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Simulation des phenomenes de reflexion et de transmission des electrons
Mathematics and Computers 0 North-Holland Publishing
in Simulation Company
XXI (1979)
329-334
SIMULATION DES PHENOMENES DE REFLEXION
ET DE TRANSMISSION
DES ELECTRONS
Guy MESNARD Universitk Claude Bernard de Lyon, 43 Boulevard du I1 Movembre 1918, F-69621
Villeurbanne, France
The determination of reflection and transmission coefficients for electronsgoing through a zone ofvariable potential is considered. The method of calculation from the resolution of the Schradinger equation is indicated On the other hand, one shows that it is interesting to resolve the equation giving the module of the wave function. An example is presented.
1. Introduction
utiliser une 5quation autre que YCquation (l), plus commode sous l’angle calcul mais aussi conduisant g une simulation plus directe des phCnom6nes.
Les Ph6nomknes de rkflexion et de transmission des Clectrons soumis g un potentiel fonction d’une variable d’espace x interviennent dans 1’Ctude des propri&s de transport dans de nombreux matCriaux ilectroniques. Nous nous bornerons au cas oh deux rkgions dans lesquelles le potentiel est constant sont s6par6es par une zone oh le potentiel varie; en particulier l’effect tunnel sera concern& I1 s’agit 1s d’un problkme d’onde car on doit tenir compte de la nature ondulatoire de 1’Clectron. On est amen6 B rCsoudre 1’6quation de SchrGdinger des Ctats stationnaires pour 1’Cnergie E dans le potentiel V(x) d2$ 2m G+~(E-
v)$=O
2. Rappel thCorique sur les solutions de l’kquation (1) 2.1. Milieu homogine Nous consid&ons d’abord une rigion oh le potentie1 V a une valeur constante. 2. I. 1. Solutions
particulitres Prenons d’abord E - I/ > 0. Une solution de la forme $ = exp ikx est acceptable. En substituant dans l’iquation (1) on trouve que k = [2m(E - V)] ‘/*/?z. Nous dksignerons dCsormais par k la valeur positive qui, par convention correspondra Q une onde se dirigeant vers les x positifs, la valeur -k correspondant g une onde se dirigeant vers les x negatifs. En faisant agir l’opkrateur quantit6 de mouvement p = -ih d/dx, on trouve les valeurs propers *Rk. Par ailleurs la densit de probabiliti $ rC,* est partout la mQme. Pour E - I/ < 0, on trouve les solutions particul&es $ = exp k’x et $ = exp -k’x avec k’ = [2m(V - E)] 1/2/h, avec les probabilitCs de prCsence $J+!J*= exp +_2k’x; il ne s’agit plus d’ondes progressives.
(1)
oh $ est la fonction d’onde, m la masse de l’ilectron et A = h/2n, h Ctant la constante de Planck. Le problbme, bien qu’important, est t&s spCcifique ; mais les m&hodes propos5es pourront Etre Ctendues g 1’Ctude d’autres types d’ondes. 11ne peut &i.crCsolu, en dehors de quelques cas tout a fait particuliers, qu’en faisant appel g des moyens Clectromques de calcul. Nous verrons comment, g partir de la rCsolution de 1’Cquation (l), on peut trouver les coefficients de riflexion et de transmission. La rCsolution elle-m&me ne prCsente pas de difficult&, que I’on utilise le calcul analogique, bien adapt6 g cette Cquation [ 1,2], ou le calcul digital, car il s’agira d’un problkme a valeurs initiales. Toutefois nous montrerons que l’on a intCrCt g
2.1.2. Solution g&&ale
On combine les solutions particuli&res prCcCdentes. 329
G. Mesnard / Phtkomdnes
330
PourE-
de kjlexion
et transmission
des Plectrons 1
V>O,ona
r//=AexpikxtBexp-ikx
(2)
“A” -
otiA= lAIexpiaetB= IBIexpibsontapriori quelconques. La figure 1 donne une representation de $ dans le plan complexe faisant apparaitre les quantit& M et cptelles que
"B" -
$ =Mexp
icp
2
-
(3)
"C"
(a)
Xl
x2
Xl
x2
“A” -
I1 est interessant de determiner le flux de probabilite J associe a la solution (2). Celui-ci est defini par d* 111/l*/d_x*+ div J= 0, ce qui conduit a
"B"
A
(b)
Fig. 2.
oti p est l’operateur quantite plus haut. On a .I= (IAl*
de mouvement
defini
- lBl’)hk m
La densite de courant associee est -eJ oh e est la valeur absolue de la charge de l’electron. PourEV
- AB*),
rtelle.
2.2. Milieu non homogkne. Rt?jlexion et transmission Dans les regions 1 et 2 (Fig. 2) le potentiel est unifor-me avec E - V > 0; il varie dans la zone interme-
diaire (entre x1 et x2) oh l’on peut avoir E - V > 0 otiEV
TJdA$
(4)
1
3. DCtermination
de R et T par calculateur
3.1. Principes
Fig. 1.
Nous raisonnons sur une resolution analogique de 1’Cquation (l), mais les memes remarques sont valables pour une resolution numerique. On ne peut faire la resolution correspondant a la figure 2(a) car la machine ne peut donner que des solutions reelles. Dans un milieu homogene on obtient alors necessairement une solution de la forme (2) avec B =A* c’est a dire IB 1= IA I, b = -Q. On a au
G. Mesnard / Phknombnes de kflexion
total une onde stationnaire et non progressive, Jest nul et la solution peut s’ecrire $ = A exp ikx + (A exp ikx)* = 2 IA I cos(kx f a). Mais par ailleurs, dans la resolution, on ne peut introduire l’ensemble des ondes “_4” et “B” puisque B n’est pas connue. C’est pourquoi nous devons opirer a l’envers. On introduit (Fig. 2(b)) l’onde incidente vers la gauche C exp - i&x, le calculateur fonctionnant avec t croissant dans le sens des x decroissants; il donne dans la region 1 l’ensemble A exp -iktx + B exp iktx. On peut fixer C a priori; A sera obtenu ensuite, en mtme temps que B. La situation de la figure 2(b) ne peut Ctre obtenue qu’avec des conditions initiales convenables et il faudra savoir ‘s&parer’ les ondes “A” et “B” dans la region 1. Mais on a vu que la machine ne peut donner une telle solution. On aura en fait une solution qui sera la superposition de la solution precedente avec celle qui correspond a la solution imaginaire conjugude. Ceci donne: - dans la region 2: $(x)=2IClcos(-kzxtc),
un dephasage pk. Si done on change la phase partout de la mdme facon on a encore une solution. Dans ces conditions, si nous dcrivons sous la forme (6) la solution obtenue dans le region 1 pour c = 0, la solution obtenue pour c = .$r sera la meme d&lee de $r c’est-a-dire
+ 2 IB 1cos(k,x + b + 2~). Nous allons alors comparer $(x) donne par l’equation (6) a $r(x - n/2kl). On a =-2IAIcos(-kIx+a) + 2 IB 1cos(klx + b) . On voit que
= 4 IB I cos(klx + b) ,
(5)
- dans la region 1:
$6) -
$(x) = 2 IA I cos(-k,x
f a) f 2 IB I cos(klx + b).
II faut done crier la fonction reponse (6).
(5) et identifier
$1(x - ;)
= 4 IA 1cos(-klx
+ a).
(6)
la
3.2. Mise en oeuvre On operera en deux temps en faisant deux resolutions successives. Les conditions initiales $e et $b correspondant Ax = 0 (pris dans la region 2) sont telles que $0 = 2 ICI cos c,
331
et transmission des Plectrons
On obtient done IA I et IB I (et aussi d’ailleurs a et b), d’oh R et T. La methode est done assez simple. Toutefois elle n’est pas absolument directe car on ne peut simuler une onde progressive. C’est un inconvenient et nous allons envisager une autre methode.
4. Equations d’onde
du module et de la phase de la fonction
$b=21CIkzsinc,
de sorte que IC 1et c ont des valeurs donnees. Les deux resolutions prevues correspondront respectivement a: -Ii/b = 0, ce qui donne c = 0 -$,-, = 0, ce qui donne c =
$rr.
On s’appuie alors sur la remarque suivante. La solution J, de l’equation de Schrodinger est definie a
4. I. Etablissement des &quations (cjI [3]) Les difficultes rencontrees ci-dessus resultent de ce que les phenomenes etudies se presentent de faqon simple en introduisant des fonctions d’onde complexes alors que le calculateur ne donne que des solutions reelles. On va done envisager de raisonner directement sur le module Met la phase cpde la fonction d’onde mise sous la forme (3): M et cpsont reels.
G. Mesnard / PhPnomPnes de reflexion
332
$I’ = M’ exp ip + Miq’ exp ip
d*G --Q
=
I)” = M” exp icp+ 2M’ip’ exp iv
4.2.2. Solution gt%trale Pour E - V > 0, on sait que la solution pour upest une combinaison de deux ondes progressives et M n’est plus constant. D’apres la figure 1 on peut exprimer M* sousla forme
t Mip” exp ip t M(ip’)* exp iv d’oti, en substituant dam l’equation (1) puis en simplifiant par exp iv, et en separant partie reelle et partie imaginaire, M”-Mq”t$(E-
des PIectrons
d&es plus haut. Et on voit que F= *MLk. Pour E - V < 0, il y a des solutions qui ne sont plus des ondes progressives et correspondent a F = 0. M verifie alors l’equation de Schrodinger.
On a d+ z=
et transmission
M2 = IAl* + IBl* +2IA I IBIcos(2kx
+a - b),
de sorte que M* varie de facon sinuso’idale. Exprimons maintenant le flux de probabilite
V)M=O,
2M’(p’ t Mlp” = 0 . qui s’ecrit aussi (M*q’)‘/M =
Cette derniere equation, 0, conduit a M*p’ = F
ou
(8)
F&ant une constante. Substituant cette expression de cp’dans (7), on trouve l’equation pour M:
m
’
m
Cette formule donne une interpretation t&s simple deF: F=Jmfh. Compte tenu de la valeur de J calculee plus haut et en introduisant k, on a aussi F = k[ IA I* - lBl*], ce qui generalise la formule a une seule onde. F est nulle si les deux ondes ont la m&me amplitude. Pour E - V < 0, la for-mule F = Jm/i? s’applique toujours; elle est aussi valable pour un potentiel variable car la demonstration repose seulement sur la forme (3) de $. Et J, comme F, est constant quel que soit x.
vM-M<=O.
M”t$(E-
$ = M exp iv. On trouve aisiment
en introduisant
cp’= F/M*,
Le probleme essentiel est de resoudre cette Cquation. Elle est plus compliquee que l’equation de Schrodinger et elle n’est pas lineaire. En outre elle depend dun parametre F. Mais ces inconvenients seront compenses par divers avantages. 4.2. Solutions dam un milieu homogt?ne Il s’agit d’un milieu oh V est constant.
5. Dktermination 4.2.1. Solutions particuli&es Pour E - V > 0, il y a une solution avec M constant. On a F*A*
M4=2m(E_ v>
F = +M*[zm(E -
O”
-
Vll’*
A
ce qui donne cp= f
pm@- Ql”’
x
+
cpo =
+kx
+
cpo.
h
On retrouve les deux ondes progressives deja consi-
de R et T a l’aide de l’dquation (9)
5.1. Principe
>
Nous raisonnons encore sur la figure 2(b). I1 est facile de simuler l’onde C exp -ik2x. I1 suffit de prendre les conditions initiales correspondantes pour la resolution de l’equation, a savoir M= (F/k*)‘/* et M’ = 0. On choisit pour F une valeur positive quelconque car on peut raisonner sur un flux de probabilite quelconque. Le calculateur donne alors dans la region 1 une variation sinusoidale pour M*; on en tire immediate-
G. Mesnard / PhekomAes
333
de rPflexion et transmission des tlectrons M2
500
250 5 i
Lk--l_
Fig. 3.
X
Fig. 5.
ment IA 1et IBI. La Constance de flux de probabilite conduit a Ccrire kzICl~=k&l12-
IB12)=k,IA12(1
-R)
ce
qui etablit la formule (4) don&e plus haut. Un cas usuel est celui oh ICl est t&s inferieur a IA I et IBI qui sont sensiblement egaux; on peut alors ecrire M = 2 IA I cos(-krx
f ;(a - b)).
barriere est d = 9.68. On a pris d’autre part F = 10. Avec k2 = 0.1, la valeur initiale choisie pour M est de 10. Ces valeurs numeriques peuvent correspondre a plusieurs cas suivant les unites choisies. La figure 4 donne la variation obtenue pour M en fonction de la position. La figure 5 donne M2 dans la region 1; on verifie que la courbe est sinuso’idale. On a obtenu Ml
5.2. Exemple Pour mettre en evidence les possibilites de cette methode, nous avons prevu une resolution de l’equation (9) sur calculateur numerique en utilisant une methode de prediction-correction. Nous avons trait6 comme exemple le problbme de l’effet tunnel a travers une barriere de potentiel rectangulaire, conformement a la figure 3. Dans la barriere on a pris 2m(V - E)/Fz2 = 0.01 et en dehors de la barriere 2m(E - V’)/h’ = 0.01. La largeur de la
= 15.15,
IBI
=
11.25 )
d’oti T = 0.436.
6.
Conclusion
Nous nous sommes interesse a la resolution de l’equation de Scrodinger en vue de determiner des coefficients de reflexion et de transmission pour des problemes unidimensionnels. I1 est apparu que cette determination est possible. Mais nous avons montre que l’on peut avoir inter&t a resoudre l’equation donnant le module de la fonction d’onde, car, si l’equation est plus compliquee, elle per-met de simuler plus directement les effets Ctudies. L’dtude concernait en particulier l’effet tunnel a travers les barrieres de potentiel qui intervient souvent dans les phenomenes de transport Clectronique. Un exemple de ce type a Cte pris. On sait que gCnCralement les coefficients de transmission par effet tunnel sont &aluCs de facon approchee en utilisant l’approximation BKW. Celle-ci conduit a l’expression suivante de T: x2
T= exp -2 Fig. 4.
ICI = 10 )
1 Xl
k’(x) dx
.
334
G. Mesnard / Ph&omdnes
de r&jlexion et transmission des e’lectrons
notre exemple cette formule donne T = 0.144. On voit que la prkision est t&s mCdiocre. Ceci montre l’intCr&t de la mCthode propode. Mais il faut tenir compte de ce que beaucoup d’autres probltmes d’ondes sont rCgis par des Cquations analogues Acelles que nous avons envisagkes, d’oti diverses extensions. Dans
References [l]
Ch. Forestier et G. Mesnard, Utilisation d’un calculateur analogique rkpetitif i la resolution de l’iquation de
SchrBdinger dans le cas d’un puits de potentiel quelconque, Annales de L’AICA 14 (1972) 183. [2] _I. Fornazero et G. Mesnard, Mbthode analogique de ddtermination de la structure de bande ilectronique de modtles pkiodiques indhfinis B une dimension, C.R. Acad. Sci. Paris Sk. B 268 (1969) 415. [ 31 L. Pincherle, The possible use of the equations for the modules and phase of the one-electron wave functions in band theory, J. Phys. C (Solid State Phys.) 2 (2) (1969) 107.
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XXI (1979)
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ET DE TRANSMISSION
DES ELECTRONS
Guy MESNARD Universitk Claude Bernard de Lyon, 43 Boulevard du I1 Movembre 1918, F-69621
Villeurbanne, France
The determination of reflection and transmission coefficients for electronsgoing through a zone ofvariable potential is considered. The method of calculation from the resolution of the Schradinger equation is indicated On the other hand, one shows that it is interesting to resolve the equation giving the module of the wave function. An example is presented.
1. Introduction
utiliser une 5quation autre que YCquation (l), plus commode sous l’angle calcul mais aussi conduisant g une simulation plus directe des phCnom6nes.
Les Ph6nomknes de rkflexion et de transmission des Clectrons soumis g un potentiel fonction d’une variable d’espace x interviennent dans 1’Ctude des propri&s de transport dans de nombreux matCriaux ilectroniques. Nous nous bornerons au cas oh deux rkgions dans lesquelles le potentiel est constant sont s6par6es par une zone oh le potentiel varie; en particulier l’effect tunnel sera concern& I1 s’agit 1s d’un problkme d’onde car on doit tenir compte de la nature ondulatoire de 1’Clectron. On est amen6 B rCsoudre 1’6quation de SchrGdinger des Ctats stationnaires pour 1’Cnergie E dans le potentiel V(x) d2$ 2m G+~(E-
v)$=O
2. Rappel thCorique sur les solutions de l’kquation (1) 2.1. Milieu homogine Nous consid&ons d’abord une rigion oh le potentie1 V a une valeur constante. 2. I. 1. Solutions
particulitres Prenons d’abord E - I/ > 0. Une solution de la forme $ = exp ikx est acceptable. En substituant dans l’iquation (1) on trouve que k = [2m(E - V)] ‘/*/?z. Nous dksignerons dCsormais par k la valeur positive qui, par convention correspondra Q une onde se dirigeant vers les x positifs, la valeur -k correspondant g une onde se dirigeant vers les x negatifs. En faisant agir l’opkrateur quantit6 de mouvement p = -ih d/dx, on trouve les valeurs propers *Rk. Par ailleurs la densit de probabiliti $ rC,* est partout la mQme. Pour E - I/ < 0, on trouve les solutions particul&es $ = exp k’x et $ = exp -k’x avec k’ = [2m(V - E)] 1/2/h, avec les probabilitCs de prCsence $J+!J*= exp +_2k’x; il ne s’agit plus d’ondes progressives.
(1)
oh $ est la fonction d’onde, m la masse de l’ilectron et A = h/2n, h Ctant la constante de Planck. Le problbme, bien qu’important, est t&s spCcifique ; mais les m&hodes propos5es pourront Etre Ctendues g 1’Ctude d’autres types d’ondes. 11ne peut &i.crCsolu, en dehors de quelques cas tout a fait particuliers, qu’en faisant appel g des moyens Clectromques de calcul. Nous verrons comment, g partir de la rCsolution de 1’Cquation (l), on peut trouver les coefficients de riflexion et de transmission. La rCsolution elle-m&me ne prCsente pas de difficult&, que I’on utilise le calcul analogique, bien adapt6 g cette Cquation [ 1,2], ou le calcul digital, car il s’agira d’un problkme a valeurs initiales. Toutefois nous montrerons que l’on a intCrCt g
2.1.2. Solution g&&ale
On combine les solutions particuli&res prCcCdentes. 329
G. Mesnard / Phtkomdnes
330
PourE-
de kjlexion
et transmission
des Plectrons 1
V>O,ona
r//=AexpikxtBexp-ikx
(2)
“A” -
otiA= lAIexpiaetB= IBIexpibsontapriori quelconques. La figure 1 donne une representation de $ dans le plan complexe faisant apparaitre les quantit& M et cptelles que
"B" -
$ =Mexp
icp
2
-
(3)
"C"
(a)
Xl
x2
Xl
x2
“A” -
I1 est interessant de determiner le flux de probabilite J associe a la solution (2). Celui-ci est defini par d* 111/l*/d_x*+ div J= 0, ce qui conduit a
"B"
A
(b)
Fig. 2.
oti p est l’operateur quantite plus haut. On a .I= (IAl*
de mouvement
defini
- lBl’)hk m
La densite de courant associee est -eJ oh e est la valeur absolue de la charge de l’electron. PourEV
- AB*),
rtelle.
2.2. Milieu non homogkne. Rt?jlexion et transmission Dans les regions 1 et 2 (Fig. 2) le potentiel est unifor-me avec E - V > 0; il varie dans la zone interme-
diaire (entre x1 et x2) oh l’on peut avoir E - V > 0 otiEV
TJdA$
(4)
1
3. DCtermination
de R et T par calculateur
3.1. Principes
Fig. 1.
Nous raisonnons sur une resolution analogique de 1’Cquation (l), mais les memes remarques sont valables pour une resolution numerique. On ne peut faire la resolution correspondant a la figure 2(a) car la machine ne peut donner que des solutions reelles. Dans un milieu homogene on obtient alors necessairement une solution de la forme (2) avec B =A* c’est a dire IB 1= IA I, b = -Q. On a au
G. Mesnard / Phknombnes de kflexion
total une onde stationnaire et non progressive, Jest nul et la solution peut s’ecrire $ = A exp ikx + (A exp ikx)* = 2 IA I cos(kx f a). Mais par ailleurs, dans la resolution, on ne peut introduire l’ensemble des ondes “_4” et “B” puisque B n’est pas connue. C’est pourquoi nous devons opirer a l’envers. On introduit (Fig. 2(b)) l’onde incidente vers la gauche C exp - i&x, le calculateur fonctionnant avec t croissant dans le sens des x decroissants; il donne dans la region 1 l’ensemble A exp -iktx + B exp iktx. On peut fixer C a priori; A sera obtenu ensuite, en mtme temps que B. La situation de la figure 2(b) ne peut Ctre obtenue qu’avec des conditions initiales convenables et il faudra savoir ‘s&parer’ les ondes “A” et “B” dans la region 1. Mais on a vu que la machine ne peut donner une telle solution. On aura en fait une solution qui sera la superposition de la solution precedente avec celle qui correspond a la solution imaginaire conjugude. Ceci donne: - dans la region 2: $(x)=2IClcos(-kzxtc),
un dephasage pk. Si done on change la phase partout de la mdme facon on a encore une solution. Dans ces conditions, si nous dcrivons sous la forme (6) la solution obtenue dans le region 1 pour c = 0, la solution obtenue pour c = .$r sera la meme d&lee de $r c’est-a-dire
+ 2 IB 1cos(k,x + b + 2~). Nous allons alors comparer $(x) donne par l’equation (6) a $r(x - n/2kl). On a =-2IAIcos(-kIx+a) + 2 IB 1cos(klx + b) . On voit que
= 4 IB I cos(klx + b) ,
(5)
- dans la region 1:
$6) -
$(x) = 2 IA I cos(-k,x
f a) f 2 IB I cos(klx + b).
II faut done crier la fonction reponse (6).
(5) et identifier
$1(x - ;)
= 4 IA 1cos(-klx
+ a).
(6)
la
3.2. Mise en oeuvre On operera en deux temps en faisant deux resolutions successives. Les conditions initiales $e et $b correspondant Ax = 0 (pris dans la region 2) sont telles que $0 = 2 ICI cos c,
331
et transmission des Plectrons
On obtient done IA I et IB I (et aussi d’ailleurs a et b), d’oh R et T. La methode est done assez simple. Toutefois elle n’est pas absolument directe car on ne peut simuler une onde progressive. C’est un inconvenient et nous allons envisager une autre methode.
4. Equations d’onde
du module et de la phase de la fonction
$b=21CIkzsinc,
de sorte que IC 1et c ont des valeurs donnees. Les deux resolutions prevues correspondront respectivement a: -Ii/b = 0, ce qui donne c = 0 -$,-, = 0, ce qui donne c =
$rr.
On s’appuie alors sur la remarque suivante. La solution J, de l’equation de Schrodinger est definie a
4. I. Etablissement des &quations (cjI [3]) Les difficultes rencontrees ci-dessus resultent de ce que les phenomenes etudies se presentent de faqon simple en introduisant des fonctions d’onde complexes alors que le calculateur ne donne que des solutions reelles. On va done envisager de raisonner directement sur le module Met la phase cpde la fonction d’onde mise sous la forme (3): M et cpsont reels.
G. Mesnard / PhPnomPnes de reflexion
332
$I’ = M’ exp ip + Miq’ exp ip
d*G --Q
=
I)” = M” exp icp+ 2M’ip’ exp iv
4.2.2. Solution gt%trale Pour E - V > 0, on sait que la solution pour upest une combinaison de deux ondes progressives et M n’est plus constant. D’apres la figure 1 on peut exprimer M* sousla forme
t Mip” exp ip t M(ip’)* exp iv d’oti, en substituant dam l’equation (1) puis en simplifiant par exp iv, et en separant partie reelle et partie imaginaire, M”-Mq”t$(E-
des PIectrons
d&es plus haut. Et on voit que F= *MLk. Pour E - V < 0, il y a des solutions qui ne sont plus des ondes progressives et correspondent a F = 0. M verifie alors l’equation de Schrodinger.
On a d+ z=
et transmission
M2 = IAl* + IBl* +2IA I IBIcos(2kx
+a - b),
de sorte que M* varie de facon sinuso’idale. Exprimons maintenant le flux de probabilite
V)M=O,
2M’(p’ t Mlp” = 0 . qui s’ecrit aussi (M*q’)‘/M =
Cette derniere equation, 0, conduit a M*p’ = F
ou
(8)
F&ant une constante. Substituant cette expression de cp’dans (7), on trouve l’equation pour M:
m
’
m
Cette formule donne une interpretation t&s simple deF: F=Jmfh. Compte tenu de la valeur de J calculee plus haut et en introduisant k, on a aussi F = k[ IA I* - lBl*], ce qui generalise la formule a une seule onde. F est nulle si les deux ondes ont la m&me amplitude. Pour E - V < 0, la for-mule F = Jm/i? s’applique toujours; elle est aussi valable pour un potentiel variable car la demonstration repose seulement sur la forme (3) de $. Et J, comme F, est constant quel que soit x.
vM-M<=O.
M”t$(E-
$ = M exp iv. On trouve aisiment
en introduisant
cp’= F/M*,
Le probleme essentiel est de resoudre cette Cquation. Elle est plus compliquee que l’equation de Schrodinger et elle n’est pas lineaire. En outre elle depend dun parametre F. Mais ces inconvenients seront compenses par divers avantages. 4.2. Solutions dam un milieu homogt?ne Il s’agit d’un milieu oh V est constant.
5. Dktermination 4.2.1. Solutions particuli&es Pour E - V > 0, il y a une solution avec M constant. On a F*A*
M4=2m(E_ v>
F = +M*[zm(E -
O”
-
Vll’*
A
ce qui donne cp= f
pm@- Ql”’
x
+
cpo =
+kx
+
cpo.
h
On retrouve les deux ondes progressives deja consi-
de R et T a l’aide de l’dquation (9)
5.1. Principe
>
Nous raisonnons encore sur la figure 2(b). I1 est facile de simuler l’onde C exp -ik2x. I1 suffit de prendre les conditions initiales correspondantes pour la resolution de l’equation, a savoir M= (F/k*)‘/* et M’ = 0. On choisit pour F une valeur positive quelconque car on peut raisonner sur un flux de probabilite quelconque. Le calculateur donne alors dans la region 1 une variation sinusoidale pour M*; on en tire immediate-
G. Mesnard / PhekomAes
333
de rPflexion et transmission des tlectrons M2
500
250 5 i
Lk--l_
Fig. 3.
X
Fig. 5.
ment IA 1et IBI. La Constance de flux de probabilite conduit a Ccrire kzICl~=k&l12-
IB12)=k,IA12(1
-R)
ce
qui etablit la formule (4) don&e plus haut. Un cas usuel est celui oh ICl est t&s inferieur a IA I et IBI qui sont sensiblement egaux; on peut alors ecrire M = 2 IA I cos(-krx
f ;(a - b)).
barriere est d = 9.68. On a pris d’autre part F = 10. Avec k2 = 0.1, la valeur initiale choisie pour M est de 10. Ces valeurs numeriques peuvent correspondre a plusieurs cas suivant les unites choisies. La figure 4 donne la variation obtenue pour M en fonction de la position. La figure 5 donne M2 dans la region 1; on verifie que la courbe est sinuso’idale. On a obtenu Ml
5.2. Exemple Pour mettre en evidence les possibilites de cette methode, nous avons prevu une resolution de l’equation (9) sur calculateur numerique en utilisant une methode de prediction-correction. Nous avons trait6 comme exemple le problbme de l’effet tunnel a travers une barriere de potentiel rectangulaire, conformement a la figure 3. Dans la barriere on a pris 2m(V - E)/Fz2 = 0.01 et en dehors de la barriere 2m(E - V’)/h’ = 0.01. La largeur de la
= 15.15,
IBI
=
11.25 )
d’oti T = 0.436.
6.
Conclusion
Nous nous sommes interesse a la resolution de l’equation de Scrodinger en vue de determiner des coefficients de reflexion et de transmission pour des problemes unidimensionnels. I1 est apparu que cette determination est possible. Mais nous avons montre que l’on peut avoir inter&t a resoudre l’equation donnant le module de la fonction d’onde, car, si l’equation est plus compliquee, elle per-met de simuler plus directement les effets Ctudies. L’dtude concernait en particulier l’effet tunnel a travers les barrieres de potentiel qui intervient souvent dans les phenomenes de transport Clectronique. Un exemple de ce type a Cte pris. On sait que gCnCralement les coefficients de transmission par effet tunnel sont &aluCs de facon approchee en utilisant l’approximation BKW. Celle-ci conduit a l’expression suivante de T: x2
T= exp -2 Fig. 4.
ICI = 10 )
1 Xl
k’(x) dx
.
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G. Mesnard / Ph&omdnes
de r&jlexion et transmission des e’lectrons
notre exemple cette formule donne T = 0.144. On voit que la prkision est t&s mCdiocre. Ceci montre l’intCr&t de la mCthode propode. Mais il faut tenir compte de ce que beaucoup d’autres probltmes d’ondes sont rCgis par des Cquations analogues Acelles que nous avons envisagkes, d’oti diverses extensions. Dans
References [l]
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SchrBdinger dans le cas d’un puits de potentiel quelconque, Annales de L’AICA 14 (1972) 183. [2] _I. Fornazero et G. Mesnard, Mbthode analogique de ddtermination de la structure de bande ilectronique de modtles pkiodiques indhfinis B une dimension, C.R. Acad. Sci. Paris Sk. B 268 (1969) 415. [ 31 L. Pincherle, The possible use of the equations for the modules and phase of the one-electron wave functions in band theory, J. Phys. C (Solid State Phys.) 2 (2) (1969) 107.