The Ramsey Numbers of Paths Versus Fans

     
   




 

  

    
   

  
   
 

 
   

   !" #$% %&''  

 
(

 



 
   
        
       
       
    
    

 
     
 

 
   
 
  
 


                  
      
 

 
    
   
   
         
 
    
   

 ½   ¾         
   
 
   

   
     ! "
 #   "$  %  "

 & ! "$  '     !
  $  (      " & ! "

     & " "  #

  )$  % )
 *     !$  '     #¾ "

            
  +),)) +)-!+


 



 
 


        




 
 

   
 
   
   

      
       
 
             ¿            
 

  ½  ¾ 
     ½  

 
   
   ! " 
   
            
 

   

  
     
 

" #     
      
   



)


   
 
 . / 0 1  



  
 
 2

3 4
  



    


 
 

$ %&' !(  !( (  )*+ 

,    
  
  
 ,        
  
 
 
     

      )-+ )+ )&+ ).+ )+ )'+  )/+ 0  ,    
   

   

0  
 ,     
  
 

" 

  

 #  1    *   2  .       2  '   1     1 2  /              "
*  -2  1 . -  &    2  '    *


















































    1         
 1
      1   *

  




0 3 
     4  
     3    
   
    

 .

   



  1

  

 
  
        
    

        
         
     
         
    




               

         


 




       
 
    
   !
      
    !
         








    

"  
 
  
 
  
   



        5" 
       $ 
  
 
 
   "

  $ 
  
 
 
         
  # 6         
     
 
 

      
   
   
  
"  
                
   
    
   

  1
       
    7 
    "  
  
        ½ 
8 "    *  
     1       *  
      
                  9          
   
    "






















































    

 .            
 1  









 
 ½ 
" 
   
      
          0    
" 
    
 :
 
 
 ½       
     

         *  ;    
  

    $  
  
"     
 
   
 "

  0   
     
   "














 

"      
   

  ,    
 8 

 .      
       1      

         

   !

















"



 

    
 




       1   
  1
      
 

   







:
 
 
 ½      
        <    

  
    
     <      * ;    
          * 1   0 "

 
 

"   

    )+#    ! 1        *     0 

 

"   













 




 





            1     )+   !¾
 9
   )+      "  
 9 
   
 "
 
  

 


















      1    9
   )+ 1     1    "  
  )+   !¾
½ 2     ½ ¾  ¿     ¾
½  
  

    
   "
   
       " 1
  
!¾
½   )+   ½ ¾      ¾ ½ $     1          
      1         " 

 ¾
½ ½ #  
    
"

   

 



























*

  
       

 


 

  9  
 
     

   =  
         
!

 
  
    

  " 
   
   
   "       "     
  9    
     #           
   

!

   

  9             
   
   

     $ "
$   
    
"
  
  
 









 





9  
 
   
     

   
    
  $       $  
    
     
 
  


  
$  
   
      9  
 "     
  "
 
  
    
    <     
   

 "     
     
   
   
       $ < 
    


   "   
 
     "
    
 
 


   


  
       

  



















9               
" 


 
         0  
    5" 
   1 
  
 
 1
  


              1
 .   
 .      1     

  
   
   ;   

   9
      
 

        
    
"
 

   
   

. 












































   

            
  >  
 "    
 "

      . 0  
       !

 '   1  
  1      
 1    






 /              

     
  1    *  -     
 1
     

    
 

   !




























  

!  

 1 . -
 &   .




 
  




'









     *       
 1
   


 1  










    








     5!6 3  17 7  8- 9 
 2 1  9  :      


    !;'% "*;<"'' 5"6 3  2 1   0 1

  =
     
 
          *     !;;+ ;'?    . >? ?

 =   : 
  
  
   
  ! 
 
   @ @ 
   !;*' !*'







   

5*6 8- 9 
 9  :        +  *   
  1 4  !;'% )!<)( 5'6 1    B8 4

A

 =      
  
     
   

  
$#   ,-  *  

   4    
  "++! !'%
-