Zur vermeidung von thermischen effekten bei der messung der strömungsdoppelbrechung

Janeschitz-Kriegl, H. 1956

Physica X X l I 1197-1214

Z U R V E R M E I D U N G VON T H E R M I S C H E N E F F E K T E N B E I D E R MESSUNG D E R S T R O M U N G S D O P P E L B R E C H U N G von H. JANESCHITZ-KRIEGL Centraal Laboratorium T.N.O., Delft, Nederland. Synopsis

I n order to avoid the thermal perturbation of flow birefringence measurements a modified Couette-apparatus was developed. I n the usual a p p a r a t u s the heat of friction generated in the liquid is removed b y thermal conduction through the cylinder walls. As discussed b y B j 6 r n s t A h l s) a stationary distribution of temperature is established showing a m a x i m u m a t the centre of the gap. Consequently the light used in the measurements is refracted and is p a r t l y reflected b y the cylinder wails. This perturbation severely limits the measurement of small flow birefringences. I t m a y be avoided b y superimposing a slow motion of the liquid parallel to the axis on the main stream in the Couette-apparatus. This convection current removes an i m p o r t a n t p a r t of the heat of friction. Its consequences were studied theoretically and experimentally. Essential for the method proposed here is the use of glass cylinders. Indeed, the high thermal conductivity of metal walls suppresses the effect of a slow convection stream. Zusammenfassung

Es wird eine Methode gegeben, die zur Vermeidung des yon B j 6 r n s t ~ h l 8) beschriebenen St6reffektes bei der Messung der Str6mungsdoppelbrechung fiihrt. VCenn die in der Fliissigkeit erzeugte 1ReibungswArme durch die ZylinderwAnde (MetallwAnde) des Couette-Apparates abgeftihrt wird, erhAlt man nach B j 6 r n s t A h l fiber den Spaltquerschnitt eine station/ire Temperaturverteilung, deren Maximum in der MAtte des Spaltes liegt. Dadurch wird ein Teil des den Spalt durchlaufenden Lichtes zu den ZylinderwAnden abgelenkt und erleidet Reflexion. T e m p e r a t u r m a x i m u m und Lichtablenkung k6nnen durch die Verwendung eines langsamen Konvektionsstromes parallel zur Zylinderachse fast v611ig vermieden werden. Voraussetzung hierftir ist die Verwendung yon Glaszylindern, da als Folge der grossen Wiirmeleitfiihigkeit yon Metallzylindern de~r Einfluss einer langsamen Konvektionsstr6mung nicht zur Geltung kommen k6nnte.

I. Einleitung. Z u r M e s s u n g d e r S t r 6 m u n g s d o p p e l b r e c h u n g b e d i e n t m a n sich in der Regel eines Couette-Apparates, der bekanntlich aus zwei koaxialen Zylindern besteht. Im Zwischenraum zwischen den Zylinderfl/ichen - meist einfach Spalt genannt - befindet sich die L6sung, deren optisches Verhalten u n t e r s u c h t w e r d e n soil. L / i s s t m a n n u n e i n e n d e r b e i d e n Z y l i n d e r u m d i e g e m e i n s a m e A c h s e r o t i e r e n , d a n n e r h / i l t m a n in d e r F l f i s s i g k e i t e i n e S t r 6 mung, die mathematisch besonders einfach wird, wenn das Verh/iltnis der --

Physica XXII

1197

--

75*

1198

H. JANESCHITZ-KRIEGL

Spaltbreite zum Zylinderradius klein genug ist. Dann wird das StrSmungsprofil n~imlich linear mit konstantem StrSmungsgradienten. Wir werden hier nicht auf Entstehung und Deutung der StrSmungsdoppelbrechung eingehen. Wichtig ist ftir uns nur, dass bei verdtinnten makromolekularen LSsungen, besonders bei LSsungen von Fadenmolektilen, der auftretende Doppelbrechungseffekt sehr klein sein kann. Man muss mit Phasenunterschieden von weniger als 10-2 rechnen, was einem Unterschied der Brechungsindizes von weniger als l0 -8 entspricht. Wie schon erw~ihnt, muss man mit relativ engem Spalt arbeiten. Diese Forderung wird j edoch noch in st~irkerem Masse dadurch bedingt, dass der kritische Str5mungsgradient, bei dem trubulente StrSmung einsetzt, stark v o n d e r Spaltbreite abh~ingig ist. Der kritische StrSmungsgradient liegt natfirlich umso h5her, je enger der Spalt ist. Ausserdem ist natiirlich f/ir die GrSsse des kritischen Gradienten noch massgebend, ob der Aussenzylinder oder der Innenzylinder des Aparates rotiert. Man wird nach MSglichkeit einen rotierenden Aussenzylinder verwenden, wie aus den ausftihrlichen Arbeiten von G. I. T a y l o r 1) und aus dem Ubersichtsartikel yon H. G. J e r r a r d 2) zu ersehen ist. Wie dem auch sei, so wird man doch stets trachten, die Spaltbreite mSglichst klein zu halten. Man darf bei diesen Uberlegungen j edoch nicht auf die Wellennatur des Lichtes vergessen, mit dessen Hilfe man die Doppelbrechung zu bestimmen gedenkt. Der Lichtstrahl wird parallel mit der Zylinderachse durch den Spalt geschickt. (Vgl. O. S n e l l m a n 3 ) ) . Es tritt dabei in engen Spalten stets Beugung des Lichtes auf. Das Beugungsbild der Eintrittsstelle des Lichtes in den Spalt kann dann mit Hilfe einer Linse entworfen werden. Warum ist nun das Auftreten der Beugungserscheinung so unangenehm ? Es stellt sich n~imlich heraus, dass nur die nullte Ordnung des erwAhnten Beugungsbildes von Licht erzeugt wird, welches auf dem Wege durch den Spalt keine Reflexion von den Zylinderw~inden erlitten hat (H. J a n e s c h i t z - K r i e g l 4 ) ) Bekanntlich wird linear polarisiertes Licht bei der Reflexion an Metallw~nden schwach elliptisch. Die dadurch vorget~iuschte Doppelbrechung liegt j edoch bereits in der GrSssenordnung der meist sehr schwachen StrSmungsdoppelbrechung selbst. Im Prinzip kann also erst nach Abschirmung der hSheren Ordnungen die nullte Ordnung obigen Beugungsbildes zur Messung kleinster Werte der StrSmungsdoppelbrechung herangezogen werden *). Vom optischen Standpunkt gesehen w~ire es giinstiger, wenn man anstelle von Metallzylindern solche aus Glas verwenden w/irde, da bei diesen der dutch Reflexion erzeugte StSreffekt um etwa eine GrSssenordnung kleiner ist. (Vgl. auch H. W a y l a n d s) und J. L e r a y 7)) Ausserdem ist die erreich*) R. Cerf 5) benutzt eine anders geartete Aufstellung, die das Auftreten einer Beugungserscheinung im Spalt weitgehend unterdrtickt. Es wfirde hier zu weit ftihren, n~iher darauf einzugehen.

ZUR MESSUNG DER STROMUNGSDOPPELBRECHUNG

'1199

bare Oberfliichenqualit~t bei Glas wesentlich hSher als bei Metall, was ftir die Qualitiit des Beugungsbildes sehr wichtig ist. Bevor wir j edoch unsere Diskussion fiber das Material der Zylinderw~nde fortsetzen kSnnen, miissen wir noch bedenken, dass in der strSmenden Flfissigkeit Reibungsw~irme produziert wird. Wenn die Fltissigkeit auf konstanter Temperatur bleiben soll, dann muss die erzeugte Wiirme abgeftihrt werden. Die W~rme-abfuhr kann nun im Prinzip auf zwei verschiedene Arten erfolgen, durch W~irmeleitung oder durch W~irmekonvektion. Bis heute hat man sich beinahe ausschiesslich der ersten MSglichkeit bedient. Die W~irme wird dabei stets durch die Zylinderw~inde abgeleitet. Im stationAren Zustand erhiilt man fiber den Querschnitt des Spaltes eine parabolische Temperaturverteilung mit dem Maximum in der Mitre. (Y. Bj 5 r n s t A h l s)). Da der Brechungsindex der Fltissigkeit mit steigender Temperatur abnimmt, ist der Lichtweg in der Mitte des Spaltes am kfirzesten. Die strSmende Fltissigkeit wirkt auf das Licht wie eine negative Zylinderlinse. Ein grosset Teil des Lichtes, das bei gleichm~issiger Temperaturverteilung den Spalt durchlaufen wtirde, ohne die W~inde zu bertihren, wird dadurch gegen die W~inde abgelenkt und erleidet Reflexion. (Y. B j S r n st~hlS), O. S n e l l m a n s)). Auf das genannte Beugungsbild wirkt sich die parabolische Temperaturverteilung tats~ichlich so aus, als h~tte man zwischen Spalt und abbildende positive Linse eine negative Linse eingeschaltet. Die nullte Ordnung wird jedoch mit zunehmendem StrSmungsgradienten nicht nur kleiner, sondern verliert auch sehr rasch an Intensit~it. Dartiber verwundert man sich nicht mehr, wenn man zu beiden Seiten des Beugungsbildes breite, kontinuierliche Zonen reflektierten Lichtes entdeckt. Dutch den Verlust an Intensiffit der nullten Ordnung wird in den meisten F~illen die Messung der StrSmungsdoppelbrechung bereits bei StrSmungsgradienten unmSglich, die weit unterhalb des kritischen Gradienten liegen, bei dem die Turbulenz einsetzt. Die MSglichkeit der Beseitigung der unerwtinschten parabolischen Temperaturverteilung mit Hilfe eines Konvektionsstromes haben erstmalig W. K u h n , H. O s w a l d und H. K u h n 9) erkannt. Sie bauten einen Apparat mit rotierendem Innenzylinder. Den Durchmesser des Aussenzylinders w~ihlten sie wesentlich gr6sser, sodass in dem entstehenden breiten Zwischenraum praktisch bei jeder Tourenzahl turbulente StrSmung herrschte. Dadurch erhielten sie einen ausgezeichneten W~irmeaustausch. Nun setzten sie ein schmales Segment eines Zylinders als sogenannte Insel in den Zwischenraum. Zwischen Insel und Rotor wurde der Spalt jedoch so eng gew~ihlt, dass sich dort laminate StrSmung ausbilden konnte, deren StrSmungsdoppelbrechung nup gemessen wurde. Die erzeugte Reibungsw~irme wurde also direkt mit der Fltissigkeit zusammen abgeffihrt. Bei dieser Konstruktion treten allerdings neue hydrodynamische Probleme auf, die hier nicht diskutiert werden sollen. (vgl. H. J a n e s c h i t z - K r i e g l 4)).

1200

H. JANESCHITZ-KRIEGL

~q'r~c011en zu Betrachtungen am konzentrischen Zylinderapparat zuriickkehren und untersuchen, ob man nicht mit Vorteil einen Konvektionsstrom parallel zur Zylinderachse anwenden k6nne. Die Herstellung eines solchen Konvektionsstromes geschieht mit Hilfe einer Pumpe, die einen Druckunterschied zwischen den StirnflAchen der Zylinder erzeugt. (Die entstehende fiberlagerte Poiseuillestr6mung muss natfirlich so schwach bleiben, dass der Doppelbrechungseffekt nicht beeinflusst wird). Ffir diese Art der Konvektion zeigt sich der Vorteil yon ZylinderwAnden aus Glas, da bei der hohen WArmeleitfAhigkeit von MetallwAnden der Einfluss einer langsamen Konvektionsstr6mung nicht zur Geltung kommen k6nnte. In diesem Aufsatz sollen nun Temperaturverteilungen fiber den Querschnitt des Spaltes berechnet werden. Als allgemeines Ergebnis kann vorweggenommen werden, dass der Temperaturunterschied zwischen Spaltmitte und Wand durch die vorgeschlagene Konvektionsstr6mung wesentlich vermindert werden kann. In vielen FAllen kann man ohne BeeintrAchtigung der Str6mungsdoppelbrechung sogar erreichen, dass die Temparatur in der Mitte des Spaltes niedfiger wird als an der Wand, was eine Konzentrierung des Lichtbfindels in der Mitte des Spaltes zur Folge haben wfirde. Da bereits das oben erwAhnte Beugungsbild nicht mehr mathematisch erfassbar ist, mfissen wir den Einfluss, den die berechneten Temperaturverteilungen auf die Lichtfortpflanzung ausfiben, einer genaueren experimentellen Untersuchung unterziehen. II. Au[stellung der DiHerentialgleichung und der Randbedingungen. Wir verwenden folgende vereinfachenden Annahmen: (vgl. H. C. B r in k m a n lO) 1. Da die Spaitbreite klein gegen die Radien der Zylinder ist, ersetzen wir die ZylinderwAnde ffir die Rechnung durch zwei planparallele Platten. Unsere x-Richtung falle mit dem Lot auf diese Platten zusammen. x = 0 . . . Mitte des Spaltes. 2. Die z-Richtung wird parallel mit deft Platten gewAhlt. Sie stellt die Richtung des Konvektionsstromes dar. 3. Der Str6mungsgradient, der durch die Rotation eines der erwAhnten Zylinder in der L6sung entsteht, k o m m t in unserem vereinfachten Bilde nur mehr dadurch zum Ausdruck, dass wir die pro Volumseinheit in der Flfissigkeit erzeugte ReibungswArme fiber das ganze Flfissigkeitsvolumen konstant annehmen. Diese Annahme schliesst ein, dass 4. die ViskositAt der Flfissigkeit durch die auftretenden Temperaturunterschiede nicht wesentlich beeinflusst wird. 5. Wir vernachlAssigen die zusAtzlich durch den Konvektionsstrom erzeugte ReibungswArme. Da die Gradienten dieser Str6mung klein gegen den Gradienten der Hauptstrtimung bleiben mfissen, und da sich die Gradienten beider Str6mungen pythagoreisch addieren, wird der Fehler unmerkbar, der mit dieser VernachlAssigung verknfipft ist.

ZUR MESS UNG DER STROMUNGSDOPPELBRECHUNG

1201

6. Die W~rmeleitung in der z-Richtung wird vernachl~issigt, da die Temperaturgradienten in der Richtung des Konvektionsstromes ~iusserst klein sind, wenn man sie mit den Temperaturgradienten in der x-Richtung vergleicht. Ausserdem werden in der z-Richtung grosse Wiirmemengen durch Konvektion transportiert. Wir kSnnen also analog zu der van H. C. B r i n k m a n 10) gegebenen Methode folgende Differentialgleichung aufstellen: a2T

aT

2 ~ x 2 + we2 _

w . ~ . vz(x) a---z ---- 0

(1)

T 2z

Temperatur W~irmeleitf/ihigkeit ] w W~rmekapazit~t [ der Fliissigkeit 0 Dichte ] Viskositiit q Str6mungsgradient, durch die Rotation eines der Zylinder verursacht. vz(x) die in der z-Richtung liegende Geschwindigkeit der Konvektionsstr6mung als Funktion van x. Der erste Term van G1. (l) entspricht der W~irmemenge, die der Volumseinheit in der Zeiteinheit durch Wiirmeleitung in der x-Richtung zugeftihrt wird. Der zweite Term stellt die in der Zeiteinheit pro Volumseinheit erzeugte Reibungsw~irme dar. Der dritte Term beschreibt die durch den Konvektionsstrom transportierte Wiirme. Im stationiiren Zustand muss natfirlich die Summe dieser drei WArmemengen in jedem Volumselement verschwinden. Diesen Umstand driickt G1. (1) aus. Ffir unseren Zweck genfigt es, wenn wir annehmen, dass sich die untersuchte L6sung wie eine Newtonsche Flfissigkeit verh~lt. Ffir die Konvektionsstr6mung setzen wir daher die folgende Poiseuillesche Str6mung"

(2) p Druckdifferenz, zwischen den Stirnfl/tchen der Zylinder. l H6he der Zylinder. d Spaltbreite. Bei Verwendung der dimensionslosen Variablen (vgl. H. C. B r i n k m a n lO) 2 =

-~ x,

r --

~z 4 ~q2 d9 .

--

T,

¢--__

2l 16 2~/l w e da P . d z

(3)

erh/ilt man G1. (1) in der folgenden Form: a2r a,--v + Physica X X l l

ar 1 -- (I - - t 2) a T = 0

(4) 76

1202 An der Wand

H.

(x =

JANESCHITZ-KRIEGL

d/2 bzw.

~ =

1) gilt:

(Tl)w = (Tg)w

(

OTt'~

(~g OTg_'~

(s)

Tz Temperatur in der Fltissigkeit Tg Temperatur in der Glaswand 2g Wiirmeleitf~ihigkeit des Glases Da in Glas weder Reibungsw/irme erzeugt noch W~irme durch Konvektion abgeffihrt wird, gilt:

02Tg - -

ax 2

-- 0

(6)

Die W~irmeleitung in der z-Richtung wird dabei (siehe 6. Vereinfachung) vernachl~issigt. &Is Folge von G1. (6) wird die Temperaturverteilung in der Wand linear in x. Man erh~ilt also

ax /w

D

(7)

D Dicke der Wand. Ohne Einschr/inkung der Allgemeinheit wurde die Temperatur an der Aussenseite der Wand konstant gleich Null gesetzt. Kombiniert m a n G1. (7) mit den Randbedingungen (5), so erh~ilt m a n fiir die Randbedingung von 3: (a_~),=l + c.~,=1 = 0 2g c ---- - -

(8)

d - -

(9)

2z 2D

Da wir die Wandst~irke zu beiden Seiten der Flfissigkeit gleich annehmen, gilt diese Randbedingung fiir ~ = -4- 1. Ftir die Randbedingung z = 0 (Eintritt der Konvektionsstr6mung in den Spalt) ergibt sich ohne weiteres: =0ffir

¢=0

(10)

i n . L6sung des Randwertproblems. Die Gleichungen (4), (8) und (10) k6nnen durch folgenden L6sungsansatz befriedigt werden: (vgl. auch R. B. B i r d 11)) v = -- Z~°=xB,X~.(~).e-a~¢ +

voo(~)

(I 1)

Dabei stellt 30o die L6sung in grossem Abstand v o m Eintritt der KonvektionsstrSmung dar, wo ihr Einftuss auf die Temperaturverteilung bereits

ZUR MESSUNG DER STR(3MUNGSDOPPELBRECHUNG

1203

nicht mehr merkbar ist. Man erh~lt: 3oo ---- ½ (i - - ~2) -5

1/c

(12)

Die Funktionen Xt(~) sind L6sungen der folgenden homogenen Differentialgleichung: tt

X l + a~(1 -

~2) . X~ = 0

(13)

Ihre L6sungen bilden ein vollst~tndiges Orthogonaisystem mit reellen Eigenwerten at. Die Orthogonalit~ttsbedingung lautet:

i:/=k

fo~(1 --~2) X , X k d ~ = 0

(14)

Da die Xt ffir ~ = 0 regul~ir und zum Ursprung symmetrisch sind, setzen wir folgende Reihenentwicklung an: X, = Z~°=o bt.k ~2k

(15)

Einsetzen dieser Reihenentwicklung in die Diff.-G1. liefert durch Koeffizientenvergleich die folgende Rekursionsformel ffir die bt,k: at

bt.k -- 2k(2k -- 1) (bt~-2 -- b,.~-l)

(16)

2
bt,1 --

2

'

bt 2 = '

at -i2

2

ai

-5 - -

24

(17)

Die Eigenwerte bestimmt man durch Einsetzen von (15) in die Randbedingung (8). Man erh/ilt: 7,~=o & ~ [2k + c] = 0 (18)

GI. (I8) steUt ein Polynom in at dar, das nur positive VVurzeln besitzt. Sie stellen nach ihrer Gr6sse geordnet die Eigenwerte unseres Problems dar. Die Randbedingung (10) sieht unter Verwendung von(11) folgendermassen &US"

o =

-

ZF=o

s#j(¢) + ~0.(¢)

(19)

Wegen der Orthogonalitiit der Xt erhiilt m a n dann: fo~ ~.o. X t . (1 -

B,=-5

Cz) de

fo~X~.(I --~2) d~

(20)

Damit ist die gestellte Aufgabe im Prinzip geltist. Das Ergebnis h~ngt nut mehr von den spezieUen Werten der Konstanten cab, die wir in die Rechnung einsetzen mfissen.

H. JANESCHITZ-KRIEGL

1204

IV. Berechnung der Temperaturverteilung in dimensionslosen Gr6ssen. Die Randbedingung (8) bzw. (18) enth~lt neben dem allgemeinen Fall 0 < c < oo zwei SonderfAlle. c = 0 stellt den Fall v611iger W~rmeisolation dar, w~hrend c = oo bedeutet, dass z,=l = 0 sein muss. Letzterer Fall wird durch den Gebrauch diinner Metallw~nde approximiert. Glasw~nde sind bekanntlich relativ schlechte WArmeleiter. So werden die von uns verwendeten Werte yon cim allgemeinen klein sein, c h~ngt ausser yon den W~trmeleitf~higkeiten auch noch vom Verh~ltnis der Spaltbreite zur Wanddicke ab. Da die numerischen Berechnungen einen grossen Arbeitsaufwand erfordern, wollen wir die Auswertung nur ftir zwei endiiche Werte von c ausffihren. (Vgl. G1. (9)). Die im Laufe der Rechnung verwendeten Parameter w/thlen wir wie folgt : TABELLE

I

~g

=

1 , 7 . 1 0 -3 c a l / e m , sec. g r a d .

;t~

= 5 . I 0 -4

e a l / e m , see. g r a d .

= 2,1.10 4

e r g / c m , sec. g r a d .

w . ~ = 0,5

e a l / e m s. g r a d .

~1

= ' 10 -2

erg see./cm a =

D

=

cm

dl

= 2 , 5 . 1 0 -2 c m ( =

¼ mm)

d2

=

1 mm)

1

= 5

1 1 . 1 0 -1

em (=

10 -~ p o i s e

cm

Der Zusammenfassung halber haben wir in Tabelle (1) auch Parameter (l, w . Q, r/) aufgenommen, die wir erst sp~tter ben6tigen. Die thermischen Konstanten der meisten organischen L6sungsmittel kommen iiberein mit den in der Tabelle (1) gegebenen Werten. Nur ffir Wasser liegen die Verh~Itnisse etwas anders. Es lohnt sich jedoch nicht, n~her darauf einzugehen, da die in der Einleitung erw~hnten optischen Effekte bei Wasser wegen der geringen Abh~ngigkeit seines Brechungsindex v o n d e r Temperatur viel weniger ausgepr~tgt sind. (Ffir org. L6sungsmittel gilt bei Zimmertemperatur ungef~hr: dn -

dt

-

5. 10-4, Ifir Wasser

dn dt

= I . 10-4).

Da wir alle fibrigen Parameter konstant halten, bekommen wir fiir die beiden in Tabelle (1) angeffihrten Spaltbreiten die folgenden Werte ffir die Konstante c: (vlg. G1. 9) Cl = 0,043

dl = 2,5 . 10-2 cm

cz=0,17

d2 = 1

(21)

10- l c m

Die Dicke der Glaswiinde setzen wir in beiden F~illen gleich 1 cm. In Tabelle (2) sind nun die errechneten Eigenwerte (siehe G1. (18)) und die dazugeh6rigen Werte B, angegeben. Die Genauigkeit der Werte ist den j eweiligen Forderungen angepasst.

1205

ZUR MESSUNG D E R S T R O M U N G S D O P P E L B R E C H U N G

TABELLEII 0,043 at a2 a3

0 18,4 ±8O

0,063178 18,6 80 +23,80 - - 0,52 + 0,973767 -1,2 + 23,26

B1 B2

Xl(l) X2(1) l/c

O0

0,17

t + --

+ --

+

0.23543 19,0495 80 6,4202 0,0456 0,90378 1,2305 5,8824

2,83 32,0 +

0,63 0 0 0

Wegen der willktirlichen Annahme bt.0 ---- I gilt, dass die der Berechnung der Bt zu Grunde gelegten Eigenfunktionen (siehe G1. (15) u. G1. (20)) in der Mitte des Spaltes den Wert eins haben. Die Werte an der Wand (~ = 1) sind in Tab. 2 angegeben IX,(1)]. An diesen Werten sieht man, dass ftir die ersten Eigenfunktionen (kleine Werte von c vorausgesetzt) scheinbar nur ein geringer Unterschied zwischen den Werten in der Mitte und an der Wand besteht. Dies ist jedoch nur scheinbar so, da wegen der Gr6sse der Werte von B1 der absolute Unterschied der Funktion BEXl(

(22)

) --

in der Gr6ssenordnung von 0,5 liegt, wie dies auch ftir Too gilt (vgl. G1. (12)). Der Einfluss der ersten Eigenfunktion auf die Temperaturverteilung im Spalt ist daher entscheidend. Daneben sorgt die erste Eigenfunktion auch ffir die Beschreibung der Wandtemperatur. Trennt man die Wandtemperatur in G1. (11) ab, so erh~lt man: T •

-- B1 [Xl(~)

-- Xl(1)]

e -a1¢ - - B 2 [ X 2 ( ~e) - - X l ( 1 ) ]

+ ½(1 -- ~2) ,2_ { 1 / c

--

B1XI(1)

e -a'¢

--

e -a2¢ - -

...

+

BzX2(1) e -'*¢ -- . . . }

(23)

Denkt man sich den in geschweifter Klammer stehenden Ausdruck ftir die Wandtemperatur weg, dann beschreibt G1. (23) mit gentigender Genauigkeit die Temperaturverteilung im Spalt. Ftir die Interpretation ist es nun sehr angenehm, dass der erste Term von G1. (23) praktisch nur in der Exponentialfunktion von der Konstanten c abhitngig ist. Der Ausdruck (22) ist -- mit anderen Worten - yon c praktisch unabhitngig. Fig. 1 zeigt nun ftir c = 0,17 den Verlauf der ersten und der zweiten Eigenfunktion neben Too. Nach vorhergehender Subtraktion der Funktionswerte an der Wand wurden die Kurven so normiert, dass ihr Wert in der Mitte des Spaltes gleich eins wurde. Die Figuren 2a, 2b, 3 und 4 geben einen 13berblick tiber die Verteilung der reduzierten Temperatur T ftir Cl = 0,043, c2 = 0,17 und ftir c = oo. Die reduzierte Temperatur an der Wand wurde stets subtrahiert. Ftir negative Werte von ~ verlaufen die Kurven symmetrisch. Je kleiner die Werte der

1206

H. JANESCHITZ-KRIEGL

Konstanten c sind, desto gr6sser sind die Werte von ¢ (vgl. G1. (3)), bei denen die Wirkung der Konvektionsstr6mung noch bemerkbar ist. (vgl. Fig. 2a mit Fig. 4).

1~ l . g

2

tl.5

~

Fig. 1. Z u m F o r m v e r g l e i c h der E i g e n f u n k t i o n e n fiir den P a r a m e t e r c2 = 0,17.

¢

0,05

I

F" C-0,043 +0.5

- ---~'" ~-51.20

~ ~. ~.

_'-:'L

~'-x

/

-0~5

1

~,120 F i g . 2a. V e r t e i l u n g s k u r v e n ten Temperatur

~ ffir

der reduzier-

verschiedene

re-

duzierte Abst~nde ~ von der Eintrittsstelle des Konvektionsstromes, wenli der P a r a m e t e r cz = 0 , 0 4 3 ist. (dz = ¼ m m , GlaswAnde) Ftir negative Werte yon verlaufen die Kurven symmetrisch.

0.~

Fig. 2b. Die flachen K u r v e n der Fig. 2a in gr6sserem O r d i n a t e n m a s s s t a b . ct = 0,043.

V. Zul~ssiges ,Ausmass der KonvektionsstrSmung. In der reduzierten Differentialgl. (4) k o m m t das Ausmass der Konvektionsstr6mung nicht zum Ausdruck. Ihr Einfluss ist lediglich durch, die dritte Transformationsgl. (3) gegeben. Setzen wit.

p.d 2nl -- qw

(24)

ZUR MESSUNG DER. STROMUNGSDOPPELBRECHUNG

1207

wobei qw den maximalen, an der Wand auftretenden Gradienten der Konvektionsstr6mung (G1. (2)) darstellt, dann geht die dritte G1. (3) fiber in: At 16 z -- - w.Q d a qw

(25)

ist also einerseits proportional mit z, sodass man in den Figuren 2, 3 und 4 die Entwicklung des Temperaturprofiles mit zunehmendem z verfolgen kann. Andererseits ist der starke Einfluss der Spaltbreite d und der Konvektionsstr6mung auf den Proportionalit/itsfaktor yon z unyerkennbar. Ersetzt m a n einen Spalt der Spaltbreite d = ]: mm durch einen Spalt von 1 mm, dann wird der genannte Faktor auf ein 64-stel reduziert. Beachtenswert ist, dass ~ nicht von den Eigenschaften der Zylinderw/inde abh/ingt.

~0.1]

o

-O~

Fig. 3. V e r t e i l u n g s k u r v e n wie in Fig. 2b, w e n n d e r P a r a m e t e r c2 = 0,17 b e n i i t z t wird. (d2 = 1 m m , Glaswiinde).

Wie man an G1. (25) erkennt, wird man qw natfirlich m6glichst gross machen, damit ~ ffir den ganzen Bereich yon z [0 ~ z < l] klein bleibt. Es bleibt also nur die Frage often, wie gross man qw machen darf, ohne dass die durch den Gradienten q der Couette-Str6mung erzeugte Str6mungsdoppelbrechung merkbar beeinflusst wird. Man denke sich einen doppelbrechenden, optisch zweiachsigen Kristall. Die Fortpflanzungsrichtung des polarisierten ,Lichtes faUe mit einer der Hauptachsen des Indexellipsoides zusammen. Dann fallen die Ausl6schungs-

1208

H. JANESCHITZ-KRIEGL

richtungen mit den beiden anderen Hauptachsen zusammefi. Neigt man nun die zuerst genannte Achse einwenig gegen die ursprtingliche Fortpflanzungsrichtung des Lichtes, dann werden dadurch die AuslSschungsrichtungen in erster N~iherung nicht ge~ndert. Dasselbe gilt ftir den auftretenden Phasenunterschied. Wir nehmen nun an, dass die durch die KonvektionsstrSmung erzeugten Gradienten tiberall klein gegen den Gradienten der Couette-StrSmung seien. Wegen der pythagoreischen Addition der Gradienten wird der Betrag des resultierenden Gradienten tiberall in erster N~iherung mit dem Betrag des Gradienten der Couette-StrSmung tibereinstimmen. Es tritt daher in erster N~herung lediglich eine geringe, mit x zunehmende Neigung derjenigen Achse des Indexellipsoides der StrSmungsdoppelbrechung auf, die ohne Konvektionsstrom parallel zur Achse des Zylinderapparates und zur Lichtfortpflanzung stehen wtirde. Diese Neigung wirkt sich in erster N~herung wiederum nicht auf die Messung aus. +0,5

{;.m

o

!

Fig. 4. V e r t e i l u n g s k u r v e n wie in Fig. 2 und Fig. 3 w e n n der P a r a m e t e r c = ~x~b e n t i t z t wird (dtinne Metallw§.nde), O r d i n a t e n m a s s s t a b der Fig. 2a.

Setzen wir nun fest, dass der maximale, an der Wand auftretende Gradient der Konvektionsstr6mung ein Zehntel des Gradienten der Couette-Str5mung ausmachen dtirfe, qw=

q I0

(26)

dann betr~gt die beschriebene maximale Neigung an der Wand etwa 6 Grade, w~ihrend der Betrag des StrSmungsgradienten nur um ein halbes Prozent zugenommen hat. Wir erachten die dadurch auftretende Beeinflussung der Messergebnisse als vSllig bedeutungslos, zumal die Effekte zu beiden Seiten der Spaltmitte einander entgegengesetzt sind. Bei vSllig symmetrischer Ausleuchtung des Spaltes dtirfte daher ein wesentlich st~irkerer Konvektionsstrom keinen systematischen Fehler sondern lediglich eine Verminderung der Messgenauigkeit bewirken. Es sei hier bloss erw~ihnt, dass die zul~issige GrSsse yon qw im Prinzip auch noch durch einen anderen Umstand beschr~inkt wird. Die mit der KonvektionsstrSmung in den Spalt eintretende Fltissigkeit besitzt im allgemeinen keine Geschwindigkeitskomponente in der Richtung der CouetteStrSmung. Zur Beschleunigung in dieser Richtung wird daher Energie vet-

ZUR MESSUNG DER STROMUNGSDOPPELBRECHUNG

1209

braucht, was eine Deformation des linearen Str6mungsprofiles der CouetteStr/Jmung zur Folge hat. Bei Erftillung der G1. (26) ist diese Deformation im Bereich der realisierbaren Str6mungsgradienten q auf alle F~ille unmessbar klein. Dies ktinnen wit aus Versuchen schliessen, die wir zur Prtifung der in der Einleitung erw~ihnten Konstruktion von W. K u h n , H. O s w a l d und H. K u h n 9) ausgeftihrt haben. (H. J a n e s c h i t z - K r i e g l 4)). VI. Berechnung der realen Temperaturverteilungen. Wir beschr~inken uns auf die Berechnung der Temperaturverteilung am Ende des Spa!tes, wo der Konvektionsstrom den Zylinderapparat wieder verl~isst. Dort treten die gr6ssten Temperaturunterschiede auf. - Es ist daher vom Standpunkt des optischen Verhaltens giinstig, die Lichtfortpflanzung in der Richtung des Konvektionsstromes und nicht in entgegengesetzter Richtung zu w/ihlen. Setzt man in G1. (25) z = l und verwendet die G1. (26), so erh~ilt man ftir den Zusammenhang yon ~ und q: ~ l = 160-w.0 d 3

(27)

Mit den Werten der Tab. 1 erh~ilt man: dl = ¼ mm

q --

.42 = i mm

q-

5,12. 104

¢ 800

¢

see. -1

sec. -1

(27a)

(27b)

Aus der zweiten G1. (3) erhiilt man unter Verwendung von Tab. l: dl = ¼ mm

T = 7,44. 10-11 q2. r °C

(28a)

d2= lmm

T=

(28b)

1,19.10 -9 q i . z ° C

In Fig. 2 kann man nun jedem ~ mit HiKe von (27a) einen Str6mungsgradienten q der Couette-Str6mung zuordnen. G1. (28a) liefert dann die zu dem jeweiligen Strtimungsgradienten gehSrige Temperatur. Fiir Fig. 3 und Fig. 4 ben6tigen wir in derselben Weise die Gleichungen (27b) und (28b). Die Figuren 5, 6' und 7 geben nun das Ergebnis dieser Transformation wieder. In den Figuren wurde nur die eine Hiilfte des Spaltes, v o n d e r Spaltmitte bis zur rechten Wand gezeichnet. In der linken Spalth~ilfte verliiuft die Temperaturverteilung symmetrisch. Fig. 5 zeigt Verteilungskurven fiir engen Spalt (dl = ¼ mm) und Glaswand, Fig. 6 gibt die Verhiiltnisse bei weitem Spalt (d2= 1 mm) und Glaswand, Fig. 7 bei weitem Spalt (d2) und Metallwand wieder. Der Einfluss der Spaltbreite auf die Verteilungskurven ist nicht zu verkennen. Da der kritische StrSmungsgradient, bei dem Turbulenz einsetzt, beim weiten Spalt jedoch wesentlich niedriger ist, haben wit bei diesem entsprechend niedrigere Gradienten fiir die Darstellung verwendet.

1210

H. JANESCHITZ-KRIEGL

Beim weiten Spalt (d2 = 1 mm) erreicht man bei Anwendung von G1. (26) wesentlich kleinere Werte von ~ als beim engen Spalt (dl = ~ ram). Dieser Umstand ist fiir die Brauchbarkeit der Methode bei weitem Spalt an und fiir sich schon sehr giinstig. Abet selbst bei so giinstigen ~-Werten tritt noch der Einfluss deutlich hervor, den das Material der Wi~ude auf die Verteilung der Temperatur ausiibt. Man vergleiche Fig. 6 und Fig. 7, wobei man die verschiedenen Massst~be der Ordinaten beachte. Im Falle der Glasw~nde erscheint das Temperaturprofil praktisch eingeebnet. Bei h6heren Gradientei~ tritt selbst ein neuer Effekt auf. Die Temperatur in der Mitte des Spaltes wird niedriger als an der Wand.

x\

qX,,6000" ', \\

4-~

\

'7

•

",\ \

,

-0.5.

X

w

-

0~125cm

/,/o s

Fig. 5. Reale Temperaturverteilungenam Ende des Spaltes als Funktion der verwendeten Str6mungsgradienten. Enger Spalt dl = ¼ram, Glasw~nde. Die gestrichelten Kurven werden ohne Konvektionsstrom ftir die angegebenen Str6mungsgradienten q* erhalten. Zum Vergleich wurden in den Figuren gestrichelte Kurven eingezeichnet, die die Temperaturverteilungen zeigen, die ohne Konvektionsstrom erhalten werden. Man erh~lt diese Kurven mit Hilfe der Gleichungen (12) und (28). (mit q* versehen).

ZUR MESSUNG DER STROMUNGSDOPPELBRECHUNG

121 l

Wie schon erw~thnt, kann man. beim engen Spalt (dl = ¼ mm), wonn man an G1. (26) festhalten will, keine so niedrigen Werte von ¢ erhalten. Bei erster Betrachtung erscheint der enge Spalt daher ftir unsere Methode weniger giinstig. Der Einfluss des Materiales der W~nde wird bier jedoch entscheidend. Bei Verwendung von Metallw~tnden bewirkt ein durch G1. (26) bemessener Konvektionsstrom keine erkennbare Abweichung yon den in Fig. 5 eingetragenen gestrichelten Kurven, die ohne Konvektion erhalten werden. Die bei Verwendung von Glaswitnden mit Konvektion erhaltenen Kurven sind bier jedoch sehr interessant. Einerseits versprechen die zu relativ niedrigen Str6mungsgradienten geht~rigen Kurven eine ,~vesentliche Verminderung des in .der. Einleitung genannten optischen Sttireffektes. Andrerseits wird bei hohen Gradienten eine gewisse Abschirmung der W~tnde gegen einfallendes Licht eintreten, die.mit einer Konzentrierung des Lichtbfindels verbunden sein muss. Man beachte in diesem Zusammenhang die Temperaturmaxima an den W/inden.

o

+0,5

N

. . . . 0

q X sOO q-500

% x x

~

.x

-0,S "

Fig. 6: 1RealeTemperaturverteilungen am Ende des Spaltes. Weiter Spalt d2 = 1 mm, Glasw~.nde. VII. Diskussion. Der Zweck d e r vorliegenden Untersuchung konzentrierte sich auf folgende Frage: Kann die Eindringtiefe eines langsamen Konvektionsstromes paralle] zur Zylinderachse so gross gemacht werden, dass unter verntinftigen Bedingungen am Ende des Spaltes noch ein deutlicher Einfluss auf die Temperaturverteilung. besteht ? Dass dies mtiglich ist, wird d u t c h die Gr6sse der Eigenwerte in Tab. 2 und dutch die aus den

1212

I~. JANESCHITZ-KRIEGL

Gleichungen (27) folgenden ~ - Werte best~tigt. Alle Einzelheiten der gegebenen Verteilungskurven mtissen jedoch vorsichtig interpretiert werden. Bis jetzt ist es n~mlich noch nicht einmal gelungen, die Lichtfortpfanzung in einem engen Spalt zwischen reflektierenden W~tnden exakt zu beschreiben, wenn der Brechungsindex des Zwischenmediums konstant ist. Wir zogen daher die experimentelle Untersuchung vor, nachdem wir uns an Hand einfacher Oberschlagsrechnungen davon tiberzeugt hatten, dass Hoffnung auf Erfolg bestand. In diesem Zusammenhang bedenke man, dass die in den Fig. 5 und 6 gegebenen Verteilungen am Ende des Spaltes auftreten. An der Eintrittsstelle des Konvektionsstromes herrschen dagegen voraussetzungsgem~tss tiberhaupt keine Temperaturunterschiede. Also fiiilt der Vergleich mit den gestrichelten Kurven (Verteilungen ohne Konvektion) ftir das Konvektionsprinzip noch nicht giinstig genug aus, da die gestrichelt gezeichneten Verteilungen in allen Querschnitten gleich ausgepritgt sind.

\

t I t

?:

42.

I

¢1.

...... ~o

\ \1

o ,X,/t" 0.05cm

Fig. 7. Reale T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g e n a m E n d e eines v o n Metallwitnden g e b i l d e t e n Spaltes der Breite d2 = 1 m m . B e a c h t e den gegen Fig. 5 und Fig. 6 v e r k l e i n e r t e n Ordinatenmassstab.

Die konstruktiven Einzelheiten unseres Apparates sollen demniichst ver6ffentlicht werden. Auf jeden Fall arbeiten wir mit rotierendem Innenzylinder und einer Spaltbreite von d = ¼ mm. Die kleine Spaltbreite sorgt daftir, class der kritische Str/Smungsgradient relativ gross wird, bei dem Turbulenz einsetzt. Beide Zylinder sind aus schwarzem optischen Glas hergestellt und auf Hochglanz poliert. Das hier vorgeschlagene Konvektionsprinzip wird verwendet. Der verwendete enge Spalt versetzt uns in die Lage,

ZUR MESSUNG DER STROMUNGSDOPPELBRECHUNG

1213

die ausgepriigteren Temperaturverteilungen der Fig. 5 auf ihre optischen Auswirkungen zu untersuchen. Das mit diesem Apparat erzielte experimentelle Ergebnis war, dass der in der Einleitung beschriebene von Bj6rnst~hl entdeckte St6reffekt praktisch nicht mehr auftrat. Bei Gebrauch einer relativ sehr visk6sen Fltissigkeit (~ = 10 ct ps) vermeinten wir bei grossen Str6mungsgradienten (q = 25000) selbst eine positive Linsenwirkung zu erkennen. Diese miisste davon stammen, dass dann die Temperatur in der Mitte des Spaltes niedriger wurde als an der Wand. Das 13bergangsgebiet von positivem zu negativem Temperaturunterschied zwischen Spaltmitte und Wand ist in Fig. 5 durch Gradienten zwischen 10.000 und 20.000 gekennzeichnet. Vermutlich reichen die in diesem Gebiet auftretenden Temperaturunterschiede jedoch noch nicht dazu aus, um die Fortpflanzungsrichtung des Lichtes merkbar zu beeinflussen. Bei der verwendeten visk6sen Fliissigkeit konnten wir lediglich feststellen, dass die Einstellung des thermischen Gleichgewichtes ziemlich lange dauerte. Nach erreichtem Gleichgewicht unterschied sich j edoch das auftretende Beugungsbild praktisch nicht von dem im Ruhezustand erhaltenen Bilde. In letzter Zeit wird die schlechte W~irmeiibertragung durch eine Grenzfl~tche (Fliissigkeit-Wand) oft erw~ihnt. Dem zu Folge w~ire Cl kleiner Ms in G1. (21) angegeben, was die Verschiebung des genannten tJbergangsgebietes zu kleineren Str6mungsgradienten verursachen wiirde. Da dann die auftretenden Temperaturunterschiede noch kleiner w~iren, k6nnte man im Ubergangsgebiet noch weniger von einer befiirchteten St6rung der Liehtfortpflanzung bemerken. Zum Schluss seien noch einige Eigenschaften des vorgeschlagenen Apparates genannt. Die an der Wand auftretenden Temperaturen, durch G1. (23) (Ausdruck in geschweifter Klammer) gegeben, tiberschreiten praktisch nie die Gr6ssenordnung yon 0,1 ° C. Nur in ganz extremen F~illen kann ein Temperaturanstieg um 1 bis 2°C stattfinden. Fiir einen Str6mungsgradienten yon q = 80.000 erhielte man fiir ~ / = 1 ct ps eine Erh6hung um 1,06°C. Dieselbe Erh6hung tritt bei einem q = 20.000 auf, wenn die Viskosit~it , / = 10 ct ps betr~igt. Der durch G1. (26) festgelegte Konvektionsstrom erfordert einen gewissen Fltissigkeitstransport. Das in der Zeiteinheit den Spaltquerschnitt passierende Fliissigkeitsvolumen ist durch folgende Gleichung gegeben: (Vgl. G1. (2)) d~ V=~R--.q=~R 30 R...

da p -6 r/.l

(29)

Radius des Rotors

Fliissigkeitsvolumen und Druckunterschied befinden sich darnach im experimentell leicht zug~inglichen Gebiet.

1214

zuR MESSUNG DER STROMUNGSDOPPELBRECHUNG

Schliesslich sei darauf verwiesen, dass der vorgeschlagene Apparattyp die Messung bei sehr hohen Str6mungsgradienten erm6glicht. Es wird daher im Prinzip m6glich sein, mit Hilfe einer von R. Cerf 12) gegebenen Theorie die innere Viskosit/tt yon Fadenmolektilen bei grossen Str6mungsgradienten zu untersuchen. Der Apparat ist j edoch ebenso gut zur Messung bei kleinen Str6mungsgradienten geeignet. Dem Direktor des "Centraal Laboratorium T.N.O.", Dr. A. J. S t a y e r man, sei ftir die Erm6glichung dieser Untersuchung und sein f6rderndes Interesse aufrichtig gedankt. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. H. C. B r i n k m a n ftir viele wertvolle Hinweise und Ratschlttge. Schliesslich sei die verl/tssliche Ausfiihrung der numerischen Berechnungen durch Frl. E. v a n M e e r t e n dankbar erwAhnt. Received 13-8-56. LITERATUR 1) T a y l o r , G. I., Phil. Trans (A) 223, (1923) 289. Proc. roy. Soc. (London) A151 (1935) 494. A157 (1936) 546. 2) J e r r a r d , H. G., J. Applied Physics 21 (1950) 1007. 3) S n e l l m a n , O., Arkiv ffr Kemi, Min, Geol. 19A Nr. 30 (1945). 4) J a n e s c h i t z - K r i e g l , H., Intern. Symp. Maeromol. Chremistry Israel, April 1956. J. Polym. Sci. (in press). 5) Cerf, R., J. ehim. physique 48 (1951) 85. 6) W a y l a n d , H., J. phys. rad. 16 (1955) 27. 7) L e r a y , J., J. ehim. physique 52 (1955) 755. 8) B j 6 r n s t ~ h l , Y., Z. Physik 119 (1942) 245. 9) K u h n , W., O s w a l d , H. und Kuhn, H., Helv. ehim. acta 36 (1953) 1209. 10) B r i n k m a n , H. C., Appl. Sci. Res. Vol. A2 (1950) 120. 11) B i r d , R. B., SPE Journal, Sept. 1955, p. 35. 12) Cerf, R., J. phys. rad. 15 (1954) 145.