Berechnung der elektronen-bremsstrahlspektren in NaJ, CsJ, Si und Ge

NUCLEAR INSTRUMENTS AND METHODS 116 (197) 97-104: © NORTH-HOLLAND PUBLISHING CO . BERECHNUNG DER ELEKTRONEN-BREMSSTRAHLSPEKTREN IN NaJ, CsJ, Sü UND Ge B. GROSSWENDT Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschtoeig, Gertnany

Eingegangen am 4. Juli 1973 Following the method of Zerby and Moran, the bremsstrahlung spectra, the total number of emitted bremsstrahlung photons, and the bremsstrahlung yield resulting from electrons slowing down in Nal, CsI, Si and Ge were calculated . Contrary to the earlier calculations the Sternheimer densityeffect corrections, the energy loss by bremsstrahlung, and some

corrections of the bremsstrahlung cross-section expressions of the Bethe-Heitler theory were taken into account. The comparison with the earlier calculations neglecting these corrections shows some discrepancies, which underline the necessity of using all corrections available.

1 . Einleitung Bei vielen Problemen, bei denen die Wirkungen von Elektronen- und 7-Strahlungen in makroskopischen Körpern wichtig sind, spielt eine Wechselwirkung, die zur Erzeugung von Bremsstrahlung führt, eine große Rolle. Eine Vernachlässigung der Bremsstrahlerïeugung ist nur bei niederenergetischen Strahlungen zulässig . Größenordnungsmäßig ist der Energiebereich, in dem die Bremsstrahlerzeugung wichtig ist, durch die sogenannte kritische Energie gegeben, bei der der Teilchenenergieverlust durch unelastische Stöße gleich dem Energieverlust durch Bremsstrahlerzeugung ist. Sie ergibt sich nach einer Abschätzung von Bethe und Heitler') zu E, =1600 mo c 2/Z, wobei Z die Ordnungszahl des abbremsenden Materials und mo cZ die Ruheenergie des Elektrons bedeuten. Für Jod mit der Ordnungszahl Z = 53 z . B. beträgt die kritische Energie ca. 15 MeV . Man erkennt, daß schon bei Teilchenenergien von wenigen MeV Energieverluste durch Bremsstrahlerzeugung berücksichtigt werden müssen . Beispiele hierfür sind die Messung von Elektronen-GWerten in der chemischen Dosimetrie und die Berechnung von y-Impulshöhenspektren für y-Strahlungsdetektoren. So zeigen die Doppel-Escape-Linien, die bei 7-Energien oberhalb der doppelten Elektronenruheenergie im Impulshöhenspektrum auftreten und mit Hilfe eines Dreifach-Koinzidenz-Paarspektrometers getrennt von den zugehörigen Photo- und Einfach-Escape-Linien gemessen werden können, einen relativ zum Linienmaximum unsymmetrischen Linienfuß. Die Erhöhung des Linienfußes auf der niederenergetischen Seite entsteht z.T . durch die nicht vollständige Absorption der bei der Abbremsung der sich im Detektormaterial bewegenden Elektronen und Positronen entstehenden Bremsstrahlung. Daher erfordert die Bestimmung der genauen Linienform, die für

die Berechnung von Detektoransprechwahrscheinlichkeiten 2-5) wichtig ist und mit Hilfe der Monte-CarloMethode durchgeführt werden kann, die Kenntnis des Elektronen-Bremsstrahispektrums . Von Zerby und Moranb ) wurden die Bremsstrahlspektren für NaJ und Luft und von Gaggeros) für Ge unter Verwendung von theoretischen Wirkungsquerschnitten, die mit Hilfe der Bornschen Näherung abgeleitet wurden'), berechnet . Bei den Wirkungsquerschnitten wurden dabei allerdings Korrektionen für die Bornsche Näherung und im nichtrelativistischen Bereich die Abschirmung des Coulomb-Feldes vernachlässigt . Bei der Berechnung des Elektronenbremsvermögens wurden außerdem der Dichteeffekt und der Energieverlust durch Bremsstrahlerzeugungnicht mitberücksichtigt . Daher erschien es sinnvoll, die Bremsstrahlspektren für die wichtigsten Detektormaterialien Si, Ge, NaJ und CsJ unter Berücksichtigung der genannten Korrektionen neu zu berechnen . 2 . Theorie 2 .1 . BREMSSTRAHLERZEUGUNG Bewegt sich ein Elektron der Gesamtenergie Eu mit einem Impuls po in einem ausreichend dicken Material der Teilchendichte N, so verliert es seine gesamte kinetische Energie To =Eo -mo c Z durch unelastische Stöße im Material oder durch Erzeugung von Bremsstrahlungsquanten der Energie k <__ To , hervorgerufen durch die Wechselwirkung im Feld eines Kerns oder Atoms. Die Größe mo c Z ist dabei die Elektronenruheenergie und Eo und To stellen die Gesamtenergie bzw . die kinetische Energie eines Elektrons dar. Unter der Annahme, daß die Abbremsung eines Elektrons ein kontinuierlicher Prozeß ist und das 97

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Elektron beieinemeinzelnen Stoß nureinenminimalen Bruchteil seiner Energie verliert*, ist das Bremsstrahlspektrum (dn/dk)eo, d.h . die Zahl der Bremsstrahlquanten mit einer Energie zwischen k und k+dk, die voneinemElektron dergesamten Primärenergie Eo bei vollständiger Abbremsung in einem Material erzeugt werden, durch Gl. (1) gegeben') : //``E° (dn/dk)E° = N /t

,/k+mccz

(daldk)E- dE'. (-dEldX)E.

(daldk)E , ist dabei der differentielle Wirkungsquerschnitt für Bremsstrahlerzeugung durch ein Elektron der Gesamtenergie E' und (-dEldx) E, das Bremsvermögen . Die Gesamtzahl der von einem Elektron der Primärenergie Ea innerhalb seiner Reichweite erzeugten Bremsstrahlquanten mit Energien im Intervall zwischen k o und To =EB -m o c2 ergibt sich durch Integration der Gl. (1) über dk zwischen ko und To zu

sebirmparameters y =100 kmoc2/[E(E-k) Z' 1 '1 definiert : (daldk)Édk= A(E)fEd63BN, für 0,04 _< T/moc2 < 4: i=1, A(E)da3BN , für 4 _< Tlme c2 < 30,y > 15 : i=2, A(E) da3ss(a) , für 4 < T/me c2 < 30, 2 < y _< 15 : i = 3, A(E) da3Bs(c) , für 4_
wobeifE den Elwert-Faktor') und A(E)einen Korrektionsfaktor zurVerbesserung der Bornschen Näherung, dervon Fano et al .'°) für A1 und Au bestimmt worden ist, bedeuten . Die Indizes von da* entsprechen den Bezeichnungen von Koch und Motzs). Der ElwertTo E° FaktorfE, der für nichtrelativistische Elektronen eine (d (r/dk)E . n(Eo, k,,) = N ~ dk dE'. (2) Korrektion für die Abschirmung des Coulombfeldes darstellt und durch Vergleich der nichtrelativistischen Bornschen Näherung mit der nichtrelativistischen Der relative Energieanteil Y, der von einem Elektron Theorie von Sommerfeld") bestimmt worden ist'), der kinetischen Energie To innerhalb seiner Reichweite wird durch Gl. (5) gegeben: in Form von Bremsstrahlung erzeugt wird, kann durch ßu {1 - exp[ -21rZ/(l37ßa)]} G' (3) beschrieben werden : .is = P{1 - exp[-21rZ/(I37ß)]} ' rT° (-dE/dx)É . 1 dE', y(Eo) = wobei ßo undßdie Verhältnisse aus der Anfangs- bzw. TO JO (-dE/dx)g*' Endgeschwindigkeit der Elektronen bei einem Stoßwobei (-dEldx),, das Bremsvermögen durch Brems- prozeß und der Lichtgeschwindigkeit sind. strahlung und (-dEldx)Ë' das gesamte BremsDer Faktor A(E)wurdeähnlich wievon Berger und vermögen bedeuten. Seltzer 12) aus den Ergebnissen von Fane ei all°) unter Die verwendeten Wirkungsquerschnitte und die der Annahme interpoliert bzw. extrapoliert, daß für Berechnung derEnergieverluste werden in den nächsten Wasserstoff der Korrektionsfaktor gleich Eins ist. Unterabschnitten beschrieben. In Fig. 1 ist dieAbhängigkeit des Korrektionsfakters A von der relativen kinetischen Elektronenenergie Tlmo c2 für Elemente mit den Ordnungszahlen 2.2 . WIRKUNGSQUERSCHNITTE Z=l ; 11 ; 13 ; 32 ; 53 und 79, d. h. für H, Na, Al, Ge, Zur Berechnung der Bremsstrahlverteilung nach J und Au dargestellt. Die Kurven für Z= 13 und Gl. (1) werden wie in der Arbeit von Pages et al. 7) die Z= 79 sind für Energien TZ 0,1 mo c2 der Arbeit von mit der Bethe-Heitler-Theorie berechneten Wir- Koch und Motze) entnommen und nach kleineren kungsquerschnitte in der analytischen Formulierung Energien hinerweitert worden . Es istzu erkennen, daß der sehr ausführlichen, zusammenfassenden Arbeit von der Korrektionsfaktor A für Energien T< 10 mo c2 Koch und Motzß) verwendet. In Gl. (4) werden-die eine Erhöhung des Wirkungsquerschnitts für die Gültigkeitsbereiche für die Wirkungsquerschnitte hin- Bremsstrahlung bewirkt, die bis zu 50 % betragen sichtlich der kinetischen Teilchenenergie T und des Äb- kann: Bei der Berechnung der Bremsstrahlverteilung nach s Die durch diese Näherungsannahme bedingten Fehle, werden der Methode von Zerby und Moranb) sind beide am Ende dieser Arbeitdiskutiert: Korrektionsfaktoren A und fE vernachlässigt worden.

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und

1 .6 -

2 9 _E o E k2 (EnE +c4Pop 2) + + 3c2 CPoPl c6 P3P 3 c 2) _k Ee + lm . 1 3P c PoP/ ~mo LCEo E Po

U=

15

- (Eo E+c2 p21 p3

0.9

0.01

1 Ins'

0.1

10

Fig . 1 . Korrektionsfaktor A in Abhängigkeit vom Verhältnis Tolmoc2 aus der Elektronenenergie To und der Elektronenruheenergie mpc2 mit der Kernladungszahl Z des abbremsenden Materials als Parameter . Die durchgezogenen Kurventeile sind der Arbeit von Fano et a1 .t0) entnommen, während die durch brochenen Kurventeile interpolierte bzw. extrapolierte Daten darstellen . Bezeichnet man den klassischen Elektronenradius mit ro , die gesamte Elektronenprimärenergie und den Impuls vor dem Stoß mit Eo = To +m o cz bzw . po=(1lc) [To(To+2moc2)]j-, wobei To der reine kinetische Anteil ist, und die gleichen Größen nach dem Stoß mit E=T+m o cZ =To -k+mo c Z bzw. p=(llc) [T(T+2moc2)] } =( 1lc) [(To-k) (To-k+ +2mo c 2)]I, so ergibt sich nach Koch und Motzs) für d63aN der folgende Ausdruck: ZZ rô _p d63BN - 137 Po + m2c

2E B E p,,+' P1 + c2 Pô P2

3 )

(--'Wo +EEO P

+

x [in

to

1nC

Ee+cp01 ,

Eo - cPo

- 1nCE+cpl e E - cP

1 E,E+c2P.P-m 22C4\ L= 21n 1k m0 c2

2EoE l

Cm o e 2kJ

1 2

dk

c(Y)

Ik ,

wobei c(y) nach Pages et al . 7) durch folgende einfache analytische Funktion dargestellt werden kann: c(y) = 0,102 exp (-0,151y) + 0,47 exp (-0,63y). Die Verwendung von Gl. (7) im angegebenen Parameterbereich ist nach Koch und Motz mit einer Unsicherheit von ±5°,% behaftet . Für Elektronenenergien oberhalb von 2 MeV und y<_<- 2 wurde der Wirkungsquerschnitt d639N(e1 verwendet s). d63us( ~) -_

mit -

kE E 2 + c2 ( Po P 2

Als Unsicherheit für (duldk)E dk * geben Koch und Motz bei der Verwendung von d63BN im Energiebereich zwischen 0,1 MeV und 2 MeV ±20% an. Bei Energien oberhalb von 2 MeV und einem Abschirmparameter y > 15 ist die Angabe einer Unsicherheit wegen der relativ großen Ungenauigkeit von du3 DN für die Erzeugung von Bremsquanten mit Energien nahe der kinetischen Primärenergien nicht möglich. Die für Elektronenenergien oberhalb von 2 MeV und - 15 vereinem Abschirmparameter zwischen 2 < y :9 wendete Größe d63BN(a) ist durch Gl . (7) gegebens): _E l2 _ 2 _E \ ;L` r2 x 63BStd1 )37 + CEo 3CEo~J

- m ô c2 l:OE + LU l dk PO P J k

mit

s

4Z3~2

JL I + CEo)2,

[

t(Y) - 3111

- 3(E R(02(7) - i In Z]j o 02(Y)+0,5

und 02(Y)

Z] -

ak,

exp (-2,31y)+0,12 exp (-19,8,),

= 20,14 exp (-0,151y) .

" (do/dk)Edk entspricht bei Koch und Ntotzs) der Größe ds.

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Hierbei kann ebenfalls mit einer Unsicherheit von 3. Durchführung der numerischen Rechnung ±5% gerechnet werden. Ähnliche -Formeln sind Die Berechnung der Bremsstrahlungserteilung, Gl . bei der Bremsstrahlberechnung von Zerby und Moran (1) und der Gesamtzahl der von einera Elektron der verwendet worden . In der vorliegenden Arbeit wurde Gesamtenergie Eo erzeugten Bremsstrahlquanten nach zusätzlich noch die Bremsstrahlerzeugung im Feld Gl . (2) wurde wie von Zerby und Moran6) durch eines Elektrons dadurch mitberücksichtigt, ;daß in Aufspaltung der Integrale entsprechend der Elektroallen Formeln für da* die Größe ZZ durch Z(Z+q) nenenergie und desAbschirmparameters durchgeführt. ersetzt wurde. DerWert von n, der nicht genau bekannt Während bei der früheren Rechnung') eine Aufist, aber in der Nähe von Eins liegen sollte"), wurde spaltung in zwei Integrale ausreichte, ist in der vorq = 1 gesetzt. liegenden Arbeit wegen der je nach Elektronenprimärenergie und Abschirm-Bereich verwendeten 2,î. BREMSVERMÖGEN vier Wirkungsquerschnitte die Aufspaltung in vier Bei der Berechnung des gesamten Bremsvermögens Integrale (Index i) notwendig. Sind im Material ,xurde angenommen, daß es gleich der Summe aus mehrere Komponenten, gekennzeichnet durch den dem Stoßanteil und dem Bremsstrahlungsanteil von Index j, enthalten, so ergibt sich aus Gl . (1) für den jeder einzelnen Komponente des abbremsenden Ma- Fall, daß die Verwendung aller vier Wirkungsquerterials ist . schnitte erforderlich ist, die Gl. (12): Der Bremsstrahlungsanteil zum Bremsvermögen n , _ (duldk);i dn _ läßt sich nach Bethe und Heitler') durch Gl . (9) T, dE ', (12) berechnen : d(kITo) t~ c ~e '-, ~ , (-dEldx)j "] N JfTU (-dEldx)EO = k(daldk)E.Jk, (9) mit der Bedingung go < g,
2arô ßZmo c2

In

rT((To+22mz C2), + 2m oc lI

+JT02- moc2(2To+Inoc2)in2 +1(To+moc2)2

ß- S

1

(10)

wobei I diemittlere .Anregungsenergie im Material und ä die Dichtekoirektion darstellen. Die mittlere Anregungsenergie I für ein Material der Ordnungszahl Z läßt sich mit Hilfe einer von Sternheimen") angegebenen empirischen Formel berechnen: I = (9,76.,7+58,8Z -o,' 9)eV.

(11)

Für die Dichtekorrektion S werden ebenfalls die empirischen Formeln von Sternheimer111 ') mit den zugehörigenParametern verwendet: Nach Einführung der in dieser Arbeit verwendeten Formeln und Parameter wird im,folgenden Abschnitt die Durchführung der numerischen Rechnungen beschrieben :

94 = Ea .

Die Werte go und g4 sind dabei die Integrationsgrenzen des Integrals Gl . (1), g, ist der Wert der Primärelektronenenergie, oberhalb dessen eine Berücksichtigung des Abschirmeffekts notwendig wird, und 92,93 sind die Elektronenenergien, die den Abschirmparametern y =15 bzw. y = 2 entsprechen, für die unterschiedliche Wirkungsquerschnittsformeln verwendet werden . Die Ausdrücke für 92 undg3 ergeben sich durch Auflösen der Definitionsgleichung für den Abschirmparameter y nach der ElektronenprimärenergieEo. Wie schon an anderer Stelle erwähnt, reduziert sich die Summe über i in Gl. (12), wenn nicht alle Gültigkeitsbereiche für die Wirkungsquerschnitte entsprechend der Elektronenprimärenergie und der Energie des Bremsstrahlungsquants für die Rechnung erforderlich sind. Istz. B. 94 5'9, , so tritt nur das erste Integral miteiner oberen Grenze 94 auf. Ist 94 > 9, , aber 94<92, so treten nur die ersten beiden Integrale mit der oberen Grenze 94 im zweiten Integral auf

ELEKTRONEN-BREMSSTRAHLSPEKTREN usw. Ähnlich wird die Zahl der Integrale reduziert, wenn go _g,, g, oder g3 ist, da auch dann nicht alle Wirkungsquerschnitte erforderlich sind . Die untere Grenze im ersten für die Rechnung erforderlichen Integral ;at dann gleich g, Die Berechnung der Gesamtzahl der emittierten Bremsstrahlquanten nach Gl . (2) erfolgte durch Integration der Gl . (1) bzw. Gl . (12) mit einer unteren Integrationsgrenze k c =0,04 mo c 2. Die Vorgabe einer von Null verschiedenen unteren Integrationsgrenze ist wegen der großen Unsicherheit der Wirkungsquerschnitte für die Erzeugung niederenergetischer Quanten

Fig . z. Bremsstrahlungsspektrum dn/d(k/To) in Abhängigkeit vom Verhältnis klTo aus der Energie eines Bremsstrahlungsquantsundder Energie des Primärelektrons für NaJ als Abbremsmaterial mit Tolmocz als Parameter. Zum Vergleich sind einige Ergebnisse von Zerby und Moran6) gestrichelt eingetragen worden .

erforderlich. Da aber im allgemeinen in Detektoren und Phantomen, abgesehen von dünnen Folien, Quanten so niedriger Energie wegen des Wirkungsquerschnitts für den Photoeffekt mit großer Wahrscheinlichkeit absorbiert werden, spielt diese Näherung für die Anwendung keine Rolle. Von Zerby und Moran6) und von Gaggero5) wurde ebenfalls ke =0,04m o c 2 als untere Energiegrenze für die Rechnung gewählt . Die Berechnung der Bremsstrahlungsausbeute Y nach GI . (3) erfolgte nach der gleichen Methode.

Fig. 3. Bremsstrahlungsspektrum dn/d(k/To) in Abhängigkeit vom Verhältnis k/To aus der Energie eines Bremsstrahlungs quants und der Energie des Primärelektrons für CsJ als Abbremsmaterial mit Tolmoc2 als Parameter .

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4. Diskussion der Ergebnisse Die mit Hilfe der beschriebenen' M n )de berechneten Bremsstrahlverteilungen dnld(k/To) sind für die Detektormaterialien NaJ, CsJ, Si und Ge in den Abbildungen Fig. 2 bis Fig. 5 in Abhängigkeit von dem Verhältnis aus der Energie k des Bremsstrahlungsquants und der kinetischen Elektronenenergie To mit Telme c2 als Parameter dargestellt. Für NaJ und Ge sind zum Vergleich die berechneten Spektren für Tolmoc2 =0,1 ; 5,0 und 20,0 von Zerby und Moranb) bzw. von Gaggero s) durch gestrichelte Kurven angedeutet . Es ist zu erkennen, daß die in dieser Arbeit

Fig. 4. Bremsstrahlungsspektrum dnld(k1To) in Abhängigkeit vom Verhältnis klTo aus der Energie eines Bremsstrahlungs quants und der Energie des Primärelektrons für Sials Abbrems . material mit Tolmoc^ als Parameter.

notberücksichtigten Korrektionen je nach Elektronenprimärenergie das Bremsstrahlspektrum unterschiedlieh beeinflussen . So ist die neu berechnete Bremsstrahlverteilung für Elektronen mit einer Energie To = 0,1 me c 2 in NaJ für 0,01 _<_ kl Te S 1 wesentlich größer als ohne Berücksichtigung der Korrekti.onen, für Tolmo c 2 =20 dagegen durchweg kleiner. Ähnlich liegen die Verhältnisse für Ge als Abbremssubstanz . Dieses Ergebnis läßt sich sofort verstehen, wenn man die Korrektion A der Fig . 1 betrachtet. Der Korrektionsfaktor ist für Energien To <_ 10 M0 C2 immer größer als Eins, so daß eine Erhöhung der Bremsstrahl-

Fig . 5. Bremsstrahlungsspektrum dnid(k/To) in Abhängigkeit vom Verhältnis klTo aus der Energie eines Bremsstrahlungsquants und der Energie des Primärelektrons für Ge als Abbrems material mit Tolmoc2 als Parameter. Zum Vergleich sind einige Ergebnisse von Gaggewb) gestrichelt eingetragen worden.

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verteilung zu erwarten ist, während sich für höhere Energien mit A < 1 eine Verkleinerung ergibt. Die Verkleinerungwird außerdem noch durchdieErhöhung des Bremsvermögens durch die Bremsstrahlerzeugung verstärkt, die ebenfalls von Zerby und Moranb) nicht mitberücksichtigt wurde. Die generelle Form der Spektren wird zwar durch die berücksichtigten Korrektionen nicht wesentlich geändert, jedoch sind einige Unterschiede festzustellen . So ist z.B. für Elektronen mit T~/moc2 =0,1 in NaJ für k/Ta =0,01 eine Abweichung von ,: 20 %, für k/To = 0,7 dagegen eine Abweichung von 60 % vorhanden. Dieses Verhalten kann ebenfalls an Hand von Fig. 1 erklärt werden, da für (k/To) =0,7 nur Elektronen mit Energien zwischen 0,7 To und To beitragen, was zu einem großen Korrektionsfaktor führt, während für k/Te= 0,01 alle Elektronen mit Energien zwischen 0.01 To und To beitragen, wodurch im Mittel ein geringerer Korrektionsfaktor resultiert . Für Energien Te > m0C2 ist sogar im mittleren k/Te-Bereich eine größere Änderung zu erwarten als an den Rändern. Dieses Verhalten wird allerdings für große k/To-Werte durch die bei höheren Energien größeren Energieverluste durch Bremsstrahlung etwas verdeckt.

Ähnliche Unterschiede gegenüber den Ergebnissen mitder Methode vonZerbyundMoran lassen sich bei der Bestimmung der Gesamtzahl n der erzeugten Bremsstrahiquanten nach Gl . (2) feststellen, Für die vier hier untersuchten Materialien ist n in Abhängigkeit vom Verhältnis To/mec2 aus der kinetischen Elektronenenergie und der Ruheenergie in Fig. 6 aufgetragen. Die gestrichelte Kurve gibt zum Vergleich die von Gaggeros) nach der Methode von Zerby und Moranb) für Ge berechneten Ergebnisse wieder . Der Vergleich der beiden Kurven 3 und 3* für Ge zeigt eindeutig die Erhöhung der Zahl der Bremsstrahlquanten bei Berücksichtigung aller erforderlicher Korrektionen . In Fig. 7 ist die Bremsstrahlausbeute Y nach Gl. (3) in Abhängigkeit von .c ./m 2 aufgetragen . Die T gestrichelten Kurven deuten die Ergebnisse von Berger und Seltzer") und Pages et al.) für NaJ an, die in guter Übereinstimmung zu der hier durchgeführten Rechnung stehen. Die geringfügigen Abweigen bei höheren Energien liegen innerhalb der zu erwartenden Unsicherheiten . Nachdem gezeigt werden konnte, daß im Rahmen der kontinuierlichen Abbremstheorie die Bremsstrahlspektren bei Berücksichtigung der für die BetheHeitler-Theorie der Bremsstrahlung bekannten Korrektionen, des Dichteeffekts und des Bremsstrahlungsanteils zum Elektronenbremsvermögen die bisher im

10 3

Io'

10

n

Fig. 6. Zahl der erzeugten Bremsstrahlungsquanten nim Energiebereich zwischen k =0,04 moc2 und k = To in Abhängigkeit von To/moc2: Kurve 1-CsJ, Kurve 2--NaJ, Kurve 3_Ge, Kurve 3°-Ge nach Gaggeros), Kurve 4=Si .

Fig . 7. Bmmsstrahlungsausbeute YinAbhängigkeit von To/mec2: Kurve 1-CsJ, Kurve 2-NaJ, Kurve 3 :1Ge, Kurve 4-Si . Gestrichelt sind die Ergebnisse für NaJ vonBerger und Seltzcrl-) Kurve aund von Pages et al. 7) Kurve b angedeutet.

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allgemeinen verwendeten Bremsstrahlspektren merk- Referenzen lich abgeändert werden, soll abschließend kurz 1) H. Bethe und W. .Heitler, Proc. Roy. Soc. A146 (1934) 83 . . . D. Zerby und H. S. Moran, Oak Ridge National Labordiskutiert werden, wie weit die neuen Ergebnisse in 2) i,atory Report,ORNL-3169 (1960) . einer realistischeren Abbremstheorie, wie sie von 3) W. F. Miller und W. J. Snow, Argonne National Laboratory s) Spencer und Fanol unter Berücksichtigung von Report, ANL-6318 (1961). Sekilndärelektronen und Bremsstrahlerzeugung ent- 4) K. M. Wainio und G. F. Knoll, Nucl. Instr. and Meth . 44 (1966) 213. wickelt wurde, sinnvoll sind. Aus den richtungsG. Gaggero, Nucl. Instr . and Meth . 94 (1971) 481. weisenden Rechnungen von Spencer und Fano folgt s) sJ C. D. Zerbyund H. S. Moran, Oak Ridge National Laborafür den hier interessierenden Energiebereich, daß tory Report, ORNL-2454 (1958). (-dE/dx) -1 für 1 To <__ T< To eine gute Näherung für 7) L. Pages, E. Bertel, H. Joffre undL. Sklavenitis, Atomic Data 4(1972)1 . das Degradationsspektrum von Elektronen darstellt, und J. W. Motz, Rev. Mod. Phys. 31 (1959) 920. für kleinere Energien aber zu kleine Werte liefert. Das s) H. W. KochAnn. d. Phys. 34 (5) (1939) 178. s) G. Elwert, bedeutet für die Bremsstrahlspektren der Fig. 2 bis 10) U. Fano, H. W. Koch undJ. W. Motz, Phys. Rev. 112(1958) Fig. 5, wie aus Gl . (1) ersichtlich ist, daß sie für 1679. k/To>0,5 auch im Rahmen dieser Abbremstheorie 11) A. Sommerfed und A. W. Maue, Ann. d. Phys. 23 (5) (1935) richtig, darunter aber etwas zu klein sind, so daß sieim 12) 589. M. J. Berger und S. M. Seltzer, NASA-Publication, NASA hier betrachteten Primärelektronen-Energiebereich zwiSP-3012 (1964). schen den Spektren von Gaggero5) bzw. Zerby und 13) F. Rohrlich und B. C. Carlson, Phys . Rev. 93 (1954) 38. Moranb) und den nach der Theorie von Spencer und 14) R. M. Sternheimer, Phys. Rev. 145 (1966) 247. R. M. Sternheimer, Phys. Rev. 88 (1952) 851. Fano ls) zu berechnenden Spektren liegen sollten . 15) 16) R. M. Sternheimer, Phys. Rev. 103 (1956) 511 . Lediglich das Spektrum für Telm ecz =20 könnte im 17) R. M. Sternheimer und R.F. Peierls, Phys. Rev. B 3(1971) unteren Bereich von kIT, im Vergleich zu den älteren 3681 . Ergebnissen etwas schlechter sein. 18) L. V. Spencer und U. Fano, Phys . Rev. 93 (1954) 1172.