Formalistische Betrachtungen Über Intuitionistische Und Verwandte Logische Systeme. VII

MATHEMATICAL LOGIC

FORMALISTISCHE BETRACHTUNGEN DBER INTUITIONISTISCHE UND VERWANDTE LOGISCHE SYSTEME. VII VON

J. RIDDER (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER at the meeting of May 26, 1951)

Anhang

Anwendung eines ersten GODELschen Interpretationsverfahrens 107) § 51. (Der A ussagenkalkiil Aibl ). Dieser entsteht durch Einschrankung der in § 44 dem System Al (§ I) hinzugefiigten Axiome; Aibl gehe aus Al dadurch hervor, dass man nur die Axiome aI' PI' Yl und das Schlussschema L1 hinzufllgt. Durch folgende Ubersetzung der Grundbegriffe von Al in Aibl :

X in X, v in v,

~

C

~

in

N~

C N~

(~=.;t:

v),

~Cv

in N~Cv,

~.~

in

~.~,

wobei ~ und ~ schon gemiiss dieser Tabelle aus ~ bzw. ~ hervorgegangen sein sollen 108), werden die Axiome und Schlussschemata von Al zu in Aibl ableitbaren Siitzen und -Schemata; Al ist innerhalb Aibl interpretierbm' 109).

Beweis. Ax. Ia von AI: X C X wird gedeutet: NX C NX (folgt in Aibl aus Ax. I a u. Regel E). Sch. I fJ von AI:

5a:C18

18C@:

5a:C@:

.

wlrd gedeutet:

-

-

N5a:CN18

-

-

N18CN@:

N2l:C Nii

(folgt in Aibl aus Sch. IfJ). Ax. 2a von AI: (X. Y) C X; (X. Y) C Y wird gedeutet: N(X. Y) CNX; N(X· Y) C NY. [Ableitung in Aibl : (Satz A) 110) N(X. Y) C (NX. NY) C CNX].

h 2fJ von A 1: 5a: C 18 Sc.

5a: C @: 5a:C(18· @:)

[Ableitung in Aibl : (Sch. 2fJ)

-

N~

- N5a:- C N@:-

• dgedeutet : N5a: C N18

WIr

C

N2l:CN(~.

[N~.

N[] C (Satz B) 110)

Ii)

N(~.

[)].

107) Siehe K. GODEL, Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkiils in: Ergebnisse e. math. Koll. herausgegeben von K. MENGER, Heft 4, S. 39 u. 40 (1933); auch A. KOLMOGOROFF, Zur Deutung der intuitionistischen Logik. Math. Ztschr. 35, 58-65 (1932). 108) Beispiel: [{(ACB).O}CD]C{E. (FCG)) geht tiber in N[N{(NACNB).O} CND]CN{E. (NFCNG)}. 109) Deutung von NX innerhalb Aibl: "X ist beweisbar". 110) In den Beweisen der Satze A u. B werden nur das modale Schema LI und das modale Axioma P1 benutzt. Sie gelten somit auch in Aibl •

227 Ax. 3° von AI: X C v wird gedeutet: NX C v (folgt in Aib) aus Ax. 3°). h E 0 von A I: 2lC(5BC@:) i'It Sc. (2l·5B)C@: r-J

-. dgedeutet : --=--=---=--'N2lCN(N5BCN@:) It ...

WIr

,.....

N(ir. ~)CN&;

/'"OJ

,....,,....,

[Ableitung in Aib): N2r C N (N58 C N[) C (Ax. a1 ) (N58 C N[); (Sch. Eo) (Nm. N~) C N[; (Satz A) N(2r. 58) C N(£;. Umgekehrt: N(2r. 58) C N[; (Satz

B) (Nm. N~) CN(£;; Sch. Eo: Nm C (N§ C N[); Sch. ,1, Satz 12: v C N[Nm C ,....,

,....,

-

C (N58 C N[)]; Ax.

/31'

,....,,....,

,....,

Sch. Ill: v C [N(N2r) C N(N58 C N[)]; Satz 12, Ax.

--

Y1> Sch. Ill: N2r C N (N58 C N[)J.

Schliesslich liefert Deutung von Schema E in Aib) ein in Aib) aus Regel E folgendes Schema.

§ 52. (Der Aussagenkalkul A~b)). A~b) entsteht aus A2 (§ 3) durch H inzutUgung der Axiome aI' /31' Y1 und des Schemas ,1. Durch die in § 51 gegebene Ubersetzung von GrundbegriOen, ergiinzt mit der Ubersetzung von 2r

+ 58

- + N58,-

in N2r

werden die Axiome und Schlussschemata von A2 zu in A~b) ableitbaren Siitzen und -Schemata; A2 ist innerhalb A~b) interpretierbar 109). Beweis. Es wird genugen die Deutung des Axioms 4a und des Schemas 41l zu verifizieren. 4a : X C (X + Y), Y C (X + Y) wird gedeutet: NX C N (NX + NY), NY C N (NX + NY). [Abl. in A~b): (Ax. 4a , Satz 12) v C {NX C (NX + + NY)}; (Sch. ,1) v C N {NX C (NX + NY)}; (Ax. /31> Sch. Ill) 'IIC{N(NX)CN (NX + NY)}; (Ax. Y1' Satz 12, Sch. Ill) NX C N(NX + NY)]. 41l : 2lC@:

5BC@:

(2l+5B)C@:

[Abl. in

A~b):

. ddt t

WIr

ge eu e

.....

!

-

N2lCN@:

N(Nir+N~)CN&;

.

- -

-

(Sch. 41l, Satz 12, Sch. ,1) v C N [(N2r + N58) C N[]; (Ax.

Sch. Ill, Satz 12) N(N2{ + N§) C N(N(£;); (Ax. C N[]

.....

.....

N5BCN@:

aI'

/31'

Sch. Ill) N(Nm + N~) C

nObis).

§ 53. (Der Aussagenkalkul M(b)). M(b) entsteht aus M (§ 6) durch Hinzutugung der Axiome aI' /31' Y1' und des Schemas ,1. Durch die in §§ 52 u. 51 gegebenen Ubersetzungen von GrundbegriOen, ergiinzt durch die Ubersetzungen von

-

-

2r C II. in N2r C 11., und von 2r' in (N2r)" nObis) A~b). ebenso wie A 2 • hat die distributive Eigenschaft (Satz 25) [(X + Y). Z] = [(X. Z) + (y. Z)]. Dagegen folgt aus der in § 45 fiir A~m) (und A~b) g~gebenen Realisierung, dass in A~b) nicht [(NX + NY). Z] = [N(X. Z) + N(Y. Z)] ist.

228

werden die Axiome und Schlussschemata von M zu in M(b) ableitbaren Siitzen und Schemata; Mist innerhalb M(b) interpretierbar 109). Beweis. Hier gentigt die Verifikation der Deutungen der Axiome 6a und 6 P• 6a : (X C A) C X' wird gedeutet: N(NX C A) C N[(NX)']. [Abl. in 11f!b): (Ax. 6a ) [NX C A] C (NX)'; (Satz 12, Sch. L1) v C N{[NX C C A] C (NX)'); (Ax. PI' Sch. 1P, Satz 12) N(NX C A) C N[(NX)']]. 6P: X' C (X C A) wird gedeutet: N[(NX)'] C N(NX C A). [Abl. in M(b): (Ax. 6P) (NX)' C (NX C A); (Satz 12, Sch. L1) v C N[(NX)' C C (NX C A)]; (Ax. PI' Sch. 1P, Satz 12). N[(NX)'] C N(NX C A)].

§ 54,. (Der Aussagenkalktil Pbl). lIb) entsteht aus 1 (§ 7) durch Hinzutugung der Axiome a v PI' Yl und des Schemas L1. Durch die in §§ 53, 52, 51 gegebenen Ubersetzungen von GrundbegriOen, erweitert mit der Ubersetzung von A C 2l in A C N2l, werden die Axiome und Schlussschemata von 1 zu in Pb) ableitbaren Siitzen und Schemata; list - in Erganzung von GODEL, loco cit. 107) - schon in JIb) interpretierbar 109). Beweis. Wir haben nur die Deutung von Ax. 5°: A C X zu beachten, welche ist A C NX, eine unmittelbare Folge von Ax. 5° und Regel E in lIb). § 55. Die Hinzufiigung der Axiome aI' PI' YI und des Schemas L1 zum System ftir K (§ 8) gentigt nicht, unter Anwendung der in den §§ 51-54 gegebenen Ubersetzungen, Axiom 7° in einen ableitbaren Satz zu transformieren. Ax. 7°: v C (X + X') geht tiber in Nv C N(NX + N(NX),), oder, was auf dasselbe hinauskommt, v C N(NX + N:(NX)'). Das in §§ 45, 46 gegebene Beispiel andern wir in folgender Weise abo NX[N2l] sei als "Wert" M zugeordnet, falls M "Wert" von X [von 2l] ist; der "Wert" von NX[N2l] sei derselbe als der von X [von 2l], falls letzterer {aV a 2} ist; sonst sei der "Wert" von NX[N2l] die leere Menge. Uber MX[M2l] werden keine Verabredungen gemacht. Alle Axiome von K und die Axiome aI' PI' YI haben immei' den "Wert" M, wahrend die Schlussschemata von K und Schema L1 von Kalkiilformeln mit jener Eigenschaft zu Kalkiilformeln mit derselben Eigenschaft ftihren. Somit ist v C N(NX + N(NX)') nicht ableitbar; denn hat X den "Wert" {~, a 2}, so hat auch diese Implikation den "Wert" {aI' a 2} 111). 111) Das Beispiel von §§ 45, 46 (siehe Fussn. 96 bls ) liefert eine Realisation eines besonderen Falles von N (X + Y) C (NX + NY), und zwar von N (NX + (NX)') C [N(NX) + N(NX)']. Unter Annahme dieser Implikation ist in K, vermehrt mit aI' PI' 1'1' .1, die Transformierte l' C N (NX + N(NX)') ableitbar. Auch diese Formel ist somit in diesem Beispiel realisierbar.

229 (Der Aussagenkalkiil K(b)). K(b) entsteht aus K durch Hinzufugung der Axiome av /3v Yv des Schemas LI und des Axioms (). N(X + Y) C (NX + NY). Durch die in §§ 51-54 gegebenen Ubersetzungen von Grundbegritfen werden die Axiome und Scklussschemata von K zu in K(b) ableitbaren Siitzen und Schemata; Kist in K(b) interpretierbar 109). Beweis. Es geniigt die Ableitung des Transformierten von Axiom 7° zu geben. Ax. 7°: v C [NX + (NX)']; Sch. LI: v C N[NX + (NX)']; Ax. (): N[NX + (NX)'J C [N(NX) + N(NX)'J; Ax. av 4a , Sch. 41i: [N(NX) + N (NX)'J C [NX + N(NX)']; Sch. Iii, Sch. LI: v C N[NX + N(NX)'J. Raben wir eine Menge M von nicht notwendig drei Elementen, und wahlen wir die Bewertung fiir die Kalkiilformeln ohne N in analoger Weise wie in §§ 45 und 46, so ist es immer moglich fiir die Formeln mit N eine und nur eine Bewertung anzugeben, welche zu einer Realisation des Kalkiils K(b) fiihrt. Die Anwesenheit des Axioms al und des Schemas LI zeigt, dass NA und A gleichzeitig die "Werte" 0 und M haben miissen; wegen Ax. al und Ax. () (mit X' statt Y) muss ein "Wert" T von A mit demselben "Werte" fiir NA zusammengehen. av LI und () legen somit die Bewertungen fur N unzweideutig fest.

§ 56. (Der Pradikatenkalkiil Pib)). Pib) entsteht aus PI (§ 15) und Aib) (§ 51) durch Hinzufugung des Schemas r l (§ 49). Durch die in § 51 gegebenen Ubersetzungen und die ~

~

von F(a) in F(a), von (x)F(x) in (x)F(x), wobei F schon gemiiss diesen Ubersetzungen aus F hervorgegangen sein soll, werden die Axiome und Schlussschemata von PI zu in Pib) ableitbaren Siitzen und -Schemata; PI ist innerhalb Pt) interpretierbar 109).

Es geniigt abzuleiten die tJbersetzung von Ax. sa: N(x)F(x) C - ~() C NF a ,und d·Ie d es S ch emas Sli : Nm:CNF(a,) (in_ m: kommt _ a, nicht vorl . Beweis.

Nm:CN(x)F(x)

Ax. sa, Satz 12: v C [(x)F(x) C F(a)]; Sch. LI, Ax. /3v Sch. Iii, Satz 12: ~

~

N(x)F(x) C NF(a). ('OJ

('OJ

N2{CNF(a); Sch.

rl :

i'"'W.-..J

N2{CN(x)NF(x); Satz F (§ 49): (x)NF(x)C

C N(x)F(x); Ax. aI' Sch. iii: N(x)NF(x) C N(x)F(x); Sch.lli: N§i C N(x)F(x).

§ 57. (Der Pradikatenkalkiil P~b)). P~) entstekt aus P 2 (§ 15) und A~b) (§ 52) durch Hinzufugung der Schemata r l und rio

S h C

ema

r*

NF(a,)

1·

ri

C m: (m: enthiilt a, nicht) 112) N(E'x)F(x) C m: .

112) Deutung von in P&b): "Folgt m: aus der Beweisbarkeit von F(a,), so folgt m: auch aus der Beweisbarkeit von F fUr ein einzelnes x". 16 Series A

230

Satz J. (Ex)NF(x) C N(Ex)F(x). Satz K. N(Ex)F(x) C (Ex)NF(x). Durch die in §§ 51, 52 u. 56 gegebenen Ubersetzungen und die von (Ex)F(x) in (Ex)NF(x) werden die Axiome und Schlussschemata von P 2 zu in und -Schemata; P 2 ist innerhalb P~b) interpretierbar

-

Beweis.

-

P~b)

ableitbaren Satzen

109).

Wir haben hier zu verifizieren die Dbersetzung von Ax. 9 a :

NF(a) C N(Ex)NF(x), und die des Schemas NF(a)

-

9~:

C N2( (2( enthiilt a nicht)

-

-

C N2(

-

N(Ex)NF(x)

Ax. 9a , Satz 12: '/I C [NF(a) C (Ex)NF(x)]; Sch. LI, Ax. 12: N[NF(a)] C N(Ex)NF(x); Ax.

NF(a) C Nm:; Sch.

r::

rIo Sch. 1~:

PIo Sch.

1~,

Satz

NF(a) C N(Ex)NF(x).

N(Ex)NF(x) C Nm:.

§ 58. Die Pradikatenkalkule MP(b) , IP(b) und KP(b) haben bzw. die Axiome und Schlussschemata von MP und A~), von IP und A~), von KP und A~), jedesmal vermehrt mit den Schemata 1 und fur KP(b) ausserdem mit Axiom ~. Durch die in den §§ 51-54 gegebenen Ubersetzungen von Grundbegrifjen wird MP in MP(b) , IP in IP(b) , und KP in KP(b) interpretierbar. Dies folgt sofort aus den Resultaten der §§ 53-55, 57.

r

r:,

§ 59.

Duale Umsetzung der vorangehenden Betrachtungen fiihrt zu Kalkiilen, in welchen A~, Ai, M*, 1*, K*, P~, Pi, MP*, IP* und KP* interpretierbar werden. Mit Axiom ~ korrespondiert dabei Axiom ~*. (MX.MY)CM(X.Y), mit Schema 1 korrespondiert Schema 2 , mit Schema das Schema

r

r

r* 2'

r:

2( C MF(a) (2( enthiilt a nicht) 2( C M(x)F(x) •

Anwendung eines zweiten GODELSchen Interpretationsverfahrens § 60. Die Klasse der affirmativen Theoreme des Kalkiils Al [A 2] fallt zusammen mit der Klasse der Theoreme ableitbar in dem System A~ [A;], welches aus Al [A 2 ] hervorgeht durch Voranstellung von '/I C in den Axiomen und· den Anfangs- und Endformeln der Schlussschemata und der Einsetzungsregel; nur soIl Axiom 3° in beiden Formen: X C '/I und '/I C [X C '/I] zugelassen werden, wobei Regel E auch auf X C'/I anwendbar bleibe; ausserdem sei hinzugefiigt Abtrennungsregel A, wie im Satz 11 formuliert 113).

231 Die Klasse der affirmativen Theoreme des Kalkiils M falIt zusammen mit der Klasse der aft'. Theoreme ableitbar in dem System M welches aus A; hervorgeht durch Hinzufiigung des Axioms 4. 11 (§ 5) und von O,

Axiom

()o.

v C [(X'. XI') C A]; v C [A C (X': X")]

(vergl. §§ 6 U. 6bis ). Die Klasse der aft'. Theoreme des Kalkiils I falIt zusammen mit der Klasse der aft'. Theoreme ableitbar in dem System r, welches aus MO hervorgeht durch Hinzufiigung des mit Ax. 5° korrespondierenden Axioms v C [A C X] (vergl. §§ 7 U. 7bis ) 114). Die Klasse der aft'. Theoreme des Kalkiils K falIt zusammen mit der Klasse der aft'. Theoreme ableitbar in dem System KO, welches aus JO hervorgeht durch Hinzufiigung des Axioms 7°: v C (X + X'); der Teil X C v von Ax. 3° kann nun fortbleiben 115) 116).

§ 60bls • 1st v C 2.(' ein Theorem des Kalkuls K (§ 8), so auch von I (§ 7bls ). Der Beweis folgt die gleichen Linien wie der des GLIVENKoschen Resultates, nach welchem ein Theorem v C 2.(' des klassischen Aussagenkalkiils (KOO) auch Theorem des intuitionistischen Aussagenkalkiils ist 117). 113) Nennen wir Q1 [Q2] die Klasse der affirmativen Theoreme in Al [A 2], Q~ [Q;] die der affirmativen Theoreme von A~ [A;], so ist die Inklusion Q~ C Q1 [Q; C Q2] .evident. Jede Ableitung eines Theorems '/I C 2( in Al [A 2] fiihrt durch VoransteHung von '/I C vor aHe in der Ableitung auftretenden Satze zu einer in A~ [A;] gultigen Ableitung von '/I C ['/I C 2(]. Nun liefern Ax. 3° [X C '/I] und Regel E in A~ [A;]: '/I C '/I. Darauf fiihrt Regel A zu: '/I C 2(. Die Klassen Q1 und Q~ [Q2 und Q;] fallen zusammen. - Vergl. § I, Bem. III u. § 3, Bem. A. 114) Das System ]0 ist aequivalent mit dem HEYTINGSchen System fiir den intuitionistischen Aussagenkalkiil erweitert mit Ax. 3° [X C '/I U. '/I C (X C '/I)], Ax. 6° ['/I C [(X'. XH) C A]; '/I C [A C (X'. XH)]] und Ax. 5° ['/I C (A C X)]; der zweite Teil von Ax. 6° ist nun natiirlich uberfiussig, und kann somit fortgelassen werden. 115) 1st '/I C 2( ein aff. Theorem. von K, so wird ihre Ableitung in K zu einer Ableitung von '/I C ['/I C 2(] in KO durch VoransteHung von '/I C vor aHe in der ursprunglichen Ableitung auftretenden Satze. [Ableitung von '/I C ['/I C (X +X')] in KO: (Ax.2 a , Regel E) '/I C [{(X +X'). '/I} C (X +X')]; (Sch. Eo) '/I C [(X +X')C{'/IC(X + + X')}] ; (Ax. 7°, Regel A) '/I C {'/I C (X + X'))]. Mit '/I C '/I liefert Abtrennungsregel A '/I C 2(. [Ableitung von '/I C '/I in KO: (Ax. 3° (mit vorangehendem '/I C), Regel E) '/I C [(X + X') C '/I]; (Ax. 7°) '/I C (X + X'); (Regel A) '/I C '/I]. 116) Jedes im KalkUl K (§ 8) ableitbare Theorem, welches A nicht und '/I nur am Anfang ('/I C) enthiilt, ist auch im engeren klassischen Aussagenkalkul KOO (aus dem HEYTINGSchen intuitionistischen Aussagenkalkul durch Hinzufiigung von Axiom 7° hervorgehend) ableitbar; fur diese Theoreme fuhren beide KalkUle genau ebenso weit. Aus Fussn. 16 und § 7biB geht hervor, dass es genugt zu zeigen, dass der mit Axiom 7° korrespondierende Satz 'V C [(Xn C Xn) C (X + X')] in KOO ableitbar ist. Vergl. dazu Fussn. ll5. - In KOO gibt es die Theoreme '/I C [(2( C 58) C (2(' + 58)] und '/I C [(2(' + 58) C (2( C 58)]. Vergl. § 8 (mit Fussn. 40). 117) Fur den Beweis von GLIVENKO siehe loco cit. 50) u. 51). Beweisskizze fiir den Fall des Textes: Ein Theorem '/I C 2(' des Kalkiils Kist auch Theorem in KO. Mittels des GLIVENKoschen Verfahrens folgt, dass '/I C 2(' Theorem in ]0, und dadurch wieder in 1 ist.

232

§ 60ter • Durch Ubersetzung der BegritJe A', B CIO, B von K durch die

+ 0,

B. 0, A,

Y

A', (B.O')', (B' .0')', B.O, A,

Y

von I wird jedes atJirmative Theorem in K, wie aus § 60bis hervorgeht, zu einem atJirmativen Theorem in 1118). Durch diese Ubersetzung lasst sich jede aus einer Ableitung in K gemass Fussn. 115 hervorgehende, in KO giiltige Ableitung eines aff. Theorems Y C 2:( von K als Ableitung in r (und I) des zugehOrigen Theorems von I auffassen. § 61. Die in § 60 gegebenen Zusammenhange zwischen AI' A 2 , M, I, K und A~, A~, MO, r und KO bleiben erhalten, wenn man in der ersten Gruppe durch Hinzufiigung von Pradikatenaxiomata und -schemata zu den engeren Pradikatenkalkiilen PI' P 2 , MP, IP, KP (§ 15), in der zweiten Gruppe durch Hinzufiigung derselben Axiomata und Schemata, nun jedoch mit vorangesetztem Y C, zu den korrespondierenden Kalkiilen P~, P;, Mpo, Ipo, Kpo iibergeht. § 61bis. Durch die Ubersetzungen der BegritJe von K durch die von I wie in § 60ter , erweitert mit den Ubersetzungen der BegritJe von KP durch die

(x)F(x), (Ex)F(x) (x)F(x), [(x){ F(x)}']'

von IP, werden die atJirmativen Theoreme in KP, bei deren Herleitung Schlussschema sP (§ 15) nur Anwendung findet bei Kalkulformeln F(x), fur die F"(X) C F(x) ein Satz von IP ist (sogenannte stabile Kalkiilformeln), verwandelt in atJirmative Theoreme in IP 119). Beweis. Jedes affirmative Theorem von KP ist auch aff. Theorem von Kpo 120). Durch eine Ubersetzung gemass Fussn. 115, auch fiir die Pradikatenaxiome und -schemata, wird die Ableitung eines derartigen Theorems in KP zu einer Ableitung in Kpo. Durch die tJbersetzung der Begriffe von Kpo und KP in die von Ipo und IP bleiben diejenigen Teile einer Ableitung in Kpo ungeandert in Ipo (und somit auch in IP) giiltig, bei welchen nur die Axiome und 118) Die analoge Ubersetzung der Begriffe des klassischen Aussagenkalkiils in Begriffe des intuitionistischen findet man bei GODEL, loco cit. 6), S. 34. Siehe hier § 14. 119) Vergleiche denersten Absatz von § 16. Auch dort ist die Stabilitat vorauszusetzen. - Zu den in IP stabilen Kalkiilformeln gehoren A und p. Denn: P (Ax. 8) AC (X'. XH), somit (X'. XH)' C A'; AH C (X'. XH)H, (GLIVENKO, loco cit. 51)) X' und X Hsind stabil, (GODEL, loco cit. 6), S. 36, fJ) X'. X Hist stabil; also (X'. XH)H C (X' • XH), (Ax. 8) (X'. XH) C A, also (Schema I P) AHe A, 2° (Ax. 3° u. Regel E) pH C p. 120) Und umgekehrt. Vergl. Fussn. 113 u. 115, und § 61.

233 Schemata des Aussagenkalkiils angewandt werden, wie aus § 60 ter , letztem Absatz hervorgeht. Somit wird der Beweis geliefert sein, wenn wir dasselbe fiir die iibrigen Teile der Ableitung zeigen konnen. Es gibt hier vier Moglichkeiten: 10 Die Ubersetzung von Ax. 8a : v C [(x)F(x) C F(a)] von Kpo in Ipo liefert: v C [(x)F(x) ·{F(a)}'J'.

Dies ist ein Theorem in Ipo. Denn, nach (Formel 4. 9) ist

HEYTING,

loco cit. 3), S. 52

v C [{(x)F(x) C F(a)} C [(x)F(x)· {F(a)}'J'].

Dadurch liefert die Abtrennungsregel A (Satz 11): v C [(x)F(x)· {F(a)}'J'.

2° Die Ubersetzung von Ax. 9a: v C [F(a) C (Ex)F(x)] von Kpo in Ipo liefert: v C [F(a). {(Ex)F(x)}'J', oder v C [F(a). {(x)F'(x)}"]', ableitbar in Ipo wie folgt. N ach Ax. 8a und Regel E ist: v C [(x)F'(x) C F'(a)],

also auch:

v C [F"(a) C {(x)F'(x)}'J,

woraus folgt (vergl. 1°): v C [F"(a)· {(x)F'(x)}"]'.

Nach

GLIVENKO

ist

v C [F(a) C F" (a)], und dann: vC [{ F(a) . ((x)F'(x) )"}C {F" (a) . ((x)F'(x))")],

weiter:

v C [{F"(a). ((x)F'(x))"}' C {F(a). ((x)F'(x))"}'J.

Also, nach Regel A (Satz 11): v C {F(a). ((x)F'(x))"}'.

30

Schema 9P

v

C [F(a) C Il(] (Il( ohne a) wird bei Ubersetzung aus v C [(Ex)F(x) C Il(] v C (F(a) • Il(')' (Il( ohne 8,) v C [{(x)F'(x)}'. Il(']'

Die Ableitung des letzten Schemas in Ipo wird wie folgt: v

C (F(a). Il(')'

(Il( ohne a)

---=-:::::::-:-=-:=::-:-:-:-:-- [HEYTING,

v C [Il(' C F'(a)] v C [Il(' C (x)F'(x)]

(Sch. SP)

----::::--,-------- [HEYTING

v

C [Il('. {(x)F'(x)}']'

1. c. 3), S. 51 (Formel

4.52); u. Regel AJ (FormeI4. 9); u. Regel A ]

234 40

Schema

811 vC[2(CF(a)] (2( ohne a) v C [2( C (x)F(x)]

wird in 1po tibersetzt in:

vC[2(.F'(a)]' (~ohne a) v C [2( • {(x)F(x)}']'

Dies lasst sich in 1po ableiten: vC[2(.F'(a)]' (2( ohne a)

----=-::-::::c=--=-=-~:----- [HEYTING

v C [2( C F"(a)]

S h II (c. 8 )

vC[2(C(x)F"(x)]

____- - - - - - HEYTING

v C [2(. {(x)F"(x)}'J'

(a)

1st nun F(x) stabil, so gilt nach 11

also auch: 11

und: 11

HEYTING,

(FormeI4. 52) ; Regel A]

(Formel 4.9); Regel AJ

S. 61 (Formel 6. 4):

C [(x)F"(x) C (x)F(x)],

C [{21. ((x)F(x))'} C {21. ((x)F"(x))'},

C [{2l. ((x)F"(x))'}' C

{~!.

((x)F(x))'}'].

Mit (a) liefert dies, wegen Regel A, 11

C {21. ((x)F(x))'}'.

§ 62. Wir wollen hier kurz zusammenfassen zu welchen Resultaten duale Umsetzung des Inhaltes der §§ 60-61bis ftihrt. 1. 1st 21' C Aein Theorem des Kalkuls K* (§ 12), so auch von 1* (§ llbis). II. Durch Ubersetzung der BegriDe A', 0 C2 B, B. 0, B + 0, A, 11 von K* durch die A', (0' + B)" (B' + 0')" B + 0, A,

11

von 1* wird jedes verneinende Theorem in K* zu einem verneinenden Theorem in 1*. III. Neben den Ubersetzungen unter II. sollen die der BegriDe (Ex)F(x), (x)F(x) von KP* durch die

(Ex)F(x), [(Ex){F(x)}']'

von 1P* angewandt werden; dann wird jedes verneinende Theorem in KP*, bei dessen Ableitung Schlussschema 9 11 (§ 15) nur Anwendung findet bei Kalkulformeln F(x), fur die F(x) C F"(x) ein Satz von 1P* ist (Formeln, die wir stabil* nennen), zu einem verneinenden Theorem in 1P* 121). § 63. Das Verfahren, nach welchem G6DEL zeigte, dass die Arithmetik und Zahlentheorie in dem Umfang wie sie durch die arithmetischen 121) Vergleiche den letzten Absatz von § 16. Auch dort ist diese Stabilitat* vorauszusetzen. - Zu den in IP* stabilen* Kalkiilformeln gehoren A und v.

235 Axiome von HERBRAND und das Axiomensystem fiir den klassischen engeren Pradikatenkalkiil gegeben ist, sich mittels der in §§ 60 ter U. 61 bis gegebenen Ubersetzungen von Begriffen innerhalb der auf dem intuitionistischen engeren Pradikatenkalkiil und den HERBRANDschen Axiomen aufgebauten Arithmetik und Zahlentheorie deuten lasst, ist auch anwendbar auf dem System KP, vermehrt mit dem HERBRANDschen arithmetischen Axiomensystem-Ar. Durch die in §§ 60 ter U. 61 bis gegebene Ubersetzung von Begriffen gehen die aus KP und Ar ableitbaren arithmetischen (affirmativen) Theoreme uber in aff. Theoreme des durch Zusammenjassung der Systeme IP und Ar gebildete Axiomensystem. Aus § 61 bis geht hervor, dass es zum Beweise dieser Behauptung geniigen wird zu zeigen: 10 dass die Ubersetzung der arithmetischen Axiome des Systems (KP, Ar) im System (IP, Ar) giiltige affirmative Theoreme liefert; 2 0 dass die arithmetischen Elementarformeln x gl y, x Vg y, Eins x (x ist gleich y, x ist Vorganger von y, x ist die Zahl Eins) in (IP, Ar) stabil sind; denn jede mittels der Relationszeichen '," () (All-Operator) und der Einsetzungsregel E aus stabilen Kalkiilformeln hervorgehende Formel ist, bekanntlich, wieder stabil I22 ). Wir wollen uns damit begniigen die wichtigsten Axiome des etwas modifizierten HERBRANDschen Systems hier aufzunehmen 123) : HI' H 2• H3• H4• H 5• H G• H 7• Hs. H 9• H 10 •

'/I C [(x gl y) + (x gl y)']; '/IC [(x Vg y) + (x Vg y)']; '/I C [(Eins x) + (Eins x)'];

'/IC[x gl x]; '/I C [(x gl y) C (y gl x)]; '/I C [{(x gl y). (y gl z)} C (x gl z)]; 'jJ C [{(x Vg y). (z Vg u). (x gl z)} C (y gl u)]; 'jJ C [{(x Vg y). (z Vg u). (y gl u)} C (x gl z)]; 'jJ C [(x Vg y) C (Eins y)']; 'jJ C ([{(x)[(Eins x) C F(x)]}. {(y) (z)[((y Vg z). F(y)) C F(z)J}] C C (z)F(z)} 124).

Nach HEYTING, 10c. cit. 3), Formel 4.91, und der Abtrennungsregel A (Satz 11) liefert HI 'jJ C [(x gl y),. (x gl y)"]', d.i. die gewiinschte Ubersetzung; mit HEYTING, FormeI4.45, und Regel A folgt weiter 'jJ C [(x gl y)" C (x gl y)], also die Stabilitat von x gl y. In derselben Weise kann man mit H2 und H3 verfahren. H4 ist seine eigene Ubertragung. 122) Siehe GODEL, loco cit. 6), S. 36, P), y), 15); die Beschrankung der Ableitung auf Z'·Formeln ist, wie sofort ersichtlich, iiberfliissig. 123) Siehe iibrigens Go DEL, loco cit. 6), und J. HERBRAND, Journal f. die reine u. angew. Math. 166, 1-8 (1932). 124) Fist eine arithmetische Formel, d.h. eine aus einer Formel des Pradikatenkalkills mittels Ersetzung der durch grosse lateinische Buphstaben angedeuteten Teilformeln durch arithmetische Elementarformeln hervorgegangene Formel.

236 Die trbersetzung von H5 folgt mit HEYTING, Formel 4.9, und Regel A: v C [(x gl y) '(y gl x)']'. In derselben Weise folgen die von H6 - H 9 • Nach GODEL, loco cit. 6), S. 37 (Hilfssatz 2) gilt ftir eine stabile Formel)8 v C WlI:· )8')' C (2! C )8)]. Das liefert, mit HEYTING, FormeI6.4, vC [~C 0],

wobei

~

Abktirzung ist von

{(x)[(Eins x). (F(x))']'). {(y)(z)[((y Vg z). F(y)). (F(z))']'),

:0. von

{(x) ((Eins x) C F(x))}. {(y)(z)[((y Vg z). F(y)) C F(z)]}.

Dies und Axiom HIO ftihren, mit Regel A, zu

vC

[~

C (z)F(z)], woraus folgt: v C

[~.

((z)F(z))']'.

Das ist jedoch die trbersetzung von H1O'

§ 64. Bekanntlich sind die Axiomensysteme ftir KP und KP* aequivalent. Wir ftigten das HERBRANDsche Axiomensystem Ar ftir Arithmetik und Zahlentheorie zum System KP. Inhaltlich auf dasselbe hinaus kommt die Hinzuftigung des hier folgenden Systems Ar* zum Pradikatenkalktil KP*. System Ar*:

H:.

Hi. Hi.

HZ.

H~.

H~.

H~. H~.

Ht.

H:o'

[(x gl y). (x gl y)'] C J.; [(x Vgy). (x Vg y)'] C J.; [(Eins x). (Eins x)'] C J.; (x gl x)' C J.; [(y gl x) C (x gl y)] C A; [(x gl z)' C {(x gl y)' + (y gl z)')] C J.; [(y gl u)' C {(x Vg y)' + (z Vg u)' + (x gl zn] CJ.; [(x gl z)' C {(x Vg y)' + (z Vg u)' + (y gl un] C J.; [(Eins y) C (x Vg y)'] C J.;

{(Ez)F(z) C [{(Ex)[F(x) C (Eins x)'])

+ {(Ey)(Ez)[F(z) C C ((y Vg z)' + F(y))]}]} C J..

Es wird deutlich sein, dass sich dual gegentiber § 63 behaupten lasst: Durch die in § 62, II. und III, gegebenen Ubersetzungen von BegritJen gehen die aus KP* und Ar* ableitbaren (negierenden) Theoreme uber in negierende Theoreme des durch Zusammenfassung der Systeme IP* und Ar* gebildete Axiomensystem. So entsteht auch wieder ein (intuitionistischer*) Widerspruchsfreiheitsbeweis ftir klassische Arithmetik und Zahlentheorie in dem von HERBRAND gegebenen Umfang.