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The Dirichlet problem for superdegenerate differential operators
C. R. Acad. Sci. Paris, ProbabilitkslProbability (iquations aux d&ivCes
t. 327, SCrie Theory partielleslhrtial
The Dir&let differential Denis
I, p. 81-86,
Differential
problem operators
R. BELL,
Salah-E.A.
1998 Equations)
for superdegenerate
MOHAMMED
Mathematical Sciences Research Institute, 1000 Centennial E-mail: dbellQunf.edu, [email protected] (ReCu le 27 avril
Abstract.
1998, accept& le 6/8 juin
Version
Berkeley,
California
94720-5070,
lJSA
1998)
Let L be an infinitely degenerate second-order linear operator defined on a bounded smooth Euclidean domain. Under weaker conditions than those of HBrmander, we show that the Dirichlet problem associated with L has a unique smooth classical solution. The proof uses the Malliavin calculus. At present, there appears to be no proof of this result using classical analytic techniques. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris
Le problkme de Dirichlet super-d6g&&-& RCsumC.
Drive,
pour
des op&ateurs
di&%rentiels
Soir L un ope’rateur linkaire dkjini sur un domaine borne’ r&ulier de l’espace ruclidien avec une d&&ne’rescence injinie. Sous des conditions plus faibles que celles de Hiirmander, on montre que le problkme de Dirichlet associe’ci L a une solution rt!gulit?re classique unique. La dkmonstration utilise le calcul de Malliavin. I1 semble qu’il n’y ait ci cette date aucune dkmonstration de ce re’sultat par des techniques analytiques classiques. 0 AcadCmie des SciencesIElsevier, Paris
francake
abrkge’e
Soit D un domaine born6 rkgulier de R” dont la front&-e 30 est kgulikre. Soient X0; . . . , X,, des champs de vecteurs et c une fonction B valeurs rkelles, tous dkfinis et kguliers dans un voisinage ouvert de 0. Notons L l’opkrateur diffkentiel de second ordre L=~x;L+xo+c. i=l
Dans un article antkieur [4] (voir aussi[3]), les auteurs ont donnCdes conditions suffisantespour que L soit hypoelliptique, qui autorisent la violation sur une hypersurface de D des conditions de Hijrmander sur l’algkbre de Lie. Le type de dkgbn&-escenceautorisk dans [4] est caractCrisCcomme suit : Note prksentke par Paul 0764.4442/98/03270081
MALLIAVIN.
0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris
81
D.R.
Bell,
S.-E.A.
Mohammed
DEFINITION. - Pour chaque Ic > 0, soit X (‘) la matrice dont les colonnes sont Xa. . . . . X,,, et tous les champs de vecteurs obtenus a partir de X0, . . . , X,, en formant les crochets de Lie it&es jusqu’a l’ordre k. Soit
A(“) la plus petite valeur propre de X(“)X(“)t oti t designe la transposition des matrices. On dit qu’une hypersurface S c Rd est sow-critique (relativement a L) au point :c E S quand il existe un voisinage ouvert U de :I’, un entier IG > 0 et un p E (-1,0) tels que A(‘)(Y) 2 exr){-[&cl,
Ly)]p},
&.I E U
oti p(y, S) est la distance euclidienne de ;q a l’hypersurface S. Soit K l’ensemble des points de D oti L ne verifie pas la condition de Hiirmander. Dans [4], les auteurs ont montre que L est hypoelliptique a condition que K soit contenu dans une hypersurface S de Rd de classe C2, qui est sous-critique et non caracteristique en tout point de K. En particulier, ce theoreme donne l’hypoellipticite des operateurs
qui ont Cte Ctudies par Kusuoka et Stroock dans [8]. Des operateurs differentiels qui ont des dCgCnCrescences d’ordre infini seront appeles super-d&eWre’s. Le but de cette Note est d’annoncer des resultats qui donnent l’existence d’une solution reguliere au probleme de Dirichlet pour des operateurs super-degeneres.Les resultats sont les suivants : TH~ORI~ME 1. - Supposonsque l’ensembleK U i)D est contenu duns une hypersurface S de classe C* qui est sous-critique et non caracte’ristique en chaque point de K U i3D. Soient f E C”(D) et g E CF(aD) et soit u une solution faible (au sensdes distributions) du probltme de Dirichlet sur D :
LIL = f
duns D,
y()‘u =9
sur i)D.
(1)
oti yo represente la trace sectionnelle sur i3D. Alors 11.E C”(D). 2. - Supposonsque les hypothesesdu the’oreme 1 sont satisfaites et que de plus : (a) c 5 0 sur D; (b) il existe 1 5 k < d et a > 0 tels que ~~=I(X;(~),c~)2 2 a p our tout x E D, 02 (:I; est le ki’mr vecteur de la base standard de R”. Alors le probltme de Dirichlet (1) admet une solution C” unique u sur D. TH~OR~ME
Le probleme de Dirichlet pour des operateurs dCgCnCrCs L a CtC CtudiC par divers auteurs (voir [l], [6], [7] et [5]) sous l’hypothbse que L satisfassea la condition de Hijrmander en tout point. A la connaissancedes auteurs, les resultats ci-dessus sont les premiers a Ctablir l’existence d’une solution reguliere au probleme de Dirichlet sous des hypotheses qui permettent des degenerescences d’ordre infini. En particulier, il semble que ces resultats ne peuvent pas &tre obtenus a partir des techniques classiques. Schemade demonstration du theoreme 2. - On considere le processusde diffusion &dimensionnel donne par l’tquation differentielle stochastique de Stratonovich :
d<“‘(t) = X0(<“(t)) dt + 2 x;(<“(t)) 0 dWL(t)> i=l
E”‘(O) = z E D
82
(2)
The Dirichlet
problem
for superdegenerate
operators
associk 2 l’opkrateur L. Alors sous les conditions du thkorkme 2, une solution faible du problbme de Dirichlet (1) est donnCe par : u(x) = E[g(
exp{ /“‘) .0
c(<“(s) dr} d,]
oti T = T(X) est le premier temps de sortie de D de la diffusion 5”. Sans perdre de gCnkralit6 on peut supposer que g = 0 sur dD, et pour simplifier prenons aussi c = 0 (voiu [5]). Done il est suffisant de montrer que la fonction T(Z) u(x) = -E V
f(W))
dt
0
(4)
I
est rkgulikre sur 0. Maintenant L est hypoelliptique sur D par [4] et u est une solution faible de l’kquation LU = 0 dans D (voir [lo]). Pour prouver la rkgularitk de u jusqu’a dD, il faut dkmontrer des estimations uniformes sur les d&i&es D”u(z), k > 1, quand 1ctend vers dD en restant dans D. Ceci est fait en combinant les techniques de [2], [5] et [4]. Le rksultat suivant joue un r61e essentiel. LEMME. - Supposonsque les hyothkes du th&or&ne 1 sont satisfaites.Alors pour tout point x0 E i)D, on peut trouver un voisinage U de x0 duns D et un diflkomorphisme F : ?? + F(U) C [0, w) x R”-l ayant les proprif2%%suivantes : (i) F(?? n i3D) = F(r) n ({0} x Rd-‘) et F(U fl D) = F(n) n R”+, od Rd+ := {x := (X1,22). . . ,x(j) : Xl > O}; (ii) il existe 1 5 1: < n tels que F*(X,) = (1,O;. . . !O)t, oti
F*(X,)(x)
:= DF(F-l(x))Xi(F-l(z))
;
(iii) les champs de vecteurs F*(Xj),j # 1:,0 2 j 5 n, sont de la forme (O,Y)t, 02 Y est une fonction rkgulitre de Rd duns Rd-l ; (iv) l’ensemble F(?? n r3D) est sous-critique relativement 6 l’opkrateur transforme’ F*(L) = 2
F*(XJ2
+ F*(Xo)
+ c 0 F-l.
i=l
Le lemme ci-dessuspermet de rkduire le problkme au cas oti D est le demi-espaceRd+. En utilisant la reprksentation stochastique (4), on applique ensuite les estimations de [4] au processusde diffusion F(t) pour obtenir les estimations d6sirCessur les d&ivkes Dku(x), k > 1, pour z proche de dD. L’idCe est la suivante : comme dans [2] et [5], on conditionne la diffusion par rapport & son temps de sortie de Rdf. Ceci est nkessaire parce que le temps de sortie est p-p. une fonction irkgulikre de 5. Les estimations de Dku(z), k >_ 1, dont on a besoin sont ensuite obtenues par intigration par parties partielle sur l’espace de Wiener conditiond, comme dans le calcul de Malliavin [9]. Les estimations obtenues par les auteurs dans [4] sont suffisamment robustes pour &tre applicables dans le contexte p&sent, et jouent un r61e crucial dans l’analyse qui suit. 0 Le thCor&me 1 se dkmontre comme ci-dessus. Remarque.- Le <
83
D.R.
Bell,
S.-E.A.
Mohammed
Pour tout z E D, il existe un chemin y : [0, GG) --f Rd tel que y(O) = z,y pour tout temps t avant que y quitte 0. y’(t) - X0(7(t)) E Lie(X1,. . . , X,,)(y(t))
quitte D, et
Suppose that D is a bounded regular domain in R” with a smooth boundary i3D. Assume that X0,.. . , X, are vector fields and c is a real-valued function, defined and smooth in an open neighborhood of 0. Let L denote the second order differential operator
In an earlier article [4] (see also [3]) the authors gave a sufficient condition for the hypoellipticity of L under hypotheses that allow HBrmander’s Lie algebra condition to fail on a hypersurface in D. The type of degeneracy allowed in [4] is characterized in terms of the following: DEFINITION. - For each k 2 0, define Xc’) to be a matrix with columns X0,. . . : X, , and all vector fields obtained from X0, :X, by forming iterated Lie brackets up to order k. Define
Xc”) := smallest eigenvalue of X(“)X(“)‘, where t denotes matrix transpose. We say that a hypersurface S c R”, is subcritical (with respect to I;) at z E S if there exists an open neighborhood U of :I:, an integer k > 0, and p E (- 1,O) such that
where p denotes the Euclidean distance between TJand the hypersurface S. Let K denote the set of points in D where L fails to satisfy HGrmander’s condition. A C1 hypersurface S is said to be non-characteristic (with respect to L) at TCE K if at least one of the vector fields Xl; . . . ,X, is transversal to S at .c. In [4], the authors showed that L is hypoelliptic provided K is contained in a C? hypersurface S of R”, such that S is subcritical and non-characteristic at all points of K. In particular, this theorem assertsthe hypoellipticity of the class of operators
that were studied by Kusuoka and Stroock in [8]. Differential operators that exhibit infinite-order degeneracy will be termed superdegenerate. In this Note we announce results that ensure the existence of a smooth solution to the Dirichlet problem for a large class of superdegenerateoperators. Our results are as follows: THEOREM 1. - Suppose that the set K U DD is contained in a C2 hyprsu$ace S and that S is subcritical and non-characteristic at all points of K U t3D. Let f E C”(D), g E P(aD), and u be a weak solution (in the senseof distributions) to the following Dirichlet problem on D:
LU = f
in D,
you = g on dD, where 70 denotes the sectional trace of order 0 on i3D. Then IL E C”(D). 84
(1)
The Dirichlet
problem
for superdegenerate
operators
THEOREM 2. - Supposethe hypotheses of Theorem 1 hold and in addition:
(a) c 5 0 0~10; (b) there exists 1 < k 5 d and a, > 0 such that ~~=,(Xi(l~),e~)~
2 a for all x E D, where el, denotes the kth standard unit vector in Rd. Then the Dirichlet problem (1) admits a unique smooth solution ‘II on D.
The Dirichlet problem for degenerate operators L has been studied by several authors (see [I], 161, [7], and [5]) under the assumption that L satisfies Hbmander’s condition at all points. As far as the authors are aware, the above results are the first to establish the existence of a smooth solution to the Dirichlet problem under hypotheses that allow degeneracy of infinite order. In particular, it appears that these results are at present unavailable using classical techniques. Outline of proof of Theorem 2. - Consider the d-dimensional diffusion process $ given by the Stratonovich stochastic differential equation: cl<(t) = X0(<(t)) c1t + 2
xi(<(t))
0 dW;(t).
i=l
{ ((0) = x E D, associated with the operator L. Then by the conditions of Theorem 2, a weak solution of the Dirichlet problem (1) is given by:
where 7 = T(Z) is the first exit time of the diffusion <” from D. Without loss of generality, we may assume that g z 0 on iJD, and for simplicity we will also take c -_ 0 (see [5]). Therefore, it is sufficient to prove that the function T(X) u(x) = -E
I/ . 0
f(<“‘(t)) dt
1
(4)
is smooth on D. Now L is hypoelliptic on D by [4], and u is a weak solution of the equation LU = 0 in D (see [IO]). Therefore u is C” on D. In order to prove smoothness of u up to aD, it is necessary to derive uniform bounds on the derivatives D(“)u(z), k > 1, as z approaches iJD through points of D. This is achieved by combining the techniques in [2], [5], and [4]. The following result plays a key role. LEMMA. - Supposethe hypotheses sf‘ Theorem 1 hold. Then ,for each point x0 E dD, there exists a neighborhood U of 20 in D and a difleomorphism F : ?? -+ F(g) c [0, CG) x R”-’ with the following properties: (i) F(g I-I aD) = F(g) n ((0) x Rdml) and F(u n D) = F(u) n R”+, where Rdf := {II’ := (x1:x2,. . ;Xd) : Z] > 0) ; (ii) there exists 1 5 ,i 5 n such that F*(X,) = (1: 0, . . . , O)t, where
F*(X,)(x)
(iii) the vectorfields F*(Xj), from
:= DF(F-l(~))Xi(F-l(~:));
j # %,0 < j 2 n, have theform (0, Y)’ where Y is a smooth.function
R” to Rdpl; 85
D.R.
Bell,
S.-E.A.
Mohammed
(iv) the set F(D
n 8D)
is subcritical
F*(L)
with respect to the transformed
=
2 F*(X,y 2=1
+ F*(Xo)
operator
+ c 0 p-1.
The above lemma reduces the problem to the case when D is the half-space R”+. Using the stochastic representation (4), the estimates in [4] are then applied to the diffusion process F(E) in order to obtain the desired estimates on D(‘;)u(z), k > 1. at points close to 8II. The idea is as follows: following [2] and [5], we condition the diffusion F(t) up to its exit time from R”+. This is necessary because the exit time is a.s. irregular as a function of .z. The required estimates on D(k),u(:~;). k > 1, are then obtained through a process of partial integration by parts on the conditioned Wiener space, in the manner of the Malliavin calculus [91. The estimates obtained by the authors in [4] are sufficiently q robust to be applied in the present context, and play a crucial role in the subsequent analysis. Theorem 1 is proved by an argument similar to the above. Remark. - The referee has observed that condition (b) in Theorem 2 may be replaced by the following hypothesis: For each z E D, there is a Cl path 7 : [0,x) --t R” such that y(O) = .I:, y leaves D, and for all times t before y exits D. y’(t) - X0(7(t)) E Lie(X1,. . ,X,,)(y(t)) Acknowledgements. The authorsare grateful to Guy David for the translation into French, and to the refereefor helpful suggestions. The researchof Denis Bell is supportedin part by NSF grant DMS-9703852 and by MSRI, Berkeley, California. The research of Salah Mohammed is supported in part by NSF grants DMS-9503702,
DMS-9703596,
and
by
MSRI.
Berkeley,
California.
References [ 1] Bony J.-M., Principe du maximum, inCgalit6 de Harnack et unicit& du probltme de Cauchy pour les opCrateurs elliptiques dCgtnCr&, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 19 (I 969) 277-304. [2] Ben-Arous G., Kusuoka S., Stroock D.W., The Poisson kernel for certain degenerate elliptic operators, J. Funct. Anal. 56 (2) (1984) 171-209. [3] Bell D.R.. Mohammed S.-E.A., Hypoelliptic parabolic operators with exponential degeneracies, C. R. Acad. Sci. Paris 317 %rie I (1993) 1059-1064. [4] Bell D.R., Mohammed S.-E.A., An extension of HBrmander’s theorem for infinitely degenerate second-order operators, Duke Math J. 78 (3) (1995) 453475. [5] Cattiaux P., Calcul stochastique et opCrateurs d&g&e& du second ordre II. Probl$me de Dirichlet, Bull. Sci. Math. (2e de) 115 (1991) 81-122. [6] Derridj M., Un problkme aux limites pour une classe d’operateurs du second ordre hypoelliptiques Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 21 (1971) 99-148. [7] Jerison D., The Dirichlet problem for the Kohn Laplacian on the Heisenberg group I, J. Funct. Anal. 43 (1) (1981) 97-142. [8] Kusuoka S., Stroock D.W., Applications of the Malliavin calculus, Part II. J. Fat. Sci., Univ. Tokyo (Sec. IA) 32 (1985) 1-76. [9] Malliavin P., Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators, Proc Int. Conf. Stoch. Diff. Eq., Kyoto. Kinokuniya, 1976, pp. 195-263. [IO] Stroock D.W., Varadhan S.R.S., On degenerate elliptic-parabolic operators of second order and their associated diffusions, Commun. Pure. Appl. Math. 25 (1972) 651-713.
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The Dir&let differential Denis
I, p. 81-86,
Differential
problem operators
R. BELL,
Salah-E.A.
1998 Equations)
for superdegenerate
MOHAMMED
Mathematical Sciences Research Institute, 1000 Centennial E-mail: dbellQunf.edu, [email protected] (ReCu le 27 avril
Abstract.
1998, accept& le 6/8 juin
Version
Berkeley,
California
94720-5070,
lJSA
1998)
Let L be an infinitely degenerate second-order linear operator defined on a bounded smooth Euclidean domain. Under weaker conditions than those of HBrmander, we show that the Dirichlet problem associated with L has a unique smooth classical solution. The proof uses the Malliavin calculus. At present, there appears to be no proof of this result using classical analytic techniques. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris
Le problkme de Dirichlet super-d6g&&-& RCsumC.
Drive,
pour
des op&ateurs
di&%rentiels
Soir L un ope’rateur linkaire dkjini sur un domaine borne’ r&ulier de l’espace ruclidien avec une d&&ne’rescence injinie. Sous des conditions plus faibles que celles de Hiirmander, on montre que le problkme de Dirichlet associe’ci L a une solution rt!gulit?re classique unique. La dkmonstration utilise le calcul de Malliavin. I1 semble qu’il n’y ait ci cette date aucune dkmonstration de ce re’sultat par des techniques analytiques classiques. 0 AcadCmie des SciencesIElsevier, Paris
francake
abrkge’e
Soit D un domaine born6 rkgulier de R” dont la front&-e 30 est kgulikre. Soient X0; . . . , X,, des champs de vecteurs et c une fonction B valeurs rkelles, tous dkfinis et kguliers dans un voisinage ouvert de 0. Notons L l’opkrateur diffkentiel de second ordre L=~x;L+xo+c. i=l
Dans un article antkieur [4] (voir aussi[3]), les auteurs ont donnCdes conditions suffisantespour que L soit hypoelliptique, qui autorisent la violation sur une hypersurface de D des conditions de Hijrmander sur l’algkbre de Lie. Le type de dkgbn&-escenceautorisk dans [4] est caractCrisCcomme suit : Note prksentke par Paul 0764.4442/98/03270081
MALLIAVIN.
0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris
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D.R.
Bell,
S.-E.A.
Mohammed
DEFINITION. - Pour chaque Ic > 0, soit X (‘) la matrice dont les colonnes sont Xa. . . . . X,,, et tous les champs de vecteurs obtenus a partir de X0, . . . , X,, en formant les crochets de Lie it&es jusqu’a l’ordre k. Soit
A(“) la plus petite valeur propre de X(“)X(“)t oti t designe la transposition des matrices. On dit qu’une hypersurface S c Rd est sow-critique (relativement a L) au point :c E S quand il existe un voisinage ouvert U de :I’, un entier IG > 0 et un p E (-1,0) tels que A(‘)(Y) 2 exr){-[&cl,
Ly)]p},
&.I E U
oti p(y, S) est la distance euclidienne de ;q a l’hypersurface S. Soit K l’ensemble des points de D oti L ne verifie pas la condition de Hiirmander. Dans [4], les auteurs ont montre que L est hypoelliptique a condition que K soit contenu dans une hypersurface S de Rd de classe C2, qui est sous-critique et non caracteristique en tout point de K. En particulier, ce theoreme donne l’hypoellipticite des operateurs
qui ont Cte Ctudies par Kusuoka et Stroock dans [8]. Des operateurs differentiels qui ont des dCgCnCrescences d’ordre infini seront appeles super-d&eWre’s. Le but de cette Note est d’annoncer des resultats qui donnent l’existence d’une solution reguliere au probleme de Dirichlet pour des operateurs super-degeneres.Les resultats sont les suivants : TH~ORI~ME 1. - Supposonsque l’ensembleK U i)D est contenu duns une hypersurface S de classe C* qui est sous-critique et non caracte’ristique en chaque point de K U i3D. Soient f E C”(D) et g E CF(aD) et soit u une solution faible (au sensdes distributions) du probltme de Dirichlet sur D :
LIL = f
duns D,
y()‘u =9
sur i)D.
(1)
oti yo represente la trace sectionnelle sur i3D. Alors 11.E C”(D). 2. - Supposonsque les hypothesesdu the’oreme 1 sont satisfaites et que de plus : (a) c 5 0 sur D; (b) il existe 1 5 k < d et a > 0 tels que ~~=I(X;(~),c~)2 2 a p our tout x E D, 02 (:I; est le ki’mr vecteur de la base standard de R”. Alors le probltme de Dirichlet (1) admet une solution C” unique u sur D. TH~OR~ME
Le probleme de Dirichlet pour des operateurs dCgCnCrCs L a CtC CtudiC par divers auteurs (voir [l], [6], [7] et [5]) sous l’hypothbse que L satisfassea la condition de Hijrmander en tout point. A la connaissancedes auteurs, les resultats ci-dessus sont les premiers a Ctablir l’existence d’une solution reguliere au probleme de Dirichlet sous des hypotheses qui permettent des degenerescences d’ordre infini. En particulier, il semble que ces resultats ne peuvent pas &tre obtenus a partir des techniques classiques. Schemade demonstration du theoreme 2. - On considere le processusde diffusion &dimensionnel donne par l’tquation differentielle stochastique de Stratonovich :
d<“‘(t) = X0(<“(t)) dt + 2 x;(<“(t)) 0 dWL(t)> i=l
E”‘(O) = z E D
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(2)
The Dirichlet
problem
for superdegenerate
operators
associk 2 l’opkrateur L. Alors sous les conditions du thkorkme 2, une solution faible du problbme de Dirichlet (1) est donnCe par : u(x) = E[g(
exp{ /“‘) .0
c(<“(s) dr} d,]
oti T = T(X) est le premier temps de sortie de D de la diffusion 5”. Sans perdre de gCnkralit6 on peut supposer que g = 0 sur dD, et pour simplifier prenons aussi c = 0 (voiu [5]). Done il est suffisant de montrer que la fonction T(Z) u(x) = -E V
f(W))
dt
0
(4)
I
est rkgulikre sur 0. Maintenant L est hypoelliptique sur D par [4] et u est une solution faible de l’kquation LU = 0 dans D (voir [lo]). Pour prouver la rkgularitk de u jusqu’a dD, il faut dkmontrer des estimations uniformes sur les d&i&es D”u(z), k > 1, quand 1ctend vers dD en restant dans D. Ceci est fait en combinant les techniques de [2], [5] et [4]. Le rksultat suivant joue un r61e essentiel. LEMME. - Supposonsque les hyothkes du th&or&ne 1 sont satisfaites.Alors pour tout point x0 E i)D, on peut trouver un voisinage U de x0 duns D et un diflkomorphisme F : ?? + F(U) C [0, w) x R”-l ayant les proprif2%%suivantes : (i) F(?? n i3D) = F(r) n ({0} x Rd-‘) et F(U fl D) = F(n) n R”+, od Rd+ := {x := (X1,22). . . ,x(j) : Xl > O}; (ii) il existe 1 5 1: < n tels que F*(X,) = (1,O;. . . !O)t, oti
F*(X,)(x)
:= DF(F-l(x))Xi(F-l(z))
;
(iii) les champs de vecteurs F*(Xj),j # 1:,0 2 j 5 n, sont de la forme (O,Y)t, 02 Y est une fonction rkgulitre de Rd duns Rd-l ; (iv) l’ensemble F(?? n r3D) est sous-critique relativement 6 l’opkrateur transforme’ F*(L) = 2
F*(XJ2
+ F*(Xo)
+ c 0 F-l.
i=l
Le lemme ci-dessuspermet de rkduire le problkme au cas oti D est le demi-espaceRd+. En utilisant la reprksentation stochastique (4), on applique ensuite les estimations de [4] au processusde diffusion F(t) pour obtenir les estimations d6sirCessur les d&ivkes Dku(x), k > 1, pour z proche de dD. L’idCe est la suivante : comme dans [2] et [5], on conditionne la diffusion par rapport & son temps de sortie de Rdf. Ceci est nkessaire parce que le temps de sortie est p-p. une fonction irkgulikre de 5. Les estimations de Dku(z), k >_ 1, dont on a besoin sont ensuite obtenues par intigration par parties partielle sur l’espace de Wiener conditiond, comme dans le calcul de Malliavin [9]. Les estimations obtenues par les auteurs dans [4] sont suffisamment robustes pour &tre applicables dans le contexte p&sent, et jouent un r61e crucial dans l’analyse qui suit. 0 Le thCor&me 1 se dkmontre comme ci-dessus. Remarque.- Le <
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Bell,
S.-E.A.
Mohammed
Pour tout z E D, il existe un chemin y : [0, GG) --f Rd tel que y(O) = z,y pour tout temps t avant que y quitte 0. y’(t) - X0(7(t)) E Lie(X1,. . . , X,,)(y(t))
quitte D, et
Suppose that D is a bounded regular domain in R” with a smooth boundary i3D. Assume that X0,.. . , X, are vector fields and c is a real-valued function, defined and smooth in an open neighborhood of 0. Let L denote the second order differential operator
In an earlier article [4] (see also [3]) the authors gave a sufficient condition for the hypoellipticity of L under hypotheses that allow HBrmander’s Lie algebra condition to fail on a hypersurface in D. The type of degeneracy allowed in [4] is characterized in terms of the following: DEFINITION. - For each k 2 0, define Xc’) to be a matrix with columns X0,. . . : X, , and all vector fields obtained from X0, :X, by forming iterated Lie brackets up to order k. Define
Xc”) := smallest eigenvalue of X(“)X(“)‘, where t denotes matrix transpose. We say that a hypersurface S c R”, is subcritical (with respect to I;) at z E S if there exists an open neighborhood U of :I:, an integer k > 0, and p E (- 1,O) such that
where p denotes the Euclidean distance between TJand the hypersurface S. Let K denote the set of points in D where L fails to satisfy HGrmander’s condition. A C1 hypersurface S is said to be non-characteristic (with respect to L) at TCE K if at least one of the vector fields Xl; . . . ,X, is transversal to S at .c. In [4], the authors showed that L is hypoelliptic provided K is contained in a C? hypersurface S of R”, such that S is subcritical and non-characteristic at all points of K. In particular, this theorem assertsthe hypoellipticity of the class of operators
that were studied by Kusuoka and Stroock in [8]. Differential operators that exhibit infinite-order degeneracy will be termed superdegenerate. In this Note we announce results that ensure the existence of a smooth solution to the Dirichlet problem for a large class of superdegenerateoperators. Our results are as follows: THEOREM 1. - Suppose that the set K U DD is contained in a C2 hyprsu$ace S and that S is subcritical and non-characteristic at all points of K U t3D. Let f E C”(D), g E P(aD), and u be a weak solution (in the senseof distributions) to the following Dirichlet problem on D:
LU = f
in D,
you = g on dD, where 70 denotes the sectional trace of order 0 on i3D. Then IL E C”(D). 84
(1)
The Dirichlet
problem
for superdegenerate
operators
THEOREM 2. - Supposethe hypotheses of Theorem 1 hold and in addition:
(a) c 5 0 0~10; (b) there exists 1 < k 5 d and a, > 0 such that ~~=,(Xi(l~),e~)~
2 a for all x E D, where el, denotes the kth standard unit vector in Rd. Then the Dirichlet problem (1) admits a unique smooth solution ‘II on D.
The Dirichlet problem for degenerate operators L has been studied by several authors (see [I], 161, [7], and [5]) under the assumption that L satisfies Hbmander’s condition at all points. As far as the authors are aware, the above results are the first to establish the existence of a smooth solution to the Dirichlet problem under hypotheses that allow degeneracy of infinite order. In particular, it appears that these results are at present unavailable using classical techniques. Outline of proof of Theorem 2. - Consider the d-dimensional diffusion process $ given by the Stratonovich stochastic differential equation: cl<(t) = X0(<(t)) c1t + 2
xi(<(t))
0 dW;(t).
i=l
{ ((0) = x E D, associated with the operator L. Then by the conditions of Theorem 2, a weak solution of the Dirichlet problem (1) is given by:
where 7 = T(Z) is the first exit time of the diffusion <” from D. Without loss of generality, we may assume that g z 0 on iJD, and for simplicity we will also take c -_ 0 (see [5]). Therefore, it is sufficient to prove that the function T(X) u(x) = -E
I/ . 0
f(<“‘(t)) dt
1
(4)
is smooth on D. Now L is hypoelliptic on D by [4], and u is a weak solution of the equation LU = 0 in D (see [IO]). Therefore u is C” on D. In order to prove smoothness of u up to aD, it is necessary to derive uniform bounds on the derivatives D(“)u(z), k > 1, as z approaches iJD through points of D. This is achieved by combining the techniques in [2], [5], and [4]. The following result plays a key role. LEMMA. - Supposethe hypotheses sf‘ Theorem 1 hold. Then ,for each point x0 E dD, there exists a neighborhood U of 20 in D and a difleomorphism F : ?? -+ F(g) c [0, CG) x R”-’ with the following properties: (i) F(g I-I aD) = F(g) n ((0) x Rdml) and F(u n D) = F(u) n R”+, where Rdf := {II’ := (x1:x2,. . ;Xd) : Z] > 0) ; (ii) there exists 1 5 ,i 5 n such that F*(X,) = (1: 0, . . . , O)t, where
F*(X,)(x)
(iii) the vectorfields F*(Xj), from
:= DF(F-l(~))Xi(F-l(~:));
j # %,0 < j 2 n, have theform (0, Y)’ where Y is a smooth.function
R” to Rdpl; 85
D.R.
Bell,
S.-E.A.
Mohammed
(iv) the set F(D
n 8D)
is subcritical
F*(L)
with respect to the transformed
=
2 F*(X,y 2=1
+ F*(Xo)
operator
+ c 0 p-1.
The above lemma reduces the problem to the case when D is the half-space R”+. Using the stochastic representation (4), the estimates in [4] are then applied to the diffusion process F(E) in order to obtain the desired estimates on D(‘;)u(z), k > 1. at points close to 8II. The idea is as follows: following [2] and [5], we condition the diffusion F(t) up to its exit time from R”+. This is necessary because the exit time is a.s. irregular as a function of .z. The required estimates on D(k),u(:~;). k > 1, are then obtained through a process of partial integration by parts on the conditioned Wiener space, in the manner of the Malliavin calculus [91. The estimates obtained by the authors in [4] are sufficiently q robust to be applied in the present context, and play a crucial role in the subsequent analysis. Theorem 1 is proved by an argument similar to the above. Remark. - The referee has observed that condition (b) in Theorem 2 may be replaced by the following hypothesis: For each z E D, there is a Cl path 7 : [0,x) --t R” such that y(O) = .I:, y leaves D, and for all times t before y exits D. y’(t) - X0(7(t)) E Lie(X1,. . ,X,,)(y(t)) Acknowledgements. The authorsare grateful to Guy David for the translation into French, and to the refereefor helpful suggestions. The researchof Denis Bell is supportedin part by NSF grant DMS-9703852 and by MSRI, Berkeley, California. The research of Salah Mohammed is supported in part by NSF grants DMS-9503702,
DMS-9703596,
and
by
MSRI.
Berkeley,
California.
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