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Sur une propriété du groupe topologique additif des nombres réels
MATHEMATICS
SUR UNE PROPRIETE DU GROUPE TOPOLOGIQUE ADDITIF DES NOMBRES REELS PAR
A. F. MONNA (Communicated by Prof. \V.
VAN DER vVOUDE
at the meeting of March 26, 1955)
§ I. Dans un de ses livres concernant la topologie generale BouRBAKI montre le theoreme suivant 1 ): Un groupe topologique G, dans lequel il existe un voisinage de l'element neutre e homeomorphe a un intervalle ouvert du groupe topologique additif des nombres reels R, est localement isomorphe a R. Dans ce qui suit nous donnons une autre demonstration de cette propriete, basee sur la mesure de HAAR dans les groupes topologiques localement compacts. II y aura lieu de discuter la question de l'unicite de cet isomorphisme local. On verra que, ayant fixe une mesure de HAAR, deux isomorphismes locaux y correspondent, de sorte que, la mesure de HAAR n'etant determinee qu'a un facteur constant pres, il y a une infinite denombrable d'isomorphismes locaux. Pour quelques points de notre demonstration on peut suivre celle de BouRBAKI. Nous ne repetons pas ces demonstrations; pour ces points on verra le livre de BouRBAKI. La relation entre les deux methodes de demonstration sera consideree dans le § 6. § 2. Soient G un groupe topologique, note multiplicativement et non necessairement ·commutatif, et U un voisinage ouvert de e homeomorphe a I'intervalle ouvert A de R. L'application de U sur A sera designee par cp. Les elements de G seront designes par x, y, z, x0 , x1 etc.; des nombres reels par a, b, c, ao etc. Sur les points suivants nous suivons BouRBAKI. I. A est un ensemble totalement ordonne. Au moyen de !'application cp-1 on peut transporter a u cette relation d'ordre totale. 2. En vertu de la relation d'ordre et puisqu'il s'agit d'un homeomorphisme les ensembles des elements z, pour x et y arbitraire et fixe dans U satisfaisant a x
296 3. Il existe un intervalle symetrique ouvert V, contenant e, tel que 1° v. V C U, en particulier V C U; 2° si x,y,zE V, la relation x
xze; de meme par V _ l' ensemble des elements de V tels que X< e. 4. a) v+ n'est pas vide et n'a pas de plus petit element. b) Quels que soient x et y de V + tels que x < y, il existe z E V + tel que xz=y. c) Toute suite croissante d'elements de V +' majoree par un element de V +' admet une borne superieure dans V +· d) Quel que soit x E V+' il existe pour tout entier n > 0 un element y E V+ tel que Les proprietes a), b) et c) entrainent l'Axiome d'Archimede: e) Quels que soient x et y de V +' il existe un entier n > 0 tel que
x">y. f) Quels que soient x et y de V +' il existe un plus grand entier n > 0 tel que y"'
Remarque. Quelques unes de ces proprietes de V + sont enoncees par dans son theorie concernant la mesure des grandeurs, comme des axiomes. 2)
BoURBAKI,
§ 3. La consideration suivante conduit a la possibilite d'appliquer !'existence d'une mesure de HAAR sur tout groupe topologique localement compact. L'homeomorphisme de U et A entraine que le groupe G est localement compact. En effet, soit w un voisinage borne ferme (intervalle ferme) de e=
est un voisinage ferme, et aussi compact, dee contenu dans U. L'element neutre e de G a done un voisinage ferme compact, d'ou il suit que G est localement compact. Remarquons maintenant qu'on aurait pu donner les considerations du § 2 si, au lieu de U, on avait pris comme point de depart le voisinage ouvert de e forme par les points interieurs de w. Nous supposons done ceci et ce voisinage ouvert sera appele de nouveau U. Comme dans le § 2 on peut construire alors l'intervalle ouvert symetrique V. On sait maintenant que tout intervalle ferme dans V est compact. 2)
Voir BouRBAKI, p. 8 et s.
297
Soit p, une mesure de HAAR sur G; le facteur constant arbitraire dans cette mesure est done suppose fixe. Dans ce qui suit nos considerations se rapportent a l'intervalle ouvert V. On a les proprietes suivantes. l. Pour tout ensemble {x }, forme par un seul element x, on a ,u({x})=O.
C'est une consequence de l'invariance de la mesure par rapport a la multiplication par un element quelconque de G et la propriete generale de la mesure d'etre finie pour tout ensemble compact. 2. Chaque intervalle ferme dans V est mesurable, etant un ensemble compact. La mesure d'un tel intervalle est finie et =1= 0. C' est une consequence de la compacite que cette mesure est finie. Supposons ensuite qu'il existait un intervalle ferme (x, y) avec x
Etant donne x
E
V +• designons par 1, l'intervalle e
Etant donne x
E
V _, designons par 1: l'intervalle x
En partant de la mesure de reelles suivantes:
HAAR
p,, definions alors les deux fonctions
F(x) = ,u(Ix) pour x E V + F(e)=O F(x)= -F(x-1 ) pour X E
~
·
v_ ~
F*(x) = ,u(I:) pour X E V_ F*( e)= 0 F*(x)= -F*(x-1 ) pour X E V+
l ~
Ces fonctions sont des applications de V dans R. II s'agit de montrer que chacune de ces applications est un isomorphisme local de G dans R. Considerations d'abord F(x). l.
F(x)>O pour F(x)
X
E
X
E
v+
v_
Cela resulte immediatement de la definition de F(x) au moyen de la propriete 2, § 3. 2. F(x) est une fonction strictement croissante, c'est a dire x
298
Considerons le cas e < x < y; l'in6galite est alors une consequence des proprietes 1 et 2 du § 3. En effet, on a F(y)- F(x) = p,(I11 ) - p,(lre) = p,(111 - Ire)> 0.
On montre la propriete en general en examinant les divers cas possibles. Consequence. L'application par F de V dans R est biunivoque. 3. Quels que soient x, y E V tels que xy E V, on a F(xy) = F(x) + F(y).
Supposons d'abord qu'on a de plus x E V +• y E V +· Les relations x>e, y>e entrainent en vertu de la propriete 3, § 2, xy>x>e de sorte qu' aussi xy E V +· Appliquons maintenant l'additivite de la mesure pour les intervalles (ex), (x, xy) et (e, xy). Cela donne p,(lre) + p,((x, xy)) = p,(lre11 ),
done en vertu de l'invariance de la mesure p,(lre)+p,((e, x-1 xy))=p,(lre11 ).
En se rappelant la definition de F(x) on a done F(x) + F(y) = F(xy).
On acheve la demonstration en examinant les divers cas possibles. 4. Pour determiner l'image F( V) de V dans R on peut suivre la methode de BouRBAKI. D'abord on considere F( V +). En utilisant les diverses proprietes du numero 4, § 2, et la relation fonctionnelle du numero precedent, on montre comme chez BouRBAKI que, etant donne x0 E V +• F(V+) est dense par rapport a l'intervalle ferme [0, F(x0 )] 3 ). Ensuite on montre que F( V +) est un intervalle avec 0 comme point frontiere. En tenant compte de la definition de F(x) sur V _, on voit que F(V) est un intervalle ayant 0 comme point interieur. 5. On demontre que !'application de V sur l'intervalle du numero precedent est bicontinue et est done un homeomorphisme. Enfin on montre que F, restreint a un voisinage convenable de e, est un isomorphisme local de G a R. 6. Il nous reste a considerer la fonction F*(x). On peut, pour cela, proceder de la meme fac;on. F*(x) est une fonction decroissante et donne aussi un isomorphisme local de G a R. On voit aisement qu'on a les relations suivantes entre F et F* : F(x) = - F*(x), F(x) = F*(x-1 ).
§ 5. HAAR,
Dans ce qui precede on a construit, etant donnee une mesure de deux isomorphismes locaux de G a R. Puisque la mesure de HAAR
3) Voir BoURBAKI, p. 11. Remarquons que dans la demonstration donnee la, il n'est pas essential que f(a)=l. Il suffit de remarquer, dans cette demonstration,. que /(a) a une valeur positive constante.
299 n'est determinee qu'a un facteur constant pres, on trouve ainsi deux systemes infinis d'isomorphismes locaux. La question se pose si on peut obtenir ainsi tousles isomorphismes locaux de GaR. On a done le probleme suivant. Soit G un groupe multiplicatif avec la propriete du debut du § 2. D'apres ce qui precede l'ensemble des isomorphismes locaux de G a R n'est pas vide. Soit "Pun isomorphisme local de GaR. II s'agit de montrer qu'on peut determiner le facteur constant dans la mesure de HAAR sur G tel que "P est identique a un des deux isomorphismes locaux qui correspondent, selon la methode des paragraphes precedents, a cette valeur du facteur. Soit, pour cela, F(x) un isomorphisme local correspondant ala mesure de HAAR fl· Considerons la fonction x(a)="P(F-1 (a)).
Cette fonction, qui est definie dans un voisinage convenable A du nombre 0 dans R, donne une application de ce voisinage dans R. Cette application est evidemment continue. Puis on a "P(F-1 (a+b))="P(F-1 (a) F-l(b))= ="P(F-1 (a)) +"P(F-1 (b)),
done (1)
x(a+ b)= x(a) + x(b),
chaque fois que a, bet a+b appartiennent a A 4 ). Selon un theoreme de BouRBAKI on peut prolonger cette application a une application continue x1 de R entier dans R qui satisfait a la relation (1) 5 ). La forme generale de ces applications est connue 6 ). On a XI(a)=.A.a,
ou A. est une constante reelle. Puisque x et A, on a done "P( F-1 ( a))= A.a. ll s'ensuit
x1 ont les
memes valeurs sur
done F(x)=a ~
1jJ(X)=Aa)
dans un voisinage convenable de e. On a done 1jJ(X) = .A.F(x). 4) La relation fonctionnelle pour F- 1 , qu'onautilisee ici, est une simple consequence de la relation fonctionnelle pour F et la biunivocite de !'application. 5 ) Voir BoURBAKI, p. 5. On y trouve le theoreme par rapport a un groupe note multiplicativement, de sorte qu'il faut transposer le theoreme a un groupe additif afin de pouvoir l'appliquer. · 6) Voir BoURBAKI, p. 3.
300 Il faut distinguer deux cas: 1° Si .1.>0, on voit que tp(x) correspond 2° Soit A.< 0. Il suit de la relation
a la
mesure de
HAAR
Aft.
F(x) = - F*(x)
qui existe entre les deux ismorphismes locaux appartenant a une meme mesure f-l, que tp(x) correspond a la mesure 1.1.1 f-l· On a ainsi demontre qu'on peut obtenir tousles isomorphismes locaux de G a R a l'aide des mesures de HAAR sur G.
§ 6. Par la methode de construire l'isomorphisme local de G a R, donnee dans ce qui precede, on evite les demonstrations d'existence de BouRBAKI, utilisees par lui dans le chapitre "Mesure des grandeurs". Cependant, il faut remarquer que nous avons deplace la difficulte, parce que notre demonstration repose essentiellement sur I'existence de la mesure de HAAR sur tout groupe topologique localement compact. La relation entre les deux demonstrations va en deux directions. En considerant l'isomorphisme local de G a R montre selon la methode de BoURBAKI, on peut montrer sans peine qu'il s'ensuit !'existence d'une mesure de HAAR sur tout groupe G qui satisfait a la condition posee au debut de cet article, a savoir !'existence d'un voisinage de e homeomorphe a un intervalle ouvert de R. Pour cela il suffit de repeter les considerations precedentes dans la direction inverse. A l'aide de l'isomorphisme local F, maintenant donne, defini dans un voisinage convenable V de e, on transporte l'ordre total de R a V par la definition si et seulement si
x
F(x)
Par cela F(x) devient dans V une fonction strictement croissante. En posant f-t((x, y))=F(y)-F(x)
(x
E
V)
on a defini une fonction d'intervalles dans V, dont on montre qu'elle est additive et possede la propriete d'invariance de la mesure de HAAR. Utilisant que G est un groupe, on prolonge cette fonction a une fonction d'intervalles sur G, avec conservation de ces proprietes. D'une fa9on connue on peut construire alors une mesure sur G, qui est la mesure de HAAR.
§ 7. Mentionnons que c'est une consequence du theoreme qui fait l'objet de cet article , que le groupe multiplicatif R~ des nombres reels > 0 est isomorphe au groupe additif R. C'est cet isomorphisme que BouRBAKI prend comme base pour sa definition de la fonction logarithmique. Il sera clair. que le chemin, suivi dans ce qui precede pour montrer le theoreme de BOURBAKI a l'aide de la mesure de HAAR, conduit a une definition de la fonction logarithmique, basee sur !'existence de la mesure de HAAR sur R~. Nous renvoyons pour cela a un article, publie ailleurs 7 ). 7) A. F. 1954/55).
MONNA.
De invoering van de logarithme. Euclides, p. 88-96 (Groningen,
SUR UNE PROPRIETE DU GROUPE TOPOLOGIQUE ADDITIF DES NOMBRES REELS PAR
A. F. MONNA (Communicated by Prof. \V.
VAN DER vVOUDE
at the meeting of March 26, 1955)
§ I. Dans un de ses livres concernant la topologie generale BouRBAKI montre le theoreme suivant 1 ): Un groupe topologique G, dans lequel il existe un voisinage de l'element neutre e homeomorphe a un intervalle ouvert du groupe topologique additif des nombres reels R, est localement isomorphe a R. Dans ce qui suit nous donnons une autre demonstration de cette propriete, basee sur la mesure de HAAR dans les groupes topologiques localement compacts. II y aura lieu de discuter la question de l'unicite de cet isomorphisme local. On verra que, ayant fixe une mesure de HAAR, deux isomorphismes locaux y correspondent, de sorte que, la mesure de HAAR n'etant determinee qu'a un facteur constant pres, il y a une infinite denombrable d'isomorphismes locaux. Pour quelques points de notre demonstration on peut suivre celle de BouRBAKI. Nous ne repetons pas ces demonstrations; pour ces points on verra le livre de BouRBAKI. La relation entre les deux methodes de demonstration sera consideree dans le § 6. § 2. Soient G un groupe topologique, note multiplicativement et non necessairement ·commutatif, et U un voisinage ouvert de e homeomorphe a I'intervalle ouvert A de R. L'application de U sur A sera designee par cp. Les elements de G seront designes par x, y, z, x0 , x1 etc.; des nombres reels par a, b, c, ao etc. Sur les points suivants nous suivons BouRBAKI. I. A est un ensemble totalement ordonne. Au moyen de !'application cp-1 on peut transporter a u cette relation d'ordre totale. 2. En vertu de la relation d'ordre et puisqu'il s'agit d'un homeomorphisme les ensembles des elements z, pour x et y arbitraire et fixe dans U satisfaisant a x
296 3. Il existe un intervalle symetrique ouvert V, contenant e, tel que 1° v. V C U, en particulier V C U; 2° si x,y,zE V, la relation x
xz
x">y. f) Quels que soient x et y de V +' il existe un plus grand entier n > 0 tel que y"'
Remarque. Quelques unes de ces proprietes de V + sont enoncees par dans son theorie concernant la mesure des grandeurs, comme des axiomes. 2)
BoURBAKI,
§ 3. La consideration suivante conduit a la possibilite d'appliquer !'existence d'une mesure de HAAR sur tout groupe topologique localement compact. L'homeomorphisme de U et A entraine que le groupe G est localement compact. En effet, soit w un voisinage borne ferme (intervalle ferme) de e=
est un voisinage ferme, et aussi compact, dee contenu dans U. L'element neutre e de G a done un voisinage ferme compact, d'ou il suit que G est localement compact. Remarquons maintenant qu'on aurait pu donner les considerations du § 2 si, au lieu de U, on avait pris comme point de depart le voisinage ouvert de e forme par les points interieurs de w. Nous supposons done ceci et ce voisinage ouvert sera appele de nouveau U. Comme dans le § 2 on peut construire alors l'intervalle ouvert symetrique V. On sait maintenant que tout intervalle ferme dans V est compact. 2)
Voir BouRBAKI, p. 8 et s.
297
Soit p, une mesure de HAAR sur G; le facteur constant arbitraire dans cette mesure est done suppose fixe. Dans ce qui suit nos considerations se rapportent a l'intervalle ouvert V. On a les proprietes suivantes. l. Pour tout ensemble {x }, forme par un seul element x, on a ,u({x})=O.
C'est une consequence de l'invariance de la mesure par rapport a la multiplication par un element quelconque de G et la propriete generale de la mesure d'etre finie pour tout ensemble compact. 2. Chaque intervalle ferme dans V est mesurable, etant un ensemble compact. La mesure d'un tel intervalle est finie et =1= 0. C' est une consequence de la compacite que cette mesure est finie. Supposons ensuite qu'il existait un intervalle ferme (x, y) avec x
Etant donne x
E
V +• designons par 1, l'intervalle e
Etant donne x
E
V _, designons par 1: l'intervalle x
En partant de la mesure de reelles suivantes:
HAAR
p,, definions alors les deux fonctions
F(x) = ,u(Ix) pour x E V + F(e)=O F(x)= -F(x-1 ) pour X E
~
·
v_ ~
F*(x) = ,u(I:) pour X E V_ F*( e)= 0 F*(x)= -F*(x-1 ) pour X E V+
l ~
Ces fonctions sont des applications de V dans R. II s'agit de montrer que chacune de ces applications est un isomorphisme local de G dans R. Considerations d'abord F(x). l.
F(x)>O pour F(x)
X
E
X
E
v+
v_
Cela resulte immediatement de la definition de F(x) au moyen de la propriete 2, § 3. 2. F(x) est une fonction strictement croissante, c'est a dire x
298
Considerons le cas e < x < y; l'in6galite est alors une consequence des proprietes 1 et 2 du § 3. En effet, on a F(y)- F(x) = p,(I11 ) - p,(lre) = p,(111 - Ire)> 0.
On montre la propriete en general en examinant les divers cas possibles. Consequence. L'application par F de V dans R est biunivoque. 3. Quels que soient x, y E V tels que xy E V, on a F(xy) = F(x) + F(y).
Supposons d'abord qu'on a de plus x E V +• y E V +· Les relations x>e, y>e entrainent en vertu de la propriete 3, § 2, xy>x>e de sorte qu' aussi xy E V +· Appliquons maintenant l'additivite de la mesure pour les intervalles (ex), (x, xy) et (e, xy). Cela donne p,(lre) + p,((x, xy)) = p,(lre11 ),
done en vertu de l'invariance de la mesure p,(lre)+p,((e, x-1 xy))=p,(lre11 ).
En se rappelant la definition de F(x) on a done F(x) + F(y) = F(xy).
On acheve la demonstration en examinant les divers cas possibles. 4. Pour determiner l'image F( V) de V dans R on peut suivre la methode de BouRBAKI. D'abord on considere F( V +). En utilisant les diverses proprietes du numero 4, § 2, et la relation fonctionnelle du numero precedent, on montre comme chez BouRBAKI que, etant donne x0 E V +• F(V+) est dense par rapport a l'intervalle ferme [0, F(x0 )] 3 ). Ensuite on montre que F( V +) est un intervalle avec 0 comme point frontiere. En tenant compte de la definition de F(x) sur V _, on voit que F(V) est un intervalle ayant 0 comme point interieur. 5. On demontre que !'application de V sur l'intervalle du numero precedent est bicontinue et est done un homeomorphisme. Enfin on montre que F, restreint a un voisinage convenable de e, est un isomorphisme local de G a R. 6. Il nous reste a considerer la fonction F*(x). On peut, pour cela, proceder de la meme fac;on. F*(x) est une fonction decroissante et donne aussi un isomorphisme local de G a R. On voit aisement qu'on a les relations suivantes entre F et F* : F(x) = - F*(x), F(x) = F*(x-1 ).
§ 5. HAAR,
Dans ce qui precede on a construit, etant donnee une mesure de deux isomorphismes locaux de G a R. Puisque la mesure de HAAR
3) Voir BoURBAKI, p. 11. Remarquons que dans la demonstration donnee la, il n'est pas essential que f(a)=l. Il suffit de remarquer, dans cette demonstration,. que /(a) a une valeur positive constante.
299 n'est determinee qu'a un facteur constant pres, on trouve ainsi deux systemes infinis d'isomorphismes locaux. La question se pose si on peut obtenir ainsi tousles isomorphismes locaux de GaR. On a done le probleme suivant. Soit G un groupe multiplicatif avec la propriete du debut du § 2. D'apres ce qui precede l'ensemble des isomorphismes locaux de G a R n'est pas vide. Soit "Pun isomorphisme local de GaR. II s'agit de montrer qu'on peut determiner le facteur constant dans la mesure de HAAR sur G tel que "P est identique a un des deux isomorphismes locaux qui correspondent, selon la methode des paragraphes precedents, a cette valeur du facteur. Soit, pour cela, F(x) un isomorphisme local correspondant ala mesure de HAAR fl· Considerons la fonction x(a)="P(F-1 (a)).
Cette fonction, qui est definie dans un voisinage convenable A du nombre 0 dans R, donne une application de ce voisinage dans R. Cette application est evidemment continue. Puis on a "P(F-1 (a+b))="P(F-1 (a) F-l(b))= ="P(F-1 (a)) +"P(F-1 (b)),
done (1)
x(a+ b)= x(a) + x(b),
chaque fois que a, bet a+b appartiennent a A 4 ). Selon un theoreme de BouRBAKI on peut prolonger cette application a une application continue x1 de R entier dans R qui satisfait a la relation (1) 5 ). La forme generale de ces applications est connue 6 ). On a XI(a)=.A.a,
ou A. est une constante reelle. Puisque x et A, on a done "P( F-1 ( a))= A.a. ll s'ensuit
x1 ont les
memes valeurs sur
done F(x)=a ~
1jJ(X)=Aa)
dans un voisinage convenable de e. On a done 1jJ(X) = .A.F(x). 4) La relation fonctionnelle pour F- 1 , qu'onautilisee ici, est une simple consequence de la relation fonctionnelle pour F et la biunivocite de !'application. 5 ) Voir BoURBAKI, p. 5. On y trouve le theoreme par rapport a un groupe note multiplicativement, de sorte qu'il faut transposer le theoreme a un groupe additif afin de pouvoir l'appliquer. · 6) Voir BoURBAKI, p. 3.
300 Il faut distinguer deux cas: 1° Si .1.>0, on voit que tp(x) correspond 2° Soit A.< 0. Il suit de la relation
a la
mesure de
HAAR
Aft.
F(x) = - F*(x)
qui existe entre les deux ismorphismes locaux appartenant a une meme mesure f-l, que tp(x) correspond a la mesure 1.1.1 f-l· On a ainsi demontre qu'on peut obtenir tousles isomorphismes locaux de G a R a l'aide des mesures de HAAR sur G.
§ 6. Par la methode de construire l'isomorphisme local de G a R, donnee dans ce qui precede, on evite les demonstrations d'existence de BouRBAKI, utilisees par lui dans le chapitre "Mesure des grandeurs". Cependant, il faut remarquer que nous avons deplace la difficulte, parce que notre demonstration repose essentiellement sur I'existence de la mesure de HAAR sur tout groupe topologique localement compact. La relation entre les deux demonstrations va en deux directions. En considerant l'isomorphisme local de G a R montre selon la methode de BoURBAKI, on peut montrer sans peine qu'il s'ensuit !'existence d'une mesure de HAAR sur tout groupe G qui satisfait a la condition posee au debut de cet article, a savoir !'existence d'un voisinage de e homeomorphe a un intervalle ouvert de R. Pour cela il suffit de repeter les considerations precedentes dans la direction inverse. A l'aide de l'isomorphisme local F, maintenant donne, defini dans un voisinage convenable V de e, on transporte l'ordre total de R a V par la definition si et seulement si
x
F(x)
Par cela F(x) devient dans V une fonction strictement croissante. En posant f-t((x, y))=F(y)-F(x)
(x
E
V)
on a defini une fonction d'intervalles dans V, dont on montre qu'elle est additive et possede la propriete d'invariance de la mesure de HAAR. Utilisant que G est un groupe, on prolonge cette fonction a une fonction d'intervalles sur G, avec conservation de ces proprietes. D'une fa9on connue on peut construire alors une mesure sur G, qui est la mesure de HAAR.
§ 7. Mentionnons que c'est une consequence du theoreme qui fait l'objet de cet article , que le groupe multiplicatif R~ des nombres reels > 0 est isomorphe au groupe additif R. C'est cet isomorphisme que BouRBAKI prend comme base pour sa definition de la fonction logarithmique. Il sera clair. que le chemin, suivi dans ce qui precede pour montrer le theoreme de BOURBAKI a l'aide de la mesure de HAAR, conduit a une definition de la fonction logarithmique, basee sur !'existence de la mesure de HAAR sur R~. Nous renvoyons pour cela a un article, publie ailleurs 7 ). 7) A. F. 1954/55).
MONNA.
De invoering van de logarithme. Euclides, p. 88-96 (Groningen,