Sur les plans osculateurs. I

MATHEMATICS

SUR LES PLANS OSCULATEURS. I PAR

E. J. VANDER WAAG (Comm1micated by Prof. H.

4.

Plan osculateur

FREUDENTHAL

at the meeting of December 22, 1951)

1 ).

4. l. Nous considerons le plan osculateur d'une courbe continue k en un point 0. La tangente au point P de la courbe, si elle existe, sera representee par tp. Toujours nous prenons t 0 comme axe des x. Le plan defini par les points A, B et 0 sera represente par ,plan (A, B, 0)"; le plan defini par le point A et la droite a par ,plan (A, a)". Alors il est possible de ·donner un grand nombre de definitions du plan osculateur n de ken 0.

I)

n

II) III)

n =lim plan (P', 0, P"), si P' et P" tendent vers 0 de part et d'autre (plan osculateur de GoDEL). n = lim plan (to, t~}, ou t~ est la droite allant par 0 et parallele a tp.

IV)

n =. lim

lim plan {t0 , P).

=

P-->0

P

~o

plan (0, P', P") (Plan osculateur de Alt).

P'.P"-->0

V)

n = lim plan (0, tp).

VI)

n =

P-->0

lim plan (P', P", P 111 ) (Plan osculateur de

MENGER}.

P'.P".P"'~

VII)

n =

VIII) n

=

lim plan (P', tp,).

P'.P 11 ----"?0

lim plan (tp,,

P 1 .P 11 ----:,.0

t~,) (t~,

est la droite par P', parallele a tp,).

Pour simplifier le langage nous parlerons du plan osculateur I, II, etc. Par exemple nous entendons sous ,!'existence du plan osculateur VI = n" que, etant donne 8 > 0, on peut trouver un voisinage V de 0 tel que pour chaque triplet de points P', P", P"' situes dans V et definissant un plan unique, ce plan fait un angle< 8 avec n. II se peut qu'il existe un voisinage V sur k du point 0 tel que chaque triplet de points distincts de V definit un plan. Dans ce cas nous dirons que le plan VI est defini avant la limite. De meme le plan osculateur V existe 1) Je remercie vivement M. le professeur RIDDER des remarques importantes par rapport aux notes presentes et a celles qui ont paru dans ces Proceedings A 54, p. 390-417 (1951).

42

et est defini avant la limite lorsqu'on peut trouver un voisinage ·V de 0 tel que, P etant un point quelconque =1=- 0 de V, la tangente tp neva pas par 0 et que le plan (0, tp) a une limite; etc. Remarquons que pour !'existence des plans III, V, VII et VIII nous exigeons que k possede dans un voisinage de 0 partout une tangente, tandis que pour !'existence du plan I !'existence de t0 est necessaire. II est clair sans aucune demonstration que !'existence du plan IV implique I'existence et l'identite du plan II, notation: IV -+ II. Egalement . on a VI-+ VII 1 ), VI-+ IV-+ V 1 ), VII-+ V, VII-+ I, II-+ I, si t0 existe et enfin VIII -+ III. · Par rapport aux implications IV-+ V et VII-+ V nous pouvons remarquer que si IV ou VII existe, il n'est pas possible que dans un voisin~tge de 0 la tangente tp contienne, le point 0. En e:ffet, dans c~ cas, la courbe serait un segment de droite. · Suppos~ns successivement que les pia~ I, II etc. existent a l'origine 0 de notre systenie d'axes etrecherchons ce qu'on peut dire de I'existence des autres plans osculateurs.

· 4. 2. Pian· oSculateur I. Supposons !'existence dU: plan I, qui entraine celle de t0 • On ne peut affirmer !'existence d'aucun des autres plans. Regardons d'abord la courbe

y = x\ z = x3 •

a

On a lim (yfx) = (zfx) = o, par suite t0 existe et est egale OX. Egalement on a lim (Y/?) =0, done le plan osculateur I existe et est egal a XOZ. En outre le plan est defini avant la limite, car tant que x =1=- 0, yet z sont =1=- 0. Deduisons une condition pour !'existence du plan IV. Le plan, determine par les points 0, P 1 (x1 , y1 , ~) et P 2 (x2 , y 2, Z:~) a une ]Unite, seulement si le vecteur · (4. 2, l)

~-~. :tf!·~-~~) (lt!-~, x1 x1 x1 x1 x 8 x1 x1 x1

a une limite ou · deux limites opposees. Alors le rapport (4. 2, 2)

+

a necessairement une limite bien definie, qui peut etre egale a 00 ou - 00 ou ± oo~ ~nversement si (4. 2, 2) a une telle limite on voit sans peine que le vecteur (4. 2, l) a Une lirtrite ou deux limites opposees. En e:ffet soit' X 0 la limite de (4. 2, 2). Posons

.. ~ 1)

'

Si tp existe dans un voisinage de 0.

43

Le premier membre de (4. 2, l) est egal On peut ecrire

Done (4. 2, l) ne peut avoir que deux limites

±

(Xo,l,O)

vxg+I

Par consequent nous avons le

Lemme .' Si une courbe k ou un ensemble quelconque possede la tangente OX, le plan osculateur IV existe si et seulement si ['expression (4. 2, 2) a une limite I), qui peut etre + = OU - =, lorsque XI et X 2 tendent Vers 0 2 ). Evidemment le plan II existe seulement si (4. 2; 2) a une limite 1 ) lorsque x1 et x2 tendent de part et d'autre vers 0. Dans notre exemple !'expression (4: 2, 2) devient 2+ X1x 2 + x22 _ x3 1 - x3 2 _ x1 2 2 xl- x2 xl x2

+

·F (.

)

XI, X2 •

Or, lorsqu' on pose x2 = 0 et x1 --+ 0, F(xv x2 } --+ 0. Lorsque on prend x1 > 0, x2 < 0, on peut faire F(x1 , . x 2 ) aussi grand qu' on veut, de sorte que lim F(xv x2 ) et le plan II n'existent pas. Car si F(xv x2 ) avait une limite pour x1 > 0, x 2 < 0, elle avalt cette meme limite, Sl l'on posait d'abord X2 = 0 et alors X 1 --+ 0. Par cons~quent les plans IV et VI n'existent pas non plus.

4, 2. l. . Un lemme, qui traite de !'existence du plan III et qui sera utile a l'ana:lyse de nos ex~mples, est le suivant: Si la courbe k{y = f(x), z = g(x)} a en 0 la tangente OX et que y' et z' existent dans un voisinage du point P, le plan osculC!teur III existe si et seulement si y' limz'

(y' = z' = 0 · exclu)

existe (+ =,- = et ± = etant admis). Cela est evident, car le plan (t0 , t~) est determine par le vecteur (0,-y', z') Vy'2 +z'2.

La demonstration est presque identique Considerons la courbe

y 1) 2)

=

.• x 3 sm xl , . z

=

x 2 ( x =j::. 0); y

=

a celle 0, z

=

du no. 4. 2.

0 pour x

=

0.

En negligeant les points, qui satisfont ·a y(x1) = y(x2) et z(x1) = z(x2) . . . xl x2 xl x2 Nous n'avons pas suppose, qu'on peut prendre x comme parametre.

44 On a y l m-= iz lm i y- =0, lim-= X X Z

ce qui entraine !'existence de t0 =OX et du plan I = XOZ. Mais le plan III et done a plus forte raison le plan VIII n'existe pas, car y'Jz' = 3/2 sin (1/x)- 1/2 cos (1/x) n'a pas une limite. 4. 22. Un lemme sur !'existence du plan V est le suivant: Si la courbe k{y = f(x), z = g(x)} possede en 0 une tangente = OX et si y' et z' existent dans un vpisinage de 0, le plan V existe si et seulement si

y'- .JL X lim - - existe (y'- .JL = , z

z-x

.

X

z'-..:.. = X

o~exclu)

1)

(la limite peut etre ± 00 ). Dans le cas de la courbe du no. 4. 21 on a:

Y ' - .JL X

2x2 sin..!.. - x cos_!._ X

X

- - = --------X I z

z -X

•

1 X

l

= 2 x sm- - cos -

x'

ce qui ne converge pas, si x -+ 0. Done le plan V et par consequent le plan VII n'existe pas. Remarquons que le plan I de la courbe du no. 4. 21 est defini avant la limite.

4: 23. Lorsque la courbe k possede une tangente ordinaire en 0 on peut bien deduire !'existence du plan II de celle du plan I, des qu'on sait que dans un voisinage de 0 pour deux points P 1 et P 2 , situes dans ce voisinage de part et d'autre de 0, le plan (0, P1 , P 2 ) ne contient pas la binormale en 0 2 ). Remarquons que nous n'avons pas suppose que yet z sont des fonctions de x. Prenons OX comme tangente et XOZ comme plan I. On a x1 > 0 et x2 < 0 (ou x1 < 0 et x2 > 0) si P 1 et P 2 sont situes de part et d'autre de 0 sur k, parce que t0 est ordinaire. On a d'apres nos suppositions (~/~)- (z2/x2) =F 0, si x1 > 0, x2 < 0 d!IDS un voisinage V du point 0. Prenons des points P 1(xt, yt, z!) et P 2 (x:, 'Ji:, z;) tels que xt > (), x: < 0 dans V et soit par exemple

(zt fx!)- (z; fx:J > o. Alors (zt* Jxt*) - (zf fx;) > 0, si xt* > 0, car sinon 1m pourrait trouver un x0 , tel que x0 > 0 et (z0 fx0 ) - (Z: jx;) = 0. De la meme maniere Voir le note (2) du no. 4. 21. Plus exactement: la binormale I, c.a.d. la droite par 0 perpendiculaire au plan I. 1)

2)

45

on a (zr*/xi*)- (z~*fxi*) (z1 fx 1 ) - (z2 /x2 ) > 0, si x1 Il en suit que

o<

> 0, six~*< 0. Par suite on a toujours l'inegalite > 0, x2 < 0. En particulier (z1 /x1 ) > 0, (z2 /x2 ) < 0.

1l! - '!111 :2._~

zl

xl

z21 x2

Car, si (z1 fx 1 ) = 0, on a z1 = 0, done y 1 = 0, parce que le plan I = XOZ. Si (1/x1 ) #- 0, (z 2 fx 2 ) #- 0, on a .

si x 1 et x 2 tendent vers 0. Done le plan II existe (no. 4. 2).

4. 3. Plan osculateur II. On a II--+ I, si t 0 existe mais !'existence de II n'implique celle d'aucun des autres plans osculateurs, meme si II est defini avant la limite. Considerons de nouveau la courbe du no. 4. 2, l. La droite OX est la tangente ordinaire en 0, en outre nous avons (z1 /x1 ) - (z2 /x2 ) = x1 -x2o:j::.O, si x1 #- x2 , d'ou on voit d'al:iord que le plan II et meme le plan IV est defini avant la limite. Ensuite on voit d'apres !'existence du plan I (voir 4. 2 l) et 4. 2 3 que le plan II existe. Selon 4. 2 l le plan III n'existe pas et le plan VIII non plus. On a '!11_11!

2___.:l

~-~ x2 xl

2

•

l

2

•

l

X., S i n - - X 1 Sin~

x2

x2

xl

-x~

Si cette expression aurait une limite, 2x sin (1/x)- cos (1/x) aurait cette limite 1 ), ce qui est impossible. Done les plans osculateurs IV et VI n'existent pas. Selon le no. 4. 2 2, V et VII n'existent pas non plus. ~ussi

4. 4. Plan osculateur III. Nous enon<;ons d'al)ord le theoreme: Lorsque la courbe k possede une .tangente ordinaire dans un voisinage du point 0 et si le plan osculateur I II existe et qu'il soil d(fini avant la limite, le plan I existe. 1)

On voit cela, en prenant x 1 = x, x 2 -+ x et ensuite x

-+

0.

46 Soit k* la projection de k sur le plan YOZ (en prenant XOZ .comme plan osculateur III) et soit P* la projection d'un point P de k. Le plan III etant defini. avant la limite, dans un voisinage du point 0 la tangente tp ne peut etre perpendiculaire a YOZ. Done k* a partout dans le voisinage de 0 une tangente, sauf peut etre en 0. Si XOZ n'est pas plan osculateur I de k, on peut trouver une suite {P,} de points, convergeant vers 0, telle que

1~::1 >

k> 0

(pour tous les n).

Done itgZOP!I

> k.

On peut trouver un point Q! entre 0 et P! sur k*, ou la tangente est parallele a OP!. Le plan passant par tZ" et perpendiculaire a YOZ contient la tangente tQ, et fait un angle= ZOP! avec XOZ. Done le plan passant par OX, qui est parallele a tQ,, fait un angle fPn avec XOZ, ou jtgrp,\ > k, ce qui est impos~ible.

4. 4 l. On ne peut pas omettre dans le theoreme du no. 4. 4la condition que III est defini avant la limite. Cela resulte de l'etude de la courbe

Jrp''(;)d;. X

z=x 3 sin! =rp(x),

y=

0

En regardant.lim rp'(x) = 0, on voit que la courbe est continue en 0, x-+0

en -outre lim (zfx) = lim (yfx) = 0, de sorte que OX est tangente en 0. On a lim (y' fz') = lim rp' (x) = 0, d'ou on conclut, en tenant compte du no. 4. 2 1 que le plan III existe. Mais (yfz) n'a pas de limite, done le plan I n'existe pas. En efiet, si sin (1/x) = o, (yfz) = ± oo (y etant toujours > 0). Mais, si sin (1/x) = 1, on a, si ; est le point de l'intervalle (0, x), ou rp(;) est maximal,

IJLz j <-

rp" (~) = ~2

(3; sin _!_ .

~

cos _!_) 2 ~

<

4

'

lorsque x est suffisamment petit. 4. 4 2.

Pour refuter !'implication III C' (x) = x (1

-+

+ x- sin (1/x)),

V nous posons C(O) = 0,

ce qui determine completement la fonction C. Nous definissons la fonction z par z = xC(x) et y par y' = x z' (x), y(O) = 0. D'apres le no. 4. 2 1 le plan III existe. Le plan V (et done

4;7

aussi IV, VI1, et VI) n'existe pas. Pour cela il suffit ·de demontter que lim

~x>O

(y' - JL) : (z' - . :._) X

X

~0

n'existe pas (voir le no. 4. 2 2). Nous remarquons que toujours C'(x) > 0, si x > 0, done C(x) et z'(x) sont > 0. Dans un voisinage de 0 on n'a jamais y'(x) = z'(x) = 0, si x:;t= 0, de sorte que III est defini avant ]a 1imite. On a: z' '--- (zjx) = z'- C = x. C' 1 ) et encore

I (x) Or, y

= f~

x z'dx

=

y'-yfx z'-zfx

=

xz-

x(z'-zfx)+z-yfx z'-zfx

H zdx, done

1 .,

I (x) = x +

.,

-Jzdx

x 0 · = x z'- ..:._

fzdx

+

x~ ,., {x) ~

X

=

x + F (x).

If suffit de demontrer que F(x) n'a pas de limite, pour des x positifs -+ 0. On a C'(x) < x (2 + x) < 3x, six < l. Par suite C(x) < i x 2 • On a 1 (2n+1)"

f 1

x sin (1/x) dx

<

0,

<

0.

i.

(2n+3)"

done sureinent: 1

(2n+1)"

f

0

,

x sin (1/x) dx

On en tire que 1 (2n+1l"

1 (2n+1)"

c(( 2n! 1)n) = J C' (x) dx > J x (1 + x) dx > l (( 2n! 1):rtr. .0

Le nombre

X

>

0

0 etant donne on peut trouver un nombre n, tel que 1

Alors

(2n+1):rt < C(x) > C((2n~1)n) > !

X

<

1 . 2n:rt • ·

((2n!1)nY > l x (2!:1r · 2

Lorsque x-+ 0, n-+ oo et lim (2nf2n + 1) = 1, de sorte que C(x) > fx2, si x est assez petit. Par consequent on a, si x est suffisamment petit

tx 2 < 1)

C(x) <

ix 2•

Done meme le plan V est defini avant la limite.

48

D'ou:

lfts x4 < J'" z dx < a/s x4. 0

Si x

=

1

( 4n+IHn,

C' (x) = x 2 , done F (x) >

~

~4

~

1

=

1 / 16 •

~ ~

Six= (4n+ 2 Jtn' C' = x(1 + x) > x, done F(x) <-;a= 3 f 8 x~ 0. Done F(x) n'a pas de limite. 4. 4 3. Un exemple ou III, defini avant la limite, n'implique pas II est la courbe y = x4, z = x 3 du no. 4. 2. Evidemment lim (y' fz') = 0, done III existe. y' = 4x3 c:j::. 0, si x c:j::. 0, par suite III est defini avant la limite. Mais d'apres le no. 4. 2, le plan II n'existe pas.

4. 4 4. Finalement donnons un exemple, ou III n'implique pas VIII. Commen<;OUS par le lemme suivant par rapport aI'existence du plan VIII. Soit k une courbe y = f(x), z = g(x) qui a OX comme tangente en 0. Si y' et z' existent dans un voisinage du point 0 et sant continues en 0, le plan VI I I existe s~ et seulement si (4.44,1)

lim y;-y~ z{ -z~

(y; - y~ =

z; -

z~

= 0 exclu)

existe ou est ± oo. On verifie cela facilement, vu que le plan par tp,, parallele a tp, est determine par les vecteurs (1, y;, z;) et (1, y~, z~). Si l'on ne demande pas que y' et z' soient continus en 0, la condition (4. 4 4, 1) est encore necessail'e. Posons

y =

J'" x

2

sin

! dx, z = l x

2•

0

Le plan III existe, comme lim (y' jz') = lim x sin (1/x) = 0. On a z;- z~ = x 1 - x 2 # 0, si x 1 # x2 , done III et VIII sont definis avant la limite. Mais (y"jz") = 2x sin (1/x)- cos (ljx) n'a pas de limite, si x ~ 0, done (4. 4 3, 1) ne peut pas converger (Cf. le no. 4. 3). 4. 5. Plan osculateur IV. On a IV~ II et IV~ V 1 ). Egalement I, si la tangente en 0 existe. Celle-ci n'existe pas necessairement, comme on peut voir dans le cas d'une courbe plane. IV n'implique pas III; meme, si les plans sont tous les deux definis avant la limite. Exemple: IV~

x = ta (2- sin (1/t)), y = t6 , z =If (2- sin (1/t)) (t c:j::. 0), X = y = On a 1)

(~/~)- (z 2 jx2 )

Z

= 0 (t = 0).

= t1 - t2 # 0, si t1 # t 2 , done IV est defini avant

Si la tangente existe dans un voisinage de Q.

49 la limite. Si t o:j::. 0, y' = 6t5 o:j::. 0, par suite III est aussi defini avant la limite. Considerons le rapport

~-'!!.!

Xt x 2 ~- ~ xl

t~

2-sin (lft1 )

=

~

2-sin (1/t2)

~-ta

_

-

3(2-sin (1/t)) t 2-t cos (1/t) (t t t t· t ) (2-sin (1/t))a en re 1 e s .

Xa

Le nwnerateur tend vers 0, le denominateur reste > 1, done le rapport tend vers 0 et le plan IV existe selo~ le Iemme du no. 4. 2. Dans ce cas le plan (t0 , tp) est determine par les vecteurs (1, 0, 0) et (x', y', z'), de sorte que, si ie plan III existe, le rapport (y' fz') a necessairement qne limite finie ou infinie. Or, 6t3

y'

Z'

=

4t (2-sin (1/t)) +cos (1ft)·

On voit que, si t --+ 0, le denominateur prend la valeur zero une infinite de fois, par consequent le rapport considere est CXJ. Mais lorsque cos (1/t) = 1, (y' fz') --+ 0, done lim (y' fz') n'existe pas. t-+0

4. 51. Dans l'exemple du no. 4. 5 on ne peut pas prendre x comme parametre. Cela est en rapport avec le theoreme suivant: Si la courbe y = f(x), z = g (x) a au point 0 la droite OX comme tangente, et que le plan osculateur IV existe, defini avant la limite, le plan III existe aussi et est defini avant la limite. Selon le no. 4. 2 on sait que (4.51,1) lorsque XOZ est le plan IV. En outre (z1 /x1 ) o:j::. (z2 /x2 ) si x1 o:j::. x2 1 ), de sorte que (zfx) est une fonction monotone de x, par exemple une fonction croissante. Supposons x>O, le cas x <0 se comporte de la meme maniere. Soit x1 > x2 > 0, alors Y1-y2 = zl-Za

I Xt1'l!-Xa1Jal zl-za

Done Y1-:-Ya = Zt-Z2

lxi(171-17a)+rJa(Xl-Xa)l xl(Ct-Ca)+Ca(xl-Xa)

<

l11a-17al + Ct-Ca

l!lJ_ Ca

=

~~~ + ~~~Ct-Ca

Ca

Or, d'apres (4. 51, 1) ce rapport tend vers 0. Cela veut dire que le plan par t0 , parallele a P 1 P 2 se limite vers XOZ, si le plan existe. Done surement le plan par t0 parallele a tl' tend vers XOZ, lorsqu'il existe. Ce dernier plan n'existerait pas si la tangente tp etait parallele a OX. Alors y' et z' existeraient 1)

2)

4

2)

et y' = z' = 0. Mais comme (zfx) est croissant

;! (zfx) > 0

Vu que les points (x1 , y 1 , z1 ) et (x2 , y 2 , z2 ) ne sont pas alignes. Cf. le no. 4. 9. Series A

50

ou z'x- z limite.

>

0, done z'

>

0, si x

>

0. Par suite III est defini avant la

4. 52. Une condition par rapport a !'existence du plan VII est Ia suivante: Le plan osculateur VII d'une courbe y = f(x), z = g(x), f et g etant des fonctions, qui admettent une derivee, continue au point 0, qui est = 0 en 0, dans un voisinage de 0, existe au point 0 si et seulement si (4.52,1) fXiste (Jl faut negliger les valeurs, satisfaisant

a

Si y' e,t z' ne sont pas continus en 0, la condition est encore necessaire. Considerons ensuite l'exemple: z = x C(x),

y = x 17(x),

c et 1]

etant des fonctions continues, determinees par

C(O)

0, C'(x)

=

x(2 +sin (1/x)) (x

=

>

0), C'(x) = - x(2 +sin (1/x)) (x = x C'(x).

<

0),

1](0) == 0, 17'(x)

Evidemment C'(x) > 0, sauf pour x = 0 et C'(O) = 0. Par consequent C(x) est une fonction croissante et le plan IV est defini avant la limite. Lorsque x1 > 0, x 2 > 0, on a 'YJ

(x1)-'YJ (x2)

'YJ 1

(x)

C(xl)-C (x2) = C' (x)

Done (4. 52, 2) On a le meme, quand x1 < x2 < 0. Lorsque x2 < 0 < Xv egalement C(x2) (x2) I < IC(x(x11)-C (x2) 'YJ

)-'YJ

<

I'YJ (xl) I + I'YJ (x2) I < C(xl)-C (x2)

0

<

C(x!) d'ou

IC(xl) (xl) I + I (x2) 1-+ 0. C(x2) 'YJ

'YJ

D'apres le no. 4. 2 le plan IV existe et = XOZ. Pour demontrer que VII n'existe pas, il suffit de faire voir que (4. 52, 1) n'a pas de limite. On a d'apres la formule de TAYLOR

z1,

-

2 ( , z2 -z1 = -x1 ~x 2 - z1

--

x2-xl

+ s (x1

-

x 2 )) ,

lim s (x1 - x2 ) = 0. Par suite le rapport (4. 52, 1) est egal

a

51

Si (4. 52, 1) avait une limite L, on aurait lim [lim Xt..-.-.-70

Y;~+~] =lim (y"fz") =. L,

Xz~X1 zl

+

E

Xc·~O

pour chaque valuer x, tel que z" =;!:::- 0. En posant x1 = 0 dans (4. 52, 1), il vient L = 0 de sorte que (4. 52, 3)

.

y"

hmz;;

=

0.

Mais z" = xC" + 2( = ± {3x(2 +sin (1/x)) -cos (1/x)}, d'ou l'on voit facilement qu'il existe une suite xn-+ 0, telle que z"(xn) = 0. Pour x = Xm y" = xz" + r/ = rj' = x( > 0. Cela veut dire que (4. 52, 3) est impossible. On pourrait affirmer que

n'existe pas, de sorte que le plan VIII n'existe pas. L'exemple du no. 4. 5 montre aussi que IV n'implique pas VIII.