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Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 755–760, 2000 Algèbre/Algebra (Théorie des nombres/Number Theory)
Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres * Max KAROUBI a , Thierry LAMBRE b a
UFR de mathématiques, UMR 7586 du CNRS, Université Denis-Diderot, case 7012, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France Courriel : [email protected] b Département de mathématiques, UMR 7586 et 8628 du CNRS, Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France Courriel : [email protected] (Reçu le 10 novembre 1999, accepté après révision le 10 mars 2000)
Résumé.
Nous utilisons des idées provenant de l’homologie cyclique [3] et de la K-théorie pour définir une sorte de « caractère de Chern » pour le groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombres. Pour un corps quadratique, ce caractère permet de détecter des élements du groupe des classes. Dans le cas cyclotomique, ce caractère est relié aux dérivées logarithmiques de Kummer. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Some characteristic classes in number theory Abstract.
We use ideas from cyclic homology [3] and K-theory to define a kind of “Chern character” for the ideal class group of a number field. In the quadratic case, this character gives nontrivial elements of the class group. In the cyclotomic case, this character is related to the Kummer logarithmic derivatives. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version 1. The Dennis trace map with coefficients Let A be an arbitrary ring. The main technical tool used in this Note is the construction of a Dennis trace map mod. n from K1 (A; Z/n) to HH1 (A; Z/n) which makes the following diagram commutative 0
K1 (A)/(n)
ρ
HH1 (A)/(n)
∂
(n)
D1
0
K1 (A; Z/n)
HH1 (A; Z/n)
0
D0
D1 ρ
K0 (A)(n)
∂
HH0 (A)(n)
0
Note présentée par Alain C ONNES. S0764-4442(00)00260-3/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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M. Karoubi, T. Lambre
In this diagram, D0 and D1 are the usual Dennis trace maps on K0 and K1 respectively. This construction requires a delicate analysis of connexions on A-modules in the mod. n situation. The purpose of this Note is to show that this Dennis trace map mod. n is non-trivial and gives new invariants in Number Theory which cannot be recovered by etale cohomology. 2. The case of the ring of integers in a number field Let A be the ring of integers in a number field F . In this case, the group K1 (A; Z/n) may be identified with the group U(A; Z/n) = [u] ∈ F × /(n) | ∃ I fractional ideal A such that uA = I n . The Dennis trace map mod. n is some kind of logarithmic differential ending in the module of Kähler differentials of A, denoted here by Ω1dR (A). In order to construct such elements u, we may choose N(u) – the norm of u – to be a nth power and also (N(u), N1 (u)) = 1, where N1 (u) is the coefficient of X in the characteristic polynomial of u. The Dennis trace map may then be computed explicitly in order to show that the ideal class of I is not trivial. As an example among many applications, we have the following proposition: P ROPOSITION 1. – Let F be a quadratic field and let n be an odd divisor of the discriminant δ of F . We 2 n suppose the existence of a couple (α, b) in Z2 such √ that α − 4b = δ with (α, b) = (α, n) = 1. If δ < −4 or δ > 0 and F of fundamental unit ε = (ε1 + ε2 δ)/2 such that n divides ε2 , then Cl(A) has an element of order n. 3. Application to cyclotomic fields The analysis of the Dennis trace mod. n in this case shed a new light on previous work by Kummer, Mirimanov and more recently Brückner [2]. The idea is to start with numbers (p, a, b, c) satisfying the first case of Fermat last theorem. Then, we choose for u – with the property defined above− the element (a + bζ)/(a + bζ −1 ) and we compute the rank of the Fp -vector space spanned by the image of u and its Galois transforms in Ω1dR (A), through the Dennis trace mod. n. This rank is evaluated in terms of the non-zero odd Mirimanov polynomials (defined on Fp ) which appear as the eigenvalues of a remarkable matrix. We recover then partially the work of Brückner. If half of these Mirinanov polynomials appears to be non-zero on non trivial values of the finite field Fp , this would give another proof of the first case of Fermat last theorem, thanks to the well-known majoration of the class number of cyclotomic fields.
1. La trace de Dennis à coefficients Soient A un anneau unitaire et n > 2 un entier. On désigne par Proj(A) la catégorie des A-modules à droite, projectifs et de type fini. Pour P dans Proj(A), on pose nP = P ⊕ · · · ⊕ P (n facteurs). L’ensemble des triplets (P, α, Q), où P et Q sont dans Proj(A) et où α : nP → nQ est un isomorphisme de A-modules, s’organise en une catégorie C dont le groupe de Grothendieck est noté K(C). Soit N le sous-groupe de K(C) engendré par les éléments de la forme (P, α, Q) + (Q, β, R) − (P, βα, R). Le groupe quotient K1 (A; Z/n) := K(C)/N s’appelle le (premier) groupe de K-théorie à coefficients de A. On note [P, α, Q] ∈ K1 (A; Z/n) la classe de (P, α, Q) ∈ Ob(C). De la suite exacte de Bass ([1], p. 375), on déduit l’extension 1
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K1 (A)/(n)
ρ
K1 (A; Z/n)
∂
K0 (A)(n)
0.
(1)
Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres
Par ailleurs, supposons que A soit une algèbre sur un anneau commutatif k. Notons (C∗ (A), b) le complexe de Hochschild de A. La multiplication par n dans (C∗ (A), b), notée ·n : (C∗ (A), b) → (C∗ (A), b) est un morphisme de complexes. L’homologie du cône (co(· n), d) de ce morphisme est notée HH∗ (A; Z/n). On a la suite exacte tautologique 0
ρ
HH1 (A)/(n)
HH1 (A; Z/n)
∂
HH0 (A)(n)
0.
Désignons par µ : A ⊗k A → A la multiplication de A et posons Ω1nc (A) = ker µ. On sait que Ω1nc (A) est le sous-bimodule de A ⊗k A engendré par les 1-formes différentielles « non commutatives » dnc a := 1 ⊗ a − a ⊗ 1 avec a ∈ A. La structure de A-bimodule évidente sur Ω1nc (A) peut s’exprimer par la relation dnc (a0 a1 ) = dnc (a0 )a1 + a0 dnc a1 (cf. [3] et [4]). Un système de coordonnées sur P ∈ P Proj(A) est une suite S = (xj , ϕj )16j6r avec xj ∈ P et ϕj ∈ P ∗ r telle que pour tout x de P , on ait x = j=1 xj ϕj (x). Le rang de P dans le système de coordonnées S, noté rg (P, S), est la trace de la matrice de l’identité exprimée dans le système de coordonnées S. Ce rang est un élément de A. La « connexion de Levi-Civita » sur P est le morphisme de k-modules dP : P → P ⊗A Ω1nc (A) défini dans le système de coordonnées S par ! r r X X xj ϕj (x) = xj dnc ϕj (x) dP j=1
j=1
pour x ∈ P . Soit α : P → Q une application A-linéaire. L’application A-linéaire dnc α : P → Q ⊗A Ω1nc (A) est définie par dnc α = dQ ◦ α − (α ⊗ id) ◦ dP . Lorsque α est un isomorphisme, on pose α−1 dnc α = (α−1 ⊗ id) ◦ dnc α. Après le choix de systèmes de coordonnées S et S 0 sur P et Q, on désigne par M et N les matrices respectives de α et α−1 . Ces matrices sont à coefficients dans A. La matrice carrée N dnc M est à coefficients dans Ω1nc (A) ; sa trace est notée tr(α−1 dnc α, S, S 0 ). (n) Pour x = [P, α, Q], la trace de Dennis à coefficients D1 : K1 (A; Z/n) → HH1 (A; Z/n) est alors définie comme étant la classe d’homologie dans (co(· n), d), du cycle (tr(α−1 dnc α, S, S 0 ), rg(P, S) − rg(Q, S 0 )). Cette classe d’homologie est indépendante des choix de S et S 0 . (n)
T HÉORÈME 1. – Soient A une algèbre et n > 2. L’application D1 est un morphisme de groupes rendant commutatif le diagramme suivant (où D0 et D1 sont les traces de Dennis usuelles [3,4]). 0
K1 (A)/(n)
ρ
HH1 (A)/(n)
∂
(n)
D1
0
K1 (A; Z/n)
HH1 (A; Z/n)
0
D0
D1 ρ
K0 (A)(n)
∂
HH0 (A)(n)
0
e 0 (A), K1 (A) = A× ⊕ SK1 (A). Introduisons le Supposons A commutative. Alors K0 (A) = Z ⊕ K 1 1 groupe ΩdR (A)/(n), où ΩdR (A) est le A-module des formes différentielles de Kähler–de Rham de A. On sait que D1 (SK1 (A)) = 0 et que pour u ∈ A× , on a D1 (u) = u−1 du. Notons dA× /A× le sous-groupe de Ω1dR (A) engendré par les dérivées logarithmiques u−1 du des unités u ∈ A× . On a ρ ◦ D1 (K1 (A)) = dA× /A× . Le théorème précédent conduit au : C OROLLAIRE 2. – Soient k un anneau commutatif unitaire, A une k-algèbre commutative et n > 2 un entier. On désigne par S le sous-groupe de Ω1dR (A) engendré par nΩ1dR (A) et dA× /A× . Alors la (n) e 0 (A)(n) → Ω1 (A)/S, définie pour x = ∂(y) ∈ K e 0 (A)(n) « classe caractéristique secondaire » d1 : K dR (n)
(n)
par d1 (x) = D1 (y) mod S est un morphisme de groupes abéliens, non trivial en général.
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M. Karoubi, T. Lambre
2. Le cas des anneaux d’entiers d’un corps de nombres T HÉORÈME 3. – Soit A l’anneau des entiers d’un corps de nombres F , de groupe des classes Cl(A). Alors K1 (A; Z/n) s’identifie au groupe U(A; Z/n) = [u] ∈ F × /(n) | ∃ I idéal fractionnaire de A tel que uA = I n . De plus, l’extension (1) vue plus haut se réduit à la suite exacte bien connue : A× /(n)
1
U(A; Z/n)
∂
Cl(A)(n)
(2)
0
où A× est le groupe des unités de A, la flèche ∂ consistant à envoyer [u] sur l’idéal I. Pour construire des éléments explicites du groupe U(A; Z/n) ∼ = K1 (A; Z/n), on utilise le lemme suivant. L EMME 4. – Soit A l’anneau des entiers d’un corps de nombres F et soit u un élément non nul de A. Pour que [u] ∈ F × /(n) appartienne à K1 (A; Z/n), il suffit que la norme N(u) soit une puissance n-ième dans Z et que (N(u), N1 (u)) = 1, N1 (u) étant le coefficient de X dans le polynôme caractéristique de u, considéré comme endomorphisme du Q-espace vectoriel F . Voici un exemple d’application du lemme. P ROPOSITION 5. – Supposons F quadratique de discriminant δ. Soit p un nombre premier impair. On p / (Z/b)×(p) . Si δ < −4 ou si suppose qu’il existe (α, b) ∈ Z2 tel que α2 − √4b = δ avec (α, b) = 1 et α ∈ δ > 0 et F d’unité fondamentale ε = (ε1 +ε2 δ)/2 telle que (ε1 +ε2 α)/2 ∈ (Z/b)×(p) , on a Cl(A)(p) 6= 0. √ Démonstration. – Le lemme 4 appliqué à u = (α + δ)/2 √ montre que [u] appartient à K1 (A; Z/n). Le morphisme d’anneaux f : A → Z/b défini par f ((x + y δ)/2) = (x + yα)/2 induit un morphisme de groupes (p)
f1
: K1 (A; Z/p) −→ K1 (Z/b; Z/p) ∼ = (Z/b)× /(p)
(p)
tel que f1 ([u]) = [α] 6= 0. Si δ < −4, ceci et (2) montrent Cl(A)(p) 6= 0. Si δ > 0 et si ∂([u]) = 0, alors [u] appartient à A× /(p) et de l’hypothèse f (ε) ∈ (Z/b)×(p) , on tire f1 (A× /(p)) = 0, ce qui est en (p) contradiction avec f1 ([u]) 6= 0 ; donc ∂([u]) 6= 0 et Cl(A)(p) 6= 0. 2 (p)
Remarque 6. – L’élément non trivial construit ici coïncide avec celui découvert par Yamamoto [7]. À partir de cet élément, cet auteur en déduit pour tout entier n un nombre infini de corps quadratiques dont le groupe des classes possède un facteur Z/n. Q 1 ΩdR (A ⊗ Zp ), Soit R l’ensemble des diviseurs premiers du discriminant δ du corps F . De Ω1dR (A) = p∈R
(p)
(p)
on déduit Ω1dR (A)/(p) = 0 si (p, δ) = 1. Les classes caractéristiques D1 et d1 ne peuvent donc détecter d’éléments non triviaux de Cl(A)(p) que si p est ramifié dans A. Donnons un exemple. P ROPOSITION 7. – Supposons F quadratique et soit n un diviseur impair du discriminant δ de F . On suppose qu’il existe (α, b) ∈ Z2 tel√que α2 − 4bn = δ avec (α, b) = (α, n) = 1. Si δ < −4 ou si δ > 0 et d’unité fondamentale ε = (ε1 + ε2 δ)/2 telle que n | ε2 , alors Cl(A) possède un élément d’ordre n. √ √ Démonstration. – On a Ω1dR (A)/n = Z/n dω avec ω = √ δ/2 ou ω = (1 + δ)/2 suivant que δ est congru à 0 ou 1 modulo 4. Le lemme 4 appliqué à u = (α+ δ)/2 montre que [u] appartient à K1 (A; Z/n). (n) Un calcul conduit à D1 ([u]) = 2/α dω 6= 0. Si δ < −4, ceci montre que Cl(A) possède un élément d’ordre
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Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres
n. Si δ > 0, de n | ε2 , on déduit dA× /A× ⊂ nΩ1dR (A). La classe secondaire d1 est donc à valeurs dans (n) (n) Ω1dR (A)/(n) et d1 (∂([u]) = √D1 ([u]) 6= 0, d’où un élément d’ordre 2n dans Cl(A)). Par exemple, soit F = Q[ δ] avec δ = −4 294 967 295. De δ = 1 − 4 · 415 , on déduit√un élément de 15-torsion dans Cl(A). Ou √ encore soit δ = 231, p = 3 ; l’unité fondamentale ε = (430 + 24 d)/2 du corps quadratique réel f = Q[ δ] satisfait les conditions requises et de δ = 172 − 4 · (−2)3 ; on déduit un élément d’ordre 3 dans Cl(A). 2 (n)
3. Application à la cyclotomie Soient p un nombre premier impair et ζ = ζp une racine primitive p-ième de l’unité. Le corps cyclotomique F = Q[ζ] a pour groupe de Galois G = (Z/p)× . Soit g un générateur de G opérant dans F par gζ = ζ s avec (p, s) = 1. L’anneau des entiers A de F est Z[ζ]. L’extension (2) se scinde en deux parties, dont la partie antisymétrique pour la conjugaison complexe s’écrit 1
µp
ρ
K1− (A; Z/n)
∂
Cl(A)− (p)
1.
− On pose d− p = dimZ/p Cl(A)(p) = dimZ/p K1 (A; Z/p) − 1. Introduisons l’anneau de groupe R = Z/p[τ ]/(1 − τ p ). Le groupe de Galois G opère dans R par gτ = τ s . Le Z/p-espace vectoriel Ω1dR (R)/(p) se scinde en Ω− ⊕ Ω+ , où Ω− est de dimension (p + 1)/2. Il existe une base (f0 , f1 , . . . , f(p−1)/2 ) de Ω− pour laquelle l’action de G est donnée par gf0 = sf0 , gf` = sf`+1 , 1 6 ` < (p − 1)/2, gf(p−1)/2 = sf1 . Rappelons que les entiers (p, a, b, c) satisfont aux hypothèses du premier cas du dernier théorème de Fermat (en abrégé DTF1) si p est un premier impair et ap = bp + cp avec (a, b, c) = (p, abc) = 1. Notons n la classe de n modulo p. Sous l’hypothèse DTF1, les éléments z = (a − bζ)/(a − bζ −1) mod F ×(p) et z 0 = (a − bτ )/(a − bτ −1 ) mod R×(p) appartiennent respectivement à K1− (A; Z/p) et K1− (R; Z/p). Notons U et U 0 respectivement les sous-espaces vectoriels de K1− (A; Z/p) et K1− (R; Z/p) engendré par l’orbite de z (resp. z 0 ) sous l’action de G. On vérifie facilement 0 6 dimZ/p (U 0 ) − dimZ/p (U ) 6 1, d’où d− p > dimZ/p (U ) − 1 > dimZ/p (U 0 ) − 2. Pour évaluer dimZ/p (U 0 ), on considère la restriction χ0 de la trace de P(p−1)/2 (p) αk fk avec Dennis D1 : K1 (R; Z/p) → Ω1dR (R)/(p) à U 0 . Un calcul conduit à χ0 (z 0 ) = 2f0 + k=1 k k αk = (a/b)s + (b/a)s . Compte tenu de l’action de G sur sur les fk , on voit que le rang de χ0 est celui de la matrice circulante C ∈ Mat(p−1)/2) (Z/p) suivante :
α1 α p−1 2 C = C(p, a, b, c) = . .. α2
α2 α1 .. . α3
· · · α p−1 2 · · · α p−3 2 . .. .. . . ··· α1
Le calcul du rang de C nécessite l’introduction des polynômes de Mirimanoff Mk (X) ∈ Z/p[X], définis Pp−1 pour 1 6 k 6 p − 1 par Mk (X) = j=1 j k−1 X j . Pour t ∈ Z/p r {0, 1, −1}, posons rp (t) = # k, 1 6 k 6 (p − 1)/2, M2k+1 (t) 6= 0 . Un calcul simple montre que les valeurs propres de C(p, a, b, c) sont les M2k+1 (a/b), 1 6 k 6 (p − 1)/2. On en déduit que le rang de la matrice C(p, a, b, c) est rp (a/b). Posons encore rp = min rp (t), t ∈ Z/p r {0, 1, −1} . En conclusion, on a montré :
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M. Karoubi, T. Lambre
T HÉORÈME 8. – Supposons que (p, a, b, c) soient des entiers vérifiant les hypothèses DTF1. Alors d− p > rp − 2. Remarque 9. – À normalisation près, les calculs ci-dessus correspondent à ceux effectués par Brückner [2], où notre trace χ0 est à comparer avec le morphisme χ de Brückner ([2], 2.1). La quantité fi (η) de ([2], 3.5) est telle que fi (η) ∼ = (−1)i−1 (b/c)Mi−1 (a/b) mod p et la minoration dp > rp − 2 correspond à ([2], 5.1). À partir de cette minoration, Brückner montre que le premier cas du dernier théorème de Fermat est vrai si p > 2dp +3 − 2dp − 3, où dp = dimZ/p (Cl(A)(p) . On peut aussi procéder comme suit. Soit p un nombre premier. D’après [5,6], pour p > 7, on a d− p 6 (p + 3)/4. La minoration ci-dessus montre que si rp > (p + 11)/4, alors le premier cas du théorème de Fermat est vrai pour p. Numériquement, le calcul de rp est très rapide, ce qui n’est pas le cas pour dp ou d− p. Remerciement. Les auteurs remercient le rapporteur pour leur avoir signalé la référence [2]. * « Résumé d’un texte qui sera conservé cinq ans dans les Archives de l’Académie et dont copie peut être obtenue. »
Références bibliographiques Bass H., Algebraic K-Theory, Benjamin, New York, 1968. Brückner H., Zum ersten Fall der Fermatschen Vermutung, J. Reine Ang. Math. 274–276 (1975) 21–26. Connes A., Non-commutative differential geometry, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 62 (1985) 257–360. Karoubi M., Homologie cyclique et K-théorie, Astérisque 149, Soc. Math. France, 1987. Lepistö T., On the growth of the first factor of the class number of the prime cyclotomic field, Ann. Sci. Fennicae, Série A, I 577 (1974) Helsinki (21 p.) [6] Metsänkylä T., Class numbers and µ-invariants of cyclotomic fields, Proc. Amer. Math. Soc. 43 (1974) 299–300. [7] Yamamoto Y., On unramified Galois extensions of quadratic number fields, Osaka J. Math. 7 (1970) 57–76. [1] [2] [3] [4] [5]
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Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres * Max KAROUBI a , Thierry LAMBRE b a
UFR de mathématiques, UMR 7586 du CNRS, Université Denis-Diderot, case 7012, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France Courriel : [email protected] b Département de mathématiques, UMR 7586 et 8628 du CNRS, Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France Courriel : [email protected] (Reçu le 10 novembre 1999, accepté après révision le 10 mars 2000)
Résumé.
Nous utilisons des idées provenant de l’homologie cyclique [3] et de la K-théorie pour définir une sorte de « caractère de Chern » pour le groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombres. Pour un corps quadratique, ce caractère permet de détecter des élements du groupe des classes. Dans le cas cyclotomique, ce caractère est relié aux dérivées logarithmiques de Kummer. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Some characteristic classes in number theory Abstract.
We use ideas from cyclic homology [3] and K-theory to define a kind of “Chern character” for the ideal class group of a number field. In the quadratic case, this character gives nontrivial elements of the class group. In the cyclotomic case, this character is related to the Kummer logarithmic derivatives. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version 1. The Dennis trace map with coefficients Let A be an arbitrary ring. The main technical tool used in this Note is the construction of a Dennis trace map mod. n from K1 (A; Z/n) to HH1 (A; Z/n) which makes the following diagram commutative 0
K1 (A)/(n)
ρ
HH1 (A)/(n)
∂
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D1
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K1 (A; Z/n)
HH1 (A; Z/n)
0
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D1 ρ
K0 (A)(n)
∂
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Note présentée par Alain C ONNES. S0764-4442(00)00260-3/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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In this diagram, D0 and D1 are the usual Dennis trace maps on K0 and K1 respectively. This construction requires a delicate analysis of connexions on A-modules in the mod. n situation. The purpose of this Note is to show that this Dennis trace map mod. n is non-trivial and gives new invariants in Number Theory which cannot be recovered by etale cohomology. 2. The case of the ring of integers in a number field Let A be the ring of integers in a number field F . In this case, the group K1 (A; Z/n) may be identified with the group U(A; Z/n) = [u] ∈ F × /(n) | ∃ I fractional ideal A such that uA = I n . The Dennis trace map mod. n is some kind of logarithmic differential ending in the module of Kähler differentials of A, denoted here by Ω1dR (A). In order to construct such elements u, we may choose N(u) – the norm of u – to be a nth power and also (N(u), N1 (u)) = 1, where N1 (u) is the coefficient of X in the characteristic polynomial of u. The Dennis trace map may then be computed explicitly in order to show that the ideal class of I is not trivial. As an example among many applications, we have the following proposition: P ROPOSITION 1. – Let F be a quadratic field and let n be an odd divisor of the discriminant δ of F . We 2 n suppose the existence of a couple (α, b) in Z2 such √ that α − 4b = δ with (α, b) = (α, n) = 1. If δ < −4 or δ > 0 and F of fundamental unit ε = (ε1 + ε2 δ)/2 such that n divides ε2 , then Cl(A) has an element of order n. 3. Application to cyclotomic fields The analysis of the Dennis trace mod. n in this case shed a new light on previous work by Kummer, Mirimanov and more recently Brückner [2]. The idea is to start with numbers (p, a, b, c) satisfying the first case of Fermat last theorem. Then, we choose for u – with the property defined above− the element (a + bζ)/(a + bζ −1 ) and we compute the rank of the Fp -vector space spanned by the image of u and its Galois transforms in Ω1dR (A), through the Dennis trace mod. n. This rank is evaluated in terms of the non-zero odd Mirimanov polynomials (defined on Fp ) which appear as the eigenvalues of a remarkable matrix. We recover then partially the work of Brückner. If half of these Mirinanov polynomials appears to be non-zero on non trivial values of the finite field Fp , this would give another proof of the first case of Fermat last theorem, thanks to the well-known majoration of the class number of cyclotomic fields.
1. La trace de Dennis à coefficients Soient A un anneau unitaire et n > 2 un entier. On désigne par Proj(A) la catégorie des A-modules à droite, projectifs et de type fini. Pour P dans Proj(A), on pose nP = P ⊕ · · · ⊕ P (n facteurs). L’ensemble des triplets (P, α, Q), où P et Q sont dans Proj(A) et où α : nP → nQ est un isomorphisme de A-modules, s’organise en une catégorie C dont le groupe de Grothendieck est noté K(C). Soit N le sous-groupe de K(C) engendré par les éléments de la forme (P, α, Q) + (Q, β, R) − (P, βα, R). Le groupe quotient K1 (A; Z/n) := K(C)/N s’appelle le (premier) groupe de K-théorie à coefficients de A. On note [P, α, Q] ∈ K1 (A; Z/n) la classe de (P, α, Q) ∈ Ob(C). De la suite exacte de Bass ([1], p. 375), on déduit l’extension 1
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K1 (A)/(n)
ρ
K1 (A; Z/n)
∂
K0 (A)(n)
0.
(1)
Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres
Par ailleurs, supposons que A soit une algèbre sur un anneau commutatif k. Notons (C∗ (A), b) le complexe de Hochschild de A. La multiplication par n dans (C∗ (A), b), notée ·n : (C∗ (A), b) → (C∗ (A), b) est un morphisme de complexes. L’homologie du cône (co(· n), d) de ce morphisme est notée HH∗ (A; Z/n). On a la suite exacte tautologique 0
ρ
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HH1 (A; Z/n)
∂
HH0 (A)(n)
0.
Désignons par µ : A ⊗k A → A la multiplication de A et posons Ω1nc (A) = ker µ. On sait que Ω1nc (A) est le sous-bimodule de A ⊗k A engendré par les 1-formes différentielles « non commutatives » dnc a := 1 ⊗ a − a ⊗ 1 avec a ∈ A. La structure de A-bimodule évidente sur Ω1nc (A) peut s’exprimer par la relation dnc (a0 a1 ) = dnc (a0 )a1 + a0 dnc a1 (cf. [3] et [4]). Un système de coordonnées sur P ∈ P Proj(A) est une suite S = (xj , ϕj )16j6r avec xj ∈ P et ϕj ∈ P ∗ r telle que pour tout x de P , on ait x = j=1 xj ϕj (x). Le rang de P dans le système de coordonnées S, noté rg (P, S), est la trace de la matrice de l’identité exprimée dans le système de coordonnées S. Ce rang est un élément de A. La « connexion de Levi-Civita » sur P est le morphisme de k-modules dP : P → P ⊗A Ω1nc (A) défini dans le système de coordonnées S par ! r r X X xj ϕj (x) = xj dnc ϕj (x) dP j=1
j=1
pour x ∈ P . Soit α : P → Q une application A-linéaire. L’application A-linéaire dnc α : P → Q ⊗A Ω1nc (A) est définie par dnc α = dQ ◦ α − (α ⊗ id) ◦ dP . Lorsque α est un isomorphisme, on pose α−1 dnc α = (α−1 ⊗ id) ◦ dnc α. Après le choix de systèmes de coordonnées S et S 0 sur P et Q, on désigne par M et N les matrices respectives de α et α−1 . Ces matrices sont à coefficients dans A. La matrice carrée N dnc M est à coefficients dans Ω1nc (A) ; sa trace est notée tr(α−1 dnc α, S, S 0 ). (n) Pour x = [P, α, Q], la trace de Dennis à coefficients D1 : K1 (A; Z/n) → HH1 (A; Z/n) est alors définie comme étant la classe d’homologie dans (co(· n), d), du cycle (tr(α−1 dnc α, S, S 0 ), rg(P, S) − rg(Q, S 0 )). Cette classe d’homologie est indépendante des choix de S et S 0 . (n)
T HÉORÈME 1. – Soient A une algèbre et n > 2. L’application D1 est un morphisme de groupes rendant commutatif le diagramme suivant (où D0 et D1 sont les traces de Dennis usuelles [3,4]). 0
K1 (A)/(n)
ρ
HH1 (A)/(n)
∂
(n)
D1
0
K1 (A; Z/n)
HH1 (A; Z/n)
0
D0
D1 ρ
K0 (A)(n)
∂
HH0 (A)(n)
0
e 0 (A), K1 (A) = A× ⊕ SK1 (A). Introduisons le Supposons A commutative. Alors K0 (A) = Z ⊕ K 1 1 groupe ΩdR (A)/(n), où ΩdR (A) est le A-module des formes différentielles de Kähler–de Rham de A. On sait que D1 (SK1 (A)) = 0 et que pour u ∈ A× , on a D1 (u) = u−1 du. Notons dA× /A× le sous-groupe de Ω1dR (A) engendré par les dérivées logarithmiques u−1 du des unités u ∈ A× . On a ρ ◦ D1 (K1 (A)) = dA× /A× . Le théorème précédent conduit au : C OROLLAIRE 2. – Soient k un anneau commutatif unitaire, A une k-algèbre commutative et n > 2 un entier. On désigne par S le sous-groupe de Ω1dR (A) engendré par nΩ1dR (A) et dA× /A× . Alors la (n) e 0 (A)(n) → Ω1 (A)/S, définie pour x = ∂(y) ∈ K e 0 (A)(n) « classe caractéristique secondaire » d1 : K dR (n)
(n)
par d1 (x) = D1 (y) mod S est un morphisme de groupes abéliens, non trivial en général.
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M. Karoubi, T. Lambre
2. Le cas des anneaux d’entiers d’un corps de nombres T HÉORÈME 3. – Soit A l’anneau des entiers d’un corps de nombres F , de groupe des classes Cl(A). Alors K1 (A; Z/n) s’identifie au groupe U(A; Z/n) = [u] ∈ F × /(n) | ∃ I idéal fractionnaire de A tel que uA = I n . De plus, l’extension (1) vue plus haut se réduit à la suite exacte bien connue : A× /(n)
1
U(A; Z/n)
∂
Cl(A)(n)
(2)
0
où A× est le groupe des unités de A, la flèche ∂ consistant à envoyer [u] sur l’idéal I. Pour construire des éléments explicites du groupe U(A; Z/n) ∼ = K1 (A; Z/n), on utilise le lemme suivant. L EMME 4. – Soit A l’anneau des entiers d’un corps de nombres F et soit u un élément non nul de A. Pour que [u] ∈ F × /(n) appartienne à K1 (A; Z/n), il suffit que la norme N(u) soit une puissance n-ième dans Z et que (N(u), N1 (u)) = 1, N1 (u) étant le coefficient de X dans le polynôme caractéristique de u, considéré comme endomorphisme du Q-espace vectoriel F . Voici un exemple d’application du lemme. P ROPOSITION 5. – Supposons F quadratique de discriminant δ. Soit p un nombre premier impair. On p / (Z/b)×(p) . Si δ < −4 ou si suppose qu’il existe (α, b) ∈ Z2 tel que α2 − √4b = δ avec (α, b) = 1 et α ∈ δ > 0 et F d’unité fondamentale ε = (ε1 +ε2 δ)/2 telle que (ε1 +ε2 α)/2 ∈ (Z/b)×(p) , on a Cl(A)(p) 6= 0. √ Démonstration. – Le lemme 4 appliqué à u = (α + δ)/2 √ montre que [u] appartient à K1 (A; Z/n). Le morphisme d’anneaux f : A → Z/b défini par f ((x + y δ)/2) = (x + yα)/2 induit un morphisme de groupes (p)
f1
: K1 (A; Z/p) −→ K1 (Z/b; Z/p) ∼ = (Z/b)× /(p)
(p)
tel que f1 ([u]) = [α] 6= 0. Si δ < −4, ceci et (2) montrent Cl(A)(p) 6= 0. Si δ > 0 et si ∂([u]) = 0, alors [u] appartient à A× /(p) et de l’hypothèse f (ε) ∈ (Z/b)×(p) , on tire f1 (A× /(p)) = 0, ce qui est en (p) contradiction avec f1 ([u]) 6= 0 ; donc ∂([u]) 6= 0 et Cl(A)(p) 6= 0. 2 (p)
Remarque 6. – L’élément non trivial construit ici coïncide avec celui découvert par Yamamoto [7]. À partir de cet élément, cet auteur en déduit pour tout entier n un nombre infini de corps quadratiques dont le groupe des classes possède un facteur Z/n. Q 1 ΩdR (A ⊗ Zp ), Soit R l’ensemble des diviseurs premiers du discriminant δ du corps F . De Ω1dR (A) = p∈R
(p)
(p)
on déduit Ω1dR (A)/(p) = 0 si (p, δ) = 1. Les classes caractéristiques D1 et d1 ne peuvent donc détecter d’éléments non triviaux de Cl(A)(p) que si p est ramifié dans A. Donnons un exemple. P ROPOSITION 7. – Supposons F quadratique et soit n un diviseur impair du discriminant δ de F . On suppose qu’il existe (α, b) ∈ Z2 tel√que α2 − 4bn = δ avec (α, b) = (α, n) = 1. Si δ < −4 ou si δ > 0 et d’unité fondamentale ε = (ε1 + ε2 δ)/2 telle que n | ε2 , alors Cl(A) possède un élément d’ordre n. √ √ Démonstration. – On a Ω1dR (A)/n = Z/n dω avec ω = √ δ/2 ou ω = (1 + δ)/2 suivant que δ est congru à 0 ou 1 modulo 4. Le lemme 4 appliqué à u = (α+ δ)/2 montre que [u] appartient à K1 (A; Z/n). (n) Un calcul conduit à D1 ([u]) = 2/α dω 6= 0. Si δ < −4, ceci montre que Cl(A) possède un élément d’ordre
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Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres
n. Si δ > 0, de n | ε2 , on déduit dA× /A× ⊂ nΩ1dR (A). La classe secondaire d1 est donc à valeurs dans (n) (n) Ω1dR (A)/(n) et d1 (∂([u]) = √D1 ([u]) 6= 0, d’où un élément d’ordre 2n dans Cl(A)). Par exemple, soit F = Q[ δ] avec δ = −4 294 967 295. De δ = 1 − 4 · 415 , on déduit√un élément de 15-torsion dans Cl(A). Ou √ encore soit δ = 231, p = 3 ; l’unité fondamentale ε = (430 + 24 d)/2 du corps quadratique réel f = Q[ δ] satisfait les conditions requises et de δ = 172 − 4 · (−2)3 ; on déduit un élément d’ordre 3 dans Cl(A). 2 (n)
3. Application à la cyclotomie Soient p un nombre premier impair et ζ = ζp une racine primitive p-ième de l’unité. Le corps cyclotomique F = Q[ζ] a pour groupe de Galois G = (Z/p)× . Soit g un générateur de G opérant dans F par gζ = ζ s avec (p, s) = 1. L’anneau des entiers A de F est Z[ζ]. L’extension (2) se scinde en deux parties, dont la partie antisymétrique pour la conjugaison complexe s’écrit 1
µp
ρ
K1− (A; Z/n)
∂
Cl(A)− (p)
1.
− On pose d− p = dimZ/p Cl(A)(p) = dimZ/p K1 (A; Z/p) − 1. Introduisons l’anneau de groupe R = Z/p[τ ]/(1 − τ p ). Le groupe de Galois G opère dans R par gτ = τ s . Le Z/p-espace vectoriel Ω1dR (R)/(p) se scinde en Ω− ⊕ Ω+ , où Ω− est de dimension (p + 1)/2. Il existe une base (f0 , f1 , . . . , f(p−1)/2 ) de Ω− pour laquelle l’action de G est donnée par gf0 = sf0 , gf` = sf`+1 , 1 6 ` < (p − 1)/2, gf(p−1)/2 = sf1 . Rappelons que les entiers (p, a, b, c) satisfont aux hypothèses du premier cas du dernier théorème de Fermat (en abrégé DTF1) si p est un premier impair et ap = bp + cp avec (a, b, c) = (p, abc) = 1. Notons n la classe de n modulo p. Sous l’hypothèse DTF1, les éléments z = (a − bζ)/(a − bζ −1) mod F ×(p) et z 0 = (a − bτ )/(a − bτ −1 ) mod R×(p) appartiennent respectivement à K1− (A; Z/p) et K1− (R; Z/p). Notons U et U 0 respectivement les sous-espaces vectoriels de K1− (A; Z/p) et K1− (R; Z/p) engendré par l’orbite de z (resp. z 0 ) sous l’action de G. On vérifie facilement 0 6 dimZ/p (U 0 ) − dimZ/p (U ) 6 1, d’où d− p > dimZ/p (U ) − 1 > dimZ/p (U 0 ) − 2. Pour évaluer dimZ/p (U 0 ), on considère la restriction χ0 de la trace de P(p−1)/2 (p) αk fk avec Dennis D1 : K1 (R; Z/p) → Ω1dR (R)/(p) à U 0 . Un calcul conduit à χ0 (z 0 ) = 2f0 + k=1 k k αk = (a/b)s + (b/a)s . Compte tenu de l’action de G sur sur les fk , on voit que le rang de χ0 est celui de la matrice circulante C ∈ Mat(p−1)/2) (Z/p) suivante :
α1 α p−1 2 C = C(p, a, b, c) = . .. α2
α2 α1 .. . α3
· · · α p−1 2 · · · α p−3 2 . .. .. . . ··· α1
Le calcul du rang de C nécessite l’introduction des polynômes de Mirimanoff Mk (X) ∈ Z/p[X], définis Pp−1 pour 1 6 k 6 p − 1 par Mk (X) = j=1 j k−1 X j . Pour t ∈ Z/p r {0, 1, −1}, posons rp (t) = # k, 1 6 k 6 (p − 1)/2, M2k+1 (t) 6= 0 . Un calcul simple montre que les valeurs propres de C(p, a, b, c) sont les M2k+1 (a/b), 1 6 k 6 (p − 1)/2. On en déduit que le rang de la matrice C(p, a, b, c) est rp (a/b). Posons encore rp = min rp (t), t ∈ Z/p r {0, 1, −1} . En conclusion, on a montré :
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M. Karoubi, T. Lambre
T HÉORÈME 8. – Supposons que (p, a, b, c) soient des entiers vérifiant les hypothèses DTF1. Alors d− p > rp − 2. Remarque 9. – À normalisation près, les calculs ci-dessus correspondent à ceux effectués par Brückner [2], où notre trace χ0 est à comparer avec le morphisme χ de Brückner ([2], 2.1). La quantité fi (η) de ([2], 3.5) est telle que fi (η) ∼ = (−1)i−1 (b/c)Mi−1 (a/b) mod p et la minoration dp > rp − 2 correspond à ([2], 5.1). À partir de cette minoration, Brückner montre que le premier cas du dernier théorème de Fermat est vrai si p > 2dp +3 − 2dp − 3, où dp = dimZ/p (Cl(A)(p) . On peut aussi procéder comme suit. Soit p un nombre premier. D’après [5,6], pour p > 7, on a d− p 6 (p + 3)/4. La minoration ci-dessus montre que si rp > (p + 11)/4, alors le premier cas du théorème de Fermat est vrai pour p. Numériquement, le calcul de rp est très rapide, ce qui n’est pas le cas pour dp ou d− p. Remerciement. Les auteurs remercient le rapporteur pour leur avoir signalé la référence [2]. * « Résumé d’un texte qui sera conservé cinq ans dans les Archives de l’Académie et dont copie peut être obtenue. »
Références bibliographiques Bass H., Algebraic K-Theory, Benjamin, New York, 1968. Brückner H., Zum ersten Fall der Fermatschen Vermutung, J. Reine Ang. Math. 274–276 (1975) 21–26. Connes A., Non-commutative differential geometry, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 62 (1985) 257–360. Karoubi M., Homologie cyclique et K-théorie, Astérisque 149, Soc. Math. France, 1987. Lepistö T., On the growth of the first factor of the class number of the prime cyclotomic field, Ann. Sci. Fennicae, Série A, I 577 (1974) Helsinki (21 p.) [6] Metsänkylä T., Class numbers and µ-invariants of cyclotomic fields, Proc. Amer. Math. Soc. 43 (1974) 299–300. [7] Yamamoto Y., On unramified Galois extensions of quadratic number fields, Osaka J. Math. 7 (1970) 57–76. [1] [2] [3] [4] [5]
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