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Descente effective du corps de définition des revêtements galoisiens
Journal of Number Theory 77, 7182 (1999) Article ID jnth.1998.2368, available online at http:www.idealibrary.com on
Descente effective du corps de definition des reve^tements galoisiens Bounab Sadi Lycee Jean Moulin, Boulevard du General De Gaulle, 59100 Roubaix, France Communicated by M. Waldschmidt Received October 30, 1997
Soit k un corps de caracteristique 0. Un theoreme de CoombesHarbater montre qu'un reve^tement galoisien de P 1 definie sur k est defini sur son corps des modules. Gra^ce a une nouvelle approche, nous en donnons une forme plus precise. Notre methode est constructive: elle permet de determiner explicitement un modele du reve^tement defini sur son corps des modules. Nous donnons une borne pour le degre et la hauteur des equations definissant le nouveau modele. 1999 Academic Press
Let k be a field of characteristic 0. From a result of Coombes and Harbater, every Galois cover of P 1 defined over k is defined over its field of moduli. Using a new approach we give a more precise form of this result. Our method is constructive: it leads to an explicit model of the cover over its field of moduli. We give an explicit bound for the degree and the height of the equations for the new model. 1999 Academic Press
Mots-Cles: reve^tements galoisiens; corps de fonctions; corps de definition; corps des modules; descente.
Soient k un corps de caracteristique 0 et f : X Ä P 1 un reve^tement defini sur k ou X est une courbe projective lisse irreductible. Le groupe de Galois G(k) :=Gal(kk) agit sur les varietes algebriques definies sur k. Si on note f {: X { Ä P 1 le reve^tement obtenu par l'action de { # G(k) sur f, on definit le corps des modules de f comme le sous-corps de k fixe par tous les k-automorphismes { de k tels que f et f { soient isomorphes comme reve^tements. Le corps des modules de f est une extension algebrique de k contenue dans tous les corps de definition de f contenant k. En general le corps des modules n'est pas un corps de definition: des contre-exemples sont donnes dans [CouGr, Cou]. Un theoreme de CoombesHarbater [CoHa] montre cependant que c'est le cas pour les reve^tements galoisiens. Pour un expose plus complet sur la notion de corps des modules, voir [DeDo1, DeDo2]. 71 0022-314X99 30.00 Copyright 1999 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
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Cet article presente une nouvelle approche du theoreme de Coombes Harbater. Le resultat que nous obtenons en donne une forme plus precise: nous expliquons comment a partir d'equations definissant un reve^tement galoisien f donne, on peut explicitement trouver un modele de f defini sur son corps des modules. De plus, dans le cas des reve^tements definis sur Q , le resultat est effectif: nous donnons une borne pour le degre et la hauteur des equations definissant le nouveau modele. Notre approche differe de celle de Coombes et Harbater en ce qu'elle s'appuie non pas sur le critere de descente de Weil (comme dans [CoHa]) mais plus simplement sur le lemme de Dedekind. Notre approche fournit donc aussi une nouvelle preuve du theoreme de Coombes et Harbater. Enfin comme dans [De1], notre resultat s'etend sous certaines conditions a des corps de caracteristique quelconque (cf. 92, Remarque).
1. ENONCES Theoreme 1 (CoombesHarbater [CoHa, De1]). Soit k un corps de caracteristique 0 et f : X Ä P 1 un reve^tement galoisien sur k. Si k est le corps des modules de f alors k est un corps de definition du reve^tement f. De plus il existe un modele f k : X k Ä P 1 defini sur k avec un point k-rationnel non ramifie sur X k . La preuve donnee dans [CoHa] utilise le critere de descente de Weil. Pour tout { # G(k), il existe un isomorphisme de reve^tement . { : X Ä X { (par definition du corps des modules). En general, il n'y a pas unicite de . { . Mais d'apres le critere de descente de Weil, k est un corps de definition si et seulement si on peut trouver une famille (. { ) { # G(k) verifiant . uv . u = . uv (u, v # G(k)). Coombes et Harbater montrent qu'une telle famille existe en utilisant le fait que le groupe de Galois du reve^tement agit simplement et transitivement sur chaque fibre non ramifiee, ce qui permet de ``rigidifier'' le choix de chaque . { . Cependant [CoHa] ne fournit pas explicitement la famille (. { ) { # G(k) et donc ne donne pas explicitement un k-modele du reve^tement. Au contraire, notre methode, qui n'utilise pas le critere de Weil, fournit une description explicite du corps des fonctions E k k(T ) d'un k-modele du reve^tement. Le reve^tement f correspond via le foncteur corps des fonctions a une extension algebrique E de k(T ). De plus cette extension est galoisienne. Notons G son groupe de Galois. Expliquons l'action de G(k) sur le corps de fonctions E. Si { # G(k) alors { se prolonge en un k(T)-automorphisme d'une clo^ture algebrique de k(T ). Si on note { ce prolongement alors on peut definir E { :=E { car cette definition ne depend pas du prolongement {.
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En effet si { 1 et { 2 sont deux prolongements de { # G(k) alors on a &1 { 1 { 2 # G(k(T )k(T )). Or E est une extension galoisienne de k(T ) donc {1&1{2 E =E, d'ou on a E {1 =E {2. Quant a l'hypothese ``f et f { sont isomorphes,'' elle equivaut a dire que les corps de fonctions E { et E sont k(T )-isomorphes et donc puisque l'extension Ek(T) est galoisienne, que ces corps sont egaux. Soit y un element primitif de E sur k(T) et P(T, Y) le polyno^me minimal de y sur k(T). Pour tout t 0 # k non racine du discriminant 2(T ) de P(T, Y) relativement a Y, il existe un plongement s t0 : E Ä k((T&t 0 )). On peut maintenant traduire les hypotheses du theoreme de Coombes Harbater: (i)
Ek(T ) est galoisienne.
(ii)
E=E { pour tout { # G(kk).
La conclusion du theoreme se traduit en disant qu'il existe une extension algebrique E k k(T) verifiant les conditions: (a)
E k k est reguliere (i.e., E k & k =k)
(b)
E k k =E
(c)
E k /k((T&t 0 )).
Nous allons expliquer comment determiner explicitement une telle extension E k . On definit le corps K 0 comme le corps engendre sur k par les coefficients de P(T, Y). Soit y= : y m(T&t 0 ) m m 0
un developpement dans Q [[T&t 0 ]] de l'element primitif y. Posons K= K 0( y 0 ). Le corps K est une extension algebrique de degre fini qui contient tous les y m . De plus on peut supposer que y est entier sur K 0[T ]. On notera Tr Kk l'application trace de K dans k.
Theoreme 2. On suppose que la serie formelle y= : y m(T&t 0 ) m # K((T&t 0 )) m 0
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engendre une extension E=k(t)( y) verifiant les conditions (i) et (ii) cidessus. Alors il existe a # K tel que y a = : Tr Kk(ay m )(T&t 0 ) m # k((T&t 0 )) m 0
soit un element primitif de E sur k(T). De plus l 'extension k(T )( y a )k(T) est reguliere sur k. C'est a dire que l 'extension E k =k(T)( y a ) verifie les conditions (a), (b), (c) ci-dessus. La condition (c) correspond a la conclusion du theoreme 1 qu'il existe un point k-rationnel non ramifie sur X k (au dessus de t 0 ). Corollaire 1. Si k est un corps de nombres et si on note P k(T, Y) # k[T, Y] le polyno^me minimal de y a sur k(T ) alors on a
{
deg(P k ) (2D) d h(P k ) 5d 2(2D) 2d h(P)
ou D=deg(P), d=[K : k] D[K 0 : k] et h(P) est la hauteur logarithmique de Weil du polyno^me P (cf. 93.2). Exemple. Considerons l'extension E=Q (T )( y) sur Q(T) ou y= 1+i+i - 1+T. D'apres la preuve du theoreme (voir 92), l'element a peut e^tre ici pris egal a i. Ainsi, y i =iy+@y= &2&2 - 1+T est un element primitif de l'extension de depart dont le polyno^me minimal est a coefficients dans Q. Ce polyno^me est Y 2 +4Y&4T. Remarque. Dans [De1] P. Debes montre qu'un G-reve^tement (i.e., un reve^tement galoisien donne avec ses automorphismes) f : X Ä P 1 defini sur Q de corps des modules Q est defini sur Q p pour tout nombre premier p sauf un nombre fini. En utilisant les majorations du corollaire on peut donner la forme effective suivante de ce resultat: si p>2(2D) d e 20d(2D)
4d h(P)
alors f est defini sur Q p .
Le resultat de [De1] a ete recemment precise. P. Debes et D. Harbater ont decrit precisement quels sont les nombres premiers exceptionnels pour lesquels le G-reve^tement f peut ne pas e^tre sur Q p . Ce sont les diviseurs premiers de l'ordre du groupe G et les nombres premiers pour lesquels des points de ramification sont egaux modulo p [DeHa]. Dans un travail en cours [Em] M. Emsalem etend ce resultat aux reve^tements purs (i.e., non necessairement galoisiens et sans leurs automorphismes).
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2. PREUVE DU THEOREME On note { 1 , ..., { d les k plongements de K dans k. On a alors pour tout a#K d
y a = : (ay) {i = : Tr Kk(ay m )(T&t 0 ) m i=1
m 0
ou { 1 , ..., { d sont les k-plongements de K. L'action des k-plongements { i se faisant sur les coefficients de la serie ay. Il resulte de l'hypothese E { =E pour tout { # G(k) que y {i # E pour i=1, ..., d et donc que y a # E. De plus il est clair que y a # k((T&t 0 )) car Tr Kk(ay m ) # k, pour tout m 0. Lemme 1. Pour tous _ et _$ de G(Ek(T )) distincts il existe a # K tel que les termes constants des series _( y a ) et _$( y a ) soient distincts. Preuve. On considere _, _$ # G(Ek(T)) tels que _{_$. On note c i le terme constant de la serie _( y {i )&_$( y {i ) pour i=1, ..., d. La famille (c i ) i d'elements de k n'est pas reduite a 0. En effet y est un element primitif de E donc _( y){_$( y). Comme t 0 est suppose non racine du discriminant 2(T ) de P(T, Y), _( y) et _$( y) vues comme series en T&t 0 sont determinees par leurs termes constants, qui sont donc distincts. On considere l'application i=d
: ci {i i=1
de K dans k. Elle est non nulle d'apres le lemme de Dedekind car les k-plongements sont lineairement independants sur k. Il existe donc a # K tel que i=d
: c i a {i {0. i=1
De la definition des c i , on deduit terme constant
\
i=d
+
: _(a {iy {i ) {terme constant i=1
i=d
\ : _$(a y )+ . {i {i
i=1
Ce qui prouve le lemme. On deduit du lemme que pour tous _, _$ # G(Ek(T )) il existe a # K tel que _( y a ){_$( y a ). Il faut remarquer que a depend de _, _$. L'argument suivant montre que a peut e^tre choisi independamment de _, _$. L'ensemble H _, _$ =[a # Kterme constant(_( y a ))=terme constant(_$( y a ))]
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est un sous k-espace vectoriel de K strictement inclus dans celui-ci. Comme k est infini, K n'est pas la reunion des n(n&1)2 sous-espaces H _, _$ . En prenant a hors de cette reunion on a _( y a ){_$( y a ) pour tout _{_$. L'element y a est donc un element primitif de E sur k(T) car il possede exactement n conjugues distincts. L'extension E k =k(T)( y a ) de k(T ) satisfait donc la conclusion (b) du theoreme 2. La conclusion (c) est vraie par construction. Quant a la regularite de l'extension Ek elle resulte de: k(T)( y a ) & k /k((T&t 0 )) & k =k. On a ainsi construit l'extension E k =k(T )( y a ) qui correspond au corps des fonctions d'un modele f k defini sur k du reve^tement galoisien f. Remarque. On utilise l'hypothese car(k)=0 en deux endroits: pour l'existence de t 0 tel que 2(t 0 ){0 pour l'existence de a  H _, _$ . En fait l'hypothese k infini suffit. Si k est fini, on peut plus generalement considerer les k(T )-espaces H _, _$ k K(T ) et prendre a # K(T) qui est infini. Le probleme est que l'on est pas assure de l'existence d'un point t 0 ou f ne serait pas ramifie. En conclusion le theoreme 2 s'etend au cas ou k est infini ou k est fini et il existe t 0 # k tel que 2(t 0- ){0.
3. PREUVE DU COROLLAIRE 3.1. Determination de a On peut se demander comment determiner l'element a du theoreme 2? Nous allons voir qu'on peut prendre a=n 1 e 1 + } } } +n d e d ou n 1 , ..., n d # Z et e 1 , ..., e d est une base de K sur k. En effet dans la preuve du Theoreme, on a choisi a # k tel que l'egalite suivante n'ait pas lieu: terme constant
\
i=d
+
: _( y {ia {i ) =terme constant i=1
i=d
\ : _$( y a )+ {i {i
i=1
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pour tous _, _$ # G. On a vu qu'il suffit de prendre a  H _, _$ ou la reunion est prise sur les paires _, _$ # G avec _{_$. Il s'agit donc de trouver a hors d'un nombre fini de sous-espaces stricts du k-espace K. On fixe une base (e 1 , ..., e d ) de K sur k. On pose alors 1=Ze 1 Ä } } } Ä Ze d qui est un reseau de K. On pose alors C p =[x # 1 : x=n 1 e 1 + } } } +n d e d , |n i | p]. On a Card(C p )=(2p+1) d. Lemme 2. Soit H un hyperplan de K vu comme k-espace vectoriel, alors Card(H & C p ) (2p+1) d&1. Preuve. On considere une equation a 1 x 1 + } } } +a n x n =0 de l'hyperplan H dans la base e 1 , ..., e d de K sur k. On peut supposer que a 1 {0. Si (x 1 , ..., x d ) # H & C p alors on a donc 2p+1 choix possibles pour les x i i=2, ..., d car les x i sont des entiers verifiant |x i | p. L'equation laisse alors au plus une seule possibilite pour x 1 . D'ou Card(H & C p ) (2p+1) d&1. Donc si on a N hyperplans H 1 , ..., H N alors on a l'inegalite i=N
Card
\ . (H & C )+ N(2p+1) i
d&1
p
.
i=1
Et donc si [N2]+1 p, ou [x] designe la partie entiere de x, on a alors i=N
Card(C p )>Card
\ . H & C +. i
p
i=1
On applique cela a ce qui precede: on a n(n&1)2=N sous-espaces H _, _$ . Il existe a=n 1 e 1 + } } } +n d e d avec la condition |n i | [n(n&1)4] +1 tel que a  H _, _$ . Et cet element a verifie la conclusion du Theoreme 2. 3.2. Calcul de la hauteur des elements a et y a On suppose desormais que k est un corps de nombres. On rappelle les notations suivantes: Pour p 2 on notera H(: 1 , ..., : p ) la hauteur de Weil d'un p-uplet ou : 1 , ..., : p sont des nombres algebriques, qui est definie par H(: 1 , ..., : p )=
_
`
sup |:| i
v # MF i=1, ..., p
&
1[F : Q]
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ou F est un corps de nombres contenant les elements : i et ou v parcourt M F un ensemble de valeurs absolues independantes verifiant la formule du produit [La]. On definit la hauteur d'un nombre algebrique : # Q par H(1, :). Si P(T, Y) est un polyno^me a coefficients dans un corps de nombres alors on definit la hauteur de P comme la hauteur du p-uplet forme par ses coefficients. De plus on notera h(: 1 , ..., : p )=log H(: 1 , ..., : p ) la hauteur logarithmique de Weil. Si y est une fonction algebrique entiere sur k[T ], on definira sa hauteur H( y) comme la hauteur de son polyno^me minimal sur k[T ]. On veut donc majorer la hauteur logarithmique du polyno^me minimal P k de y a . Plusieurs resultats nous seront utiles. Proposition 1 [La, Proposition 2.12, p. 61]. alors
Si P 1 , P 2 # Q [Y 1 , ..., Y n ],
h(P 1 ) h(P 1 )+h(P 2 ) h(P 1 P 2 )+n deg(P 1 P 2 ). En utilisant l'inegalite precedente on voit que pour majorer la hauteur de y a il suffit de majorer la hauteur d'un polyno^me R(T, Y) # k(T, Y) qui {i annule y a . On a y a = i=d i=1 (ay) et on connait des polyno^mes qui annulent chacun des termes de cette somme. En effet si P(T, Y) est le polyno^me minimal de y sur k(T ) et si on note P(T, Y)=a 0 +a 1 Y+ } } } +a n&1 Y n&1 +Y n ou a 0 , ..., a n&1 # k[T ], alors ay a pour polyno^me minimal R(T, Y)=a 0 a n +a 1 a n&1Y+ } } } +a n&1 aY n&1 +Y n
ou n=deg Y P.
Et donc (ay) {i a pour polyno^me minimal i a {iY n&1 +Y n. R {i =a {0i(a {i ) n + } } } +a {n&1
On va construire un polyno^me qui annule y a a l'aide de resultants. On introduit les notations suivantes: Soient f(Y)=a p Y p + } } } +a 0 avec a p {0 et g(Y)=b q Y q + } } } +b 0 avec b q {0 deux polyno^mes a coefficients dans un anneau commutatif A, on note R Y ( f, g) leur resultant, on deduit leur resultant reduit R Y ( f, g) par la formule: R Y ( f, g)=a qp b qp R Y ( f, g).
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Si F(T, Y 1 , ..., Y m , Z) # K[T, Y 1 , ..., Y m , Z] et P i (T, Y i ) # K[T, Y i ], on definit de proche en proche les polyno^mes R i par: R 1 =R Y1(F, P 1 ) i&1 , P i ) i Yi (R
{ R =R
pour
i=2, ..., m.
Proposition 2 [De2]. Pour i=1, ..., m les polyno^mes R i sont dans K[T, Y i+1 , ..., Y m , Z]. En particulier, R m # K[T, Z]. De plus si on se donne z # K[T ] et y 1 , ..., y m dans K(T ) tel que
{
P 1(T, y 1 )=0 b P m(T, y m )=0 F(T, y 1 , ..., y m , z)=0
alors z est racine de R m (i.e., R m(T, z)=0). Si de plus h(P i ) C, deg(P i ) D pour i=1, ..., m et si deg(F) $ ou C, D, $ sont des reels alors
{
deg(R m ) (2D) m $ h(R m ) $D m&12 mC+D mh(F )+7m$ 2(2D) 2m.
En appliquant les resultats ci-dessus a m=d=[K : k], P i (T, Y i )= R {i(T, Y i ), y i =(ay) {i, i=1, ..., d, F(T, Y 1 , ..., Y m , Z]=Y 1 + } } } +Y m &Z, $=deg(F)=1, D=deg(R {i )=deg(P), et C=h(ay), on obtient
{
R m(T, y a )=0 deg(R m ) (2D) d h(R m ) 2 dD d&1C+2(d+2)(2D) 2d.
En utilisant la proposition 1 on obtient les majorations suivantes du degre et de la hauteur du polyno^me P k
{
deg(P k ) (2D) d h(P k ) (2D) d (C+2)+4d(2D) 2d.
(1)
Rappelons que C est la hauteur logarithmique de ay. Il reste donc a exprimer la hauteur de cet element en fonction de a et de h(y)=h(P). Il faut donc determiner la hauteur du polyno^me R(T, Y) en fonction de celle de a et du polyno^me P(T, Y). Si on note a i, j les coefficients des a i (T ), qui sont des elements de K, on a H(ay)=
\
` sup |a n&ia i, j | v v # MK
i, j
+
1[K : Q]
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Or on a pour tout v # M K sup |a n&ia i, j | v ( sup i, j
|a| n&i )(sup |a i. j | v ) v
i=1, ..., n
i, j
et donc H(ay)
\
` max(1, |a| v ) v # MK
+
n[K : Q]
H( y)=H(a) n H( y)
d'ou C nh(a)+h( y).
(2)
Il nous reste a majorer le terme h(a) en fonction de h(P) et de deg(P). On a vu que a=n 1 e 1 + } } } +n d e d avec n i # Z et |n i | N, on en deduit |a| v max i=1 , ..., d |e i | v v i=1, ..., d |e i | v
{ |a| Nd max
si v est non archimedienne si v est archimedienne.
Et donc
{
h(a) log(Nd)+ v # MK log(max(1, |e i | v )) log(Nd)+h(1, e 1 , ..., e d ).
(3)
Il reste a choisir une base (e 1 , ..., e d ) et a majorer le terme h(1, e 1 , ..., e d ). On sait que K=K 0( y 0 ) ou K 0 est le corps engendre par les coefficients a i, j de P(T, Y) sur k et y 0 est le terme constant de la serie y. On sait aussi que y 0 est racine du polyno^me P(t 0 , Y) avec la condition t 0 non racine du discriminant 2(T ) de P(T, Y). Un au moins des nombres 0, 1, ..., deg(2) n'est pas racine de 2(T). Donc on peut choisir t 0 # [0, 1, ..., deg(2)] tel que t 0 deg 2 (deg(P)) 2.
(4)
Les elements de la forme a i, j y 0p ou 0 p n&1, 0 i n, 0 j m forment une partie generatrice de l'espace vectoriel K sur k. On peut donc choisir les e i parmi ces elements. On a i=n j=m
P(t 0 , Y)= :
: a i, j t 0j Y i.
i=0 j=0
On note |P t0 | v le maximum des valeurs absolues v-adiques des coefficients de P(t 0 , Y) et |P| v le maximum des valeurs absolues v-adiques des
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coefficients de a i, j de P(T, Y). En utilisant la forme locale de l'inegalite de Liouville ([La]; voir [De3, Ch1] pour la forme utilisee ici) on obtient
{
| y 0 | v |P t0 | |P| v max(1, |t 0 | v ) m |P| v max(1, |t 0 | v ) m si v est non archimedienne | y 0 | v 2 |P t0 | v 2 |P| v max(1, |t 0 | v ) m 2 |P| v max(1, |t 0 | v ) m si v est archimedienne.
Let me^mes majorations valent pour les a i, j car |a i, j | v |P| v . On en deduit que h(1, e 1 , ..., e d )=
1 : log max(1, |e 1 |, ..., |e d | ) [K : Q] v # M K
: log(2 |P| v )+ v # S
n : log( |P| v ) [K : Q] v  S
(5)
+ : m log max(1, |t 0 | v ) v # MK
n(mh(t 0 )+log 2+h(P)). Finalement, reportees dans (1), les inegalites (2)(5) et N=n(n&1)2 fournissent
{
deg(P k ) (2D) d h(P k ) 4d(2D) 2d h(P).
Ce qui prouve le Corollaire.
BIBLIOGRAPHIE K. Coombes et D. Harbater, Hurwitz families and arithmetic surfaces, Duke Math. J. 52 (1985), 821839. [Cou] J.-M. Couveignes, Quelques reve^tements definis sur Q, Manuscripta Math. 94, No. 4 (1997), 409445. [CouGr] J.-M. Couveignes et L. Granboulan, Dessins from a geometric point of view, in ``The Grothendieck Theory of Dessins.'' [De1] P. Debes, G-covers of P 1 over the p-adics, Contemp. Math. 186 (1995), 217238. [De2] P. Debes, Hilbert subsets and s-integral points, Manuscripta Math. 89 (1996), 107137. [De3] P. Debes, ``Valeurs algebriques de fonctions algebriques et theoreme d'irreductibilite de Hilbert,'' These 3eme cycle, Publ. Univ. Paris 6, 1984. [DeDo1] P. Debes et J.-C. Douai, Algebraic covers: Field of moduli versus field of definition, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 30 (1997), 303338. [CoHa]
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[DeDo2] P. Debes et J.-C. Douai, Local-global principles for algebraic covers, Israel J. Math. 103 (1998), 237257. [DeHa] P. Debes et D. Harbater, Fields of definition of p-adics covers, J. Reine Angew. Math. 498 (1998), 223236. [Em] M. Emsalem, On reduction of covers of arithmetic surfaces, preprint, 1997. [FrJa] M. Fried et M. Jarden, ``Field Arithmetic,'' Springer-Verlag, New YorkBerlin, 1986. [La] S. Lang, ``Fundamentals of Diophantine Geometry,'' Springer-Verlag, New York Berlin, 1983. [We] A. Weil, The field of definition of a variety, in ``Oeuvres completes (Collected Papers),'' pp. 291306, Springer-Verlag, New YorkBerlin.
Descente effective du corps de definition des reve^tements galoisiens Bounab Sadi Lycee Jean Moulin, Boulevard du General De Gaulle, 59100 Roubaix, France Communicated by M. Waldschmidt Received October 30, 1997
Soit k un corps de caracteristique 0. Un theoreme de CoombesHarbater montre qu'un reve^tement galoisien de P 1 definie sur k est defini sur son corps des modules. Gra^ce a une nouvelle approche, nous en donnons une forme plus precise. Notre methode est constructive: elle permet de determiner explicitement un modele du reve^tement defini sur son corps des modules. Nous donnons une borne pour le degre et la hauteur des equations definissant le nouveau modele. 1999 Academic Press
Let k be a field of characteristic 0. From a result of Coombes and Harbater, every Galois cover of P 1 defined over k is defined over its field of moduli. Using a new approach we give a more precise form of this result. Our method is constructive: it leads to an explicit model of the cover over its field of moduli. We give an explicit bound for the degree and the height of the equations for the new model. 1999 Academic Press
Mots-Cles: reve^tements galoisiens; corps de fonctions; corps de definition; corps des modules; descente.
Soient k un corps de caracteristique 0 et f : X Ä P 1 un reve^tement defini sur k ou X est une courbe projective lisse irreductible. Le groupe de Galois G(k) :=Gal(kk) agit sur les varietes algebriques definies sur k. Si on note f {: X { Ä P 1 le reve^tement obtenu par l'action de { # G(k) sur f, on definit le corps des modules de f comme le sous-corps de k fixe par tous les k-automorphismes { de k tels que f et f { soient isomorphes comme reve^tements. Le corps des modules de f est une extension algebrique de k contenue dans tous les corps de definition de f contenant k. En general le corps des modules n'est pas un corps de definition: des contre-exemples sont donnes dans [CouGr, Cou]. Un theoreme de CoombesHarbater [CoHa] montre cependant que c'est le cas pour les reve^tements galoisiens. Pour un expose plus complet sur la notion de corps des modules, voir [DeDo1, DeDo2]. 71 0022-314X99 30.00 Copyright 1999 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
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Cet article presente une nouvelle approche du theoreme de Coombes Harbater. Le resultat que nous obtenons en donne une forme plus precise: nous expliquons comment a partir d'equations definissant un reve^tement galoisien f donne, on peut explicitement trouver un modele de f defini sur son corps des modules. De plus, dans le cas des reve^tements definis sur Q , le resultat est effectif: nous donnons une borne pour le degre et la hauteur des equations definissant le nouveau modele. Notre approche differe de celle de Coombes et Harbater en ce qu'elle s'appuie non pas sur le critere de descente de Weil (comme dans [CoHa]) mais plus simplement sur le lemme de Dedekind. Notre approche fournit donc aussi une nouvelle preuve du theoreme de Coombes et Harbater. Enfin comme dans [De1], notre resultat s'etend sous certaines conditions a des corps de caracteristique quelconque (cf. 92, Remarque).
1. ENONCES Theoreme 1 (CoombesHarbater [CoHa, De1]). Soit k un corps de caracteristique 0 et f : X Ä P 1 un reve^tement galoisien sur k. Si k est le corps des modules de f alors k est un corps de definition du reve^tement f. De plus il existe un modele f k : X k Ä P 1 defini sur k avec un point k-rationnel non ramifie sur X k . La preuve donnee dans [CoHa] utilise le critere de descente de Weil. Pour tout { # G(k), il existe un isomorphisme de reve^tement . { : X Ä X { (par definition du corps des modules). En general, il n'y a pas unicite de . { . Mais d'apres le critere de descente de Weil, k est un corps de definition si et seulement si on peut trouver une famille (. { ) { # G(k) verifiant . uv . u = . uv (u, v # G(k)). Coombes et Harbater montrent qu'une telle famille existe en utilisant le fait que le groupe de Galois du reve^tement agit simplement et transitivement sur chaque fibre non ramifiee, ce qui permet de ``rigidifier'' le choix de chaque . { . Cependant [CoHa] ne fournit pas explicitement la famille (. { ) { # G(k) et donc ne donne pas explicitement un k-modele du reve^tement. Au contraire, notre methode, qui n'utilise pas le critere de Weil, fournit une description explicite du corps des fonctions E k k(T ) d'un k-modele du reve^tement. Le reve^tement f correspond via le foncteur corps des fonctions a une extension algebrique E de k(T ). De plus cette extension est galoisienne. Notons G son groupe de Galois. Expliquons l'action de G(k) sur le corps de fonctions E. Si { # G(k) alors { se prolonge en un k(T)-automorphisme d'une clo^ture algebrique de k(T ). Si on note { ce prolongement alors on peut definir E { :=E { car cette definition ne depend pas du prolongement {.
REVETEMENTS GALOISIENS
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En effet si { 1 et { 2 sont deux prolongements de { # G(k) alors on a &1 { 1 { 2 # G(k(T )k(T )). Or E est une extension galoisienne de k(T ) donc {1&1{2 E =E, d'ou on a E {1 =E {2. Quant a l'hypothese ``f et f { sont isomorphes,'' elle equivaut a dire que les corps de fonctions E { et E sont k(T )-isomorphes et donc puisque l'extension Ek(T) est galoisienne, que ces corps sont egaux. Soit y un element primitif de E sur k(T) et P(T, Y) le polyno^me minimal de y sur k(T). Pour tout t 0 # k non racine du discriminant 2(T ) de P(T, Y) relativement a Y, il existe un plongement s t0 : E Ä k((T&t 0 )). On peut maintenant traduire les hypotheses du theoreme de Coombes Harbater: (i)
Ek(T ) est galoisienne.
(ii)
E=E { pour tout { # G(kk).
La conclusion du theoreme se traduit en disant qu'il existe une extension algebrique E k k(T) verifiant les conditions: (a)
E k k est reguliere (i.e., E k & k =k)
(b)
E k k =E
(c)
E k /k((T&t 0 )).
Nous allons expliquer comment determiner explicitement une telle extension E k . On definit le corps K 0 comme le corps engendre sur k par les coefficients de P(T, Y). Soit y= : y m(T&t 0 ) m m 0
un developpement dans Q [[T&t 0 ]] de l'element primitif y. Posons K= K 0( y 0 ). Le corps K est une extension algebrique de degre fini qui contient tous les y m . De plus on peut supposer que y est entier sur K 0[T ]. On notera Tr Kk l'application trace de K dans k.
Theoreme 2. On suppose que la serie formelle y= : y m(T&t 0 ) m # K((T&t 0 )) m 0
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engendre une extension E=k(t)( y) verifiant les conditions (i) et (ii) cidessus. Alors il existe a # K tel que y a = : Tr Kk(ay m )(T&t 0 ) m # k((T&t 0 )) m 0
soit un element primitif de E sur k(T). De plus l 'extension k(T )( y a )k(T) est reguliere sur k. C'est a dire que l 'extension E k =k(T)( y a ) verifie les conditions (a), (b), (c) ci-dessus. La condition (c) correspond a la conclusion du theoreme 1 qu'il existe un point k-rationnel non ramifie sur X k (au dessus de t 0 ). Corollaire 1. Si k est un corps de nombres et si on note P k(T, Y) # k[T, Y] le polyno^me minimal de y a sur k(T ) alors on a
{
deg(P k ) (2D) d h(P k ) 5d 2(2D) 2d h(P)
ou D=deg(P), d=[K : k] D[K 0 : k] et h(P) est la hauteur logarithmique de Weil du polyno^me P (cf. 93.2). Exemple. Considerons l'extension E=Q (T )( y) sur Q(T) ou y= 1+i+i - 1+T. D'apres la preuve du theoreme (voir 92), l'element a peut e^tre ici pris egal a i. Ainsi, y i =iy+@y= &2&2 - 1+T est un element primitif de l'extension de depart dont le polyno^me minimal est a coefficients dans Q. Ce polyno^me est Y 2 +4Y&4T. Remarque. Dans [De1] P. Debes montre qu'un G-reve^tement (i.e., un reve^tement galoisien donne avec ses automorphismes) f : X Ä P 1 defini sur Q de corps des modules Q est defini sur Q p pour tout nombre premier p sauf un nombre fini. En utilisant les majorations du corollaire on peut donner la forme effective suivante de ce resultat: si p>2(2D) d e 20d(2D)
4d h(P)
alors f est defini sur Q p .
Le resultat de [De1] a ete recemment precise. P. Debes et D. Harbater ont decrit precisement quels sont les nombres premiers exceptionnels pour lesquels le G-reve^tement f peut ne pas e^tre sur Q p . Ce sont les diviseurs premiers de l'ordre du groupe G et les nombres premiers pour lesquels des points de ramification sont egaux modulo p [DeHa]. Dans un travail en cours [Em] M. Emsalem etend ce resultat aux reve^tements purs (i.e., non necessairement galoisiens et sans leurs automorphismes).
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REVETEMENTS GALOISIENS
2. PREUVE DU THEOREME On note { 1 , ..., { d les k plongements de K dans k. On a alors pour tout a#K d
y a = : (ay) {i = : Tr Kk(ay m )(T&t 0 ) m i=1
m 0
ou { 1 , ..., { d sont les k-plongements de K. L'action des k-plongements { i se faisant sur les coefficients de la serie ay. Il resulte de l'hypothese E { =E pour tout { # G(k) que y {i # E pour i=1, ..., d et donc que y a # E. De plus il est clair que y a # k((T&t 0 )) car Tr Kk(ay m ) # k, pour tout m 0. Lemme 1. Pour tous _ et _$ de G(Ek(T )) distincts il existe a # K tel que les termes constants des series _( y a ) et _$( y a ) soient distincts. Preuve. On considere _, _$ # G(Ek(T)) tels que _{_$. On note c i le terme constant de la serie _( y {i )&_$( y {i ) pour i=1, ..., d. La famille (c i ) i d'elements de k n'est pas reduite a 0. En effet y est un element primitif de E donc _( y){_$( y). Comme t 0 est suppose non racine du discriminant 2(T ) de P(T, Y), _( y) et _$( y) vues comme series en T&t 0 sont determinees par leurs termes constants, qui sont donc distincts. On considere l'application i=d
: ci {i i=1
de K dans k. Elle est non nulle d'apres le lemme de Dedekind car les k-plongements sont lineairement independants sur k. Il existe donc a # K tel que i=d
: c i a {i {0. i=1
De la definition des c i , on deduit terme constant
\
i=d
+
: _(a {iy {i ) {terme constant i=1
i=d
\ : _$(a y )+ . {i {i
i=1
Ce qui prouve le lemme. On deduit du lemme que pour tous _, _$ # G(Ek(T )) il existe a # K tel que _( y a ){_$( y a ). Il faut remarquer que a depend de _, _$. L'argument suivant montre que a peut e^tre choisi independamment de _, _$. L'ensemble H _, _$ =[a # Kterme constant(_( y a ))=terme constant(_$( y a ))]
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est un sous k-espace vectoriel de K strictement inclus dans celui-ci. Comme k est infini, K n'est pas la reunion des n(n&1)2 sous-espaces H _, _$ . En prenant a hors de cette reunion on a _( y a ){_$( y a ) pour tout _{_$. L'element y a est donc un element primitif de E sur k(T) car il possede exactement n conjugues distincts. L'extension E k =k(T)( y a ) de k(T ) satisfait donc la conclusion (b) du theoreme 2. La conclusion (c) est vraie par construction. Quant a la regularite de l'extension Ek elle resulte de: k(T)( y a ) & k /k((T&t 0 )) & k =k. On a ainsi construit l'extension E k =k(T )( y a ) qui correspond au corps des fonctions d'un modele f k defini sur k du reve^tement galoisien f. Remarque. On utilise l'hypothese car(k)=0 en deux endroits: pour l'existence de t 0 tel que 2(t 0 ){0 pour l'existence de a  H _, _$ . En fait l'hypothese k infini suffit. Si k est fini, on peut plus generalement considerer les k(T )-espaces H _, _$ k K(T ) et prendre a # K(T) qui est infini. Le probleme est que l'on est pas assure de l'existence d'un point t 0 ou f ne serait pas ramifie. En conclusion le theoreme 2 s'etend au cas ou k est infini ou k est fini et il existe t 0 # k tel que 2(t 0- ){0.
3. PREUVE DU COROLLAIRE 3.1. Determination de a On peut se demander comment determiner l'element a du theoreme 2? Nous allons voir qu'on peut prendre a=n 1 e 1 + } } } +n d e d ou n 1 , ..., n d # Z et e 1 , ..., e d est une base de K sur k. En effet dans la preuve du Theoreme, on a choisi a # k tel que l'egalite suivante n'ait pas lieu: terme constant
\
i=d
+
: _( y {ia {i ) =terme constant i=1
i=d
\ : _$( y a )+ {i {i
i=1
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REVETEMENTS GALOISIENS
pour tous _, _$ # G. On a vu qu'il suffit de prendre a  H _, _$ ou la reunion est prise sur les paires _, _$ # G avec _{_$. Il s'agit donc de trouver a hors d'un nombre fini de sous-espaces stricts du k-espace K. On fixe une base (e 1 , ..., e d ) de K sur k. On pose alors 1=Ze 1 Ä } } } Ä Ze d qui est un reseau de K. On pose alors C p =[x # 1 : x=n 1 e 1 + } } } +n d e d , |n i | p]. On a Card(C p )=(2p+1) d. Lemme 2. Soit H un hyperplan de K vu comme k-espace vectoriel, alors Card(H & C p ) (2p+1) d&1. Preuve. On considere une equation a 1 x 1 + } } } +a n x n =0 de l'hyperplan H dans la base e 1 , ..., e d de K sur k. On peut supposer que a 1 {0. Si (x 1 , ..., x d ) # H & C p alors on a donc 2p+1 choix possibles pour les x i i=2, ..., d car les x i sont des entiers verifiant |x i | p. L'equation laisse alors au plus une seule possibilite pour x 1 . D'ou Card(H & C p ) (2p+1) d&1. Donc si on a N hyperplans H 1 , ..., H N alors on a l'inegalite i=N
Card
\ . (H & C )+ N(2p+1) i
d&1
p
.
i=1
Et donc si [N2]+1 p, ou [x] designe la partie entiere de x, on a alors i=N
Card(C p )>Card
\ . H & C +. i
p
i=1
On applique cela a ce qui precede: on a n(n&1)2=N sous-espaces H _, _$ . Il existe a=n 1 e 1 + } } } +n d e d avec la condition |n i | [n(n&1)4] +1 tel que a  H _, _$ . Et cet element a verifie la conclusion du Theoreme 2. 3.2. Calcul de la hauteur des elements a et y a On suppose desormais que k est un corps de nombres. On rappelle les notations suivantes: Pour p 2 on notera H(: 1 , ..., : p ) la hauteur de Weil d'un p-uplet ou : 1 , ..., : p sont des nombres algebriques, qui est definie par H(: 1 , ..., : p )=
_
`
sup |:| i
v # MF i=1, ..., p
&
1[F : Q]
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ou F est un corps de nombres contenant les elements : i et ou v parcourt M F un ensemble de valeurs absolues independantes verifiant la formule du produit [La]. On definit la hauteur d'un nombre algebrique : # Q par H(1, :). Si P(T, Y) est un polyno^me a coefficients dans un corps de nombres alors on definit la hauteur de P comme la hauteur du p-uplet forme par ses coefficients. De plus on notera h(: 1 , ..., : p )=log H(: 1 , ..., : p ) la hauteur logarithmique de Weil. Si y est une fonction algebrique entiere sur k[T ], on definira sa hauteur H( y) comme la hauteur de son polyno^me minimal sur k[T ]. On veut donc majorer la hauteur logarithmique du polyno^me minimal P k de y a . Plusieurs resultats nous seront utiles. Proposition 1 [La, Proposition 2.12, p. 61]. alors
Si P 1 , P 2 # Q [Y 1 , ..., Y n ],
h(P 1 ) h(P 1 )+h(P 2 ) h(P 1 P 2 )+n deg(P 1 P 2 ). En utilisant l'inegalite precedente on voit que pour majorer la hauteur de y a il suffit de majorer la hauteur d'un polyno^me R(T, Y) # k(T, Y) qui {i annule y a . On a y a = i=d i=1 (ay) et on connait des polyno^mes qui annulent chacun des termes de cette somme. En effet si P(T, Y) est le polyno^me minimal de y sur k(T ) et si on note P(T, Y)=a 0 +a 1 Y+ } } } +a n&1 Y n&1 +Y n ou a 0 , ..., a n&1 # k[T ], alors ay a pour polyno^me minimal R(T, Y)=a 0 a n +a 1 a n&1Y+ } } } +a n&1 aY n&1 +Y n
ou n=deg Y P.
Et donc (ay) {i a pour polyno^me minimal i a {iY n&1 +Y n. R {i =a {0i(a {i ) n + } } } +a {n&1
On va construire un polyno^me qui annule y a a l'aide de resultants. On introduit les notations suivantes: Soient f(Y)=a p Y p + } } } +a 0 avec a p {0 et g(Y)=b q Y q + } } } +b 0 avec b q {0 deux polyno^mes a coefficients dans un anneau commutatif A, on note R Y ( f, g) leur resultant, on deduit leur resultant reduit R Y ( f, g) par la formule: R Y ( f, g)=a qp b qp R Y ( f, g).
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Si F(T, Y 1 , ..., Y m , Z) # K[T, Y 1 , ..., Y m , Z] et P i (T, Y i ) # K[T, Y i ], on definit de proche en proche les polyno^mes R i par: R 1 =R Y1(F, P 1 ) i&1 , P i ) i Yi (R
{ R =R
pour
i=2, ..., m.
Proposition 2 [De2]. Pour i=1, ..., m les polyno^mes R i sont dans K[T, Y i+1 , ..., Y m , Z]. En particulier, R m # K[T, Z]. De plus si on se donne z # K[T ] et y 1 , ..., y m dans K(T ) tel que
{
P 1(T, y 1 )=0 b P m(T, y m )=0 F(T, y 1 , ..., y m , z)=0
alors z est racine de R m (i.e., R m(T, z)=0). Si de plus h(P i ) C, deg(P i ) D pour i=1, ..., m et si deg(F) $ ou C, D, $ sont des reels alors
{
deg(R m ) (2D) m $ h(R m ) $D m&12 mC+D mh(F )+7m$ 2(2D) 2m.
En appliquant les resultats ci-dessus a m=d=[K : k], P i (T, Y i )= R {i(T, Y i ), y i =(ay) {i, i=1, ..., d, F(T, Y 1 , ..., Y m , Z]=Y 1 + } } } +Y m &Z, $=deg(F)=1, D=deg(R {i )=deg(P), et C=h(ay), on obtient
{
R m(T, y a )=0 deg(R m ) (2D) d h(R m ) 2 dD d&1C+2(d+2)(2D) 2d.
En utilisant la proposition 1 on obtient les majorations suivantes du degre et de la hauteur du polyno^me P k
{
deg(P k ) (2D) d h(P k ) (2D) d (C+2)+4d(2D) 2d.
(1)
Rappelons que C est la hauteur logarithmique de ay. Il reste donc a exprimer la hauteur de cet element en fonction de a et de h(y)=h(P). Il faut donc determiner la hauteur du polyno^me R(T, Y) en fonction de celle de a et du polyno^me P(T, Y). Si on note a i, j les coefficients des a i (T ), qui sont des elements de K, on a H(ay)=
\
` sup |a n&ia i, j | v v # MK
i, j
+
1[K : Q]
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Or on a pour tout v # M K sup |a n&ia i, j | v ( sup i, j
|a| n&i )(sup |a i. j | v ) v
i=1, ..., n
i, j
et donc H(ay)
\
` max(1, |a| v ) v # MK
+
n[K : Q]
H( y)=H(a) n H( y)
d'ou C nh(a)+h( y).
(2)
Il nous reste a majorer le terme h(a) en fonction de h(P) et de deg(P). On a vu que a=n 1 e 1 + } } } +n d e d avec n i # Z et |n i | N, on en deduit |a| v max i=1 , ..., d |e i | v v i=1, ..., d |e i | v
{ |a| Nd max
si v est non archimedienne si v est archimedienne.
Et donc
{
h(a) log(Nd)+ v # MK log(max(1, |e i | v )) log(Nd)+h(1, e 1 , ..., e d ).
(3)
Il reste a choisir une base (e 1 , ..., e d ) et a majorer le terme h(1, e 1 , ..., e d ). On sait que K=K 0( y 0 ) ou K 0 est le corps engendre par les coefficients a i, j de P(T, Y) sur k et y 0 est le terme constant de la serie y. On sait aussi que y 0 est racine du polyno^me P(t 0 , Y) avec la condition t 0 non racine du discriminant 2(T ) de P(T, Y). Un au moins des nombres 0, 1, ..., deg(2) n'est pas racine de 2(T). Donc on peut choisir t 0 # [0, 1, ..., deg(2)] tel que t 0 deg 2 (deg(P)) 2.
(4)
Les elements de la forme a i, j y 0p ou 0 p n&1, 0 i n, 0 j m forment une partie generatrice de l'espace vectoriel K sur k. On peut donc choisir les e i parmi ces elements. On a i=n j=m
P(t 0 , Y)= :
: a i, j t 0j Y i.
i=0 j=0
On note |P t0 | v le maximum des valeurs absolues v-adiques des coefficients de P(t 0 , Y) et |P| v le maximum des valeurs absolues v-adiques des
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coefficients de a i, j de P(T, Y). En utilisant la forme locale de l'inegalite de Liouville ([La]; voir [De3, Ch1] pour la forme utilisee ici) on obtient
{
| y 0 | v |P t0 | |P| v max(1, |t 0 | v ) m |P| v max(1, |t 0 | v ) m si v est non archimedienne | y 0 | v 2 |P t0 | v 2 |P| v max(1, |t 0 | v ) m 2 |P| v max(1, |t 0 | v ) m si v est archimedienne.
Let me^mes majorations valent pour les a i, j car |a i, j | v |P| v . On en deduit que h(1, e 1 , ..., e d )=
1 : log max(1, |e 1 |, ..., |e d | ) [K : Q] v # M K
: log(2 |P| v )+ v # S
n : log( |P| v ) [K : Q] v  S
(5)
+ : m log max(1, |t 0 | v ) v # MK
n(mh(t 0 )+log 2+h(P)). Finalement, reportees dans (1), les inegalites (2)(5) et N=n(n&1)2 fournissent
{
deg(P k ) (2D) d h(P k ) 4d(2D) 2d h(P).
Ce qui prouve le Corollaire.
BIBLIOGRAPHIE K. Coombes et D. Harbater, Hurwitz families and arithmetic surfaces, Duke Math. J. 52 (1985), 821839. [Cou] J.-M. Couveignes, Quelques reve^tements definis sur Q, Manuscripta Math. 94, No. 4 (1997), 409445. [CouGr] J.-M. Couveignes et L. Granboulan, Dessins from a geometric point of view, in ``The Grothendieck Theory of Dessins.'' [De1] P. Debes, G-covers of P 1 over the p-adics, Contemp. Math. 186 (1995), 217238. [De2] P. Debes, Hilbert subsets and s-integral points, Manuscripta Math. 89 (1996), 107137. [De3] P. Debes, ``Valeurs algebriques de fonctions algebriques et theoreme d'irreductibilite de Hilbert,'' These 3eme cycle, Publ. Univ. Paris 6, 1984. [DeDo1] P. Debes et J.-C. Douai, Algebraic covers: Field of moduli versus field of definition, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 30 (1997), 303338. [CoHa]
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[DeDo2] P. Debes et J.-C. Douai, Local-global principles for algebraic covers, Israel J. Math. 103 (1998), 237257. [DeHa] P. Debes et D. Harbater, Fields of definition of p-adics covers, J. Reine Angew. Math. 498 (1998), 223236. [Em] M. Emsalem, On reduction of covers of arithmetic surfaces, preprint, 1997. [FrJa] M. Fried et M. Jarden, ``Field Arithmetic,'' Springer-Verlag, New YorkBerlin, 1986. [La] S. Lang, ``Fundamentals of Diophantine Geometry,'' Springer-Verlag, New York Berlin, 1983. [We] A. Weil, The field of definition of a variety, in ``Oeuvres completes (Collected Papers),'' pp. 291306, Springer-Verlag, New YorkBerlin.