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Sur la stabilité de profils de choc semi-discrets au moyen d’une fonction d’Evans en dimension infinie
p, 377-382, 1999 Equations aux derivees partielleslPartial Differential Equations (Problemes mathernatiques de la mecaniquelMathematical Problems in Mechanics>
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Serie I,
Sur Ia stabilite de profils de choc semi-discrets au moyen d'une fonction d'Evans en dimension infinie Sylvie BENZONI-GAVAGE UMPA, CNRS et ENS Lyon, 46, allee d'ltalie, 69364 Lyon cedex 07, France Courriel : [email protected] .fr (Re,:u Ie 17 mai 1999, accepte Ie 7 juin 1999)
Resume.
On s'interesse a la stabilite lineaire de profits de choc semi-discrets, c'est-a-dire au spectre d'un operateur differentiel avec retard a coefficients variables. Les equations aUll valeurs propres forment un systerne dynamique de dimension infinie, pour lequel on parvient a construire une fonction d'Evans reduite, On en deduit une condition necessaire de stabilite des profils. © 1999 Acadernie des Sciences/Editions scientifiques et medicates Elsevier SAS
On the stability of semi-discrete shock profiles by means of an Evans function in infinite dimension
Abstract.
Weare concemed with the spectral stability ofsemi-discrete shock profiles. This problem involves a retarded differential operator with variable coefficients. We construct a reduced Evans function. using the fact that the unstable manifold of the eigenvalue equations is finite dimensional - although the full eigenvalue equations are not. This enables us to derive a necessary condition for stability. © 1999 Academic des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS
Abridged English Version Semi-discrete shock profiles are by definition travelling wave solutions to a semi-discretized sytem of conservation laws (3). They correspond to heteroclinic orbits of a retarded differential equation (4). The existence of such profiles has been shown for shocks of small strength in [1] through a bifurcation argument. We are concerned here by their stability. We do not assume a small strength but only exponential decay to the endstates u±. As usual, the profile U is regarded as a stationary solution of a modified equation (5) through a translation of the space variable. The linearized equation around U, (6), reads
8tv = L · v := a 8",v - A(x)v(x, t)
+ A(x -
l)v(x - I, t).
The profile U will be called (weakly) stable under the spectral requirement (7):
u(L) C {A E C ; Re AS O}. Note presentee par Gerard Iooss, 0764-4442199/03290377 © 1999 Academ ie des SciencestEditions scient ifiques et medicales Elsevier SAS. Tous droits reserves.
377
S. Benzoni-Gavage
The limiting operators (8) of L at ±oo can be shown hyperbolic, provided that the constant states L2-stable. This implies that L satisfies a Fredholm alternative (see [5], [6]). Therefore, we can conclude that the essential spectrum lies on the left half-plane and thus cannot be responsible for some (strong) instability of the profile. U± are
LEMMA
I. -If (2) holds at u± and a
> 0, then we have uess(L)
C
pEe;
ReA ~ O}.
It is a more involved problem to determine whether there are unstable eigenvalues. Similar problems. concerning other kinds of travelling waves. have been treated by means of an Evans function D (see [3J, [2], and references therein). The construction of D is based on a dynamical system formulation of the eigenvalue equations. Then D is defined as a Wronskian involving the stable/unstable manifolds. Its zeroes are precisely the unstable eigenvalues. Since it cannot be evaluated explicitly, the efficiency of this tool in localizing possible eigenvalues relies on a careful construction insuring analyticity on the left-half plane - and also near the origin as we shall see below. An additional difficulty in our context is that, because of the delay, the eigenvalue equations (11) lead to an infinite-dimensional dynamical system (12). However, the unstable manifold of this sytem is finite-dimensional. By using the adjoint dynamical system (14), this enables us to construct a "reduced" Evans function (13), which is actually a Gram determinant. This kind of Evans function has been studied in [2J in the case of viscous profiles. It can still be constructed analytically in the right half-plane and in a neighborhood of O. Because of the translation invariance we have L . U' = 0, which means that 0 is an eigenvalue and thus D(O) = O. Furthermore. we are able to compute the signs of D'(D) and D(+00). The inequality sgn D'(D) D( +00) > 0 then provides a necessary stability condition. For instance we have: THEOREM 1. - Let us assume N = 2 and (u_, u+, a) is a 2-shock in the sense of Lax. Then a necessary condition for the stability ofa semi-discrete profile U associated to (u.. , u+, a) reads:
where l'2 and T'2 are respectively left and right eigenvectors associated to the fastest characteristic speed at u- and T'2 is chosen in the same sense as U/(x) when x -+ -00. The stability condition (18) appears to be the same as the one derived in [3] (see also [2]) for viscous profiles when the viscosity matrix B == I .
On considere un systeme de lois de conservation : OtU
+ o"J(u) =
(I)
0,
au
u(x, t) E U eRN, f E C1(U; RN ) . On suppose que les valeurs propres, notees aj(u). de df(u), sont reelles distinctes et toutes de rnerne signe. Ceci autorise a discretiser Ie systeme (1) en espace par un simple schema « decentre » , On suppose par exemple :
(2) Soit alors Ie systeme serni-discretise : OtU
378
1
+ ~x
(J(u(x , t) - f(u(x - L\x, t»)
= 0.
(3)
Stabilite de profils de choc semi-discrets
On appelle profil semi-discret une solution de (3) de la forme u(x , telle que U(±oo)
t)
= U ( x ~:t). U E C1 .(R ; U),
= u±. L'application U doit done verifier I'equation differentielle avec retard: aU'(y)
= f(U(y)) -
(4)
f(U(y - 1)).
Lorsque (u_, u+ , a) est un choc de Lax de faible amplitude, on peut montrer I' existence de U par une methode de type bifurcation [I]. La question qui nous occupe ici est celle de la stabilite de tels profils, sans hypothese a priori sur la nature ou I' amplitude de la discontinuite, Soit (u.,, u+, a) E U X U x R satisfaisant la relation de Rankine-Hugoniot. On suppose qu'll existe U E C1(R; U) solution de (4), telle que U(x) converge exponentiellement vers u± quand x --+ ±oo. II est classique de se ramener a une onde stationnaire par un changement de variables ; en l' occurence Ie changement
(x, t)
I-->
pennet aussi d'eliminer la dependence en
8 tu - a8xu
_- (x -at t)
(x, t):= ~x.
~,~x
Le profil U devient alors solution stationnaire de :
+ f(u(x, t)) - f(u(x -
1, t))
= 0,
(5)
ou l'on a omis les « tildes» pour alleger les notations . Le systeme (5) linearise autour du profil U s'ecrit :
OtV = L· v := a oxv - A(x) v(x , t)
+ A(x -
(6)
1) v(x - 1, t),
ou A(x) := df(U(x)). L'operateur differentiel avec retard, L, a coefficients variables, est non borne sur L 2 (R), ferme de domaine dense H1(R). On dira que U est stable si et seulement si Ie spectre de Lest inclus dans Ie derni-plan gauche :
a(L) C {,\ E C ; ReA
s O}.
(7)
1. Spectre essentiel On definit Ie spectre essentiel comme suit (voir [7J, p. 15) : ae ss (L) := C"
{A ; L
- A est de Fredholm et ind (L - A) =
o].
II est clair que si A f/ aess (L) et si A n'est pas valeur propre, alors A est dans l'ensemble resolvant de L. Commencons par montrer que, si Re A > 0, alors A f/ ITe ss (L). L'operateur L a pour limites, lorsque x --+ ±oo, les operateurs a coefficients constants:
dv L± . v := a dx - A±(v(x) - v(x - 1)),
(8)
avec A± := df(u±). Le spectre de L± est forme uniquement de valeurs propres (voir [4]). De plus, si on a (2) en u± et IT > 0, Ie schema (3) est L 2-stable autour des etats constants U±t et on a : LEMME 1. - Que! que soit A E C tel que Re A > 0, les operateurs L± - A sont hyperbo/iques, et ont exactement N valeurs propres de partie reelle positive.
D'apres un resultat classique sur les equations differentielles avec retard [5] (voir aussi [6] pour les equations differentielles avec retard et avance), on en deduit Ie : COROLLAIRE 1. -
Si Re A > 0, l 'operateur L - A est de Fredholm d'indice 0, d'ou A f/ lTes.(L).
379
S. Benzoni-Gavage
2. Spectre ponctuel On va maintenant construire et etudier une fonction d'Evans (voir [3]. [2] et references incluses), dont les zeros eventuels sont precisement les valeurs propres instables de L . Une difficulte nouvelle vient du fait que les equations aux valeurs propres Lv = AV forment un systeme dynamique de dimension infinie, Quitte A diviser f et L par G, on suppose desormais G = 1. PROPOSITION
1. -
A chaque (x , A) A(X ;A):
E
R x C, on assode l'operateur Jenne
1) __
£:=L 2([-1 ,OJ;R N ) xR N ,
(
a domaine dense: (9)
) 1)c/>( -1) ,
:= {(c/>, C)T; c/> E HI ([-1, OJ ; RN) et ¢(O) = c} .
(10)
Pour tout A E C, les assertions suivantes sont equivalentes : (i) if existe v E HI (R ; RN), v ¢ 0. tel que
Lv (ii) if existe W tendant vers
= AV;
(11)
°a l'infini, solution de ~: = A(x;
(12)
A)W.
°
Le lemme 1 montre que pour ReA> les operateurs limites en ±oo, notes A±(A), sont hyperboliques, et ont un sous-espace instable U±(A) de dimension N. Ceci nous permet de construire une fonction d'Evans reduite, selon le principe decrit dans [2]. Plus precisernent, on a :
D(A)
:=
det ((Wi,
(13)
ou les
-00,
et
les 'l'i sont des solutions de
dZ
dx
= -A(x; ArZ,
(14)
asymptotiques au sous-espace instable de A+(A)* en +00. Apres quai. la remarque essentieUe tient au fait que les solutions du systeme (14) s'expriment A I'aide des solutions des equations aux vaIeurs propres adjointes :
L· . Z En identifiant V([-l,O];
= AZ .
RNr a L2([0,1]; (RN ) . ) (t/J,¢) =
(15)
par Ie produit
l~ t/J(O + l)c/>(O) dO,
on a Ie : LEMME
2. - On definit pour tout x E R :
S(x):
380
CI(R; (RNr) --c := L 2 ([0, 1]; (RNr) z.....- ( - Z",A",_I,Z(X»),
x
(RNr,
(16)
Stabillte de profils de choc semi-discrets
avec la notation standard zx(s) := z(x
+ s). Pour tout z E C1 (R;
(RN )*). l'application
W : x E R 1---+ S(x) . Z est solution de (14). Reciproquement. toute solution globale de (14) est de cette forme. La demonstration est fondee ~ ir l'identite suivante : PROPOsmON
2. - Si v et z sont des solutions HI de (11) et (15) respectivement, on a :
z(x) v(x) -
[°1 z(x +
Application. - On suppose que N
1 + B) A(x + B) v(x
+ B)dB = cste.
(17)
= 2 et la discontinuite (u_, u+, 0') est un 2-choc, c' est-a-dire -, al± ,a2+ < 0' = 1 < a2
avec la notation at := aj( u±). On note rt et correspondants.
it'
des vecteurs propres
Calcul de D'(O): on peut choisir les Wi et <1>j de sorte que, en -\
'1J i (x ) =
( -l; Ax-I, l;),
i
a droite
et gauche
= 0, on ait :
= 1, 2.
On a alors
avec
0<1>21 ( wx 0-\ ~=o = w(x) tel que w(-oo)
= 0 et w'(x) = A(x)w(x) D'(O)
= (1 -
)
,
A(x -1)w(x -1)
+ U'(x). On en deduit
:
al)(llrl) 12"(u+ - u.,'),
Calcul de sgn D ( +00): comme dans [2], on ramene par homotopie I' operateur L a un operateur plus simple. Soit d L(o) := al: + (1 - a) dx'
a E [0,1].
Le lemrne 1 est vrai pour L(o), si bien qu'on peut construire une fonction d'Evans dependant aussi analytiquement du parametre a. De plus, une estimation d'energie elementaire montre que, si -\ E R et -\ > 211AliocH -\ ne peut etre valeur propre de L(o), c'est-a-dire D(-\, a) 1= O. Or, pour a = 0, on peut calculer explicitement les Wi et <1> i: Ils sont de la forme :
Vix ) ep.xJ( ) - ( vi(x):= e~x Vi '
Wi(X)
= (1/Ji == 0, Zi(X) = e-~'" Zi),
j
= 1, 2,
i
= 1, 2, 381
S. Benzoni-Gavage d'ou :
On en conclut par continuite que pour ..\
> 211A 100
:
sgn D(..\, 1) = sgn det (liTj) = sgn (llTl)(l2 T2)' 1. - Si le profil semi-discret U d'un 2·choc de Lax d'un systeme 2 x 2 est stable, alors on doit avoir : THtORt:ME
(18)
ou Ie sens du vecteur propre T2 est celui de U'(x) lorsque x -
-00.
Notons que la condition de stabilite (18) est la merne que pour les profils visqueux lorsque la matrice de viscosite B == I (voir [3], [2]).
References bibliographiques [I) Benzoni-Gavage S., Semi-discrete shock profiles for hyperbolic systems of conservation laws, Phys. D 115 (1-2) (1998)
109-123. [2) Benzoni-Gavage S., Serre D., Zumbrun K., Alternate Evans functions and their computation, (en preparation). [3] Gardner R.A., Zumbrun K., The gap lemma and geometric criteria for instabilityof viscous shock profiles, Commun. Pure Appl. Math. 51 (7) (1998) 797-855. [4] Hale J.K., Verduyn Lunel S.M., Introduction to functional-differential equations, Springer-Verlag, New York, 1993. [5] Lin X.B., Exponential dichotomies and homoclinic orbits in functional-differential equations, J. Differ. Eq. 63 (2) (1986) 227-254. [6] Mallet-Paret J., The Fredholm alternative for functional differential equationsof mixedtype, J. Dynam. Differ.Eq. (to appear). [7] Schechter M., Spectra of partial differential operators, North-Holland Publishing Company, 1971.
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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Serie I,
Sur Ia stabilite de profils de choc semi-discrets au moyen d'une fonction d'Evans en dimension infinie Sylvie BENZONI-GAVAGE UMPA, CNRS et ENS Lyon, 46, allee d'ltalie, 69364 Lyon cedex 07, France Courriel : [email protected] .fr (Re,:u Ie 17 mai 1999, accepte Ie 7 juin 1999)
Resume.
On s'interesse a la stabilite lineaire de profits de choc semi-discrets, c'est-a-dire au spectre d'un operateur differentiel avec retard a coefficients variables. Les equations aUll valeurs propres forment un systerne dynamique de dimension infinie, pour lequel on parvient a construire une fonction d'Evans reduite, On en deduit une condition necessaire de stabilite des profils. © 1999 Acadernie des Sciences/Editions scientifiques et medicates Elsevier SAS
On the stability of semi-discrete shock profiles by means of an Evans function in infinite dimension
Abstract.
Weare concemed with the spectral stability ofsemi-discrete shock profiles. This problem involves a retarded differential operator with variable coefficients. We construct a reduced Evans function. using the fact that the unstable manifold of the eigenvalue equations is finite dimensional - although the full eigenvalue equations are not. This enables us to derive a necessary condition for stability. © 1999 Academic des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS
Abridged English Version Semi-discrete shock profiles are by definition travelling wave solutions to a semi-discretized sytem of conservation laws (3). They correspond to heteroclinic orbits of a retarded differential equation (4). The existence of such profiles has been shown for shocks of small strength in [1] through a bifurcation argument. We are concerned here by their stability. We do not assume a small strength but only exponential decay to the endstates u±. As usual, the profile U is regarded as a stationary solution of a modified equation (5) through a translation of the space variable. The linearized equation around U, (6), reads
8tv = L · v := a 8",v - A(x)v(x, t)
+ A(x -
l)v(x - I, t).
The profile U will be called (weakly) stable under the spectral requirement (7):
u(L) C {A E C ; Re AS O}. Note presentee par Gerard Iooss, 0764-4442199/03290377 © 1999 Academ ie des SciencestEditions scient ifiques et medicales Elsevier SAS. Tous droits reserves.
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S. Benzoni-Gavage
The limiting operators (8) of L at ±oo can be shown hyperbolic, provided that the constant states L2-stable. This implies that L satisfies a Fredholm alternative (see [5], [6]). Therefore, we can conclude that the essential spectrum lies on the left half-plane and thus cannot be responsible for some (strong) instability of the profile. U± are
LEMMA
I. -If (2) holds at u± and a
> 0, then we have uess(L)
C
pEe;
ReA ~ O}.
It is a more involved problem to determine whether there are unstable eigenvalues. Similar problems. concerning other kinds of travelling waves. have been treated by means of an Evans function D (see [3J, [2], and references therein). The construction of D is based on a dynamical system formulation of the eigenvalue equations. Then D is defined as a Wronskian involving the stable/unstable manifolds. Its zeroes are precisely the unstable eigenvalues. Since it cannot be evaluated explicitly, the efficiency of this tool in localizing possible eigenvalues relies on a careful construction insuring analyticity on the left-half plane - and also near the origin as we shall see below. An additional difficulty in our context is that, because of the delay, the eigenvalue equations (11) lead to an infinite-dimensional dynamical system (12). However, the unstable manifold of this sytem is finite-dimensional. By using the adjoint dynamical system (14), this enables us to construct a "reduced" Evans function (13), which is actually a Gram determinant. This kind of Evans function has been studied in [2J in the case of viscous profiles. It can still be constructed analytically in the right half-plane and in a neighborhood of O. Because of the translation invariance we have L . U' = 0, which means that 0 is an eigenvalue and thus D(O) = O. Furthermore. we are able to compute the signs of D'(D) and D(+00). The inequality sgn D'(D) D( +00) > 0 then provides a necessary stability condition. For instance we have: THEOREM 1. - Let us assume N = 2 and (u_, u+, a) is a 2-shock in the sense of Lax. Then a necessary condition for the stability ofa semi-discrete profile U associated to (u.. , u+, a) reads:
where l'2 and T'2 are respectively left and right eigenvectors associated to the fastest characteristic speed at u- and T'2 is chosen in the same sense as U/(x) when x -+ -00. The stability condition (18) appears to be the same as the one derived in [3] (see also [2]) for viscous profiles when the viscosity matrix B == I .
On considere un systeme de lois de conservation : OtU
+ o"J(u) =
(I)
0,
au
u(x, t) E U eRN, f E C1(U; RN ) . On suppose que les valeurs propres, notees aj(u). de df(u), sont reelles distinctes et toutes de rnerne signe. Ceci autorise a discretiser Ie systeme (1) en espace par un simple schema « decentre » , On suppose par exemple :
(2) Soit alors Ie systeme serni-discretise : OtU
378
1
+ ~x
(J(u(x , t) - f(u(x - L\x, t»)
= 0.
(3)
Stabilite de profils de choc semi-discrets
On appelle profil semi-discret une solution de (3) de la forme u(x , telle que U(±oo)
t)
= U ( x ~:t). U E C1 .(R ; U),
= u±. L'application U doit done verifier I'equation differentielle avec retard: aU'(y)
= f(U(y)) -
(4)
f(U(y - 1)).
Lorsque (u_, u+ , a) est un choc de Lax de faible amplitude, on peut montrer I' existence de U par une methode de type bifurcation [I]. La question qui nous occupe ici est celle de la stabilite de tels profils, sans hypothese a priori sur la nature ou I' amplitude de la discontinuite, Soit (u.,, u+, a) E U X U x R satisfaisant la relation de Rankine-Hugoniot. On suppose qu'll existe U E C1(R; U) solution de (4), telle que U(x) converge exponentiellement vers u± quand x --+ ±oo. II est classique de se ramener a une onde stationnaire par un changement de variables ; en l' occurence Ie changement
(x, t)
I-->
pennet aussi d'eliminer la dependence en
8 tu - a8xu
_- (x -at t)
(x, t):= ~x.
~,~x
Le profil U devient alors solution stationnaire de :
+ f(u(x, t)) - f(u(x -
1, t))
= 0,
(5)
ou l'on a omis les « tildes» pour alleger les notations . Le systeme (5) linearise autour du profil U s'ecrit :
OtV = L· v := a oxv - A(x) v(x , t)
+ A(x -
(6)
1) v(x - 1, t),
ou A(x) := df(U(x)). L'operateur differentiel avec retard, L, a coefficients variables, est non borne sur L 2 (R), ferme de domaine dense H1(R). On dira que U est stable si et seulement si Ie spectre de Lest inclus dans Ie derni-plan gauche :
a(L) C {,\ E C ; ReA
s O}.
(7)
1. Spectre essentiel On definit Ie spectre essentiel comme suit (voir [7J, p. 15) : ae ss (L) := C"
{A ; L
- A est de Fredholm et ind (L - A) =
o].
II est clair que si A f/ aess (L) et si A n'est pas valeur propre, alors A est dans l'ensemble resolvant de L. Commencons par montrer que, si Re A > 0, alors A f/ ITe ss (L). L'operateur L a pour limites, lorsque x --+ ±oo, les operateurs a coefficients constants:
dv L± . v := a dx - A±(v(x) - v(x - 1)),
(8)
avec A± := df(u±). Le spectre de L± est forme uniquement de valeurs propres (voir [4]). De plus, si on a (2) en u± et IT > 0, Ie schema (3) est L 2-stable autour des etats constants U±t et on a : LEMME 1. - Que! que soit A E C tel que Re A > 0, les operateurs L± - A sont hyperbo/iques, et ont exactement N valeurs propres de partie reelle positive.
D'apres un resultat classique sur les equations differentielles avec retard [5] (voir aussi [6] pour les equations differentielles avec retard et avance), on en deduit Ie : COROLLAIRE 1. -
Si Re A > 0, l 'operateur L - A est de Fredholm d'indice 0, d'ou A f/ lTes.(L).
379
S. Benzoni-Gavage
2. Spectre ponctuel On va maintenant construire et etudier une fonction d'Evans (voir [3]. [2] et references incluses), dont les zeros eventuels sont precisement les valeurs propres instables de L . Une difficulte nouvelle vient du fait que les equations aux valeurs propres Lv = AV forment un systeme dynamique de dimension infinie, Quitte A diviser f et L par G, on suppose desormais G = 1. PROPOSITION
1. -
A chaque (x , A) A(X ;A):
E
R x C, on assode l'operateur Jenne
1) __
£:=L 2([-1 ,OJ;R N ) xR N ,
(
a domaine dense: (9)
) 1)c/>( -1) ,
:= {(c/>, C)T; c/> E HI ([-1, OJ ; RN) et ¢(O) = c} .
(10)
Pour tout A E C, les assertions suivantes sont equivalentes : (i) if existe v E HI (R ; RN), v ¢ 0. tel que
Lv (ii) if existe W tendant vers
= AV;
(11)
°a l'infini, solution de ~: = A(x;
(12)
A)W.
°
Le lemme 1 montre que pour ReA> les operateurs limites en ±oo, notes A±(A), sont hyperboliques, et ont un sous-espace instable U±(A) de dimension N. Ceci nous permet de construire une fonction d'Evans reduite, selon le principe decrit dans [2]. Plus precisernent, on a :
D(A)
:=
det ((Wi,
(13)
ou les
-00,
et
les 'l'i sont des solutions de
dZ
dx
= -A(x; ArZ,
(14)
asymptotiques au sous-espace instable de A+(A)* en +00. Apres quai. la remarque essentieUe tient au fait que les solutions du systeme (14) s'expriment A I'aide des solutions des equations aux vaIeurs propres adjointes :
L· . Z En identifiant V([-l,O];
= AZ .
RNr a L2([0,1]; (RN ) . ) (t/J,¢) =
(15)
par Ie produit
l~ t/J(O + l)c/>(O) dO,
on a Ie : LEMME
2. - On definit pour tout x E R :
S(x):
380
CI(R; (RNr) --c := L 2 ([0, 1]; (RNr) z.....- ( - Z",A",_I,Z(X»),
x
(RNr,
(16)
Stabillte de profils de choc semi-discrets
avec la notation standard zx(s) := z(x
+ s). Pour tout z E C1 (R;
(RN )*). l'application
W : x E R 1---+ S(x) . Z est solution de (14). Reciproquement. toute solution globale de (14) est de cette forme. La demonstration est fondee ~ ir l'identite suivante : PROPOsmON
2. - Si v et z sont des solutions HI de (11) et (15) respectivement, on a :
z(x) v(x) -
[°1 z(x +
Application. - On suppose que N
1 + B) A(x + B) v(x
+ B)dB = cste.
(17)
= 2 et la discontinuite (u_, u+, 0') est un 2-choc, c' est-a-dire -, al± ,a2+ < 0' = 1 < a2
avec la notation at := aj( u±). On note rt et correspondants.
it'
des vecteurs propres
Calcul de D'(O): on peut choisir les Wi et <1>j de sorte que, en -\
'1J i (x ) =
( -l; Ax-I, l;),
i
a droite
et gauche
= 0, on ait :
= 1, 2.
On a alors
avec
0<1>21 ( wx 0-\ ~=o = w(x) tel que w(-oo)
= 0 et w'(x) = A(x)w(x) D'(O)
= (1 -
)
,
A(x -1)w(x -1)
+ U'(x). On en deduit
:
al)(llrl) 12"(u+ - u.,'),
Calcul de sgn D ( +00): comme dans [2], on ramene par homotopie I' operateur L a un operateur plus simple. Soit d L(o) := al: + (1 - a) dx'
a E [0,1].
Le lemrne 1 est vrai pour L(o), si bien qu'on peut construire une fonction d'Evans dependant aussi analytiquement du parametre a. De plus, une estimation d'energie elementaire montre que, si -\ E R et -\ > 211AliocH -\ ne peut etre valeur propre de L(o), c'est-a-dire D(-\, a) 1= O. Or, pour a = 0, on peut calculer explicitement les Wi et <1> i: Ils sont de la forme :
Vix ) ep.xJ( ) - ( vi(x):= e~x Vi '
Wi(X)
= (1/Ji == 0, Zi(X) = e-~'" Zi),
j
= 1, 2,
i
= 1, 2, 381
S. Benzoni-Gavage d'ou :
On en conclut par continuite que pour ..\
> 211A 100
:
sgn D(..\, 1) = sgn det (liTj) = sgn (llTl)(l2 T2)' 1. - Si le profil semi-discret U d'un 2·choc de Lax d'un systeme 2 x 2 est stable, alors on doit avoir : THtORt:ME
(18)
ou Ie sens du vecteur propre T2 est celui de U'(x) lorsque x -
-00.
Notons que la condition de stabilite (18) est la merne que pour les profils visqueux lorsque la matrice de viscosite B == I (voir [3], [2]).
References bibliographiques [I) Benzoni-Gavage S., Semi-discrete shock profiles for hyperbolic systems of conservation laws, Phys. D 115 (1-2) (1998)
109-123. [2) Benzoni-Gavage S., Serre D., Zumbrun K., Alternate Evans functions and their computation, (en preparation). [3] Gardner R.A., Zumbrun K., The gap lemma and geometric criteria for instabilityof viscous shock profiles, Commun. Pure Appl. Math. 51 (7) (1998) 797-855. [4] Hale J.K., Verduyn Lunel S.M., Introduction to functional-differential equations, Springer-Verlag, New York, 1993. [5] Lin X.B., Exponential dichotomies and homoclinic orbits in functional-differential equations, J. Differ. Eq. 63 (2) (1986) 227-254. [6] Mallet-Paret J., The Fredholm alternative for functional differential equationsof mixedtype, J. Dynam. Differ.Eq. (to appear). [7] Schechter M., Spectra of partial differential operators, North-Holland Publishing Company, 1971.
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