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Sur certaines n -formes en dimension 2n
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 471–474, 2001 Géométrie différentielle/Differential Geometry
Sur certaines n-formes en dimension 2n Francisco-Javier TURIEL Geometría y Topología, Facultad de Ciencias Ap. 59, 29080 Málaga, Espagne Courriel : [email protected] (Reçu le 27 juin 2001, accepté le 2 juillet 2001)
Résumé.
On étudie les propriétés des n-formes ω, en dimension 2n, pour lesquelles il existe une deuxième n-forme ω1 et un tenseur J, de type (1, 1), tels que ω1 (v1 , . . . , vn ) = ω(Jv1 , . . . , vn ). 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
On some n-forms in dimension 2n Abstract.
We study the properties of a n-form ω, in dimension 2n, for which there exist a second n-form ω1 and a (1, 1) tensor field J such that ω1 (v1 , . . . , vn ) = ω(Jv1 , . . . , vn ). 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Dans cet travail on étudie les n-formes de rang maximal sur des variétés de dimension 2n, qui définissent des G-structures, dans le but de jeter un peu de lumière sur une géométrie jusqu’à présent mal connue. On supposera désormais n 3, les cas n = 1, 2 étant élémentaires. Pour n 4 et K = R ou C, on a dim Λn (K2n )∗ > dim GL(2n, K) ; ainsi, le nombre de modèles algébriques devient infini. Peu de choses sont connues sur la classification de ces objets. Pour éviter cette difficulté on se limitera ici aux n-formes qu’on appellera binaires (voir paragraphe 1). À remarquer que toutes les 3-formes sur K6 de rang 6 sont binaires ; ceci découle de la classification des éléments de Λ3 (K6 )∗ , due à W. Reichel si K = C et à plusieurs auteurs si K = R [2,4]. 1. Classification algébrique des n-formes binaires Soit V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension 2n 6. À chaque n-forme ω ∈ Λn V ∗ on associe le sous-espace vectoriel E(ω) de toutes les (n − 1)-formes iv ω, v ∈ V . Sa dimension est 2n si Ker ω = 0, c’est-à-dire si rang ω = 2n. Comme E(ω) ne dépend que de la classe de ω dans le projectif P(Λn V ∗ ) on obtient ainsi une application E : P → G2n (Λn−1 V ∗ ) de l’ouvert P ⊂ P(Λn V ∗ ) constitué des classes de n-formes de rang 2n dans la Grasmannienne de 2n-plans de Λn−1 V ∗ . On dira que ω est binaire −1 si E (E([ω])) a, au moins, deux éléments. Ceci revient à dire qu’il existe ω1 ∈ Λn V ∗ non nécessairement de rang 2n, linéairement indépendante de ω, telle que E(ω1 ) ⊂ E(ω) ; en effet, le rang de ω1 + a ω, a ∈ K, est presque toujours 2n. Lorsque E(ω1 ) ⊂ E(ω) il existe un endomorphisme J de V , d’ailleurs unique, tel que ω1 (v1 , . . . , vn ) = ω(Jv1 , . . . , vn ), v1 , . . . , vn ∈ V , ou de façon symbolique ω1 = ω(J, . . .). En outre, ω(Jv1 , v2 , . . . , vn ) = ω(v1 , Jv2 , . . . , vn ) = · · · = ω(v1 , v2 , . . . , Jvn ) et ωr = ω(J r , . . .) est une n-forme pour r entier (en fait r 0 si J n’est pas inversible). Note présentée par Charles-Michel M ARLE. S0764-4442(01)02068-7/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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Soit ϕ le polynôme minimal de J . Supposons qu’il s’écrit sous la forme ϕ = ϕ1 ϕ2 , où ϕ1 , ϕ2 sont premiers entre eux. Alors V = Im ϕ1 (J) ⊕ Im ϕ2 (J) ; en outre, ωr (Im ϕ1 (J), Im ϕ2 (J), . . .) = 0 car ωr (ϕ1 (J)v, ϕ2 (J)w, . . .) = ωr ((ϕ1 ϕ2 )(J)v, w, . . .) = 0. Ceci entraîne que (V, ω, ω1 ) peut être identifié au produit de deux couples des n-formes (V , ω , ω1 ) × (V , ω , ω1 ), pour lesquels existent J ∈ End(V ) et J ∈ End(V ) tels que ω1 = ω (J , . . .), ω1 = ω (J , . . .) et dont les polynômes minimaux sont ϕ1 et ϕ2 respectivement. Or ω et ω sont des n-formes non nulles puisque ω = ω + ω est de rang 2n, donc dim V = dim V = n. Bref ϕ est le produit, au plus, de deux polynômes premiers entre eux. En remplaçant ω1 par a ω + b ω1 si nécessaire, on aura trois cas : ϕ = (t − 1)k (t + 1) , ϕ = tk ou bien ϕ = (t2 + 1)k , ce dernier seulement si V est réel. Dans le premier cas (V, ω, ω1 ) est le produit de deux couples de n-formes, donc ϕ = (t − 1)(t + 1), J 2 = I et ω = e∗1 ∧ · · · ∧ e∗n + e∗n+1 ∧ · · · ∧ e∗2n pour une certaine base {e1 , . . . , e2n } de V . À remarquer que l’endomorphisme J est unique au signe près car la réunion de ses deux sous-espaces propres de dimension n est l’ensemble des v ∈ V tels que rang(iv ω) n − 1. En particulier, à partir de ω on peut reconstruire ω1 de manière unique au signe près. Lorsque ϕ = (t2 + 1)k , en complexifiant (V, ω) on revient au cas ϕ = (t − i)k (t + i)k sur (V C , ω C ), et on peut appliquer ce qu’on a dit plus haut pour conclure que J 2 = −I et que J est unique au signe près. Ainsi, (V, J) est lui-même un espace vectoriel complexe de dimension complexe n et Ω = ω1 + i ω une forme volume complexe. Bref ω n’est que la partie imaginaire d’un forme de volume complexe. Supposons finalement ϕ = tk . En remplaçant ω1 par ωk−1 on se ramène toujours au cas ϕ = t2 , c’est-àdire J 2 = 0. Dans ces conditions W = Ker J = Im J = Ker ω1 est un sous-espace vectoriel de dimension n et ω(W, W, . . .) = ω(JV, JV, . . .) = ω(J 2 V, V, . . .) = 0. Il n’est pas difficile de voir qu’il existe une base n {e1 , . . . , e2n } de V telle que {en+1 , . . . , e2n } soit une base de W et que ω = j=1 e∗n+j ∧ e∗1 ∧ · · · ∧ ej∗ ∧ ej∗ veut dire que cette 1-forme est supprimée. À remarquer que W est l’espace des v ∈ V tels · · · ∧ e∗n , où que rang(iv ω) n − 1, donc un invariant de ω. En outre, ω1 est une n-forme de noyau W ; par conséquent, ω1 et J sont uniques à facteur près. 2. L’aspect différentiable Considérons sur une variété différentiable réelle ou complexe M , de dimension 2n 6, une n-forme ω qui soit 0-déformable, c’est-à-dire qui définisse une G-structure. Supposons, en outre, que chaque ω(p), p ∈ M , soit binaire. T HÉORÈME 1. – Dans les hypothèses précédentes et pour dim M 8, la forme ω est plate, c’est-à-dire s’écrit à coefficients constants au voisinage de chaque point, si et seulement si elle est fermée. Nous n’examinerons que la suffisance. Puisque ω est 0-déformable on peut introduire, comme il y a un instant, le tenseur J de type (1, 1) et la n-forme ω1 , et se restreindre aux cas J 2 = I, J 2 = −I et J 2 = 0. Si J 2 = I on peut trouver, au voisinage de chaque point, une base locale {α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn } de T∗ M telle que ω = α1 ∧ · · · ∧ αn + β1 ∧ · · · ∧ βn . Alors chaque dαj appartient à l’idéal engendré par α1 , . . . , αn ; autrement dit, d(α1 ∧ · · · ∧ αn ) contiendrait un terme avec deux formes β et n − 1 formes α qui ne peut pas être compensé par d(β1 ∧ · · · ∧ βn ) car n 4. La même chose arrive pour l’idéal engendré par β1 , . . . , βn . Bref Ker(α1 ∧ · · · ∧ αn ) et Ker(β1 ∧ · · · ∧ βn ) sont involutifs, d’où ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn + dy1 ∧ · · · ∧ dyn . Lorsque J 2 = −I il existe, autour de chaque point, un base locale {α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn } de ∗ T M ⊗R C, comme fibré vectoriel des 1-formes à valeurs dans C, telle que αk ◦ J = iαk , βk ◦ J = −i βk , k = 1, . . . , n, et que ω = α1 ∧ · · · ∧ αn + β1 ∧ · · · ∧ βn (par définition (µ ◦ J)(X) = µ(JX)). Comme dans le cas précédent, chaque dαk appartient à l’idéal engendré par α1 , . . . , αn et chaque dβk à celui engendré par β1 , . . . , βn . Par suite, ω1 = i α1 ∧ · · · ∧ αn − i β1 ∧ · · · ∧ βn est fermée et J à torsion nulle car α1 , . . . , αn sont de type (1, 0) et β1 , . . . , βn de type (0, 1). Bref Ω = ω1 + i ω est une forme volume holomorphe, d’où la platitude de ω.
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Supposons maintenant J 2 = 0. Alors au voisinage de chaque point on peut choisir une base locale {α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn } de T∗ M telle que ω=
n
βj ∧ α1 ∧ · · · ∧ α j ∧ · · · ∧ αn .
j=1
j Si l’on écrit dαj = 1
pour tout 1 j < k n. j Lorsque n 4 un calcul direct montre que chaque fr = 0 ; bref, Ker(α1 ∧ · · · ∧ αn ) est involutif. Ceci permet de choisir des coordonnées (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) telles que Ker(α1 ∧ · · · ∧ αn ) = Ker(dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) et que ω=
n
j ∧ · · · ∧ dxn + f dx1 ∧ · · · ∧ dxn , λj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx
j=1
y1 ∧ · · · ∧ d yn = 0. Comme dω = 0 chaque dλj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxn = 0. Donc, quitte à où chaque λj ∧ d yj . Dans ce cas f = f (x), et il suffira de modifier les coordonnées ( y1 , . . . , yn ), on peut supposer λj = d prendre y1 = y1 + g, où f = ∂g/∂x1 , yj = yj , j = 2, . . . , n, pour obtenir ω=
n
j ∧ · · · ∧ dxn . dyj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx
j=1
Remarque. – Pour n = 3 il faut demander que la première fonction de structure de la G-structure associée à ω s’annule. Autrement dit, le théorème 1 n’est plus vrai comme le montrent les trois exemples suivants sur K6 (K = R pour le deuxième et K = R ou C pour les autres) : ω = (dx1 + y2 dy3 ) ∧ dx2 ∧ dx3 + (dy1 − x2 dx3 ) ∧ dy2 ∧ dy3 , ω = Im (dx1 + y2 dy3 + i dy1 ) ∧ (dx2 + idy2 ) ∧ (dx3 + i dy3 ) et ω = dy1 ∧ dx2 ∧ dx3 + dy2 ∧ (dx1 + y2 dy3 ) ∧ dx3 + dy3 ∧ (dx1 + y2 dy3 ) ∧ dx2 . Lorsque J 2 = ±I se donner une n-forme ω plate revient à se donner soit deux feuilletages supplémentaires de dimension n munis chacun d’une forme volume transverse, soit une forme volume holomorphe dont la forme considérée est la partie imaginaire. Pour J 2 = 0 et ω plate l’exemple typique est la n-forme de Liouville de Λn−1 T∗ N , où N est une n-variété (on rappelle que la r-forme de Liouville λ de Λr T∗ N est définie de la façon suivante : si v1 , . . . , vr ∈ Tα (Λr T∗ N ), alors λ(v1 , . . . , vr ) = α(π∗ v1 , . . . , π∗ vr ), où π : Λr T∗ N → N est la projection canonique, tandis que dλ est la (r + 1)-forme de Liouville de Λr T∗ N ). Désormais, on dira que ω est de type Liouville si elle est plate et que J 2 = 0. De même, on appellera feuilletage support Fω le feuilletage défini par Ker J ou encore, en coordonnées (x, y) telles que ω = n j=1 dyj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxn , par dx1 = · · · = dxn = 0. Si α est une (n − 1)-forme basique fermée de ce feuilletage, définie sur un ouvert A, alors il existe un champ de vecteurs Xα tangent à Fω tel que iXα ω = α. En outre, si β est une autre (n − 1)-forme basique fermée sur A alors [Xα , Xβ ] = 0. Par conséquent, ces champs de vecteurs Xα donnent lieu à une structure affine naturelle sur Fω , analogue
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à celle associée à un feuilletage lagrangien dans le cas symplectique. Le comportement des n-formes de type Liouville n’est pas trop éloigné de celui des formes symplectiques. En particulier, on a l’analogue du théorème de Weinstein pour les sous-variétés lagrangiennes [3]. T HÉORÈME 2. – Considérons une n-forme ω de type Liouville définie sur une variété réelle M de dimension 2n 6. Soit N une sous-variété plongée de M , de dimension n, transverse à Fω . Si la restriction de ω à N s’annule, alors il existe un difféomorphisme f : A → B, où A est un ouvert de M contenant N et B un ouvert de Λn−1 T∗ N contenant N identifiée à la section zéro, tel que l’image réciproque de la n-forme de Liouville est ω et que f |N = Id. Démonstration. – En associant à chaque v ∈ Tp Fω , p ∈ N , la restriction de iv ω(p) à Tp N , on obtient un isomorphisme de fibrés vectoriels ϕ : (TFω )|N → Λn−1 T∗ N . D’un autre côté, il existe un voisinage ouvert de la section zéro de (TFω )|N et une submersion g : B → M tels que g(v), pour tout v ∈ (Tp Fω ) ∩ B B et tout p ∈ N , est l’exponentielle du vecteur v par rapport à la connexion affine naturelle de la feuille de Fω pour que g devienne injectif, qui passe par p. Comme N est une sous-variété plongée, on peut rapetisser B et donc un difféomorphisme avec l’image A = g(B) (c’est le raisonnement habituel pour construire des voisinages tubulaires, voir [1]). et f = ϕ ◦ g −1 . En effet, au voisinage de chaque point p ∈ N Pour finir il suffit de prendre B = ϕ(B) n j ∧ · · · ∧ dxn et que la il existe des coordonnées (x, y) telles que p ≡ 0, ω = j=1 dyj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx trace de N puisse être identifiée au graphe d’une application x → (h1 (x), . . . , hn (x)). Quitte à remplacer chaque yj par yj − hj , ce qui ne modifie pas l’expression formelle de ω car ω|N = 0, on peut supposer que la trace de N est donnée par les équations y1 = · · · = yn = 0. Dans ce cas, (x1 , . . . , xn ) peuvent être regardées comme des coordonnées sur N . Si (x, y) sont les coordonnées associées dans Λn−1 T∗ N , alors f exprimée dans les coordonnées (x, y) et (x, y) est l’identité. Exemple. – Au voisinage de 0 ∈ K2n , où n = 2k 4 et K = R, C, muni des coordonnées (x, y) et pour une certaine fonction f , on considère la n-forme fermée β = β0 + β1k , où β0 = dx1 ∧ · · · ∧ dxn + dy1 ∧ · · · ∧ dyn
et β1 =
n j,=1
∂2f dxj ∧ dy ∂xj ∂y
avec β1n = β02 (en analytique l’existence de telles fonctions f découle du théorème de Cauchy– Kowalewsky). Les sous-fibrés définis par dy1 = · · · = dyn = 0 et par dx1 = · · · = dxn = 0 sont des invariants de β car leur réunion est l’ensemble des vecteurs tangents v tels que (iv β)2 = 0. Ceci permet d’introduire le tenseur J , de type (1, 1), qui vaut I sur le premier sous-fibré et −I sur le second, et de montrer que β0 , β1 et J sont des invariants de β, les deux derniers au signe près (en fait si λk = β1k , alors λ = ±β1 ). D’autre part, g(X, Y ) = β1 (JX, Y ) est une métrique pseudo-riemannienne et, comme J est plat et que β1n = β02 , sa connexion de Levi-Civita rend parallèles β, β0 , β1 et J . Ceci montre que la première fonction de structure de la G-structure définie par β s’annule, bien qu’en général β ne soit pas plate car la courbure de cette connexion est non nulle. Bien sûr β n’est pas binaire. Une construction analogue peut se faire sur les variétés de Calabi–Yau en prenant comme β0 la partie imaginaire de la forme volume holomorphe et comme β1 la forme symplectique. Références bibliographiques [1] [2] [3] [4]
Hirsch M.W., Differential Topology, Graduate Texts in Math., Vol. 33, 1976. Reichel W., Über die trilinearen alternieren de Formen in 6 und 7 Veränderlichen, Dissertation Greifswald, 1907. Weinstein A., Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds, Adv. Math. 6 (1971) 329–346. Westwick R., Real Trivectors of Rank Seven, Linear and Multilinear Algebra, 1980.
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Sur certaines n-formes en dimension 2n Francisco-Javier TURIEL Geometría y Topología, Facultad de Ciencias Ap. 59, 29080 Málaga, Espagne Courriel : [email protected] (Reçu le 27 juin 2001, accepté le 2 juillet 2001)
Résumé.
On étudie les propriétés des n-formes ω, en dimension 2n, pour lesquelles il existe une deuxième n-forme ω1 et un tenseur J, de type (1, 1), tels que ω1 (v1 , . . . , vn ) = ω(Jv1 , . . . , vn ). 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
On some n-forms in dimension 2n Abstract.
We study the properties of a n-form ω, in dimension 2n, for which there exist a second n-form ω1 and a (1, 1) tensor field J such that ω1 (v1 , . . . , vn ) = ω(Jv1 , . . . , vn ). 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Dans cet travail on étudie les n-formes de rang maximal sur des variétés de dimension 2n, qui définissent des G-structures, dans le but de jeter un peu de lumière sur une géométrie jusqu’à présent mal connue. On supposera désormais n 3, les cas n = 1, 2 étant élémentaires. Pour n 4 et K = R ou C, on a dim Λn (K2n )∗ > dim GL(2n, K) ; ainsi, le nombre de modèles algébriques devient infini. Peu de choses sont connues sur la classification de ces objets. Pour éviter cette difficulté on se limitera ici aux n-formes qu’on appellera binaires (voir paragraphe 1). À remarquer que toutes les 3-formes sur K6 de rang 6 sont binaires ; ceci découle de la classification des éléments de Λ3 (K6 )∗ , due à W. Reichel si K = C et à plusieurs auteurs si K = R [2,4]. 1. Classification algébrique des n-formes binaires Soit V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension 2n 6. À chaque n-forme ω ∈ Λn V ∗ on associe le sous-espace vectoriel E(ω) de toutes les (n − 1)-formes iv ω, v ∈ V . Sa dimension est 2n si Ker ω = 0, c’est-à-dire si rang ω = 2n. Comme E(ω) ne dépend que de la classe de ω dans le projectif P(Λn V ∗ ) on obtient ainsi une application E : P → G2n (Λn−1 V ∗ ) de l’ouvert P ⊂ P(Λn V ∗ ) constitué des classes de n-formes de rang 2n dans la Grasmannienne de 2n-plans de Λn−1 V ∗ . On dira que ω est binaire −1 si E (E([ω])) a, au moins, deux éléments. Ceci revient à dire qu’il existe ω1 ∈ Λn V ∗ non nécessairement de rang 2n, linéairement indépendante de ω, telle que E(ω1 ) ⊂ E(ω) ; en effet, le rang de ω1 + a ω, a ∈ K, est presque toujours 2n. Lorsque E(ω1 ) ⊂ E(ω) il existe un endomorphisme J de V , d’ailleurs unique, tel que ω1 (v1 , . . . , vn ) = ω(Jv1 , . . . , vn ), v1 , . . . , vn ∈ V , ou de façon symbolique ω1 = ω(J, . . .). En outre, ω(Jv1 , v2 , . . . , vn ) = ω(v1 , Jv2 , . . . , vn ) = · · · = ω(v1 , v2 , . . . , Jvn ) et ωr = ω(J r , . . .) est une n-forme pour r entier (en fait r 0 si J n’est pas inversible). Note présentée par Charles-Michel M ARLE. S0764-4442(01)02068-7/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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Soit ϕ le polynôme minimal de J . Supposons qu’il s’écrit sous la forme ϕ = ϕ1 ϕ2 , où ϕ1 , ϕ2 sont premiers entre eux. Alors V = Im ϕ1 (J) ⊕ Im ϕ2 (J) ; en outre, ωr (Im ϕ1 (J), Im ϕ2 (J), . . .) = 0 car ωr (ϕ1 (J)v, ϕ2 (J)w, . . .) = ωr ((ϕ1 ϕ2 )(J)v, w, . . .) = 0. Ceci entraîne que (V, ω, ω1 ) peut être identifié au produit de deux couples des n-formes (V , ω , ω1 ) × (V , ω , ω1 ), pour lesquels existent J ∈ End(V ) et J ∈ End(V ) tels que ω1 = ω (J , . . .), ω1 = ω (J , . . .) et dont les polynômes minimaux sont ϕ1 et ϕ2 respectivement. Or ω et ω sont des n-formes non nulles puisque ω = ω + ω est de rang 2n, donc dim V = dim V = n. Bref ϕ est le produit, au plus, de deux polynômes premiers entre eux. En remplaçant ω1 par a ω + b ω1 si nécessaire, on aura trois cas : ϕ = (t − 1)k (t + 1) , ϕ = tk ou bien ϕ = (t2 + 1)k , ce dernier seulement si V est réel. Dans le premier cas (V, ω, ω1 ) est le produit de deux couples de n-formes, donc ϕ = (t − 1)(t + 1), J 2 = I et ω = e∗1 ∧ · · · ∧ e∗n + e∗n+1 ∧ · · · ∧ e∗2n pour une certaine base {e1 , . . . , e2n } de V . À remarquer que l’endomorphisme J est unique au signe près car la réunion de ses deux sous-espaces propres de dimension n est l’ensemble des v ∈ V tels que rang(iv ω) n − 1. En particulier, à partir de ω on peut reconstruire ω1 de manière unique au signe près. Lorsque ϕ = (t2 + 1)k , en complexifiant (V, ω) on revient au cas ϕ = (t − i)k (t + i)k sur (V C , ω C ), et on peut appliquer ce qu’on a dit plus haut pour conclure que J 2 = −I et que J est unique au signe près. Ainsi, (V, J) est lui-même un espace vectoriel complexe de dimension complexe n et Ω = ω1 + i ω une forme volume complexe. Bref ω n’est que la partie imaginaire d’un forme de volume complexe. Supposons finalement ϕ = tk . En remplaçant ω1 par ωk−1 on se ramène toujours au cas ϕ = t2 , c’est-àdire J 2 = 0. Dans ces conditions W = Ker J = Im J = Ker ω1 est un sous-espace vectoriel de dimension n et ω(W, W, . . .) = ω(JV, JV, . . .) = ω(J 2 V, V, . . .) = 0. Il n’est pas difficile de voir qu’il existe une base n {e1 , . . . , e2n } de V telle que {en+1 , . . . , e2n } soit une base de W et que ω = j=1 e∗n+j ∧ e∗1 ∧ · · · ∧ ej∗ ∧ ej∗ veut dire que cette 1-forme est supprimée. À remarquer que W est l’espace des v ∈ V tels · · · ∧ e∗n , où que rang(iv ω) n − 1, donc un invariant de ω. En outre, ω1 est une n-forme de noyau W ; par conséquent, ω1 et J sont uniques à facteur près. 2. L’aspect différentiable Considérons sur une variété différentiable réelle ou complexe M , de dimension 2n 6, une n-forme ω qui soit 0-déformable, c’est-à-dire qui définisse une G-structure. Supposons, en outre, que chaque ω(p), p ∈ M , soit binaire. T HÉORÈME 1. – Dans les hypothèses précédentes et pour dim M 8, la forme ω est plate, c’est-à-dire s’écrit à coefficients constants au voisinage de chaque point, si et seulement si elle est fermée. Nous n’examinerons que la suffisance. Puisque ω est 0-déformable on peut introduire, comme il y a un instant, le tenseur J de type (1, 1) et la n-forme ω1 , et se restreindre aux cas J 2 = I, J 2 = −I et J 2 = 0. Si J 2 = I on peut trouver, au voisinage de chaque point, une base locale {α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn } de T∗ M telle que ω = α1 ∧ · · · ∧ αn + β1 ∧ · · · ∧ βn . Alors chaque dαj appartient à l’idéal engendré par α1 , . . . , αn ; autrement dit, d(α1 ∧ · · · ∧ αn ) contiendrait un terme avec deux formes β et n − 1 formes α qui ne peut pas être compensé par d(β1 ∧ · · · ∧ βn ) car n 4. La même chose arrive pour l’idéal engendré par β1 , . . . , βn . Bref Ker(α1 ∧ · · · ∧ αn ) et Ker(β1 ∧ · · · ∧ βn ) sont involutifs, d’où ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn + dy1 ∧ · · · ∧ dyn . Lorsque J 2 = −I il existe, autour de chaque point, un base locale {α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn } de ∗ T M ⊗R C, comme fibré vectoriel des 1-formes à valeurs dans C, telle que αk ◦ J = iαk , βk ◦ J = −i βk , k = 1, . . . , n, et que ω = α1 ∧ · · · ∧ αn + β1 ∧ · · · ∧ βn (par définition (µ ◦ J)(X) = µ(JX)). Comme dans le cas précédent, chaque dαk appartient à l’idéal engendré par α1 , . . . , αn et chaque dβk à celui engendré par β1 , . . . , βn . Par suite, ω1 = i α1 ∧ · · · ∧ αn − i β1 ∧ · · · ∧ βn est fermée et J à torsion nulle car α1 , . . . , αn sont de type (1, 0) et β1 , . . . , βn de type (0, 1). Bref Ω = ω1 + i ω est une forme volume holomorphe, d’où la platitude de ω.
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Supposons maintenant J 2 = 0. Alors au voisinage de chaque point on peut choisir une base locale {α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn } de T∗ M telle que ω=
n
βj ∧ α1 ∧ · · · ∧ α j ∧ · · · ∧ αn .
j=1
j Si l’on écrit dαj = 1
pour tout 1 j < k n. j Lorsque n 4 un calcul direct montre que chaque fr = 0 ; bref, Ker(α1 ∧ · · · ∧ αn ) est involutif. Ceci permet de choisir des coordonnées (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) telles que Ker(α1 ∧ · · · ∧ αn ) = Ker(dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) et que ω=
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j ∧ · · · ∧ dxn + f dx1 ∧ · · · ∧ dxn , λj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx
j=1
y1 ∧ · · · ∧ d yn = 0. Comme dω = 0 chaque dλj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxn = 0. Donc, quitte à où chaque λj ∧ d yj . Dans ce cas f = f (x), et il suffira de modifier les coordonnées ( y1 , . . . , yn ), on peut supposer λj = d prendre y1 = y1 + g, où f = ∂g/∂x1 , yj = yj , j = 2, . . . , n, pour obtenir ω=
n
j ∧ · · · ∧ dxn . dyj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx
j=1
Remarque. – Pour n = 3 il faut demander que la première fonction de structure de la G-structure associée à ω s’annule. Autrement dit, le théorème 1 n’est plus vrai comme le montrent les trois exemples suivants sur K6 (K = R pour le deuxième et K = R ou C pour les autres) : ω = (dx1 + y2 dy3 ) ∧ dx2 ∧ dx3 + (dy1 − x2 dx3 ) ∧ dy2 ∧ dy3 , ω = Im (dx1 + y2 dy3 + i dy1 ) ∧ (dx2 + idy2 ) ∧ (dx3 + i dy3 ) et ω = dy1 ∧ dx2 ∧ dx3 + dy2 ∧ (dx1 + y2 dy3 ) ∧ dx3 + dy3 ∧ (dx1 + y2 dy3 ) ∧ dx2 . Lorsque J 2 = ±I se donner une n-forme ω plate revient à se donner soit deux feuilletages supplémentaires de dimension n munis chacun d’une forme volume transverse, soit une forme volume holomorphe dont la forme considérée est la partie imaginaire. Pour J 2 = 0 et ω plate l’exemple typique est la n-forme de Liouville de Λn−1 T∗ N , où N est une n-variété (on rappelle que la r-forme de Liouville λ de Λr T∗ N est définie de la façon suivante : si v1 , . . . , vr ∈ Tα (Λr T∗ N ), alors λ(v1 , . . . , vr ) = α(π∗ v1 , . . . , π∗ vr ), où π : Λr T∗ N → N est la projection canonique, tandis que dλ est la (r + 1)-forme de Liouville de Λr T∗ N ). Désormais, on dira que ω est de type Liouville si elle est plate et que J 2 = 0. De même, on appellera feuilletage support Fω le feuilletage défini par Ker J ou encore, en coordonnées (x, y) telles que ω = n j=1 dyj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxn , par dx1 = · · · = dxn = 0. Si α est une (n − 1)-forme basique fermée de ce feuilletage, définie sur un ouvert A, alors il existe un champ de vecteurs Xα tangent à Fω tel que iXα ω = α. En outre, si β est une autre (n − 1)-forme basique fermée sur A alors [Xα , Xβ ] = 0. Par conséquent, ces champs de vecteurs Xα donnent lieu à une structure affine naturelle sur Fω , analogue
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F.-J. Turiel
à celle associée à un feuilletage lagrangien dans le cas symplectique. Le comportement des n-formes de type Liouville n’est pas trop éloigné de celui des formes symplectiques. En particulier, on a l’analogue du théorème de Weinstein pour les sous-variétés lagrangiennes [3]. T HÉORÈME 2. – Considérons une n-forme ω de type Liouville définie sur une variété réelle M de dimension 2n 6. Soit N une sous-variété plongée de M , de dimension n, transverse à Fω . Si la restriction de ω à N s’annule, alors il existe un difféomorphisme f : A → B, où A est un ouvert de M contenant N et B un ouvert de Λn−1 T∗ N contenant N identifiée à la section zéro, tel que l’image réciproque de la n-forme de Liouville est ω et que f |N = Id. Démonstration. – En associant à chaque v ∈ Tp Fω , p ∈ N , la restriction de iv ω(p) à Tp N , on obtient un isomorphisme de fibrés vectoriels ϕ : (TFω )|N → Λn−1 T∗ N . D’un autre côté, il existe un voisinage ouvert de la section zéro de (TFω )|N et une submersion g : B → M tels que g(v), pour tout v ∈ (Tp Fω ) ∩ B B et tout p ∈ N , est l’exponentielle du vecteur v par rapport à la connexion affine naturelle de la feuille de Fω pour que g devienne injectif, qui passe par p. Comme N est une sous-variété plongée, on peut rapetisser B et donc un difféomorphisme avec l’image A = g(B) (c’est le raisonnement habituel pour construire des voisinages tubulaires, voir [1]). et f = ϕ ◦ g −1 . En effet, au voisinage de chaque point p ∈ N Pour finir il suffit de prendre B = ϕ(B) n j ∧ · · · ∧ dxn et que la il existe des coordonnées (x, y) telles que p ≡ 0, ω = j=1 dyj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx trace de N puisse être identifiée au graphe d’une application x → (h1 (x), . . . , hn (x)). Quitte à remplacer chaque yj par yj − hj , ce qui ne modifie pas l’expression formelle de ω car ω|N = 0, on peut supposer que la trace de N est donnée par les équations y1 = · · · = yn = 0. Dans ce cas, (x1 , . . . , xn ) peuvent être regardées comme des coordonnées sur N . Si (x, y) sont les coordonnées associées dans Λn−1 T∗ N , alors f exprimée dans les coordonnées (x, y) et (x, y) est l’identité. Exemple. – Au voisinage de 0 ∈ K2n , où n = 2k 4 et K = R, C, muni des coordonnées (x, y) et pour une certaine fonction f , on considère la n-forme fermée β = β0 + β1k , où β0 = dx1 ∧ · · · ∧ dxn + dy1 ∧ · · · ∧ dyn
et β1 =
n j,=1
∂2f dxj ∧ dy ∂xj ∂y
avec β1n = β02 (en analytique l’existence de telles fonctions f découle du théorème de Cauchy– Kowalewsky). Les sous-fibrés définis par dy1 = · · · = dyn = 0 et par dx1 = · · · = dxn = 0 sont des invariants de β car leur réunion est l’ensemble des vecteurs tangents v tels que (iv β)2 = 0. Ceci permet d’introduire le tenseur J , de type (1, 1), qui vaut I sur le premier sous-fibré et −I sur le second, et de montrer que β0 , β1 et J sont des invariants de β, les deux derniers au signe près (en fait si λk = β1k , alors λ = ±β1 ). D’autre part, g(X, Y ) = β1 (JX, Y ) est une métrique pseudo-riemannienne et, comme J est plat et que β1n = β02 , sa connexion de Levi-Civita rend parallèles β, β0 , β1 et J . Ceci montre que la première fonction de structure de la G-structure définie par β s’annule, bien qu’en général β ne soit pas plate car la courbure de cette connexion est non nulle. Bien sûr β n’est pas binaire. Une construction analogue peut se faire sur les variétés de Calabi–Yau en prenant comme β0 la partie imaginaire de la forme volume holomorphe et comme β1 la forme symplectique. Références bibliographiques [1] [2] [3] [4]
Hirsch M.W., Differential Topology, Graduate Texts in Math., Vol. 33, 1976. Reichel W., Über die trilinearen alternieren de Formen in 6 und 7 Veränderlichen, Dissertation Greifswald, 1907. Weinstein A., Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds, Adv. Math. 6 (1971) 329–346. Westwick R., Real Trivectors of Rank Seven, Linear and Multilinear Algebra, 1980.
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