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Etude theorique au second ordre des probabilites de transition 2p53p → 2p53s dans le spectre de neon I
Volume 34A. number 5
PHYSICS LETTERS
variations of the director n. For that purpose we choose the lines of curvature as coordinate curves. In that case
k
1n, 1—a
22 March 1971
1
2
2 5F=2f(k S 1171 +k22~~ ) v’~d0l do The euler equations therefore read
(9)
2n, 1
k2=a
,
2
,
(6) k11
—o
k22—0
(10)
so that
2~(Sn), 2 (7) 5k1 = a’~(Sn), 1 Sk~= a Since Sn= ~ a~, where aa are the covariant base vectors of the cordinate system, we have SF =
2f{k s 1 a’ =
2.(~ ~ (~jaa),
2f{k S 1iii~1
2} ~‘~de1 do2
1 ÷k2a 2
+
.
(8)
k2?72 2} V~d0’do
Here a = det (acy~),a~yj3being the covariant tensor associated with the first fundamental form, and i~i 1 and 772J2 denote covariant derivatives. Integrating by parts and taking account of the boundary condition one gets
They thealong fact that each principal curvacurvature isexpress constant the corresponding ture line. This means that the curvature lines are circular arcs, a property characteristic of Dupin cyclides. It is easy to give a stability analysis along the lines indicated. This analysis, however, will be omitted here. We conclude that the focal conic texture can be explained in terms of a continuum theory for smectic liquid crystals by using the appropriate Oseen-Frank elastic free energy. This gives some confidence in the applicability of a continuum theory to this type of liquid crystals.
References [1] G.Firedel, Ann. de Physique 19 (1922) 273. [21 H. Sackmann and D. Demus, Molecular Cryst. 2 (1966) 81.
[3] P.G.de Gennes, J.de Physique 30C4 (1969) 65. [4J F. C. Frank, Discussion Faraday Soc. 25 (1958) 19.
ETUDE THEORIQUE AU SECOND ORDRE DES PROBABILITES DE TRANSITION 2p53p -. 2p53s DANS LE SPECTRE DE NEON I E. KOENIG Laboratoire Aimé Cotton, C.N.R.S. II, Orsay, Essonne, France Recu le 10 décembre 1970 Manuscrit rbvisb reçu le 16 fêvrier 1971
Second order calculations of transition probabilities for 2p53p’ 2p53s of NeT using two different expressions for the line strength are given: comparing the corresponding results to accurate measurements, we get an idea of the validity of the second order treatment and of the influence of the continuum.
Nous avons précédrment j~iontré,dans le cas des transitions 2p 3p —. 2p 3s du spectre de Nel, comment pouvait être améliorée la determination théorique des durées de vie et des probabilités de transition, grace aux progrès rbalisés dans la théorie gdnérale de la structure atomique [1]. En particulier, nous avions introduit partiellement les effets du second ordre en utilisant le formalisme des opérateurs effectifs; 284
cependant, la validité de ce traitement n’avait Pu être apprdcide que par la comparaison entre les valeurs théoriques et expérimentales des durêes de vie des niveaux 2p53p [2]. Or récemment la situation s’est modifiée, puisque Bridges et Wiese ont présenté des ipesures des probabilités de transition 2p53p 2p°3s [3] assez précises pour nous permettre de juger de l’influence de ces corrections du second ordre. Par ailleurs,
Volume 34A, number 5
PHYSICS
LETTERS
22 March 1971
53p—‘ 2p53s de Nel
Probabilitbs de transition 2~ (x i06 S~ Transitions notation de Paschen)
Experience [3]
Thborie Ar
Av
ordre 1
ordre 2
ordre 1
ordre 2
506
51.5
57.39
53.99
50.71
54.09
18.0
17.8
18.49
17.20
16.00
17.16
29.8
29.5
33.38
31.96
30.46
32.09
S 4
3.21
3.17
3.15
3.35
3.49
3.35
28.5 4.24
28.8 4.27
32.55 4.53
29.38 4.24
26.48 3.88
28.82 4.08
17.4 11.2
17.6 11.3
19.16 13.39
19.66 11.67
19.84 10.20
19.69 11.29
4
17.9
18.0
20.87
18.62
16.72
18.42
55
23.1 25.3
23.1 27.0
24.96 28.42
24.67 28.51
24.00 30.30
24.77 31.29
10.0
10.7
P6~5 S4
55 P4~S
P1O
10.64
10.91
12.04
12.26
0.12 2.42
0.13 2.58
0.12 2.61
0.13 2.72
0.17 3.11
0.17 3.15
6.01 31.6
6.02 31.6
7.08 36.25
6.46 34.04
5.90 31.85
6.38 33.90
83
1.96 10.6
1.95 10.6
2.07 11.54
2.15 11.06
2.20 10.18
2.14 11.22
54
3.49 0.70
3.41 0.68
3.71 0.68
3.25 0.62
2.85 0.55
3.15 0.55
52
21.7
21.2
24.31
24.12
23.64
24.06
25.4 10.2 5.12 22.5
24.9 10.4 5.23 23.0
27.43 13.20 6.58 24.02
25.25 11.43 5.75 23.41
23.22 9.84 5.15 22.55
25.03 10.92 5.75 23.28
14.1
14.4
17.17
15.52
14.06
15.20
58.3
56.5
66.59
59.74
52.97
57.82
S 3
55 P2
84
83
0.34
0.33
0.40
0.30
0.38
0.47
0.90 70.6
0.88 68.6
0.75 74.45
0.87 72.40
0.47 54.98
0.43 56.79
2.87
1.42
3.32
3.03
3.05
1.48
2.83
2.58
285
Volume 34A, numbers
PHYSICS
ces mesures sont susceptibles de nous fournir un test, quant a l’expression choisie pour la force de raie. En effet, ‘I’ et $‘ étant des fonctions d’on~eapprochdes, les deux formes S~= 2v2)(~I’lI V - qui sont rik”) etpour S~=(~iir equivalentes les fonctions propres de l’atome - conduisent a des résultats plus ou moms différents, et leur comparaison permet d’évaluer la precision de nos calculs; (i.’ est la fréquence de la transition étudiée). Nos divers résultats sont présentés dans le tableau. Les résultats expérimentaux [3] I et H
J~$’)~
(~‘jl
different par le mode de normalisation permettant de passer des valeurs relatives - attejntes expérimentalement - aux valeursabsolues. Les calculs sont effectués au ler et 2ieme ordre * p0h11’ Sr et S~et prdsentent des eqm ~A1 et ~A11 avec les résultats I et II. Au premier ordre, Sr et S~conduisent a des résultats equivalents et ne permettent pas de différencier les rdsultats I et II; mais la précision des calculs effectués est suffisante pour permettre un calcul au second ordre. Dans l’étude du second ordre, ii faut étudier deux points: Ia convergence de la série des ordres de perturbation et l’erreur dfte au fait que nous n’avons pas tenu compte de tous les états perturbateurs, et en particulier du continuum. Au second ordre Sr conduit a des résultats en parfait accord avec l’expérience, pour laquelle la precision est évaluée 5. 7%. On peut donc penser que la théorie des perturbations *
~
~
type 2p ni appartenant au spectre discret de Nel.
286
LETTERS
22 March 1971
converge et que l’influence du continuum est faible. II n’en est pas de même pour S~qui ne conduit qu’à un gain de 10% sur ~A. La contribution aux intdgrales radiales provient pour S~dudomaine oü rest grand, et pour S~des valeurs intermédiaires de r; or, les fonctions radlales sont déterminées a l’aide d’un critère portant sur l’énergie, c’est pourquol, a l’ordre un, S~conduit sans doute a de meilleurs résultats. Mais au second ordre, Sr devrait être meilleur, car dans S~s’introduit un facteur v 0/~’, (v0 est lie a l’dcart entre les configurations perturbatrice et perturbee), qui accorde un grand poids aux configurations três excitées. En conclusion, la qualité des rdsultats de Bridges et Wiese permet de montrer la validité de notre traitement théorique, en étudiant, non plus les durées de vie mais les probabilités de transition. Au premier ordre Sr et S~conduisent 5. des résultats equivalents; mais au second ordre, en ce qui concerne les probabilités de transition tout au moms, seul S~.donne des résultats en accord aussi bon que possible avec les données expérimentales actuelles.
Références [1] S. Feneuille, M.Klapisch, E.Koenig and S. Liber-
man, Physica 48 (1970) 571: E.Koenig, These de 3bme cycle, Paris (1970). [2] B. M. Glenno9 ~nd W. L. \yi~e~e, Bibliography on atomic transition probabilities (National Bureau of Standards Washington D.C. 1968). [3] J.M. Bridges and W. L. Wiese, PhyS. Rev. 2 (1970)
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variations of the director n. For that purpose we choose the lines of curvature as coordinate curves. In that case
k
1n, 1—a
22 March 1971
1
2
2 5F=2f(k S 1171 +k22~~ ) v’~d0l do The euler equations therefore read
(9)
2n, 1
k2=a
,
2
,
(6) k11
—o
k22—0
(10)
so that
2~(Sn), 2 (7) 5k1 = a’~(Sn), 1 Sk~= a Since Sn= ~ a~, where aa are the covariant base vectors of the cordinate system, we have SF =
2f{k s 1 a’ =
2.(~ ~ (~jaa),
2f{k S 1iii~1
2} ~‘~de1 do2
1 ÷k2a 2
+
.
(8)
k2?72 2} V~d0’do
Here a = det (acy~),a~yj3being the covariant tensor associated with the first fundamental form, and i~i 1 and 772J2 denote covariant derivatives. Integrating by parts and taking account of the boundary condition one gets
They thealong fact that each principal curvacurvature isexpress constant the corresponding ture line. This means that the curvature lines are circular arcs, a property characteristic of Dupin cyclides. It is easy to give a stability analysis along the lines indicated. This analysis, however, will be omitted here. We conclude that the focal conic texture can be explained in terms of a continuum theory for smectic liquid crystals by using the appropriate Oseen-Frank elastic free energy. This gives some confidence in the applicability of a continuum theory to this type of liquid crystals.
References [1] G.Firedel, Ann. de Physique 19 (1922) 273. [21 H. Sackmann and D. Demus, Molecular Cryst. 2 (1966) 81.
[3] P.G.de Gennes, J.de Physique 30C4 (1969) 65. [4J F. C. Frank, Discussion Faraday Soc. 25 (1958) 19.
ETUDE THEORIQUE AU SECOND ORDRE DES PROBABILITES DE TRANSITION 2p53p -. 2p53s DANS LE SPECTRE DE NEON I E. KOENIG Laboratoire Aimé Cotton, C.N.R.S. II, Orsay, Essonne, France Recu le 10 décembre 1970 Manuscrit rbvisb reçu le 16 fêvrier 1971
Second order calculations of transition probabilities for 2p53p’ 2p53s of NeT using two different expressions for the line strength are given: comparing the corresponding results to accurate measurements, we get an idea of the validity of the second order treatment and of the influence of the continuum.
Nous avons précédrment j~iontré,dans le cas des transitions 2p 3p —. 2p 3s du spectre de Nel, comment pouvait être améliorée la determination théorique des durées de vie et des probabilités de transition, grace aux progrès rbalisés dans la théorie gdnérale de la structure atomique [1]. En particulier, nous avions introduit partiellement les effets du second ordre en utilisant le formalisme des opérateurs effectifs; 284
cependant, la validité de ce traitement n’avait Pu être apprdcide que par la comparaison entre les valeurs théoriques et expérimentales des durêes de vie des niveaux 2p53p [2]. Or récemment la situation s’est modifiée, puisque Bridges et Wiese ont présenté des ipesures des probabilités de transition 2p53p 2p°3s [3] assez précises pour nous permettre de juger de l’influence de ces corrections du second ordre. Par ailleurs,
Volume 34A, number 5
PHYSICS
LETTERS
22 March 1971
53p—‘ 2p53s de Nel
Probabilitbs de transition 2~ (x i06 S~ Transitions notation de Paschen)
Experience [3]
Thborie Ar
Av
ordre 1
ordre 2
ordre 1
ordre 2
506
51.5
57.39
53.99
50.71
54.09
18.0
17.8
18.49
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29.8
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S 4
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28.5 4.24
28.8 4.27
32.55 4.53
29.38 4.24
26.48 3.88
28.82 4.08
17.4 11.2
17.6 11.3
19.16 13.39
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19.84 10.20
19.69 11.29
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23.1 27.0
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24.00 30.30
24.77 31.29
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25.4 10.2 5.12 22.5
24.9 10.4 5.23 23.0
27.43 13.20 6.58 24.02
25.25 11.43 5.75 23.41
23.22 9.84 5.15 22.55
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2.87
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3.32
3.03
3.05
1.48
2.83
2.58
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PHYSICS
ces mesures sont susceptibles de nous fournir un test, quant a l’expression choisie pour la force de raie. En effet, ‘I’ et $‘ étant des fonctions d’on~eapprochdes, les deux formes S~= 2v2)(~I’lI V - qui sont rik”) etpour S~=(~iir equivalentes les fonctions propres de l’atome - conduisent a des résultats plus ou moms différents, et leur comparaison permet d’évaluer la precision de nos calculs; (i.’ est la fréquence de la transition étudiée). Nos divers résultats sont présentés dans le tableau. Les résultats expérimentaux [3] I et H
J~$’)~
(~‘jl
different par le mode de normalisation permettant de passer des valeurs relatives - attejntes expérimentalement - aux valeursabsolues. Les calculs sont effectués au ler et 2ieme ordre * p0h11’ Sr et S~et prdsentent des eqm ~A1 et ~A11 avec les résultats I et II. Au premier ordre, Sr et S~conduisent a des résultats equivalents et ne permettent pas de différencier les rdsultats I et II; mais la précision des calculs effectués est suffisante pour permettre un calcul au second ordre. Dans l’étude du second ordre, ii faut étudier deux points: Ia convergence de la série des ordres de perturbation et l’erreur dfte au fait que nous n’avons pas tenu compte de tous les états perturbateurs, et en particulier du continuum. Au second ordre Sr conduit a des résultats en parfait accord avec l’expérience, pour laquelle la precision est évaluée 5. 7%. On peut donc penser que la théorie des perturbations *
~
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type 2p ni appartenant au spectre discret de Nel.
286
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22 March 1971
converge et que l’influence du continuum est faible. II n’en est pas de même pour S~qui ne conduit qu’à un gain de 10% sur ~A. La contribution aux intdgrales radiales provient pour S~dudomaine oü rest grand, et pour S~des valeurs intermédiaires de r; or, les fonctions radlales sont déterminées a l’aide d’un critère portant sur l’énergie, c’est pourquol, a l’ordre un, S~conduit sans doute a de meilleurs résultats. Mais au second ordre, Sr devrait être meilleur, car dans S~s’introduit un facteur v 0/~’, (v0 est lie a l’dcart entre les configurations perturbatrice et perturbee), qui accorde un grand poids aux configurations três excitées. En conclusion, la qualité des rdsultats de Bridges et Wiese permet de montrer la validité de notre traitement théorique, en étudiant, non plus les durées de vie mais les probabilités de transition. Au premier ordre Sr et S~conduisent 5. des résultats equivalents; mais au second ordre, en ce qui concerne les probabilités de transition tout au moms, seul S~.donne des résultats en accord aussi bon que possible avec les données expérimentales actuelles.
Références [1] S. Feneuille, M.Klapisch, E.Koenig and S. Liber-
man, Physica 48 (1970) 571: E.Koenig, These de 3bme cycle, Paris (1970). [2] B. M. Glenno9 ~nd W. L. \yi~e~e, Bibliography on atomic transition probabilities (National Bureau of Standards Washington D.C. 1968). [3] J.M. Bridges and W. L. Wiese, PhyS. Rev. 2 (1970)