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Symmetric varieties over arbitrary fields
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 833–838, 2001 Théorie des groupes/Group Theory
Symmetric varieties over arbitrary fields Tohru UZAWA Department of Mathematics, Rikkyo University, Toshima-ku, Tokyo, 171-8501, Japan E-mail: [email protected] (Reçu le 10 mars 2001, accepté après révision le 19 septembre 2001)
Abstract.
We give basic results, such as restricted root systems and a model of G/H over the ring of integers, for the theory of symmetric varieties valid over fields of all characteristics. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Des variétés symétriques sur un corps quelconque Abstract.
Nous donnons ici des résultats fondamentaux pour la théorie des variétés symétriques définies sur un corps de caractéristique quelconque. Les résultats incluent les systèmes de racines restreintes et un modèle de G/H défini sur Z. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée Soient G un groupe réductif défini sur un corps k, et σ un automorphisme involutif de G défini sur k. On dit que (G, σ) est une paire symétrique définie sur k. Le but de cette Note est de donner quelques résultats fondamentaux sur les paires symétriques qui seront utiles dans l’étude des compactifications et théorèmes de décomposition sur les corps p-adiques. Tout d’abord, nous rappelons les définitions fondamentales données par Th. Vust [4]. Soit A un tore de G. On dit que A est un tore σ-déployé si et seulement si σ agit sur A par inversion : σ(a) = a−1 pour tout élément a de A. Un sous-groupe parabolique P de G est appelé σ-déployé si et seulement si l’intersection P ∩ σ(P ) est un sous-groupe de Levi de P . Une paire (B, T ) où B est un sous-groupe de Borel et T un tore maximal est appelée fondamentale si et seulement si T et B sont stabilisés par σ et T ⊂ B. L’existence d’un sous-groupe de Borel σ-stable est connue par un théorème de Steinberg sur un corps algébriquement clos, mais cela ne suffit pas pour conclure à l’existence d’un tore maximal T stabilisé par σ, car l’automorphisme σ n’est pas semi-simple en caractéristique 2. Le théorème suivant est dû à Vust [4] dans le cas Char(k) = 2. T HÉORÈME 1.3. – Soient G un groupe réductif défini sur k et σ une involution non triviale de G définie sur k. On suppose que k est un corps algébriquement clos. Alors : 1. il existe un tore non trivial σ-déployé. Les tores σ-déployés maximaux de G sont conjugés sous l’action de G ; Note présentée par Michel D UFLO . S0764-4442(01)02152-8/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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2. soit P un sous-groupe parabolique σ-déployé minimal. Soit L = P ∩ σ(P ), alors P contient un tore σ-déployé maximal A tel que L est le centralisateur ZG (A) de A dans G. Le tore A est uniquement determiné par P ; 3. le sous-groupe des commutateurs [L, L] de L = ZG (A) est contenu dans Gσ ; 4. soit T un tore de G, si T contient A, alors σ(T ) = T . Si σ stabilise un tore T maximal de G, alors σ agit sur R(G, T ), le système de racines de (G, T ). Suivant la terminologie adoptée dans Vogan [3], une racine α est appelée réelle si σ(α) = −α, complexe si σ(α) = ±α et imaginaire si σ(α) = α. Supposons maintenant que α est une racine imaginaire et Char(k) = 2. Soit Uα le groupe radiciel à un paramètre associé a α, la racine α est dite compacte si σ est l’identité sur Uα et non compacte sinon. On note une conséquence de ce résultat. Pour une paire fondamentale (B, T ), les racines dans R(G, T ) sont complexes ou imaginaires. En caractéristique 2, les racines imaginaires sont à la fois compactes et non compactes ; c’est une obstruction à l’existence de paires fondamentales en caractéristique 2. Pour un tore T maximal de G contenant un tore σ-déployé maximal, les racines de R(G, T ) sont réelles, complexes ou imaginaires compactes. L’obstruction n’existe pas dans ce cas en caractéristique différente de 2. Nous allons montrer que les racines restreintes non nulles forment un système de racines restreintes. On remarque que les classes conjugées des involutions de G augmentent en nombre si Char(k) = 2. Ceci est dû au fait que, dans ce cas, la somme σ(α) + α peut être une racine contrairement au cas Char(k) = 2. Notons que l’exclusion des racines de ce type est la clé de la classification des involutions pour les corps k de caractéristique différente de 2. T HÉORÈME 1.5. – Soient A un tore σ-déployé maximal de G et T un tore maximal de G contenant A. L’inclusion A → T induit la projection π : X ∗ (T ) → X ∗ (A). Soit R(G, T ) le système de racines de (G, T ). L’ensemble Rσ (G, T ) = π(R(G, T )) − {0} est un système de racines non nécessairement réduit. La démonstration suit Richardson [2] d’assez près. On étudie maintenant le cas d’un corps k quelconque. On dit qu’un tore A est (k, σ)-déployé si et seulement si A est maximal parmi les tores σ-deployés et deployés sur k. Un sous-groupe parabolique P est dite (k, σ)-deployé si il est σ-deployé et défini sur k. L EMME 2.1. – Soit (G, σ) une paire symétrique définie sur un corps quelconque k, alors il existe un tore σ-déployé maximal défini sur k. Nous rappelons la correspondance entre sous-groupes à un paramètre et les sous-groupes paraboliques de G. Soit λ ∈ X∗ (G), le sous-groupe parabolique P (λ) est défini par les éléments g de G tels que la limite limt→0 tλ gt−λ existe dans G. L’intersection P (λ) ∩ P (−λ) = L(λ) donne un sous-groupe de Levi de P (λ). T HÉORÈME 2.2. – Soient k un corps quelconque, G un groupe réductif défini sur k et σ une involution de G définie sur k. Soit H = (Gσ )red . 1. Soit P un sous-groupe parabolique (k, σ)-déployé de G. Il existe un tore (k, σ)-déployé maximal A, et un sous-groupe à un paramètre λ de A tel que P = P (λ). 2. Soient F une face d’une chambre C de Rσ(G,T ) et P(F)k l’ensemble de sous-groupes paraboliques (k, σ)-déployés de type F, alors H(k) P(F)k ∼ = Ker H1 k, L(F)σ /ZL(F)σ (G) → H1 k, H/ZH (G) , où H1 (k, G ) est le premier groupe de cohomologie galoisienne. Nous allons donner un modèle de G/Gσ défini sur Z, où (G, σ) est une paire symétrique définie sur un corps k de caractéristique différente de 2. Nous supposons que la paire (G, σ) est la plus déployée que
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possible : c’est-à-dire qu’il existe un tore A σ-déployé maximal, déployé sur k, et un tore maximal T ⊃ A déployé sur k. Commençons par faire agir σ sur un groupe de Chevalley G défini sur Z. Soient A un tore σ-déployé de G et T un tore maximal de G tel que T ⊃ A. Le système de racines de G par rapport à T sera désigné par R = R(G, T ). On peut choisir un ensemble de racines positives R+ tel que : si α est positive et σ(α) = ±α, alors σ(α) ∈ (−R+ ). Soit D l’ensemble des racines simples correspondant au choix de R+ . La donnée d’un tore maximal T et d’un ensemble de racines positives R+ définit un groupe G de Chevalley tel que G ⊗ k ∼ = G, et un système de Chevalley {Xα , Hα } pour l’algèbre de Lie g de G. Nous définissons l’action de σ sur l’ensemble {Xα , Hα | α ∈ D} par : 1. si α ∈ D est une racine complexe, alors σ(Xα ) = −Xσ(α) et σ(Hα ) = Hσ(α) ; 2. si α ∈ D est une racine réele, alors σ(Xα ) = X−α et σ(Hα ) = −Hα ; 3. si α ∈ D est imaginaire, alors σ(Xα ) = Xα et σ(Hα ) = Hα . P ROPOSITION 3.1. – Sous l’hypothèse précédente on a : 1. l’application σ se prolonge de façon unique en un automorphisme involutif de g et définit un automorphisme involutif de G défini sur Z ; 2. soit k le corps original de définition, alors la paire symétrique (G ⊗ k, σ ⊗ k) est isomorphe à la paire (G, σ). La paire (G ⊗ Q, σ ⊗ Q) est définie sur Q. L’espace homogène (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ est une variété affine définie sur Q. Grâce au morphisme de Lang Λ(g) = σ(g)g −1 on peut identifier (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ à une sous-variété S de G ⊗ Q. L’adhérence schématique S de S dans G donne un schéma affine sur Z avec une action de G. Malheureusement, la fibre de S sur p = 2 n’est pas homogène sous l’action de G ⊗ F2 en général. Pour améliorer la situation, on remplace S par son éclaté le long de l’orbite fermée de la fibre de S sur p = 2. En résumé : T HÉORÈME 3.2. – Soient (G, σ) une paire symétrique définie sur un corps k de caratéristique différente de 2 et (G, σ) la paire symétrique qui s’en déduit, alors il existe un Z-schéma S affine, lisse et plat sur Spec(Z) tel que : 1. soit F un corps de caractéristique différente de 2, alors S ⊗ F ∼ = (G ⊗ F )/(G ⊗ F )σ ; 2. soit F un corps de caractéristique 2, alors S ⊗ F est une variété affine et lisse.
1. Involutions over algebraically closed fields Let k be an algebraically closed field and let G be a reductive group scheme defined over k. Let σ be an involution of G defined over k. We call the pair (G, σ) a symmetric pair. Let us first recall the basic definitions given by Th. Vust [4]. Let A be a torus of G. Then A is said to be σ-split if and only if σ acts on A by inversion: σ(a) = a−1 for all a ∈ A. Let P be a parabolic subgroup of G, then P is said to be σ-split if and only if P ∩ σ(P ) is a Levi subgroup of P . A pair of a Borel subgroup B and a maximal torus T contained in B is said to be fundamental if B = σ(B) and T = σ(T ) hold. It is a theorem of Steinberg that a σ-stable Borel subgroup always exists over an algebraically closed field. However, since an involution is not semisimple in characteristic 2, one cannot conclude the existence of a maximal torus T ⊂ B such that σ(T ) = T . Let σ be an automorphism of G, then σ defines an automorphism σ ∗ of Dyn(G), the Dynkin diagram of G. Once one fixes a maximal torus T of G, a splitting Aut(Dyn(G)) → Aut(G) is defined. Let σT denote the image of σ ∗ under this splitting homomorphism. Now let (G, σ) be a symmetric pair over a field of characteristic 2. Given a root α in R(G, T ), the root system of G with respect to T , denote by xα a non-identity element of the root subgroup corresponding to α. Since Char(k) = 2, xα is of order two.
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L EMMA 1.1. – Let k be a field of characteristic 2 and (G, σ) be a symmetric pair, then σ is conjugate to an element of the form σT xα1 · · · xαn where {α1 , . . . , αn } is an orthogonal system of roots stable under the action of σ ∗ . The following lemma is the key technical result of this Note. L EMMA 1.2. – Let G be a reductive group defined over a field k and σ be an involution of G defined over k. If σ is non-trivial, then there exists a non-trivial σ-split torus of G. Proof. – For the case Char(k) = 2, this is a result of Th. Vust [4]. Let us sketch the proof for Char(k) = 2. One argues as follows. One first shows that there torus. The previous is a σ-stable maximal lemma, together with the fact that over fields of Char = 2, 10 11 is conjugate to 01 10 , we conclude that there exists a σ-stable maximal torus. One then shows that if the action of σ on a σ-stable maximal torus T is the identity map, then σ is the identity map. Let it be the case. Let B be a Borel subgroup of G containing T ; then σ stabilizes B and the Dynkin diagram Dyn(G) of G. Then σ is an inner automorphism; there exists an element g ∈ B such that σ(x) = g −1 xg. Since g centralizes T , we see that g ∈ T . Since g 2 ∈ Z(G), by invoking the hypothesis Char(k) = 2, we see that g is a unipotent element of G/Z(G). Hence g ∈ Z(G), and σ is the indentity map, which leads to a contradiction. ✷ T HEOREM 1.3. – Let G be a reductive group defined over an algebraically closed field k. Let σ be a non-trivial involution of G defined over k. Then the following holds true. 1. There exists a non-trivial σ-split torus. Any two maximal σ-split tori of G are conjugate under the action of Gσ . 2. Let P be a minimal σ-split torus and set L = P ∩ σ(P ). Then there exists a unique maximal σ-split torus A such that L = ZG (A). 3. The commutator subgroup [L, L] of L = ZG (A) is contained in Gσ . 4. Let T be a torus of G which contains a maximal σ-split torus A of G, then T is σ-stable. Proof. – For the case Char(k) = 2 these are results of Th. Vust [4]. His proof is based on the previous lemma. The same proof works for the case Char(k) = 2 once the lemma is established. ✷ The dimension of a maximal σ-split torus A is called the rank of the symmetric pair (G, σ). One consequence of this theorem can be stated as follows. Let T be a σ-stable maximal torus of G. By abuse of notation, let σ denote the induced action of σ on the root system R(G, T ). Following the terminology of Vogan [3], recall the following classifications of roots. A root α ∈ R is real if σ(α) = −α, is complex if σ(α) = ±α, and imaginary if σ(α) = α. Let Xα be an α eigenvector. Then an imaginary root α is compact if σ(Xα ) = Xα , and non-compact if σ(Xα) ) = −Xα . C OROLLARY 1.4. – Let T be a maximal torus of G containing a maximal σ-split torus A of G. Then the roots in R(G, T ) are either real, complex, or compact imaginary. Proof. – Let α ∈ R. If σ(α) = α, then α is either real or complex. If σ(α) = α, then α is trivial on A. Let θα : Gα → Uα ⊂ G denote the one parameter subgroup corresponding to the root α. Hence Uα is contained in the centralizer of A. It follows that Uα is a subgroup of Gσ . Therefore α is a compact imaginary root. ✷ For a fundamental pair (B, T ), roots in R(G, T ) are either complex or imaginary. In characteristic 2, imaginary roots are compact and non-compact at the same time. This gives an obstruction to the existence of fundamental pairs in characteristic 2. In the case of a maximal torus T which contains a maximal torus of Gσ , the root system R(G, T ) contains complex, compact imaginary and non-compact imaginary roots: there is no obstruction in this case in characteristic not equal to 2. This theorem makes it possible to show that the set of non-zero restricted roots forms a root system. One should remark that as we move from the Char(k) = 2 case to the Char(k) = 2 case, the number of
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conjugacy classes of involutions increases. This happens because in the case Char(k) = 2, α + σ(α) may be a root for a complex root α. Exclusion of this case is the key towards classification of involutions over Char(k) = 2. T HEOREM 1.5. – Let A be a maximal σ-split torus of G and let T be a maximal torus containing A. The inclusion A → T induces the projection map π : X ∗ (T ) → X ∗ (A). Let R(G, T ) denote the root system of G with respect to the maximal torus T . Let Rσ (G, T ) = π(R(G, T ) − {0}), then Rσ (G, T ) is a root system, which is not necessarily reduced. The proof follows closely the arguments of Richardson [2], combined with the previous theorem. 2. Involutions over arbitrary fields Let k be an arbitrary field, and let G be a reductive group defined over k. Let σ be an involution of G defined over k and let H denote the reduced part of Gσ . A maximal (k, σ)-split torus A is a maximal k-split, σ-split torus. A (k, σ)-split parabolic subgroup P is a parabolic subgroup defined over k which is σ-split. The following lemma makes it possible to choose A so that it is contained in a maximal σ-split torus A1 defined over k. L EMMA 2.1. – Let (G, σ) be a symmetric pair defined over k, then there exists a maximal σ-split torus A defined over k. Apply the lemma to the centralizer Z = ZG (A) of A in G. Since A is defined over k, Z is defined over k. Hence there exists a maximal σ-split torus A1 defined over k, and this is the desired torus. Let T1 be a maximal torus containing A1 defined over k; this maximal torus is automatically σ-stable. The split part T of T1 contains A. Let us study the conjugacy classes of (k, σ)-split parabolics of G. Given a one parameter subgroup λ(t) of G, the parabolic subgroup P (λ) of G is defined as the subgroup consisting of elements g of G such that the limit limt→0 tλ gt−λ exists in G. The intersection P (λ) ∩ P (−λ) = L(λ) gives a Levi subgroup of P (λ). Fix a Weyl chamber C of Rσ (G, T ) and let F be a face of C. Then for λ ∈ F, P (λ) are identical. Let us denote by P (F) the parabolic corresponding to F. T HEOREM 2.2. – Let G be a reductive group over k and let σ be an involution of G defined over k. Let H denote the reduced part of the fixed point subgroup Gσ of G. Then: 1. let P be a (k, σ)-split parabolic subgroup of G, then there exists a maximal (k, σ)-split torus A and a one parameter subgroup λ : Gm → A of A such that P = P (λ); 2. let F be a face of C, a Weyl chamber of Rσ (G, T ). Let P(F)k denote the set of (k, σ)-split parabolic subgroups of G of type F, then H(k) P(F)k ∼ = Ker H1 k, L(F)σ /ZL(F)σ (G) → H1 k, H/ZH (G) , where H1 (k, G) denotes the first Galois cohomology of G with respect to k. The proof follows Helminck and Wang [1], which in turn follows Vust [4]. 3. A model of G/H over Z In order to define a model of G/H over Z, it is first necessary to lift the action of σ to the Chevalley group G over Z. Let us start with a reductive group G defined over a field k of Char = 2, equipped with an involution σ defined over k. Let us assume that G is maximally split: there exists a maximal σ-split torus A, split over k, and a maximal torus T containing A, split over k.
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Let R = R(G, T ) denote the root system of G with respect to the maximal torus T . Fix a system of positive roots R+ so that the following holds: for α ∈ R+ if σ(α) = ±1, then σ(α) ∈ (−R+ ). Let D be the set of simple roots corresponding to the choice of R+ . By the theory of Chevalley groups, there exists a reductive group scheme G defined over Z such that G⊗k∼ = G. Let g be the Lie algebra of G. Let Xα , Hα be a Chevalley system of g, corresponding to the choice R+ of positive roots. By virtue of Corollary 1.4, the root system R(G, T ) contains only real, complex or compact imaginary roots with respect to the σ-action. Define the action of σ on simple root vectors by: 1. if α ∈ D is a complex root, then σ(Xα ) = −Xσ(α) and σ(Hα ) = Hσ(α) ; 2. if α ∈ D is a real root, then σ(Xα ) = X−α and σ(Hα ) = −Hα ; 3. if α ∈ D is a compact imaginary root, then σ(Xα ) = Xα and σ(Hα ) = Hα . The following proposition holds. P ROPOSITION 3.1. – Under the assumptions of this section: 1. the mapping σ extends to an involutive automorphism of g which extends to an involutive automorphism of G defined over Z; 2. let k be the original field of definition, then the pair (G ⊗ k, σ ⊗ k) is isomorphic to (G, σ). The pair (G ⊗ Q, σ ⊗ Q) gives a symmetric pair defined over Q. This symmetric pair is maximally split over Q in the sense that there exists a Q-split maximal torus T of G, and a maximal σ-split torus A ⊂ T split over Q. The homogeneous space (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ is an affine variety defined over Q. The Lang map Λ(g) = σ(g)g −1 gives an isomorphism of (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ with a subvariety S of G ⊗ Q. The scheme theoretic closure of S in G gives an affine scheme S over Z with twisted G-action. However, the fiber of S over 2 is not a homogeneous space of G ⊗ F2 in general. This happens because in some cases, the fixed point set of σ at the prime 2 is not reductive. In order to remedy the situation, it is necessary to replace S by its blowup with respect to the closed orbit in the special fibre over 2. T HEOREM 3.2. – Let (G, σ) be a symmetric pair defined over a field k of characteristic not equal to 2. Let (G, σ) be its lift to Z defined above, then there exists a closed smooth affine scheme S flat over Spec(Z), equipped with an action of G such that: 1. for a field F of characteristic not equal to 2, S ⊗ F is isomorphic to G ⊗ F/(G ⊗ F )σ ; 2. for a field F of characteristic 2, S ⊗ F is a homogeneous space with reductive isotropy subgroup. It should be noted that S(F ) = G(F )/G(F )σ in general. Details of the results given here will appear in a paper in preparation. Acknowledgements. The author wishes to thank Professors D. Vogan and G. Lusztig for helpful discussions on this project. The author also wishes to thank the anonymous referee and Professor Jean-Pierre Labesse for their helpful comments. The author was partially supported by Grant-in-Aid 10440001.
References [1] Helminck A.G., Wang S.P., On rationality properties of involutions of reductive groups, Adv. Math. 99 (1) (1993) 26–96. [2] Richardson R.W., Orbits, invariants, and representations associated to involutions of reductive groups, Invent. Math. 66 (2) (1982) 287–312. [3] Vogan D.A. Jr., Irreducible characters of semisimple Lie groups, III, Invent. Math. 71 (2) (1983) 381–417. [4] Vust T., Opération de groupes réductifs dans un type de cônes presque homogènes, Bull. Soc. Math. France 102 (1974) 317–333.
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We give basic results, such as restricted root systems and a model of G/H over the ring of integers, for the theory of symmetric varieties valid over fields of all characteristics. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Des variétés symétriques sur un corps quelconque Abstract.
Nous donnons ici des résultats fondamentaux pour la théorie des variétés symétriques définies sur un corps de caractéristique quelconque. Les résultats incluent les systèmes de racines restreintes et un modèle de G/H défini sur Z. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée Soient G un groupe réductif défini sur un corps k, et σ un automorphisme involutif de G défini sur k. On dit que (G, σ) est une paire symétrique définie sur k. Le but de cette Note est de donner quelques résultats fondamentaux sur les paires symétriques qui seront utiles dans l’étude des compactifications et théorèmes de décomposition sur les corps p-adiques. Tout d’abord, nous rappelons les définitions fondamentales données par Th. Vust [4]. Soit A un tore de G. On dit que A est un tore σ-déployé si et seulement si σ agit sur A par inversion : σ(a) = a−1 pour tout élément a de A. Un sous-groupe parabolique P de G est appelé σ-déployé si et seulement si l’intersection P ∩ σ(P ) est un sous-groupe de Levi de P . Une paire (B, T ) où B est un sous-groupe de Borel et T un tore maximal est appelée fondamentale si et seulement si T et B sont stabilisés par σ et T ⊂ B. L’existence d’un sous-groupe de Borel σ-stable est connue par un théorème de Steinberg sur un corps algébriquement clos, mais cela ne suffit pas pour conclure à l’existence d’un tore maximal T stabilisé par σ, car l’automorphisme σ n’est pas semi-simple en caractéristique 2. Le théorème suivant est dû à Vust [4] dans le cas Char(k) = 2. T HÉORÈME 1.3. – Soient G un groupe réductif défini sur k et σ une involution non triviale de G définie sur k. On suppose que k est un corps algébriquement clos. Alors : 1. il existe un tore non trivial σ-déployé. Les tores σ-déployés maximaux de G sont conjugés sous l’action de G ; Note présentée par Michel D UFLO . S0764-4442(01)02152-8/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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2. soit P un sous-groupe parabolique σ-déployé minimal. Soit L = P ∩ σ(P ), alors P contient un tore σ-déployé maximal A tel que L est le centralisateur ZG (A) de A dans G. Le tore A est uniquement determiné par P ; 3. le sous-groupe des commutateurs [L, L] de L = ZG (A) est contenu dans Gσ ; 4. soit T un tore de G, si T contient A, alors σ(T ) = T . Si σ stabilise un tore T maximal de G, alors σ agit sur R(G, T ), le système de racines de (G, T ). Suivant la terminologie adoptée dans Vogan [3], une racine α est appelée réelle si σ(α) = −α, complexe si σ(α) = ±α et imaginaire si σ(α) = α. Supposons maintenant que α est une racine imaginaire et Char(k) = 2. Soit Uα le groupe radiciel à un paramètre associé a α, la racine α est dite compacte si σ est l’identité sur Uα et non compacte sinon. On note une conséquence de ce résultat. Pour une paire fondamentale (B, T ), les racines dans R(G, T ) sont complexes ou imaginaires. En caractéristique 2, les racines imaginaires sont à la fois compactes et non compactes ; c’est une obstruction à l’existence de paires fondamentales en caractéristique 2. Pour un tore T maximal de G contenant un tore σ-déployé maximal, les racines de R(G, T ) sont réelles, complexes ou imaginaires compactes. L’obstruction n’existe pas dans ce cas en caractéristique différente de 2. Nous allons montrer que les racines restreintes non nulles forment un système de racines restreintes. On remarque que les classes conjugées des involutions de G augmentent en nombre si Char(k) = 2. Ceci est dû au fait que, dans ce cas, la somme σ(α) + α peut être une racine contrairement au cas Char(k) = 2. Notons que l’exclusion des racines de ce type est la clé de la classification des involutions pour les corps k de caractéristique différente de 2. T HÉORÈME 1.5. – Soient A un tore σ-déployé maximal de G et T un tore maximal de G contenant A. L’inclusion A → T induit la projection π : X ∗ (T ) → X ∗ (A). Soit R(G, T ) le système de racines de (G, T ). L’ensemble Rσ (G, T ) = π(R(G, T )) − {0} est un système de racines non nécessairement réduit. La démonstration suit Richardson [2] d’assez près. On étudie maintenant le cas d’un corps k quelconque. On dit qu’un tore A est (k, σ)-déployé si et seulement si A est maximal parmi les tores σ-deployés et deployés sur k. Un sous-groupe parabolique P est dite (k, σ)-deployé si il est σ-deployé et défini sur k. L EMME 2.1. – Soit (G, σ) une paire symétrique définie sur un corps quelconque k, alors il existe un tore σ-déployé maximal défini sur k. Nous rappelons la correspondance entre sous-groupes à un paramètre et les sous-groupes paraboliques de G. Soit λ ∈ X∗ (G), le sous-groupe parabolique P (λ) est défini par les éléments g de G tels que la limite limt→0 tλ gt−λ existe dans G. L’intersection P (λ) ∩ P (−λ) = L(λ) donne un sous-groupe de Levi de P (λ). T HÉORÈME 2.2. – Soient k un corps quelconque, G un groupe réductif défini sur k et σ une involution de G définie sur k. Soit H = (Gσ )red . 1. Soit P un sous-groupe parabolique (k, σ)-déployé de G. Il existe un tore (k, σ)-déployé maximal A, et un sous-groupe à un paramètre λ de A tel que P = P (λ). 2. Soient F une face d’une chambre C de Rσ(G,T ) et P(F)k l’ensemble de sous-groupes paraboliques (k, σ)-déployés de type F, alors H(k) P(F)k ∼ = Ker H1 k, L(F)σ /ZL(F)σ (G) → H1 k, H/ZH (G) , où H1 (k, G ) est le premier groupe de cohomologie galoisienne. Nous allons donner un modèle de G/Gσ défini sur Z, où (G, σ) est une paire symétrique définie sur un corps k de caractéristique différente de 2. Nous supposons que la paire (G, σ) est la plus déployée que
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possible : c’est-à-dire qu’il existe un tore A σ-déployé maximal, déployé sur k, et un tore maximal T ⊃ A déployé sur k. Commençons par faire agir σ sur un groupe de Chevalley G défini sur Z. Soient A un tore σ-déployé de G et T un tore maximal de G tel que T ⊃ A. Le système de racines de G par rapport à T sera désigné par R = R(G, T ). On peut choisir un ensemble de racines positives R+ tel que : si α est positive et σ(α) = ±α, alors σ(α) ∈ (−R+ ). Soit D l’ensemble des racines simples correspondant au choix de R+ . La donnée d’un tore maximal T et d’un ensemble de racines positives R+ définit un groupe G de Chevalley tel que G ⊗ k ∼ = G, et un système de Chevalley {Xα , Hα } pour l’algèbre de Lie g de G. Nous définissons l’action de σ sur l’ensemble {Xα , Hα | α ∈ D} par : 1. si α ∈ D est une racine complexe, alors σ(Xα ) = −Xσ(α) et σ(Hα ) = Hσ(α) ; 2. si α ∈ D est une racine réele, alors σ(Xα ) = X−α et σ(Hα ) = −Hα ; 3. si α ∈ D est imaginaire, alors σ(Xα ) = Xα et σ(Hα ) = Hα . P ROPOSITION 3.1. – Sous l’hypothèse précédente on a : 1. l’application σ se prolonge de façon unique en un automorphisme involutif de g et définit un automorphisme involutif de G défini sur Z ; 2. soit k le corps original de définition, alors la paire symétrique (G ⊗ k, σ ⊗ k) est isomorphe à la paire (G, σ). La paire (G ⊗ Q, σ ⊗ Q) est définie sur Q. L’espace homogène (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ est une variété affine définie sur Q. Grâce au morphisme de Lang Λ(g) = σ(g)g −1 on peut identifier (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ à une sous-variété S de G ⊗ Q. L’adhérence schématique S de S dans G donne un schéma affine sur Z avec une action de G. Malheureusement, la fibre de S sur p = 2 n’est pas homogène sous l’action de G ⊗ F2 en général. Pour améliorer la situation, on remplace S par son éclaté le long de l’orbite fermée de la fibre de S sur p = 2. En résumé : T HÉORÈME 3.2. – Soient (G, σ) une paire symétrique définie sur un corps k de caratéristique différente de 2 et (G, σ) la paire symétrique qui s’en déduit, alors il existe un Z-schéma S affine, lisse et plat sur Spec(Z) tel que : 1. soit F un corps de caractéristique différente de 2, alors S ⊗ F ∼ = (G ⊗ F )/(G ⊗ F )σ ; 2. soit F un corps de caractéristique 2, alors S ⊗ F est une variété affine et lisse.
1. Involutions over algebraically closed fields Let k be an algebraically closed field and let G be a reductive group scheme defined over k. Let σ be an involution of G defined over k. We call the pair (G, σ) a symmetric pair. Let us first recall the basic definitions given by Th. Vust [4]. Let A be a torus of G. Then A is said to be σ-split if and only if σ acts on A by inversion: σ(a) = a−1 for all a ∈ A. Let P be a parabolic subgroup of G, then P is said to be σ-split if and only if P ∩ σ(P ) is a Levi subgroup of P . A pair of a Borel subgroup B and a maximal torus T contained in B is said to be fundamental if B = σ(B) and T = σ(T ) hold. It is a theorem of Steinberg that a σ-stable Borel subgroup always exists over an algebraically closed field. However, since an involution is not semisimple in characteristic 2, one cannot conclude the existence of a maximal torus T ⊂ B such that σ(T ) = T . Let σ be an automorphism of G, then σ defines an automorphism σ ∗ of Dyn(G), the Dynkin diagram of G. Once one fixes a maximal torus T of G, a splitting Aut(Dyn(G)) → Aut(G) is defined. Let σT denote the image of σ ∗ under this splitting homomorphism. Now let (G, σ) be a symmetric pair over a field of characteristic 2. Given a root α in R(G, T ), the root system of G with respect to T , denote by xα a non-identity element of the root subgroup corresponding to α. Since Char(k) = 2, xα is of order two.
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L EMMA 1.1. – Let k be a field of characteristic 2 and (G, σ) be a symmetric pair, then σ is conjugate to an element of the form σT xα1 · · · xαn where {α1 , . . . , αn } is an orthogonal system of roots stable under the action of σ ∗ . The following lemma is the key technical result of this Note. L EMMA 1.2. – Let G be a reductive group defined over a field k and σ be an involution of G defined over k. If σ is non-trivial, then there exists a non-trivial σ-split torus of G. Proof. – For the case Char(k) = 2, this is a result of Th. Vust [4]. Let us sketch the proof for Char(k) = 2. One argues as follows. One first shows that there torus. The previous is a σ-stable maximal lemma, together with the fact that over fields of Char = 2, 10 11 is conjugate to 01 10 , we conclude that there exists a σ-stable maximal torus. One then shows that if the action of σ on a σ-stable maximal torus T is the identity map, then σ is the identity map. Let it be the case. Let B be a Borel subgroup of G containing T ; then σ stabilizes B and the Dynkin diagram Dyn(G) of G. Then σ is an inner automorphism; there exists an element g ∈ B such that σ(x) = g −1 xg. Since g centralizes T , we see that g ∈ T . Since g 2 ∈ Z(G), by invoking the hypothesis Char(k) = 2, we see that g is a unipotent element of G/Z(G). Hence g ∈ Z(G), and σ is the indentity map, which leads to a contradiction. ✷ T HEOREM 1.3. – Let G be a reductive group defined over an algebraically closed field k. Let σ be a non-trivial involution of G defined over k. Then the following holds true. 1. There exists a non-trivial σ-split torus. Any two maximal σ-split tori of G are conjugate under the action of Gσ . 2. Let P be a minimal σ-split torus and set L = P ∩ σ(P ). Then there exists a unique maximal σ-split torus A such that L = ZG (A). 3. The commutator subgroup [L, L] of L = ZG (A) is contained in Gσ . 4. Let T be a torus of G which contains a maximal σ-split torus A of G, then T is σ-stable. Proof. – For the case Char(k) = 2 these are results of Th. Vust [4]. His proof is based on the previous lemma. The same proof works for the case Char(k) = 2 once the lemma is established. ✷ The dimension of a maximal σ-split torus A is called the rank of the symmetric pair (G, σ). One consequence of this theorem can be stated as follows. Let T be a σ-stable maximal torus of G. By abuse of notation, let σ denote the induced action of σ on the root system R(G, T ). Following the terminology of Vogan [3], recall the following classifications of roots. A root α ∈ R is real if σ(α) = −α, is complex if σ(α) = ±α, and imaginary if σ(α) = α. Let Xα be an α eigenvector. Then an imaginary root α is compact if σ(Xα ) = Xα , and non-compact if σ(Xα) ) = −Xα . C OROLLARY 1.4. – Let T be a maximal torus of G containing a maximal σ-split torus A of G. Then the roots in R(G, T ) are either real, complex, or compact imaginary. Proof. – Let α ∈ R. If σ(α) = α, then α is either real or complex. If σ(α) = α, then α is trivial on A. Let θα : Gα → Uα ⊂ G denote the one parameter subgroup corresponding to the root α. Hence Uα is contained in the centralizer of A. It follows that Uα is a subgroup of Gσ . Therefore α is a compact imaginary root. ✷ For a fundamental pair (B, T ), roots in R(G, T ) are either complex or imaginary. In characteristic 2, imaginary roots are compact and non-compact at the same time. This gives an obstruction to the existence of fundamental pairs in characteristic 2. In the case of a maximal torus T which contains a maximal torus of Gσ , the root system R(G, T ) contains complex, compact imaginary and non-compact imaginary roots: there is no obstruction in this case in characteristic not equal to 2. This theorem makes it possible to show that the set of non-zero restricted roots forms a root system. One should remark that as we move from the Char(k) = 2 case to the Char(k) = 2 case, the number of
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conjugacy classes of involutions increases. This happens because in the case Char(k) = 2, α + σ(α) may be a root for a complex root α. Exclusion of this case is the key towards classification of involutions over Char(k) = 2. T HEOREM 1.5. – Let A be a maximal σ-split torus of G and let T be a maximal torus containing A. The inclusion A → T induces the projection map π : X ∗ (T ) → X ∗ (A). Let R(G, T ) denote the root system of G with respect to the maximal torus T . Let Rσ (G, T ) = π(R(G, T ) − {0}), then Rσ (G, T ) is a root system, which is not necessarily reduced. The proof follows closely the arguments of Richardson [2], combined with the previous theorem. 2. Involutions over arbitrary fields Let k be an arbitrary field, and let G be a reductive group defined over k. Let σ be an involution of G defined over k and let H denote the reduced part of Gσ . A maximal (k, σ)-split torus A is a maximal k-split, σ-split torus. A (k, σ)-split parabolic subgroup P is a parabolic subgroup defined over k which is σ-split. The following lemma makes it possible to choose A so that it is contained in a maximal σ-split torus A1 defined over k. L EMMA 2.1. – Let (G, σ) be a symmetric pair defined over k, then there exists a maximal σ-split torus A defined over k. Apply the lemma to the centralizer Z = ZG (A) of A in G. Since A is defined over k, Z is defined over k. Hence there exists a maximal σ-split torus A1 defined over k, and this is the desired torus. Let T1 be a maximal torus containing A1 defined over k; this maximal torus is automatically σ-stable. The split part T of T1 contains A. Let us study the conjugacy classes of (k, σ)-split parabolics of G. Given a one parameter subgroup λ(t) of G, the parabolic subgroup P (λ) of G is defined as the subgroup consisting of elements g of G such that the limit limt→0 tλ gt−λ exists in G. The intersection P (λ) ∩ P (−λ) = L(λ) gives a Levi subgroup of P (λ). Fix a Weyl chamber C of Rσ (G, T ) and let F be a face of C. Then for λ ∈ F, P (λ) are identical. Let us denote by P (F) the parabolic corresponding to F. T HEOREM 2.2. – Let G be a reductive group over k and let σ be an involution of G defined over k. Let H denote the reduced part of the fixed point subgroup Gσ of G. Then: 1. let P be a (k, σ)-split parabolic subgroup of G, then there exists a maximal (k, σ)-split torus A and a one parameter subgroup λ : Gm → A of A such that P = P (λ); 2. let F be a face of C, a Weyl chamber of Rσ (G, T ). Let P(F)k denote the set of (k, σ)-split parabolic subgroups of G of type F, then H(k) P(F)k ∼ = Ker H1 k, L(F)σ /ZL(F)σ (G) → H1 k, H/ZH (G) , where H1 (k, G) denotes the first Galois cohomology of G with respect to k. The proof follows Helminck and Wang [1], which in turn follows Vust [4]. 3. A model of G/H over Z In order to define a model of G/H over Z, it is first necessary to lift the action of σ to the Chevalley group G over Z. Let us start with a reductive group G defined over a field k of Char = 2, equipped with an involution σ defined over k. Let us assume that G is maximally split: there exists a maximal σ-split torus A, split over k, and a maximal torus T containing A, split over k.
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Let R = R(G, T ) denote the root system of G with respect to the maximal torus T . Fix a system of positive roots R+ so that the following holds: for α ∈ R+ if σ(α) = ±1, then σ(α) ∈ (−R+ ). Let D be the set of simple roots corresponding to the choice of R+ . By the theory of Chevalley groups, there exists a reductive group scheme G defined over Z such that G⊗k∼ = G. Let g be the Lie algebra of G. Let Xα , Hα be a Chevalley system of g, corresponding to the choice R+ of positive roots. By virtue of Corollary 1.4, the root system R(G, T ) contains only real, complex or compact imaginary roots with respect to the σ-action. Define the action of σ on simple root vectors by: 1. if α ∈ D is a complex root, then σ(Xα ) = −Xσ(α) and σ(Hα ) = Hσ(α) ; 2. if α ∈ D is a real root, then σ(Xα ) = X−α and σ(Hα ) = −Hα ; 3. if α ∈ D is a compact imaginary root, then σ(Xα ) = Xα and σ(Hα ) = Hα . The following proposition holds. P ROPOSITION 3.1. – Under the assumptions of this section: 1. the mapping σ extends to an involutive automorphism of g which extends to an involutive automorphism of G defined over Z; 2. let k be the original field of definition, then the pair (G ⊗ k, σ ⊗ k) is isomorphic to (G, σ). The pair (G ⊗ Q, σ ⊗ Q) gives a symmetric pair defined over Q. This symmetric pair is maximally split over Q in the sense that there exists a Q-split maximal torus T of G, and a maximal σ-split torus A ⊂ T split over Q. The homogeneous space (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ is an affine variety defined over Q. The Lang map Λ(g) = σ(g)g −1 gives an isomorphism of (G ⊗ Q)/(G ⊗ Q)σ with a subvariety S of G ⊗ Q. The scheme theoretic closure of S in G gives an affine scheme S over Z with twisted G-action. However, the fiber of S over 2 is not a homogeneous space of G ⊗ F2 in general. This happens because in some cases, the fixed point set of σ at the prime 2 is not reductive. In order to remedy the situation, it is necessary to replace S by its blowup with respect to the closed orbit in the special fibre over 2. T HEOREM 3.2. – Let (G, σ) be a symmetric pair defined over a field k of characteristic not equal to 2. Let (G, σ) be its lift to Z defined above, then there exists a closed smooth affine scheme S flat over Spec(Z), equipped with an action of G such that: 1. for a field F of characteristic not equal to 2, S ⊗ F is isomorphic to G ⊗ F/(G ⊗ F )σ ; 2. for a field F of characteristic 2, S ⊗ F is a homogeneous space with reductive isotropy subgroup. It should be noted that S(F ) = G(F )/G(F )σ in general. Details of the results given here will appear in a paper in preparation. Acknowledgements. The author wishes to thank Professors D. Vogan and G. Lusztig for helpful discussions on this project. The author also wishes to thank the anonymous referee and Professor Jean-Pierre Labesse for their helpful comments. The author was partially supported by Grant-in-Aid 10440001.
References [1] Helminck A.G., Wang S.P., On rationality properties of involutions of reductive groups, Adv. Math. 99 (1) (1993) 26–96. [2] Richardson R.W., Orbits, invariants, and representations associated to involutions of reductive groups, Invent. Math. 66 (2) (1982) 287–312. [3] Vogan D.A. Jr., Irreducible characters of semisimple Lie groups, III, Invent. Math. 71 (2) (1983) 381–417. [4] Vust T., Opération de groupes réductifs dans un type de cônes presque homogènes, Bull. Soc. Math. France 102 (1974) 317–333.
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