Equations du type de Monge–Ampère sur les variétés hermitiennes compactes

Journal of Functional Analysis  FU2829 journal of functional analysis 137, 4975 (1996) article no. 0040

Equations du type de MongeAmpere sur les varietes hermitiennes compactes Abdellah Hanani UFR de Mathematiques, Universite de Lille I, 59655 Villeneuve d 'Ascq, France Received October 1994

Soit (X, g) une variete hermitienne compacte. Si . # C 2(X ), soit M(.)= det($ *+ + { *+.). Etude d'equations de la forme M(.) = F(x , {.; .) ou F # C (TX_R) est une fonction partout strictement positive ayant une croissance exponentielle en |.| et majoree par une puissance de la norme du gradient de .. Let (X, g) be a hermitian compact manifold. For . # C 2(X ), let M(.)=det($ *+ +{ *+.). Study of equations of the form M(.)=F(x, {.; .), where F # C (TX_R) is an everywhere strictly positive function with an exponential growth in |.| and which is bounded by a power of the norm of the gradient of ..  1996 Academic Press, Inc.

Introduction Soit (X 2m , g) une variete hermitienne compacte. On etudie dans cet article des equations aux derivees partielles elliptiques non lineaires du type de MongeAmpere de la forme, det($ *+ +{ *+.)=F(x, {.; .), ou F # C (TX_R) est partout strictement positive. Lorsque g est kahlerienne et F=exp[&*.+f (x)] avec * # R et f # C (X ), on obtient alors l'equation a laquelle conduisent la recherche de metriques d'EinsteinKahler et la conjecture de Calabi a savoir que toute (11)-forme de la premiere classe de Chern est la forme de Ricci d'une metrique kahlerienne sur X. Ces problemes ont ete resolus par Aubin [15] et Yau [11]. Dans cette etude, on se place en metrique hermitienne avec un second membre F plus general. Dans [7], Cherrier a, entre autres, resolu le cas ou F=exp[*.+f (x)], *0 et f # C (X ), par la methode de continuite, puis, par un argument de point fixe, le cas d'un second membre F(x, .) majoree par une puissance de |.|. On prouve ici des resultats d'existence pour une croissance de F en e a |.| (1+ |{.| b ) avec 0
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abdellah hanani

d'Aubin. Contrairement au cas kahlerien, l'estimation des derivees secondes mixtes ne se deduit pas directement de l'estimee C 0 ; l'estimee C 1 s'impose. De me^me une fois l'equivalence des metriques g *+ +{ *+ . acquise, l'estimation des derivees secondes pures est necessaire pour pouvoir majorer a priori les derivees troisiemes mixtes. I. Notations et Preliminaires 1. Soit X 2m une variete complexe compacte de dimension complexe m2. Toutes les representations locales de tenseurs que nous considerons sont relatives a des systemes de coordonnees (z * =x * +iy * ) *=1, ..., m adaptees a la structure complexe. Pour a, b # [1, ..., m, 1, ..., m ], on note z *=z *,

e a = a =

 , z a

 ab =

2 . z az b

Soit g une metrique hermitienne sur X, c'est-a-dire un tenseur deux fois covariant, reel et symetrique defini par g=g *+ dz *  dz + telle que la matrice (g *+ ) *, + est partout hermitienne definie positive sur X. Le tenseur g &1 =g *+e *  e + defini par la matrice (g *+ ) *, + , transposee de l'inverse de la matrice (g *+ ) *, + , est aussi reel symetrique. L'element de volume oriente associe a la metrique g est la forme dV d'ordre 2m definie localement par dV=(i2) m det(g) dz 1 7 dz 1 7 } } } 7 dz m 7 dz m =det(g) dx 1 7 dy 1 7 } } } 7 dx m 7 dy m. La connexion de Chern { de la variete (X, g) est l'unique connexion reelle, compatible avec la metrique g telle que, si on pose { e a e b =1 cab e c , seuls les symboles de Christoffel non mixtes 1 &*+ , ou *, +, et & # [1, ..., m], ne sont pas identiquement nuls. Pour tout tenseur t=t cd dz d  e c , le defaut de symetrie du tenseur { 2t se traduit par: { ab t cd &{ bat cd =R ceab t ed &R edab t ce &T eab{ e t cd ,

(1)

ou T cab et R ceab designent les composantes des tenseurs de torsion T et de courbure R. Enfin, toutes les notations que nous utiliserons suivent celles dans [7], en particulier, nous designons par 2.=&{ **.=&g *+{ *+.,

|{.| 2 ={ *.{ *.=g *+ { *.{ +.

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equations du type de mongeampere

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le laplacien et le carre de la norme du gradient d'une fonction .. Signalons que le laplacien possede une fonction de Green G(P, Q) telle que, si . # C 2(X ), .(P)=.~ +

|

G(P, Q) 2.(Q) dV(Q),

(2)

X

ou .~ =V &1  X . dV est la moyenne de . sur X. Notons G Q(P)=G(P, Q). Nous disons que la metrique g verifie l'hypothese H, si elle possede l'une des proprietes suivantes: (i) (ii)

sup Q # X  X |T **+ { +P G Q(P)| dV(P)<1 g est conformement kahlerienne.

2. Soit A/C 2(X ) l'ensemble convexe des fonctions admissibles relativement a la metrique g defini par A=[. # C 2(X ); la matrice hermitienne (g$*+ ) *, + =(g *+ + *+.) *, + est partout definie positive]. Un repere g-orthonorme en P diagonalisant la matrice ( *+.(P)) *, + sera dit adapte a .. Si . # A & C (X ), on peut considerer la metrique hermitienne g$=g . = g+i . representer localement par la matrice (g$*+ ) *, + . Les elements de volume relatifs a g et g$ sont relies par la relation dV$=M(.) dV, ou M(.) est l 'operateur de MongeAmpere complexe M(.)=

| g$| =det($ *+ +{ *+.), ou | g| =det( g). | g|

Soit F une fonction numerique C  definie sur TX_I, I un intervalle ouvert de R, on s'interesse a la mise en evidence de solutions admissibles . de l'equation Log M(.)=F(x, {.; .). 3. En preliminaire, donnons une generalisation d'un lemme d'Hormander [9, p. 97] et Tian [10, p. 228] relatif a l'integrale de l'exponentielle des fonctions plurisousharmoniques sur la boule de C m. Mais tout d'abord la formule integrale suivante; pour tout champ de vecteur Y=Y *e * a support compact,

|

X

{ * Y * dV=

|

T ++* Y * dV.

X

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(4)

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abdellah hanani

En utilisant une partition de l'unite, on se ramene au cas ou le support de Y est contenu dans le domaine U d'une carte locale. Comme  * | g| = | g| g +& * g +& =1 +*+ | g|, une integration par parties permet alors d'ecrire:

|

{ * Y * dV=

X

= =

|

( * Y * +1 **, +Y + ) | g| dx 1 } } } dy m U

|

U

|

U

Y *(& * | g| +1 ++* | g| ) dx 1 } } } dy m Y *(1 ++* &1 +*+ )| g| dx 1 } } } dy m =

|

Y *T ++* dV.

X

Lemme 1. Soit B R(O) la boule centree en O et de rayon R et soit a un reel positif. Pour Toute fonction . plurisousharmonique dans B R telles que .(O)=0 et .(z)1 pour tout z # B R , on a

|

e &a.(z) d*(z)C, |z|
ou r
.&.~ C 1 .

(ii)

 X e &:(.&.~ ) dVC 2(:).

Demonstration. La premiere partie du lemme se demontre comme dans Cherrier [7, pp. 348351]. Pour etablir l'autre partie, notons u=.&.~ et remarquons qu'au voisinage de chaque point de X ; la metrique g peut e^tre majorer par un multiple de la metrique euclidienne g 0. On fixe alors un recouvrement de X par des boules B r i 4(x i ), i # [1, ..., N], ou r i est un reel strictement positif et assez petit telle que gbg 0 partout dans B 2r i (x i ), b etant une constante positive. Designons par  i le potentiel de g 0 dans la boule B 2r i (x i ) telle que  i (x i )=0, notons  i =b i et posons C 3 = sup [sup | i (x)| ]. 1iN

B 2r i

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(5)

equations du type de mongeampere

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D'apres la partie (i), on a u+ i C 1 +C 3

dans B 2r i (x i ).

(6)

D'autre part, u&C 1 0 et donc, pour tout i # [1, ..., N ], la moyenne de u&C 1 sur X est plus petite que sa moyenne sur la boule B r i 4(x i ). Par suite, il existe y i # B r i 4(x i ) telle que

_

u( y i )C 1 1&

V . Vol B r i 4(x i )

&

(7)

On pose :=[2C 3 +VC 1(min 1iN Vol B r i 4(x i )) &1 ] &1. Ainsi, tenant compte de (6), on deduit que :[u+ i &u( y i )& i ( y i )]1 et, d'apres le lemme 1 ou l'on prend a=1, on obtient,

|

e &:[u+ i &u( y i )& i ( y i )] dVCte.

B r 2 ( y i ) i

Enfin les inegalites (5) et (7) permettent d'ecrire

|

e &:u dVCte.

Bri2( yi )

Le resultat s'en suit en remarquant que B r i 4(x i )/B r i 2( y i ) et puisque X est recouverte par les boules B r i 4(x i ). Ce lemme permet d'associer a la variete (X, g) le reel :(X ) defini comme etant la borne superieure des reels :>0 telle que (ii) soit satisfaite pour toute fonction . # A.

II. Sur les Estimees C 0 et C 1 Donnons d'abord une adaptation au cas envisage de la proposition 11 de Aubin [4, p. 91]. Quand l'estimee C 0 ne se deduit pas facilement du principe du maximum, le lemme suivant nous permet d'elaborer une methode d'iterations d'estimees L p. Lemme 3. Soient h: R  R une application lipschitzienne et c # R. Il existe des reels b 1(c), ..., b m(c) dependant continu^ment de c, avec b k(0)=1 et b k(1)=(C km ) &1 ; possedant la propriete suivante. Pour toute fonction . # C 2(X ),

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|

[1&M(.)] h(.) dV

X

=

|

_

h$(.) { *.

X

m

&

m&1

: (0 k(c)) * dV+ k=1

|

h(.) { *.

X

_ : (3 ) & dV, k *

k=1

(1) ou 0 k(c) et 3 k sont les 1-formes de type (10) definies par (0 k(c)) * 1 =(k!) &1 b k(c) $ +* 11 }} }} }} *+kk{ + 1 .(c$ *+ 22 +{ *+ 22 .) } } } (c$ *+kk +{ *+ kk .) et

_

(3 k ) * 1 =&(k!) &1 $ +* 11 }} }} }} *+kk T &&+ 1{ *+22 . } } } { *+kk .+2 &1 k

&

_ : T &+ 1 + l { *+22. } } } { *& l. } } } { *+ kk. . l=2

En particulier, quand . est admissible, il existe un reel p 0 >0 tel que, pour tout pp 0 , &{e &p.& 22 mp

|

e &2p.M(.) dV.

(2)

X

Demonstration. Par un argument de densite, on se ramene au cas ou h # C 1(R) et . # C 3(X). Le developpement du determinant definissant M(.) donne m

m

M(.)=1+ : (k!) &1 $ +* 11 }} }} }} *+kk{ *+11. } } } { *+kk.#1+ : A k . k=1

k=1

Ainsi, compte tenu de l'antisymetrie du tenseur de Kronecker et de la relation tensorielle { *+ l1 + l .&{ *+ll + 1.=T &+ l + 1 { *& l ., l'egalite integrale (I4) permet de montrer que

|

X

A k h(.) dV=&

|

X

h$(.) { * 1 .(0 k(0)) * 1 dV&

|

X

h(.) { * 1 .(3 k ) * 1 dV,

c'est-a-dire l'egalite (1) quand c=0.

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equations du type de mongeampere

Dans un repere g-orthonorme en P et diagonalisant la matrice [ *+ .(P)] *, + , notons a * = **., on a alors m

m

I# : { *.(0 k(0)) * = : J *(.) | * .| 2, k=1

*=1

ou J *(.)=1+

1 a* } } } a* k k+1 1 * 1 < } } } <* l , * i {* :

est une combinaison lineaire des fonctions symetriques elementaires des variables (a + ) +{* . Quel que soit c # R, en utilisant la formule de Taylor, on ecrit J *(.) comme combinaison lineaires des fonctions symetriques elementaires des variables (c+a + ) +{* . On met ainsi I sous la forme * m k=1 { .(0 k(c)) * . Pour etablir les valeurs des reels b k quand c=1, on peut s'inspirer des calculs menes dans [6]. La seconde partie du lemme est obtenue en prenant c=1 et h(t)= &e &2pt, ou pp 0 est un reel stictement positif assez grand. Dans ces conditions, pour tout k # [1, ..., m], on a 0
|

h$(.) { *.[0 k(1)] * dV. X

On minore alors le second membre de (1) par une combinaison lineaire des (U k ) k=1, ..., m&1 ; les coefficients dependent polyno^mialement de p. En fait, il est possible de choisir p 0 >0 assez grand telle que, pour tout pp 0 , on ait m&1

|

[M(.)&1] e &2p. dV2 &1 : U k &4 &1

X

k=1

U1  &4 &1 2

|

|

e &2p. dV X

e &2p. dV

X

et par suite (2). Tous les calculs sont detailles dans [7, pp. 352353, 380383]. Lemme 4. Soit & un reel non nul et F # C (X 2m_R) une fonction partout strictement positive telle que 0 < A &1  F(x, t)  Ae a |t| pour tout couple (x, t) # X_]&, t 0 ], ou A et t 0 sont des constantes avec a # ]0, :(X)m[. Sous l'hypothese H sur la metrique g, toute solution de l 'equation M(.)=e &.~[F(x, .&.~ )] s,

0s1,

est estimee a priori dans C 0(X).

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(3)

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Demonstration. Il s'agit d'estimer &&  , ou =.&.~. Tout d'abord, d'apres la premiere partie du Lemme 2, on voit que C 1 et donc en se placant au maximum de ., tenant compte de (3) et la minoration A &1 F(x, t), on obtient une majoration a priori de &.~. Il en resulte que M()=e &.~[F(x, )] s C 2 e a || C 3 e &a, ou la constante C 3 depend de A, a, C 1 ainsi que d'un majorant de &.~. D'autre part, l'application de l'inegalite (2) montre l'existence d'une constante positive C 4 telle que pour tout pp 0 , assez grand, on ait &{e &p & 22 mpC 4

|

e &(a+2p)  dV.

(4)

X

L'inegalite de Sobolev, &&{e &p & 22 +C 5 &e &p & 22* &e &p & 22 , *=m(m&1), jointe a l'inegalite (4) donne &{e &p & 22 +C 5 &e &p & 22* (1+pC 6 )

|

e &(a+2p)  dV.

ou

(5)

X

On choisit alors un reel b dans l'intervalle ]a, :(X )m[; d'ou puisque mb<:(X ), &e & & bmb C 7 .

(6)

Soient = # ]0, ab[ un reel precise ulterieurement et C 8 = sup (e &at &=e &bt )=[(ab) a(b&a) &(ab) b(b&a) ] = a(a&b). tt 0

Par Holder, compte tenu de (6), on aura

|

X

e &(a+2p)  dVC 9 &e &p & 22 +=C 7 &e &p & *2* .

Prenons ==C 5[C 7(1+pC 6 )] &1, tenant compte de la valeur de C 8 , (5) devient alors &{e &p & 22 C 10 p b(b&a) &e &p & 22 .

(7)

Or, d'apres la premiere partie du Lemme 2,  est a priori majoree, on peut donc ecrire, && 1 =

|

X

|| dV

|

(2C 1 &) dV2C 1 V.

X

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Ainsi, en notant u=e &2, on en deduit compte tenu de (7), par l'argument de Yau [11, p. 358] que &u& p C 11( p). Puis a l'aide de l'inegalite de Sobolev et de (7), on montre l'existence d'une constante positive C 12 tel que, si p1, on ait: &u& p*p C 12 p b(b&a) &u& pp , ce qui implique par iteration sur l'entier k0, l'existence d'une constante positive C 13 telle que k

k

&l

&l

) b(b&a)  l=1 l* l=0 * &u& * k+1 C ( * &u& 1 C 13 . 12

Faisons tendre k vers l'infini, on deduit que uC 13 et par suite &2 &1 Log C 13 . Ce qui nous permet de conclure puisqu'alors  etant estimee a priori dans C 0; en se placant en un point ou . atteint son maximum, on prouve, compte tenu de (3), que &.~ C 14 . Ainsi |&.~ | C 15 et &.&  C 16 . Lemme 5. Soient & un reel non nul et F # C (TX_R) une fonction partout strictement positive telle que 00 et 0
0s1,

(8)

est estimee a priori dans C 0(X) quand a(1&b)<:(X )m. Demonstration. En se placant au maximum de . en un point P # X, en remarquant que ({.)(P)=0 et en utilisant la minoration A &1 F(x, p; t), on obtient une majoration a priori de &.~. Or, d'apres le lemme 2(i), on a =.&.~ Cte; il en resulte que M()=e &.~[F(x, {; )] s C 1 e &a[1+ |{| 2b ]. L'application de la seconde partie du Lemme 3 montre donc l'existence d'une constant positve C 2 telle que pour tout pp 0 , assez grand,

|

X

|{e &p | 2 dVC 2 p

|

e &(a+2p) (1+ |{| 2b ) dV.

X

Or, on sait, d'apres l'inegalite de Young, que pour tout =>0, on a e &a || 2b = b(b&a)e &$ += |{| 2,

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(9)

58

abdellah hanani

ou $=a(1&b)<:(X)m. Compte tenu du fait que e &a C 3 e &$, l'inegalite (9) devient: 2 &{e &p & 22 C 2 p[C 3 += b(b&1) ]

|

X

e &($+2p)  dV+C 2 =p &1 &{e &p & 22 .

Posons ==p 0(2C 2 ) &1, on en deduit l'existence d'une constante positive C 4 telle que 3 2

&{e &p & 22 C 4 p

|

e &($+2p)  dV,

X

l'analogue de (7), ce qui permet d'operer comme au Lemme 4. Lemme 6. Soit F # C (TX_R) une fonction verifiant les hypotheses du Lemme 5. On suppose en plus que

}

|{F |, p c

F CteF. p c

}

(1)

{ designe le gradient pour une metrique hermitienne et ( p c ) designent les coordonees naturelles dans les fibres de TX. Soit B/C 3 un ensemble de solutions admissibles de l 'equation M(.)=F(x, {.; .).

(2)

Alors B est borne dans C 1(X). Demonstration. Soit . # B. Considerons la fonctionnelle 1 (.)= |{.| 2 exp[e k(c&.) ],

ou

k>0, c= sup &.&  .

(3)

.#B

En un point P ou 1 (.) atteint son maximum, supposons que |{.|(P)1. Ainsi, { : |{.| 2 &ke k(c&.){ : .=0, |{.| 2

(4)

et donc en ecrivant que le laplacien de Log 1 (.) dans la metrique deformee g$=g+i . est non negatif en P; on obtient 0

2$ |{.| 2 |{$ | {.| 2 | 2 + &ke k(c&.)(2$.&k |{$.| 2 ). |{.| 2 |{.| 4

File: 580J 282910 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2227 Signs: 1071 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

(5)

equations du type de mongeampere

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Il convient de majorer convenablement les deux premiers termes du membre de droite de (5). Tout d'abord, en ecrivant que |{$ Log 1 (.)| 2 (P)=0, on obtient ke k(c&.) :; |{$ | {.| 2 | 2 2 k(c&.) 2 =&k e |{$.| + (g$ { : |{.| 2 { ; .+conj.). |{.| 4 |{.| 2 (6) Developpons { |{.| 2, compte tenu des relations { :+ .=g$:+ &g :+ et g$ :;g$:+ =$ ;+ , on peut ecrire (g$ :;{ : |{.| 2 { ; .+conj.) =2( |{.| 2 & |{$.| 2 )+( g$ :;g *+{ :*.{ + .{ ; .+conj.) et d'apres l'inegalite de Cauchy, il vient, (g$ :;g *+{ :*.{ + .{ ; .+con.)

E

ke

1 k(c&.)

|{.| 2 |{$.| 2,

ou E 1 =g$ :;g * +({ :*.{ ;+ .+{ *; .{ :+ .).

(7)

Ainsi, l'inegalite (6) donne la majoration suivante: |{$ | {.| 2 | 2 E1  +2ke k(c&.). |{.| 4 |{.| 2

(8)

D'autre part, les relations { a Log F=g$ :;{ a:; ., ou a # [1, ..., m, 1, ..., m ], obtenues par derivation de (2), et les relations { *:; .&{ :;* .=&T &*:{ &; .

(9)

et &

&

&

{ +:;+ .&{ :;+ .=&T +; { :& .&(R ;+: +{ : T +; ) { & .

(10)

deduites de (I-1), permettent d'ecrire 2$ |{.| 2 sous la forme 2$ |{.| 2 =&({ *.{ * Log F+conj.)&E 1 &E 2 , ou E 1 est defini par (7) et &

&

E 2 =( g$ :; T &*:{ *.{ &; .+conj.)+g$ :;(R ;+: +{ : T +; ) { & .{ +..

File: 580J 282911 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3001 Signs: 1053 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

(11)

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Observons a present qu'en ecrivant { &; .=g$&; &g &; , on etablit l'existence d'une constante positive C 2 ne dependant que de (X, g) et d'une estimee C 0 de . telle que |E 2 | C 2 |{.| 2 (1+g$ :;g :; ).

(12)

D'autre part, tenant compte de (1) et du fait que |{.|(P)1, le developpement des termes en F dans (11) permet d'ecrire &({*.{* Log F(x, {.; .)+conj.)C 3 |{.| 2 &

\

 Log F {: |{.| 2 +conj. , p : (13)

+

on C 3 ne depend que de la constante dans (1) et du maximum sur X de la norme du tenseur de Torsion T. En reportant (12) et (13) dans (11) et puisque (1) et (4) impliquent que 2

}

 Log F { : |{.| 2 C 4 ke k(c&.) |{.| 2, p :

}

on obtient E1 2$ |{.| 2 & +C 2(1+g$ :;g :; )+C 3 +C 4 ke k(c&.). |{.| 2 |{.| 2

(14)

Reportons (8) et (14) dans (5), on obtient 0[C 2 &ke k(c&.) ](m+2$.)&k 2e k(c&.) |{$.| 2 +(2+m+C 4 ) ke k(c&.) +C 2 +C 3 . C'est-a-dire, en tenant compte du fait que e k(c&.) 1, 0(C 2 &k)(m+2$.)&k 2 |{$.| 2 +C 5 , ou C 5 =C 2 +C 3 +(2+m+C 4 ) ke 2k &.&. Prenons k=C 2 +1; il s'en suit que (m+2$.)(P)C 5 ,

|{$.| 2 (P)C 5 k &2.

(15)

Or, d'apres l'inegalite arithmeticogeometrique, on verifie, en se placant dans un repere adapte a ., que m&2.mM(.)

_

m+2$. m&1

&

m&1

,

File: 580J 282912 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2445 Signs: 1100 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

61

equations du type de mongeampere

et comme . verifie (2), tenant compte de l'estimee C 0 deja acquise et l'hypothese de croissance sur F, la premiere inegalite de (15) implique l'existence d'une constante positive C 6 telle que (m&2.)(P)C 6 |{.| 2b. Enfin l'inegalite |{.| 2 (m&2.) |{$.| 2 combinee avec la seconde inegalite de (15) permet d'affirmer que la norme du gradient de . est estimee a priori en P puisque b<1, et donc en ecrivant que, partout dans X, 1 (.)1 (.)(P), on conclut que |{.| 2  |{.| 2 (P) exp[e k &c&.&  ]. Le lemme en resulte.

III. Estimation a priori dans C 3, :. Lemme 7. Soient F # C 2(TX_R), C 0 et C 1 deux constantes positives. Soit B un ensemble de solutions admissibles de l 'e quation Log M(.)=F(x, {.; .),

(1)

telles que sup &.& C 0(X ) C 0 ,

sup &{.& C 0(X ) C.

.#B

.#B

(2)

Il existe des constantes positives C 2 , C$2 , a et b telles que, si . # B, on ait: 0
ag g$. bg,

ou g$. designe la metrique deformee g+i .. Notant K le compact de TX_R decrit par les triplets (x, p; t) verifiant x # X, | p| C 1 et |t| C 0 . C$2 , a et b dependent de C 0 , C 1 , &F& C 2(K ) ainsi que des maximums sur X des normes des tenseurs R, T et {T; C 2 n'est fonction que de inf K F. Demonstration. Soit . # B. D'apres l'admissibilite de . et l'inegalite arithmeticogeometrique, on montre, en se placant dans un repere adapte a ., que m

m&2.=g *+g$*+ = : (1+ **.)m[M(.)] 1m =m exp *=1

F(x, {.; .) , m

(3)

et donc d'apres les estimees (2) et la continuite de F sur le compact K, 0
2.

} m&2. } C"=1+mC 2

File: 580J 282913 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2616 Signs: 1491 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

&1 2

.

(4)

62

abdellah hanani

A present, il s'agit de majorer a priori m&2.. Pour cela, il suffit d'obtenir une majoration de g$ *+ g *+ en tout point P ou la fonctionnelle 1 (.)=Log(m&2.)&k.+l |{.| 2 atteint son maximum; k et l sont deux reels strictement positifs precises ulterieurement. Ecrivons que le laplacien de 1 (.) dans la metrique deformee g$ est non negatif: 0(m&2.) &1 2$(m&2.)+(m&2.) &2 g$ :; { :(m&2.) _{ ;(m&2.)&k2$.+l2$ |{.| 2.

(5)

En derivant deux fois l'equation (1) satisfaite par ., on exprime 2$(m&2.) a l'aide des derivees covariantes de . d'ordre 3. En effet, { * F=g$ :; { *:; . et &2F=g *+g$ :; { +* { :; .&g$ :_g$ \;g *+ { + \_ .{ *:; .. Donc 2$(m&2.)=&g$ :; g *+ { :; { *+ . =&g$ :; g *+ { +* { :; .&g *+ g$ :;({ :;*+ .&{ *+:; .) =&g$ :_g$ \; { *\_ .{ *:; .&g *+g$ :;({ :;*+ .&{ *+:; .)+2F.

(6)

Par permutation des derivees covariantes, tenant compte des commutations (9) et (10) de la preuve du Lemme 6, on obtient  { :;+* .&{ +*:; .=T #*: { +#; .+T #+; { *#: .+(R #*+: +{ + T #*: ) { #; .   +(R #;+: +{ : T #+; ) { *# ..

(7)

Saturons l'egalite (7) par g$ :;g *+ et reportons dans (6), la relation qui en resulte donne l'expression cherchee de 2$(m&2.), 2$(m&2.)=&g$ :; g$ \_ { *\; .{ *:_ .&( g$ :; T #*: { ##; .+conj.)+G 2 +2F, (8) ou G 2 est defini par  * & & & + G 2 =&g$ :; [(R &+ +: +{ T *: ) { &; .+(R ;+: +{ : T +; ) { & .]  +g$ :;g *+ T &:* T #+; { &# .

File: 580J 282914 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3605 Signs: 1287 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

63

equations du type de mongeampere et verifie la relation |G 2 | C 3(m&2.)(1+g$ :; g :; );

(9)

la constante C 3 n'est fonction que des maximums sur X des normes des tenseurs R, T, et {T. L'inegalite (5) s'ecrit donc, compte tenu de (8), sous la forme (m&2.) &1 G 1 (m&2.) &1 G 2 +G 3 ,

(10)

ou G 1 =g$ :_g$ \;g *+ { +\_ .{ *:; . +( g$ :; T #*:{ *#; .+conj.)&(m&2.) &1 |{$(m&2.)| 2 et G 3 =(m&2.) &1 2F&k2$.+l2$ |{.| 2.

(11)

Dans le cas kahlerien on remarque que le terme G 1 est positif ce qui a pour effet de simplifier les calculs; suivons donc le raisonnement qui a ete propose. On developpe le carre K qui suit 0K=g *+g$ :_g$ \;[{ *:; .&(m&2.) { :(m&2.) g$*; +C *;: ] _[{ +_\ .&(m&2.) &1 { _(m&2.) g$\+ +C +\_ ], ou C *;: =T $*: g$$; , on trouve alors  G 1 =K+(m&2.) &1 [T **: g$ :_{ _(m&2.)+conj.]&g *+g$ :_g$\# T \*: T #+_ .

Or, au point P, ou 1 (.) est stationnaire, on peut ecrire d'apres la definition de 1 (.), (m&2.) &1 { _(m&2.)=k{ _ .&l { _ |{.| 2.

(12)

Donc, en reportant dans l'expression ci-dessus de G 1 , on obtient  G 1 =K+[T **: g$ :_ { _(k.&l |{.| 2 )+conj.]&g *+g$ :_g$\# T \*: T #+_ . (13)

En se placant dans un repere adapte a ., on verifie successivement que  = : (1+ ;; .(1+ ## .) &1 |T ;:# | 2 g *+g$ :_g$\# T \*: T #+_ :, ;, #

&T& 2 (m&2.) g$ :; g :; , |T **: g$ :_{ _ .| = : |T **: | |{ :. | (1+ :: .) &1 *, :

(m&1) &T & |{.| g$ :;g :; C 4 g$ :;g :;

File: 580J 282915 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3291 Signs: 1254 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

64

abdellah hanani

et

}

|T **: g :_ { _ | 2 | = : T **: (1+ :: .) &1 ( +: . + .+ + . :+ .) *, :, +

}

(m&1) |{.| &T & : (1+ :: .) &1 :, +

_(2=+=

&1

2

| +: .| += &1 | :+ .| 2 )

C 4(= &1E 1 +2=g$ :;g :; ). La derniere inegalite se deduisant du fait que | +: .| =+= &1 | +: .| 2 et | :+ .| =+= &1 | :+ .| 2 pour tout reel =>0; le terme E 1 est donne par la definition (7) de la preuve du Lemme 6, et C 4 =(m&1) &T&  sup . # B &{.& C 0(X) est une constante contro^lee d'apres (2). A present, on utilise la positivite du terme K pour minorer l'expression (13) de G 1 , G 1 &G 5 [((m&2.)+k+=l ) g$ :;g :; +l= &1E 1 ],

(14)

ou C 5 =max(&T &  , 2C 4 ). Poursuivons par l'etude du terme G 3 defini par (11). Tenant compte de l'estimee C 1, deja acquise, et des relations (11), (12), et (13) de la preuve du Lemme 6, on peut ecrire 2$ |{.| 2 &

\

F { : |{.| 2 +conj. +C 6(1+g$ :;g :; )&E 1 . p :

+

(15)

D'autre part, d'apres (4), le developpement de 2[F(x, {.; .)] donne l'existence de deux constantes positives C 7 et C 8 telle que 2FC 7(m&2.)+C 8 g :;g *+({ :* .{ ;+ .+{ *; { :+ .) &

\

F { :(m&2.)+conj. . p :

+

(16)

Or (m&2.) &1 g :;g *+({ :* .{ ;+ .+{ *; .{ :+ .)E 1 . Donc, en reportant (15) et (16) dans la definition (11) de G 3 , on obtient: G 3 &

_

F { :[Log(m&2.)+l |{.| 2 ]+conj. p : :;

+(lC 6 &k) g$ g :; +(C 8 &l ) E 1 +C 9 ,

File: 580J 282916 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2886 Signs: 1184 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

&

65

equations du type de mongeampere

ou C 9 =lC 6 +mk+C 7 . Et par suite, en utilisant a nouveau le fait que 1 (.) est stationnaire en P, il vient, d'apres (12), F

} p { [Log(m&2.)+l |{.| ]+conj. } C :

2

:

10

=k &F& C 1(K ) sup &.& C 1(X ) . B

Ainsi, G 3 (lC 6 &k) g$ :;g :; +(C 8 &l ) E 1 +C 9 +C 10 .

(17)

Enfin pour avoir notre estimee, reportons les inegalites (9), (14), et (17) et notons C 11 =max(C 6 , 2C 4 C &1 dans (10), prenons ==2C 4 C &1 2 2 ). La relation qui en resulte s'ecrit comme suit: C4

C4

_\1&m&2.+ k&C \ 1+m&2.+ l&C &C & g$ l  C & \ 2 + E +C +C +C . 11

8

1

3

3

9

4

10

:;

g :; (18)

Il s'agit a present de determiner k et l de facon que, dans (18), les coefficients de E 1 et g$ :;g :; soient respectivement 0 et >0. Si (m&2.)(P)?=2C 4(1+C 11 ),

(19)

les termes C 4(m&2.) &1 et C 4 C 11(m&2.) &1 sont au plus egaux a L'inegalite (18) donne:

1 2

.

[k2&(C 11 +12) l&C 3 &C 4 ] g$ :;g :; (C 8 &l2) E 1 +C 3 +C 9 +C 10 . On prend alors l=2C 8 et k=2[(C 11 +12) l+C 3 +C 4 +1] ce qui implique que g$ :;g :;(P)C 12 =C 3 +C 9 +C 10 et comme . verifie (1), on deduit Aubin [4, p. 74] que (m&2.)(P)C 13 , ou C 13 depend de C 12 et de sup K F(x, p; t). Ainsi, d'apres (19), on a (m&2.)(P)max(C 13 , ?). Finalement en ecrivant que 1 (.)1 (.)(P), partout dans X, on conclut a l'aide de la definition de 1 (.) que 0
File: 580J 282917 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2556 Signs: 1208 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

66

abdellah hanani

Lemme 8. Conservons les notations du Lemme 7. Soient F # C 2(TX_R) et B/C 4(X ) un ensemble de solutions admissibles de (1) verifiant (2). Si . # B, on pose  2 =g$ :;g ab { :a .{ ;b ., (i)

% 2 =g$ :;g$ abg *+{ ab* .{ ;a+ ..

Il existe une constante positive c telle que, pour tout . # B, on ait 2$ 2 +&E&$ 2 +K 2 +( g$ :;g ab { :a .{ ;b F+conj.) &g$ :_g$ \;g ab { :a .{ ;b.{ \_ .{ \_ Fc(1+%)(1+ 2 ),

ou en repere g$-orthonorme K 2 = *, :, a g tenseur E sont definies par

aa

(3)

2

|{ *:a .| et les composantes du

E *:a ={ *:a .&: { *\: .{ \a ..

(4)

\

La constante c est fonction de a, b, d 'une estimee C 0 du gradient et des derivees secondes mixtes de . ainsi que d 'une norme C 0(X ) des teneurs R, T et {T. (ii) On a sup . # B && C 0(X ) <. Demonstration. 1. Montrons d'abord comment la partie (ii) se deduit de l'inegalite (3). Soit . # B, et soient k et l deux reels strictement positifs precises ulterieurement. Notons J=k |{.| 2 +l(m&2.) et designons par 1 (.) la fonctionnelle 1 (.)= exp(e J ). En un point P # X, ou 1 (.) atteint son maximum, supposons que (P)1 et ecrivons que le laplacien de Log 1 (.) dans la metrique deformee est non negatif, il vient, 02$[Log 1 (.)]=

2$ |{$| 2 + +e J (2$J+ |{$J | 2 ).  2

Donc, comme 2$=

2$ 2 |{$| 2 + , 2 

on obtient 0

2$ 2 |{$ 2 | 2 + &e J |{$J | 2 +e J 2$J. 2 2 2 4

(5)

D'autre part, Log 1 (.) etant stationnaire en P, on en deduit que {=&e J {J. Majorons chacun des termes du membre de droite de (5).

File: 580J 282918 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2968 Signs: 1365 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

(6)

67

equations du type de mongeampere

Compte tenu de (3), le developpement des termes en F montre l'existence d'une constante positive k 2 telle que 2$ 2 k 2(1+% 2 + 4 )&(K 2 +&E&$ 2 )&

\

F {  2 +conj. . p : :

+

(7)

Developpons ensuite { 2 dans un repere g$-orthonorme; d'apres (4), on peut ecrire, { *  2 =g aaE *:a { :a .+g aa { :a .{ *:a .=A * +B * , avec A * =g aaE *:a { :a . et B * =g aa { :a .{ *:a .. Par suite, si |A| 2 =: |A * | 2,

|B| 2 =: |B * | 2,

*

*

on obtient, pour tout =>0, |{$ 2 | 2 =: |A * +B * | 2 (1+=) |A| 2 +(1+= &1 ) |B| 2. *

Or, d'apres l'inegalite de Cauchy, |A| 2  2 &E&$ 2,

|B| 2  2K 2 .

Ainsi, |{$ 2 | 2 (1+=) &E &$ 2 +(1+= &1 ) K 2 . 2

(8)

Soit $=2 &1e &J. Comme il resulte de (6) que 2$

|{$| 2 =e &J (e 2J |{$J | 2 )=e J |{$J | 2, 2

on peut ecrire |{$ 2 | 2 |{$ 2 | 2 J 2 &e |{$J | =(1&$) . 2 4 2 4 Par suite, vu l'inegalite (8) ou l'on choisit ==$(1&$) et puisqu'alors (1&$)(1+=)=1 et (1&$)(1+= &1 )=(1&$)$=2e J &1, on obtient &E &$ 2 +(2e J &1) K 2 |{$ 2 | 2 &e J |{$J | 2  . 4 2 2 2

File: 580J 282919 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2242 Signs: 866 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

(9)

68

abdellah hanani

Poursuivons par l'etude du dernier terme de (5). La relation (8) de la preuve du Lemme 7 ou l'on developpe le terme 2[F(x, {.; .)] implique l'existence de constantes positives (k i ) i=3, 4, 5 telle que 2$(m&2.)k 3 &k 4 % 2 +k 5  2 &

\

F { :(m&2.)+conj. . p :

+

(10)

Ensuite l'inegalite (15) de la preuve du me^me lemme montre qu'il existe une constante positive k 6 telle que 2$ |{.| 2 k 6 & 2 &

F

\p { |{.| +conj.+ . :

2

:

Ainsi, 2$Jlk 3 +kk 6 &lk 4 % 2 +(lk 5 &k)  2 &

F

\p { J+conj.+ . :

:

(11)

Enfin, en reportant (6), (7), (9), et (11) dans (5) et puisque (6) implique que F { :  +e J { : J =0, p : 

\

+

on obtient 0

e J &1 k2 (1+% 2 + 4 )+ 2 K 2 +e J [lk 3 +kk 6 &lk 4 % 2 +(lk 5 &k)  2 ]. (12) 2 2 

Par suite, comme { :*a .&{ *:a .=R ba:* { b ., on voit que K 2 2% 2k 7 , ou k 7 est fonction de &R&  et sup . # B &{.& ainsi que des reels a et b, definis au Lemme 7. Or (P)1, l'inegalite (12) prend alors la forme 0(k 2 +2e J &lk 4 e J ) % 2 +(k 2 &ke J +lk 5 e J )  2 +k 8 ,

(13)

ou k 8 =k 2 +(kk 6 +lk 3 +k 7 ) exp(&J &  ). Choisissons l=(2+k 2 2) k &1 4 puis k=1+lk 5 +k 2 2. Comme e J 1, les coefficients de % 2 et  2 dans (13) sont alors respectivement 0 et &1. Par consequent,  2(2)max(1, k 8 ). La demonstration s'acheve en ecrivant que partout dans X, on a 1 (.) 1 (.)(P), et en tenant compte de la definition de la fonctionnelle 1 (.) ainsi que de l'estimee C 1 et l'estimee des derivees secondes mixtes.

File: 580J 282920 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2484 Signs: 1295 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

equations du type de mongeampere

69

2. Indiquons maintenant les etapes de la demonstration de (3). Le developpement de 2$ 2 nous permet d'ecrire 6

2$ 2 = : K i ,

(14)

i=1

ou K 1 =g$ *+g$ :; g ab({ *+:a .{ ;b .+{ :a .{ *+;b .) K 2 =g$ *+g$ :;g :b { +:a .{ *;b . K 3 =g$ *+g$ :; g ab { *:a .{ +;b . K 4 =g$* + g ab( g$ :$g$ #_g$ \; +g$ :_g$ \$g$ #; ) { *$# .{ +\_ .{ :a .{ ;b . K 5 =&g$ *+g$ :_g$\ ;g ab { *+\_ .{ :a .{ ;b . K 6 =g$ *+g$ :_g$ \;[({ *_\ .{ +:a .+{ +\_ .{ *:a .) { ;b . +({ *_\ .{ +;b .+{ +\_ .{ *;b .) { :a .]. Nous dirons que U &V, s'il existe une constante positive c telle que pour tout . # B, on ait |U(.)&V(.)| c(1+%)(1+ 2 ); la constante c n'est fonction que des quantites du lemme. Pour alleger l'ecriture, nous donnerons souvent l'expression des tenseurs utilises dans des reperes g$-orthonorme et nous userons de la convention de sommation sur les indices conjuges places en position inferieure. (i)

Etude de K 4 . Posons, en repere g$-orthonorme, A=g aa{ *:# .{ *\# .{ :a .{ \a ., B=g aa{ *\# .{ *\: .{ :a .{ #a ..

on constate que K 4 =A+B.

(15)

(ii) Etude de K 5 . On elimine g$ *+{ \_*+ . en derivant deux fois (1), ce qui donne: K 5 +g$ :_g$ \;g ab({ \_ F+g$ *$g$ #+ { \$# .{ _*+ .) { :a .{ ;b . =g$ *+g$ :_g$ \;g ab({ \_*+ .&{ *+\_ .) { :a .{ ;b ..

(16)

D'apres une identite analogue a celle donnee par la relation (7) de la preuve du Lemme 7, le membre de droite de (16) est equivalent a zero.

File: 580J 282921 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 3439 Signs: 1323 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

70

abdellah hanani

D'autre part, au membre de gauche de (16), le terme en ({ 2.) 2 ({ 3.) 2, qui s'ecrit dans un repere g$-orthonorme, g aa{ #\* .{ :&\*.{ :a.{ #a ., differe de B par Cte(1+%)  2, compte tenu des commutations (9) et (10) de la preuve du Lemme 6. Ainsi, |K 5 +g$ :_g$ \;g ab{ :a .{ ;b .{ \_ F+B| c(1+%)  2. (iii)

(17)

Etude de K 6 . Notant, en repere g$-orthonorme, C=g aa{ *:a .{ *:a .{ \a . D=g aa{ *:\ .{ *\a .{ :a .,

on voit que K 6 +(C+C )+(D+D )=0. (iv)

(18)

Etude de K 1 . Du fait que |{ *+:a &{ +*:a .| c, on peut

ecrire, K 1 & K$1 +K $1

(19)

ou K$1 =g$ *+g$ :; g ab { *+:a .{ ;b .. En derivant deux fois l'equation (1) satisfaite par ., on elimine les derivees covariantes d'ordre quatre de celle-ci. En effet, g$ *+{ :a*+ .={ :a F+g$ *\g$ &+{ :&\ .{ a*+ . et donc g$ *+ { *+:a .=g$ *+({ *+:a .&{ :a*+ .)+{ :a F+g$ *\g$ &+{ :&\ .{ :*+ .. D'autre part, tenant compte de la formule tensorielle (I-1), on montre que |{ :a*+ .&{ *+:a .| Cte(1+%)(1+). Ainsi K$1 &g$ :;g ab[{ :a F+g$ *\g$ &+ { :*+ .{ :&\ .] { ;b ..

File: 580J 282922 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2604 Signs: 949 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

71

equations du type de mongeampere

Dans cette equivalence le terme en ({ 3.) 2 { 2. est equivalent a C en vertu des relations (9) et (10) de la preuve du Lemme 6. Donc, tenant compte de (19), on deduit que K 1 & C+C +( g aa { :a .{ :a F+conj.). (v)

(20)

Il resulte de (14), (15), (17), (18), et (20) que &2$ 2 & K 2 +K 3 +A+[( g aa { :a .{ :a F&D)+conj.] &g aa { :a .{ \a .{ \: F.

c'est-a-dire (3) en remarquant que, d'apres (4), &E&$ 2 =g$ *+g$ :; g abE *:a E +;b =K 3 &(D+D )+A. 3. En remarque, signalons que les calculs du premier paragraphe de la demonstration se simplifient enormement quand le second membre F est pseudoconcave par rapport a p. En effet, en conservant les me^mes notations et en tenant compte du fait que la matrice ( 2Fp \ p _ ) \, _ est partout negative et vu la positivite des normes K 2 et &E&$ 2, le developpement des termes en F dans (3) montre qu'il existe une constante positive k 9 telle que 2$ 2 k 9[(1+%)(1+ 2 )+ 3 ]&

\

F { :  2 +conj. . p :

+

(21)

Ensuite |{$(m&2.)| 2 k 10(1+% 2 ).

(22)

Pour voir (22), on considere le carre positive suivant 0g :*g +; g #&({ :;# .+m &1g :; { : 2.)({ *+& .+m &1g +*{ & 2.) ={ :;#.{ :;# .&m &1 |{(m&2.)| 2 &m &1(g :; g #+ T $:# { $; .{ & 2.+conj.) et la majoration, deduite de l'inegalite de Cauchy, | g :;g #& T $:# { $; .{ & 2.| - m &T & ({ :;.{ :; .) 12 |{(m&2.)| k 11 |{(m&2.)| 4 &1 |{(m&2.)| 2 +k 211 ; d'ou |{(m&2.)| 2 2m({ :;#.{ :;# .+k 211 ) et, par suite, (22) compte tenu de l'equivalence des metriques g et g$. De me^me en developpant un carre convenable, on montre que |{$ | {.| 2 | 2 k 12(1+ 2 ).

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(23)

72

abdellah hanani

Soient maintenant k et l deux reels strictement positifs et P # X un point ou la fonction 1 (.)=+J,

ou

J=k |{.| 2 +l(m&2.),

atteint son maximum. Ainsi {$1 (.)(P)=0 et d'apres (22) et (23), on a: |{$| 2 k 13(1+l 2% 2 +k 2 2 )

en P.

(24)

Supposons que (P)1 et ecrivons que 2$=(2$ 22)+( |{$| 2) et 2$1 (.)(P)0. On deduit de (11), (21), et (24) qu'il existe une constante positive k 14 telle qu'en P, on ait: 0(k 9 +l 2k 13  &1 &lk 4 ) % 2 +(k 2k 13  &1 +2k 9 +lk 5 &k)  2 &

\

F { : 1+conj. +k 14 . p :

+

Prenons alors l=k &1 4 (k 9 +k 13 ) et puis k=1+lk 5 +2k 9 +k 13 . On en deduit que si (P)k 15 =max(k 2, l 2 ), alors (P)k 14 et par suite (P)k 16 =max(1, k 14 , k 15 ). Or J0 et 1 (.)1 (.)(P), on a donc (P)+&J &  et puisque &J &  <, on conclut que Cte. Lemme 9. Conservons les notations du Lemme 7. Soient F # C 3(TX_R) et B/C 5(X ) un ensemble de solutions admissibles de (1) verifiant (2). Si . # B, on pose 0 2 =g$ :;g$ abg$ cd { :bc .{ ;ad .. (i) Il existe deux constantes positives k1 et k 2 telles que, pour tout . # B, on ait: 2$0 2 +(g$ :;g$ ab g$ cd { :bc .{ ;ad F+conj.) &H a:b;c#d${ :bc .{ ;ad .{ #$ Fk 1(1+0 3 )

(3)

et 2$0 2 k 2(1+0 3 )&

F

\p { 0 +conj.+ . :

2

:

Les composantes du tenseur H sont definies par H a: } } } d$ =g$ :$g$ #;g$ abg$ cd +g$ :;g$ a$g$ #bg$ cd +g$ :;g$ abg$ c$g$ #d.

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(4)

73

equations du type de mongeampere

La constante k 1 est fonction d'une estimee C 0(X) du gradient et des derivees secondes mixtes de . ainsi que d 'une norme C 0(X ) des tenseurs R, T, {R, {T, et { 2T; k 2 depend en outre de &F& C 3(K ) et d 'une estimee C 0(X ) des derivees secondes pures de .. (ii) On a sup . # B &0& C 0(X ) < et, quel que soit : # ]0, 1[, B est borne dans C 3, :(X ). Demonstration. L'inegalite (3) est obtenue en operant comme au Lemme 6 de Cherrier [7, p. 367]. Pour etablir (4) a partir de (3), notons U& V lorsqu'il existe une constante positive c telle que pour tout . # B, on ait: |U(.)&V(.)| c(1+0 3 ). En developpant les termes en F dans (3), on peut ecrire [ g$ :;g$ cd { :bc .{ ;ad F(x, {.; .)+conj.]

_

& g$ :;g$ abg$ cd { :bc .

F

\p { *

.+

;ad*

F p *

+

{ ;ad* . +conj.

&

et H a: } } } d$ { :bc .{ ;ad .{ #$ F(x, {.; .) &H a: } } } d$ { :dc .{ ;ad .

F

\p (x, {.; .) { *

#$*

.+

F p *

+

(x, {.; .) { #$* . .

L'inegalite (4) se deduit alors en groupant ces deux dernieres equivalences et en tenant compte de la relation tensorielle (I-1). Pour etablir la seconde partie du lemme, designons par k un reel strictement positif, precise plus bas, et P # X un point ou la fonctionnelle 1=0+k(m&2.) atteint son maximum. Ainsi, d'apres la relation (22) de la preuve du Lemme 8, |{$0| 2 =k 2 |{$(m&2.)| 2 k 2k 10(1+0 2 )

en P.

(5)

Or, tenant compte de l'equivalence des metriques g et g$, l'inegalite (10) de la preuve du Lemme 8 montre l'existence de reels strictement positifs k 3 et k 4 telle que 2$(m&2.)k 3 &k 4 0 2 &

F

\p { (m&2.)+conj.+ . :

:

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(6)

74

abdellah hanani

Supposons 0(P)1, ecrivons que 2$0=(2$0 220)+( |{$0| 20) et que la laplacien de 1 dans la metrique g$ est non negatif en P, compte tenu des relations (4), (5), et (6), on obtient 0(k 2 &kk 4 ) 0 2 +k 2k 10 0+kk 3 +k 2 &

\

F { : 1+conj. . p :

+

Prenons k=k &1 4 (1+k 2 ). Puisque {1 (P)=0, on en deduit que 0(P)k 5 =max(1, 2k 2k 10 +kk 3 +k 2 ). Enfin, en ecrivant que, partout dans X, 011 (P), on conclut que 0Cte. Soit maintenant U un ouvert muni de coordonnees complexes. La relation g$ *+ { &*+ .={ & F, obtenu par une derivation de (1), s'ecrit dans U comme suit L( & .)=g$ *+ T \&*  \+ .+ &F( } , {.; .)+

F (x, }; .) T \&:  \ .#H & , p :

ou l'operateur L est defini par L=g$ :; :; &

F

\p  +conj.+ &F$ . :

:

t

Du fait que les derivees mixtes et troisiemes mixtes sont estimees a priori,  *+ . et g$ *+ sont localement estimees dans C 1 donc dans C 0, :. D'autre part, la solution . etant estimee dans C 2(U ), donc elle l'est aussi dans C 1, :(U). Ainsi, &H & & C 0, : (U ) Cte, et d'apres Schauder, pour tout compact K/U on a & & .& C 2, : (K ) c(K, U, :, * 1 , * 2 )[& & .& C 0(U ) +&H & & C :(U ) ]Cte, ou * 1 est un module d'ellipticite commun aux operateurs g$ :; { :; et * 2 est une borne C :(U ) des coefficients de l'operateur L. De me^me, on montre que & : .& C 2, :(K ) Cte et, par consequent sup B &.& C 3, :(X ) <.

IV. Resolution d'equations Par un argument de point fixe (voir Delanoe [8-III]), on utilise le Theoreme 3 de Cherrier [9, p. 345] et les Lemmes 4, 6, et 9 pour montrer le resultat suivant.

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equations du type de mongeampere

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Theoreme 1. Sous les hypotheses du Lemme 4, l'equation M(.)=e &.~F(x, .&.~ ) admet une solution C  admissible. Enfin, on utilise le me^me argument et les Lemmes 5, 6, et 9 pour prouver, a l'aide du resultat precite de Cherrier, le theoreme suivant. Theoreme 2. Sous les hypotheses des Lemmes 5 et 6, l'equation M(.)=e &.~F(x, {.; .&.~ ) admet une solution C  admissible.

Bibliographie 1. T. Aubin, Nonlinear analysis on manifolds, ``MongeAmpere Equations,'' SpringerVerlag, BerlinNew York, 1982. 2. T. Aubin, Metriques riemanniennes et courbure, J. Differential Geom. 4 (1970), 383424. 3. T. Aubin, Equations du type MongeAmpere sur les varietes kahleriennes compactes, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. A 283 (1976), 119121. 4. T. Aubin, Equations du type MongeAmpere sur les varietes kahleriennes compactes, Bull. Sci. Math. (2) 102 (1978), 6395. 5. T. Aubin, Reduction du cas positif de l'equation de MongeAmpere sur les varietes kahleriennes compactes a la demonstration d'une inegalite, J. Funct. Anal. 57 (1984), 143153. 6. M. S. Berger et P. Cherrier, A new variational method for finding Einstein metrics on compact Kahler manifolds I, J. Funct. Anal. 79 (1988), 103135. 7. P. Cherrier, Equations de MongeAmpere sur les varietes hermitiennes compactes, Bull. Sci. Math. (2) 111 (1987), 343385. 8. P. Delanoe, Equations du type de MongeAmpere sur les varietes riemanniennes compactes, IIII, J. Funct. Anal. 40 (1980), 385386; 41 (1981), 341353; 45 (1982), 403430. 9. L. Hormander, ``An Introduction to Complex Analysis in Several Variables,'' Van NostrandPrinceton, NJ, 1973. 10. G. Tian, On KahlerEinstein metrics on certain Kahler manifolds with C 1 >0, Invent. Math. 89 (1987), 225246. 11. S. T. Yau, On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex MongeAmpere equation I, Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), 339411.

File: 580J 282927 . By:CV . Date:07:07:07 . Time:08:51 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2539 Signs: 1931 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm