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Variétés de Waldhausen et fibrations sur le cercle
C. R. Acad.
Sci.
Paris,
t. 324,
SCrie
I, p. 655-658,
1997
Topologie/Topology
Vari&& de Waldhausen et fibrations sur le cercle Anne
YICHON
RCsumC.
Soit K une rCuniontinie de tihresde Seifert dansune variCtCde WaldhausenA/. On &die lestihrationswr le cercle de A/ \ K qui munissent111d’une structurede livre ouvert relic wr /C. En g&kA, cesfibrations sent transverscch la dkomposition de Waldhausen,et leursmonodromiessont, j iwtopie prks. desdiff‘Comorphisnies cluasipCriodiquehde surfa03. On d&it les relationsentre cesnionodroniieset la topologie de (Al. K). En particulicr. on dkmontrequ’il existc. h con.jugaison p&s. un nombrefini (&entuellementnul) de tellex monodromies, dont tous le\ twistsdc DehnsentnPgatifs.
1. Varibtbs de Waldhausen
marqubes
Une variCt6 de Waldhausen :\I est une variCt6 de dimension 3 diff&entiable compacte connexe et orientke telle qu’il existe une famille de tot-es ‘T plongke dans Al v&-itiant la condition suivante : si M(7) dksigne un petit voixinage r&ulier de ‘1 dans Al, M \ ZA(‘T) est la Anion disjointe de variCtCs seifertiques. Soit Al une variCtCde Waldhauscn munie d’une dkcomposition de Waldhauscn 111\M(7) = fl::, IJ’; dont chaque composante scifcrtiquc 1; est munie d’une fibration de Seifert B base orientable de telle sorte que lea fibres de Seifert de part et d’autre d’un tore 2 de ‘T ne soient pas homologues sur 7.. Soit I< une union de tibres dc Seifert de Af \ U(I), et soit U(K) un petit voisinage tub&ire de Z< dans A1 \ [A(I). On supposequ’aucune dcs variCtCs 1,; \ M(K) n’est un tore plein ni un tore kpaisai. La fatnillc 7 est alors unique B isotopie pk. Un tel couple (AI. K) s’appelle une vari@tC dc Waldhausen marqukc.
655
A. Pichon
Choisissons pour chacune dcs varietts C; une orientation de ses tibres de Seifert. On detinit le graphe de Waldhausen C:( AI, K) de la variete marquee (M. K) associe B ce choix d’orientation de faGon analogue au graphe construit dans [8] pour les varietes graphtes reduites : les sommets (resp. les a&es) de G(Af. K) sont en bijection avec les varietes 1; (resp. les tares de 7). Pour chaque fibre de Seifert de K n \; (resp. pour chaque fibre exceptionnelle de \: qui n’est pas composante de K), on attache au sommet S( 1; ) une H&he (resp. une tige) dont l’extremite est pond&e par le couple d’invariants de Seifert normalises ((Y. /j) associe (0 5 [j < TV) (voir la figure). D’autre part, chaque arete est orientee puis pond&e par le triplet normalise (cr. jl, F). t E { - 1: +l}, defini comme dans [8]. Enfin. le sommet S(1;) est pond&C par le genre de la base de b; et par le nombre d’Euler de la section imposee par le choix des entiers @. Le resultat suivant se deduit alors de [S] : deux varietes de Waldhausen marquees rtduites a fibres de Seifert orientees sont diffeomorphes par un diffeomorphisme preservant l’orientation de chaque hbre de Seifert ou renversant l’orientation de chaque fibre de Seifert si et seulement si leurs graphes de Waldhausen sont isomorphes. Remorque. - Un changement d’orientation des tibres de Seifert de 1; entraine un changement de signe des entiers F des a&es issues de vi;. Nous appelons c-operation une telle modification du graphe G( M. K).
2. Systkme monodromique
d’une variCtC de Waldhausen
marquke
Soit (M. K) une variete de Waldhausen marquee. Supposons que la varitte M possede une decomposition en livre ouvert de reliure K caracterisee par une hbration localement triviale S ’ dont les fibres sont transverses aux tores de 7 et aux fibres de Seifert des CD : M \ K des orientations suivante soit respectee : les varietes I,;, et telle que la condition de compatibilitt fibres de Seifert de M \ LI(7) Ctant munies de l’orientation naturelle induite par a,, I’orientation de K comme bord d’une surface tibre de 0 co’incide avec l’orientation de K comme tibre de Seifert de 124 \ M(7). Un tel triplet (M, K, a) s’appelle une variete de Waldhausen reliee. Le diffeomorphisme 1, : T + F, premier retour des fibres de Seifert sur la fibre 3 de @ est par definition la monodromie de (M. K, a)). II s’agit d’un diffeomorphisme quasi-periodique (i.e. il existe une famille C C 3 de courbes fermees simples disjointes sur F invariante par /r telle que la restriction de h au complementaire d’un petit voisinage tubulaire de C dans 3 soit periodique). De plus, le systeme minimal de reduction (voir 191) de 1). est exactement l’intersection de F et 7. Soit V une composante de Seifert de M \ U(7), et soit S le sommet du graphe G(M, K) qui la represente; notons NT l’ordre de la restriction de jr a 3 n V. La suite d’entiers (A’S) indexee par les sommets de G(M. K) s’appelle le multi-ordre de II. On appelle systeme monodromique du graphe G(M, K) le systeme lineaire (S) de matrice carree dtfini comme suit : les inconnues iv, du systeme (S) sont en bijection avec les sommets du graphe G(M, K). D’autre part, les equations du systeme (S) sont en bijection avec les sommets S du graphe G( M. K) de telle sorte que si S designe un sommet du graphe G(M. K) comme sur la figure, l’equation de (S) qui lui correspond relie N.7 aux inconnues NY, assocites a ses sommets voisins comme suit :
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VariM-s
de Waldhausen
et fibrations
sur
le cercle
d-d’ ar&tes j=d’+l,..., d f tiges i=l, . ...f
Cai>
pi>
l
(aj
0 d’ fkches j=l...., d’
q,
pi ) L
s::met
/\
2 Pj 3 lj )
l
sommet
Sj
s
TH~OREME 1. - Soit (M. K) une vari&rc; de Wuldhausen mcrrqur’e & jihres de Se@rt nrientr’es. Supposonsyue la vuriPtt~ de WLldhuusenmurque’e(M. K) admette unr structurt~ relike (41. K. Q) dent le gruphe de Wnldhcrusenest G(M. K). Alors le multi-ordre (IV?) de su monodromie e.rt solution du systtme tnonodromique de G(iIl. k-). D&zonstration. - Si (‘Jr. K) admet une structure reliCe de monodromie 11,.alors le graphe G( /Il. K) est entikrement dCtermin6 B partir des invariants de Nielsen (voir 161 ou 171) de 1, : wit 1’ une composante de Seifert de 111, soient F. . . h”-’ F les composantes connexes de F f~ I’, et soit T:F B la projection naturelle sur l’espace des orbites de ft.“. A chaque orbitc exceptionnelle (resp. chaque composante de bard) de B de valence (~1. X. a) (resp. (l..V. (T)), correspond une fibre exceptionnelle de 1,’ (resp. une composante de K n V) d‘invariants de Seifert ((1../j) tels que (0, X) = ([j. ct.) (resp. 5 = j - &). D’autre part, soit T un tore de 7 et soient 1,’ et I” les composantesde Seifert de M s@parkes par T. Soit (~1. X. CT)(resp. 7~‘. )\‘. 0’) la valence de la courbe FnV (resp. F’nP”), et soit t la torsade de /A au voisinage descourbes Fflnl. i.e. le nombre rationnel caracdrisant le twist de Dehn dkcrit par h au voisinage des courbes F’n7. Alors le triplet (tr. /j. c) qui pondbe I’arete ,4(T) orientke du sommet S’ reprksentant v’ vers le sommet S representant l,- vkrifie :
Enfin, le nombre d’Euler qui pond&e le sommet S(I-;) est la somme des quotients T associks aux valences des orbites exceptionnelles et des composantesde bord de F‘. L’kquation linkaire est alors obtenue en remplaqant ces quotients par les expressions obtenues prCcCdemment. Soit (M. K) une varikt6 de Waldhausen marquee. Deux structures relikes (111.K. a) et (nr. K. @‘) sont dites isomorphes s’il existe un diffkomorphisme Q : (M. K) (111.K) respectant la dkcomposition de Waldhausen et l’orientation de A4 tel que a’ = (I, o @$>5,1c. THI~R~ME 2. - Soit (III. K) une vuriPtl de Waldhausenmatyke et soit (N.7) une suite d’entiers positijh index&e par Ies sommetsrl’un gruphe de Wuldhuusen de (iIf. K). I1 existe 2 isomorphisme prt?s un nomhrejni (Pventuellement nul) de .structures relikes (M. K. a) dent 10 monodromie est de multi-ordre (NY). De plus. il existe un ulgorithme yui permet d’en dresser explicitement Icr liste.
Dkmonstmtion. - DCcrire la classe d’isomorphisme d’une structure reliCe Cquivaut 2 dkrire la classe de conjugaison de sa monodromie, c’est-g-dire son systkme d’invariants de Nielsen. Or les formules CnoncCesdans la preuve du thkorisme 1 montrent qu’2 chaque graphe de Waldhausen de (M, K) correspond un nombre tini de graphes de Nielsen de diffkomorphismes de multi-ordre (~VS). Ces graphesdiffkrent par la dkomposition du multi-ordre en produits (:V,C) = (u,sT~,~),oti ‘r.5 dCsigne le nombre de composantesconnexes de l’intersection de la fibre F avec la composante de Seifert de M reprkentke par le sommet ,S. De plus, ces formules permettent de dkterminer explicitement la liste de ces graphes.
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A. Pichon
3. Application
g la gkomktrie
complexe
ConsidCrons Ic cas particulier suivant : 2 est une surface complexe normale, et .f : Z + C est un germe de fonction holomorphe en 1’ E Z tel que f(r)) = 0. Notons @ : AT \ K i S’ la tibration de L? associee h .f (\wil- 121 et [4]). Le triplet (kU> K. a) est une variCtt de Waldhausen relite. Tt&ORiME
esf ri tow&s
3. - 01 motwdt-otnie ttPguti\~rs.
de lu LwriCte’ de Wuldhausen
rrliPe associr’r
ti une function
hnlomorphe
La dkmonstration repose alors sur le fait que toutes les orientations sont induites par I’orientation complexe (lwir 171).Ce thCor&meest connu dans le cas oti 1~ est lisse dans Z (voir [ I ] et [3]). THI%RLME 4. - Soit (I’U. K) une vat-i&P de Wuldhausen mutq&. I1 existr 2 isomorphisme prt’s un twmhre ,fini (Pvrttrurllrttt~ttt tzul) de structures reli6e.s (M. K. a) dont la monodromie esi ci torsades ttc;gubves. Dr plus, ii c~.ri.ste utt cdgorithme yui permet d’en dresser explicitemenr la liste. Pour la dkmonstration. nous utilisons une variante d’un thCor&mede Mumford (voir [S]) :
LEMME.- Soit -4 = [u,,,]l<,.,<,, - ..sui\utUes
une matrice
pmP~riyur
ti cmfjcicien~s
r&ls
qui vkrifie Irs conditions
:
(i) V’r f j. (I,, 5 0. (ii) il ti’esiste pis de prrrtition non triL>iale I U ./ = { 1, . . ‘I/,} telle yL4e V(I, j) E I X .I. CL,, = 0. Soit D = [~J,]L<,<,, uric matrice non nulle 2 coefficients rCels positifs. Si le systkme IinCaire =IS = B d’inconnue S = [.f:,]l
RCfirences
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bibliographiques
Sci.
Paris,
t. 324,
SCrie
I, p. 655-658,
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Topologie/Topology
Vari&& de Waldhausen et fibrations sur le cercle Anne
YICHON
RCsumC.
Soit K une rCuniontinie de tihresde Seifert dansune variCtCde WaldhausenA/. On &die lestihrationswr le cercle de A/ \ K qui munissent111d’une structurede livre ouvert relic wr /C. En g&kA, cesfibrations sent transverscch la dkomposition de Waldhausen,et leursmonodromiessont, j iwtopie prks. desdiff‘Comorphisnies cluasipCriodiquehde surfa03. On d&it les relationsentre cesnionodroniieset la topologie de (Al. K). En particulicr. on dkmontrequ’il existc. h con.jugaison p&s. un nombrefini (&entuellementnul) de tellex monodromies, dont tous le\ twistsdc DehnsentnPgatifs.
1. Varibtbs de Waldhausen
marqubes
Une variCt6 de Waldhausen :\I est une variCt6 de dimension 3 diff&entiable compacte connexe et orientke telle qu’il existe une famille de tot-es ‘T plongke dans Al v&-itiant la condition suivante : si M(7) dksigne un petit voixinage r&ulier de ‘1 dans Al, M \ ZA(‘T) est la Anion disjointe de variCtCs seifertiques. Soit Al une variCtCde Waldhauscn munie d’une dkcomposition de Waldhauscn 111\M(7) = fl::, IJ’; dont chaque composante scifcrtiquc 1; est munie d’une fibration de Seifert B base orientable de telle sorte que lea fibres de Seifert de part et d’autre d’un tore 2 de ‘T ne soient pas homologues sur 7.. Soit I< une union de tibres dc Seifert de Af \ U(I), et soit U(K) un petit voisinage tub&ire de Z< dans A1 \ [A(I). On supposequ’aucune dcs variCtCs 1,; \ M(K) n’est un tore plein ni un tore kpaisai. La fatnillc 7 est alors unique B isotopie pk. Un tel couple (AI. K) s’appelle une vari@tC dc Waldhausen marqukc.
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A. Pichon
Choisissons pour chacune dcs varietts C; une orientation de ses tibres de Seifert. On detinit le graphe de Waldhausen C:( AI, K) de la variete marquee (M. K) associe B ce choix d’orientation de faGon analogue au graphe construit dans [8] pour les varietes graphtes reduites : les sommets (resp. les a&es) de G(Af. K) sont en bijection avec les varietes 1; (resp. les tares de 7). Pour chaque fibre de Seifert de K n \; (resp. pour chaque fibre exceptionnelle de \: qui n’est pas composante de K), on attache au sommet S( 1; ) une H&he (resp. une tige) dont l’extremite est pond&e par le couple d’invariants de Seifert normalises ((Y. /j) associe (0 5 [j < TV) (voir la figure). D’autre part, chaque arete est orientee puis pond&e par le triplet normalise (cr. jl, F). t E { - 1: +l}, defini comme dans [8]. Enfin. le sommet S(1;) est pond&C par le genre de la base de b; et par le nombre d’Euler de la section imposee par le choix des entiers @. Le resultat suivant se deduit alors de [S] : deux varietes de Waldhausen marquees rtduites a fibres de Seifert orientees sont diffeomorphes par un diffeomorphisme preservant l’orientation de chaque hbre de Seifert ou renversant l’orientation de chaque fibre de Seifert si et seulement si leurs graphes de Waldhausen sont isomorphes. Remorque. - Un changement d’orientation des tibres de Seifert de 1; entraine un changement de signe des entiers F des a&es issues de vi;. Nous appelons c-operation une telle modification du graphe G( M. K).
2. Systkme monodromique
d’une variCtC de Waldhausen
marquke
Soit (M. K) une variete de Waldhausen marquee. Supposons que la varitte M possede une decomposition en livre ouvert de reliure K caracterisee par une hbration localement triviale S ’ dont les fibres sont transverses aux tores de 7 et aux fibres de Seifert des CD : M \ K des orientations suivante soit respectee : les varietes I,;, et telle que la condition de compatibilitt fibres de Seifert de M \ LI(7) Ctant munies de l’orientation naturelle induite par a,, I’orientation de K comme bord d’une surface tibre de 0 co’incide avec l’orientation de K comme tibre de Seifert de 124 \ M(7). Un tel triplet (M, K, a) s’appelle une variete de Waldhausen reliee. Le diffeomorphisme 1, : T + F, premier retour des fibres de Seifert sur la fibre 3 de @ est par definition la monodromie de (M. K, a)). II s’agit d’un diffeomorphisme quasi-periodique (i.e. il existe une famille C C 3 de courbes fermees simples disjointes sur F invariante par /r telle que la restriction de h au complementaire d’un petit voisinage tubulaire de C dans 3 soit periodique). De plus, le systeme minimal de reduction (voir 191) de 1). est exactement l’intersection de F et 7. Soit V une composante de Seifert de M \ U(7), et soit S le sommet du graphe G(M, K) qui la represente; notons NT l’ordre de la restriction de jr a 3 n V. La suite d’entiers (A’S) indexee par les sommets de G(M. K) s’appelle le multi-ordre de II. On appelle systeme monodromique du graphe G(M, K) le systeme lineaire (S) de matrice carree dtfini comme suit : les inconnues iv, du systeme (S) sont en bijection avec les sommets du graphe G(M, K). D’autre part, les equations du systeme (S) sont en bijection avec les sommets S du graphe G( M. K) de telle sorte que si S designe un sommet du graphe G(M. K) comme sur la figure, l’equation de (S) qui lui correspond relie N.7 aux inconnues NY, assocites a ses sommets voisins comme suit :
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VariM-s
de Waldhausen
et fibrations
sur
le cercle
d-d’ ar&tes j=d’+l,..., d f tiges i=l, . ...f
Cai>
pi>
l
(aj
0 d’ fkches j=l...., d’
q,
pi ) L
s::met
/\
2 Pj 3 lj )
l
sommet
Sj
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TH~OREME 1. - Soit (M. K) une vari&rc; de Wuldhausen mcrrqur’e & jihres de Se@rt nrientr’es. Supposonsyue la vuriPtt~ de WLldhuusenmurque’e(M. K) admette unr structurt~ relike (41. K. Q) dent le gruphe de Wnldhcrusenest G(M. K). Alors le multi-ordre (IV?) de su monodromie e.rt solution du systtme tnonodromique de G(iIl. k-). D&zonstration. - Si (‘Jr. K) admet une structure reliCe de monodromie 11,.alors le graphe G( /Il. K) est entikrement dCtermin6 B partir des invariants de Nielsen (voir 161 ou 171) de 1, : wit 1’ une composante de Seifert de 111, soient F. . . h”-’ F les composantes connexes de F f~ I’, et soit T:F B la projection naturelle sur l’espace des orbites de ft.“. A chaque orbitc exceptionnelle (resp. chaque composante de bard) de B de valence (~1. X. a) (resp. (l..V. (T)), correspond une fibre exceptionnelle de 1,’ (resp. une composante de K n V) d‘invariants de Seifert ((1../j) tels que (0, X) = ([j. ct.) (resp. 5 = j - &). D’autre part, soit T un tore de 7 et soient 1,’ et I” les composantesde Seifert de M s@parkes par T. Soit (~1. X. CT)(resp. 7~‘. )\‘. 0’) la valence de la courbe FnV (resp. F’nP”), et soit t la torsade de /A au voisinage descourbes Fflnl. i.e. le nombre rationnel caracdrisant le twist de Dehn dkcrit par h au voisinage des courbes F’n7. Alors le triplet (tr. /j. c) qui pondbe I’arete ,4(T) orientke du sommet S’ reprksentant v’ vers le sommet S representant l,- vkrifie :
Enfin, le nombre d’Euler qui pond&e le sommet S(I-;) est la somme des quotients T associks aux valences des orbites exceptionnelles et des composantesde bord de F‘. L’kquation linkaire est alors obtenue en remplaqant ces quotients par les expressions obtenues prCcCdemment. Soit (M. K) une varikt6 de Waldhausen marquee. Deux structures relikes (111.K. a) et (nr. K. @‘) sont dites isomorphes s’il existe un diffkomorphisme Q : (M. K) (111.K) respectant la dkcomposition de Waldhausen et l’orientation de A4 tel que a’ = (I, o @$>5,1c. THI~R~ME 2. - Soit (III. K) une vuriPtl de Waldhausenmatyke et soit (N.7) une suite d’entiers positijh index&e par Ies sommetsrl’un gruphe de Wuldhuusen de (iIf. K). I1 existe 2 isomorphisme prt?s un nomhrejni (Pventuellement nul) de .structures relikes (M. K. a) dent 10 monodromie est de multi-ordre (NY). De plus. il existe un ulgorithme yui permet d’en dresser explicitement Icr liste.
Dkmonstmtion. - DCcrire la classe d’isomorphisme d’une structure reliCe Cquivaut 2 dkrire la classe de conjugaison de sa monodromie, c’est-g-dire son systkme d’invariants de Nielsen. Or les formules CnoncCesdans la preuve du thkorisme 1 montrent qu’2 chaque graphe de Waldhausen de (M, K) correspond un nombre tini de graphes de Nielsen de diffkomorphismes de multi-ordre (~VS). Ces graphesdiffkrent par la dkomposition du multi-ordre en produits (:V,C) = (u,sT~,~),oti ‘r.5 dCsigne le nombre de composantesconnexes de l’intersection de la fibre F avec la composante de Seifert de M reprkentke par le sommet ,S. De plus, ces formules permettent de dkterminer explicitement la liste de ces graphes.
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A. Pichon
3. Application
g la gkomktrie
complexe
ConsidCrons Ic cas particulier suivant : 2 est une surface complexe normale, et .f : Z + C est un germe de fonction holomorphe en 1’ E Z tel que f(r)) = 0. Notons @ : AT \ K i S’ la tibration de L? associee h .f (\wil- 121 et [4]). Le triplet (kU> K. a) est une variCtt de Waldhausen relite. Tt&ORiME
esf ri tow&s
3. - 01 motwdt-otnie ttPguti\~rs.
de lu LwriCte’ de Wuldhausen
rrliPe associr’r
ti une function
hnlomorphe
La dkmonstration repose alors sur le fait que toutes les orientations sont induites par I’orientation complexe (lwir 171).Ce thCor&meest connu dans le cas oti 1~ est lisse dans Z (voir [ I ] et [3]). THI%RLME 4. - Soit (I’U. K) une vat-i&P de Wuldhausen mutq&. I1 existr 2 isomorphisme prt’s un twmhre ,fini (Pvrttrurllrttt~ttt tzul) de structures reli6e.s (M. K. a) dont la monodromie esi ci torsades ttc;gubves. Dr plus, ii c~.ri.ste utt cdgorithme yui permet d’en dresser explicitemenr la liste. Pour la dkmonstration. nous utilisons une variante d’un thCor&mede Mumford (voir [S]) :
LEMME.- Soit -4 = [u,,,]l<,.,<,, - ..sui\utUes
une matrice
pmP~riyur
ti cmfjcicien~s
r&ls
qui vkrifie Irs conditions
:
(i) V’r f j. (I,, 5 0. (ii) il ti’esiste pis de prrrtition non triL>iale I U ./ = { 1, . . ‘I/,} telle yL4e V(I, j) E I X .I. CL,, = 0. Soit D = [~J,]L<,<,, uric matrice non nulle 2 coefficients rCels positifs. Si le systkme IinCaire =IS = B d’inconnue S = [.f:,]l
RCfirences
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bibliographiques