Analysis of Self Excited Vibrations in External Cylindrical Plunge Grinding

Analysis of Self Excited Vibrations in External Cylindrical Plunge Grinding E. Salje ( l ) ,W. Dietrich

Self excited vibrations in external cylindrical plunge grinding are primarily caused by directional coupling and secondarely by regenerative effects on the surfaces of the workpiece and the grinding wheel. Assuming that directional coupling and workpiece regenerative effects occur at the same time a dynamic material removal rate can be computed, which can approximately be assumed to be proportional to the dynamic cutting force. According to this investigation it can be shown that the workpiece regenerative effect as a causing mechanism of vibration reaches into a much higher frequency range as recently assumed.

1. Einleitung

Das Stabilitatsverhalten wird durch das Schwingungsverhalten von Maschine Schleifscheibe Werkstilck und dem eigentlichen Zerspanvorgang, dem dynamischen SchleifprozeB, beeinfluat. AuDerdem hangt es von weiteren EinfluSgrUBen ab, wie 2 . B . dem Kontakt an der Wirkstelle, der Anfangstopographie der Scheibe sowie ihrer zeitlichen Xnderung infolge Abrichtbedingungen und Abrichtverfahren. Diese EinfluBgroBen konnen durch empirische Kennzahlen oder Nlherungsgleichungen beschrieben werden. SchlieSlich wird die Stabilitat durch schwer erfaEbare GrBEen wie die Scheibenspezifikation oder die KUhl-Schmierbedingungen beeinfluBt.

-

-

Aufgrund der groSen Zahl der EinfluSgr6Den und der gleichzeitigen Uberlagerung verschiedener Anfachungsmechanismen, wie z . B . Lagekopplung / 1 / und Regenerativeffekte auf dem Werkstuck / 2 / und der Schleifscheibe / 3 /, ist es sehr schwer, systematisch den EinfluB einzelner Parameter experimentell herauszufinden. Schleifversuche an der Stabilitatsgrenze sind bekanntlich schlecht reproduzierbar. Voraussetzung flir AbhilfemaBnahmen, wie 2 . B. passive oder aktive Schwingungsdampfer, ist eine Analyse des Zusammenwirkens zwischen Maschine und ZerspanprozeB. Um die Wirkunq einzelner EinfluDgrbBen sichtbar zu machen, ist es vorteilhaft, mathematische Modelle zu benutzen. In diesem Beitrag wird insbesondere der Aufbau eines Modells vorgestellt, das es ermoglicht, Lagekopplungseffekt und Regenerativeffekt sowie andere EinfluDgroBen gleichzeitig zu betrachten.

Bild 1 : Zeitliche Entwicklung selbsterregter Ratterschwingungen 2 . Layekopplungsmodell beim Schleifen

Shnlich wie bei Zerspanung mit definierter Schneide, llBt sich auch fur das AuSenrund-Einstechschleifen ein Lagekopplungsmoedell entwickeln, Bild 2 . Das schwingungsfahige.System wird dabei vereinfacht als Einmassenschwinger mit zwei Freiheitsgraden dargestellt. Der SchleifprozeB hingegen weist aufgrund der verlnderten Eingriffsverhlltnisse ein komplexes nichtlineares Ubertragungsverhalten auf.

Abweichend von bisherigen Modellen werden am Wirkpunkt nicht sinusformige Schwinqungen vorgegeben, sondern beliebige zeitlich veranderliche periodische Bewegungen zugelassen. Sie ergeben sich aus dem Gleichgewicht zwischen Maschine und dynamischer Schnittkraft. Der Unterschied zur bisherigen Vorgehensweise besteht insbesondere darin, daE das Gleichgewicht lokal, d. h. innerhalb einer Periode zu jedem Zeitpunkt, erfullt wird und nicht nur global erst nach jeder sinusformigen Periode. AuBerdem wird die Schnittkraft nicht durch die Kontaktlange, sondern durch das dynamische Zeitspanvolumen approximiert. Bild 1 zeigt die zeitliche Entwicklung selbsterregter Schwingungen an einer AuBenrund-Einstechschleifmaschine. Dargestellt ist das Amplitudenspektrum, das am Reitstock in normaler Richtung zu Iquidistanten Zeiten gemessen wurde. Man erkennt, daB sich nach ca. 50 Sekunden Schwingungen entwickeln. Sie sind nicht rein sinusfUrmig. Sie bestehen aus einem Frequenzgemisch und konnen ganzzahlige Oberwellen aufweisen. Der vordere Bereich bis ca. 50 Sekunden ist in diesem Fall fur einen stabilen ProzeB nutzbar. Mit Hilfe des erweiterten Modells ist es moglich, den transienten Ubergang vom stabilen in den instabilen Bereich fur eine bestimmte mentechnisch erfaSte Maschine in Abhangigkeit von Systemparametern zu berechnen.

Annals of the CIRP Vol. 31/1/1982

\ \ I

Y

Werkstuck

LLX

wm

Bild 2: Das Lagekopplungsmodell besteht aus einem Feder-Masse-Dampfer Modell und der urn den Winkelfr verdrehten Ruckflihrung durch den ProzeR. Die Kopplung ist in den Nebendiagonalelementen der Steifigkeits- und Dampfungsmatrix enthalten, der ProzeB in der Storfunktion des Dg1.-Systems.

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Bei definierter Schneide wird die Schnittkraft proportional zur Spanungsdickenlnderung angenommen. Beim Schleifen ist dagegen die Kontaktlkinge Berechnungsgrundlage fur das dynamische Zeitspanvolumen, das als Approximation fiir die Schnittkraft benutzt wird. Ebenso wie bei definierter Schneide kann auch das Lagekopplungsmodell beim Schleifen fiir bestimmte Hauptsteifigkeitsverhlltnisse instabil werden /4, 5/. Dies ist durch die Verkopplung in den Schwingungsrichtungen und infolge der urn den Winkel hverdrehten Riickfiihrung durch den Schleifproze5 mSglfch. Voraussetzung fiir den Ubergang vom stabilen in den instabilen Bereich sind die vorhandenen Nichtlinearitlten. Eine vorangehende Welligkeit auf der WerkstUckoberfllche ist nicht notwendig. Der Lagekopplungseffekt ist folglich als Primlreffekt zu betrachten, wBhrend der Regenerativeffekt als Sekundlreffekt einzuordnen ist. Der Regenerativeffekt verliert dadurch jedoch nicht an Bedeutung, d a sich beide Effekte beim AuBenrund-Einstechschleifen nach der Totzeit einer Werkstiickumdrehung iiberlagern und gegenseitig beeinflussen. Bevor die anfachende wirkung des Schleifprozesses tingehender betrachtet wird, soll das Lagekopplungsmodell in bezug auf sein Maschinenverhalten erweitert werden. Durch Koeffizientenverqleich der Bewegungsgleichungen von Lagekopplungsmodell und Zweimassenschwinger in Bild 3 lBBt sich zeigen, da5 h i de Modelle identisch sind. Andererseits ist der Zweimassenschwinger bei entsprechender Erweiterunq auf n Freiheitsqrade, also n Massen, ein diskretes lineares Ersatzmodell fur das Kontinuum.

I _ x

g_x

+

+

5 5

=

-p

-

lk = rs

. [arccos

(1

a +x -+

+ arctan (-

S

mit kc als Proportionalitltsfaktor und

r

= arctan (F~/F,).

Das Verhlltnis zwischen dynamischer Normal- und Tangentialkraft F /F wird konstant angenommen. x und y sind Bewegungshr(lf3en des Schwingungssystems. Sie sind zeitabhlngig und ergeben sich aus dem Gleichgewicht zwischen Maschine und ProzeB.

Im folgenden soll nur die anfachende Wirkung des Schleifprozesses betrachtet werden. Das Maschinenverhalten wird als konstant angenommen, d. h. unveranderlich iiber der Frequenz, damit der EinfluB bestimmter Parameter, wie 2. B. der Ratterfrequenz, auf die WerkstUckoberfllche und das dynamische Zeitspanvolumen sichtbar gemacht werden kann. Alle restlichen Parameter werden ebenfalls konstant gehalten. Vereinfachend wird eine ellipsenf6nnige Relativbewegung vorausgesetzt. Sie ist entsprechend den Hauptsteifigkeitsrichtungen bei einer Resonanzfrequenz ausgerichtet.

f2 /

co1

34

4'

Um den allgemeinen Aufbau des erweiterten Lagekopplungsmodells zu verdeutlichen, soll die StSrfunktion, d. h. der SchleifprozeB angegeben werden. Diese Formel Tilt im unteren Frequenzbereich ohne Unterschnittbildung auf der Werkstuckoberflache. Als kraftproportionale Gr6Be wird die KontaktllnTe lk benutzt , weil in diesen Bereich, abgesehen vom Proportionalitatsfaktor, noch keine grSBeren Unterschiede zwischen dynamischer KontaktlBnge und dynamischem Zeitspanvolumen auftreten.

3. Lagekopplung und Regenerativeffekt

Die Systemmatrizen tj, und sollen positiv definit, symmetrisch-und die B h p f u n g E nicht proporreel1 tional z u und E sein, damit das System stabil ist und selbsterregte Schwingungen nur durch den SchleifprozeB entstehen kannen.

9

Die Modalnatrix 0 stellt die Transformation zwischen Yodalkoordinanten 4 und Zustandskoordinantern y her. Im Zustandsvektor y sind die BewegungsgrSBen 5 in Normal- und Tangentalrichtunq enthalten. Die Starfunktion f ist nichtlinear, weil sie den ProzeB p enthkilt. Dies hat zur Folge, daB die Schwinyungen nur numerisch im Zeitbereich berechnet werden konnen, Z . B. mit Hilfe eines Integrationsverfahrens.

Bild 4 zeigt prinzipiell anhand von vier gemessenen relativen Nachqiebigkeitsfrequenzgkingen [ H ~ ~ n: normal H -

I

Logekopplungsmodell: m = m, = m2 5939.9582

X(

ex

f,E

-px(x,X,Y1

XI

2 y

f29

- p, I x. X,yl

Bild 3: Identische Umformung des Laqekopplungsmodells in ein Zweimassensystem, das bei Erweiterung auf n Massen als diskretes lineares Ersatzmodell fur das Kontinuum benutzt wird.

=

Liitn

1. Index 2. Index

nttJ

t: tangential

Antwort Anrequng

7

Die am Wirkpunkt der Schleifscheibe me5technisch erfaBbaren relativen Nachgiebigkeitsfrequenzgkinge lassen sich mit Hilfe soq. Curve-Fitting-Verfahren analytisch durch ihre Modalparameter ausdrucken. Somit kann das Schwingungsverhalten einer bestimmten Schleifmaschine durch seine konplexmEigenwerte und Eigenvektoren nlherunqsweise dargestellt werden. Man erhllt ein modales Differentialgleichungssystem / 6/. &o

rn

iw

iw

ica

I

im

iiz

#

iiL

m

wz

:io

50439357

mit

256

y

=

B

E

Bild 4: MeBtechnisch ennittelte relative Nachgiebigkeitsfrequenzqlnge am Wirkpunkt einer AuBenrund-Einstechschleifmaschine, spezielle Lagekopplungsellipsen fiir Ft/Fn = 1/3

wie sich die Ellipsen mit der Frequenz in ihren Hauptachsen, dem Drehwinkel und insbesondere dem Durchlaufsinn lndern. Dabei wurde ein Verhtiltnis F /F = 1 / 3 zwischen dynamischer Tangential- und No!ma?kraf t ohne Phasenverschiebung vorausgesetzt. Urn das dynamische Zeitspanvolumen berechnen zu kbn-

nen, ist es notwendig, die Oberfllche des Werkstuckes zu kennen. In Bild 5 sind einige spezielle sinus- und ellipsenfbrmige Bewegunuen bei verschiedenen Frequenzen dargestellt. Wan erkennt, daE die Schleifscheibe abhlngiq von Frequenz und Durchlaufsinn der Ellipse ihre volle Schwingungsamplitude nicht immer auf dem Nerksttick abbilden kann. Dieser Effekt wird Unterschnitt qenannt.

aild 6 zeigt ein kinematisches Vektormodell zur Berechnung der Werkstuckkonturen. ES erfolgt eine kinematische Umkehr. Das Werkstuck ist fest, die Sckleifscheibe rotiert um das Werkstuck, wobei sich der Abstand pro Umdrehung um die Zustellung a vermindert. Durch Superposition der dabei entstefienden archimedischen Spirale mit einer oder auch mehreren ellipsenfarmigen Schwingungsbewegungen entsteht eine Bewegungsbahn fur den Mlttelpunkt M der Schleifscheibe.

Bei gleichzeitiger Jberlaqerung von Laqekopplung und Regenerativeffekt werden zwei Werksttickkonturen betrachtet, eine auEere und eine innere nach einer Werkstuckumdrehung. Sie sind i. a. um die Phase r: qeqeneinander verschoben. Herrscht Gleichgewicht zwischen Maschinenverhalten und ProzeE, dann wird sich im Falle selbsterregter Schwingungen fur eine Ratterfrequenz ein dazugehbriger Phasenwinkel von selbst einstellen. Abweichend von bisherigen Vorgehensweisen wird kein bestimmter WinkelE mit Hilfe eines Stabilitltskriteriums berechnet, bei dem gerade der Ubergang vom stabilen in den instabilen Bereich erfolgt. Es sol1 vielmehr der Extremfall geringster Dynamik infolge des Regenerativeffektes bei einer Phasenverschiebung von € = O*betrachtet werden. Das Maschinenverhalten wird dabei iiber der Frequenz konstant gehalten und das dynamische Zeitspanvolumen berechnet.

L761 937L

Bild 6 : Kinematisches Model1 zur Berechnung der Werkstiickkontur bei tiberlaqerter Lagekopplung und Regenerativeffekt Der Vektor senkrecht auf dieser Bahn zum Punkt K erzeugt die Kontur des Werkstiickes. Die Kinematik des Konturerzeugungspunktes K kann bei Unterschnitt groEe GeschwindigkeitsBnderungen aufweisen, weil momentane Iialtepunkte bzw. negativ gerichtete Tangentialbewegungen auftreten. Da diese Verzbgerungen wieder ausgeglichen werden, treten positive Geschwindigkeitskomponenten auf, die zwei- bis dreima1 so groE sein kbnnen wie die Umfangsgeschwindigkeit des Werkstiickes. Diese Kinematik geht in die Berechnung des dynamischen Zeitspanvolumens ein, das mit Hilfe von Kontaktbbgen zwischen zwei Zeitpunkten sowie der Scheibenbreite bs berechnet wird, Bild 7 .

Bild 5 : EinfluB von Frequenz und Laaekopplungsellipsen auf die Werkstiickoberfltiche

Bild 7: Berechnunu des dvnamischen Zeitspanvolumens aus Kontaktbbqen, innerer und BuBerer Werkstiickmodulation unter Beriicksichtiaung des Reaenerativeffektes

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In Bild 8 ist das auf dje Schleifscheibenbreite bezogene dynamische Zeitspanvolunen fur eine Periode aufgetraqen. Von links nach rechts steigt i m Bild die Ratterfrequenz bei sonst konstant gehaltenen Paranetern an. In diesem Beispiel liegt kein Unterschnitt vor. Die Periodizitat langs der Frequenz ergibt sich infolge der Phasenverschiebung E durch den Regenerativeffekt. Die Verqrolierunq der Frequenz von 4 0 bis 46 Hz bewirkt, daR uber den Umfang des Werkstiickes die Anzahl der Ratterwellen un etwa 2 zunimmt.

Nan kann daher vermuten, daR die anfachende Wirkung des Reqencrativeffektes bei Unterschnitt nicht abnimmt, sondern in einen weit hUheren frequenzbereich hineinreicht, als dies bisher anuenommen wurde.Falls ein dynaiischer ScheibenverschleiB existiert / 3 / , kBnnte es z u einer Sberlagerung zwischen werkstuckseitigem und schleifscheibenseitiqem Regenerativeffekt komen. Eine gegenlaufige Tendenz erqibt sich jedoch dadurch, daD die dynmische Xachqiebiqkeit rnit steigender Frequenz immer kleiner wird. Der gemeinsame EinfluB von Lagekopplung und Regenerativeffekt in Verbindunq mit dem Eigenschwingungsverhalten einer bestimmten Schleifmaschine 11Bt sich durch die Bildung des Gleichgewichts zwischen erweiterten Lagekopplungsaodell und nichtlinearem SchleifprozeB als Storfunktion untersuchen. 4.

Zusanmenfassunq

Es wurde ein allgeneines Lagekopplungsmodell vorgestellt, das das meatechnisch erfalibare relative Nachgiebigkeitsverhalten einer Schleifmaschine am Wirkpunkt in modaler Forn als lineares viskos gedsmpftes stabiles System enthalt. Die anfachende Wirkung selbsterregter Schwingungen wird allein der StBrfunktion, die den dynamischen SchleifprozeD reprasentiert, augeordnet. Die Storfunktion enthllt im wesentlichen die kinematischen Eingriffsverhzltnisse des dynamischen Schleifprozesses. Sie ist durch empirische instationzre Kennkurven, wie z. B. die zeitliche Xnderung der Scheibentopographie, erweiterbar. Die dynamische Schnittkraft wird naherungsweise proportional zum dynamischen Zeitspanvolumen angesetzt. Voraussetzunqen fur das Entstehen selbsterregter Schwingungen, d. h. den Uberqang vom stabilen in den instabilen Bereich, sind die Riickkopplung durch den ProzeE und die Nichtlinearitlt des Prozesses. Brld 8 : Bezocenes dvnamisches Zeitspanvolunen in AbhSnqiokelt von der Frequenl

Geht man in den Bereich der qeringsten Xnderung von Q'(t), eingezeichnete Linie fur C = 0, und vergroDert die Frequenz schrittweise derart, daD exakt eine Ratterwelle mehr iiber den Umfanq des Werkstiickes entsteht, so 1aBt sich in Bild 9 folgende Tendenz erkennen. Obwohl mit steigender Frequenz schlieElich Unterschnitt entsteht, was zur Folge hat, daE die Welligkeitsamplitude auf dem Werkstiick immer kleiner wird, steigt die Dynamik des bezogenen Zeitspanvolumens an.

Weiterhin wurde der Regenerativeffekt bei konstant gehaltenem lriaschinenverhalten in seiner anfachenden Wirkung iiber einen gronen Frequenzbereich betrachtet. Dabei wurde der Fall geringster Dynamik bei einer Phasenverschiebung der Ratterwellen von E = O'angenommen. Daraus folgt die Vermutung, daB der werkstiickseitige Regenerativeffekt in einen hUheren Frequenzbereich hineinreicht, a l s bisher angenommen wurde.

Literatur 1.)

TLUSTY, J., POLACEK, M., DANEK, O., SPACEK, L.: Selbsterregte Schwingungen an Werkzeugmaschinen, VEB-Verlag Technik, Berlin

2.)

ISENSEE, U.: Beitrag zur dynamischen Stabilitlt des Schleifprozesses Dissertation TU Braunschweig, 1 9 7 7

3 . ) SCHIEYER, K.-H.: Theoretische und experimentelle

Stabilitat des Schleifprozesses Dissertation TH Aachen, 1 9 8 0 4.)

RECKLIES, S . : Ursachen zur Entstehung selbsterregter Schwingungen bei der spanenden Bearbeitung Maschinenbautechnik 26 ( 1 9 7 7 ) 9 , Seite 4 0 3 - 4 0 7

5.) GUENTZSCHEL, H.: Untersuchung des Stabilitatsverhaltens von Werkzeugmaschinen bei der Zerspanung mit einem einschneidigen Werkzeug Dissertation TU Dresden, 1 9 7 4 6.) KLOSTERMANN, A.L.:

On the Experimental Determination and Use of Modal Representation of Dynamic Characteristics, Ph. D. Thesis, University of Cincinnati, 1 9 7 1

Bild 9: Bezooenes dynamisches Zeitspanvolumen nur mit Phasenverschiebung & = O'durch den Regenerativeffekt

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7.)

BROWN, D.: Grinding Dynamics Dissertation University of Cincinnati, 1 9 7 6