Sur certains systèmes dynamiques conservatifs par morceaux

Iti. J. Non-Linrar

Mechanics. Vol 6. pp. 209-219.

SUR CERTAIN

Pcrgamon

Press 1971. F’riatcd in Great Britain

SYSTJ?MES DYNAMIQUES PAR MORCEAUX

COIWERVATIFS

C. FOUQIJE~ Department of Mechanical Engineering, University of California, Berkeley, U.S.A. RbrmrC-On &die une classe de systhnes dynamiques gouvemb par une equation differentieile dont le dew&me membre est discontinu, et qui sont conservatifs par morceaun On obtient une condition necessaim et une condition sufftsante pour I’existence dun cycle limite, que I’on gtneralise a des systtmes presque conservatifs par morceaux. 1. INTRODUCTION ON

S’INTJ!RESSE aux equations differentielles du type R +fi(x - c,) = 0,

i=lpour~>Oeti=2pour~
(1.1)

oh q est un nombre reel et l’origine du plan des phases est un centre pour f + J(x) = 0,

(i = 1,2).

L’exemple le plus simple de ce type de systimes conservatifs par morceaux est l’oscillateur harmonique soumis a un frottement de Coulomb:

Recemment une equation du type (1.1) a CtCutiliske avec sucds pour rendre compte du phtnomene de pulsations de certaines Ctoiles [ 13. Dans le plan des phases (x, y) les trajectoires de Equation (1.1) s’obtiennent sans difficultt par la methode dite du “raccordement” [2, Chapitre 11, c’est a dire que l’on raccorde par continuitt les arcs des trajectoires de 2 + f,(x - cr) = 0 du demi-plan supkieur y > 0, aux arcs des trajectoires de 2 + f2(x - c2) = 0 du demi-plan inferieur y < 0. On voit ainsi que la tangente a une trajectoire de (1.1) varie contimiment. Apres avoir precisk les hypotheses, on examine le cas c1 = c2 qui se ram&e par translation a cr = c2 = 0 et qui se general& aux systtmes hamiltoniens. Puis on examine le cas c, et c2 “voisins” d’une valeur c,; on s’est ramene a c0 = 0 par translation et par “voisins” on signifie que cr = a&) oh a, est une fonction continue de E dans un voisinage de 0 et a,(O) = 0 (i = 1, 2). Les resultats obtenus sont ensuite Ctendus aux systtmes presque conservatifs par morceaux. 2 FONCTIONS DE CLASSE A Par ‘fest de classe A” on entend quefest une fonction rkelle de variable rkelle, continue, telle que dans le domaine consider6 il y a existence et unicite pour le probleme de Cauchy t Prtsente adresse: C. Fouque, C.N.A.M., 292 rue Saint Martin, Paris (III), France; cet article constitue approximativemcnt un chapitre de la these soumise par I’auteurpour satisfain une partic des conditions ntcessairea d’obtention du titre de Docteur de Wnivcrsite de Caiifornie, Berkeley. 209

C. FOUQUE

210

associe a l’equation differentielle z? + f(x) = 0,

(’ = d/dt),

(2.1)

et telle que sa primitive F dtfmie par

(2.2)

F(x) = [ f(z) dz, satisfait a l’une des hypotheses suivantes. Ai : 11existe un intervalle I = ]a, b[ contenant 0 tel que

A,:

F(a) = F+ est F- est F+ est F- est

F(b) a c;

un un un un

C’dilfeomorphisme C’-diffeomorphisme Cl-ditfeomorphisme C’-diffeomorphisme

croissant* de IO, b[ sur 10, c[, decroissant de ]a, O[ sur IO, c[, croissant de W+ sur 41+, decroissant de 91- sur W+.

Dam ce qui precede les fonctions F+ et F- sont d&ties par VUEW+ : F+(u) = F(v),

VUE~I?- : F-(u) = F(u),

(2.3)

et 41’(9 -) denote l’ensemble des nombres reels strictement positifs (negatifs). On note queA,correspondaA,avec-a=b=c= +co. Si f est de classe A, alors 0 est le seul point singulier de (2.1) dans le domaine consider6 et l’origine du plan des phases est un centre pour l’equation (2.1). Les trajectoires (fermkes, entourant l’origine, symetriques par rapport a I’axe y = 0) ont pour equation H(x, y) p y2/2 + F(x) = h,

(2.4)

ou h est un parametre strictement positif appele Cnergie. Dans l’hypothese A, on a h < c, tandis que dans l’hypothese A, on a un centre dans le large. La trajectoire d’energie h0 intersecte (orthogonalement) l’axe y = 0 aux deux points (I+, 0) et (u,, 0) tels que

ug =

$_(h,),uo = $+(ho). 3. LE CAS

cl = c2

On considere done, apres translation, l’tquation .%+ fi(X) = 0,

i = lpourk>

Oeti = 2pour1<

0,

(3.1)

oh les fonctions fi sont de classe A. Pour i = 1,2 soient Fi, FT, F; , Hi les fonctions defmies comme dans (2.2), (2.3) et (2.4). De plus on note par H,? (x, y) = h (respectivement H; (x, y) = h) les demi-trajectoires de R + A(x) = 0 qui se trouvent dans le demi-plan sufkieur y > 0 (respectivement dans le demi-plan inferieur y -K 0). On se place maintenant dans l’hypothtse A, pour simplifier les compositions de forictions, mais on peut proctder de manitre semblable dans Phypothke Al. * Etant don&e une fonction rkelle rpde variable rtelle x, on dit que cpest un C’-diffkomorphisme de 10, b[ sur ]a’, b’[ si et seulement si rpest de classe. C’ dans ]a, b[ et admet une fouction inverse, not&e i’, de]a’, b’[ SLU ]a, b[, de classe C’ dans ]a’, b’[ (a, (I’pouvant i3re - cc et b, b’ pouvant &re + co). Ceci implique soit v’(x) > 0, soit g+(x) c 0 dans ]a, b[, (’ = d/dx). D’oh rpest soit strictement croissante, soit strictement dbcroissante.

conservat(Ls par morceaux

SW certains systt’mes dynamiques

211

En effet on dHinit les fonctions ti + et ~5_ par F;

F; = tj?- OF;,

=JI+oF:,

(3.2)

oh le signe o dknote la composition des fonctions. 11 est clair que #+ et +_ sont des C’diffkomorphismes croissants de W+ sur W+. Pour obtenir une trajectoire de (3.1) on raccorde (voir Fig. 1) H:(x, y) = ho avec I&(x, y) = $+(h,) au point (no, 0) qui v&Se “0 = &,,)

= &$+(S)),

(3.3)

et avec H; (x, y) = # _ (ho) au point (u,, 0) qui v&Se uo = &o)

= &$_(ho)).

(3.4)

FIG. 1. Construction d’une trajectoire pour Equation (3.1).

On continue ce pro&d6 de raccordement avec des formules semblables A (3.3) et (3.4) pour raccorder une demi-trajectoire H;(x, y) = h. Etant don&e alors une trajectoire de (3.1) d’knergie initiale ho, c’est A dire issue d’un point de H:(x, y) = ho par exemple, soit (voir Fig. 1).

u1 = &ti+(ho)), En comparant (3.4) et (3.5) on a, puisquei:

est un C’-diffkomorphisme

Ul <

uo~ti+(ho)

'

JI-(ho),

Ul =

uo-=ti+@o)

=

ti-@o),

6

uo*ti+@o)

<

@-(ho).

En utilisant ensuite la monotonie obtient le thCor&me suivant.

'

(3.5) dkcroissant,

des fonctions F:, F;, $+, $_ et de leurs inverses, on

THI!&ME 1. Dans le plan des phases une trajectoire de (3.1) d’knergie initiale ho se ferme autour de l’origine si ++(ho) = ti-(h,), s’enroule ind&niment autour de l’origine si $+(ho) < @-(ho), se dtroule indkjbiment autour de Porigine si ++(h,) > t,S-(ho). Ce thhortme donne une description du plan des phases pour I’Cquation (3.1) A I’aide des fonctions $+ et JI_. Par exemple les fonctions $+ et $_ de la Fig. 2 dkterminent un cycle limite instable. En particulier toutes les trajectoires de (3.1) se ferment autour de

212

C. FOUQUE

I’origine si et seulement si’$ + = JI _. On note qu’elles ne sont plus en gCn6ral symetriques par rapport a l’axe y = 0. Done on peut knower:

FIG. 2. Fonctions $ + et $ _ dktcrminant un cycle limite instable.

COROLLAIRE 1. L’origine du plan des phases est un centre duns le large pour l’kquation (3.1) si et seulement si il existe un Cl-d~fbomorphisme croissant $ de 9V sur W! tel que

F, = JI 0 F,.

(3.6)

Exemple (a). Les fonctions f;: sont impaires. Alors les fonctions Fi sont paires, done par symitrie:’ ++ = I++_. Exemple (b). fi = afi, oh a > 0. Alors on a F, = aF1, done $(x) = ax. La nature du point singulier de (3.1) est Cgalement dttermin6.e par le comportement des fonctions J/ + et JI _ au voisinage de 0: COROLLAIRE 2. L’origine

foyer convergent centre foyer divergent

du plan des phases est un

si ++ < #- duns un voisinage de 0, si JI + = 1,9_ duns un voisinage de 0, si $I+ > @ _ duns un voisinage de 0.

On peut generaliser le thtortme i,

=

x2 =

aw,,x,m,

preckdent ainsi que les corolla&s,

I

i=lpourx,>O,

-aqx,,x,)/ax,

aux systemes du type

i=2pourx,
Par exemple on suppose les fonctions Ki(i = 1, 2) de classe C2 et dCfinies positives dans un voisinage de (0,O). L’origine du plan (x,, x2) est alors un centre pour le systeme hamiltonien (i = 1,2) iI = i2 =

aKdx,,x,)fax,,

-azci(x,,x,yax,.

LAStrajectoires (fern&s, entourant I’origine) ont pour equation Ux,, oh h est un parametre

(3.7)

x1) = h,

positif. On detinit alors les fonctions Fi et fi, (i = 1,2), par FAX) = K,(x, 0), f;(x) = F;(x),

(’ = d/dx).

SW certains systkmes dynamiques conservatifs par morceaux

213

Les fonctions Fj etant de classe C2 et definies positives dans un voisinage de 0, on a FAX) = d fdz) dz,

A(O) = 09

f X0) ’ 0.

Done il existe un intervalle I, contenant 0, sufisamment petit, tel que F, satisfait a l’hypothbe A,(i = 1, 2). Pour h suffisamment petit, une trajectoire &equation (3.7) intersecte I’axe x2 = 0 (pas ntcessairement orthogonalement, a la difference des trajectoires d’tquation (2.4)) en deux points (ui, 0) et (u, 0) qui veritient c+ = $+(hJ.

ui = -F;-(hi), On applique alors la thtorie prtcedente

adaptee a l’hypothtse A 1. Finalement on signale que le probkme du centre pour des systtmes du type

I

-% =

~,(x,, x2)

i2

QihX2)

=

i=

lpourx,>O,

i = 2pourx,

< 0,

oh les fonctions Pi, Qi (i = 1, 2) sont analytiques au voisinage de (0, 0), a ttC soulevi rkcemment [3]. 4. LE CAS c, ET c2 VOISINS On

considere Equation

differentielle

x + f(x) + EgXX)= 0,

i=

lsix>Oeti=

2sixc0,

(4.1)

oh f est de classe A et de classe C’, IsI est un petit parametre et les fonctions gi (i = 1, 2) sont de classe Cr. L’equation imperturbke est 3 + J(x) = 0.

(4.2)

On sait par le theoreme des fonctions implicites que pour i = 1, 2 l’equation K + fAx) + &gi(x) = 0,

(4.3)

a un point singulier a,(s) du type centre pourvu que IsI soit sufkamment petit& la fonction of est de classe C’ darts un voisinage de 0 et adO) = 0. Done l’tquation (4.1) est bien du type voulu, elle peut se mettre sous la forme 2 + ff[x - UX&)]= 0,

i=lsiz?>Oeti=2si3<0.

(4.4)

Soient alors la trajectoire de (4.2) et celle de (4.3)i issues du point (uO,0), u0 < 0. Soient (a,,, 0) et (u,,r, 0) les points ou elks recoupent l’axe y = 0; on a (voir Fig. 3) F(Q) = W,), JW,) + EGA,) = F(w)

(4.5) + EGA,&

oh F est comme dans (2.2) et G,(x) = 3 g,(z) dz. 0

(4.6)

C. FOUQUE

214

De (4.5) et (4.6) on tire %h Puisque$+

- W,)

= E(Gh)

- G,(U).

(4.7)

est de classe C’ et de dkrivke l/f, on obtient

(mol) - ~(~o>vf~~o) + 4% = +I(UO)- G~(uo,N/f(~o) + &A

001 - 00 =

(4.8)

en utilisant (4.7) et en notant par O(E)une fonction de E telle que lim O(E)/&= 0. Comme G, 8-0 est

de claw

Cl, (4.8) devient 001 -

uo =

GWo)

-

Wo)l/f(~o)

+

43.

(4.9)

En prenant maintenant la trajectoire de (4.2) et celle de (4.3), issues du point (uol), qui recoupent I’axe y = 0 aux points (ul, 0) et (ulz, O), on obtiendrait semblablement h (4.9): ~12 - ~1 =

@Mo1)

-

W,W!!h)

+

(4.10)

44.

Or F(u,) = F(u,,), d’oh en utilisant (4.6) on a W,) et puisque?-

G(~o,)l,

- Hue) = sCG&o) -

est de classe C’ et de dhivke l/f, on obtient Ul

=

-uo

=

Cw4

-

@Wo)

~(uoW_f@o) -

+

449

WolW~~o~

+

(4.11)

44.

(4.12)

UIZ - ~1 = sCG&o) - Gz(uo)lM(uo) + o(e). Finalement (4.11) et (4.12) donnent ~12

=

uo

+

4Wo)

-

Glho)

+

G,(oo)

-

Gzbo)3f@o)

+

44.

(4.13)

11est commode d’introduire les notations suivantes. oti C(u,) dhote

4

G,(uo)

-

G&o)

+

G,+o)

-

G2boX

(4.14)

CLg

la trajectoire de (4.2) passant par (uo, 0); u(uO) A - cJy(3~

(4.15)

(P(uo,E) 4 ug + U.&l) + o(s).

(4.16)

A l’aide de ces notations, (4.13) s’kcrit u12 = duo, E). On obtiendra done une trajectoire fermke de (4.1) si et seulement si ul 2 = uo, c’est B dire que l’on s’intkresse aux points fmes de cp.De man&e plus precise, puisque duo, 0) = uo, on peut espher que cp aura un point fixe uo(s), pour IsI sufhamment petit, prhs de certaines valeurs u8 telles que u,(O) = I&. Dans ce cas on dira que la trajectoire C(u8) engendre une trajectoire fermke de (4.1), ou que c’est une courbe ghhafrice pour (4.1). TH$&B.u? 2. Une condition nkcessaire pour que C(u8) soit une courbe ghuhatrice pour (4.1) est:

Sur certains syst&mes dynamiques conservatifs par morceaux

En effet on suppose qu’il existe une fonction continue u&), pour IsI sufhamment telle que u,(O) = $9

(PC&l(s),81=

u&k

215

petit, (4.17)

alors de (4.16) et (4.17) on tire +0(s)]

+ 0(&Y&= 0,

et en faisant tendre Evers 0, on obtient u(u8) = 0. De la dhftition on dkduit la condition ho&e.

(4.15) et puisque f(u$ # 0,

FIG. 4. Trajectoires des tquations (4.1) et (4.2), issues du point (u,,, 0).

Exemple. 2 + f(x) + 0.xsign z2 = 0,

a.# 0.

(4.18)

On obtient aiskment,

L’Cquation (4.18) n’admet done pas de courbe gknkratrice. Lorsque l’bquation (4.1) n’admet pas de courbe g6nCratric.e comme dans l’exemple prkckdent, on peut dhire les trajectoires ainsi: TH&&ME 3. Si &g#O

pour

-b
alors il existe un voisinage de l’origine du plan des phases tel que (4.1) n’a aucune trajectoire ferm&e, et de plus: si i3 S g > 0 les trajectoires s’enroulent, cbo) si E j g < 0 les trajectoires se diroulent. c(uo)

C. FOUQUE

216

En effet a&,) a le signe de j g puisque f&J Wo)

< 0, et

cp(a,, a) ’ uo

si

.w(uO) > 0,

cp(uo,a) < uo

si

sa(uO) < 0.

Exemple. Les trajectoires de (4.18) s’enroulent si &a > 0, se deroulent si &a < 0. Dans le but de demontrer une condition suflisante pour l’existence dune gentratrice pour (4.1), on cite le Lemme suivant.

courbe

LEMME[4]. hmt don&e une fonction rPelle z(u, E) de classe C2 au voisinage de (u’, 0) telle que z(u, 0) = u, si 8z/&(u”, 0) = 0 et a2.z/a&4 (u”, 0) # 0, alon il existe une fonction continue u(8) pour I&(st.@samment petit, telle que u(0) = uz, z[u(E), E] = U(E). La demonstration est simple: on applique le thboreme des fonctions implicites a la fonction w(u, E) = [z(u, E) - ~]/a. THI?OR#ME4. Une condition suflsante pour que C(uz) soit une courbe gPn&atrice pour (4.1) esf: a(u8) = 0 et a’(~&)# 0,

(’ = d/da,).

De plus C(u$ engendre un cycle limite pour (4.1) stable si EU’(U~)< 0, instable si EU(U~)> 0.

La premiere partie du theoreme est une consequence immediate du Lemme car &a,, 0) = u0, was bo, 0) = 4u,h a2cp/a&auo (u~,o) = a’(~~). On suppose maintenant E fme, positif par exemple, et suflkimment petit pour qu’il existe une trajectoire fermke L, de (4.1) passant par [uo(s), 01. On considere a’(~~) < 0 par exemple. Ona (~(a~(&)+ p, s) = aO(s) + fi was,

(aO(s),8) + 00~)~

oh 1p 1 est un petit paramttre. Soit m(z) = &p/au,(u,(e), E), alors m(0) = 1 et dm/de(O) = a’(~.&)< 0. Done pourvu que E soit fiie assez petit, on a: 0 < m(E) < 1. D’oh pour p > 0 assez petit: Us < (P(u~(E)+ ~1,E) < uo(s) + p, et pour p < 0, 1~1 assez petit: uo(&) + p < q(uo(.s) + p, E) < ~~(8). Done L, est un cycle limite stable. Exemple.

2+X

- &(a - /3x’) sign R = 0.

(4.19)

Puisque v. = -uo, on obtient ,& g = - 22 (a - fizz) dz = 4 1 (a - Bz2) dz = 4u,(a - @z/3). On note d’ailleurs que ce calcul est valable pour toute fonction f impaire. La seule valeur possible est done ~8 = - JQalB),

si

a/3 > 0.

(4.20)

Sur terrains sydmes

dynamiques

217

conservarifs par morceaux

Pour utiliser la condition suffisante, on calcule successivement a(uO) = -4(u - M/3X

VC~WB)l/39

a’(u8) = -

u8&antdon& par (4.20). Par consequent (4.19) a un unique cycle limite stable si a/? > 0, instable si s/l < 0, (afl > 0). Rkiproquement si on considtre une equation de la forme (4.4), elle se met sous la forme i = 1 six > Oet i = 2six

x + fdx) + sgxx, E) = 0,

< 0,

(4.2 1)

otif, est de classe A et de classe C’, (i = 1,2). Si on suppose de plus que (4.22)

F, = I(/0 F,,

(voir paragraphe 3, Corollaire 1, le diffeomorphisme croissant $ n’etant detini qu’au voisinage de 0 dans l’hypothese A,), on sait alors que l’origine du plan des phases est un centre pour l’equation (4.21) avec E = 0. 11 est aisk de vCrifier que l’dn obtient pour (4.21) les memes resultats que pour (4.1), a(~,) Ctant defini par

ho) = -

{[;i” ~I(G0)

W/!fAuo)l

+

5. EXTENSION On

AUX SYST&IS

[‘i” g&, 0)dz]/fi(u,)}. DO

-3

PRESQUE

CONSERVATIFS

PAR MORCEAUX

considbre d’abord l’equation i=

f + f(x) + EgXX,ct) = 0,

lsix>Oeti=2six
(5.1)

oh f est de classe A et de classe C' , les fonctions gi(i = 1,2) sont de classe C' . Reprenant les notatiohs du paragraphe 4, soient ho et hi dtfinis par ho = Wo) = Wo),

hi =

WJ,,)

=

W,),

et soit L: l’arc de trajectoire de jl + f(x) + sgi(x, x) = 0 entre les points (uo, 0) et (uol, 0). Alors on a hi - ho = --E j gi(x, x)dx, L: car en differentiant h = x2/2 + F(x) le long de L: on a

(5.2)

h = xx + f(x) 1 = - &gr(x, zi) 1. L: &ant voisin de C+(uo), demi-trajectoire supkieur y > 0, (5.2) donnef

h - ho=

--E

de (4.2) passant par (uo, 0) et dans le demi-plan

c+{“o, Bib, 4 dx + 49.

En prockdant comme dans le paragraphe 4, on obtient pour (5.1) les mi$mes rbultats pour (4.1) avec maintenant !

(5.3) que

C. FOUQUE

218

Exemple (trait& dans [2 7). f+s/3i2sign$+x=0, J,Q

= B[(-

u,sint)2(-u0sint)dt

= -8@;/3

B # 0.

(5.4)

- B~(-Ugsin~)2(-u,sint)dt, I

# 0,

carC(uO)estdonnkeparx = uowst,y = - u. sin t. 11n’y a done pas de trajectoire fern&, les trajectoires s’enroulcnt si EB > 0, se dkroulent si sfl < 0, autour de l’origine qui est l’unique point singulier de (5.4). Exemple. 2+x-;E(a-/?F)signd=D.

(5.5)

En tenant compte de (4.18) et de (5.4), il vient: oi,, B = hue - 8@$3 = 4h(a - 2/?1&3), de sorte que la seule valeur possible est si ap > 0.

u: = - 4(3a/2/?), Pour cette valeur on obtient

u’(u$) = - 16~r~(3a/2~~~/3, done (5.5) a pour 1E1asset petit un cycie limite unique, stable si s/3 > 0, instable si E@< 0, (a@ > 0). En conclusion on peut Cnoncer le TMor&me suivant qui se dCmontre de la mime manike que le ThCor+me 4: T&R&ME 5. Soit PPquation f + fdx) f Q&(x,i, E) = 0,

i=l

si

zi>O

et

i=2

si

a
(5.6)

air lesfonctions fi sont de classe A, de classe C’ et sutisfont d (4.22), les fonctions g1 sont de classe C’ . Soit afuo) d@ini pm

alors pour que C(u$j) soit une cowbe g&&at&e pour (5.Q une condition nkcessuire est; a@) = 0, et une condition sufisante est: 4~8) = 0, a’(~:) # 0, les cycles limites engendrh &ant stables si txa’(u~)< 0, instabies si ea’(u3 > 0.

Remerciements-L’auteur remercie vivement le Profnseur R. M. Rosenberg qui I’a cofxstamment guide durant l’accomplissemeut de a travail. Ce travail a tti rendu possible bgalement gr&x &UIY? bouts: d’&ude de 1’I.R.I.A.

BIBLIOCRAPHIE 111 T. J. RUDD and R. M. ROSZNBER G, A simple modd for Cepheid variability. Aswowny mut Awopkysia 6,2 (1970). [Z] N. V. BIRBNIN,E&men&sof he Theory of Non-&ear ~~~i~~ti~~ 1st English edition. Blaisdetl(1965).

Sur certains systpmes dynamiques conservarifpar motceaux

219

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Abstract-A class of dynamic systems which is governed by a differential equation is studied, the second member of which is discontinuous and which has a single-member structure. We obtain one condition that is necessary, and one condition that is sufficient for the existence of a limited cycle, which may be generalized as systems that have almost a single-member structure. Zag-Wir untersuchen eine Klasse von dynamischen Systemen, die durch eine ~~ential~eich~g beschrieben werden, bei der das zweite Ghed unstetig ist und die in Teilen konservativ ist. Wir erhalten eine notwendige und hinreichende Redingung ftir die Ezistenz einer Grenzkurve, die wir fib ein System verallgemeinern, das fast in Teilen konservativ ist.

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