- Email: [email protected]
Intuitionistische Differentieerbaarheid
MATHEMATICS
INTUITIONISTISCHE DIFFERENTIEERBAARHEID DOOR
L. E. J. BROUWER (Communicated at the meeting of April 24, 1954)
§ 1
Zij f'(x) een voile reeele functie van een onafhankelijk veranderlijke getalkern x van het intmtionistische continuum, P een wiilekeurig gekozen waarde van x. Een afgesloten interval van het intmtionistische continuum met van elkaar verwijderde eindkernen zullen we een substantieel interval noemen. Zij (! een onbepaald voortloopende, positief tot P convergeerende sequentie i 1 , i 2 , •••· van P bevattende substantieele intervallen en zij d. het · bij i. behoorende differentiequotient van f'(x). Indien een getalkern c kan worden geconstrueerd met de eigenschap dat het onmogelijk is de sequentie (! zoo te kiezen dat, voor een passend gekozen natuurlijk getal m, ld.-cl >2-m voor elke v, zuilen we zeggen dat f'(x) in x=P zwak differentieerbaar is en in x=P een zwak differentiaalquotient c bezit. Indien een getalkern c kan worden geconstrueerd met de eigenschap dat aan elk natuurlijk getal n een zoodanig natuurlijk getal m kan worden toegevoegd dat, voor elke (!en elke i., uit i.<2-m (d.w.z. de lengte van i. is kleiner dan 2-m) volgt ld.-cl
=
=
14
Series A
BIBLIOTHEEK
MATHEMATISCH AMSHRDAM
CENTRUM
202
gekozen. Dan sluit voor .F(x)
=
((x)-
L (.(x) 00
en P=O een eventueel
v~l
optreden van een (,(x) de mogelijkheid uit, de sequentie e zoo te kiezen dat, voor een passend gekozen natuurlijk getal m, ld.l >2-m voor elke v. Derhalve volgt uit de wegens de nietcontradictoriteit van het oordeelbaar blijken van tX vaststaande nietcontradictoriteit van het optreden van een (,(x) de nietcontradictoriteit der onmogelijkheid d.w.z. de onmogelijkheid, de sequentie (! zoo te kiezen dat, voor een passend gekozen natuurlijk getal m, Id. I> 2-m voor elke v. Zoodat ((x) in x = 0 zwak differentieerbaar is en in x = 0 een zwak di fferentiaalquotient 0 bezit. Doch indien ((x) in X= 0 een sterk differentiaalquotient 0 bezat, zou dit de bekendheid van een zoodanig natuurlijk getal m met zich meebrengen dat ((x) voor substantieele intervailen met X= 0 als een der eindpunten en kleiner dan 2-m, differentiequotienten
entieerbaar is.
§ 2 Naar vroeger is gebleken, kan de door de klassieke functietheorie voor elke voile monotone reeele functie van het afgesloten eenheidscontinuum gepostuleerde meetbare kernsoort met inhoud l, waarin de functie differentieerbaar zou moeten zijn, voor het intu!tionistische eenheidscontinuum K slechts in speciale gevallen worden geconstrueerd. Op grond van § l doet zich nu bij elke zoodanige constructie de vraag voor, of de voor de betrokken kernsoort afgeleide differentieerbaarheid sterk of zwak is. Deze vraag willen we hier onder de oogen zien voor het p. Ill behandelde geval der Wis- en Natuurkundig Tijdschrift II, p. 5 ingevoerde functie g(x). Wat p. Ill uit de constructie van den deelwaaier w' van w voor een willekeurige getalkern P van dezen deelwaaier volgt, is dit: Zoodra een kritiek interval i(f) optreedt, kan een natuurlijk getal l worden berekend met de eigenschap d;,:,t de afstand van P tot i(f) grooter is dan 2- 1• Zoodat, indien we ondersteilen dat voor P in de terminologie van § l een zoodanige sequentie (! en een zoodanig natuurlijk getal m kunnen worden gekozen dat ld.-11 >2-m voor elke v, geen kritiek interval zou kunnen optreden, d.w.z. g(x) _ x zou zijn, hetgeen met de onderstelling onvereenigbaar is. De hiermee gebleken contradictoriteit van genoemde onderstelling drukt echter niet meer uit, dan dat g(x) in x=P zwak differentieerbaar is en een zwak differentiaalquotient l bezit. Beschouwen we thans echter den deelwaaier w" van w, die uit w wordt verkregen door, als i(f) een k<•> is en j(f) het i(f) .zoo centraal mogelijk omhullende J.< 3•+Il_interval (met dien verstande dat bij ambigu!teit van dit kenmerk van de beide in aanmerking komende intervallen het meest rechts gelegene gekozen wordt), uit de soort der voor de knoopen van w toegelaten constituenten aile binnenin j(f) gelegen .1.-intervallen die even lang zijn als i(f), weg te laten.
203
Een willekeurige getalkern P van w" heeft van een eventueel i(f}, dat een k<•> is, ~en afstand > 2- 3•+2, heeft dus van een tot dit i(f) behoorende getalkern Q eveneens een afstand > 2- 3•+ 2 , zoodat het bij het interval PQ behoorende differentiequotient van g(x} minder dan 2-•- 4 n- 1 van l moet verschillen. Derhalve heeft P van een tot een eventueel i(f), dat grooter is dan een k<•>, behoorende getalkern Q, eveneens een afstand > 2- 3•+ 2 , en moet het bij het door P en een tot een eventueel i(f), dat kleiner is dan een k<•>, behoorende getalkern Q.begrensde interval behoorende differentiequotient van g(x) eveneens minder dan 2-•- 4 n- 1 van l verschillen. Hieruit volgt ten eerste dat aan ieder natuurlijk getal r een zoodanig natuurlijk getal q kan worden toegevoegd, dat als een door een getalkern P van w" en een van P verwijderd liggende getalkern van K begrensd interval de eigenschap bezit, dat een eventueel i(f) Of van dit interval verwijderd ligt Of< 2- 11 is, het bij dit interval behoorende differentiequotient van g(x) minder dan 2-r van l verschilt; ten tweede dat aan ieder natuurlijk getal q een zoodanig natuurlijk getal p kan worden toegevoegd, dat als een door een getalkern P van w" en een van P verwijderd liggende getalkern van K begrensd interval < 2- 11 is, een eventueel i(f) Of van dit interval verwijderd ligt Of< 2- 11 is. Dientengevolge bezit g(x) in x=P een sterk differentiaalquotient l, immers zoowel een ,voorwaartsch" als een ,achterwaartsch" sterk differentiaalquotient l. Op dezelfde wijze als p. Ill door middel van w' voor ieder natuurlijk getal n een tot K behoorende meetbare kernsoort Sn met inhoud > l-2- 411 kon worden aangegeven, waarbinnen g(x) overal zwak differentieerbaar is, geeft thans w" voor ieder natuurlijk getal n aanleiding tot een meetbare kernsoort un met inhoud > l-2- 3n, waarbinnen g(x) overal sterk differentieerbaar is, waarna ten slotte de vereeniging van de onbepaald voortloopende reeks der U. een tot K behoorende meetbare kernsoort met inhoud l oplevert, waarbinnen g(x) overal een sterk differentiaalquotient 1 bezit.
INTUITIONISTISCHE DIFFERENTIEERBAARHEID DOOR
L. E. J. BROUWER (Communicated at the meeting of April 24, 1954)
§ 1
Zij f'(x) een voile reeele functie van een onafhankelijk veranderlijke getalkern x van het intmtionistische continuum, P een wiilekeurig gekozen waarde van x. Een afgesloten interval van het intmtionistische continuum met van elkaar verwijderde eindkernen zullen we een substantieel interval noemen. Zij (! een onbepaald voortloopende, positief tot P convergeerende sequentie i 1 , i 2 , •••· van P bevattende substantieele intervallen en zij d. het · bij i. behoorende differentiequotient van f'(x). Indien een getalkern c kan worden geconstrueerd met de eigenschap dat het onmogelijk is de sequentie (! zoo te kiezen dat, voor een passend gekozen natuurlijk getal m, ld.-cl >2-m voor elke v, zuilen we zeggen dat f'(x) in x=P zwak differentieerbaar is en in x=P een zwak differentiaalquotient c bezit. Indien een getalkern c kan worden geconstrueerd met de eigenschap dat aan elk natuurlijk getal n een zoodanig natuurlijk getal m kan worden toegevoegd dat, voor elke (!en elke i., uit i.<2-m (d.w.z. de lengte van i. is kleiner dan 2-m) volgt ld.-cl
=
=
14
Series A
BIBLIOTHEEK
MATHEMATISCH AMSHRDAM
CENTRUM
202
gekozen. Dan sluit voor .F(x)
=
((x)-
L (.(x) 00
en P=O een eventueel
v~l
optreden van een (,(x) de mogelijkheid uit, de sequentie e zoo te kiezen dat, voor een passend gekozen natuurlijk getal m, ld.l >2-m voor elke v. Derhalve volgt uit de wegens de nietcontradictoriteit van het oordeelbaar blijken van tX vaststaande nietcontradictoriteit van het optreden van een (,(x) de nietcontradictoriteit der onmogelijkheid d.w.z. de onmogelijkheid, de sequentie (! zoo te kiezen dat, voor een passend gekozen natuurlijk getal m, Id. I> 2-m voor elke v. Zoodat ((x) in x = 0 zwak differentieerbaar is en in x = 0 een zwak di fferentiaalquotient 0 bezit. Doch indien ((x) in X= 0 een sterk differentiaalquotient 0 bezat, zou dit de bekendheid van een zoodanig natuurlijk getal m met zich meebrengen dat ((x) voor substantieele intervailen met X= 0 als een der eindpunten en kleiner dan 2-m, differentiequotienten
entieerbaar is.
§ 2 Naar vroeger is gebleken, kan de door de klassieke functietheorie voor elke voile monotone reeele functie van het afgesloten eenheidscontinuum gepostuleerde meetbare kernsoort met inhoud l, waarin de functie differentieerbaar zou moeten zijn, voor het intu!tionistische eenheidscontinuum K slechts in speciale gevallen worden geconstrueerd. Op grond van § l doet zich nu bij elke zoodanige constructie de vraag voor, of de voor de betrokken kernsoort afgeleide differentieerbaarheid sterk of zwak is. Deze vraag willen we hier onder de oogen zien voor het p. Ill behandelde geval der Wis- en Natuurkundig Tijdschrift II, p. 5 ingevoerde functie g(x). Wat p. Ill uit de constructie van den deelwaaier w' van w voor een willekeurige getalkern P van dezen deelwaaier volgt, is dit: Zoodra een kritiek interval i(f) optreedt, kan een natuurlijk getal l worden berekend met de eigenschap d;,:,t de afstand van P tot i(f) grooter is dan 2- 1• Zoodat, indien we ondersteilen dat voor P in de terminologie van § l een zoodanige sequentie (! en een zoodanig natuurlijk getal m kunnen worden gekozen dat ld.-11 >2-m voor elke v, geen kritiek interval zou kunnen optreden, d.w.z. g(x) _ x zou zijn, hetgeen met de onderstelling onvereenigbaar is. De hiermee gebleken contradictoriteit van genoemde onderstelling drukt echter niet meer uit, dan dat g(x) in x=P zwak differentieerbaar is en een zwak differentiaalquotient l bezit. Beschouwen we thans echter den deelwaaier w" van w, die uit w wordt verkregen door, als i(f) een k<•> is en j(f) het i(f) .zoo centraal mogelijk omhullende J.< 3•+Il_interval (met dien verstande dat bij ambigu!teit van dit kenmerk van de beide in aanmerking komende intervallen het meest rechts gelegene gekozen wordt), uit de soort der voor de knoopen van w toegelaten constituenten aile binnenin j(f) gelegen .1.-intervallen die even lang zijn als i(f), weg te laten.
203
Een willekeurige getalkern P van w" heeft van een eventueel i(f}, dat een k<•> is, ~en afstand > 2- 3•+2, heeft dus van een tot dit i(f) behoorende getalkern Q eveneens een afstand > 2- 3•+ 2 , zoodat het bij het interval PQ behoorende differentiequotient van g(x} minder dan 2-•- 4 n- 1 van l moet verschillen. Derhalve heeft P van een tot een eventueel i(f), dat grooter is dan een k<•>, behoorende getalkern Q, eveneens een afstand > 2- 3•+ 2 , en moet het bij het door P en een tot een eventueel i(f), dat kleiner is dan een k<•>, behoorende getalkern Q.begrensde interval behoorende differentiequotient van g(x) eveneens minder dan 2-•- 4 n- 1 van l verschillen. Hieruit volgt ten eerste dat aan ieder natuurlijk getal r een zoodanig natuurlijk getal q kan worden toegevoegd, dat als een door een getalkern P van w" en een van P verwijderd liggende getalkern van K begrensd interval de eigenschap bezit, dat een eventueel i(f) Of van dit interval verwijderd ligt Of< 2- 11 is, het bij dit interval behoorende differentiequotient van g(x) minder dan 2-r van l verschilt; ten tweede dat aan ieder natuurlijk getal q een zoodanig natuurlijk getal p kan worden toegevoegd, dat als een door een getalkern P van w" en een van P verwijderd liggende getalkern van K begrensd interval < 2- 11 is, een eventueel i(f) Of van dit interval verwijderd ligt Of< 2- 11 is. Dientengevolge bezit g(x) in x=P een sterk differentiaalquotient l, immers zoowel een ,voorwaartsch" als een ,achterwaartsch" sterk differentiaalquotient l. Op dezelfde wijze als p. Ill door middel van w' voor ieder natuurlijk getal n een tot K behoorende meetbare kernsoort Sn met inhoud > l-2- 411 kon worden aangegeven, waarbinnen g(x) overal zwak differentieerbaar is, geeft thans w" voor ieder natuurlijk getal n aanleiding tot een meetbare kernsoort un met inhoud > l-2- 3n, waarbinnen g(x) overal sterk differentieerbaar is, waarna ten slotte de vereeniging van de onbepaald voortloopende reeks der U. een tot K behoorende meetbare kernsoort met inhoud l oplevert, waarbinnen g(x) overal een sterk differentiaalquotient 1 bezit.