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Cinétique de décollement d'une sphère rigide coupée en contact avec un élastomère souple
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Shrie II b, p. 399-406, 1999 Surfaces, interfaces, films/Surfaces, interfaces, films (Endommagement, fatigue, rupture/Damage, fafigue, rupture)
Cinetique de dkollement d’une sphere rigide couple en contact avec un 6lastom&re Michel BARQUINS”,
Jean-Claude CHARMETa,
Franqois ROBBE-VALLOIREb
a Laboratoire de physique et de m&anique des milieux Vauquelin, 75231 Paris cedex 05, France b Groupe tribologie, Institut supkieur de mhcanique Fernand-Hainaut, 93407 Saint-Ouen, France E-mail (ReFu
souple
bCt&og&nes, et
de
UMR la
CNRS-ESPCI
construction
7636, mkanique,
10, rue 3,
rue
: [email protected] le 17
R&urn&
aout 1998,accept6
aprks
rkvision
le 19 octobre
1998)
L’equilibre et la cinetique de decollement,a charge impode, d’une sphererigide toupee en contact avec la surfaceplaneet lissed’un massifd’elastomeresouplesont Ctudiesa partir desconceptsde la mecaniquede la rupture.La variation de la fonction de dissipationviscoelastique@= (G - w )/w, oti G est le taux de restitution de l’energiemecaniqueet w l’energied’adhesiondeDuprC,estexamineeen fonction de la vitessed’avance V du bord de la zone de contact assimilea un front de fissure.La variation de @en fonctionde la puissance 0,55de la vitesseVest retrouvee,confirmant ainsi la loi Ctablielors de recentesexperiencesd’adherencerCalisCes par Barquinset Charmet avec le meme Blastombre (caoutchouc naturel). 0 Academic des sciences/Elsevier, Paris contact adhbsif de sphkre coupCe/ mbcanique de la rupture I cinktique de dkollement
Adhesive flat-ended Abstract.
contact and kinetics of adherence between sphere and a soft ehstomeric solid
a rigid
The equilibrium contact and the kinetics of adherence of Jlat-ended spheres, under an imposed applied load, in contact with the flat and smooth surface of a soft elastomer sample (natural rubber) are examined with the help of concepts from fracture mechanics. The variation of the dissipation function @ = (G - w )/w, where G is the strain energy release rate and w is the Dupre’ energy of adhesion, is studied as a function of the crack propagation speed V at the inte$ace between the Jlat-ended sphere and the elastic solid. As expected, a master curve @( V) is found, confirming the variation of @ as the 0.55 power function of V which Barquins and Charmet established recently in adherence experiments with the same rubber-like material. 0 Academic des sciences/ Elseviel; Paris
adhesiontests/fracture mechanics/kinetics of adherence
Note prCsent6epar Pierre-Gillesde GENNES. 1287-4620/99/032700399
0 Acadhnie
des scienceslElsevier.
Paris
399
M. Barquins
et al.
Abridged
English
Version
In a previous paper [ 11, the equilibrium contact area between a flat-ended sphere (global radius R and flat radius a,) and the flat and smooth surface of an elastic half-space (polyurethane sample), under various loads, was studied with the help of the Griffith criterion G = w, where w is the Dupre energy of adhesion, and G is the strain energy release rate [7]. G is given by (1) as a function of the applied load P = mg, the radius a of the contact area and the load P, [relation (3)] which provides the same contact radius as under the effective applied load P when molecular attraction forces are not taken into account, i.e. in the case of the general theory of elasticity. In a first set of experiments, equilibrium contacts of four flat-ended spheres (global radius R = 2.19 mm and flat radii a, = 236,201, 146.5 and 107 pm), pressed against a natural rubber sample (Young’s modulus E = 0.89 MPa, Poisson’s ratio v = OS), are studied. The case of a perfect spherical punch is also analysed in order to assess w from the JKR theory [8]. In a second set of experiments, we demonstrate that push-on/pull-off experiments allow one to study the kinetics of adherence and to confirm a variation of the dissipation function @, given by (5), as the same power function of the crack propagation speed p.55 for the same rubber-like material, as previously determined in adherence and rolling experiments of cylinder and in rebound tests of rigid balls [4-61. At equilibrium, G = w, the radius of the contact area a and the normal applied load P are linked by the relation (4) in which (Y represents the ratio a, la. The particular case (Y= 0 corresponds to the adhesive contact of a perfect sphere (JKR problem [S]), whereas the other particular case, cr = 1, provides the equilibrium contact of a flat punch of radius a, [7]. The kinetics of adherence is studied from the equilibrium state (G = w) by a change in load. When the mass m, and hence the force P = mg, is decreased for instance, the rate G given by (3) increases, so that G > w and the two solids begin to separate. It is well-known now [7] that the kinetics of adherence is described by the identity (5) in which the difference G - w represents the force per unit length of crack; it is the “motive” of the crack, which takes a limiting speed V dependent only on temperature. In (5), the second term corresponds to the viscous drag resulting from the losses at the crack tip. 0( ur V) is a dimensionless function, proportional to w [9, lo], which is characteristic of the viscoelastic material, only dependent on the crack propagation speed V and on the temperature T through the shift factor ur in the WLF transformation [7]. At any time, the crack propagates with a speed such that corresponding losses exactly compensate the motive. Starting from the equilibrium state under the mass mi, the study of the kinetics of adherence consists in measuring the evolution (versus time t) of the radius a of the contact area when an another mass m, < mi is imposed. For each value of a, the strain energy release rate G is calculated with help of (1) and (3) and linked to the crack propagation speed V = - duldt. Thus, knowledge of w allows us to draw the variation of the dissipation function @, from (5), versus the crack speed V and to verify previous results concerning the variation of @ as the 0.55 power function of the crack propagation speed V for the natural rubber tested [4-61. Equilibrium and unloading experiments were carried out at constant temperature 0 = 20 “C and humidity ratio H.R. = 28 %, using an apparatus already described in [7]. A thick sheet of a soft and transparent natural rubber with a flat, smooth and clean surface, is glued under a glass sheet. A precision balance supports at the end of its arm a flat-ended sphere, made of glass, with a global radius R = 2.19 mm and various flat radii a,. Each punch is applied, for a duration of ti = 10 min, under a mass compressive mi, corresponding to the normal load Pi = mi g, against the rubber surface; then the contact radius a is measured, so that an equilibrium curve a( m ) may be drawn. Figure I shows the equilibrium contacts observed with the four flat-ended spheres and with the perfect spherical punch (symbols). Continuous lines represent computed curves derived from (4) using 400
AdhCrence
entre une sphere couple
et un elastomke
souple
the DuprC energy value w = 54 n-J& previously assessed. All the experimental points fall within the immediat vicinity of theoretical curves. Moreover, it is clear that the existence of a flat on a sphere increases the ultimate adherence force with respect to a perfect spherical punch and this force increases if the flat is enlarged. For unloading experiments, another mass m,, more tensile than mi, is applied to break the contact. The contact area, illuminated by reflection of white light, is observed through the spherical punch. For a quantitative evaluation of the contact area at equilibrium and its evolution during rupture, a video camera records the contact areas at 50 frames per second with approximately hundred fold magnification. Unloadings occur from the equilibrium state. We undertook two sets of experiments. Firstly, starting from the same mass mi = 5 g to the same active mass m, = -0.5 g, the four flat-ended spheres and the perfect sphere were tested. Figure 2 shows that the existence of a flat on the sphere delays the complete rupture of the contact. Secondly, other experiments were carried out using the flat-ended sphere with a, = 236 urn, starting from the same mass mi = 5 g to several active masses m, = - 1, - 0.8, - 0.5 g and 0, the last leading to a new equilibrium state. It is clear that if the mass corresponds to a higher tensile force P, = m, g, the rupture of contact is more precocious (/Figure 3). In order to study the kinetics of adherence, for each experimental point chosen on curves presented on figures 2 and 3, we calculate the corresponding strain energy release rate G( a ), using (1) with P, given by (3), and then the dissipation function @ [relation (5)] and we associate the crack propagation speed V = - daldt deduced from the measured value of the local slope of the curve a( t ). As expected, taking into account recent previous results [4-6, 111, it is found (Figure 4) that for our natural rubber sample, the master curve representing the function 0 varies as the 0.55 power of the crack propagation speed V, with quite good accuracy. These results prove once again that the master curve drawn and its variation as Vt’.55 is a characteristic of the propagation in mode I at the interface of our rubber-like material.
1. Introduction Dans une etude precedente [l], le contact d’equilibre entre une sphere rigide de rayon R presentant un meplat circulaire (rayon a,) et la surface plane et lisse d’un massif de polyurethane, sous l’action d’une charge P, a CtC Ctudit a partir de la generalisation qu’a entreprise Sneddon en 1965 [2, 31 du problbme de Hertz, Ctendue a tous les poincons axisymetriques de forme convexe. Des experiences du meme type sont reproduites ici avec un massif de caoutchouc nature1 reticule (module d’elasticitt E = 0,89 MPa et coefficient de Poisson v = 0,5), pour ensuite Ctudier avec precision la cinetique de decollement d’une sphere, presentant un meplat parallble a l’interface, lorsque la force d’appui est modifiee, situation qui conduit soit a la separation des solides, soit a un nouvel &at d’tquilibre suivant l’intensite de la nouvelle force imposee. Depuis 1996, Barquins et Charmet [4-61 decrivent des experiences de cinetique d’adherence et de roulement de cylindres ainsi que des tests de rebond pratiquts sur la surface plane et lisse d’un massif de caoutchouc naturel. 11 est montre que la fonction de dissipation @, par pertes viscodlastiques localisees au bord de la zone de contact, qui peut &tre deduite du taux de restitution de l’energie [7] @ = ( G - w )/w, G &ant le taux de restitution de l’energie mecanique et w l’energie d’adhesion de Dupre, varie dans un large domaine de vitesses de propagation en fonction puissance de cette vitesse (@ = @55). Le but de cette note est de montrer que la presence d’un meplat sur la sphere, bien 401
M. Barquins
et al.
qu’ayant pour effet de modifier les conditions d’tquilibre par rapport a une sphere parfaite, ne perturbe pas la cinetique de decollement a charge imposee et que celle-la varie bien avec la puissance 0,55 de la vitesse de decroissance du rayon d’aire de contact pour le mattriau caoutchouteux Cprouve.
2. Contact
d’equilibre
et cinCtique
d’adhkence
Le bord de l’aire de contact de rayon a entre un poincon rigide axisymetrique et un massif Clastique peut Ctre consider6 comme un front de fissure qui avance ou qui recule quand la charge normale appliquee P est diminuee ou augmentee. 11 a CtC clairement Ctabli [7] que le taux de restitution de l’energie mecanique G peut k-e Ccrit : G={(1-v2)lE}(P1-P)2/8na3
(1)
expression dans laquelle PI est la charge hertzienne qui produit la mCme aire de contact en l’absence d’intervention des forces d’attraction mokkulaire que la charge P effectivement appliquee (PI > P) lorsque ces forces agissent. Considerons une sphere de rayon R avec un plat de rayon a,, parallele a l’interface, en contact avec un massif Clastique semi-infini sur une aire de rayon a > a, et posons (Y= a&. La prise en compte des equations de Sneddon [l-3] conduit h l’equation d’etat du systeme qui lie la charge appliquee P, le rayon a de l’aire de contact et l’enfoncement 6 du poincon au sein du massif Clastique : P = ( 3 UK/Z!) (6 - u2( 1 - 1y2)3’2/3 R}
(2)
en posant l/K = (3/4) { ( 1 - v2)/E}. Pour (Y= 0, l’equation (4) donne la relation bien connue pour une sphere adhesive, Ctablie par Johnson et al. [8]. Dans le cas d’un contact non adhesif, la charge hertzienne P, peut etre &rite [l] comme suit : (3) expression qui fournit la relation deduite de la theorie de Hertz pour cx= 0. Pour un contact adhesif, l’equilibre est defini par G = w et la relation liant le rayon de l’aire de contact et la charge appliquee se deduit des relations (1) et (3) :
La cinetique d’adherence est Ctudite a partir de l’etat d’equilibre (G = w) par un changement de la charge appliquee P. A titre d’exemple, quand P est brutalement diminuee pour un rayon a donnt, i.e. PI fixe, le taux G [equation (l)] augmente de sorte que G > w et les solides commencent a se &parer. 11 est bien connu aujourd’hui [7] que la cinetique d’adherence des Clastomeres reticules est d&rite par l’identite : G-wrw@(u,V)
402
(5)
Adherence
entre une sph&re toupee
et un elastomtire
souple
expression dans laquelle le premier membre represente le moteur de la fissure et le second le terme de freinage dft aux pertes viscoelastiques que l’on suppose confinees dans un petit volume entourant le front de fissure [9, lo]. La fonction @( ur V), caracteristique du materiau Clastomerique CprouvC, est sans dimension ; elle depend uniquement de la vitesse de propagation de fissure V et de la temperature T au travers du facteur de translation ur de la transformation WLF [7]. A chaque instant, la fissure se propage a la vitesse telle que les pertes viscoelastiques correspondantes Cquilibrent tres exactement l’effort moteur G - w. Partant de l’etat d’equilibre sous la masse appliquee mi, produisant la force Pi = mi g, l’etude de la cinetique d’adherence consiste a mesurer l’evolution au cours du temps t du rayon a de l’aire du contact lorsque qu’une autre masse m, < mi est impode. Pour chaque valeur de a, le taux de restitution de l’energie G peut Ctre calcule a l’aide des relations (1) et (3) et relic a la vitesse de propagation V = -du/dt. La determination de w permet de tracer la variation de la fonction de dissipation @, a l’aide de l’equation (5), en fonction de V et de verifier les resultats precedemment obtenus pour le caoutchouc nature1 [4-6, 111. 3. Rhsultats
expkimentaux,
discussion
et conclusion
Les experiences d’equilibre et de cinetique de decollement ont Cte realisCes, dam des conditions environnementales maintenues constantes (temperature 13= 20 “C, humidite relative H.R. = 28 %), entre un indenteur de for-me spherique en vet-t-e de rayon R = 2,19 mm presentant un meplat et la surface plane et lisse d’un massif de caoutchouc nature1 reticule (E = 0,89 MPa, v = 0,5). Un ensemble de quatre indenteurs, comportant chacun un meplat circulaire de rayon varie a, = 236,201,146,5 et 107 pm a Cte confectionne avec grand soin par un opticien. Pour l’etude de l’equilibre, un indenteur etait maintenu sous l’action d’une masse mi (force correspondante Pi = mi g) pendant une duke constante ti = 10 min, contre la surface lisse de l’elastomere, a l’aide d’une balance solidaire d’un microscope, CquipC d’un systeme video permettant l’enregistrement des images d’aires de contact, au travers de l’indenteur en verre, et leurs mesures precises ulterieures [7]. La Jigure 1 reprtsente les rayons a des contacts d’equilibre des quatre indenteurs, comportant un meplat, soumis a differentes masses mi impodes. A titre de comparaison, des mesures ont egalement Cte realistes avec une sphere parfaite. Pour une charge donnee, le rayon de contact est d’autant plus grand que le meplat est plus Ctendu. De meme, plus le meplat est large, plus la force de traction (masse negative) que peut supporter le poincon a l’equilibre est importante. Nous avons utilise les mesures obtenues avec la sphere parfaite pour Cvaluer l’energie d’adhesion de DuprC a partir de la theorie JKR [8] et trouvt w = 54 mJ&, valeur tout a fait comparable a celles precedemment determinCes [6, 111. La relation d’equilibre (4) permet, pour chaque valeur de (Y= a&, de tracer les variations attendues du rayon a de l’aire de contact en fonction de la masse mi impode. Les courbes correspondantes sont tracees en trait plein sur la figure 1. On constate qu’elles passent dans le voisinage immediat des points experimentaux (symboles) ; le modble se trouve ainsi a nouveau VClifiC.
Des experiences de decollement des spheres toupees ont CtC r&lisCes a partir de la mCme masse initiale mi = 5 g, laquelle correspond a la force Pi = 49 mN, maintenue pendant ti = 10 min, en appliquant la meme masse active m, = - 0,5 g. La jgure 2 montre, pour chaque poincon spherique coupe, l’evolution dans le temps du rayon a de l’aire de contact a force imposee P, = m, g = -4,9 mN. On constate que la presence d’un meplat retarde le moment de la rupture, par rapport a une sphere parfaite. De plus, le temps necessaire pour observer la rupture du contact est d’autant plus long que le meplat est plus Ctendu. 403
M.
Barquins
500
-
400
-
300
-
rayon
et al.
du contact hnicrons)
/ 200
Y
anI
a
-
I 100
Figure 1. Rayons a des aires de contact d’kquilibre entre des poin$ons sphkriques prksentant diffkrents mkplats de rayons 236, 201, 146,5, 107 pm et 0 (sphere parfaite), et la surface plane et lisse d’un massif tlastique (caoutchouc naturel, E = 0,89 MPa, v = 0,5) en fonction de la masse normale mi imposte.
+
236 pm
A 0
201 km 146,5 Km
0
107 pm
Figure 1. Radii a of equilibrium contact areas between several flat-ended spheres, with radii of the JEat 236, 201, 146.5, 107 p and 0 (pegect sphere), and the jut and smooth surface of an elastic solid (unjlled natural rubbel; Young’s modulus E = 0.89 MPa, Poisson’s ratio v = 0.5) as a function of the normal applied mass mi.
-
I I "1'1""'~(""'~"""'~""
0 -1
0
1
2
3
masse
4
impos&
5
(g)
m,=5g
z
ma=
s? 400
.o 5
Figure 2. CinCtique
de dkcollement a(t)demi=5g&m,=-0,5g pour les poingons sphkiques coup& (a, = 236, 201, 146,5 et 107 pm) et la sphtre parfaite (a, = 0).
-Q,5 g
Figure 2. Kinetics
of unloading a(t) from the mass m, = 5 g, applied during t, = 10 min, to the mass m, = -0.5 g, for the four flat-ended spheres (radii a, = 236, 201, 146.5 and 107~) and the perfect spherical punch (a, = 0). 0 0
10
20
30
temps
40
50
(s)
Nous avons CtudiC l’influence de I’intensid de la masse active m, sur l’kvolution du dkollement du poingon sphkrique prksentant le mCplat le plus Ctendu, de rayon a, = 236 pm @gure 3). Pour m, = 0 g, l’aire de contact tend lentement vers sa dimension d’kquilibre, dont le rayon est voisin de a = 250 pm (&w-e 1). La jgure 3 montre que plus la charge m, correspond a une traction importzte, plus la rupture, quand elle est observke, s’effectue de manike prkcoce. En vue d’ktudier la cinCtique de dkcollement, pour chaque point expkrimental des courbes des jgures 2 et 3, on calcule le taux de restitution de 1’Cnergie B l’aide de l’tquation (l), la force P, &ant CvaluCe par la relation (3), puis la fonction de dissipation viscoklastique CD,fournie par l’kquation (5), et l’on associe la vitesse de propagation de fissure V = - daldt dkduite de la valeur mesurke 404
Adherence
500 ?iT
Figure 3. Ciktique de dkollement a(t),demi=5g&m,=-1,-O& - 0,5 g et 0, pour le poin$on sphkique coup& avec a, = 236 pm.
entre une sphere toupee
et un 6lastomike
souple
r
= 450 e .o E.400 r, 2 350 8 +j 300
Figure 3. Kinetics of unloading a(t) from the mass mi = 5 g, applied during ti = 10 min, to active masses m, = - 1, -0.8, -0.5 g and 0, on the jlat-ended sphere of which the Jlat radius is equal to a, = 236 pm.
8
X250 s 200 150 100 50 ,
0 0
5
10
15
20
temps
(s)
de la pente locale de la tangente a la courbe a( t), au point considere. Comme attendu, du fait des resultats obtenus dans les etudes recentes impliquant le meme Clastomere [4-6, 111, la figure 4 montre clairement que 0 varie, avec une bonne precision, comme la puissance 0,55 de la vitesse de propagation.
Figure 4. Courbe makesse illustrant la variation de la fonction de dissipation viscoklastique @ en fonction de la vitesse de propagation V. La variation en V”,” est retrouvke pour le caoutchouc naturel. Don&es tir6es des figures 2 et 3. Figure 4. Master curve illustrating the dissipation function @ versus crack propagation speed. The variation as the 0.55 power function of V is found for the natural rubber (data from figures 2 and 3).
100
2 $? si
10
1
1
10
vitesse
100
1000
10000
V ( p m.s- 1 )
Les resultats de cette etude prouvent de man&e incontestable qu’une courbe maitresse peut &tre tracee et que la variation @ = W5 est caracteristique de la propagation en mode I a l’interface de notre materiau caoutchouteux, dans la mesure ou les pertes viscoelastiques restent confinees dans un 405
M. Barquins
et al.
t&s petit volume entourant le front de fissure, 18 oti les vitesses de dkformation sont importantes, de manibre telle que le taux de restitution de l’knergie m&anique peut Ctre calculC B partir de la thkorie de 1’ClasticitC lirkaire. RCf&ences bibliographiques [I] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [lo] [ll]
406
Maugis D., Barquins M., Adhesive contact of sectionally smooth-ended punches on elastic half-spaces: theory and experiment, J. Phys. D: Appl. Phys. 16 (1983) 1843-1874. Sneddon I.N., The relation between load and penetration in the axisymmetric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile, Int. J. Engng Sci. 3 (1965) 47-57. Barquins M., Maugis D., Adhesive contact of axisymmetric punches on an elastic half-space: the modified Hertz-Huber’s stress tensor for contacting spheres, J. M6c. Thtor. Appl. 1 (1982) 331-357. Barquins M., Charmet J.-C., Influence of surface properties on the rebound of a rigid ball on a rubber surface, J. Adhesion 57 (1996) 5-19. Charmet J.-C., Barquins M., Adhesive contact and rolling of a rigid cylinder under the pull of gravity on the underside of a smooth-surfaced sheet of rubber, Int J. Adhes. Adhes. 16 (1996) 249-254. Barquins M., Charmet J.-C., Robbe-Valloire F., &at d’kquilibre et cinttique de dkollement d’un cylindre rigide en contact avec un Clastomkre souple, C. R. Acad. Sci. Paris, s&e IIb 326 (1998) 575-585. Maugis D., Barquins M., Fracture mechanics and the adherence of viscoelastics bodies, J. Phys. D: Appl. Phys. 11 (1978) 1989-2023. Johnson K.L., Kendall K., Roberts A.D., Surface energy and the contact of elastic solids, Proc. Roy. Sot. London A 324 (1971) 301-313. Gent A.N., Schultz, J., Effect of wetting liquids on the strength of adhesion of viscoelastic materials, J. Adhesion 3 (1972) 281-294. Andrews E.H., Kinloch A.J., Mechanics of adhesive failure, Proc. Roy. Sot. Lond. A 332 (1973) 385-399 et 401414. Barquins M., Shanahan M.E.R., Effect of surface cavities on static and dynamic adhesion to an elastomer, Int. J. Adhes. Adhes. 17 (1997) 313-317.
Cinetique de dkollement d’une sphere rigide couple en contact avec un 6lastom&re Michel BARQUINS”,
Jean-Claude CHARMETa,
Franqois ROBBE-VALLOIREb
a Laboratoire de physique et de m&anique des milieux Vauquelin, 75231 Paris cedex 05, France b Groupe tribologie, Institut supkieur de mhcanique Fernand-Hainaut, 93407 Saint-Ouen, France E-mail (ReFu
souple
bCt&og&nes, et
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1998)
L’equilibre et la cinetique de decollement,a charge impode, d’une sphererigide toupee en contact avec la surfaceplaneet lissed’un massifd’elastomeresouplesont Ctudiesa partir desconceptsde la mecaniquede la rupture.La variation de la fonction de dissipationviscoelastique@= (G - w )/w, oti G est le taux de restitution de l’energiemecaniqueet w l’energied’adhesiondeDuprC,estexamineeen fonction de la vitessed’avance V du bord de la zone de contact assimilea un front de fissure.La variation de @en fonctionde la puissance 0,55de la vitesseVest retrouvee,confirmant ainsi la loi Ctablielors de recentesexperiencesd’adherencerCalisCes par Barquinset Charmet avec le meme Blastombre (caoutchouc naturel). 0 Academic des sciences/Elsevier, Paris contact adhbsif de sphkre coupCe/ mbcanique de la rupture I cinktique de dkollement
Adhesive flat-ended Abstract.
contact and kinetics of adherence between sphere and a soft ehstomeric solid
a rigid
The equilibrium contact and the kinetics of adherence of Jlat-ended spheres, under an imposed applied load, in contact with the flat and smooth surface of a soft elastomer sample (natural rubber) are examined with the help of concepts from fracture mechanics. The variation of the dissipation function @ = (G - w )/w, where G is the strain energy release rate and w is the Dupre’ energy of adhesion, is studied as a function of the crack propagation speed V at the inte$ace between the Jlat-ended sphere and the elastic solid. As expected, a master curve @( V) is found, confirming the variation of @ as the 0.55 power function of V which Barquins and Charmet established recently in adherence experiments with the same rubber-like material. 0 Academic des sciences/ Elseviel; Paris
adhesiontests/fracture mechanics/kinetics of adherence
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In a previous paper [ 11, the equilibrium contact area between a flat-ended sphere (global radius R and flat radius a,) and the flat and smooth surface of an elastic half-space (polyurethane sample), under various loads, was studied with the help of the Griffith criterion G = w, where w is the Dupre energy of adhesion, and G is the strain energy release rate [7]. G is given by (1) as a function of the applied load P = mg, the radius a of the contact area and the load P, [relation (3)] which provides the same contact radius as under the effective applied load P when molecular attraction forces are not taken into account, i.e. in the case of the general theory of elasticity. In a first set of experiments, equilibrium contacts of four flat-ended spheres (global radius R = 2.19 mm and flat radii a, = 236,201, 146.5 and 107 pm), pressed against a natural rubber sample (Young’s modulus E = 0.89 MPa, Poisson’s ratio v = OS), are studied. The case of a perfect spherical punch is also analysed in order to assess w from the JKR theory [8]. In a second set of experiments, we demonstrate that push-on/pull-off experiments allow one to study the kinetics of adherence and to confirm a variation of the dissipation function @, given by (5), as the same power function of the crack propagation speed p.55 for the same rubber-like material, as previously determined in adherence and rolling experiments of cylinder and in rebound tests of rigid balls [4-61. At equilibrium, G = w, the radius of the contact area a and the normal applied load P are linked by the relation (4) in which (Y represents the ratio a, la. The particular case (Y= 0 corresponds to the adhesive contact of a perfect sphere (JKR problem [S]), whereas the other particular case, cr = 1, provides the equilibrium contact of a flat punch of radius a, [7]. The kinetics of adherence is studied from the equilibrium state (G = w) by a change in load. When the mass m, and hence the force P = mg, is decreased for instance, the rate G given by (3) increases, so that G > w and the two solids begin to separate. It is well-known now [7] that the kinetics of adherence is described by the identity (5) in which the difference G - w represents the force per unit length of crack; it is the “motive” of the crack, which takes a limiting speed V dependent only on temperature. In (5), the second term corresponds to the viscous drag resulting from the losses at the crack tip. 0( ur V) is a dimensionless function, proportional to w [9, lo], which is characteristic of the viscoelastic material, only dependent on the crack propagation speed V and on the temperature T through the shift factor ur in the WLF transformation [7]. At any time, the crack propagates with a speed such that corresponding losses exactly compensate the motive. Starting from the equilibrium state under the mass mi, the study of the kinetics of adherence consists in measuring the evolution (versus time t) of the radius a of the contact area when an another mass m, < mi is imposed. For each value of a, the strain energy release rate G is calculated with help of (1) and (3) and linked to the crack propagation speed V = - duldt. Thus, knowledge of w allows us to draw the variation of the dissipation function @, from (5), versus the crack speed V and to verify previous results concerning the variation of @ as the 0.55 power function of the crack propagation speed V for the natural rubber tested [4-61. Equilibrium and unloading experiments were carried out at constant temperature 0 = 20 “C and humidity ratio H.R. = 28 %, using an apparatus already described in [7]. A thick sheet of a soft and transparent natural rubber with a flat, smooth and clean surface, is glued under a glass sheet. A precision balance supports at the end of its arm a flat-ended sphere, made of glass, with a global radius R = 2.19 mm and various flat radii a,. Each punch is applied, for a duration of ti = 10 min, under a mass compressive mi, corresponding to the normal load Pi = mi g, against the rubber surface; then the contact radius a is measured, so that an equilibrium curve a( m ) may be drawn. Figure I shows the equilibrium contacts observed with the four flat-ended spheres and with the perfect spherical punch (symbols). Continuous lines represent computed curves derived from (4) using 400
AdhCrence
entre une sphere couple
et un elastomke
souple
the DuprC energy value w = 54 n-J& previously assessed. All the experimental points fall within the immediat vicinity of theoretical curves. Moreover, it is clear that the existence of a flat on a sphere increases the ultimate adherence force with respect to a perfect spherical punch and this force increases if the flat is enlarged. For unloading experiments, another mass m,, more tensile than mi, is applied to break the contact. The contact area, illuminated by reflection of white light, is observed through the spherical punch. For a quantitative evaluation of the contact area at equilibrium and its evolution during rupture, a video camera records the contact areas at 50 frames per second with approximately hundred fold magnification. Unloadings occur from the equilibrium state. We undertook two sets of experiments. Firstly, starting from the same mass mi = 5 g to the same active mass m, = -0.5 g, the four flat-ended spheres and the perfect sphere were tested. Figure 2 shows that the existence of a flat on the sphere delays the complete rupture of the contact. Secondly, other experiments were carried out using the flat-ended sphere with a, = 236 urn, starting from the same mass mi = 5 g to several active masses m, = - 1, - 0.8, - 0.5 g and 0, the last leading to a new equilibrium state. It is clear that if the mass corresponds to a higher tensile force P, = m, g, the rupture of contact is more precocious (/Figure 3). In order to study the kinetics of adherence, for each experimental point chosen on curves presented on figures 2 and 3, we calculate the corresponding strain energy release rate G( a ), using (1) with P, given by (3), and then the dissipation function @ [relation (5)] and we associate the crack propagation speed V = - daldt deduced from the measured value of the local slope of the curve a( t ). As expected, taking into account recent previous results [4-6, 111, it is found (Figure 4) that for our natural rubber sample, the master curve representing the function 0 varies as the 0.55 power of the crack propagation speed V, with quite good accuracy. These results prove once again that the master curve drawn and its variation as Vt’.55 is a characteristic of the propagation in mode I at the interface of our rubber-like material.
1. Introduction Dans une etude precedente [l], le contact d’equilibre entre une sphere rigide de rayon R presentant un meplat circulaire (rayon a,) et la surface plane et lisse d’un massif de polyurethane, sous l’action d’une charge P, a CtC Ctudit a partir de la generalisation qu’a entreprise Sneddon en 1965 [2, 31 du problbme de Hertz, Ctendue a tous les poincons axisymetriques de forme convexe. Des experiences du meme type sont reproduites ici avec un massif de caoutchouc nature1 reticule (module d’elasticitt E = 0,89 MPa et coefficient de Poisson v = 0,5), pour ensuite Ctudier avec precision la cinetique de decollement d’une sphere, presentant un meplat parallble a l’interface, lorsque la force d’appui est modifiee, situation qui conduit soit a la separation des solides, soit a un nouvel &at d’tquilibre suivant l’intensite de la nouvelle force imposee. Depuis 1996, Barquins et Charmet [4-61 decrivent des experiences de cinetique d’adherence et de roulement de cylindres ainsi que des tests de rebond pratiquts sur la surface plane et lisse d’un massif de caoutchouc naturel. 11 est montre que la fonction de dissipation @, par pertes viscodlastiques localisees au bord de la zone de contact, qui peut &tre deduite du taux de restitution de l’energie [7] @ = ( G - w )/w, G &ant le taux de restitution de l’energie mecanique et w l’energie d’adhesion de Dupre, varie dans un large domaine de vitesses de propagation en fonction puissance de cette vitesse (@ = @55). Le but de cette note est de montrer que la presence d’un meplat sur la sphere, bien 401
M. Barquins
et al.
qu’ayant pour effet de modifier les conditions d’tquilibre par rapport a une sphere parfaite, ne perturbe pas la cinetique de decollement a charge imposee et que celle-la varie bien avec la puissance 0,55 de la vitesse de decroissance du rayon d’aire de contact pour le mattriau caoutchouteux Cprouve.
2. Contact
d’equilibre
et cinCtique
d’adhkence
Le bord de l’aire de contact de rayon a entre un poincon rigide axisymetrique et un massif Clastique peut Ctre consider6 comme un front de fissure qui avance ou qui recule quand la charge normale appliquee P est diminuee ou augmentee. 11 a CtC clairement Ctabli [7] que le taux de restitution de l’energie mecanique G peut k-e Ccrit : G={(1-v2)lE}(P1-P)2/8na3
(1)
expression dans laquelle PI est la charge hertzienne qui produit la mCme aire de contact en l’absence d’intervention des forces d’attraction mokkulaire que la charge P effectivement appliquee (PI > P) lorsque ces forces agissent. Considerons une sphere de rayon R avec un plat de rayon a,, parallele a l’interface, en contact avec un massif Clastique semi-infini sur une aire de rayon a > a, et posons (Y= a&. La prise en compte des equations de Sneddon [l-3] conduit h l’equation d’etat du systeme qui lie la charge appliquee P, le rayon a de l’aire de contact et l’enfoncement 6 du poincon au sein du massif Clastique : P = ( 3 UK/Z!) (6 - u2( 1 - 1y2)3’2/3 R}
(2)
en posant l/K = (3/4) { ( 1 - v2)/E}. Pour (Y= 0, l’equation (4) donne la relation bien connue pour une sphere adhesive, Ctablie par Johnson et al. [8]. Dans le cas d’un contact non adhesif, la charge hertzienne P, peut etre &rite [l] comme suit : (3) expression qui fournit la relation deduite de la theorie de Hertz pour cx= 0. Pour un contact adhesif, l’equilibre est defini par G = w et la relation liant le rayon de l’aire de contact et la charge appliquee se deduit des relations (1) et (3) :
La cinetique d’adherence est Ctudite a partir de l’etat d’equilibre (G = w) par un changement de la charge appliquee P. A titre d’exemple, quand P est brutalement diminuee pour un rayon a donnt, i.e. PI fixe, le taux G [equation (l)] augmente de sorte que G > w et les solides commencent a se &parer. 11 est bien connu aujourd’hui [7] que la cinetique d’adherence des Clastomeres reticules est d&rite par l’identite : G-wrw@(u,V)
402
(5)
Adherence
entre une sph&re toupee
et un elastomtire
souple
expression dans laquelle le premier membre represente le moteur de la fissure et le second le terme de freinage dft aux pertes viscoelastiques que l’on suppose confinees dans un petit volume entourant le front de fissure [9, lo]. La fonction @( ur V), caracteristique du materiau Clastomerique CprouvC, est sans dimension ; elle depend uniquement de la vitesse de propagation de fissure V et de la temperature T au travers du facteur de translation ur de la transformation WLF [7]. A chaque instant, la fissure se propage a la vitesse telle que les pertes viscoelastiques correspondantes Cquilibrent tres exactement l’effort moteur G - w. Partant de l’etat d’equilibre sous la masse appliquee mi, produisant la force Pi = mi g, l’etude de la cinetique d’adherence consiste a mesurer l’evolution au cours du temps t du rayon a de l’aire du contact lorsque qu’une autre masse m, < mi est impode. Pour chaque valeur de a, le taux de restitution de l’energie G peut Ctre calcule a l’aide des relations (1) et (3) et relic a la vitesse de propagation V = -du/dt. La determination de w permet de tracer la variation de la fonction de dissipation @, a l’aide de l’equation (5), en fonction de V et de verifier les resultats precedemment obtenus pour le caoutchouc nature1 [4-6, 111. 3. Rhsultats
expkimentaux,
discussion
et conclusion
Les experiences d’equilibre et de cinetique de decollement ont Cte realisCes, dam des conditions environnementales maintenues constantes (temperature 13= 20 “C, humidite relative H.R. = 28 %), entre un indenteur de for-me spherique en vet-t-e de rayon R = 2,19 mm presentant un meplat et la surface plane et lisse d’un massif de caoutchouc nature1 reticule (E = 0,89 MPa, v = 0,5). Un ensemble de quatre indenteurs, comportant chacun un meplat circulaire de rayon varie a, = 236,201,146,5 et 107 pm a Cte confectionne avec grand soin par un opticien. Pour l’etude de l’equilibre, un indenteur etait maintenu sous l’action d’une masse mi (force correspondante Pi = mi g) pendant une duke constante ti = 10 min, contre la surface lisse de l’elastomere, a l’aide d’une balance solidaire d’un microscope, CquipC d’un systeme video permettant l’enregistrement des images d’aires de contact, au travers de l’indenteur en verre, et leurs mesures precises ulterieures [7]. La Jigure 1 reprtsente les rayons a des contacts d’equilibre des quatre indenteurs, comportant un meplat, soumis a differentes masses mi impodes. A titre de comparaison, des mesures ont egalement Cte realistes avec une sphere parfaite. Pour une charge donnee, le rayon de contact est d’autant plus grand que le meplat est plus Ctendu. De meme, plus le meplat est large, plus la force de traction (masse negative) que peut supporter le poincon a l’equilibre est importante. Nous avons utilise les mesures obtenues avec la sphere parfaite pour Cvaluer l’energie d’adhesion de DuprC a partir de la theorie JKR [8] et trouvt w = 54 mJ&, valeur tout a fait comparable a celles precedemment determinCes [6, 111. La relation d’equilibre (4) permet, pour chaque valeur de (Y= a&, de tracer les variations attendues du rayon a de l’aire de contact en fonction de la masse mi impode. Les courbes correspondantes sont tracees en trait plein sur la figure 1. On constate qu’elles passent dans le voisinage immediat des points experimentaux (symboles) ; le modble se trouve ainsi a nouveau VClifiC.
Des experiences de decollement des spheres toupees ont CtC r&lisCes a partir de la mCme masse initiale mi = 5 g, laquelle correspond a la force Pi = 49 mN, maintenue pendant ti = 10 min, en appliquant la meme masse active m, = - 0,5 g. La jgure 2 montre, pour chaque poincon spherique coupe, l’evolution dans le temps du rayon a de l’aire de contact a force imposee P, = m, g = -4,9 mN. On constate que la presence d’un meplat retarde le moment de la rupture, par rapport a une sphere parfaite. De plus, le temps necessaire pour observer la rupture du contact est d’autant plus long que le meplat est plus Ctendu. 403
M.
Barquins
500
-
400
-
300
-
rayon
et al.
du contact hnicrons)
/ 200
Y
anI
a
-
I 100
Figure 1. Rayons a des aires de contact d’kquilibre entre des poin$ons sphkriques prksentant diffkrents mkplats de rayons 236, 201, 146,5, 107 pm et 0 (sphere parfaite), et la surface plane et lisse d’un massif tlastique (caoutchouc naturel, E = 0,89 MPa, v = 0,5) en fonction de la masse normale mi imposte.
+
236 pm
A 0
201 km 146,5 Km
0
107 pm
Figure 1. Radii a of equilibrium contact areas between several flat-ended spheres, with radii of the JEat 236, 201, 146.5, 107 p and 0 (pegect sphere), and the jut and smooth surface of an elastic solid (unjlled natural rubbel; Young’s modulus E = 0.89 MPa, Poisson’s ratio v = 0.5) as a function of the normal applied mass mi.
-
I I "1'1""'~(""'~"""'~""
0 -1
0
1
2
3
masse
4
impos&
5
(g)
m,=5g
z
ma=
s? 400
.o 5
Figure 2. CinCtique
de dkcollement a(t)demi=5g&m,=-0,5g pour les poingons sphkiques coup& (a, = 236, 201, 146,5 et 107 pm) et la sphtre parfaite (a, = 0).
-Q,5 g
Figure 2. Kinetics
of unloading a(t) from the mass m, = 5 g, applied during t, = 10 min, to the mass m, = -0.5 g, for the four flat-ended spheres (radii a, = 236, 201, 146.5 and 107~) and the perfect spherical punch (a, = 0). 0 0
10
20
30
temps
40
50
(s)
Nous avons CtudiC l’influence de I’intensid de la masse active m, sur l’kvolution du dkollement du poingon sphkrique prksentant le mCplat le plus Ctendu, de rayon a, = 236 pm @gure 3). Pour m, = 0 g, l’aire de contact tend lentement vers sa dimension d’kquilibre, dont le rayon est voisin de a = 250 pm (&w-e 1). La jgure 3 montre que plus la charge m, correspond a une traction importzte, plus la rupture, quand elle est observke, s’effectue de manike prkcoce. En vue d’ktudier la cinCtique de dkcollement, pour chaque point expkrimental des courbes des jgures 2 et 3, on calcule le taux de restitution de 1’Cnergie B l’aide de l’tquation (l), la force P, &ant CvaluCe par la relation (3), puis la fonction de dissipation viscoklastique CD,fournie par l’kquation (5), et l’on associe la vitesse de propagation de fissure V = - daldt dkduite de la valeur mesurke 404
Adherence
500 ?iT
Figure 3. Ciktique de dkollement a(t),demi=5g&m,=-1,-O& - 0,5 g et 0, pour le poin$on sphkique coup& avec a, = 236 pm.
entre une sphere toupee
et un 6lastomike
souple
r
= 450 e .o E.400 r, 2 350 8 +j 300
Figure 3. Kinetics of unloading a(t) from the mass mi = 5 g, applied during ti = 10 min, to active masses m, = - 1, -0.8, -0.5 g and 0, on the jlat-ended sphere of which the Jlat radius is equal to a, = 236 pm.
8
X250 s 200 150 100 50 ,
0 0
5
10
15
20
temps
(s)
de la pente locale de la tangente a la courbe a( t), au point considere. Comme attendu, du fait des resultats obtenus dans les etudes recentes impliquant le meme Clastomere [4-6, 111, la figure 4 montre clairement que 0 varie, avec une bonne precision, comme la puissance 0,55 de la vitesse de propagation.
Figure 4. Courbe makesse illustrant la variation de la fonction de dissipation viscoklastique @ en fonction de la vitesse de propagation V. La variation en V”,” est retrouvke pour le caoutchouc naturel. Don&es tir6es des figures 2 et 3. Figure 4. Master curve illustrating the dissipation function @ versus crack propagation speed. The variation as the 0.55 power function of V is found for the natural rubber (data from figures 2 and 3).
100
2 $? si
10
1
1
10
vitesse
100
1000
10000
V ( p m.s- 1 )
Les resultats de cette etude prouvent de man&e incontestable qu’une courbe maitresse peut &tre tracee et que la variation @ = W5 est caracteristique de la propagation en mode I a l’interface de notre materiau caoutchouteux, dans la mesure ou les pertes viscoelastiques restent confinees dans un 405
M. Barquins
et al.
t&s petit volume entourant le front de fissure, 18 oti les vitesses de dkformation sont importantes, de manibre telle que le taux de restitution de l’knergie m&anique peut Ctre calculC B partir de la thkorie de 1’ClasticitC lirkaire. RCf&ences bibliographiques [I] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [lo] [ll]
406
Maugis D., Barquins M., Adhesive contact of sectionally smooth-ended punches on elastic half-spaces: theory and experiment, J. Phys. D: Appl. Phys. 16 (1983) 1843-1874. Sneddon I.N., The relation between load and penetration in the axisymmetric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile, Int. J. Engng Sci. 3 (1965) 47-57. Barquins M., Maugis D., Adhesive contact of axisymmetric punches on an elastic half-space: the modified Hertz-Huber’s stress tensor for contacting spheres, J. M6c. Thtor. Appl. 1 (1982) 331-357. Barquins M., Charmet J.-C., Influence of surface properties on the rebound of a rigid ball on a rubber surface, J. Adhesion 57 (1996) 5-19. Charmet J.-C., Barquins M., Adhesive contact and rolling of a rigid cylinder under the pull of gravity on the underside of a smooth-surfaced sheet of rubber, Int J. Adhes. Adhes. 16 (1996) 249-254. Barquins M., Charmet J.-C., Robbe-Valloire F., &at d’kquilibre et cinttique de dkollement d’un cylindre rigide en contact avec un Clastomkre souple, C. R. Acad. Sci. Paris, s&e IIb 326 (1998) 575-585. Maugis D., Barquins M., Fracture mechanics and the adherence of viscoelastics bodies, J. Phys. D: Appl. Phys. 11 (1978) 1989-2023. Johnson K.L., Kendall K., Roberts A.D., Surface energy and the contact of elastic solids, Proc. Roy. Sot. London A 324 (1971) 301-313. Gent A.N., Schultz, J., Effect of wetting liquids on the strength of adhesion of viscoelastic materials, J. Adhesion 3 (1972) 281-294. Andrews E.H., Kinloch A.J., Mechanics of adhesive failure, Proc. Roy. Sot. Lond. A 332 (1973) 385-399 et 401414. Barquins M., Shanahan M.E.R., Effect of surface cavities on static and dynamic adhesion to an elastomer, Int. J. Adhes. Adhes. 17 (1997) 313-317.