Sur les différentielles de torsion

202, 367]403 Ž1998. JA977278

JOURNAL OF ALGEBRA ARTICLE NO.

Sur les differentielles de torsion ´ P. Carbonne Departement de Mathematiques, Uni¨ ersite´ de Toulouse le Mirail, 5 Allees ´ ´ ´ Antonio Machado, 31058 Toulouse Cedex, France Communicated by Walter Feit Received July 9, 1996

1. INTRODUCTION On note V X r k le faisceau des l-differentielles regulieres ´ ´ ` sur la variete ´´ algebrique X sur le corps parfait k. Si X est non singuliere, ´ ` ce faisceau est localement libre. Par contre en un point singulier P, Ž V X r k .P n’est plus libre. Il est alors interessant d’etudier son sous-module de torsion T, ´ ´ invariant que l’on retrouve dans plusieurs questions, notamment dans w16, 17x. l’etude des deformations ´ ´ Dans le cas des courbes un article de R. Berger w4x a ´ ete ´ `a l’origine de nombreux travaux. Lorsque la courbe est une intersection complete ` E. Kunz w12x a precise de R. Berger. Avec J. ´ ´ et simplifie´ les resultats ´ Herzog il a calcule, ´ au moyen du semi-groupe attache´ au point singulier ´etudie, ´ certains des invariants qui apparaissent. Il resulte de ces travaux que, pour une courbe plane, la longueur l ŽT . de ´ T est majoree ´ par le seuil c du semi-groupe, seuil qui est aussi l’exposant du conducteur de l’anneau dans son normalise. ´ O. Zariski a montre´ que les courbes planes telles que l ŽT . s c sont les courbes monomiales Ži.e., d’equation y n y x m s 0, avec: p.g.c.d. Ž m, n. s 1.. Ce resultat a fait l’objet ´ de nombreuses generalisations que nous rappelerons brievement plus loin. ´ ` Dans une premiere ` partie qui reprend un travail effectue´ en collaboration avec J. Bertin, nous calculons T pour les hypersurfaces et precisons ´ les relations entre T, l’ideal ´ jacobien et la normalite´ au point. Dans une deuxieme ` partie nous partons des travaux de R. Berger et E. Kunz pour ´ etudier les variations de l ŽT . par transformation quadratique dans le cas des courbes intersections completes. ` 367 0021-8693r98 $25.00 Copyright Q 1998 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.

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P. CARBONNE

Dans une troisieme ` partie nous introduisons une ´equivalence entre les courbes planes. Dans une quatrieme qui generalisent ` partie nous rappelons des resultats ´ ´ ´ le theoreme ´ ` d’O. Zariski, donnons des contre-exemples et une generalisa´ tion. Dans la cinquieme ` partie nous calculons l ŽT . pour les courbes planes ayant deux paires de Puiseux. Dans la derniere ` partie, utilisant la classification de S. Ebey w6x, nous calculons l ŽT . pour les premieres ` valeurs de la multiplicite. ´

` 2. PREMIERE PARTIE 1. Hypersurfaces Si R est un anneau commutatif avec unite, ´ M un R-module, le sous module de torsion T de M, est l’ensemble des ´ elements x de M, annules ´ ´ par un ´ element a non diviseur de zero de corps des ´ ´ de R. Si R est integre, ` fractions K, on a: T s ker M ª M

ž

mK /. R

n THEOREME 1. Soit M s Ž[ts1 Re i .rŽŽÝ nts1 a i e i . R . ou ´ ` ` a i g R, pour i s 1, . . . , n. Soit J l’ideal element non di¨ iseur de zero, ´ Ýnis1 a i R de R. Si J contient un ´´ ´ le sous-module de torsion T de M ¨ ´ erifie:

T , Jy1 rR. Preu¨ e. Soit l’application f : Jy1 ª M, donnee ´ par: n

fŽ y. s

Ý ya i e i is1

n

mod

ž

Ý a i ei is1

/

R .

Nous avons: kerŽ f . s R: s’il existe a g R tel que Ý nis1 ya i e i s Ý nis1 a a i e i on a ya i s a a i pour tout i, donc yx s ax pour tout x dans l’ideal ´ Ý nis1 a i R. Si on prend x non diviseur de zero, ´ on a: y s a g R. Nous avons: ImŽ f . s T : il est clair que ImŽ f . ; T. Si Ý nis1 x i e i donne un ´ element de T, il existe un ´ element a non diviseur de zero ´ ´ ´ tel que Ý nis1 ax i e i s Ý nis1 ba i e i pour b g R, donc ax i s ba i pour tout i. Par suite y s ba g Jy1 ; et alors: f Ž y . s Ý nis1 x i e i modwŽÝ nis1 a i e i . R x. Donc T ( Jy1 rR.

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

COROLLAIRE 1.

369

Si en outre, R est local noetherien ´ de dimension 1: l R Ž T . s l R Ž Jy1 rR . - q`.

COROLLAIRE 2. Si J est engendre´ par deux ´´ elements et sous les hypotheses ` du corollaire precedent: ´´ l R Ž T . s l R Ž RrJ . . Preu¨ e. Voir w3, Th. 3, p. 101x. Les hypotheses ` du corollaire 2 sont satisfaites si R est l’anneau local d’une courbe algebrique irreductible, tracee, ´ ´ ´ sur une surface algebrique, ´ en un point qui est simple sur la surface, et si M s V R r k . Nous avons de plus: COROLLAIRE 3. Si T s  04 le point est simple sur la courbe. Le theoreme en ´ ` s’applique au calcul de T pour le module des differentielles ´ un point, dans le cas d’une hypersurface: F ; An, le point ´ etant l’origine. Soit f s 0 son ´ equation, f Ž0. s 0. Alors: J s Ž ­ fr­ x 1 , . . . , ­ fr­ x n . ; R Ž R: anneau local de F a ` l’origine.. Donc: T s Jy1 rR. EXEMPLE 1. Soit k un corps parfait, f s x 2 q y 2 q z 2 , M s V R r k . Nous avons J s Ž x, y, z ., Jy1 s R et donc T s  04 . EXEMPLE 2. f s z n y g Ž x, y ., g Ž0, 0. s 0 et n ) 1. Alors T s  04 ´equivaut `a: la serie ´ formelle g est sans facteurs multiples. 2. Ideal ´ jacobien et normalite´ On suppose l’anneau R integre, de corps des fractions K. On note n le ` rang de M; n s dim K Ž M mR K .. On appelle ideal ´ jacobien de M, le nieme ` ideal ´ de Fitting de M; on le note J. Si R est l’anneau local d’une variete sur k, de dimension n, M le module des differentielles ´ ´ algebrique ´ ´ de R sur k, on retrouve la definition classique de l’ideal ´ ´ jacobien. Le critere les points simples. En ` jacobien usuel dit que J s R caracterise ´ particulier, si p est un ideal si et seulement ´ premier de R, R p est regulier ´ si J o p. Le resultat essentiel de ce paragraphe est: ´ THEOREME ´ ` 2. Ž1. Ž2.

Il y a ´ equi¨ alence entre les proprietes: ´´

R est normal Jy1 s R.

Preu¨ e. Soit L le conducteur de R, donc L definit le lieu de non ´ n ' normalite de R. Par suite J ; L . Nous avons J ; L pour n G 1. Si ´ Jy1 s R on a Ly1 ; Ž J n .y1 s R, c’est ` a dire Ly1 s R. Or Ly1 s R Žla fermeture integrale de R . donc R s R. Si R est normal, donc non ´

370

P. CARBONNE

singulier en codimension 1, on a pour tout ideal ´ premier p de hauteur 1, p o J. Par suite Jy1 s F ht Ž p.s1Ž JR p .y1 s F htŽ p.s1 R p s R. L’hypothese ` Jy1 s R peut s’enoncer: g Ž J . G 2, ou ´ ` g Ž J . est le grade de J. En effet: gŽ J . F 1 ´ equivaut ` a l’existence de x non nul dans J tel que xRJ ;  diviseurs R de zero de xR 4 . Il existe donc y g xR avec yJ ; xR, d’ou ` xy g Jy1 et xy g R. Dans ce paragraphe, R est de nouveau un anneau integre ` arbitraire, M un R-module. On suppose que M admet une presentation du type: ´ 0 ª R p ª R q ª M ª 0. On note J le nieme ideal ´ de Fitting de M, n s q y p s rangŽ M .. THEOREME ´ ` 3. exacte:

Si T est le sous-module de torsion de M, il existe une suite f

0 ª Tª

Jy1

p

c

ª

Jy1

q

ž / ž / R

R

.

Preu¨ e. On prend des bases Ž e1 , . . . , e q . de R q et Soit Ž u i j . la matrice definie par: u i s Ý qjs1 u i j e j . Soit ´ donc Nx s 0 avec N / 0. Si x est represente ´ ´ par m 1 , . . . , m p g R avec: q

N

Ž u1 , . . . , u p . de R p. x g M, de torsion, Ý qis1 x i e i , il existe

p

ž / Ý x i ei

s

Ý mj uj .

1

Ž 1.

1

On obtient le systeme ` lineaire: ´ p

Nx i s

Ý m j u ji ,

i s 1, . . . , q.

Ž 2.

jsi

J est engendre de la matrice Ž u i j .. Soit d ´ par les sous p = p determinants ´ un mineur non nul Ž J / Ž0.., par exemple: d s detŽ u i j . 1 F i F p, 1 F j F p. On peut extraire de Ž2. le systeme carre: ` lineaire ´ ´ p

Nx i s

Ý m j u ji ,

i s 1, . . . , p.

Ž 3.

js1

La regle ` de Cramer donne: mj ? d g R, N

j s 1, . . . , p

Ž 4.

c’est ` a dire m jrN g Jy1 pour tout j s 1, . . . , p. Il est clair que la classe de m jrN dans Jy1 rR ne depend que de x. On vient de definir une applica´ ´ tion lineaire: ´ f

Tª

Jy1

ž / R

p

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

371

et il est clair que c’est une injection. Seule la construction de c demande ` a ˆetre explicitee. ´ Si on part d’un p-uple Ž j 1 , . . . , j p . g Ž Jy1 rR . p , soit x i s p Ý js1 j j u ji , i s 1, . . . , q. il est clair que Ž j j . js1, . . . , p est un ´ element de T Žvia ´

f . si et seulement si x i g R pour tout i. Donc c Ž j 1 , . . . , j p . s Ž x 1 , . . . , x i , . . . , x q . s 0 dans Ž Jy1 rR . q et c est defini ´ par: p

c Ž j 1 , . . . , jp . s

j j u ji

žÝ / js1

COROLLAIRE 4.

´equi¨ alence entre:

. 1F iFq

Sous les hypotheses on a une ` du theoreme ´ ` precedent ´´

Ži. T s 0 Žii. Jy1 s R. Preu¨ e. Le theoreme ´ ` donne l’implication Žii. « Ži.. Dans l’autre sens, nous utilisons le lemme ´ elementaire suivant: ´ LEMME.

Soit V un module de la forme FrU, F ´ etant sans torsion.

Soit U9 un facteur direct de U. Si V est sans torsion, FrU9, est sans torsion. Soit Nm g Jy1 . Fixons Ž p y 1. colonnes de la matrice Ž u i j ., et soit « s Ž « 1 , . . . , « p . une colonne variable. Posons d s detŽ « N Ž p y 1. colonnes fixees ´ .. On developpe d suivant la premiere ` colonne; soit d s Ý « i d i . Donc m q Žm . etant variable, on a donc c Ž j 1 , . . . , j p . s 0 N ? d s Ý is1 « i N d i g R. « ´ avec j i s Nm d i . Comme T s Ž0., c est injectif. On a j i s Nm d i g R pour tout i. Ceci prouve que Nm ? d g R pour tout d s Ž p y 1.-mineur de la matrice u i j . Le lemme et un raisonnement par recurrence sur p, montrent ´ que Jy1 s R. Comme application, on a le resultat suivant qui est plus ou ´ moins bien connu w13x. COROLLAIRE 5. Si X est une ¨ ariete localement intersection ´ algebrique, ´ complete ` en un point x, il y a ´equi¨ alence entre: Ži. Ž V X r k . x est sans torsion Žii. X est normale en x. 3. Reflexi ´ ¨ ite´ On se place dans les hypotheses ` du corollaire 5. Soit R l’anneau local de X en x et M s V R r k . Nous avons vu Žtheoreme ´ ` 2. que: R normal ´equivaut `a Jy1 s R, ce qui se dit aussi: g Ž J . G 2. Comme R est de Cohen]Macauley: g Ž J . s htŽ J .. La condition se lit donc aussi: htŽ J . G 2. Nous allons caracteriser les ´ anneaux tels que htŽ J . G 3.

372

P. CARBONNE

THEOREME ´ ` 4.

Il y a ´ equi¨ alence entre:

Ži. M est reflexif ´ Žii. htŽ J . G 3. Preu¨ e. Un theoreme ´ ` de Samuel dit que si R est un anneau local de Cohen]Macauley, normal, et M un R-module de type fini sans torsion, alors: M reflexif ´ ´equivaut `a: pour tout p g SpecŽ R ., profŽ M p . G infŽ2, htŽ p ... Ži. « Žii.. Si M est reflexif Ž M ( M**., en particulier T s Ž0., donc R ´ est normal. Soit p un ideal ´ premier contenant J et htŽ p . F 2. On a d’apres un theoreme d’Auslander: ` ´ ` dh Ž M p . q prof Ž M p . s prof Ž R p . s dim Ž R p . . On a: dimŽ R p . s 2, et profŽ M p . G 2, donc dhŽ M p . s 0 et profŽ M p . s 2. Ž Mp ´ Le critere etant libre.. C’est une ` jacobien dit que R p est regulier, ´ Ž . contradiction. Donc ht J G 3. Žii. « Ži.. Supposons htŽ J . G 3. Alors R est normal et M sans torsion. si p ; R et htŽ p . F 2, R p est regulier, et M p libre, donc profŽ M p . s htŽ p .. ´ Le theoreme ´ ` de Samuel, dit que M est reflexif. ´ Soit une surface intersection complete ` locale en un point x, R l’anneau local de ce point, M s V R r k . D’apres ` ce qui precede, ´ ` T s Ž0. ´equivaut `a: Ž . s 2, et donc ` x est une singularite isolee, c’est a dire a: ht J a: J est un ´ ´ ` ` ideal primaire. Le theoreme 3 montre que x est un point simple si et ´ ´ ` seulement si M est reflexif. ´ Considerons l’homomorphisme canonique: M ª M**, Žinjectif ici.. Soit ´ Q s cokerŽ M ª M**.. Q est un R-module de longueur finie. Nous avons donc : x est non singulier si et seulement si: l R Ž Q . s 0. On peut se demander quel role des singularites ˆ tient l R Ž Q. dans l’etude ´ ´ isolees ´ des 3 surfaces plongees dans A . ´

3. TRANSFORMATIONS QUADRATIQUES 1. Introduction R est un anneau local noetherien reduit de dimension 1, m son ideal ´ ´ ´ Ž . maximal X le schema affine: Spec R . p note le point ferme ´ ´ de X Žc’est `a dire: p s w m x.. On sait que le schema: X s ProjŽ[`ls0 m l . est bira´ tionnellement ´ equivalent ` a X. Le morphisms birationnel propre, s : X ª X, est la transformation quadratique locale de X en p. La fibre exceptionnelle: E s sy1 Ž p . est un schema ´ fini et: E ( Proj Ž grm Ž R . . .

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

373

D’apres ` w11x, il y a, pour x g m, ´equivalence entre: Ži. Žii.

m nq1 : xR s m n pour n GG et x ne divise pas 0 dans R et Rw mx x est un R-module de type fini.

Un x satisfaisant ` a ces conditions est un ´ element superficiel d’ordre 1 ´ pour m. Si le corps residuel k s Rrm est infini il y a assez d’elements ´ ´´ superficiels dans R w11x. ANNEAU DE PREMIER VOISINAGE INFINITESIMAL. Si x est superficiel d’ordre 1 pour m, le schema ´ X coincide a¨ ec le schema ´ affine SpecŽ Rw mx x.. Preu¨ e. Soit Dq Ž x . l’ouvert special de X attache ´ ´ `a x. Alors Dq Ž x . s SpecŽ Rw mx x. w22x et, Rw mx x ´ etant entier sur R, s Ž Dq Ž x .. s X d’apres ` le theoreme ´ ` de Cohen]Seidenberg. Il suffit donc de voir que Dq Ž x . > E. Or Dq Ž x . l E est l’ouvert Dq Ž x . de E. x est un ´ element quasi-non diviseur ´ de zero ´ dans l’anneau gradue´ [l G 0 Ž m lrmlq1 .. Il est donc clair que Dq Ž x . s E. Par suite Dq Ž x . s X. R1 s Rw mx x est l’anneau semi-local de premier voisinage infinitesimal de R w14x. Ses localises ´ ´ en les points fermes: ´ R1 , . . . , R t , qui sont les points de E, sont les transformes ´ quadratiques de R. PROPOSITION 1. Si R est une intersection complete ` locale, de corps residuel k infini, les transformes quadratiques sont aussi des intersection ´ ´ completes locales. ` Preu¨ e. R s ArM ou de dimension n, et un M ` A est local regulier, ´ ideal f 1 , . . . , f ny1 qui forment Žth. de ´ de A engendre´ par n y 1 ´elements: ´ Cohen]Macauley. une suite reguliere. ´ ` Y s Spec A et q est le point ferme´ de Y ? q s w n x. k s Rrm ´ etant infini, il existe x dans n dont la classe dans m s nrM est un ´ element superficiel d’ordre 1 pour m. Le schema: ´ ´ l. Spec Aw nx x est l’ouvert Dq Ž x . de ProjŽ[q` ´ propre M9 ls0 n . Le transforme de M dans Aw nx x est: g M9 s g g M et ord x Ž g . G r . xr R1 est isomorphe ` a: Aw nx xrM9. Enfin: M s Ž f 1 , . . . , f ny1 . entraine: M9 s Ž g 1 , . . . , g ny1 . en posant, pour i s 1, . . . , n y 1: g i s f irx r i , avec: ri s ord x Ž f i ..

½

5

Remarque. L’hypothese ` d’inversibilite´ de tel ou tel ideal ´ apparaissant souvent dans w4x nous donnons le resultat suivant: ´ Soit B un anneau semi local integre: m1 , . . . , m q ses ideaux maximaux: ` ´ M un ideal ´ de B. Il y a ´equivalence entre: Ž1. Ž2.

M est inversible Ži.e., M My1 s B . M est principal.

374

P. CARBONNE

Preu¨ e. Soient, pour i s 1, . . . , q: bi g Ł j/ 1 m j et bi f m i inversible entraine: M m i / M, pour i s 1, . . . , q. Il existe a i g M et a i f M m i . a s Ý qis1 a i bi g M. Soit: I s aMy1 ; B. M ´ etant inversible, a i My1 o m i . y1 Donc: bi a i M o m i et I o m i . Il vient alors: I s B et M s Ž a.. La reciproque est immediate. ´ ´ 2. Differentielles de torsion et ideal ´ ´ jacobien Ža. Les notations sont celles de w4x. k est un corps algebriquement clos. ´ R est un anneau local ´ equicaracteristique qui, de plus, est une intersection ´ complete, ` m son ideal ´ maximal et Rrm s k. R1, l’anneau semi-local, du premier voisinage infinitesimal de R. n1 , . . . , nt ses ideaux maximaux. S la ´ ´ fermeture integrale de R- et de R1 dans le corps K des fractions de R- et ´ Ž i s 1, . . . , t ., les transformes de R1-. R i s R Ž1. ´ quadratiques de R, Si ni leurs clotures integrales respectives, d la differentielle de R sur k, D la ˆ ´ ´ differentielle de K sur k. ´ V R r k Žresp. V R 1rk, resp. V R i r k . le module des differentielles de R ´ Žresp. R1 , resp. R i . sur k et T Žresp. T 1, resp. Ti . son sous-module de torsion; x 1 un ´ element superficiel d’ordre 1 pour m, s s k ww x 1 xx.V R r s le ´ module des differentielles de R sur s. trŽ.. est la trace de K relativement ` a ´ ŽŽ .. w3x le module k x 1 . Pour un sous-module U, de type fini, on definit ´ complementaire: ´ U* s  x x g K et tr Ž xU . ; s 4 . Žde rang 0., Pour: O s RU, on pose: O* s RU*. La differente de Kahler ´ ¨ DK Ž Rrs . est le 0-ieme ` ideal ´ de Fitting de V R r s . DK Ž R1rs ., DK Ž R irs ., DK Ž Srs . sont definis de maniere ´ ` analogue. L’image de l’homomorphisme: VRrk ª VRrk

mK,V k

Krk

est note:R ´ D R. S D S note l’image de: VSr k ª VSr k

mK,V k

Krk .

R1 DR1 , R i DR i et Si DSi sont definis semblablement. Notons: ´ A s DK Ž Rrs .

y1

A1 s DK Ž R1rs .

y1

A i s DK Ž R irs .

y1

Ž en tant que R-ideal ´ ..

´ .. Ž en tant que R1-ideal

Ž en tant que

R i-ideal ´ ..

J Ž resp. J 1 , resp. Ji . est ideal ´ jacobien de V R r k Ž resp. V R 1 r k , resp. V R i r k . .

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

Žb.

375

R i s R Ž1. n i entraine: 1 S i s Sn i ; V R i r k s Ž V Ž1. R rk . n i ; Ti s Tn i ; V S i r k s Ž V S r k . n i ;

R i DR i s Ž R1 DR1 . n i ; Si DS i s Ž SDS . n i ; V R i r s s Ž V R 1 r s . n i ; DK Ž R irs . s DK Ž R1rs .

ni ;

A i s A1n i ; R1* s R1 s*; y1

RUi s R i s*; d’ou: s Ž J1 ` RUi s Ž R Ž1.* . n i ; Ji s Jn1i et Jy1 i

.n . i

R1 est semi-local. Pour tout R1-module N tel que: l R 1 Ž N . - q`: l R Ž N . s l R1 Ž N . s

t

Ý lR is1

i

ž

N

mR /. i

R Ž1.

R´ etant intersection complete: `

w 12 x .

DK Ž Rrs . s DD Ž Rrs .

DD Ž Rrs . s Ž R*y1 .y1 est la difference de Dedekind de R sur s. D’ou: ´ ` A s DK Ž Rrs .

y1

s Ž R*y1 .

y1

s R*

w4x

il vient alors: l R Ž T . s l R Ž SDSrRDR . q l R Ž SrR . . Ri ´ etant une intersection complete: ` l R iŽ Ti . s l R iŽ Si DS irR i DR i . q l R iŽ SirR i . . D’ou: ` Ýtis1 l R iŽTi . s l R 1 ŽT 1 . s l R ŽT 1 . s l R Ž SDSrR 1 DR 1 . q l R Ž SrR 1 .. Posons: D s Ýtis1 l R iŽTi . y l R ŽT .. D s yl R Ž R1 DR1rRDR . y l R Ž R1rR . F 0. si D s 0, l R Ž R1rR . s 0, R s R1 et R est regulier. ´ THEOREME ´ ` 5. complete ` locale:

A¨ ec les notations introduites et si R est une intersection t

Ý l R Ž Ti . F l R Ž T . i

is1

et l’inegalite ´ ´ stricte est ´equi¨ alente a: ` R n’est pas regulier. ´ Par iteration on prouve le corollaire 6 ´ COROLLAIRE 6. Ž1. La somme des longueurs des sous-modules de torsion des modules des differentielles des anneaux transformes ´ ´ obtenus apres ` p q 1 transformations quadratiques, longueurs prises par rapport aux anneaux transformes a ´ respectifs, est strictement inferieure ´ ` celle apres ` p transformations Ž p G 0., si cette derniere n’est pas nulle. `

376

P. CARBONNE

Ž2. Il existe un entier, ne dependant que de R, tel qu’une succession de ´ transformations quadratiques en un nombre superieur a ´ ` cet entier annule les modules des differentielles des transformes ´ ´ a` la derniere ` ´etape. Remarque 1. Posons: D s y l R Ž RrJ . q Ýtis1 l R iŽ R irJi . s l R 1 Ž R1rJ 1 . y l R Ž RrJ .. Avec les notations introduites nous avons: RDR s 1a J Ž dx 1 m 1., ou: ` a s Ž ­ f ir­ x j .1 F i F ny1, 2 F j F n , dx i s la classe de dx i Žmod. Rdfi q ??? qRdf ny 1 .. De meme: R 1 DR 1 s 1b J 1 Ž dx 1 m 1 ., ou: ˆ ` bs Ž ­ g ir­ u j .1 F i F ny1, 2 F j F n , avec u j s x jrx 1 , pour j de 2 ` a n. Nous avons: Ž . Ž . a s x 1u b, avec u s Ý ny1 is1 r i y 1 G 0. Par ailleurs DK Rrs s aR et donc R* s DK Ž Rrs .y1 s 1a R. De meme: R1* s 1b R1. Par une demonstration ˆ ´ identique ` a celle qui se trouve dans w4, p. 339x on prouve que: l R Ž R1rR . s l R Ž R*rR1* .. Il en resulte que: l R Ž R1rR . s l R Ž 1a Rr 1b R1 . s l R Ž R1rx 1u R1 . y ´ 1 l R Ž R rR .. D’ou: ` l R Ž J 1 rx 1u J 1 . s l R Ž R 1 rx 1u R 1 . q l R Ž x 1u R 1 rx 1u J 1 . y 1 1 l R Ž R rJ . s l R Ž R1rx 1u R1 . s 2 l R Ž R1rR .. Nous avons alors: D s yl R Ž 1b J 1r 1a J . y l R Ž R1rk . s yl R Ž x 1u J 1rJ . y l R Ž R1rR .. Il vient alors: D s l R Ž R1rx 1u J 1 . y l R Ž J 1rx 1u J 1 . q l R Ž R1rR . y l R Ž R1rx 1u J 1 . y l R Ž x 1u J 1rJ . . D’ou: ` D s y2 l R Ž R1rR . q l R Ž R1rR . y l R Ž x 1u J 1rJ . s D . C’est ` a dire: l R ŽT . y l R Ž RrJ . s Ýtis1 w l R iŽTi . y l R iŽ R irJi .x. Par iteration on ´ deduit le resultat: ´ ´ l R Ž T . s l R Ž RrJ . s l R Ž Jy1 rR . Žw18x pour la deuxieme est deja ` ´egalite´.. Ce resultat ´ ´ connu dans le cas des courbes planes w24x. Remarque 2. On peut demontrer directement ce resultat. Nous & avons: ´ ´ n Ž . Ž . RDR s Ý js1 R dx j m 1 et SDS s S&dt m 1 . Dans V S r C : dx1 s b 0 t b 0y1 dt; & d’ou: ` dt m 1 s Ž1rb 0 t b 0y1 .Ždx1 m 1. &dans V K r C et SDS s b y1 0 Ž1rt . S Ždx1 m 1.. Dans V R r C les ´ egalites ..., ´ dfi s&0 pour i s 1, & & n Ž . Ž . n y 1 s’ecrivent: Ý ­ f r ­ x dx s y ­ f r ­ x dx . D’ou: adx ´& ` js2 i j i 1 j 1 j s Žy1. jq1a jdx1 et 1 1 & & & RDR s Ý njs1 RŽdxj m 1. s ŽÝ njs1 a j R .Ždx1 m 1. s J Ždx1 m 1.. a a Il vient alors: SDSrRDR s

1 t

b 0 y1

&

S Ž dx1 m 1 .

1 a

&

J Ž dx1 m 1 . , aSrt b 0y1 J.

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

377

D’apres ` w10x nous avons, pour une intersection complete, ` n Ž a. s c q b 0 y 1. D’ou: ` aS s t cq b 0y1 S et SDSrRDR , t cSrJ. Par suite: l ŽT . s l Ž SrR . q l Ž SDSrRDR . s l Ž SrR . q l Ž t cSrJ .. Une intersection complete ` est de Gorenstein et donc: l Ž SrR . s l Ž Rrt cS ., Žles deux valant 2c .. D’ou: ` l ŽT . s l Ž Rrt cS . q l Ž t cSrJ . s l Ž RrJ ..

´ 4. UNE EQUIVALENCE DES BRANCHES PLANES 1. Longueur de certains modules R est un anneau integre, local, de dimension 1, m son ideal ` ´ maximal, K son corps des fractions. On suppose en outre que sa cloture integrale S ˆ ´ dans K est un anneau de valuation discrete. ` Soit n la valuation correspondante et t une uniformisante. On suppose en outre que S est un R-module de type fini. Soit M un R-module tel que: M ; S et l R Ž SrM . - q`. Posons H 0 s  n Ž m . N m g M et m / 04 . l R Ž SrM . - q` entraıne: ˆ Ann R Ž SrM . / 0 w4x et donc: uS ; M pour un u / 0 appartenant ` a R. Par suite: t a S g M Žavec: a s n Ž u., et: CN H 0 ;  0, . . . , a y 14.. Nous pouvons ´ ecrire: CN H 0 s  p 0 , . . . , pu 4 avec: 0 F pu - puy1 - ??? - p 0 - a - q`. Posons M0 s M,

Miq1 s Mi q t p i R Ž 0 F i F u . .

et H iq1 s  n Ž m . < m j Miq1 et m / 0 4 s H 0 j  p 0 , . . . , pi 4 . Nous avons: M s M0 ; ??? ; Mi ; Miq1 ; ??? ; Mu ; Muq1 ; S,

n Ž Muq1 . s N et t a S ; M ; Muq1. Pour tout s appartenant ` a S, on peut de Muq1 telle que: ´ecrire une suite: c 0 , . . . , c l d’elements ´´ n Ž s . - n Ž s y c 0 . - n Ž s y c 0 y c 1 . - ??? - n Ž s y c 0 y ??? yc l . ) a . D’ou: ` s y c 0 y ??? yc l g Muq1 et Muq1 s S. Tout u g R peut s’ecrire: ´ u s u 0 q u1 avec u 0 g k et n Ž u1 . ) 0. Il vient n Ž t p i u1 . s pi q n Ž u1 . ) pi . D’ou: ` n Ž t p i u1 . g H 0 j  p 0 , . . . , piy14. Donc on peut ´ecrire une suite:

378

P. CARBONNE

c 0 , . . . , c l d’elements de Mi telle que: n Ž t p i u1 . - n Ž t p i u1 y c 0 . - n Ž t p i u1 ´´ y c 0 y c 1 . - ??? - n Ž t p i u1 y c 0 y ??? yc l G a . D’ou: ` t p i u1 y c 0 pi y ??? yc l g M ; Mi et: t u1 g Mi . Donc t p u ' t p u 0 Žmod Mi . et Miq1rMi , k s Rrm. PROPOSITION 2.

Pour tout R-module, M ; S et tel que l RrSrM . - q`:

l R Ž SrM . s card w CN H 0 x ,

avec H 0 s  n Ž m . < m g M et m / 0 4 .

3. Calcul de l R ŽT . pour une branche R est l’anneau local ` a l’origine d’une courbe algebroıde ´ ¨ plane, le corps de base ´ etant C. On suppose que l’axe des x a ´ ete ´ place´ sur la tangente en 0. ŽCeci se traduit par: x est un ´ element superficiel d’ordre 1 pour m.. ´ Ži.e., n Ž x . - n Ž y ... R s Cww x, y xxrŽ f Ž x, y .., avec: f Ž0, 0. s 0, S s Cww t xx. Nous notons x9 et y9 les derivees ´ ´ formelles respectives de x et y. Il vient: V S r C s S dt s

1 x9

S dx.

D’ou: ` SDS s RDR s

1 f yX

1 x9

S Ž dx m 1 . .

Ž f xX R q f yX R . Ž dx m 1.

Ž w 4 x ou w 24 x . .

Dans K: f xX f xX

sy

y9 x9

.

D’ou: ` RDR s

1 x9

Ž x9R q y9R . Ž dx m 1 . .

Finalement: SDSrRDS , Srx9R q y9R. Posons: H 0 s  n Ž v . N v g x9R q y9R, v / 04 et H s  n Ž t v . N v g x9R q y9R, v / 04 j  04 . z donne z q 1 est une bijection de CN H 0 sur CN H. Nous avons: l R Ž SDSrRDR . s card CN H.

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

379

Soit G s  n Ž u. N u g R et u / 04 . Si g g G et g / 0, g s n Ž u. pour un u X X du . appartenant ` a R. g ) 0 entraıne: ˆ n Ž t du dt s g . dt s u x x9 q u y y9 g x9R q y9R, d’ou: ` g g H et G ; H. PROPOSITION 3.

Si c designe l’exposant du conducteur de S dans R ´ l R Ž T . s c y card C n G

a¨ ec: H s  n Ž t v . N v g x9R q y9R, v / 04 j  04 . Preu¨ e. La proposition 2 appliquee ´ `a M s R donne card CN G s l R Ž SrR . s 2c Žresultat connu.. Par ailleurs comme G ; n nous avons: ´ card CN H s card CN G y card C n G s

c 2

y card C n G.

l R ŽT . s l R Ž SrR . q l R Ž SDSrRDR . w4x permet alors de conclure. 3. Application a ` la classification des branches planes Il existe une suite finie d’entiers l i tels que: Ž1. 0 s l 0 - l1 - ??? - l s - l sq1 s q` s Ž2. H s D is0 Ž li q G . j Ž3. l jq1 f D is0 Ž l i q G . Ž0 F j F s y 1.. on pose: S s  l1 , . . . , l s 4 . G, l R ŽT ., H, S sont des invariants analytiques de R. On definit une relation d’equivalence entre anneaux, et donc entre ´ ´ les branches correspondantes, en disant que R et R9 sont ´ equivalents si G s G9 et S s S9. Cette relation peut ˆ etre appelee ´ ´equidifferentiabilite. ´ ´ Deux branches isomorphes sont ´ equidifferentiables et deux branches ´ sont ´ equisingulieres mais les proprietes ´equidifferentiables ´ ` ´ ´ reciproques ´ sont fausses. Nous donnerons des contre-exemples dans la derniere ` partie.

´ 5. EXPOSANT DU CONDUCTEUR ET DIFFERENTIELLES DE TORSION Nous noterons desormais l ŽT . pour l R ŽT .. ´ 1. Le theoreme ´ ` de Zariski Le corps de base est C. R designe l’anneau local d’une courbe plane en ´ un point singulier, T le sous-module de torsion du modules des differe´ ntielles V R r C . Le normalise ´ S de R est un anneau de valuation S s Cww t xx. Nous notons c le seuil du semi-groupe G s n Ž R y  04., seuil qui est aussi l’exposant du conducteur F s t cS de S dans R. La longueur l ŽT . du R-module T, longueur qui est aussi dim C T, verifie: l ŽT . F c. ´

380

P. CARBONNE

THEOREME 6 w24x. Les courbes Ž planes. telles que l ŽT . s c sont les ´ ` courbes isomorphes aux courbes y n y x m s 0 Ž a¨ ec: p.g.c.dŽ m, n. s 1.. Ces courbes sont dites monomiales car elles admettent un parametrage ´ du type: x s t n, y s t m . Nous avons: G s ² n, m: et l ŽT . s c s Ž m y 1. ? Ž n y 1.. Ce sont les seules courbes telles que H s G; i.e., S s B. Par ailleurs w25x O. Zariski a donne ´ l’expression de G en fonction de la serie la classe ´ de Puiseux de la courbe et prouve´ ainsi que G caracterise ´ d’equisingularite ´ de la courbe. Le theoreme ´ ` 6 permet de dire qu’il n’existe pas d’expression de l ŽT . au moyen de la serie ´ de Puiseux. Les courbes de parametrage respectifs: x s t 4 , y s t 5, et x s t 4 , y s t 5 q t 7 ne sont pas ´ isomorphes w6x. Pour la premiere: l ŽT . - 12. ` l ŽT . s 12. L’autre verifie: ´ Ž . Nous verrons que: l T s 11. 2. Generalisations ´´ Les semi-groupes d’intersection complete ` sont ´etudies ´ dans w5, 10x. La courbe monomiale associee ´ est d’intersection complete. ` Si le semi-groupe d’un anneau est d’intersection complete, ` cet anneau est lui meme ˆ d’intersection complete. est fausse w10x. Les semi-groupes symetri` La reciproque ´ ´ ques Ži.e., cardŽ G l w0, c y 1x. s cardŽN _ G . s 2c . caracterise les anneaux ´ de Gorenstein. Les intersections completes ` sont de Gorenstein. D’apres ` un theoreme est vraie si la dimension de ´ ` de J. P. Serre w19x, la reciproque ´ plongement q de la courbe verifie: q F 3. Dans ce cas l’anneau R est ´ d’intersection complete ` si son semi-groupe est symetrique. ´ B. Tessier a demontre ´ ´ que l ŽT . F c pour les anneaux dont le semigroupe est d’intersection complete ` et que dans cette classe l ŽT . s c caracterise les courbes monomiales. ´ R. Waldi a demontre ´ ´ w23x que l ŽT . F c pour les anneaux de Gorenstein lorsque q F 4. Dans cette classe aussi l’egalite les courbes ´ ´ caracterise ´ monomiales. 3. Contre-exemples Pour s s 5, R. Waldi donne l’anneau R s Cww t 6 , t 7, t 8 , t 9 , t 10 xx qui est de Gorenstein et verifie: l ŽT . s 15 ) c s 12. ´ Nous notons: g s cardŽN _ G . le nombre de lacunes de G. Pour q s 4, R. Waldi donne l’anneau R s Cww t 4 , t 5, t 6 , t 7 xx qui verifie: cs4-2gs6 ´ - l ŽT . s 9. Voici un exemple de ce type pour q s 3. Nous prenons: R s Cww t 5, t 6 , t 8 xx. Nous avons: G s ²5, 6, 8:, g s 6 et c s 10. Nous rappelons que s note l’anneau: s s Cww t 5 xx, que le normalise ´ de R est: S s Cww t xx. 2 Žww xx Ž L’anneau R s’ecrit: R s C X, Y, Z r X Y y Z 2 , Y 3 y X 2 Z, ZY 2 y ´ 4. X . R est donc une intersection presque complete. ` Nous avons: DK Ž Rrs. 1Ž 14 . s t 20 R q t 22 R q t 24 R, D y Rrs s t R q t 12 R q ty 10 R, R* s K

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

381

[g g ŽG _ 5qG . styg Žvoir w10x., SDSrRDR , Srt 4 R q t 5 R q t 7R. Nous avons Ž Rrs .rR*. s 6 q 6 q donc w4x: l ŽT . s l Ž SrR . q l Ž SDSrRDR . q l Ž Dy1 K 3 s 15. Il s’en suit que: c s 10 - 2 g s 12 - l ŽT . s 15. 4. Generalisation aux intersections completes ´´ ` Le calcul fait en III.2 se transpose aux intersections completes ` et permet de generaliser le resultat de O. Zariski ` a celles-ci sans&restrictions. Nous ´ ´ ´ & avons vu&plus haut que dans V K r C : a jra s Žy1. jq1 Ždxj m 1.rŽdx1 m 1.. Comme dxj s xXj dt, nous en deduisons: a jra s Žy1. jq1 Ž xXjrxX1 .. Par suite: ´ X X n n J s Ý js1 a j R s Ž arx 1 .Ý js1 x j R et: SDSrRDR s aSrt b 0y1 J s aSrxXj J s SrÝ njs1 xXj R. D’ou: ` l Ž T . s l Ž SrR . q l Ž SrxX1 R q ??? qxXn R . . Posant H 0 s  n Ž v . N v / 0 et v g xX1 R q ??? qxXn R4 , nous avons: l ŽT . s 2c q cardŽN _ H 0 .. Posant alors: H s  n Ž t v . N v / 0 et v g xX1 R q ??? qxXn R4 j  04 on en deduit que l ŽT . s c y cardŽH _ G .. D’ou: ´ ` THEOREME 7. Pour une intersection complete ´ ` ` nous a¨ ons l ŽT . s c y cardŽŽH _ G . et donc l ŽT . F c. Remarque. Le semi-groupe G d’une branche plane s’exprime au moyen de la serie ´ de Puiseux de la branche. Il n’y a aucun espoir d’arriver `a un resultat analogue pour q G 3. Si nous prenons les anneaux: ´ Rl s C w t 12 , t 18 q t 34 q t 40 q t 41 , t 26 q l t 32 x s C w x, y, z x

Ž l fixe´ dans C . ,

les exposants de t dans x, y et z sont independants de l Žpour: l / 0.. Le ´ ² calcul des semi-groupes Gl des Rl donne: Gl s 12, 18, 26, 58, 71, 77, 85, 117:, pour l / 12 Ž y compris l s 0., et: G1r2 s ²12, 18, 26, 59, 117:. Ces semi-groupes sont differents et ne peuvent donc se calculer au moyen des ´ seuls exposants.

6. COURBES PLANES AYANT DEUX PAIRES DE PUISEUX 1. But et notations Le theoreme de Zariski Žtheoreme 6. donne l ŽT . pour les anneaux ´ ` ´ ` R s Cww t n, t m xx s Cww x, y xx, avec: n - m et m et n premiers entre eux. Ces anneaux sont ceux des branches ayant une seule paire de Puiseux et n’ayant pas de termes complementaires dans le developpement de y. ´ ´ Ž . ww t n, t m q L’etape suivante est le calcul de l T pour les anneaux R s C ´ b 2 xx bt s Cww x, y xx, avec: n - m - b 2 , n s n1 n 2 , m s m1 n 2 , p.g.c.dŽ n1 , m1 .

382

P. CARBONNE

s p.g.c.dŽ n 2 , b 2 . s 1 et b / 0. Ces courbes admettent deux paires de Puiseux et il n’y a pas de termes complementaires dans le developpement ´ ´ de y. Nous avons: G s ² n, m, b 2 :, avec: b 2 s b 2 q mŽ n1 y 1.. Le seuil est: c s Ž n 2 y 1. b 2 q Ž n1 y 1. m y Ž n y 1.. Tout ´ element g de G admet une ´ decomposition unique: g s l 2 b 2 q l1 m q l0 n, avec: 0 F l2 F n 2 y 1, ´ 0 F l1 F n1 y 1, l 0 G 0. Nous notons z l’application de G dans  0, . . . , n 2 y 14 definie par z Žg . s l2 . ´ Nous posons:

u i s i Ž b 2 y m . q Ž i y 1. b 2

Ž i G 1.

Ui s  j n N 0 F j F m1 y 1 4 j  h m N 0 F h F n1 y 1 4 j  zb 2 N 0 F z F n 2 y 2 i 4 et Gi s g g G N g - c et z Žg . F n 2 y 2 i4 Ž1 F i F n 2r2.. V s Ž n q m q G . j Ž n q b 2 q G . j Ž m q b 2 q G . j Ž mn1 q G . . V i s Gi l V Ž1 F i F n 2r2.. On verifie aussitot ´ ˆ que: Ui s C Gi V i . Nous posons encore: d s b 2 y m, z s y n1 y x m 1 s t b 2 Ž n1 b q c n21 b 2 t d q??? .. Nous avons: n Ž z . s b 2 . Il vient: y s t m Ž 1 q bt b 2ym . s t m Ž 1 q bt d . . d’ou: ` Hs

ty9 my

s

1 1 q bt

d

ž

1q

b2 m

bt d .

/

. 2. Calcul de H Ž preliminaires ´ 2.1. Nous avons vu que: H s  0 4 j  n Ž v 1 . ¬ v 1 s Anx q BmyH / 0, A g R, B g R 4 . Il est clair que: H q G ; H 2.2. p ) n 2 entraine p y 1 G n 2 et up G c. Donc: up q V ; G. 2.3. Si n 2r2 - p - n 2 Žce qui suppose n 2 G 3.. Alors:

up s Ž 2 p y 1 y n 2 . b 2 q n 2 b 2 y m q m1 n1 Ž n 2 y p . w s b 2 y m q Ž n 2 y p . m1 n1 ) m1 n1 ) Ž m1 y 1.Ž n1 y 1.. Donc: w g n1N q m1N. 2 p y 1 y n 2 g N et up q V ; G. 2.4. Si p s n 2 ) 2, up s un 2 s un 2y1 q b 2 y m q b 2

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

383

n 2r2 - n 2 y 1 - n 2 donc Ž2.3. un 2y1 g G et:

un 2 g b 2 y m q G s u 1 q G ;

un 2 q V ; u 1 q V .

2.5. Si p s n 2 s 2,

up s u 2 s 2 Ž b 2 y m . q b 2 s b 2 y m q 2 b 2 q m1 Ž n1 y 2 . w s b 2 q m1 Ž n1 y 2 . s b 2 y m q m1 n1 ) m1 n1 ) Ž m1 y 1 . Ž n1 y 1 . w g n1N q m1N,

u 2 g b2 y m q G s u 1 q G u2 q G ; u1 q V

2.6. Si 1 F p F n 2r2, alors G j Ž u p q V . s G j Ž u p q V p . . En effet:

w s u p q Ž n 2 y 2 p q 1 . b 2 s n 2 b 2 y m q Ž n 2 y p . m1 n1 ) n 2 Ž m1 y 1 . Ž n1 y 1 . . Donc: w g G. 2.7. Les resultats precedents donnent: ´ ´ Gj

D Ž up q V .

sGj

pG1

D

1FpFn 2r2

Ž up q V p .

.

3. Calcul de H Ž une inclusion. 3.1. Pour p G 1, nous posons: u i s y Ž pyi. n1y1 z i

Ž 0 F i F p y 1.

uXi s x Ž pyi. m 1y1

Ž 0 F i F p y 1. .

Alors:

n Ž u i . s g i s Ž p y i . n1 y 1 m q i b 2 s g 0 q i d n Ž uXi . s g iX s Ž p y i . m1 y 1 n q i b 2 s g 0X q i d g iX s g i q m y n. Nous prenons: A s l 0 uX0 q ??? ql py1 uXpy1

384

P. CARBONNE

et B s k 0 u 0 q ??? qk py1 u py1 . Il vient: xuXi s t p n m 1 Ž 1 q bt d . yu i s xuXi Ž 1 q bt d .

n1

y1

n 1Ž pyi .

i

.

D’ou: `

v 1 s Anx q BmyH py1

st

p n m1

Ý Ž 1 q bt d .

n1

y1

i

is0

= nl i q mk i Ž 1 q bt d .

n 1Ž pyi .y1

ž

1q

b2 m

bt d

/

.

Soit:

t s Ž 1 q bt d .

n1

y1

1r d

s Ž n1 b .

1r d

t w 1 q ??? x

n Ž t . s n Ž t . s 1. Posant:

v2 s

t

v1 n m1 b

py1

v2 s

Ý

,

il vient sans mal:

t i d w nl i q mk i w i x ,

is0

avec

wi s Ž 1 q t d .

py iy1rn 1

1yb

b2 m

qb

b2 m

Ž1 q t d .

1rn 1

.

D’ou alors le systeme ` l’on tire: v 2 s Ý j G 0 C jt jd Ž C j g C.. Considerons ´ ` de 2p ´ equations ` a 2 p inconues Ž l 0 , . . . , l py1 , k 0 , . . . , k py1 .:

¡C s ??? s C s yn ¢C s ??? s C

~k

0

py1

s0

0

p

2Ž py1.

s 0.

On effectue le changement d’inconnues:

½

p i s nl i q mk i r i s mk i

Ž 0 F i F p y 1. .

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

385

Resoudre le systeme en k i et l i revient ` a resoudre: ´ ` precedent ´´ ´

¡C s ??? s C s ymn ¢C s ??? s C

~r

0

py1

s0

0

p

2Ž py1.

s0

en p i et r i . Le determinant de ce systeme ´ ` s’ecrit: ´ . I . D s . . .. . . . 0 . M ou ˆ I est la matrice identite´ d’ordre p, 0 est la matrice nulle d’ordre p et M une matrice que nous allons calculer. En developpant l’expression de w i on obtient pour M une matrice ´ triangulaire inferieure dont tous les termes de la diagonale principale sont ´ ´egaux `a 1. D’ou: ` D s det M s 1. Le systeme ` est donc de Cramer et admet une solution qui n’est pas identiquement nulle Ž r 0 s ymn.. Si maintenant nous envisageons le systeme: ` C0 s ??? s C2 py1 s 0 les memes calculs montrent que ce systeme ˆ ` est aussi de Cramer et admet donc pour unique solution la solution nulle. Donc si l’on donne aux k i et aux l i les valeurs trouvees le ´ en resolvant ´ premier systeme: ` C2 py1 / 0 et:

n Ž v 1 . s pn1 m q Ž 2 p y 1 . d s up q mn1 . Donc:

up q mn1 q G ; H. 3.2. On procede ` de meme ˆ en posant, pour p G 1: u i s x Ž pyiy1. m 1q1 z i

Ž 0 F i F p y 1.

uXi

Ž 0 F i F p y 1. .

sy

Ž pyiy1. n 1q1

z

i

D’ou: `

n Ž u i . s g i s Ž p y i y 1 . m1 q 1 n q i b 2 s g 0 q i d n Ž uXi . s g iX s Ž p y i y 1 . n1 q 1 m q i b 2 s g 0X q i d g iX s g i q m y n.

386

P. CARBONNE

On est amene un systeme ´ `a resoudre ´ ` de Cramer de 2 p ´equations `a 2 p inconnues Ž l 0 , . . . , l py1 , k 0 , . . . , k py1 .. En donnant aux k i et l i les valeurs ainsi obtenues, on obtient:

n Ž v 1 . s g 0 q m q Ž 2 p y 1 . d s n q m q up . Donc:

up q n q m q G ; H. 3.3. Prenant maintenant, pour p G 1: u i s xy Ž pyi. n1y1 z i

Ž 0 F i F p y 1.

uXi

Ž0 F i F p. ,

sx

Ž pyi. m 1

z

i

nous avons:

n Ž u i . s g i s Ž p y i . n1 y 1 m q n q i b 2 s g 0 q i d n Ž uXi . s g iX s Ž p y i . m1 n q i b 2 s g 0X q i d g iX s g i q m y n Le systeme: `

pour: 0 F i F p y 1.

¡C s ??? s C s yn ¢C s ??? s C

~k

0

py1

s0

0

p

2 py1

s0

est ici aussi un systeme ` de Cramer et si l’on donne aux 2 p q 1 inconnues k 0 , . . . , k py1 , l 0 , . . . , l p , les valeurs ainsi trouvees: ´ C2 p / 0. Donc:

n Ž v 1 . s g 0 q m q 2 pd s n q b 2 q up . Par suite:

up q n q b 2 q G ; H. 3.4. Enfin si nous prenons, toujours pour p G 1: u i s y Ž pyi. n1 z i

Ž0 F i F p.

uXi

Ž 0 F i F p y 1. ,

s x Ž pyi. m 1y1 z i

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

387

nous avons:

n Ž u i . s g i s Ž p y i . mn1 q i b 2 s g 0 q i d n Ž uXi . s g iX s Ž p y i . m1 y 1 n q i b 2 s g 0X q i d g iX s g i q m y n

pour: 0 F i F p y 1.

Le meme ˆ type de calculs amene ` `a un systeme ` de Cramer de 2 p q 1 ´equations `a 2 p q 1 inconnues Ž k 0 , . . . , k p , l 0 , . . . , l py1 .. Les valeurs obtenues en resolvant ce systeme ´ ` donnent alors:

n Ž v 1 . s g 0 q m q 2 pd s b 2 q m q up . Donc:

up q m q b 2 q G ; H. 3.5. Finalement: Gj

D Ž up q V .

; H.

pG1

4. Calcul de H Ž l’inclusion in¨ erse . 4.1. « 0 appartenant ` a G fixe. ´ Pour g appartenant ` a G tel que: 0 F g F c q n y 1 et z Ž « 0 . F z Žg .. Je pose:

r s z Ž g . y z Ž « 0 . et s Ž g . s g y r Ž b 2 y m . . Alors: Ž1. s Žg . appartient ` a G Ž2. z Ž s Žg .. s z Ž « 0 . Ž3. 0 F r F n 2 y 1. 4.2. Preu¨ e. Ž1. s Žg . s g yr Ž b 2 y m. s g yz Žg . b 2 q z Ž « 0 . b 2 q r mn1 et g y z Žg . b 2 g nN q mN ; G Ž2. s Žg . F g F c q n y 1. z Ž s Žg .. s z Žg . y r s z Ž « 0 . Ž3. r s z Žg . y z Ž « 0 . F z Žg . F n 2 y 1. 4.3. s Žg . est dit la « 0-souche de g . « ´ etant une « 0-souche donnee, ´ on pose: aŽ « . s  « q r Ž b 2 y m . N 0 F r F n 2 y 1 et « q r Ž b 2 y m . F c q n y 1 4 .

388

P. CARBONNE

4.4. « et « 9 deux « 0-souches. Alors: « / « 9 entraıne: ˆ a Ž « . l a Ž « 9 . s B. 4.5. Preu¨ e. Si: « q r Ž b 2 y m. s « 9 q r 9Ž b 2 y m. alors:

« y « 9 s Ž r 9 y r . Ž b2 y m. z Ž « . s z Ž « 0 . s z Ž « 9. Ž4.1.. Donc « ' « 9 Žmod n 2 . r ' r 9 Žmod n 2 .. D’ou: ` r s r 9 et donc: « s « 9. 4.6. Si n Ž A. q n / n Ž B . q m, il vient:

n Ž v 1 . s n Ž Anx q BmyH . s inf Ž n Ž A . q n, n Ž B . q m . g G. Si n Ž A. q n s n Ž B . q m G c, n Ž v 1 . g G. 4.7. Plac¸ons nous deans le cas ou: `

n Ž A . q n s n Ž B . q m - c. On peut toujours ´ ecrire: B s c 0 q ??? qcs q r 1 avec:

ci s ai x j i yh i z z i Ž ai / 0. ,

n Ž c i . s j i n q hi m q z i b 2

n Ž B . s n Ž c 0 . - ??? - n Ž cs . - c F n Ž r 1 . et: A s w 0 q ??? qws9 q r 2 avec: X

X

X

w i s aXi x j i y h i z z i Ž aXi s 0 . ,

n Ž w i . s z iX n q hiX m q z iX b 2

n Ž A . s n Ž w i . - ??? - n Ž ws9 . - c F n Ž r 2 . . Posant: l0 s infŽ z i N 0 F i F s4 j  z iX N 0 F i F s94., il vient: A s z l0 A1 q r 2 et B s z l0 B1 q r 1 , avec A1 et B1 dans R, n Ž r 1 . G c, n Ž r 2 . G c. On pose alors:

v 2 s A1 nx q B1 ymH. 4.8. « 0 s n Ž B1 . y z w n Ž B1 .x b 2 appartient ` a nN q mN. Dans toute la suite nous envisagerons des « 0-souches. « , une « 0-souche verifie: ´

z Ž « . s z Ž « 0 . s 0,

i.e., « g nN q mN.

Tout ´ element g de G, inferieur ´ ´ `a c q n y 1 admet une « 0-souche, s Žg ..

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

389

4.9. Posons: p Ž « . s sup  p ¬ « q m y pmn1 / 0 et « q m y pmn1 g nN q mN 4 , et

t Ž « . s « q m y p Ž « . mn1 ,

t Ž « . appartient ` a nN q mN.

4.10. pŽ « . s 0 entraıne: ˆ t Ž « . s m q « , i.e., t Ž « . g m q nN q mN. 4.11. Distinguons 4 cas: Cas 1. t Ž « . g m q n q G. Je pose: g 0 Ž « . s pŽ « . mn1 q n. Cas 2. t Ž « . g n q G et f m q G Žd’ou: ` pŽ « . G 1, par 4.10.. Je pose: g 0 Ž « . s Ž pŽ « . n1 y 1. m q n. Cas 3. t Ž « . g m q G et f n q G. Je pose: g 0 Ž « . s pŽ « . mn1. Cas 4. t Ž « . s mn1 s m1 n. Je pose: g 0 Ž « . s wŽ pŽ « . q 1. n1 y 1x m. 4.12. Pour: g - c et « s s Žg ., il y a ´ equivalence entre: Ži. t Ž « . s mn1 Žii. g g wŽ p q 1 y i . n1 y 1x m q i b 2 ¬ 0 F i F p4 . Preu¨ e. t Ž « . s mn1 entraıne: ˆ « s ym q Ž pŽ « . q 1. mn1 , et:

g s Ž p Ž « . q 1 y z Ž g . n1 y 1 . m q z Ž g . b 2 et

z Ž g . - p Ž « . q 1.

4.13. Reciproquement: ´

« s s Ž g . s Ž p q 1 y i . n1 m q imn1 s Ž p q 1 . mn1 y m « q m s Ž p q 1. mn1. Donc: pŽ « . s p et t Ž « . s mn1. 4.14. Je pose: «˜ s « y g 0 Ž « .. Il vient sans mal: Cas 1.

«˜ s t Ž « . y n y m.

Cas 2.

«˜ s t Ž « . y n.

Cas 3.

«˜ s t Ž « . y m.

Cas 4. «˜ s 0. ŽVoir calcul 4.13 qui prouve: « s g 0 Ž « ... Dans les 4 cas: «˜ appartient ` a: nN q mN. 4.15. Il y a ´ equivalence entre: Ži. « g n q G Žii. g 0 Ž « . g n q G Žiii. Nous sommes dans le cas 3 ou 4 avec pŽ « . G 1, ou bien dans l’un des cas 1 ou 2 sans condition sur pŽ « ..

390

P. CARBONNE

4.16. Preu¨ e. Ži. resulte de Žii. par « s «˜ q g 0 Ž « .. ´ Les formules donnant g 0 Ž « . prouvent l’equivalence de Žii. et Žiii.. Le cas 3 avec pŽ « . s 0 et « g n q G donne: t Ž « . s « q m g n q m q G ce qui est absurde. Donc Ži. entraıne ˆ Žiii.. Le cas 4 avec pŽ « . s 0 donne: « s mŽ n1 y 1. et donc: « f n q G. 4.17. Je pose: p9Ž « . s pŽ « . pour les cas 1, 3, 4 et p9Ž « . s pŽ « . y 1 pour le cas 2. Si « g n q G, p0 Ž « . s pŽ « . pour les cas 1, 2, 4 et p0 Ž « . s pŽ « . y 1 pour le cas 3 Žvoir 4.15.. Posons g i Ž « . s g 0 Ž « . q iŽ b 2 y m. Ž0 F i F p9Ž « ... Alors: g i Ž « . est dans G. Si: g 0 Ž « . g n q G Ži.e., « g n q G ., posons g 0X Ž « . s g 0 Ž « . q m y n et X g i Ž « . s g 0X Ž « . q iŽ b 2 y m. Ž0 F i F p0 Ž « ... Alors g iX Ž « . est dans G. 4.18. Ž1. Si pŽ « . - n 2 : a Ž « . l G s  «˜ q g i Ž « . ¬ 0 F i F p9 Ž « . 4 , si en outre: « g n q G, alors: a Ž « . q m y n l G s  «˜ q g iX Ž « . ¬ 0 F i F p0 Ž « . 4 . Ž2. Si pŽ « . G n 2 : a Ž « . l G s  «˜ q g i Ž « . ¬ 0 F i F n 2 y 1 4 , si en outre: « g n q G, alors: a Ž « . q m y n l G s  «˜ q g iX Ž « . ¬ 0 F i F n 2 y 1 4 . 4.19. Preu¨ e. Ž1. Vu que z Ž « 0 . F z Žg ., g g G et g F c q n y 1 entraıne: ˆ g g aŽ s Žg .. et donc d’apres ` Ž4.4.:

g g aŽ « . l G

entraıne ˆ « s s Žg . ,

donc:

g s « q r Ž b2 y m.

avec r s z Ž g . F n 2 y 1.

Donc:

« y r mn1 s g y rb 2 s g y z Ž g . b 2 g nN q mN, c’est ` a dire: « q m y r mn1 g m q nN q mN. D’ou: `

r F p Ž « . s p9 Ž « . r F p Ž « . y 1 s p9 Ž « .

Ž cas 1, 3 et 4 . Ž cas 2 . .

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

391

On a alors:

g s «˜ q g 0 Ž « . q r Ž b 2 y m . s «˜ q gr Ž « . . Ž2. Reciproquement: ´

g s «˜ q g i Ž « . est dans G, g s «˜ q g 0 Ž « . q i Ž b 2 y m . s « q i Ž b 2 y m . i F n 2 y 1 Žque ce soit pour pŽ « . F n 2 y 1 ou pour pŽ « . G n 2 .. On arrive alors sans mal ` a Ždans les 4 cas.:

g F n 2 b 2 y b 2 s c q n y 1. Enfin: z Žg . s z Ž «˜ . q z Žg 0 Ž « .. q i s i F n 2 y 1. Donc:

g g a Ž « . l G. Ž3. Sous l’hypothese: ` « g n q G les ´egalites ´ relatives `a w aŽ « . q m y n x l G s’en deduisent aussitot ´ ˆ par Ž4.15.. 4.20. Soit g - c appartenant ` a G et « s s Žg . sa « 0-souche. Si t Ž « . / mn1 , il y a ´ equivalence entre: Ži. « f n q G et Žii. g s l m avec: 0 F l F Ž n1 y 2.. 4.21. Preu¨ e. Il est immediat que Žii. entraıne de Žii. ´ ˆ Ži.. Ži. resulte ´ compte tenu de:

« s s Ž g . s g y z Ž g . b 2 q z Ž g . mn1 g z Ž g . mn1 q G et de ce que si: « s g s Ž n1 y 1. m, alors t Ž « . s g q m s mn1. 4.22. Soit g - c appartenant ` a G. Il y a ´ equivalence entre: Ži. g f w aŽ « . q m y n x l G pour toute « 0-souche, « Žii. g s m n avec: 0 F m F m1 y 2. 4.23. Preu¨ e. Ž1. Si g g m q G, g y m - c est dans G ainsi que g y m q n. Posons: « s s Žg y m q n. s s Žg y m. q n g n q G. g y m q n g aŽ « . donc g g w aŽ « . q m y n x l G. Ž2. Si g g b 2 q G, « s s Žg . q n y m appartient ` a: n q G. Par ailleurs, « s s Ž « . est une « 0-souche et:

g s m y n q « q z Ž g . Ž b 2 y m . g a Ž « . q m y n l G. Ž3. Si g s Ž m1 y 1. n, g g w aŽ « . q m y n x l G avec « s mŽ n1 y 1.. Donc Ži. entraıne ˆ Žii.. Žii. entraıne ˆ Ži. est immediat. ´

392

P. CARBONNE

4.24. Il resulte alors de Ž4.7. et de Ž4.8. que l’on peut ´ ecrire: B1 s

Ý

« « 0-souche

ž

Ý

g gaŽ « .lG

kg ug q r 1X

/

avec: ug s x z y h z n , d’ou ` g s n Ž ug . s j n q h m q nb 2 , kg g C Ž´eventuellement nul., r 1X g R et n Ž r 1X . G c. Utilisant Ž4.18. nous pouvons ´ ecrire:

g s «˜ q g i Ž « .

avec i g I«

I« s  0, . . . , p9 Ž « . 4

si p9 Ž « . - n 2 .

Puis: I« s  0, . . . , n 2 y 14 si p9Ž « . G n 2 avec u Ž «˜ . s x a y b si «˜ s a n q b m

ug s u Ž «˜ . u i , «

u i , « s x Ž pŽ « .yi. m 1q1 z i

dans le premier cas

u i , « s xy Ž pŽ « .yi. n1y1 z i

dans le deuxieme ` cas

u i , « s y Ž pŽ « .yi. n1 z i

dans le troisieme ` cas

u i , « s y Ž pŽ « .q1yi. n1 z i

dans le quatrieme ` cas.

Posant: K s  « ¬ « g n q G ou bien t Ž « . s mn1 4 et utilisant Ž4.20. nous pouvons ´ ecrire: B1 s

Ý

u Ž «˜ .

«gK

žÝ

k i , « ui , «

igI«

/

q

Ý

0F l Fn 1 y2

kl y l q r 1X

avec: k i, « , kl dans C; r 1X g R et n Ž r 1X . G c. De meme ˆ Žen utilisant 4.22. on peut ´ ecrire: A1 s

Ý

u Ž «˜ .

«gK

žÝ

igJ«

l i , « uXi , «

/

q

Ý

0F m Fm 1 y2

lm x m q r 2X

avec: l i , « , lm dans C;

r 2X g R et n Ž r 2X . G c. J« s  0, . . . , p0 Ž « . 4

si p0 Ž « . - n 2

J« s  0, . . . , n 2 y 1 4

si p0 Ž « . G n 2

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

393

et: Cas 1.

uXi, « s y Ž pŽ « .yi. n1q1 z i.

Cas 2.

uXi, « s x Ž pŽ « .yi. m 1 z i.

Cas 3.

uXi, « s x Ž pŽ « .yi. m 1y1 yz i.

Cas 4. uXi, « s x Ž pŽ « .q1yi. m 1y1 z i. 4.25. Il vient alors:

v2 s

Ý u Ž «˜ . f« Ž k i , « , l i , « . q

«gK

q

Ý

0F m Fm 1y2

nlm x

mq1

Ý

mkl y lq1 H

žÝ

k i , « u i , « myH.

0F l Fn 1y2

q V9

avec: n Ž V9. G c et: F« Ž k i , « , l i , « . s

žÝ

l i , « uXi , « nx q

igJ«

/

igI«

/

4.26. Les calculs du paragraphe 3 montrent que:

d« s n Ž F« Ž k i , « l i , « . . s g 0 Ž « . q m q r Ž b 2 y m . avec 0 F r F p9 Ž « . q p0 Ž « . q 1 s

½

2 pŽ « . 2 pŽ « . q 1

Ž cas 2 et 3 . Ž cas 1 et 4 . ,

i.e., «˜ q d« g Ž m q aŽ « .. j  c, c q 1, ??? 4 . 4.27. n Ž nlm x mq1 . s Ž m q 1. n avec: 1 F m q 1 F m1 y 1. On verifie ´ immediatement que: Ž m q 1. n f m q aŽ « . quel que soit « dans K. ´ 4.28. De meme: n Ž mkl y lq1 H . s Ž l q 1. m avec: 1 F l q 1 F n1 y 1. ˆ Ž l q 1. m f aŽ « . q m pour tout « de K. 4.29. Compte tenu de Ž4.4. on en deduit que: ´ ou ou ou ou

bien: bien: bien: bien:

n Ž v 2 . G c. Donc n Ž v 2 . est dans G. n Ž v 2 . s Ž m q 1. n, pour un m. Donc n Ž v 2 . est dans G. n Ž v 2 . s Ž l q 1. m, pour un l. Donc n Ž v 2 . est dans G. n Ž v 2 . s d« 1 q «˜1 , pour une « 0-souche, « 1.

C’est ` a dire: n Ž v 2 . s «˜1 q g 0 Ž « 1 . q r Ž b 2 y m. q m avec: 0 F r F p9Ž « . q p0 Ž « . q 1.

394

P. CARBONNE

4.30. En explicitant il vient aussitot: ˆ

n Ž v2 . g G j

D Ž up q V . pG1

n Ž v 1 . s l0 b 2 q n Ž v 2 . . Donc: H;Gj

D Ž up q V .

.

pG1

4.31. Il vient alors HsGj

D

1FpFn 2r2

Ž up q V p .

.

THEOREME ´ ` . De facon plus precise ´ nous a¨ ons les ¨ aleurs des nombres l i introduits dans la troisieme partie. ´ THEOREME ´ ` 8.

Pour y s x m r n q bx 2r n Ž b / 0. nous a¨ ons: l1 s n q m q u 1

l4 i s n q m q u i q 1

Ž i G 1.

l4 iq1 s m1 n q u i q 1

Ž i G 1.

l4 iq2 s n q b 2 q u iq1

Ž i G 0.

l4 iq3 s m q b 2 q u iq1

Ž i G 0. .

Si n 2 est impair, s s 2 n 2 y 3. Si n 2 est pair, s s 2 n2 y 1

lorsque b 2 F

s s 2 n2 y 2

lorsque

s s 2 n2 y 3

lorsque

mn 2 mn 2

mn 2

ymyn

y m y n F b2 F

mn 2

y 2n

y 2 n - b2 .

6. Lemmes de denombrement ´ 6.1. Soit i un entier tel que: 1 F i F n 2r2. Pour j , h , z appartenant a ` N, a¨ ec: 0 F z F n 2 y 2 i, il y a ´ equi¨ alence entre:

Ž 1.

u i q j n q h m q zb 2 g u j q G Ž 1 F j F i y 1 .

et

Ž 2.

j n q h m g Ž i y j . mn1 q nN q mN.

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

395

Il y a aussi ´ equi¨ alence entre:

Ž 3.

u i q j n q h m q zb 2 g G

et

j n q h m g imn1 q nN q mN.

Ž 4.

6.2. Ceci resulte immediatement de: b 2 ) Ž m1 y 1.Ž n1 y 1. et donc n 2 b 2 ´ ´ g nN q mN. 6.3. Pour: 1 F j - i F n 2r2, Ž u j q G . l Ž u i q Ui . s B. Pour: 1 F i F n 2r2, G l Ž u i q Ui . s B. 6.4. Preu¨ e. Ž1. Si Ž u j q G . l Ž u i q Ui . / B, nous avons un g de Ui tel que: Ž i y j .Ž b 2 y m. q Ž i y j . b 2 q g g G. Ce qui est impossible car: iyj)0

et

2Ž i y j . q z Ž g . F n2 y 2 j - n2 .

Ž2. De meme ˆ si: G l Ž u i q Ui . / B, nous avons un g de Ui tel que: i Ž b 2 y m . q Ž i y 1 . b 2 q g g G. Ce qui est aussi impossible car: i ) 0 et 2 i y 1 q z Žg . F n 2 y 1 - n 2 . 6.5. Nous avons: Ž1. Pour: 1 F i F n 2r2, Ž u i q V i . l G s Ž u i q Gi . l G. Ž2. Pour: 1 F j F i F n 2r2, Ž u j q V j . l Ž u i q V i . s Ž u j q V j . l Ž u i q Gi .. Ž3. Pour: 1 F j F i F n 2r2, Ž u i q Gi . l Ž u j q Gj . s Ž u i q Gi . l Ž u j q G .. Ž1. et Ž2. viennent de 6.3 et Ž3. vient de 6.1. 6.6. Il est par ailleurs ´ evident que pour j F i:

u i q Gi ; u i q G ; u j q G. 6.7. Pour: 1 F j F i F n 2r2, nous avons aussi:

Ž u j q Uj . l Ž u i q Gi . s Ž u j q Uj . l Ž u i q V i . s  u i q Ž i y j . mn1 q zb 2 ¬ 0 F z F n 2 y 2 i 4 . 6.8. La premiere ` ´egalite´ vient de Ž6.3.. Soit:

w g Ž u j q Uj . l Ž u i q Gi . w s uj q gj

avec g j g Uj , g j s an q bm q d b 2

w s u i q j n q h m q zb 2

avec: 0 F z F n 2 y 2 i.

396

P. CARBONNE

D’ou: ` d ' z q 2Ž i y j . Žmod n 2 .. Or: 0 F d F n 2 y 2 j - n 2 et 0 F z q 2Ž i y j . - n 2 . Donc: d s z q 2 Ž i y j . G 2;

par suite a s b s 0.

Il vient:

j n q h m s Ž i y j . Ž b 2 y b 2 q m . s Ž i y j . mn1 . La reciproque est immediate. ´ ´ 6.9. Nous avons: Ž1. Pour i G 2: G l Ž u i q V i . ; u iy1 q V iy1 et Ž2. Pour 1 F j F i y 1: Ž u j q V j . l Ž u i q V i . ; u iy1 q V iy1. 6.10. Preu¨ e. Ž1. Soit D s G l Ž u iy1 q V iy1 . l Ž u i q V i .. D s G l Ž u iy1 q Giy1 . l Ž u i q Gi . D s G l Ž u iy1 q G . l Ž u i q Gi . D s G l Ž u i q Gi . D s G l Ž ui q V i .

Ž par 6.5 Ž 1. . Ž par 6.5 Ž 3. .

Ž par 6.6..

Ž par 6.5. Ž 1 . . .

D’ou ` la conclusion. Ž2. Soit: D9 s Ž u j q V j . l Ž u iy1 q V iy1 . l Ž u i q V i . D9 s Ž u j q V j . l Ž u iy1 q Giy1 . l Ž u i q Gi .

Ž par: 6.5. Ž 2. .

D9 s Cu jqGjŽ u j q Uj . l Ž u j q Gj . l Ž u iy1 q Giy1 . l Ž u i q Gi . D9 s Cu jqGjŽ u j q Uj . l Ž u j q Gj . l Ž u i q Gi .

Ž D’apres ` le calcul de Ž 1 . . . D’ou: ` D9 s Ž u j q V j . l Ž u i q Gi . > Ž u j q V j . l Ž u i q V i . . La conclusion suit immediatement. ´ 6.11. cardŽ nN q mN. l CN Ž mn1 q nN q mN.4 s m1 n1. Preu¨ e.

x ª xrn 2 est une bijection de l’ensemble considere ´ ´ sur: E s Ž n1 N q m1 N . l C N Ž m1 n1 q n1 N q m1 N . .

card E s card Ž E1 . q card Ž E2 . avec: E1 s E l Žw0, m1 n1 w., E2 s E l Žw m1 n1 , q`w..

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

397

Soit c1 s Ž m1 y 1.Ž n1 y 1.. Alors: card Ž E1 . s m1 n1 y c1 q

c1 2

s m1 n1 y

c1 2

.

x ª x y m1 n1 est une bijection de E2 sur CN Ž m1N q n1N.. Donc: card Ž E2 . s

c1 2

et

card Ž E . s m1 n1 .

7. Calcul de l R ŽT . 7.1. C n G s Ž CN G . l H s Ž CN G . l ŽD 1 F i F n 2 r2 Ž u i q V i .. Žvoir 4.29.. 7.2. Si je pose:

p 1 s card  Ž u 1 q V 1 . l CN G 4 et

p i s card  Ž u i q V i . l CN G j Ž u 1 q V 1 . j ??? j Ž u iy1 q V iy1 .

4

Ž i G 2. . Alors: w n 2r2 x

p s card C n G s

Ý

pi.

is1

7.3. Pour i G 2, notons: Fi s Ž u i q V i . l G j Ž u 1 q V 1 . j ??? j Ž u iy1 q V iy1 . . Il vient: Fi s Ž u i q V iy1 . l Ž u i q V i .

Ž Par 6.9.

Fi s Ž u i q Qiy1 . l Ž u i q Gi .

Ž Par 6.3. .

et: Pour i s 1: F1 s Ž u 1 q V 1 . l G s G l Ž u 1 q G1 .

Ž Par 6.5 Ž 1 . . .

7.4. Pour i G 1 il vient alors:

p i s card Ž u i q V i . y card Fi s card Ž u i q Gi . y card Ž u i q Ui . y card Fi .

398

P. CARBONNE

7.5. Pour i G 2 nous avons:

p i s card Ž u i q Gi . y card Ž u i q Ui . y card  Ž u iy1 q Giy1 . l Ž u i q Gi . 4 q card  Ž u iy1 q Uiy1 . l Ž u i q Gi . 4

p i s card  u i q Gi 4 y card Ž Ui . y card  Ž u iy1 q G . l Ž u i q Gi . 4 q card  Ž u iy1 q Uiy1 . l Ž u i q Gi . 4 .

p i s card  Cu iqGiŽ u iy1 q G . 4 y card Ž Ui . q card  Ž u iy1 q Uiy1 . l Ž u i q Gi . 4 . D’apres ` Ž3.5., Ž6.11. et Ž6.1.: card  Cu iqGiŽ u iy1 q G . 4 s Ž n 2 y 2 i q 1 . m1 n1 card Ž Ui . s m1 y 1 q n1 y 1 q n 2 y 2 i q 1 s m1 q n1 q n 2 y 2 i y 1. D’apres ` Ž3.5. et Ž6.7.: card  Ž u iy1 q Uiy1 . l Ž u i q Gi . 4 s n 2 y 2 i q 1. 7.6. Il vient finalement, pour i G 2:

p i s Ž n 2 y 2 i q 1 . m1 n1 y m1 y n1 q 2. 7.7. De meme: ˆ

p 1 s card Cu 1qG1 G y card Ž U1 . card Cu 1qG1 G s Ž n 2 y 1 . m1 n1 card Ž U1 . s m1 q n1 q n 2 y 3. 7.8. p 1 s Ž n 2 y 1. m1 n1 y m1 y n1 q 2 y Ž n 2 y 1.. 7.9. On obtient alors: w n 2r2 x

ps

Ý

pi s

is1

n2 2

7.10. THEOREME ´ ` 9. bx b 2 r n Ž b / 0.. lR Ž T . s c y

n2 2

m1 n1 n 2 y

ž ž

n2

/

2

y m1 y n1 q 2 y n 2 q 1.

/

Il suit que pour une branche du type: y s x m r n q

m1 n1 n 2 y

ž ž

n2 2

/

y m1 y n1 q 2 q n 2 y 1.

/

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

399

En particulier, pour n 2 s 2: l R Ž T . s c y c1 ,

avec: c1 s Ž m1 y 1 . Ž n1 y 1 . .

8. Remarque 3 Le resultat trouve du coefficient b Ž b dans C*.. Ceci ´ ´ est independant ´ n’etait ´ pas ´evident `a priori. Pour cette famille de branche nous avons donc une expression de l ŽT . en fonction des seuls exposants n, m et b 2 .

` 7. CALCULS POUR LES PREMIERES VALEURS DE ´ LA MULTIPLICITE 1. Calcul de l ŽT . pour certaines branches ayant une seule paire de Puiseux Soit une branche de developpement de Puiseux: ´ y s x m r n q ax l r n ,

n - m - l , Ž n, m . s 1, a / 0.

La serie est: Ž n, m., le semi-groupe associe: ´ caracteristique ´ ´ G s nN q mN et l’exposant du conducteur: c s Ž n y 1.Ž m y 1.. Si n G 4, nous nous placerons dans le cas ou: ` l s c y np y 1, ou ` p est un entier compris entre 1 et w mn x. Si n s 3, nous ferons de meme sans ˆ avec: 1 F p F w m y3 4 x. On verifie ´ mal que: PROPOSITION 4. l ŽT . s c y p.

Pour ces branches: C n G s  l q in ¬ 1 F i F p4 , et:

2. Calcul effictif de l ŽT . lorsque la multiplicite´ est 2 ou 3 ou lorsque la multiplicite´ est 4 et m F 11 La liste complete ` `a isomorphisme pres ` des branches de multiplicite´ 2 ou 3 et de celles de multiplicite ´ 4 et de deuxieme ` terme de la serie ´ caracteris´ tique m F 11 se trouve dans w6x. Dans le tableau I nous inscrivons, dans la colonne ‘‘methode’’: ´ Ž1. Si le resultat est: l ŽT . s c Žd’apres ´ ` O. Zariski.. Ž2. Si nous utilisons le theoreme ´ ` 8. Ž3. Si nous utilisons la proposition 4. Ž39. Si nous utilisons un raisonnement tout ` a fait analogue ` a celui du cas precedent. ´´ Ž4. Dans les autres cas. Nous precisons alors quels sont les ´ elements ´ ´ de C n G et nous laissons au lecteur le soin de verifier. ´

Ž m impair.

3

3

ysx qx

7 4

y s x4

7 13 4

ysx qx b 2 G 7 et impair

b2 4

6 4

Ž4, 7.

Ž4, 7.

Ž4, 6, b 2 .

Ž4, 5.

7

5

y s x4 q x4

Ž3, 3q, q2.

Ž3, 3q q 2.

Ž3, 3q q 1.

Ž3, 3q q 1.

Ž3, 5.

Ž3, 4.

Ž2, m.

Ž4, 5.

5

3

3

qx 1FpFqy1

6 qy3 pq1

3 qq2

3

3 qq2

qx 1FpFqy1

6 qy3 py1

3 qq1

3

3 qq1

5 3

4 3

2

m

Serie caracteristique

y s x4

ysx

ysx

ysx

ysx

ysx

ysx

ysx

Branche

4N q 7N

4N q 7N

4N q 6N q Ž b 2 q 6.N

4N q 5N

4N q 5N

3N q Ž3q q 2.N

3N q Ž3q q 2.N

3N q Ž3q q 1.N

3N q Ž3q q 1.N

3N q 5N

3N q 4N

2N q mN

G

TABLE I

18

18

b2 q 9

12

12

2Ž3q q 1.

2Ž3q q 1.

6q

6q

8

6

my1

c

3

1

2

3

1

3

1

3

1

1

1

1

Methode

17

18

b2 q 7

11

12

2Ž3q q 1. y p

2Ž3q q 1.

6q y p

6q

8

6

my1

l ŽT .

400 P. CARBONNE

7

9

19

15

10

9

9

9

11

11 4

11 4 13 4

10

11 25

21 4

11 4 17

14

11 13

14 4

11 4

y s x q ax q a x 2

18 4

Ž a / 0.

y s x 4 q ax 4 q ax 4 Ž a / 0.

11

ysx4 qx4

ysx4 qx4

11

ysx qx

ysx4 qx4

11

j

14

4

q bx

4

Ž j G 1. 10q2 jq3

4 10q2 jq1

sb /0

ysx4

a

jq 1

y s x 4 q ax

10

ysx4 qx

10q2 jq1

y s x q x q bx Ž b / 0.

10 4

ysx qx

10 4

y s x 4 q x 4 q ax 4 19 a / 18 19 a / 18 19 11 9 10 y s x4 q x 4 q x4 18 18 11 9 10 15 y s x4 q x 4 q x 4 q bx 4 19

y s x4 q x 4

y s x4 q x 4

ysx

9 4

y s x4 q x4

Ž4, 11.

Ž4, 11.

Ž4, 11.

Ž4, 11.

Ž4, 11.

Ž4, 11.

Ž4, 11.

Ž4, 10, 10 q2 j q 1.

Ž4, 10, 10 q2 j q 1.

Ž4, 10, 11.

4N q 11N

4N q 11N

4N q 11N

4N q 11N

4N q 11N

4N q 11N

4N q 11N

4N q 10N q Ž21 q 2 j .N

4N q 10N q Ž21 q 2 j .N

4N q 10N q 21N

24

30

30

30

30

30

30

28 q 2 j

28 q 2 j

28

28

24

4N q 9N

Ž4, 9. 4N q 10N q 21N

24

4N q 9N

Ž4, 9.

Ž4, 10, 11.

24

24

24

24

18

4N q 9N

4N q 9N

4N q 9N

4N q 9N

4N q 7N

Ž4, 9.

Ž4, 9.

Ž4, 9.

Ž4, 9.

Ž4, 7.

5

21

4 < CL G s 14, 19, 234

4 < CLŽ G . s 18, 25, 294

27

26

27

28

29

30

24 q 2 j

27

39

3

3

1

15 q 2 j, 19 q 2 j 23 q 2 j, 27 q 2 j

4 < CLŽ G . s 17, 21, 25, 294

½

24 q 2 j

24

4 < CLŽ G . s 18, 25, 294

4 < CLŽ G . s

2

4 < CL G s 15, 19, 23, 274

24

22

4 < CL G s 14, 234

2

21

22

23

24

16

4 < CL G s 14, 19, 234

3

3

1

3

SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

401

402

P. CARBONNE

3. Application a ` un contre-exemple Deux branches ´ equisingulieres ` peuvent avoir la meme ˆ valeur pour l ŽT ., ainsi que leurs transformes ´ successives respectives par transformation quadratique, sans ˆ etre isomorphes. 10 4

13 4

Ž C.

y s x q ax q bx

Ž D.

ysx qx .

10 4

15 4

Ž a2 s b / 0 . .

13 4

ŽC. et ŽD. ont meme Ž4, 10, 13.. ˆ serie ´ caracteristique: ´ ŽC. et ŽD. ne sont pas isomorphes w6x. l ŽT . s 26 pour ŽC. et pour ŽD.. Apres ` transformation quadratique: 6 4

9 4

Ž C1 .

y s x q ax q bx

Ž D1 .

ysx qx

6 4

11 4

9 4

sont isomorphes. l Ž T1 . s 16

pour Ž C 1 . et Ž D1 . .

III.4.7. Les transformees ´ suivantes sont bien sur ˆ isomorphes et ont donc le meme ˆ l ŽTi .: l ŽT2 . s 6, l ŽT3 . s 4, l ŽT4 . s 2, l ŽT5 . s 0.

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SUR LES DIFFERENTIELLES DE TORSION ´

403

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