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Solutions nodales sur les variétés Riemanniennes à bord
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie I, p. 1321-l 324, 1998 Gometrie diff&entielle/Differenfial Geometry
Solutions ZI bord David
nodales
SW les vari&s
riemanniennes
HOLCMAN
lnstitut de mathimatique de Jussieu, UMR Jussieu 75252 Paris eeclex 05. France Courriel : holcmanQmath.jussieu.f’r
R&urn&
Pierre-et-Marie-Curie,
case 24T, 4, place
Danscette Note, on consid&rele problhmede Dirichlet pour une EDP non IinCaire avec une don&e au bord qui changede signe. L’existence d’une famille de solutions minimisantesest obtenuesur les vat?&% riemaniennes compactes.0 AcadBmiedes Sciences/Elsevier.Paris Nodal
Abstract.
YY94, l!niversitk
solutions
on Riemannian
manifolds
with boundary
This Note deals with solutions of Dirichlet problem for a nonlinear PDE with boundup data changing of sign. A fumily of minimizing nodal solutions are Jiurzd on manifolds.
0 Academic des Sciences/Elsevier,Paris
Soit (VT1~9) une variCtC riemannienne C” compacte B bord rCgulier i)T/,, E C”, de dimension 11> 3. On note R sa courbure scalaire. Soit 4 une donnee au bord r6guli2re non identiquement nulle. Soient iV = 2 et a une fonction sur I&, par exemple la courbure scalaire : n = n = &R, ce choix correspond & un cas critique. Enfin, f > 0, une fonction CF(Vn). L’existence d’une solution de l’bquation :
est ici dCmontrCe sous certaines hypothkses, avec X > 0. En outre, cette solution minimise une fonctionnelle d’Cnergie. Ce rCsultat gCn&ralisecelui de Caffarelli-Spruck [4] oti la don&e au bord est positive, f constante et les ouverts choisis dansR’“. L’ingrkdient essentielde leur preuve est la mCthodede rCflexion (voir [5]). Ici, lorsque q5 change de signe, il en est de m&me de la solution obtenue. Le principe de la dCmonstrationconsiste 21obtenir dans un premier temps une solution r6gulibre avec un exposant sous critique, ce qui donne B la limite une solution, lorsque l’exposant tend vers l’exposant critique. Cette Note prksentbe par Thierry 0764-4442/98/0326132
AWN.
I 0 AcadCmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
1321
D. Holcman
premiere partie ne pose pas de difficult& majeures. Mais pour que les solutions soient minimisantes, les points de concentrations Cventuels doivent &tre elimines par localisation, c’est ici qu’intervient la structure conforme de la variete. La convergence dans LN en rbsulte. En utilisant un prolongement h de la don&e au bord, A,h + ah = 0 sur V, et h = q5 sur aV,,, 1’EDP (1) se transforme en : A,w + WI = Xflw + hi * w= 0 Alors, par definition,
avec A, = {U E Ifil(
une solution minimisante
(w + h,)
sur V,,, sur al/;,.
realise le minimum
(2)
:
J’.flu + hi” = y}, ou y est un reel verifiant la condition y > J f 1h I”.
TH~OREME 1. - Soit (V,, g) une variete riemannienne compacte a hard. Nous supposons que X1(A, + a) 2 0 et que f atteint son maximum en un point interieur P oti Ay f (P) s’annule. II existe alors une solution nodale minimisante de (1) sow les conditions additionnelles suivantes : l si a = i?, dimV, = n > 6, Aif = 0 et le tenseur de Weyl ne s’annule pas en P (ce qui exclus les ouverts de W”); l si n. # R, dirnl/, = n > 4 et a(P) < R(P).
Ce theoreme se demontre a I’aide des propositions suivantes, qui precisent le comportement des suites sous-critiques : PROPOSITION 1. - I1 existe une solution PL+,.-,E Cm(v,,) de l’e’quation sous-critique pour p < N :
At+,., + Rq,,, = Xi,pffwp,5 + hl"-2(w,,, + i
h)
‘ll)p,7= 0
sur V,,, sur
(4)
iJV,, 3
avec Ar,tI > 0. PROPOSITION 2. - Une sous-suitede la suite ( w~,~) de la proposition precedente converge faiblement
dans fil vers wo qui est solution au sensfaible de (2), lorsque p -+ N.
Afin d’assurer la convergence forte, il suffit de verifier deux conditions qui sont, en notant K2 la meilleure constante dans l’inclusion de Sobolev Ht c LN : ii existe 6 > 0,
(5) et K2 Y - J,r,, flwo + hlN-2(wo + h)h
llf(w’”
(7 + Cl Ji, hN + C, /r:. 7a~~“-11h,()1-2’~~< 1.
(6)
Les reels Ci ne dependent que de la dimension. PROPOSITION 3. - Si (5) et (6) sont satisfaites, alors wg est limite forte de la suite (q,) proposition precedente, c’est done une solution minimisante du probleme variationnel (3).
1322
de la
Solutions
nodales
sur les varikths
riemanniennes
Le second thboreme precise la situation dans le cas ou la variCte est localement conformement Le quotient de Sobolev est defini par :
A bord
plate.
(7) C’est un invariant conforme (voir [l]). On supposera dans la suite que p(V,,g) > 0. Alors sous cette condition, comme il est prouve dans Lee-Parker [ll], il existe une unique fonction de Green Gp, solution de : AGp + RGp = 6p sur V,? Gp=O sur3V,.
(8) (9)
Si g est euclidienne au voisinage de P, on pose T la distance geodtsique au point P, T = d(P, Q), alors G admet le developpement suivant (on pourra se referer a [l 11, [ 1.51, [7]) : GP = lr(--7z+2 + A(P) + a’,
(10)
est regulibre et ~(0) = 0, A(P) est par definition la masse en P de V,, correspondant au terme constant dans le developpement de la fonction de Green dans un voisinage euclidien du point. Une propriett remarquable est que le signe de A ne change pas par transformations conformes qui laissent euclidien le voisinage de P. En particulier, lorsqu’une fonction de Green pour une metrique, admet une masse d’un certain signe, toute la classe conforme des metriques obtenues par multiplication par des fonctions localement constantes au voisinage de P, admet une masse de m&me signe. 11 existe des variCt& a bord de masse positive, A > 0 (voir [lo]). Soit enfin JTr,,definie comme suit : oil Q E C”
fn - 1
*Lx2
CJ,,=
o
(r2
+
(11)
~)c”+2)/2dr.
/
Le theoreme fondamental
est le suivant :
THEO&ME 2. - Soit (V,, 9) une variete’ riemannienne compacte localement conformement plate, b bard, et A + a un ope’rateur coerc$ Soit f une fonction reguliere qui atteint son maximum, positif en un point inte’rieur P. Sous les hypotheses (H) qui suivent, il existe une solution u minimisante, de i’equation :
(12)
avec X > 0. On entend par minimisante sous la contrainte A,.
U-U
des solutions qui minimisent
la fonctionnelle
d’e’nergie (3)
0 Vgf(P) = ... = Tp2f(P) = 0 en P, (*) l la masse en P de la variete est strictement positive et h(P) > 0 ou bien encore, lorsque la donnee au bord change de signe, 2nJ,,h(P) +A > 0.
Dans le cas ou la donnte au bord est identiquement
nulle, on trouve une solution strictement positive. 1323
D. Holcman
Dans ce thCo&me, aucune symktrie sur la w-i&2 n’est utiliske, alors que l’existence de symktries ttait fondamentale pour l’existence de solutions nodales, sur des ouverts A bord avec conditions au bord nul (voir [S]).
RCfkences [I]
Aubin
[2] Aubin Appl.
T., Nonlinear
analysis
T., Equations differentielles 55 (1976) 269-296.
on manifolds. non
bibliographiques
Monge-Ampere lineaires
et probleme
equation,
Springer-Verlag,
de Yamabe
concemant
Berlin,
1982.
la courbure
scalaire,
[3] Aubin T., Meilleures constantes dam le theoreme d’inclusion de Sobolev et un theoremc de Fredholm transformation conforme de la courbure scalaire, .I. Funct. Anal. 32 (I 976) 148-174. [4] Caffareli, Spruck J., Variational Problems with Critical Sobolev Growth and positive Dirichlet Data. I-IX. 15) Gidas, [6\ Gilbard,
Ni, Nirenberg, Trudinger,
171 Hebey E., Vaugon (81 Hebey E., Vaugon Growth, J. Funct. [YJ Hebey E., Vaugon [IO]
(I 996) Holcman
57-93. D., These
Symetry Elliptical
and Related Properties via the Maximum partial differential equations of second
Principle, Commun. order, Springer-Verlag,
1998
(en
pour
37-90. Commun. metrics
Critical
Henri-Poincare
209-243.
Sobolev 13 (I)
Math. Phy. 65 (1979) 45-76. and related topics, Montecatini
notes, Lect. Notes in Math. 1365, Springer-Verlag, 1987, pp. 120-155. Schoen R., Yau S., Conformal Rat manifolds, Kleinian Group and scalar curvature, Invent. Math. 92 (1988) 47-71. Schoen R., Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature, J. Differ. Geom. 20 (1984) 479395. Vaugon M.. Transformation de la courbure scalaire sur une variett! riemannienne compacte. J. Funct. Anal. 71 (I) (1987) 182-194.
1324
la
39 (1) (1990)
68 (1979)
with
Pures
preparation).
[I I] Lee J., Parker T.H., The Yamabe problem, Bull. Amer. Math. Sot. 17 (1) (1987) [ 121 Schoen R., Yau S., On the proof of the positive mass conjecture in general relativity, [ 131 Schoen R., Variational theory for the total scalar curvature functional for Riemannian 1141 [IS] [I61
lineaire
Indiana
Math. Phy. 1983.
M., Remarque sur le probleme de Yamabe, J. Funct. Anal. 96 (I ) (I 991) 31-37. M., Existence and multiplicity of Nodal Solutions for Nonlinear Elliptic Equations Anal. I19 (2) (1994) 298-318. M., Meilleures constanfes dans le theoreme d’inclusion de Sobolev. Ann. Inst. de doctorat,
non
J. Math.
Solutions ZI bord David
nodales
SW les vari&s
riemanniennes
HOLCMAN
lnstitut de mathimatique de Jussieu, UMR Jussieu 75252 Paris eeclex 05. France Courriel : holcmanQmath.jussieu.f’r
R&urn&
Pierre-et-Marie-Curie,
case 24T, 4, place
Danscette Note, on consid&rele problhmede Dirichlet pour une EDP non IinCaire avec une don&e au bord qui changede signe. L’existence d’une famille de solutions minimisantesest obtenuesur les vat?&% riemaniennes compactes.0 AcadBmiedes Sciences/Elsevier.Paris Nodal
Abstract.
YY94, l!niversitk
solutions
on Riemannian
manifolds
with boundary
This Note deals with solutions of Dirichlet problem for a nonlinear PDE with boundup data changing of sign. A fumily of minimizing nodal solutions are Jiurzd on manifolds.
0 Academic des Sciences/Elsevier,Paris
Soit (VT1~9) une variCtC riemannienne C” compacte B bord rCgulier i)T/,, E C”, de dimension 11> 3. On note R sa courbure scalaire. Soit 4 une donnee au bord r6guli2re non identiquement nulle. Soient iV = 2 et a une fonction sur I&, par exemple la courbure scalaire : n = n = &R, ce choix correspond & un cas critique. Enfin, f > 0, une fonction CF(Vn). L’existence d’une solution de l’bquation :
est ici dCmontrCe sous certaines hypothkses, avec X > 0. En outre, cette solution minimise une fonctionnelle d’Cnergie. Ce rCsultat gCn&ralisecelui de Caffarelli-Spruck [4] oti la don&e au bord est positive, f constante et les ouverts choisis dansR’“. L’ingrkdient essentielde leur preuve est la mCthodede rCflexion (voir [5]). Ici, lorsque q5 change de signe, il en est de m&me de la solution obtenue. Le principe de la dCmonstrationconsiste 21obtenir dans un premier temps une solution r6gulibre avec un exposant sous critique, ce qui donne B la limite une solution, lorsque l’exposant tend vers l’exposant critique. Cette Note prksentbe par Thierry 0764-4442/98/0326132
AWN.
I 0 AcadCmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
1321
D. Holcman
premiere partie ne pose pas de difficult& majeures. Mais pour que les solutions soient minimisantes, les points de concentrations Cventuels doivent &tre elimines par localisation, c’est ici qu’intervient la structure conforme de la variete. La convergence dans LN en rbsulte. En utilisant un prolongement h de la don&e au bord, A,h + ah = 0 sur V, et h = q5 sur aV,,, 1’EDP (1) se transforme en : A,w + WI = Xflw + hi * w= 0 Alors, par definition,
avec A, = {U E Ifil(
une solution minimisante
(w + h,)
sur V,,, sur al/;,.
realise le minimum
(2)
:
J’.flu + hi” = y}, ou y est un reel verifiant la condition y > J f 1h I”.
TH~OREME 1. - Soit (V,, g) une variete riemannienne compacte a hard. Nous supposons que X1(A, + a) 2 0 et que f atteint son maximum en un point interieur P oti Ay f (P) s’annule. II existe alors une solution nodale minimisante de (1) sow les conditions additionnelles suivantes : l si a = i?, dimV, = n > 6, Aif = 0 et le tenseur de Weyl ne s’annule pas en P (ce qui exclus les ouverts de W”); l si n. # R, dirnl/, = n > 4 et a(P) < R(P).
Ce theoreme se demontre a I’aide des propositions suivantes, qui precisent le comportement des suites sous-critiques : PROPOSITION 1. - I1 existe une solution PL+,.-,E Cm(v,,) de l’e’quation sous-critique pour p < N :
At+,., + Rq,,, = Xi,pffwp,5 + hl"-2(w,,, + i
h)
‘ll)p,7= 0
sur V,,, sur
(4)
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avec Ar,tI > 0. PROPOSITION 2. - Une sous-suitede la suite ( w~,~) de la proposition precedente converge faiblement
dans fil vers wo qui est solution au sensfaible de (2), lorsque p -+ N.
Afin d’assurer la convergence forte, il suffit de verifier deux conditions qui sont, en notant K2 la meilleure constante dans l’inclusion de Sobolev Ht c LN : ii existe 6 > 0,
(5) et K2 Y - J,r,, flwo + hlN-2(wo + h)h
llf(w’”
(7 + Cl Ji, hN + C, /r:. 7a~~“-11h,()1-2’~~< 1.
(6)
Les reels Ci ne dependent que de la dimension. PROPOSITION 3. - Si (5) et (6) sont satisfaites, alors wg est limite forte de la suite (q,) proposition precedente, c’est done une solution minimisante du probleme variationnel (3).
1322
de la
Solutions
nodales
sur les varikths
riemanniennes
Le second thboreme precise la situation dans le cas ou la variCte est localement conformement Le quotient de Sobolev est defini par :
A bord
plate.
(7) C’est un invariant conforme (voir [l]). On supposera dans la suite que p(V,,g) > 0. Alors sous cette condition, comme il est prouve dans Lee-Parker [ll], il existe une unique fonction de Green Gp, solution de : AGp + RGp = 6p sur V,? Gp=O sur3V,.
(8) (9)
Si g est euclidienne au voisinage de P, on pose T la distance geodtsique au point P, T = d(P, Q), alors G admet le developpement suivant (on pourra se referer a [l 11, [ 1.51, [7]) : GP = lr(--7z+2 + A(P) + a’,
(10)
est regulibre et ~(0) = 0, A(P) est par definition la masse en P de V,, correspondant au terme constant dans le developpement de la fonction de Green dans un voisinage euclidien du point. Une propriett remarquable est que le signe de A ne change pas par transformations conformes qui laissent euclidien le voisinage de P. En particulier, lorsqu’une fonction de Green pour une metrique, admet une masse d’un certain signe, toute la classe conforme des metriques obtenues par multiplication par des fonctions localement constantes au voisinage de P, admet une masse de m&me signe. 11 existe des variCt& a bord de masse positive, A > 0 (voir [lo]). Soit enfin JTr,,definie comme suit : oil Q E C”
fn - 1
*Lx2
CJ,,=
o
(r2
+
(11)
~)c”+2)/2dr.
/
Le theoreme fondamental
est le suivant :
THEO&ME 2. - Soit (V,, 9) une variete’ riemannienne compacte localement conformement plate, b bard, et A + a un ope’rateur coerc$ Soit f une fonction reguliere qui atteint son maximum, positif en un point inte’rieur P. Sous les hypotheses (H) qui suivent, il existe une solution u minimisante, de i’equation :
(12)
avec X > 0. On entend par minimisante sous la contrainte A,.
U-U
des solutions qui minimisent
la fonctionnelle
d’e’nergie (3)
0 Vgf(P) = ... = Tp2f(P) = 0 en P, (*) l la masse en P de la variete est strictement positive et h(P) > 0 ou bien encore, lorsque la donnee au bord change de signe, 2nJ,,h(P) +A > 0.
Dans le cas ou la donnte au bord est identiquement
nulle, on trouve une solution strictement positive. 1323
D. Holcman
Dans ce thCo&me, aucune symktrie sur la w-i&2 n’est utiliske, alors que l’existence de symktries ttait fondamentale pour l’existence de solutions nodales, sur des ouverts A bord avec conditions au bord nul (voir [S]).
RCfkences [I]
Aubin
[2] Aubin Appl.
T., Nonlinear
analysis
T., Equations differentielles 55 (1976) 269-296.
on manifolds. non
bibliographiques
Monge-Ampere lineaires
et probleme
equation,
Springer-Verlag,
de Yamabe
concemant
Berlin,
1982.
la courbure
scalaire,
[3] Aubin T., Meilleures constantes dam le theoreme d’inclusion de Sobolev et un theoremc de Fredholm transformation conforme de la courbure scalaire, .I. Funct. Anal. 32 (I 976) 148-174. [4] Caffareli, Spruck J., Variational Problems with Critical Sobolev Growth and positive Dirichlet Data. I-IX. 15) Gidas, [6\ Gilbard,
Ni, Nirenberg, Trudinger,
171 Hebey E., Vaugon (81 Hebey E., Vaugon Growth, J. Funct. [YJ Hebey E., Vaugon [IO]
(I 996) Holcman
57-93. D., These
Symetry Elliptical
and Related Properties via the Maximum partial differential equations of second
Principle, Commun. order, Springer-Verlag,
1998
(en
pour
37-90. Commun. metrics
Critical
Henri-Poincare
209-243.
Sobolev 13 (I)
Math. Phy. 65 (1979) 45-76. and related topics, Montecatini
notes, Lect. Notes in Math. 1365, Springer-Verlag, 1987, pp. 120-155. Schoen R., Yau S., Conformal Rat manifolds, Kleinian Group and scalar curvature, Invent. Math. 92 (1988) 47-71. Schoen R., Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature, J. Differ. Geom. 20 (1984) 479395. Vaugon M.. Transformation de la courbure scalaire sur une variett! riemannienne compacte. J. Funct. Anal. 71 (I) (1987) 182-194.
1324
la
39 (1) (1990)
68 (1979)
with
Pures
preparation).
[I I] Lee J., Parker T.H., The Yamabe problem, Bull. Amer. Math. Sot. 17 (1) (1987) [ 121 Schoen R., Yau S., On the proof of the positive mass conjecture in general relativity, [ 131 Schoen R., Variational theory for the total scalar curvature functional for Riemannian 1141 [IS] [I61
lineaire
Indiana
Math. Phy. 1983.
M., Remarque sur le probleme de Yamabe, J. Funct. Anal. 96 (I ) (I 991) 31-37. M., Existence and multiplicity of Nodal Solutions for Nonlinear Elliptic Equations Anal. I19 (2) (1994) 298-318. M., Meilleures constanfes dans le theoreme d’inclusion de Sobolev. Ann. Inst. de doctorat,
non
J. Math.