Sur l'analogie formelle des équations de Maxwell et des équations de Dirac à masse nulle

Nuclear Physics 57 (1964) 351--355; (~) North-Holland Publishing Co., Amsterdam Not to

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SUR L ' A N A L O G I E F O R M E L L E DES I~QUATIONS DE MAXWELL ET DES I~QUATIONS DE DIRAC ,,k MASSE N U L L E J. SERPE

Service de Physique mathdmatique de l'Universitd de Liege 1, Liege, Belgium Requ le 18 avril 1964 Abstract: A formulation of Maxwell equations, analogous to Moses formulation x), but using true Dirac matrices, is considered. It is shown how the transformation of the wave function ensuring the invariance of Maxwell theory for the Lorentz group is related to the transformation of a Dirac spinor.

1. Introduction De nombreux travaux ont 6t6 consacr~s ~t la parent6 existant entre les 6quations de Maxwell et celles de Dirac (pour m = 0). En particulier, Moses 1) a 6erit les &tuations de Maxwell sous une forme qui, pour un champ pur, se r&luit ~t + ~" grad ¢ = 0,

(1)

lorsqu'on pose 0 H1 - iE1

~1.~

H2_iE2

(2)

H3-ie~ --

n'l =

0 O0 0 , 0

0

0

i

~2

= --

0

0

i

0

0

0

--i

0

0

0--i

~3=

--

0

i

0

0

0

0

0

(3)

Les matrices hermitiennes ~(i = 1, 2, 3) satisfont aux relations cz~as+~s0c~ = 25 q,

(4)

0~10~20~3 = i.

(5)

Moses indique la Ioi de transformation de ~ qui assure rinvariance des &luations de Maxwell pour le groupe de Lorentz. En particulier,pour les transformations propres de Lorentz, ~k se transforme suivant une Ioi lin6aire ¢ ' = S~k, t 15, Avenue des Tilleuls, Liege, Belgique. 351

(6)

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J. SERPE

off S est une matrice, 5. quatre lignes et colonnes, tr6s diff6rente de la matrice de transformation qui intervient en th6orie de Dirac. A premiere vue, ce fait peut para~tre surprenant. II s'explique cependant si l'on tient compte du fait, not~ ult6rieurement par Moses 2), que les matrices (3) ne constituent pas une repr6sentation de matrices de Dirac, car il ne serait pas possible de leur adjoindre une matrice suppl6mentaire fl telle que les relations (4) soient valables pour les quatre matrices. La loi de transformation indiqu~e par Moses continue d'assurer l'invariance des 6quations (1) lorsque, au lieu d'annuler la premi&e composante de ~k, on la remplace par . ~ + i5 a, off ~ et 5p sont deux grandeurs r6eiles, dont la premi&e se transforme comme un pseudoscalaire et la seconde comme un scalaire. Posant F = H-iE,

(7)

Fo = : ~ + i S # ,

les 6quations (1) s'6crivent alors sous la forme d'6quations de Maxwell g6n6ralis6es, 5. savoir: rot F - i/~ = - i grad F o,

(8)

div F = /~o. Les 6quations (8) ont d6j5. 6t6 consid6rdes 3). Elles se confondent avec les ~quations que Fermi 4) a raises 5. la base de la th6orie quantique du champ 61ectromagn6tique, lorsqu'on consid~re F o comme une grandeur purement imaginaire. Dans la suite, ce sont les ,,6quations de Maxwell" (8) que nous allons consid6rer, 6tant entendu que les 6quations de Maxwell au sens strict sont obtenues des pr6c& dentes moyennant l'adjonction de la condition invariante Fo = 0.

(9)

Nous 6crirons ces 6quations sous la forme (I), mais enutilisant de vraies matrices de Dirac, et &ablirons les propri6t6s de transformation de ~ pour les changements de coordonn6es de Lorentz.

2. Les l~quations de Maxwell &rites sous Forme d'l~quations de Dirae

Adoptons, pour fixer les idles, la repr6sentation usuelle des matrices de Dirac, soit

51

5 3

=

0 0 0 1

0 0 I 0

=

0 0 0 0 1 0 0-1

0 1 0 0

1 0 0 ' 0

1 0 0-1 0 0 ' 0 0

5 2

=

0 0 0 0 0 -i i 0 ~1 0 0 0

0 --it i 0! 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0--1 0 0 0--1

(1o)

ANALOGIE DES ~QUATIOr~S DE MAXWELL ET DE DIRAC

353

Les 6quations (8) de Maxwell prennent la forme (1) lorsqu'on pose t

Fo+Fo-Y3 +F3

~+iE3 p

+ F~-iF z +iF 2 = ½ _F3_F3+Fo_Fo

- H1 - iHz

- F I - F1 - iF2 - iF2

-E 2 +iE~ =

_H3+iS

-F~

(11)

la notation _F 6tant utilis6e, ici et dans la suite, pour d6signer la grandeur complexe conjugu6e de F. Les ~ figurant clans le syst~me (1) 6tant maintenant des matrices de Dirac, il est clair qu'une transformation lin6aire de ~, du type (6), ne peut assurer l'invariance des 6quations (1) pour les transformations de Lorentz que si l'on choisit, comme matrice S, celle qu'on utilise en th6orie de Dirac. Mais, malgr6 le degr6 d'arbitraire qui affecte cette matrice dans le cas d'une masse nulle, il n'est pas possible de pr6server ainsi la forme des 6quations de Maxwell, h moins d'abandonner la correspondance (11) dans le syst~me de coordonn6es transform6es, proc6d6 analogue b. celui que consid6rent Sachs et Schwebel s) dans une de leurs formulations. On peut cependant assurer b. la fois l'invariance de la th6orie et le maintien de (11), ~t condition de substituer h la loi de transformation (6) de ¢ u n e loi non lin6aire qui, conmae nous allons le voir, est 6troitement apparent6e ~t la transformation habituellement consid6r6e en th6orie de Dirac. 3. La Loi de Transformation de ~,

Dans ce qui suit, nous d6signons par S la matrice qui, en th6orie usuelle de Dirac (pour m # 0), intervient dans la loi de transformation ~k' = SO associ6e aux changements de coordonn6es de Lorentz. La seule possibilit6 qui se pr6sente pour g6n6raliser cette loi de transformation est bas6e sur deux faits: d'une part, la masse est ici 6gale b. z6ro (invariance ~5) et, d'autre part, on sait que le conjugu6 de ~ par rapport ~. la charge, c'est-h-dire ~kc= Cff, (12) off C est la matrice de conjugaison, satisfait 5. la mSme 6quation (1) que ~b. Ainsi, on peut envisager de remplacer la loi de transformation ~b' = S~k par

~ ' = (~ + ~'r~)s~ + (,1 +,7'~s)cgiL

(13)

06 ),s = i~l~t2~3 et off ~, ~', r/, r/' sont des coefficients, jusqu'ici arbitraires, mais qui pourront &re d&ermin6s de fagon b. pr6server la relation (11). En utilisant les lois de transformation de ~k, C, S, Vs, associ6es ~t un changement de repr6sentation des matrices de Dirac, on peut v6rifier sans difficult6 que les valeurs des coefficients 4, ~', r/, ~/' peuvent &re choisies ind6pendamment de la repr6sentation particuli/~re adopt6e; ces valeurs ne d6pendront que du changement de coordonn6es consid6r6. t Dans la r6f. 8) et (pour 3~ = SP = 0) dans la r6f. s), cette correspondance est exprim~ h l'aide d'une autre repr6sentation.

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J. SERPE

Dans ce qui suit, nous utiliserons explicitement la repr6sentation (10) et nous d6terminerons d'abord les valeurs des coefficients associ6es ~t la transformation de Lorentz qui fair passer d'un syst~me d'axes ~t un autre de m~me orientation mais anim~ par rapport au premier, d ' u n mouvement de translation de vitesse t~ dirig6e suivant Oxx, l'extension au cas d'une autre direction de v se faisant sans difficult6. Le changement de coordonn6es consider6 s'exprime par t (14)

x'~ = ~ . a # , x , , v

o/l les seuls coefficients non nuls ont les valeurs ci-dessous: a l l ----a44 ----cosh Z, aa4.. = - a , u = i sinh Z,

(15)

a22 = a33 -- 1; X = arc tgh v. A c e changement de coordonn6es on peut associer, en th60rie de Dirac, la matrice de transformation de ~k: S = cosh½x-cdsinh½z.

(16)

D'autre part, dans la repr6semation (10), la matrice de conjugaison C peut 8tre 6crite (17)

C = -ict2fl.

Nous exprimerons que les grandeurs f~, se transforment comme les composantes d'un tenseur, c'est4t-dire suivant la loi (18)

f~v = ~. aupa,,fp,, p~U

tandis que ,9,' et ~ se transforment suivant

Sa' = S/'; ~ ' = ~ d6t Ilau, ll

-- .~.

(19)

Tenant alors compte de la validit~ de la correspondance (11) dans chacun des deux syst~mes de eoordonn~es, on peut r6~rire (18) et (19) sous la for-me d'une loi de transformation des composantes de ~,. Les composantes transform6es s'exprimeront sous forme de combinaisons lin6aires des anciennes composantes et de leurs complexes conjugu6es. Un calcul simple permet d'6crire la loi de transformation sous la forme tt (13), o/~ =cosh½x,

r/=sinh½x,

~'=r/'=0.

(20)

Dans le cas d'une rotation pure d'angle to autour de Oxx, le meme proc~d6 conduit ~t = cos ½to,

r/ = 0,

~' = 0,

r/' = - i s i n ½ t o ,

t On pose c = 1, x4 = i t ; f ~ = --f~l = 1t3 . . . . ;f14 = --f41 = --lEa . . . . . tt Dans le eas particulier eonsid6r6 ici, on a 6videmment S = S.

(21)

A N A L O G I E DES ~,QUATION$ D E M A X W E L L

ET D e D I R A C

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lorsqu'on adopte l'expression usuelle de S, soit: S = cos ½co- ~2 0~3 sin ½¢o.

(22)

Pour l'inversion spatiale x~ = - x ~ (i = 1, 2, 3), on obtient:

~= -1,

~=~'=~'=0,

s=#.

(23)

Pour l'inversion temporelle, on trouve = ~/ = O,

~' = - 1 ,

~/' ----- O,

S ---- - - i f l o t l ~ t 2 ~ 3 ---- T I y 2 T 3 .

R~f~rences 1) 2) 3) 4)

H. E. Moses, Nuovo Cim. Suppl. 7 (1958) 1 J. S. Lomont, Phys. Rev. 111 (1958) 1710 F. Bureau, Bull. Acad. Roy. Belg. 35 (1949) 104 E. Fermi, Rend. R. Acad. Lincei (Sc. fis. mat. nat.) 9 (1929) 881; Rev. Mod. Phys. 4 (1932) 87 5) M. Sachs et S. L. Schwebel. J. Math. Phys. 3 (1962) 843

(24)