Solutions en dualité pour les gaz sans pression

C. R. Acad. Sci. Paris, Equations aux d&i&es

Solutions Franqois

t. 326, SPrie partielles/hrtia/

I, p. 1073-1078,

en dualit

pour

BOUCHUT,

Franqois

1998

Differential

E9uations

les gaz sans pression

JAMES

Mathematiques, applications et physique mathBmatique B.P. 6759, 45067 Orleans cedex 2, France (Regu le 5 fevrier

RCsumC.

1998, accept6 apres revision

d’OrKans,

le 27 avril

UMR CNRS 6628, Universite

d’orleans,

1998)

On introduit la notion de solution en dualite pour le systeme des gaz sans pression, pour laquelle il y a existence au probleme de Cauchy, et unicite sous des conditions optimales sur les donnees initiales. 0 Academic des SciencesiElsevier, Paris

Duality

solutions for pressureless

gases

Abstract.

We introduce the notion of duali@ solution for the system of pressureless gases, which ensures existence for the Cauchy problem, and uniqueness under optimal conditions on initial data. 0 AcadCmie des SciencesElsevier. Paris

Abridged

English

Version

We consider the one-dimensional system of pressurelessgases(1.1) where p 2 0 is the gas density and u its velocity. Specific difficulties arise in the study of this system (see [3]): first, p turns out to be a nonnegative measure, and ‘u.a function of bounded variation, so that the product pu is not well-defined; then, the most natural entropy conditions (1.2), which are necessary to have uniqueness, turn out to be unsufficient. Global existence of measure-valued solutions has been obtained independently in [lo] and [9], from discrete solutions described by sticky particles. Other results were obtained in a similar way in [15] and [16]. More recently, Brenier and Grenier [6] pointed out the relationship between weak solutions of (l.l), entropy solutions to the scalar conservation law (1.3), and sticky particles. We introduce another notion of solutions, based on the interpretation of (1.1) as a system of linear equations with discontinuous coefficient u, and unknowns p, q = pu. We use therefore the so-called duality solutions, introduced in [4], [5]. We refer to [5] for the definition and general properties of these solutions, which ensure that such solutions satisfy (1.1) in the distributional sense, as well as the entropy inequalities (1.2). Also, the duality solutions are weakly stable. We obtain a global existence result (Theorem 2.1) for duality solutions, by noticing that any solution to the sticky particle system, which corresponds to p, q finite sums of Dirac masses,is a duality Note pr&enthe 0764~4442/98/03261073

par Pierre-Louis 0 AcadCmie

LIONS. des ScienceslElsevier,

Paris

1073

F. Bouchut,

F. James

solution. Then we approximate general p” and q” by such initial data, and use the stability result to conclude. There is no general uniqueness result in the class of duality solutions. However, we can exhibit two cases where uniqueness holds: with either non-atomic or “entropy” initial data (Theorem 2.2). The proof of this result goes through the detailed study of the links between duality solutions and conservation laws. Duality solutions and entropy solutions to (1.3) are in some sense equivalent. More precisely, if p, q is a duality solution, then (Theorem 3.1) there exists some Lipschitz continuous function f and an entropy solution A!f to (1.3), such that (1.4) holds. The proof of this result relies on uniqueness for nondecreasing solutions to (1.3) with entropy initial data. The two cases where uniqueness holds appear naturally here, and correspond to the fact that, under some conditions, we can choose f depending only on the initial data. The proof of the converse (Theorem 3.2) is easier, and uses mostly the stability of both entropy and duality solutions. We conclude by the proof of uniqueness for (1.3), which is obtained by integration in 2, which leads to the Hamilton-Jacobi equation (4.1). Thus we are led to precise some results by Barles [2] on convex solutions to Hamilton-Jacobi equations. It turns out that, if f lies above its chord between discontinuity points of cloO/dz, then a weak solution to (4.1) is the viscosity solution if and only if it is convex in 2. This result is obtained by proving that any convex solution to (4.1) necessarily coincides with Hopf’s generalized solution [l 11, given by (4.3).

1. Introduction On considere

le systbme unidimensionnel

des gaz sans pression

:

oh p 2 0 est la densite du gaz et u sa vitesse. Ce systeme, cas limite lorsque la pression tend vers 0 des equations d’Euler de la dynamique des gaz, a et& introduit par Zeldovich [17] dans un contexte astrophysique. Son etude se heurte a des difficult& d’analyse particulieres, mises en evidence par Bouchut [3] : d’une part, p doit &tre cherchCe dans la classe des mesures positives et u dans celle des fonctions bornees discontinues, ce qui pose le problbme de definir le produit pu; d’autre part, il est necessaire pour esperer l’unicite des solutions d’introduire des conditions d’entropie, dont la plus naturelle

pour toute fonction convexe S, se trouve &tre insuffisante. En ce qui conceme I’existence globale de solutions a valeurs mesures, elle a Cte obtenue independamment par Grenier [lo] et E, Rykov et Sinai [9] a partir de solutions disc&es d&rites par des particules collantes. Signalons aussi les resultats de Wang, Huang, Ding [ 151 et Wang, Ding [ 161 par une methode apparentee. Plus recemment, Brenier et Grenier [6] ont mis en evidence les relations entre les solutions faibles de (1 .I), les particules collantes, et les solutions (entropiques) de la loi de conservation scalaire : dtM + &f(M) oti M, qui doit Ctre croissante

en X, et

,f

p = i&M,

1074

= O!

(1.3)

sont relies a p et u par pu = &f(M).

(1.4)

Caz

saris

pression

Nous introduisons ici une autre notion de solution, fondle sur l’interpretation directe de (1 .l) comme un systeme de deux equations linkaires, d’inconnues p et q = pu, a coefficient u discontinu. On utilise alors les solutions en dualiti? introduites dans [4], [5]. Cette approche permet d’obtenir stabilite faible, existence et unicite pour (1.1). On montre en fait qu’il y a equivalence entre solutions en dualite de (1.1) et solutions entropiques de (1.3), a l’aide d’un theoreme d’unicite pour les solutions monotones de (1.3). Notons qu’une notion de solution definie a l’aide des caracteristiques de Filippov a et6 introduite par Poupaud et Rascle [13] pour les equations lineaires, qui pourrait aussi s’utiliser pour les gaz saris pression. 2. Solutions

en dualit

Nous renvoyons a [5] pour la definition precise et les proprietes g&&ales a,p + &(ap) oh a E L”(]O,T[xW)

des solutions en dualite de :

= 0,

(2.1)

a E Ll(]O,T[).

(2.2)

vf5rifie : &-a 5 a(t),

Nous nous bornons a rappeler que, sous la condition (2.2), il y a existence et unicite d’une solution mesure p au probleme de Cauchy. A cette solution est associee une notion de produit de la mesure p par a, note a A p. Enfin, un resultat de stabilite assure que la solution IL et le produit n A p sont stables par rapport aux perturbations MI,, -w-k de la donnee initiale et LX-w* de a des qu’on a un controle uniforme dam (2.2). Si a dans (2.2) verifie seulement cyE L:,,(]O, T[), il n’y a plus unicite, mais le resultat de stabilite subsiste. Nous proposons done la definition suivante. DEFINITION 2.1. - On dira que p, q E S.u = C([O, a[; Ml,,-cr(M,,,, C,)), p > 0. sont solutions en dualite’ de (1.1) s’il existe a E L”“(]O, co[xW) et o E L:,,(]O, co[) verifiant 8,~ 5 N tels que :

(i) VO < ti <

t2

< +oc, on ait au sens de dualid &P + &(UP)

= 0,

sur

]tl,

t2[

x [w :

&s + &(w)

= 0,

(ii) uap=q. La propriete (ii) implique )ql < Ilujlmp, on peut done introduire la vitesse effective ‘u. par un quotient de Radon-Nikodym de sorte que q = P’IL. Les proprietes get&ales des solutions en dualite permettent alors de prouver que (p, u) est solution de (1.1) au sens des distributions et que l’on a Cgalement les inegalites d’entropie (1.2). On demontre aussi que cette notion de solution est stable par passage a la limite faible. On verifie enfin que toute solution du systeme des particules collantes (qui correspond a une densite p constituee d’une somme finie de masses de Dirac) est solution en dualite, avec a(t) = l/t, cette demiere estimation Ctant due a Grenier [lo]. En approchant des donnees initiales quelconques par des sommes finies de masses de Dirac, et en utilisant le resultat de stabilite, on obtient : THBORGME 2.1 (Existence de solutions en dualitt). - Soient p”, q” E MI,,(R), avec p” > 0 et )q”l 5 Kp” pour un certain K > 0. Alors il existe une solution au sensde dualit de (1 .I) de donnke initiale po3qo, avec 11~11~<_ K et a(t) = l/t.

11 n’y a pas unicite g&&ale des solutions en dualite, mais on a neanmoins le TH~OR~ZME 2.2 (Unicite des solutions en dualite) (i) Si p” n ‘a pas d’atome, il existe une unique solution en dualite’ de donne’einitiale p”, q”. (ii) Dans le cas gh?ral, il existe au plus une solution en dualite’ telle que cy soit intkgrable en 0. 1075

F. Bouchut,

F. James

On peut dire qu’il y a deux classesde donneesinitiales pour lesquelleson a existence et unicite : les donnees(qregulieres D (si p” n’a pas d’atome) et les don&es <>(s’il existe une solution avec lo N < 00) bien qu’ici i1 faille restreindre la classe des solutions considereespour avoir unicitb. Exemple 2.1. - Pour p” = 26, q” = 0, on peut construire au moins trois solutions en dualit& : 1. p(t,2) = as(X), q(t,2) 5 0, 2. p(t, x) = 6(x - t) + 6(x + t), q(t, 3) = S(X - t) - 6(X + t), 3. p(t,x) = t-11 Islk.Notons que ces solutions sont tres similaires a celles obtenues par Majda, Majda et Zheng [ 121 pour l’equation de Vlasov. Exemple 2.2. - Pour p” = 1 et q’(z) = sgnz, il y a unicite (cas (i)), et la solution est donnte par p(t,z) = III,~,~ et q(t,z) = sgnzl[l,t,t. En revanche, o(t) = l/t est optimal, les donnees initiales ne sont pas <>. Remarquons que la classedes donnees initiales pour lesquelles il y a unicite n’est pas stable par limite faible. Quels que soient la classede donneesinitiales et le type de solution consider&, on aura toujours soit non-unicid, soit non-stabilite. La preuve du theoreme 2.2 passe par l’etude des liens entre solutions en dualite et solutions de (1.3), que nous detaillons maintenant.

3. Solutions

en dualit

et lois de conservation

Rappelons que Brenier et Grenier ont montre dans [6] que la dynamique des particules collantes est d&rite par (1.3)-( 1.4). Reciproquement, a partir de (1.3)-(1.4) ils trouvent des solutions faibles de (1. l), mais sariscondition d’entropie. Nous precisons ces resultats en montrant qu’il y a en un certain sensequivalence entre solutions en dualite et solutions entropiques de (1.3). THBOR~ME 3.1. - (i) Soit (p, q) solution en dualite’ de (1. I). Alors if existe unefonction fipschitzienne f et une solution entropique M de (1.3) telles que (1.4) ait lieu. (ii) Si de plus cyest integrable en 0, on peut choisir f ne d&pendant que des donneesinitiales p”, q”. (iii) Si p” n’a pas d’atome. f est de’terminee a une constante pres par p” et go sur ]MO(-co), M”(+m,[.

Le resultat d’unicid sededuit aisementdescas (ii) et (iii) puisqu’alors le flux est dCterminCsettlement par la donnee initiale. La demonstration du theoreme 3.1 repose sur les deux lemmes suivants. LEMME 3.1. - Soit M une solution faible de (1.3) avec une donne’e initiale M” croissante. On supposeque, pour tout point de discontinuite x0 de MO, f est au-dessusde sa corde entre M”(xo--) et M’(xo+). Alors M est entropique si et seulementsi elle est croissante en x.

La demonstration de ce lemme sera donnee a la section suivante : c’est un resultat sur les solutions convexes des equations d’Hamilton-Jacobi. 3.2. - Soient Q et M deux fonctions a variation born&e dejinies sur R, M croissante, telles our un certain K _>0. Alors il existe unefonction f lipschitzienne avec Lip(f) 5 K telle que Q = f(M). De plus, on peut choisir f afine sur les intervalles de saut de M. LEMME

we

IQ’1 I KM/P

Schemade demonstration du theoreme 3.1. - On sait que les equations de la definition 2.1-i) peuvent s’inttgrer (voir 141,[5]). I1 existe done M et Q verifiant au sensde dualite sur tout ]tr, tz[cc]O, +m[ &M + a&M

1076

= 0,

&Q -I- a&Q

= 0,

Caz

sans

pression

et telles que &M = p, a,Q = q. Appliquant le lemme 3.2 a M(t, .) et Q(E, .) avec E > 0 et K = ll4lcu, on obtient ainsi une fonction ft- qui par construction vCrlfie la condition de corde du lemme 3.1 au temps E. Les proprietes de renormalisation et d’unicite des solutions en dualite assurent qu’alors Q(t, .) = fdM(4 -1) Pour tout t 2 t. Grace a la relation de la definition 2.1-ii), M est done solution faible de (1.3) avec flux fe sur ]E, cc [, et comme elle est croissante, elle est entropique grace au lemme 3.1. Faisant tendre E vers 0, on obtient une fonction f lipschitzienne, avec Lip(f) 5 K, et M est solution entropique de (1.3), de flux f, sur IO, +w[. Pour prouver (ii), lorsque Q E Li(]O, l[), on peut choisir directement E = 0. Enfin, (iii) provient du fait que, si pa n’a pas d’atome, alors f est determinte a une constante additive prts par az,f(Mo) = q”, sachant que MO est continu et croissant. TH~ORBME 3.2. - Soit f lipschitzienne, M solution entropique de (1.3) avec une donnee initiale M” croissante. Alors (p,q) E (&M,a,f(M)) est solution en dualite’ de (1.1).

Ce resultat s’obtient par approximation de (MO, f) dans l’esprit de Dafermos [7]. Les resultats de Brenier et Grenier [6] permettent de conclure par l’intermediaire de particules collantes.

4. Solutions

convexes des Cquations

d’Hamilton-Jacobi

Nous passonsa la demonstration du lemme 3.1, qui s’obtient a partir du theoreme suivant. TH~ORI?ME 4.1. - Soit v E Lip,,,([O, w[ x W) une solution faible de :

atv + f(L%v) = 0

sur IO, c~[xR,

(4.1)

ou f est we fonction Eipschitzienne. On supposeque w” = ~(0, .) est convexe et que : pour tout point de discontinuite’ x0 de dv’/dx, f est au-dessusde sa corde entre dv’/dx(xo-) et dv’/dx(xa+)

(4.2)

Alors v est solution de viscosite’ si et seulement si elle est convexe en x. Le lemme 3.1 s’en deduit. Le theoreme 4.1 precise des resultats obtenus par Barles [2] en dimension d’espace quelconque. 11est connu que la solution de viscosite est convexe. La preuve de la reciproque consiste a montrer que toute solution convexe de (4.1) coi’ncide avec la fonction V(t,x)

= sup inf { -tf(z)

+ (x - y)z + v”(y)}.

(4.3)

ZER PER

Cette fonction a Cte introduite par Hopf [ 111, et notre approche redemontre que V est une solution generalisee de (4.1) (voir [l I]), et plus precisement la solution de viscosite (voir [l]). Notons que si w” est de classe Cl, la condition (4.2) est trivialement satisfaite. Dans le cas general, (4.2) exprime que les discontinuites de dvO/dx sont <. Nous commenSonspar enoncer quelques lemmes. Le premier s’obtient en derivant (4.1) si l’on supposeZI E C2 et f E Cl, et necessite le calcul dans BV en general (voir [14] et [S]). LEMME 4.1. - Soit v une solution de (4.1) convexe en x. Alors v est convexe par rapport a (t, x).

Ce resultat permet d’utiliser les inegalites de convexitt pour encadrer ‘u : P.P. t,x,

V&z,

vy,

VY,

Vh!PZ)

v(t, x> I vO(y) + t&v(t,x)

E NO, Yy>, 4&x)

+ (x - yy%!4t,

x),

2 VO(Y) + Qt + (x - Y)PZ>

(4.4) (4.5)

oh dv(0, y) est le sous-differentiel de v au point (0, y).

1077

F. Bouchut,

F. James

Suivant Barles [2], I’inCgalitC (4.4) amhe facilement & w 6 V, tandis que (4.5) conduit B v 2 V aprh avoir prhid dw(0, y), ce qui fait l’objet du lemme suivant. LEMME 4.2. - Si x0 est un point de discontinuite’ de u ’ = dv’/dz,

C(Pt,Pz)EIt2 I p, EdvO(x0)

alors, avec u$ = u”(zof). $-P,

et pt =

(

g

1;:

-

fW

+

UT

_ &I

- SW)}

c

au(0, x0).

On r&it alors (4.5) pour les couples (pt, p,) du lemme 4.2, et on utilise la condition (4.2), ce qui donne : vt L 0; vx, vy, vpz E thO(g),

v(t, x) L VO(Y) + (x - Y)Pz - tf(Pz).

Des manipulations classiquesd’inf et sup permettent alors de conclure.

RCfkences

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