State elimination and identifiability of delay parameters for nonlinear systems with multiple time-delays

State elimination and identifiability of delay parameters for nonlinear systems with multiple time-delays

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(s −1)

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yi

 x ˜˙ 1    ...    x ˜˙ s1 −1    x  ˜˙ s1       ˙  x ˜s1 +1     . ..     ˙ s1 +s2 −1 x ˜   ˙ x ˜s1 +s2      ...     x ˜˙ s1 +···+sp          y˜1      y˜2    ...     y ˜   p˜ x ˜(t)

(s1 −1) −1 = f˜i (∆−1 , i0 ∆i1 , . . . , ∆i0 ∆iq , y1 , . . . , y1 (si −1) (si ) (γ) . . . , yi , . . . , yi , yi , u, . . . , u )

Í ¿Ï Ù

—ƒŒ

(s −1) yi (t) = f˜i (y1 (t), . . . , yi i (t), u(t), . . . , u(γ) (t) (s −1) (s ) y1 1 (t − Ti1 + Ti0 ), . . . , yi i (t − Ti1 + Ti0 ), (γ) u(t − Ti1 + Ti0 ), . . . , u (t − Ti1 + Ti0 ), ..., (s −1) (s ) y1 1 (t − Tiq + Ti0 ), . . . , yi i (t − Tiq + Ti0 ), (γ) u(t − Tiq + Ti0 ), . . . , u (t − Tiq + Ti0 )). (si )

Í ×TØIÙ

¶-–Š (T11 − T10 , . . . , T1q − T10 , . . . , Tp1 − Tp0 , . . . , Tpq − Tp0 )tr = M (τ1 , . . . , τ` )tr ,

Í× ¿ Ù

¨ f’ –Œ– M “¡‰Ž (1q + · · · + pq) × ` “”˜PŠ9–¢ƒ–ŒŸŽJŠ9Œ“r® ŽT˜D™ tr ™G–˜f—ƒŠ–†‰Š’f– ŠŒaŽT˜D‰‹•`—I‰‹–—Tž §O¬­–Žƒ˜,˜f— ¨ žw—ƒŒ9Ÿv¦f›¡ŽJŠ9–Š’f–“”™G–˜PŠ9“gšDŽƒˆf“”›r“rŠpœ,Œ“rŠ–Œv“¡Ž#žw—PŒ τ1 , . . . , τ ` “”˜(Š9’f–žw—ƒ›”›r— ¨ “”˜f¢ •fŒ9—ƒ•`—I‰‹“rŠ“”—P˜-

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=x ˜2 =x ˜ s1 = f˜1 (x ˜˙ s1 (t − τ˜), x ˜, x ˜(t − τ˜), u, . . . , (γ) u , u(t − τ˜), . . . , u(γ) (t − τ˜)) =x ˜s1 +2 =x ˜s1 +s2 = f˜2 (x ˜˙ s1 +s2 (t − τ˜), x ˜, x ˜(t − τ˜), u, . (γ) . . . , u , u(t − τ˜), . . . , u(γ) (t − τ˜)) = f˜p (x ˜˙ s1 +···+sp (t − τ˜), x ˜, x ˜(t − τ˜), u, . . . , u(γ) , u(t − τ˜), . . . , u(γ) (t − τ˜)) =x ˜1 =x ˜s1 +1 =x ˜1+s1 +···+sp−1 = ϕ(t), ˜ t ∈ [t0 − maxj τ˜j , t0 ]

Í ×P׃Ù

‡}˜IœL•XŽT“”Œ ¨ ’X“”a’#‰—ƒ›”«ƒ–†‰£Š’f–8—PŒ“”¢ƒ“”˜XŽƒ›f‰œG‰p  Š–Ÿ Í ¿ ـŽƒ›”(y(t), ‰—‰ŽTŠu(t)) “¡‰pšD–‰¯Š9’f–Žƒˆ`—k«ƒ–}˜f–¦fŠŒaŽT›`‰‹œG‰‹Š–Ÿ žw—ƒŒ ‰¦X9’ Š’XŽTŠ±ŽT›”›"™G–Œ“”«JŽJŠ9“”«ƒ–‰ŽƒŒ–³—ƒ˜G  tŠ0“”˜I¦f≥—P¦Xmax ‰§D‘*’?i τ˜¦Xj‰µfŠ’X–“r˜X•f¦GŠ‹ …—ƒ¦fŠ•f¦GŠˆ`–’XŽ†«?“”—ƒ¦fŒ}—Tž£Š’f– ‰‹œG‰‹Š–Ÿ ™f—?–‰#˜f—TŠ(™f“”‰‹Š“”˜f¢ƒ¦X“”‰’ÚŠ’f–,“r˜fšX˜f“rŠ–›”œÈŸŽT˜?œ  ‰ ’f“¡9’"¢P“r«ƒ–£Š9’f– ‰9ŽTŸL–¯›”“”˜f–ŽƒŒ —ƒŸˆf“r˜XŽTŠ“”—ƒ˜D‰ ŽT˜X™ τi ¨ ŽƒŒ–˜f—TŠ}›r—GŽT›”›rœ#“¡™G–˜IŠ“ršDŽTˆf›”–"¢ƒ–˜f–Œ9“”τ˜ŽT›”›rœP§ τ1 , . . . , τ ` §f¬­–šXŒ9‰‹Š—ƒˆX‰–Œ9«ƒ– Ö ¦f•f•`—P‰–˜f— ¨ Š’XŽTŠ Š’XŽTŠ ¨ – Š9’f–˜³Ÿ¦D‰pŠrank(M ’XŽk«ƒ– ) = `Žƒ˜X™ ¨ – Š’?¦X‰’DŽ†«ƒ– ŽJŠ›”–ŽP‰pŠ ™G“r¤`–Œ–˜PŠ  ‰q§≥ Æ&—ƒ`˜D‰‹“¡™G–Œ#Š’f—I‰‹–±—ƒžŠ’f– ` ∆ –¥I¦XŽJŠ9“r—P˜X‰ Í ×TØPÙcµOžw—ƒŒ ¨ ’fiq“¡9’ § €«TŽT›”¦XŽJŠ9–™³ŽJŠŽ šf®G–™Š9“rŸL–•`—P“r˜IŠ µ Í ×ƒØPiqÙM¢P≥“r«ƒ1–†‰£Žƒ˜ –¥I¦XŽTŠ“”—ƒ˜žw—ƒŒ t0 ≥ T  Ti1 , . . . , Tiq (s )

(s −1)

yi i (t0 ) = ξ(y1 (t0 ), . . . , yi i (t0 ), u(t0 ), . . . , u(γ) (t0 ), (s −1) (s ) y1 1 (t0 − Ti1 + Ti0 ), . . . , yi i (t0 − Ti1 + Ti0 ), (γ) u(t0 − Ti1 + Ti0 ), . . . , u (t0 − Ti1 + Ti0 ), ..., (s −1) (s ) y1 1 (t0 − Tiq + Ti0 ), . . . , yi i (t0 − Tiq + Ti0 )), u(t0 − Tiq + Ti0 ), . . . , u(γ) (t0 − Tiq + Ti0 )).

”“ ‰™f– šX˜f–†™,ŽP‰Žƒˆ`—k«ƒ– Í × ¿ Ù8ŽT˜D™ “¡‰˜X—TŠ“”™f–˜PŠ9“”ŽT›”›rœ­–¥I¦XŽT›¯Š—©–Œ—žw—ƒŒŽƒ˜Iœ (s +j) yi i (t) µ µ Š9’f–˜ 0ŽTŒ9–( ≤›”—GjŽƒ<›r›”œ·iq“¡™G− . ›r.œà , τ“r`ž 1 ,—ƒ.˜X –˜I1Š“ršDiŽTˆX=›r–.{1, ¢ƒ–˜f.–.Œ9.“”, ŽTp}›”›rœPµA“gžŽT˜Xτ™1 § M

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Í ¨ ’X“”a’²Žƒ˜·ˆ`–#ŽP9’X“r–«ƒ–™³ˆIœ³a’f—?—I‰‹“”˜f¢žw—ƒŒ– ®fŽTŸL•f›”– ÙcµŠ9’f–˜™G“r¤5–Œ–˜PŠ9“”ŽTŠ“”˜f¢ Í ×  Ù ¨ “gŠ9’ tŒ90–‰≥ •`–(max cŠOŠ9—Ši “”sŸ i −1)T – ¢ƒ“”«ƒ–‰O˜f– ¨ –†¥I¦XŽJŠ9“r—P˜X‰5žw—ƒŒ Ti1 , . . . , Tiq ¨ ’f“¡9’ÇŽƒŒ–â“r˜X™f–•`–˜X™f–˜PŠ†µ ‰‹“”˜X– dy(j) , j ≥ 0 ŽƒŒ– ›”“r˜f–†ŽTŒ9›rœ#“”˜X™G–•`–˜X™G–˜PŠ8—k«ƒ–Œ ™f¦f–Š— i  j

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d¨ y − du˙ + 2δ1 δ2 (x1 )du = = 2(δ1 (x2 ))2 δ1 δ2 dy + 2δ1 δ2 (x1 )dy, ˙

d (s −1) ξ(y1 (t), . . . , yi i (t), dtj u(t), . . . , u(γ+j) (t), (s −1) y1 (t − Ti1 + Ti0 ), . . . , yi i (t − Ti1 + Ti0 , (γ+j) u(t − Ti1 + Ti0 ), . . . , u (t − Ti1 + Ti0 ), . . . , (si −1) y1 (t − Tiq + Ti0 ), . . . , yi (t − Tiq + Ti0 ), u(t − Tiq + Ti0 ), . . . , u(γ+j) (t − Tiq + Ti0 ))|t0 . (si +j)

yi

ŽT˜X™ ¨ –)‰––²Š’XŽTŠ,Š9’f–Œ9–)ŽTŒ9–àŠ ¨ — ŸL—P˜f—ƒŸL“¡ŽT›¡‰µ ŽT˜X™ “gŠ9’·—ƒŒ9Œ–‰•`—ƒ˜X™G“”˜f¢ —PŸˆf“r˜DŽJŠ“”—ƒ∆˜D0‰ ∆1 Žƒ=˜X™ δ1 δ2 ¨ —Tž Š9’f– Š ¨ —(Š9“rŸL– …™G–›”ŽkœG‰§ T0 = 0 ·T1 =¸τ1 + τ2 ‘*’I¦X‰µ 0 0 ¨ “rŠ’ŒaŽT˜Xþ ¿ µ?Žƒ˜X™Š’f–Š“”ŸL–›”Žƒ¢P‰ M= ŽTŒ9–˜f—TŠ}“”™f–˜PŠ9“gš`1 ŽT1ˆf›”–ƒ§ Ì —ƒ›”›”— ¨ “”˜f¢ Š’f–"Š’f–"šXŒ9‰‹Š}•XŽTŒŠ—ƒžMŠ9’f–"•fŒ9—?—TžA—Tž Æ&—ƒŒ9—ƒ›r  ›”ŽƒŒœ ¿ µ ¨ –(ŽT˜²¦X‰–#Š9’f–a’XŽT˜f¢P–#—ƒž}«JŽƒŒ“¡ŽTˆf›”–‰ x ˜1Š’f=– µ Š—·Œ– ¨ Œ“rŠ9–( y‰‹œG‰‹=Š–ŸÉ x1 Žƒ‰ x ˜2 = y˙ = (δ1 (x2 ))2 + u

(t0 ) =

Í×  Ù

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(s +j)

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 ˜˙ 1 (t) = x ˜2 (t) x . x ˜˙ 2 (t) = 2(˜ x2 (t) − u(t))˜ x1 (t − T1 ) + u(t) ˙  y(t) = x ˜1 (t)

Í× Ï Ù

t?RJY8¸`]rWy  x˙ 1 (t)      x˙ 2 (t) y1 (t)   y2 (t)    x

ÿ §€Þ‡ã Ò ¶  Ö À°˜âŠ9’f“¡‰‰‹–†cŠ9“r—P˜ ¨ –,“”›r›”¦X‰‹ŠŒaŽJŠ9–Š9’f–,Š’X–—ƒŒ9œÈˆIœâ‰“”Ÿ  •f›”–³– ®fŽƒŸ •X›r–†‰ŽT˜X™ ‰’f— ¨ Š9’XŽJŠ ¨ –ŽƒþڗPˆX‰‹–Œ«TŽTˆf“”›r“rŠpœ Í Žƒ˜X™DªJ—ƒŒL•XŽTŒaŽTŸL– Š9–ŒL“”™G–˜PŠ9“gšDŽƒˆf“”›r“rŠ°œ1žw—ƒŒLŠ’f–Œ–¢ƒ¦f›¡ŽTŒ ŸL—G™G–›•XŽƒŒ9ŽƒŸL– Š–Œ9‰aÙ)™G—?–‰Ú˜X—TŠ ˜f– –†‰‰9ŽTŒ9“”›rœ“”ŸL•f›rœ “¡™G–˜IŠ“ršDŽTˆf“”›”“gŠpœ/—ƒž.Š’f– ™G–›¡Žkœ •XŽTŒaŽTŸL– Š9–Œa‰µ—ƒŒ1«?“”– «ƒ–Œa‰9Žf§5‘*’I¦X‰µ`Š9’f–ŽT›”Œ–†Žƒ™Gœ.–‰‹Š9Žƒˆf›”“”‰’f–™,ŸL– Š9’f—G™f‰žw—PŒ Š–†‰pŠ9“r˜X¢—PˆX‰–Œ9«JŽTˆf“”›”“gŠpœŽƒ˜X™ “”™G–˜PŠ9“gšDŽƒˆf“”›r“rŠ°œžw—PŒ¯˜f—P˜f›”“r˜G  –ŽƒŒ™G–›¡Ž†œ‰œ?‰‹Š–Ÿ‰ Í Þ“”Ž–ŠŽT›[§”µ5׃؃ØP× Ñ ß`’XŽT˜f¢–ŠŽT›[§rµ ×TØP؃áIÙ8Žƒ˜f˜f—ƒŠ"ˆ`–L¦X‰–™­Š—™G–Š–ŒŸL“”˜f– Š9’f–“¡™G–˜PŠ9“ršDŽJ  ˆf“”›r“rŠpœ—TžMŠ9’f–™G–›”Žkœ#•XŽƒŒ9ŽƒŸL– Š–Œ9‰§

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¬³–"’XŽ†«ƒ–

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y˙ = (δ1 (x2 ))2 + u y¨ = 2δ1 (x2 )δ1 δ2 (x1 )δ1 (x2 ) + u˙ = = 2(δ1 (x2 ))2 δ1 δ2 (x1 ) + u˙

= = = = =

−x2 (t − τ1 ) x1 (t − τ2 ) x1 (t) x2 (t − τ2 ) ϕ(t), t ∈ [−T, 0]

Í  ØPÙ

Í  ¿ Ù

y˙1 = −δ1 x2 y¨1 = −δ1 δ2 x1 

 1 0  0 δ1  §±‘*’X–Ü“r˜f•f¦fŠ‹  ŽT˜X™ ∂(S,h(s1 1 ) ,h(s2 2 ) )  =  ∂x  δ1 δ2 0  —ƒ¦GŠ9•f¦GŠ}–¥I¦XŽTŠ“”—ƒ˜X‰*“”˜›”“”˜f–ŽTŒ*žw—P0ŒŸÉδŽT2Œ9–

t?RJY8¸`]”W x  x˙ (t)    1 x˙ 2 (t) y(t)    x(t)

Í× Ô Ù

Í  d¨ y1 = −δ1 δ2 dy1 . δ1 dy2 = −δ2 dy˙ 1 ⇔ dy2 = −δ1−1 δ2 dy˙ 1

Í× ÿ Ù

׃Ù

¬­–±Š’?¦X‰’XŽk«ƒ– µ µ ŽT˜X™ ŽT˜X™(Š9∆ ’I¦X10‰µ ∆11 = δ1 δ2 µ ∆21 = δ1 µ

∆22 = δ2

T10 = T10 = 0 T11 =  τ1 + τ2 1 1 µ µ Žƒ˜X™ T20 = T21 = τ1 T22 = τ2 M =  0 0 −1 1 ¨ ’f“”a’L“¡‰¯—Tž5Œ9Žƒ˜fþ×G§ƒ‘*’?¦X‰ τ1 ŽT˜X™ τ2 ŽTŒ9–*“”™f–˜PŠ9“gš`ŽTˆf›”–ƒ§

Í ×TáIÙ

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¸ dy (s1 ) ·  dy˙ − du  = ∂(S, h1 ) dx1 = dx2 ∂x d¨ y − du˙  · ¸ 1 0  dx1 0 2δ1 (x2 )δ1 = dx2 2(δ1 (x2 ))2 δ1 δ2 4δ1 δ2 (x1 )δ1 (x2 )δ1

.

Í× Ð Ù

Æ&›”–ŽTŒ9›”œƒµJŠ9’f–}ŸŽJŠ9Œ“r® ∂(S,h(s1 1 ) ) ’XŽƒ‰€Œ9Žƒ˜fþ ×—J«ƒ–Œ ŽT˜D™(‰—Š9’f–‰‹œG‰‹Š–Ÿ6“”‰ ¨ –∂xŽƒþI›”œ#—ƒˆX‰–Œ9«JŽTˆX›r–ŽP —PŒ9K(δ] ™f“r˜f¢

T11 − T10 = 1 +

213

(2)

T22 − T21 =

1

11

10

0

2

2

0.8

1

0.7

0

22

21



0

0.6

−1

0.5

−2 2

µ

µ

1

0.4 −3

0.3 −4

0.1

−6

0

−7 −8 −2

0

2

4

−0.1 −1

−0.5

T −T 11

10

0 T −T 22

0.5

1

21

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