ;‘(~) est un ensemblemesurable.
180
GANI
Alors il existe ‘i!, E ‘?/, tel que l’on ait : !! j:;;kT,
.rtT), m(T)) dT - J‘::;‘flT,
x(T), v,(T)) dT 11d $.
(2.8)
Soit maintenant l’application u, E J1/dkfinie par : Pour tout p E N n [l, n - 21 et tout t E [tl, , t,+J on a : %l(t) = %(O et pour tout t E [tndl , I] on a : &t(t) = %-l(t)* Done pour tout p E N n [ 1, n - I] on a d’aprb
(2.8)
Soit maintenant l’application x, : [0, l] + E dkfinie par : (9
x, est absolument continue
(ii)
d - ~(0 dt
(iii)
xJ0) = x(O).
D’aprks
= f(4 x,(t), h(t))
(2.4) et (2.7) on a pour
tout
p E
N
n
[l, n - l] et
t E [tP, t,,,]
II .%(t>- Nil d II&z(t)- %&II + II “7&J - %J + IIaJ - WI < 11%z(tg)- +,)ll + 2 ,I, u(T)dT
< I/q&,) - &,)ji + 2 j::” ~(7)dT < II%&J - 4tJl + ; Ml) - 4w Par ailleurs on a d’aprb
(2.10)
(iii)
II x7&) - x(t,)ll = II 40) - Eli = 0.
(2.11)
EtpourtoutpENn[l,n-l]ona:
II%(t,+d - 4t,+,)ll < II%&J - 4b)ll + IlM~p+J - %z(b)>- Mb+d - 4t,Nll *
PROBLfiME
VARIATIONNEL
Or pour tout p E N n [ 1, n -
Et d’aprks I.lbis
ET
COMMANDE
l] on a d’aprh
181
RELAXiE
(i) et (ii)
et 1.2bis on a :
LY(~,+~)- x&J = f”+‘g(~, b
X(T), m(~)) d7.
D’oti on a d’aprks (2bis), (2.7), (2.9) et (2.10) pour toutp EN n [I, n - l] :
d II3C,M - +Jll
(1 +
41) - 40) n ) + 2(zu) -n;(oJJ2 + l . (2.12)
D’oh d’aprhs (2.11) et (2.12) on a pour tout p EN n [I, n] ,, %&
> _
P
x(t
)I, <
9 -.
X4)
< 2@(l)
-
4w2
n2 - 4m2 n
+
l p-1 x(1+
q=o
+ l exp(z(l)
z(1) - Z(0) q n
1
- q))) .
D’oh en posant M = (2(x(I) - ~(0))~ + l} exp(z(1) - x(O)) + 2(2(l) - z(0)) on a pour tout t E [0, l]
D’oii le rksultat.
182
GANI
III. I.
CONTRE EXEMPLE
B n’est pas ouvert. Soit le Probleme defini par :
E = R,
u = IO, 11,
A = (0)
et
B = (0) u (1).
Rendre minimum x(1) oh x et u verifient :
; x(t) = u(t). On a, en choisissantu(t) = 1 pour tout t E [0, l] : x(t) = t. Et en particulier, on a : X(1) = 1 E B. C’est la seule trajectoire originale. En effet, supposonsqu’il en existe une autre, on a : X(1) = X(0) + 1’ 24(T)dT > 0. 0
D’oti necessairementon a :
0 = X(1) - 1 = X(0) + j: (U(T)- 1) do = j;
(u(T)
- 1)dT.
Or pour tout t E [0, l] on a : U(T)
< 1.
D’ou presquepartout sur [0, l] on a : u(t) = 1. D’oti la contradiction. ConsidCronsmaintenant le probleme relax6 associe.11peut etre parametrise de la maniere suivante : lJ = [O, 11,
E = R,
A = (0)
Rendre minimum x(1) oh x et u verifient
$ x(t) = u(t).
et
B = (0) LJ (1).
PROBLeME
Maintenant
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
183
RELAXI%
on peut choisir u(t) = 0 pour tout t E [0, I] on a done : x(t) = 0
et en particulier
on a : X(1) = 0 E B.
Cette trajectoire relaxee ne peut &tre approximee uniformement trajectoires originales.
par des
II. f ne verifie pas la condition 4. Soit le probleme defini par : U = [0, I], E = R, A = (0) et B = R. Soit IC [0, I] tel que X,(I) = 0 et X*(I) = 1.’ Soit l’application p : [0, l] -+ R definie par p)(t) = --
1
si
t EI;
2
si
t E [O, l] - I.
Soit I’application f : [0, 11 x
R
R definie par :
x [0, l] +
f(t, x, u) = 0 = y(t)
si
t f 24;
si
t = u.
La condition 4 n’est pas vCrifiCe car E, = Rendre minimum x(l) oh x et u verifient
[0, 11.
Choisissonsu E 6%tel que l’on ait : u(t) = 1 = 0
si
t = 0;
si
t EIO, I].
D’oti on a pour tout t E [0, I] : 4) f t. D’oti on a pour tout t E [0, I] : x(t) = 0. Et en particulier x(l) = 0. 1 h,(Z) Lebesgue
et A*(I) dhignent de l’ensemble I.
respectivement
la mesure
indrieure
et extkrieure
de
184
GANI
Cette trajectoire rend minimum la quantitk X( 1). En effet, sinon il existerait une trajectoire x et une commande u telles que l’on ait : X(1) < 0. nlais alors on aurait done 0 > X(l) - x(0) = j$
X(T), u(.r))
dr.
Or la quantitCf(t, &y(t), u(t)) ne prend que les valeurs (0, - 1, - 2) lorsque t dkrit [0, 11. Soient done {A,, A, , A,} les ensembles mesurables dkfinis par :
4 = (7E LO,11;fb, 4444)
= - P3
pour
p = 0, 1 et 2.
On a done : (i)
A,
(ii)
h(A,
U A,
U A,
U AJ
>
[0, 11;
=
0.
D’oh on a :
t E A, u A, 3 f(t, x(t), u(t)) f 0 * u(t) = t 3 f(t, x(t), u(t)) = q(t). D’oh on a : (i)
t E A, * p)(t) = -
1
(ii)
t E A, 3 p)(t) = - 2.
D’oh on a : (i) (ii)
A,CI -4, C [0, l] - I.
D’oti on a :
0 = &c(I) + h*([O, 11- 1) > h(A,) + X(A,) t X(A, u A*) > 0. D’oh la contradiction. ConsidCrons maintenant le problkme paramCtris6 de la man&e suivante :
u = LO,11,
E = R,
relax& associk. Celui-ci
A = (0)
Rendre minimum x(1) oti N et u vkifient 1 x(t) = ql(t) - u(t).
et
B =R.
peut ttre
PROBLkME
Choisissons
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
RELAXBE
185
u tel que l’on ait : u(t) = 1 =$
si
fEl;
si
t E [O, l] - I.
D’ou on a pour tout t E [0, I] s(t) = - t. Et en particulier x(l) = - 1. Done, on a deja : Cette trajectoire relaxee ne peut &tre approximee uniformement par des trajectoires originales. Par ailleurs cette trajectoire rend minimum la quantite. En effet sinon il existerait une trajectoire x et une commande v telles que l’on ait : x(1) < - 1. Mais alors on aurait done : 1; p)(~) U(T) dr = - 1 > x( 1) = X( 1) - x(O) = ,: T(T) V(T) d7. D’oh on aurait : ’ V(T) (u(r) - V(T)) dr > 0.
s 0
D’oh il existerait un ensemble PC [0, l] de mesure h(P) > 0 tel que pour tout t E P l’on ait : p;(t) 04) - 40) > 0. Done pour tout t E P n I 0 > u(t) - v(t) = 1 - v(t) > 0. Done on a : PnI=$. D’oh on a : [O, I] - 13 P. D’ou on a : h(P) = 0. D’oh la contradiction.
186
GANI BIBLIOCRAPHIE
1. N. BOLJRBAKI, “Integration,” Ch. I-IV, Hermann, 1965. 2. N. Gun, Sur un theorbme de representation, C. R. Ad. SC. Paris Sm. A 268 (1969), 1083-1086. 3. E. J. MCSHANE, Relaxed controls and variational problems, SIAM /. Control 3 (1967), 438-485. 4. J. WARGA, Relaxed variational problems, J. Math. Anal. Appl. 4 (1962), 111-128. 5. J. WARGA, Variational problems with unbounded controls, SIAM J. Control 3 (1965), 424-438. 6. K. YOSIDA, “Functional Analysis,” Springer Verlag, 1965.
OF MATHEMATICAL
Probkme
ANALYSIS
.4ND
34, 166-186 (1971)
APPLICATIONS
Variationnel
et Commande
RelaxCe
N. GANI” Laboratoire d’dutomatique
Thiorique, Faculte’ des Sciences de Paris, France Submitted by L. A. Zadeh
I.
IN-I-R~DUCTI~N
Soit U un ensemblequelconque. Soit E un espacede Banach reflexif dont le corps de baseest R. Soit E’ son dual topologique. Soit A C E et soit B un ouvert de E. Soit f : [0, l] x E x U --f E une application telle que 1. Pour tout {x, u} E E
U l’application fz,U : [0, l] + E definie par :
x
soit faiblement integrale. 2. 11existe a ELl([O, 11)telle que presquepartout sur [0, l] l’on ait pour tout{x,y}CEetuEU:
3. 11existe xc E E et b EU([O, 11)tels que presquepartout sur [0, l] l’on ait pour tout u E U
IIf@>x0 9u)ll < b(t) et enfin une hypothese de regularite non standard. 4. Pour tout x E E il existe un ensembleE, C [0, l] de mesure nulle tel que pour tout u E U et t E [0, l] - E, l’on ait faiblement: t+h f(T,
x,4
d7
=
f(t,
x,
u).
t
Remarquonsque les hypotheses2 et 3 sont CquivalentesB : * Ce travail a BJ effect& avecl’aide du Centre Nationaldes&udes Spatialeset de la DBBgation G&kale B la RechercheScientifiqueet Technique, Contract 66-00-461. 166
PROBLBME
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
167
RELAXiE
11 existe K EU([O, I]) telle que presque partout sur [0, l] I’on ait pour tout {x,y}CEetuEU; 2bis.
llf(t, x, 4 - f(t, Y, 411 < 40 II x - Y II ,
Sk.
Ilf(t, x, u)ll < k(t)
(!I x II + 1).
Soit maintenant l’application F : [0, I] t, x, 21E [O, l] x E x u F(,,&)
x
E -+ Eu telle que I’on ait pour
= f(t> x, u).
Presque partout sur [0, I] et pour tout x E E F(t, X) est bornCe sur U en raison de 3bis. Soit M I’espace des fonctions A valeurs dans R uniformkment bornkes et muni de la norme gence uniforme. Soit M’ son dual topologique et soit NC M’
m E No
(1). (2).
uniformiment dkfinies sur U de la convertel que
m est positif i.e. : Pour tout $ E M tel que Inf,,, l’on ait (m, q~) > 0 m est norm6 i.e. : (m, 1a) = 1.
#(u) 3 0
Soit v E EU tel que Sup,,, I/ v(u)11 < + co. Pour tout x’ E E’ soit l’application [x’, ~1 : U + R telle que pour tout u E U l’on ait :
Lx’,91b> = (x’, df4>. On a d’aprb
[2] :
Lx’,~1EMOn peut done dkfinir m * v E E de la fagon suivante : Pour tout x’ E E’
x
N --f E
telle
que
tout
g(t, x, m) = m . F(t, x). Nous avons done d’aprhs [2] pour tout (t, x} E [0, l] x E
{g(t, x, m); m E N} = TGf(t, x, 24);u E U}. Soit w : B -+ R et semi-continue suphieurement. Considtrons le probltme d’optimisation suivant : Rendre minimum $x(l)) oh x et u sont des applications dkfinies par : x:[O,
l]+E
u : [O, I] + u
168
GANI
et vkrifiant les conditions suivantes: 1.1. x est absolument continue. 1.2. (d/dt) x(t) =f(t, I, u(t)) faiblement presque partout sur [0, 11. 1.3. x(0) EA. 1.4. X(1) E B. Ce problkme est dit problkme original, x trajectoire originale et u commande originale. Nous associonsg celui-ci le problkme suivant : Rendre minimum v(x(1)) oh N et m sont des applications dkfinies par : x : [0, l] --t E, m : [0, l] --f N,
et vkrifiant les conditions suivantes : l.lbis.
x est absolument continue.
1.2bis. (d/dt) x(t) = g(t, x(t), m(t)) fal‘bl ement presque partout sur [0, 11. 1.3bis. x(O) E A. 1.4bis. x(1) E B. Ce probkme est dit problkme relax& x trajectoire relaxke et m commande relaxke. Le but de cet article est de dkmontrer que toute trajectoire relaxke peut &tre approximke uniformkment par une trajectoire originale. Le problkme original ne peut done avoir de solution que si le probltme relax& en posskdeet telle que la trajectoire qui lui correspond soit aussiune trajectoire originale. Deux contre exemplessont don&s pour justifier la nCcessitCdes conditions (a) B est ouvert. (b) la condition 4 surf.
II. APPROXIMATION
UNIFORME D'UNE TRAJECTOIRE REL&E PAR DES TRAJECTOIRES ORIGINALES
Pour obtenir le rksultat annonck nous avons besoin de quelques lemmes: LEMME
1. g vkrife les conditions 2 et 3 auxquelles est soumis f.
Dt!monstration. 11suffit de vkrifier les conditions 2bis et 3bis. Soit B’ la boule unit6 de E’. Presquepartout sur [0, l] pour tout {x, m} E E x N on a :
IIg(4 x, Ml = II m *WY 411= fj;;, W, m - F(t, xl>
= :;; 04 Lx’,W, 91) B ,Sy Ilfk x, 4ll G WI (IIx II + 1).
PROBLhXE
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
169
RELAXiE
De m&me presque partout sur [0, 11, pour tout {x, y} C E et tout m E N on a :
IIg(t, *, m) - g(t, y, 411 = IIm - {(t, 4 - F(4 r)>ll = fq, W, m *P(t, 4 - F(t, y)D = ,S.yg Cm, b’, W, 4 - JTt, r)l>
d 2; Ill% x, 4 -fkY,
4 < W) II3 -Y II *
LEMME II. Soit x0 E A alors il existe une application z : [0, l] -P R telle que pour toute solution (x, m) vhiJiant 1. Ibis-1.2bis et telle que r(O) = x,, Z’on ait pour tout t E [0, l] :
II+)ll < 49,
(2.1)
et
Dkmonstration.
En effet on a pour tout x’ E B’ et tout t E [0, l]
(x’, .r(t)> = Cx’, s> +
t (x’, g(T, X(T), m(d)> d7. s0
Or, d’aprh le Lemma 1 presque partout sur [0, I] on a :
(x’, gb, 43, m(4)> < IIx’ IIIIAT, 44 m(d>ll ,< 47) (II MII + 1). D’oh pour tout t E [0, l] on a : (~‘3 x(t)> < II xo II + j-” k(7) (II x(~)ll + 1) dr. 0
Or pour tout t E [0, I] on a :
IIx(t>ll = sup
D’oti pour tout t E [0, l] on a : II #II
G II xo II + j-1 4~) (II 441 + 1) dT.
GANI
170
Done d’aprks le lemme de Gronwall on a : 11 existe une application z : [O, l] --, R telle que tout t E [0, I] I’on ait :
IIx@ll < ~0) = II ‘r,,II + ( 4~) (4~) + 1)dT. Remarque.
Soit u : [0, 1] -+ R l’application
dkfinie par :
u(t) = k(t) (z(t) + 1). On a done presque partout sur [0, l] d’aprks le Lemme 1, (2.1) et (2.2) :
II& 4th +>I LEMME III.
< w (II w
+ 1) G W) (40 + 1) = 4).
(2.3)
Duns les mhes conditions que duns le Lemme II on a:
II 4 + 4 - 4t)lI d f:,h U(T) dT = z(t + h) - z(t)
(2.4)
pour tout intervalle [t, t + h] C [0, 11.
[t,
Dbmonstration. En effet on a pour t + h] C [0, l] d’apr6.s (2.3) : (X’, X(t + h) - X(t)) = 1;
Or pour tout intervalle [t,
t
(X’,
g(T,
tout x’ E B’
X(T), $7)))
et tout
d7 < ,:‘”
intervalle
U(T)
dT.
+ h] C [0, I] on a :
II 4 + 4 - 4t)ll = z;, (x’, 4 + 4 - w. D’oti le rksultat. LEMME IV. Dans les m&es conditions que duns le Lemme II pour tout x’ E B’ soit p : [O, l] + R l’application dt@aie par : l-4) = s,;; w, f(t, 4th aAlors p EL1([O, 11). En effet soit Q la classe des applications u : [0, l] -+ U Dhonstration. telles que les deux conditions suivantes soient v&if&s (i)
{u(t); t E [0, l]} est un ensemble fini;
(ii)
Pour tout OLE U u-l(a) est un ensemble mesurable.
PROBLhE
Considerons
VARIATIONNEL
maintenant le probkme
ET
COMMANDE
d’optimisation
RELAXBE
171
suivant :
Rendre maximum la quantite $ (x’, f(7, X(T), U(T))) do sachant que l’application u E 42. En effet pour tout u E ‘?Xsoit /3 : [0, I] - E l’application definie par : B(t) = f(4 x(t), 4));
BEJWO,11,E) esPace des fonctions
dkfinies sur a valeurs dans E et Bochner integrable. En effet, soit (a,; p E N n [1, A]} les diverses valeurs que prend lorsque t d&it l’intervalle [0, I]. Soit {A,; p E N n [I, A]) defini par : Pour tout Penn [l,k] A, = u-y”,).
Pour toutp EN n [l, k] A, est mesurable et on a pour tout t E [0, l] tvidemment :
11 s&it done de demontrer que pour tout u E U l’application y : [0, l] + E dCfinie par : y(t) = f(C -w> 4 est Bochner integrable sur [0, I]. En effet soit {yp; p E N} la suite d’applications dkfinies par : yD : [0, I] -+ E telles que :
r&) =f (4 x (y
, u)
oh pour tout 7 E R[T~ designe la par-tie entiere de T. D’oti presque partout sur [0, I] on a : 1;: %I(~) = y(t) car d’aprb 1.1 bis x est continue et f est continue en x d’aprb partout sur [0, l] et enfin pour tout 7 E R on a :
(2) presque
lim IIp7Ti = 7. pm P Par ailleurs presque partout sur [0, I] on a pour tout p EN d’apres 3bis (2.2) et (2.3) :
172
CAN1
Done d’apres le theoreme de la convergence majoree de Lebesgue il suffit de demontrer que pour tout p E N, yp est fortement mesurable. Or pour tout Q EN n [l, p] et t E [(q - 1)/p, q/p[ C [0, l] on a :
p)
+$).
Done il suffit de demontrer $ : [0, l] + E definie par :
que pour tout {x, U> E E $(t) =“f(t,
U l’application
x
Jc, 4
est fortement mesurable. Or d’apres l’hypothese 1 # est faiblement mesurable, done d’aprts le theoreme de Pettis il suffit de demontrer qu’il existe un ensemble H de mesure nulle tel que l’ensemble {4(t); t E [0, l] - H} soit separable. Soit maintenant {t,; p E N} une suite de points partout dense dans [0, 11. Soit (5,; p E N} la suite de vecteurs de E engendree par :
Soit 4 le sous espace de Banach de L? engendre par (5,; p E Nl. Soit [ : [0, l] -+ E l’application definie par : c(t) = @T, t(t) existe d’aprts l’hypothtse 3bis (2.3) et (2.4) :
x, u) dT = s: #(T) dr.
1. Or pour tout [t, t + h] C [0, l] on a d’aprb
= (II *II + 1)w + 4 - 44)> done 5 est continue sur [0, l] done {c(t); t E [0, l]} C E. D’oh [t, t + h] C [0, l] on a : 1 tfh #J(T) dT E E. st h
pour tout
Or d’apres l’hypothese 4 il existe un ensemble H de mesure nulle tel que pour tout t E [0, l] - H on ait faiblement :
e-h 1 st f(~, x, u) d7 = limjr&o -h t
t+h
‘k)
dT.
PROBLkME
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
173
RELAXkE
D’oh
{W); t E LO,11- fq c 5. Or t est ¶ble Cvidemment. D’oh /3 EL~([O, I], E). Done i’application 7 : u E%-+R dkfinie par:
est bien dkfinie sur 9. Par ailleurs 7 est uniformtment born&e sur @ par Ji U(T) dr Cvidemment, en effet on a pour tout u E @ et x’ E B’ :
h’
j-’ K(T) (Z(T) + 1) dT = f:
U(T)
d7.
0
Done on peut construire
une suite {u,; p E N} C !2 telle que l’on ait :
Soit maintenant {rip; p E N} Q,; [0, I] -+ R telles que :
la suite
d’applications
dkfinies
par :
771(t) =
WY f(t, x(t), %+$)))I.
Pour tout p EN Q est Cvidemment mesurable. De plus soient {Ap,; p E N et n E N n [l, p]}, les ensembles dkfinis par :
A,, = {t ELO,11;G> = h’, f@,4th MN>I. On a tvidemment
pour tout p E N
u neNn[l
A,, = [O,11. ,P]
Pour toutpEN et nENn[l,p] A,, est mesurable Cvidemment. Soient maintenant {BDn; p E N et n E N n [I, p]} les ensembles Cvidemment mesurables d&finis par : pour tout p E N
174
GANI
et pour tout p E N et 11EN n [2, p], %,=4,-
u qsNn[l
A,, . p-l]
Soit enfin (ag; p E N} C @ la suite d’applications dtfinies par : wp : [O, l] -+ u telles que pour tout p E N, n E N (7 [ 1, p] et t E B,, l’on ait : V&J = %(4* On a done pour tout p E N et t E [0, l] Q)
= w, f(4 x(t), %m
et par ailleurs on a pour tout p E N et t E [0, l] %(O d 1)9+1(t) et
I%@)I = I
40 = li$x’,
f(t, x(t), %O))>;
(ii)
v EWO,
11);
(iii)
1’ F(T) dr = lim pco j-’ (~‘3 AT, X(T), 4~))) 0
0
>, ;z
1: (X’, f(T, X(T), u&))>
> f:t Or, d’aprb
dT dT
j-’ (X’, f(T, X(T), u(T))) dT. 0
la definition mgme de la suite {er,; p E N} C @ on a done :
:t$ ,: (X’, f(T, X(T), u(T))) dT 3 1;: ,: (X’, f(T, X(T), v,(T))> A. D’ou on a : 1
I
'J'(T) 0
dT
=
%l
j-1 (X's
f(T,
X(T),
U(T))>
dT.
PROBLkME
VARIATIONNRL
ET
COMhIANDE
175
RELAXhE
Pour tout u E U et [t, t + h] C [0, l] soit {w,;p E N} la suite d’applications definies par : w 9 : [0, l] -+ U telles que tout p EN l’on ait : W,(T) =
si
W,(T)
=U On a done d’aprb (1) (2)
si
\j
7
E It,
t
+ A[.
la definition de {wp; p E N}
{w~,;P EWC% Pour tout T E [0, I] et p EN on a : w, f(T, 44
(3)
7 E [O, t] u [t + A, 11
Pour tout
W&9
7
wll+1 (TN> 3 WI f(T, 44, %(‘N> ;
E [0, I] on a :
44, f%(T))) = 7x4 = @‘AT,
D’oh d’aprb
44, u)>
si
7 E [Q tl u [t + h, 11;
si
7 E It,
t
+ h[.
le theoreme de Beppo-Levi on a :
D’oh pour tout [t, t + h] C [0, l] on a :
Par ailleurs il existe une suite {t,; p E N} partout dense dans [0, 11. Done il existe un ensemble F de mesure nulle tel que pour tout t E 10, I] -F et p E N l’on ait :
Or on a par ailleurs presque partout sur [0, l] d’apres 2bis et (2.4) pour tout p E N
176
GANI
D’oti presque partout sur [0, l] on a :
+‘, f(T, X(T), u)> = (X’, f(‘-, x(b), u)> +
s:,h q,(T) dT > 5:‘”
(X’,f(T,
x(T),
24))dT
3 5:‘” (X’,f(T, .r(&,), U)) dT - jrh
k(T)
(I
Z(T)
- z(t,)l (27.
Mais par ailleurs il existe un ensemble G de mesure nulle tel que tout t E [0, l] - G et p EN l’on ait : t+h
D’oti presque partout sur [0, l] on a pour tout u E U :
v(t) 3 W,f(t, w,
u>>- k(t) (I 40 - 44Jl)
> W,f(t, +>, 4) + @‘,f(C .$t,), 4 -f(4
x(t), 4)
- 40 (I z(t) - %)I) > W,f(tr w, 4) - 2W) (I z(t) - .&)I)’ D’oti presque partout sur [0, l] on a : F,(t) 2 2;
4th 4) - Wt)
;;i I 4) - @p)l .
Or la suite {t,; p EN} est partout dense sur [0, l] et z est continue sur [0, 1] done presque partout sur [0, l] on a : v(t) 3 ;;;
x(t), a.
Or on a presque partout sur [0, I] v(t) = 5:
%(W
< z,u, (x’, f(t, .z.(O,4).
D’oti on a presque partout sur [0, l] P(t) = t;g W,f(4 D’oti le rksultat.
x(t), 4).
PROBLhIE
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
177
RELAXiE
Dans les m&mes conditions que dans le Lemme II pour tout E > 0 LEMME V. il existe n E N et une suite (us; p E N n [ 1, n]} C 4? telle que l’on ait: /’ jlg(~,
X(T), m(7)) dr - f
0
y ff(~, y=1 0
(2.5)
X(T), Q(T) dr I/ < c.
En effet, on a presquepartout sur [0, l] pour tout R’ E B’
Dbmonstration.
D’oti d’aprks le Lemme IV pour tout x’ E B’ on a : ,: b’, g(T, x(‘-), m(T))>dT 6 1; “,;; (X’, f(T, X(T), U)) dT et d’aprb la dimonstration du Lemme IV on a :
&II ,: (x’, f(~, x(T), u(T))>dT = 1; p)(T)dT = j-1 %f: +‘, f(T> x(T), U)>dT. D’oh on a pour tout x’ EB’
D’oh le rhltat. LEMME VI. Dans les m&mes conditions E > 0 il existe u E ql telle que l’on ait:
/I 1: dT, x(T>, m(T)) dT - /;J(TI
que dans le Lemme II pour
X(T), U(T)> dT 11< E.
tout
(2.6)
Dbmonstration. D’aprks (2.5) il suffit de dkmontrer la proposition suivante : Pour tout E>O tout nEN et toute suite {u,;p~Nn[l,n]}C% il existe u E @ telle que l’on ait : ii k i zJ=l
fj(i,
X(T),
UP(T))
dT - ffcT,
0
Y(T),
U(T))
dT 11< E
(2.6bis)
0
le cas n = 1 est trivial. 11suffit done de dkmontrer ce rksultat pour n > 2. Pour ceci considkronsI’application h : R -+ R dkfinie par : (i) h est pkriodique de phiode n. (ii) h(T) = 1 pour o,
178
GANI
On a Cvidemment pour tout T E R et p E N f h(n%--)=l. q=l
Soit maintenant Ll([O, 11, E) 1’esp ace des fonctions definies sur [0, l] a valeurs dans E et Bochner integrables muni de la norme de la convergence en moyenne i.e. Si z/ EU([O, 11, E) alors 11I,LI/ = r: // tj(~)Ij d7. Pour tout {p, 4) C N soit l’operateur TDq : Ll([O, 11, E) -+ E defini par : G,(4)
= j: YnpT - 4 RT) dT,
alors pour tout 4 E N lii
T&,b) = + j’ $(T) d7. 0
En effet on a pour tout {p, 4) C N
Done d’aprks le theoreme de Banach-Steinhaus il suffit de demontrer ce resultat pour les fonctions {+&+ x E E et t E [0, I]} definies par : &t : [0, l] + E telles que l’on ait : &,k)
= x3 =Z 0,
si si
T E 10, t]; 7 E]t, 11.
Or pour tout {p, 4) C N, x E E et t E [0, l] on a : ~,,,(I/&.,)
= x j:
h(tZ*T
- 4) dT = ;
Is’-”
h(T) dT.
OronapourtoutpENettE[O,l] j,“‘”
h(T)
dT - 4 < I;;-”
Et
D’oul’onapourtoutqEN,xEEettE[O,l]:
h(T)
dT < Q + J;”
h(T)
dT.
PROBLBME VARIATIONNEL ET COMMANDE RBLAXkE
179
Introduisons maintenant la suite de fonctions {wB; p EN) C 4 dkfinie par v, : [0, I] -+ U telle que l’on ait pour tout t E [0, l] et p E N v*(t) = u*(t)
q = [n*tn mod 12.
oh
D’oh on a : fk
x(t), fJ*(t>) = f f(t, x(t), @>> wt
- a).
Q=l
Or d’aprks la dtmonstration du Lemme IV la suite {#Q; 4 EN n [I, n]} dkfinie par : t,h,: [0, I] + E telle que tout t E [0, I] et QE N n [l, n] #a(t) = fk
4th UQW
est in&se dans Ll([O, 11,E). Done en appliquant le rtsultat prkliminaire on a :
D’oh le rksultat.
Soit f sutisfaisant aux hypothbes (l), (2), (3) et (4) toute relaxke est la limite unzjorme de trajectoires originales.
T&O&ME. trajectoire
Soit n EN, soit une suite (t,; p EN n [I, n]} telle que
Dhonstration.
I’on ait : t, = 0,
t, = 1
et telle que pour tout p E N n [l, n - l]
(9 4t*+J (ii)
41) 4t*)
-
40)
= 71
tp+l > t, .
L’on a pour tout p EN n [ 1, n - l] d’aprks (2.4)
4) - 4v n
= Z(tp+l) - x(t,)
= f:”
O(T) d7 > r::”
h(T)
dT.
(2.7)
Par des dkmonstrations analoguesk cellesdes LemmesI, II, III, IV, V et VI on a le rksultat suivant : Pour tout p E N n [I, n - I] soit 4ZDla classe des applications vo; [tp , t,+J -+ U telles que les deux conditions suivantes soient satisfaites (i) (v,(t); t E [tl, , tp+J} est un ensemblefini; (ii) Pour tout 01E U TJ;‘(~) est un ensemblemesurable.
180
GANI
Alors il existe ‘i!, E ‘?/, tel que l’on ait : !! j:;;kT,
.rtT), m(T)) dT - J‘::;‘flT,
x(T), v,(T)) dT 11d $.
(2.8)
Soit maintenant l’application u, E J1/dkfinie par : Pour tout p E N n [l, n - 21 et tout t E [tl, , t,+J on a : %l(t) = %(O et pour tout t E [tndl , I] on a : &t(t) = %-l(t)* Done pour tout p E N n [ 1, n - I] on a d’aprb
(2.8)
Soit maintenant l’application x, : [0, l] + E dkfinie par : (9
x, est absolument continue
(ii)
d - ~(0 dt
(iii)
xJ0) = x(O).
D’aprks
= f(4 x,(t), h(t))
(2.4) et (2.7) on a pour
tout
p E
N
n
[l, n - l] et
t E [tP, t,,,]
II .%(t>- Nil d II&z(t)- %&II + II “7&J - %J + IIaJ - WI < 11%z(tg)- +,)ll + 2 ,I, u(T)dT
< I/q&,) - &,)ji + 2 j::” ~(7)dT < II%&J - 4tJl + ; Ml) - 4w Par ailleurs on a d’aprb
(2.10)
(iii)
II x7&) - x(t,)ll = II 40) - Eli = 0.
(2.11)
EtpourtoutpENn[l,n-l]ona:
II%(t,+d - 4t,+,)ll < II%&J - 4b)ll + IlM~p+J - %z(b)>- Mb+d - 4t,Nll *
PROBLfiME
VARIATIONNEL
Or pour tout p E N n [ 1, n -
Et d’aprks I.lbis
ET
COMMANDE
l] on a d’aprh
181
RELAXiE
(i) et (ii)
et 1.2bis on a :
LY(~,+~)- x&J = f”+‘g(~, b
X(T), m(~)) d7.
D’oti on a d’aprks (2bis), (2.7), (2.9) et (2.10) pour toutp EN n [I, n - l] :
d II3C,M - +Jll
(1 +
41) - 40) n ) + 2(zu) -n;(oJJ2 + l . (2.12)
D’oh d’aprhs (2.11) et (2.12) on a pour tout p EN n [I, n] ,, %&
> _
P
x(t
)I, <
9 -.
X4)
< 2@(l)
-
4w2
n2 - 4m2 n
+
l p-1 x(1+
q=o
+ l exp(z(l)
z(1) - Z(0) q n
1
- q))) .
D’oh en posant M = (2(x(I) - ~(0))~ + l} exp(z(1) - x(O)) + 2(2(l) - z(0)) on a pour tout t E [0, l]
D’oii le rksultat.
182
GANI
III. I.
CONTRE EXEMPLE
B n’est pas ouvert. Soit le Probleme defini par :
E = R,
u = IO, 11,
A = (0)
et
B = (0) u (1).
Rendre minimum x(1) oh x et u verifient :
; x(t) = u(t). On a, en choisissantu(t) = 1 pour tout t E [0, l] : x(t) = t. Et en particulier, on a : X(1) = 1 E B. C’est la seule trajectoire originale. En effet, supposonsqu’il en existe une autre, on a : X(1) = X(0) + 1’ 24(T)dT > 0. 0
D’oti necessairementon a :
0 = X(1) - 1 = X(0) + j: (U(T)- 1) do = j;
(u(T)
- 1)dT.
Or pour tout t E [0, l] on a : U(T)
< 1.
D’ou presquepartout sur [0, l] on a : u(t) = 1. D’oti la contradiction. ConsidCronsmaintenant le probleme relax6 associe.11peut etre parametrise de la maniere suivante : lJ = [O, 11,
E = R,
A = (0)
Rendre minimum x(1) oh x et u verifient
$ x(t) = u(t).
et
B = (0) LJ (1).
PROBLeME
Maintenant
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
183
RELAXI%
on peut choisir u(t) = 0 pour tout t E [0, I] on a done : x(t) = 0
et en particulier
on a : X(1) = 0 E B.
Cette trajectoire relaxee ne peut &tre approximee uniformement trajectoires originales.
par des
II. f ne verifie pas la condition 4. Soit le probleme defini par : U = [0, I], E = R, A = (0) et B = R. Soit IC [0, I] tel que X,(I) = 0 et X*(I) = 1.’ Soit l’application p : [0, l] -+ R definie par p)(t) = --
1
si
t EI;
2
si
t E [O, l] - I.
Soit I’application f : [0, 11 x
R
R definie par :
x [0, l] +
f(t, x, u) = 0 = y(t)
si
t f 24;
si
t = u.
La condition 4 n’est pas vCrifiCe car E, = Rendre minimum x(l) oh x et u verifient
[0, 11.
Choisissonsu E 6%tel que l’on ait : u(t) = 1 = 0
si
t = 0;
si
t EIO, I].
D’oti on a pour tout t E [0, I] : 4) f t. D’oti on a pour tout t E [0, I] : x(t) = 0. Et en particulier x(l) = 0. 1 h,(Z) Lebesgue
et A*(I) dhignent de l’ensemble I.
respectivement
la mesure
indrieure
et extkrieure
de
184
GANI
Cette trajectoire rend minimum la quantitk X( 1). En effet, sinon il existerait une trajectoire x et une commande u telles que l’on ait : X(1) < 0. nlais alors on aurait done 0 > X(l) - x(0) = j$
X(T), u(.r))
dr.
Or la quantitCf(t, &y(t), u(t)) ne prend que les valeurs (0, - 1, - 2) lorsque t dkrit [0, 11. Soient done {A,, A, , A,} les ensembles mesurables dkfinis par :
4 = (7E LO,11;fb, 4444)
= - P3
pour
p = 0, 1 et 2.
On a done : (i)
A,
(ii)
h(A,
U A,
U A,
U AJ
>
[0, 11;
=
0.
D’oh on a :
t E A, u A, 3 f(t, x(t), u(t)) f 0 * u(t) = t 3 f(t, x(t), u(t)) = q(t). D’oh on a : (i)
t E A, * p)(t) = -
1
(ii)
t E A, 3 p)(t) = - 2.
D’oh on a : (i) (ii)
A,CI -4, C [0, l] - I.
D’oti on a :
0 = &c(I) + h*([O, 11- 1) > h(A,) + X(A,) t X(A, u A*) > 0. D’oh la contradiction. ConsidCrons maintenant le problkme paramCtris6 de la man&e suivante :
u = LO,11,
E = R,
relax& associk. Celui-ci
A = (0)
Rendre minimum x(1) oti N et u vkifient 1 x(t) = ql(t) - u(t).
et
B =R.
peut ttre
PROBLkME
Choisissons
VARIATIONNEL
ET
COMMANDE
RELAXBE
185
u tel que l’on ait : u(t) = 1 =$
si
fEl;
si
t E [O, l] - I.
D’ou on a pour tout t E [0, I] s(t) = - t. Et en particulier x(l) = - 1. Done, on a deja : Cette trajectoire relaxee ne peut &tre approximee uniformement par des trajectoires originales. Par ailleurs cette trajectoire rend minimum la quantite. En effet sinon il existerait une trajectoire x et une commande v telles que l’on ait : x(1) < - 1. Mais alors on aurait done : 1; p)(~) U(T) dr = - 1 > x( 1) = X( 1) - x(O) = ,: T(T) V(T) d7. D’oh on aurait : ’ V(T) (u(r) - V(T)) dr > 0.
s 0
D’oh il existerait un ensemble PC [0, l] de mesure h(P) > 0 tel que pour tout t E P l’on ait : p;(t) 04) - 40) > 0. Done pour tout t E P n I 0 > u(t) - v(t) = 1 - v(t) > 0. Done on a : PnI=$. D’oh on a : [O, I] - 13 P. D’ou on a : h(P) = 0. D’oh la contradiction.
186
GANI BIBLIOCRAPHIE
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